文档内容
专题 02 反比例函数与特殊三角形存在性问题
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，双曲线 的图像经过矩形 的 边的中点 ，若
且四边形 的面积为 ．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点 的坐标：
(3)若点 为 轴上一动点，使得 为以 为底边的等腰三角形，请直接写出点 的
坐标
【变式训练1】．如图 ，正方形 的顶点 ，点 ，反比例函数
的图象经过点 ．
(1)试说明反比例函数 的图象也经过点 ；
(2)如图 ，正方形 向下平移得到正方形 ，边 在 轴上，反比例函数
的图象分别交正方形 的边 、 于点 、 ．
①求 的面积；
②在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，
若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图，四边形 是面积为4的正方形，函数 的图象经过点
B．
(1)求k的值．
(2)将正方形 分别沿直线 翻折，得到正方形 ，正方形 ．设线段
， 分别与函数 的图象交于点E，F，求线段 所在直线的解析式．
(3)在x轴上是否存在点P，使 为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知点 坐标为 ，点 的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接 、 ，求 的面积；
(3)观察图象直接写出 时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形 为等腰三角形时点P的坐标 ．类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，过点A作
AC垂直x轴于点C，连接BC，点 ．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使 为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 是矩形，且 ，
， ．反比例函数 （ ）的图象分别交 、 于点E、点F
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接 、 、 ，求 的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得 是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，
请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段 为
边向上作正方形 ，顶点A在正比例函数 的图像上，反比例函数 ，且
， ，的图像经过点A，且与边 相交于点E．
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)连接 ， ．
①若 的面积为24，求 的值；
②是否存在某一位置使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，矩形 的边 分别在 轴、 轴的正半轴上，
．反比例函数 的图象经过 的中点 ，交边 于点 ，连接 ．
(1)求 的值与点 的坐标；(2) 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)点 是 轴上的一点，以点 为顶点的三角形是直角三角形，请求出 点的坐标．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象相交于点
和点 ，点 ， 分别是 轴和 轴的正半轴上的动点，且满足 ．
(1)求 ， 的值及反比例函数的解析式；
(2)若 ，求点 的坐标，判断四边形 的形状并说明理由；
(3)若点 是反比例函数 图象上的一个动点，当 是以 为直角边的等腰
直角三角形时，求点 的坐标．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数
和 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点，
， ．
(1)求反比例函数 的表达式；(2)连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得
是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点C、A分别在x轴和y
轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 、 分别交于点D、E，且顶点B的坐标为
， ．
(1)求反比例函数 的表达式及E点坐标；
(2)如图2，连接 ， ，试判断 与 的数量和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，连接 ，在反比例函数 的图象上是否存在点F，使得 ，若存
在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【变式训练3】．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．将线
段 先向右平移 个单位长度、再向上平移 个单位长度，得到对应线段 ，反比
例函数 的图像恰好经过 ， 两点，连接 ， ．
(1) ， ；
(2)求反比例函数的表达式；(3)点 在 轴正半轴上，点 是反比例函数 的图像上的一个点，若 是以
为直角边的等腰直角三角形时，点 的坐标 ．
