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专题 02 反比例函数与特殊三角形存在性问题
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，双曲线 的图像经过矩形 的 边的中点 ，若
且四边形 的面积为 ．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求点 的坐标：
(3)若点 为 轴上一动点，使得 为以 为底边的等腰三角形，请直接写出点 的
坐标
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）如图所示，连接 ，设矩形 的长 ，宽 ，可
得 的坐标，分别表示出 的面积，根据 ，
，可求出点 横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）设 ，可得 ，在 中，根据勾股定理可的 的关系，联
立方程即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，以 为底，作 的垂直平分线 ，运用相似三角形求出
与 轴的交点，由此即求出 的直线解析式，再根据与 轴的交点，图形结
合即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，设矩形 的长 ，宽 ，∴ ， ， ，
∵ 分别是 边中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，则
∵点 在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴双曲线的解析式为 ．
（2）解：设 ，
∵ ，
∴
∴ ①，
在 中，根据勾股定理得： ，即 ②，联立①②解得： 或 ，
当 时， ；
当 时， ．
（3）解：①当 时，以 为底边的等腰三角形 ，
∴作 的垂直平分线 ，交 轴于点 ，交 于点 ，交 轴于点 ，如图所示，
∵ ， ，
∴点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，且 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 所在直线的解析式为 ， ， ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式是为 ，
∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 ，得 ，∴点 的坐标为 ；
②当 时，以 为底边的等腰三角形 ，
∴作 的垂直平分线 ，交 轴于点 ，交 于点 ，交 轴于点 ，如图所示，
∴ ， ， ， ， ，∴，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 所在直线的解析式为 ， ， ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式是为 ，
∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 ，得 ，
∴点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，掌握坐标与图形的性质，反比例函数
与几何图形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关
键．
【变式训练1】．如图 ，正方形 的顶点 ，点 ，反比例函数
的图象经过点 ．
(1)试说明反比例函数 的图象也经过点 ；
(2)如图 ，正方形 向下平移得到正方形 ，边 在 轴上，反比例函数
的图象分别交正方形 的边 、 于点 、 ．
①求 的面积；
②在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②存在， 或
【分析】（1）将点 的坐标代入反比例函数表达式求得 值，再验证点 即可；
（2） ，即可求解；
分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1） 点 ，点 ，四边形 是正方形，
点 ， ，
将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，
反比例函数表达式为： ，
当 时，得 ，
反比例函数 的图象也经过点 ；（2）解： 平移后点 、 、 、 的坐标分别为： 、 ， 、 ，
则平移后点 横坐标为 ，则点 ，
同理点 ，
；
点 、 的坐标分别为： 、 ，
设点 ，则 ， ， ，
当 时，即 ，解得： 或 ，
当 时，点 、 、 三点共线，故舍去， ，
当 时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当 时，同理可得： ，
故点 的坐标为： 或 ，使得 是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、
面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
【变式训练2】．如图，四边形 是面积为4的正方形，函数 的图象经过点
B．(1)求k的值．
(2)将正方形 分别沿直线 翻折，得到正方形 ，正方形 ．设线段
， 分别与函数 的图象交于点E，F，求线段 所在直线的解析式．
(3)在x轴上是否存在点P，使 为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由正方形面积求得点B的坐标为 ，即可得解；
（2）由翻折可得点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由解析式得 ，设直
线 的解析式为 ，将两点坐标代入求解；
（3）设点 ，由 得 ， ， ，
分情况讨论：①若 ，②若 ，③若 ，分别列方程求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是面积为4的正方形，
∴ .
∴点B的坐标为 ．
∴ ．
（2）解：∵正方形 ，正方形 是由正方形 翻折得到，
∴ ．
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4 ．
∵点E，点F在函数 的图象上，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，将两点坐标代入，得解得
∴直线 的解析式为 ．
（3）解：存在．
如图，设点 ，由 得
， ， ，
①若 ，则 ，解得 或 ；
②若 ， ，解得 或 ；
③若 ， ，解得 ；
∴点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形性质，
两点距离求解；坐标系内灵活运用轴对称性质求解点坐标是解题的关键．
【变式训练3】．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知点 坐标为 ，点 的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接 、 ，求 的面积；(3)观察图象直接写出 时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形 为等腰三角形时点P的坐标 ．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3) 或
(4) 或 ， 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据两三角形面积和可得结论；
（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应 的取值；
（4）存在三种情况： ， ， ，根据点 的坐标综合图形可得点
的坐标．
【详解】（1）解： 点 坐标为
把点 的坐标代入 中得：
反比例函数的解析式是：
把点 的坐标为 代入 中，得： ，
把 、 两点的坐标代入 中得： ，解得：
一次函数的解析式为： ；
（2）解：如图1，当 时， ， ，，
；
（3）解：由图象得： 时 的取值范围是： 或 ；
（4）解：当 是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当 时，如图2，
， ， ， 或 ， ；
②当 时，如图3，
；
③当 时，如图4，过 作 轴于 ，设 ，则 ， ， ，
， ， ， ；
综上， 的坐标为 或 ， 或 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例
函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用
了分类讨论的思想解决问题．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，过点A作
AC垂直x轴于点C，连接BC，点 ．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使 为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在， 或 或 或
【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A
的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为 ，利用勾股定理求出
， ；再分当 时，当 时，当 时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把将 代入 中得： ，
∴ ，
将 代入 中得： ，
∴ ， ；
（2）解：∵直线 和 交于点A、B，
∴A和B关于原点成中心对称，
∴ ，
设点D的坐标为 ，
∴ ， ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点D的坐标为 ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点D的坐标为 或 ，
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点D的坐标为 ；
综上所述，x轴上是否存在一点D 或 或 或 使得 为直角三角
形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，勾股定理，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 是矩形，且 ，， ．反比例函数 （ ）的图象分别交 、 于点E、点F
．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接 、 、 ，求 的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得 是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，
请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)
(3) ，
【分析】（1）根据题意得到点 的坐标为 ，根据待定系数法可得 的值，即可；
（2）求出点 与点 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点 坐标为 ，求出点 与点 的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决
问题．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
所以点 的坐标为 ，
点 在反比例函数上，代入 ，得到 ，
故反比例函数解析式为 ；
（2）如图，，
，
时， ，
，
即， ， ，
，
；
（3）如图，
，
设所求点 坐标为 ，
， ，
，
，
，
当 时，
，即， ，
解得， ，
故 ；
当 时，
，
即， ，
解得， ，
故 ，
综上所述；存在点 ，坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系
数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决
最后一问的关键．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段 为
边向上作正方形 ，顶点A在正比例函数 的图像上，反比例函数 ，且
， ，的图像经过点A，且与边 相交于点E．
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)连接 ， ．
①若 的面积为24，求 的值；
②是否存在某一位置使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)①18；②不存在，理由见解析
【分析】(1)根据 ，设 ，代入解析式 确定A的坐标，确定反比例函
数解析式，根据 ，代入反比例函数解析式计算即可；
(2)①设 ，则 ， ， ，根据题意，得
，列出等式计算即可；②假设 ，证明 ，利用
反比例函数解析式建立等式证明即可．
【详解】（1）∵正方形 ， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
代入 ，得 ，
解得 ，
故 ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）①∵点A在直线 上，
∴设 ，
∵正方形 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
根据题意，得 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），故 ，
故 ；
②∵ ，∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵点A在直线 上，
∴设 ，此时： ，则 ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，∴ ，
∵B、C两点在x轴的正半轴上，
∴ ，∴ ，
这是不可能的，故不存在某一位置使得 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角
形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和
性质，是解题的关键．
【变式训练3】．如图，矩形 的边 分别在 轴、 轴的正半轴上，
．反比例函数 的图象经过 的中点 ，交边 于点 ，连接 ．
(1)求 的值与点 的坐标；
(2) 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)点 是 轴上的一点，以点 为顶点的三角形是直角三角形，请求出 点的坐标．【答案】(1) ，
(2)存在， 或
(3) 或
【分析】（1）根据题意，求得点 的坐标，进而求得 的值，根据点 在反比例函数图象
上，将 的横坐标代入解析式即可求解；
（2）设 ，根据勾股定理求得 的长，根据等腰三角形的定义，分类讨论即
可求解；
（3）根据 是 轴上的一点，设 ，则 ， ，
，根据勾股定理建立方程，分类列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例数解析式为 ，
∵反比例函数 的图象经过点 ， 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：存在，设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，，
设直线 的解析式为 ，则，
，
解得 ，
∴ ，
①当 时， ，
解得： ，
∴ ，
②当 时， ，
此方程无解，
③当 时， ，
解得 或 ，
∵线 的解析式为 ，当 时， ，
∴ ,在直线 上，
综上所述， 或 ，
（3） 是 轴上的一点，设 ，则 ， ， ，
①当 为直角顶点时， ，
解得： ，则 ，②当 为直角顶点时， ，
解得： ，则
③当 为直角顶点时， ，
此方程无解，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理求两点距离，等腰三角形的定义，
掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象相交于点
和点 ，点 ， 分别是 轴和 轴的正半轴上的动点，且满足 ．
(1)求 ， 的值及反比例函数的解析式；
(2)若 ，求点 的坐标，判断四边形 的形状并说明理由；
(3)若点 是反比例函数 图象上的一个动点，当 是以 为直角边的等腰
直角三角形时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)矩形，理由见解析
(3) ， ，
【分析】（1）把 和 分别代入 得： ；进而把 代入
得 ，即可求解；
（2）根据 ，设 的解析式为 ，依题意得出 的坐标为 ，进而
可得 解析式为 ，进而得出 ，过点 作 轴于点 ，则，故 和 都等腰直角三角形，得出 ，即可得出结论；
（3）①当 时，根据图形可得 ，②当 时，由图得
，代入反比例数解析式 ，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：把 和 分别代入 得： ；
把 代入 得 ，
所求反比例函数解析式为 ，
（2） ，
设 的解析式为 ，
又 ， 在 轴的正半轴上，
的坐标为 ，
以点 、 、 、 构成的四边形是矩形，理由如下：
解析式为 ，
，
， ， ，
，
又
四边形 是平行四边形
过点 作 轴于点 ，则 ，故 和 都等腰直角三角形，
，
，
是矩形
（3）①当 时，由图得： ，
，则 ，
，②当 时，由图得
，解得： 舍去
，
综上所述： 的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，矩形的性质与判定，勾股定理，解一元
二次方程，分类讨论，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数
和 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点，
， ．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得
是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5(3)存在， 或 或
【分析】（1）先求出点 的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出 ， ， 的面积，利用 即
可得到答案；
（3）分三种情况，当 ， 时；当 ， 时；当
， 时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，∴ ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ，
，
，
∴ ；
（3）解：存在
分三种情况，∵ ，
∴直线 的表达式为 ．
①如图1，当 ， 时，设点 ，则
∵
∴ 平分 ．
∴ ，解得
∴
∴ ；
②如图2，当 ， 时，设点 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ；
③如图3，当 ， 时，点 与点 重合，∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，存在点 使得 是等腰直角三角形，其坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角
形的性质，解题的关键是分三种情况求出点 的坐标．
【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点C、A分别在x轴和y
轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 、 分别交于点D、E，且顶点B的坐标为
， ．
(1)求反比例函数 的表达式及E点坐标；
(2)如图2，连接 ， ，试判断 与 的数量和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，连接 ，在反比例函数 的图象上是否存在点F，使得 ，若存
在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，点E坐标为
(2) 与 的位置关系为 ，数量关系为 ，理由见详解(3)存在，点F的坐标为 或
【分析】（1）由B点坐标和 可求得D点横坐标，再由 轴可得D点纵坐标，
由D点坐标可得反比例函数解析式，再把E点的横坐标代入解析式求出E点纵坐标；
（2）根据已知的点的坐标求出 ， ， ， ，再计算出对应线段的
比值证得 ，再利用相似三角形的性质求得最终结论；
（3）分类讨论F点在第一象限和第三象限的两种情况，作等腰直角三角形构造 角，再
利用三垂直模型得到全等的三角形，从而求得直线上的点的坐标，再利用待定系数法求出
点F所在的一次函数的解析式，联立一次函数和反比例函数即可求得F点坐标．
【详解】（1）解：根据题意，由点B的坐标为 得， ，
点D的坐标为 ，代入 中得， 得，
反比例函数的表达式为
由题意知，点E的横坐标为6
代入 中
得点E纵坐标为
点E坐标为
（2）解：DE与AC的位置关系为 ，数量关系为 ，理由如下：
， ， ， ，
， ， ，
，
，
（3）解：存在
①当点F在第一象限的反比例函数图象上时，如图4作 ，且使 ，连接 ，则 ，过点G作 轴于点M，
过点E作 轴于点N，易得 （三垂直模型）
∴ ，
∴点G坐标为
将 和 代入直线 的表达式 中，得
解得
所以，直线 的表达式为：
联立反比例函数 之和直线 得
解得 或
所以，点F的坐标为
②当点F在第三象限的反比例函数图象上时如图5，作 ，且使 ，连接 ，则 ，过点S作 轴于点T
∴易得， （三垂直模型）
∴ ，
∴点S坐标为
将 和 代入直线 的表达式 中，得
解得
所以，直线 的表达式为： .
联立反比例函数 和直线 得，
解得， 或
所以，点F的坐标为
综上所述，使得 时，点F的坐标为 或
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，不仅涉及到反比例函数相关知识和待定系数
法求一次函数的解析式，还考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数
与几何的基础知识并能灵活运用是解决本题的关键．
【变式训练3】．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．将线
段 先向右平移 个单位长度、再向上平移 个单位长度，得到对应线段 ，反比
例函数 的图像恰好经过 ， 两点，连接 ， ．
(1) ， ；(2)求反比例函数的表达式；
(3)点 在 轴正半轴上，点 是反比例函数 的图像上的一个点，若 是以
为直角边的等腰直角三角形时，点 的坐标 ．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点 ， 坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出 ，再判断出
，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）将点 代入 ，得 ， ，
直线的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
（2）由（ ）知， ，
，
由平移可得：设点 ， ．
将点 ， 分别代入 ，得
反比例函数的解析式为
（3）①当 、 时，如图2，过点 作直线 轴，交 轴于点
．过点 作 于点 ，交 轴于点 ．过点 作 于点设点 （其中 ），则 ， ．
，
．
于点E，
，
．
， ，
，
， ，
，
．
将 代入 ，得 ，
点 ；
②当 、 时，如图3，过点 作直线 轴与点 ，则
．过点 作 轴于点 ， 交直线 与点E，则 于点 ，
．
，
．
于点 ，，
．
又 ， ， ， ，
．
设 ，则 ， ， 点 ．
将点 代入 ，得 ．解得 ， ，
，
点
综合①②可知：点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是综合考查反比例函数待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面
积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．
