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专题 02 反比例函数与三角形或线段长度的综合
类型一：反比例函数与三角形的面积
类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题）
类型三：反比例函数中存在直角三角形问题
类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题
类型一：反比例函数与三角形的面积
1．如图，已知A（﹣1，n），B（4，﹣1）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数 的图象的两个交
点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求三角形AOB的面积．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解
析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案．
【解答】解：（1）把点B（4，﹣1）代入 得，
m＝1×（﹣4）＝﹣4，
即 ；
将A（﹣1，n）代入 ，得n＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，4），
∴将点A，B的坐标代入一次函数y＝kx+b中，
得 ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3；
（2）当y＝0时，﹣x+3＝0，
∴x＝3，∴点C的坐标为（3，0），
即OC＝3，
∴ ．
2．如图，一次函数y＝ x﹣2的图象与反比例函数 的图象交于点B，与x轴交于点A，且点
B的横坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点C（m，2）在反比例函数 的图象上，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据一次函数解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析
式；
（2）先根据反比例函数求得点C的坐标，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，然后利用梯形的面积减去
两个三角形的面积即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）把x＝6代入y＝ x﹣2，
∴y＝ 6﹣2＝1．
∴B（6，1），
∵反比例函数y＝ 的图象过点B，
∴k＝6×1＝6，
∴反比例函数为y＝ ；
（2）把y＝0代入y＝ x﹣2，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∵点C（m，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝3，C（3，2），作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∴S△ABC ＝S梯形BCDE ﹣S△ACD ﹣S△ABE ＝ （2+1）×（6﹣3）﹣ ×（4﹣3）×2﹣ （6﹣4）×1＝ ．
3．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（﹣3，a），B
（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP ＝4S△OBD ，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为 利用三角形面积公式计算
出m值即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 图象交于点A（﹣
3，a），B（1，3），
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为 ，
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
∴ ，
解得 ，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）根据解析式可知C（﹣2，0），D（0，2），∴ ，
∴S△OCP ＝4S△OBD ＝4，
设点P的坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 或 ．
4．如图，一次函数y ＝k x+b（k 是常数且k ≠0）与反比例函数 的图象交于A（﹣2，2），B
1 1 1 1
（4，﹣1）两点．
（1）求k ，k 和b的值；
1 2
（2）直接写出关于x的不等式 的解集： x ＜﹣ 2 或 0 ＜ x ＜ 4 ；
（3）点P是y轴上的一个动点，若△ABP的面积为9，则点P的坐标为 （ 0 ， 4 ）或（ 0 ，﹣ 2 ） ．
【分析】（1）将点A，B坐标分别代入函数表达式即可得到答案；
（2）根据图象位置关系，找出直线在反比例函数图象的上方时x的取值范围即为答案；
（3）设P点坐标为（0，m），一次函数交y轴于点D，作AE⊥y轴，BF⊥y轴，得到AE＝2，BF＝4，
DP＝|1﹣m|，然后利用S△ABP ＝S△ADP +S△BDP ，列出方程解之即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y ＝k x+b与反比例函数 都经过A（﹣2，2），B（4，﹣1），
1 1
则 ，解得 ，，
∴k ＝﹣4，
2
（2）根据图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜4时，直线在反比例函数图象的上方，满足 ，
∴不等式 的解集为：x＜﹣2或0＜x＜4．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜4．
（3）根据题意，设P点坐标为（0，m），一次函数交y轴于点D，作AE⊥y轴，BF⊥y轴，如图
∵A（﹣2，2），B（4，﹣1），
∴AE＝2，BF＝4，
由（1）可知， ，
∴D（0，1），
∴DP＝|1﹣m|，
∴S△ABP ＝S△ADP +S△BDP
＝
＝3×|1﹣m|
∵3×|1﹣m|＝9，
∴|1﹣m|＝3，
解得：m＝4或m＝﹣2，
故答案为：（0，4）或（0，﹣2）．
5．如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝ 图象于A（ ，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB ＝S△EOB ，求E点的坐标；（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞ 的解集．
【分析】（1）把点A（ ，4）代入y＝ 中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解
析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表
达式；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB ＝S△BOD ﹣
S△AOD 求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB ＝S△EOB 得到关于a的方程 ，解方程
求得a，从而求得E点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】（1）把点A（ ，4）代入y＝ 中，得：n＝ ×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
将点B（3，m）代入y＝ 得m＝ ＝2；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（ ，4），B（3，2）代入得 ，
解得
∴直线AB的表达式为y＝﹣ x+6，
∴D点的坐标为（0，6），
∴S△AOB ＝S△BOD ﹣S△AOD ＝ 6×3﹣ 6× ＝ ，设E点的坐标为（0，a），
∵S△AOB ＝S△EOB ，
∴ |a|×3＝ ，
解得：|a|＝3，
∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
（3）不等式kx+b＞ 的解集是x＜0或 ＜x＜3．
6．如图，直线y＝kx+b与双曲线 相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，
0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求出点D的坐标，再根据S△AOB ＝S△OCD ﹣S△AOC ﹣S△BOD 进行求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，1）代入 中得： ，
∴m＝﹣3，∴反比例函数解析式为 ；
（2）把A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b中得： ，
∴ ，
∴一次函数解析式为y＝x+4；
（3）在y＝x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴D（0，4），
∴OD＝4，
∵C（﹣4，0），
∴OC＝4，
∴S△AOB ＝S△OCD ﹣S△AOC ﹣S△BOD
＝ ．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A（﹣1，m），B
（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤﹣ 的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣ 的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3），
∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6，
解得m＝6，n＝2，
∴A（﹣1，6），B（2，﹣3），把A、B的坐标代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3．
（2）观察图象，不等式kx+b≤﹣ 的解集为：﹣1≤x＜0或x≥2．
（3）连接OA，OB，由题意C（0，3），
S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×3×1+ ×3×2＝ ，
设P（m，0），
由题意 •|m|•3＝ ×2，
解得m＝±6，
∴P（6，0）或（﹣6，0）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x轴
相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式 的解集；
（3）点P为反比例函数y＝ 图象上的任意一点，若S△POC ＝3S△AOC ，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出S△AOC ，再根据S△POC ＝3S△AOC 求出S△POC ，即可求出．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）．
∴1＝3+m，
∴m＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
∵反比例函数 的图象过点A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3），
观察图象，不等式 的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，
即点C的坐标为：C（2，0），
∴S△AOC ＝ ＝1，
∵S△POC ＝3S△AOC ，
∴S△POC ＝ ＝ ，
∴|y |＝3，
P
当点P的纵坐标为3时，则3＝ ，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3＝ ，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．类型二：反比例函数与线段长度（包含最值问题）
9．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝2，反比例函数 的图象经过点A．直线CD垂直平分
AO，交AO于点C，交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点A的坐标及OC的长；
（2）求点E的坐标．
【分析】（1）将x＝﹣2代入反比例函数解析式得到y＝4，即可得到A点坐标；
（2）先求出k ＝﹣2，再求出k ＝ ，设直线CD解析式为y＝ ，将C点坐标代入求出解析式
OA CD
为y＝ ，最后求出直线与x轴交点坐标即可得到OE长．
【解答】解：（1）∵AB＝2，
∴点A的横坐标为﹣2，
∵A点在反比例函数 的图象上，
∴y＝﹣ ＝4，
∴A（﹣2，4），
∵CD垂直平分线段AO，
∴C（﹣1，2），
∴OC＝ ＝ ；
（2）由中点坐标公式可知C（﹣1，2），
∵A（﹣2，4），
∴k ＝﹣2，
OA
∵直线CD垂直平分AO，
∴k ＝ ，
CD
设直线CD解析式为y＝ ，将C点坐标代入得：2＝ +b，
解得b＝ ，∴直线CD的解析式为y＝ ，
令y＝0，则x＝﹣5．
∴E（﹣5，0）．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A，C在反比例函数y＝ 图象上，直线AC交OB于
点D，交x，y轴正半轴于点E，F，且OE＝OF＝3
（1）求OB的长；
（2）若AB＝ ，求k的值．
【分析】（1）由OE＝OF＝3 ，根据勾股定理可求得EF，△OEF是等腰直角三角形，由菱形，可得
对角线互相垂直平分，进而得到△DOE也是等腰直角三角形，可求出OD，进而求出OB，
（2）作辅助线，可以求出点A的坐标，求出k的值．
【解答】解：（1）∵OE＝OF＝3 ，
∴EF＝ ＝6，∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵菱形OABC，
∴OA＝AB＝BC＝CO，OB⊥AC，DC＝DA，DO＝DB，
∴△DOE为等腰直角三角形，∴DO＝DE＝ EF＝3，
∴OB＝2DO＝6；
答：OB的长为6．
（2）过点A作AN⊥OE，垂足为N，则△ANE是等腰直角三角形，
∴AN＝NE
设AN＝x，则NE＝x，ON＝ ﹣x，
在Rt△AON中，由勾股定理得：
（ ﹣x）2+x2＝（ ）2，解得：x ＝ ，x ＝
1 2
当x ＝ 时，A（ ， ），C（ ， ）
1
当x ＝ 时，C（ ， ），A（ ， ）
2
因此：k＝ ＝4
答：k的值为：4．11．如图，直线l：y＝x+2的与曲线 交于点A（1，n），B两点．
（1）求不等式 的解集；
（2）直线x＝a（a＞0）分别与l，双曲线交于C，D两点（点C与点D不重合），若AC＝AD，求a的
值．
【分析】（1）先把A（1，n）代入y＝x+2，求解得A（1，3），再把A（1，3）代入 ，求解得
，联立解析式，解方程组求得点B的坐标，然后观察图象即可求得不等式 的解集；
（2）过点A作AE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质得点E是CD，利用中点坐标公式即可求解．
【解答】解：（1）把A（1，n）代入y＝x+2，得
n＝1+2＝3，
∴A（1，3）
把A（1，3）代入 ，得
，解得：k＝3，
联立 ，解得： ， ，
∴B（﹣3，﹣1）由图象可得：不等式 的解集﹣3＜x＜0或x＞1；
（2）如图，过点A作AE⊥CD于E，
∵AC＝AD，AE⊥CD
∴CE＝DE，E（a，3），
当x＝a时，则y＝x+2＝a+2，
∴C（a，a+2）
∴ ，
∴
解得：a ＝1，a ＝3，
1 2
∵点C与点D不重合
∴a＝1不符合题意，舍去，
∴a＝3．
12．如图，反比例函数 与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点
D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数 与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．
（3）直接写出上 的解集．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1）， ，即可求解．
（3）根据反比例函数 与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），利用图象法求
解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数 与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），
∴ ，4＝﹣2×（﹣1）+m，
∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函数为 ，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，
∴BC∥x轴，
∵OD＝1，
∴B、C的纵坐标为1，
把y＝1代入 ，得x＝﹣4，
把y＝1代入y＝﹣2x+2，得 ，
∴B（﹣4，1）， ，
∴ ．
（3）由图象可得 的解集为：﹣1≤x＜0．
13．如图，反比例函数 和一次函数y＝ax+b的图象交于A（1，3）和B（﹣1.5，n）两点．
（1）求k，n的值；（2）求出关于x的不等式 的解集：
（3）在x轴上找出一点M使MA+MB最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使NA﹣NB最大，并
求点N坐标．
【分析】（1）将点A（1，3）代入反比例函数 中，可得到k值，再将点B（﹣1.5，n）代入反比例
函数 中，可得到n的值；
（2）利用交点坐标以及函数图象得出反比例函数在一次函数上方的 x的取值范围，即函数 的
自变量x的取值范围；
（3）连接A、B，交x轴于点M，由于A、B、M三点共线，此时MA+MB最小，求出直线AB的表达式，
令y＝0即可得到点M坐标；过点B做关于x轴对称点B ，连接A、B 交x轴于点N，此时NB＝NB ，
1 1 1
则NA﹣NB有最大值，求得直线AB 的表达式，令y＝0即可得到点N坐标．
1
【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数 上，代入得： ，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为：
又∵点B（﹣1.5，n）也在反比例函数 上，代入得： ，
∴n＝﹣2．
（2）由（1）得：反比例函数与一次函数的图象交于A（1，3）和B（﹣1.5，﹣2），
由图象可得： 的解集为：反比例函数在一次函数上方部分的x的取值范围，
∴x≤﹣1.5或0＜x≤1．
（3）连接A、B，交x轴于点M，如图：∵A、B两点在x轴的两侧，
∴当A、B、M三点共线时，MA+MB最小，
∴点M为直线AB与x轴的交点，
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
∵A（1，3），B（﹣1.5，﹣2），
∴
解得：
∴直线AB的表达式为：y＝2x+1，
∴当y＝0时，
∴ ；
过点B做关于x轴对称点B ，连接A、B 交x轴于点N，如图：
1 1
∴此时NB＝NB ，则NA﹣NB＝NA﹣NB 有最大值，
1 1
∵B（﹣1.5，﹣2），且B，B 关于x轴对称，
1
∴B （﹣1.5，2）
1
∵A（1，3），
设直线AB 的表达式为：y＝kx+b，
1∴ ，
解得： ，
∴直线AB 的表达式为： ，
1
∴当y＝0时， ，
∴ ．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例
函数 图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式 的解集；
（3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标．
【分析】（1）直接用待定系数法即可求解；
（2）由点A（﹣2，1）、B（1，﹣2），结合图象即可求解；
（3）由一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1），可得PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，再利
用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入 ，
得m＝﹣2×1＝﹣2，则反比例函数解析式为 ，
把B（a，﹣2）代入 ，
得﹣2a＝﹣2，
解得a＝1，
则B点坐标为B（1，﹣2），把A（﹣2，1）、B（1，﹣2）代入y＝kx+b得，
，
解得： ，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）∵点A（﹣2，1）、B（1，﹣2），
∴由图可得，不等式 解集范围是：x＜﹣2或0＜x＜1，
（3）一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1），
此时，PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，过点A作AD⊥x轴于点D，直线AB与x轴的交点为
C，在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1，即直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点C（﹣1，0），
∵A（﹣2，1），
∴AD＝1，CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴
∴PA﹣PC的最大值 ，P点的坐标为P（0，﹣1）．
15．如图，反比例函数 的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1）两点，
（1）求反比例函数和一次函数的关系式．
（2）根据图象直接写出不等式 时，x的取值范围；
（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式可求出m的值，再将点B坐标代入所得反比例函数
解析式可求出n的值，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可．（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）作出点B关于x轴的对称点，利用轴对称的性质及两点之间线段最短即可解决问题．
【解答】解：（1）将点A（2，5）坐标代入y＝ 得，
m＝2×5＝10，
所以反比例函数的解析式为y＝ ．
将点B（n，1）坐标代入y＝ 得，
n＝10，
所以点B的坐标为（10，1）．
将A，B两点坐标代入y＝kx+b得，
，
解得 ，
所以一次函数解析式为y＝ ．
（2）由函数图象可知，
当x＜0或2＜x＜10时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即kx+b＞ ，
所以不等式 得解集为：x＜0或2＜x＜10．
（3）过点B作x轴的对称点B′，连接AB′，PB，
根据两点之间线段最短可知，
当点P在AB′与x轴的交点处时，AP+PB′取得最小值，即PA+PB取得最小值．
因为点B的坐标为（10，1），
所以点B′的坐标为（10，﹣1），
则AB′＝ ＝ ，
所以PA+PB的最小值为10．
类型三：反比例函数中存在直角三角形问题16．如图，在坐标系中，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点．
①试根据图象求k的值；
②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点 P所有
可能的坐标．
【分析】①利用点A在直线y＝﹣x上确定A点坐标，然后把A点坐标代入y＝ 即可求出k的值；
②设P（0，t），而B点坐标为（1，﹣1），分类讨论：当∠PAB＝90°，则PA2+AB2＝PB2；当∠PBA＝
90°，则PB2+AB2＝PA2；当∠APB＝90°，则PA2+PB2＝AB2，然后利用两点间的距离公式列出关于t的3
个方程，再解方程求出t即可得到P点坐标．
【解答】解：①把x＝﹣1代入y＝﹣x得y＝1，
∴A的坐标是（﹣1，1），
把A（﹣1，1）代入y＝ 得k＝﹣1×1＝﹣1；
②∵点A与点B关于原点中心对称，
∴B点坐标为（1，﹣1），
∴AB＝2 ，
设P点坐标为（0，t），
当∠PAB＝90°，则PA2+AB2＝PB2，即12+（t﹣1）2+（2 ）2＝12+（t+1）2，解得t＝2；
当∠PBA＝90°，则PB2+AB2＝PA2，即12+（t+1）2+（2 ）2＝12+（t﹣1）2，解得t＝﹣2；
当∠APB＝90°，则PA2+PB2＝AB2，即12+（t﹣1）2+12+（t+1）2＝（2 ）2，解得t＝±
∴点P的所有可能的坐标是（0， ），（0，﹣ ），（0，2），（0，﹣2）．
17．如图，已知一次函数y ＝kx+b与反比例函数y ＝ （x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，
1 2
n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求y ＜y 时，自变量x的取值范围；
1 2
（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）先把A点坐标代入y ＝ 中求出m得到反比例函数解析式为y ＝ ，再利用反比例函数
2 2
解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）在第象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设P（t，0），利用两点间的距离公式得到PA2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣
2）2+（2﹣4）2，讨论：根据勾股定理，当∠PAB＝90°时，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；当∠PBA＝90°时，
t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；当∠APB＝90°时，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分别解关于t的方程可得到P
点坐标．
【解答】解：（1）把A（2，4）代入y ＝ 得m＝2×4＝8，
2
∴反比例函数解析式为y ＝ ，
2
把B（4，n）代入y ＝ 得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2），
2
把A（2，4）和B（4，2）代入y ＝kx+b得 ，解得 ，
1
∴一次函数解析式为y ＝﹣x+6；
1
（2）当0＜x＜2或x＞4时，y ＜y ；
1 2
（3）设P（t，0），
∵A（2，4），B（4，2）
∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，
当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，
0），
当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0），
当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解，
综上所述．P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．
18．如图，一次函数y ＝k x+b（k≠0）和 交于A（1，6）、B（3，m）两点．
1 1
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图形，请直接写出y ＜y 时，x的取值范围；
1 2（3）在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问△ABP能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；
如不能，请说明理由．
【分析】（1）直接用待定系数法即可求解；
（2）观察图象可知，当y ＜y ，直线在反比例函数的下方，即可求解；
1 2
（3）设点P（0，y），分别求出AB2，PA2，PB2，分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）反比例函数 过点A（1，6）、B（3，m），
把A（1，6）代入 中，得： ，
解得：k ＝6，
2
∴反比例函数的解析式为： ，
把B（3，m）代入 中，得： ，
∴B（3，2），
把A（1，6），B（3，2）代入y ＝k x+b中，得：
1 1
，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y ＝﹣2x+8；
1
（2）观察图象可知，当y ＜y ，直线在反比例函数的下方，
1 2
又∵A（1，6），B（3，2），
∴0＜x＜1，x＞3，∴x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3；
（3）设点P（0，y），
∵A（1，6），B（3，2），
∵AB2＝（1﹣3）2+（6﹣2）2＝20，
PA2＝（0﹣1）2+（y﹣6）2＝y2﹣12y+37，
PB2＝（0﹣3）2+（y﹣2）2＝y2﹣4y+13，
当∠P AB＝90°时，如图：
1
∴ ，即20+y2﹣12y+37＝y2﹣4y+13，
解得： ，
∴点 ，
当∠AP B＝90°时，如图：
2
∴ ，即y2﹣12y+37+y2﹣4y+13＝20，
整理得：y2﹣8y+15＝0，解得：y ＝3或y ＝5，
2 2
∴点P （0，3）或P （0，5），
2 2
当∠ABP ＝90°时，如图：
3
∴ ，即20+y2﹣4y+13＝y2﹣12y+37，
解得： ，
∴点 ，
综上所述，△ABP为直角三角形时，点P坐标为 或（0，3）或（0，5）或 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A
（﹣3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，直接写出不等式 ≥ax+b的解集 ﹣ 1 ≤ x ＜ 0 或 x ≤﹣ 3 ；
（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M的坐标 （ 0 ， 1 3 ）
或（ 0 ， ） ．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分MC是斜边、CA是斜边、AM是斜边三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1＝ ，解得：k＝﹣3，
将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，3），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得 ，
故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y＝﹣ ，y＝x+4；
（2）观察函数图象得，当x＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式 ≥ax+b成立，
即不等式的解集为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3，
故答案为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3；
（3）设点M（0，m）（m＞0），点C（1，0）、A（﹣3，1），
则MC2＝1+m2，CA2＝（1+3）2+1＝17，AM2＝9+（m﹣1）2，
当MC是斜边时，则1+m2＝17+9+（m﹣1）2，解得：m＝13；
当CA是斜边时，同理可得：m＝ （负值已舍去）；
当AM是斜边时，同理可得：m＝﹣4（舍去）；
故答案为（0，13）或（0， ）．
20．如图，直线y ＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y ＝ 的图象交于C（1，
1 2
m），D（n，﹣1），连接OC，OD．
（1）求k的值；
（2）求△COD的面积．
（3）根据图象直接写出y ＜y 时，x的取值范围．
1 2
（4）点M是反比例函数y ＝ 上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
2
且CD为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A的坐标代入y ＝x+b求出b，即可得出一次函数的表达式，把C（1，m），D（n，
1
﹣1）代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入y ＝ 的，求出k即可；
2
（2）求出OB，分别求出△AOB和△BOC的面积，相加即可；
（3）根据C、D的坐标和图象得出即可；
（4）分两种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）把A（0，2）代入y ＝x+b得：b＝2，
1
即一次函数的表达式为y ＝x+2，
1
把C（1，m），D（n，﹣1）代入得：m＝1+2，﹣1＝n+2，
解得m＝3，n＝﹣3，
即C（1，3），D（﹣3，﹣1），
把C的坐标代入y ＝ 得：3＝ ，
2
解得：k＝3；
（2）由y ＝x+2可知：B（﹣2，0），
1
∴△COD的面积为 ×2×3+ ×2×1＝4；
（3）由图象可知：y ＜y 时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1；
1 2
（4）当M在第一象限，根据题意MC⊥CD，
∵直线y ＝x+2，
1∴设直线CM的解析式为y＝﹣x+b ，
1
代入C（1，3）得，3＝﹣1+b
1
解得b ＝4，
1
∴直线CM为y＝﹣x+4，
解 得 ， ，
∴M（3，1）；
当M在第三象限，根据题意MD⊥CD，
∵直线y ＝x+2，
1
∴设直线DM的解析式为y＝﹣x+b ，
2
代入D（﹣3，﹣1）得，﹣1＝3+b
2
解得b ＝﹣4，
2
∴直线DM为y＝﹣x﹣4，
解 得 或 ，
∴M（﹣1，﹣3），
综上，点M的坐标为（3，1）或（﹣1，﹣3）．
类型四：反比例函数中存在等腰三角形问题
21．如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y＝ （k≠0）于点P（第一象
限），若点P的纵坐标为2，且tan∠BAO＝1
（1）求出反比例函数y＝ （k≠0）的解析式；
（2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y＝ （k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为
等腰三角形时，求点C的坐标．【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于点E，求出点P的坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）首先求出直线AB的解析式，然后设C（m，m﹣4），则D（m， ），过P作PF⊥CD于F点，
则F（m，2），根据DF＝CF列出m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，
∵tan∠BAO＝1，
∴∠BAO＝45°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵点P的纵坐标为2，
∴PE＝AE＝2，
∵A（4，0），
∴P（6，2），
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b且A（4，0），P（6，2），
∴ ，
解得： ，
∴y＝x﹣4，
设C（m，m﹣4），则D（m， ），
过P作PF⊥CD于F点，则F（m，2），
∵PD＝PC，PF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴ ﹣2＝2﹣（m﹣4），
∴m2﹣8m+12＝0，
解得m ＝2，m ＝6（不合题意，舍去），
1 2
∴当C（2，﹣2）时，△CDP为等腰三角形．22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝ （x＞0）经过点A（4，m）．
（1）求点A的坐标；
（2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）；
（3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B
的坐标．
【分析】（1）将点A（4，m）代入y＝ ，求得m的值即可；
（2）把（4，3）代入一次函数y＝kx+b即可得到b＝﹣4k+3；
（3）求得OA＝5，根据等腰三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ （x＞0）经过点A（4，m），
∴m＝ ＝3，
∴A（4，3）；
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，3），
∴3＝4k+b，
∴b＝﹣4k+3；
（3）∵A（4，3），
∴OA＝ ＝5，
∵△AOB是等腰三角形，当OA是腰时，B点的坐标为（﹣5，0），（5，0），（8，0），
当OA为底时，
∵A（4，3），
∴OA的中点（2， ），直线OA为y＝ x，
设过OA的中点且存在于OA的直线为y＝﹣ x+n，
把（2， ）代入得， ＝﹣ +n，
∴n＝ ，
∴过OA的中点且存在于OA的直线为y＝﹣ x+ ，
令y＝0，则0＝﹣ x+ ，
解得x＝ ，
∴B点的坐标为（ ，0），
故B点的坐标为（﹣5，0），（5，0），（8，0），（ ，0）．
23．如图1，直线y ＝kx+3与双曲线y ＝ （x＞0）交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
1 2
直线y
1
＝kx+3分别交x轴、y轴于点C和点D，且S△DBP ＝27， ．
（1）求OD和AP的长；
（2）求m的值；
（3）如图2，点M为直线BP上的一个动点，连接CB、CM，当△BCM为等腰三角形时，请直接写出
点M的坐标．【分析】（1）设P（a，b），则OA＝a，由 ＝ 得：C（ a，0），由S△DBP ＝ ×DB•BP＝27，求
出a值，进而求解；
（2）将点P的坐标代入反比例解析式，即可求解；
（3）分BC＝CM、BC＝MB、MB＝CM三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）设P（a，b），则OA＝a，
∵ ＝ ，
∴OC＝ AC，
∴C（ a，0），
∵点C在直线y＝kx+3上，
∴0＝ ak+3，即ka＝﹣9，
∴DB＝3﹣b＝3﹣（ka+3）＝﹣ka＝9，
∵BP＝a，
∴S△DBP ＝ ×DB•BP＝27，
∴ ×9a＝27，
∴a＝6，
∴k＝﹣ ，
∴一次函数的表达式为y＝﹣ x+3；
将x＝6代入一次函数解析式得：y＝﹣6，即P（6，﹣6），
∴AP＝6，
由一次函数表达式得：点D（0，3），故OD＝3；
（2）将点P的坐标代入反比例解析式得：m2﹣13m＝﹣36，
解得：m＝4或9；
（3）由（1）得，点C（2，0）、而点B（0，﹣6），设点M（m，﹣6）；
则BC2＝4+36＝40，CM2＝（m﹣2）2+36，MB2＝m2，
当BC＝CM时，40＝（m﹣2）2+36，解得：m＝4或0（舍去0）；
当BC＝MB时，同理可得：m＝±2 ；
当MB＝CM时，同理可得：m＝10，故点M的坐标为（4，﹣6）或（10，﹣6）或（± ，﹣6）．
24．如图，一次函数y＝k x+b（k ≠0）与反比例函数 的图象交于点A（﹣1，2），B
1 1
（n，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数y＝﹣ x+m与反比例函数y＝ 的图象恰有一个交点，求m的值．
（3）点P（t，0）在x轴上（其中t≠0），当△ABP为等腰三角形时，求点P的坐标．（直接写出结
论）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）两个解析式联立方程，消去y得到关于x的方程，因为只有一个交点，该方程恰有两个相等的实
数根，则△＝m2﹣8＝0，解得m＝±2 ；
（3）分三种情形讨论①当PA＝PB时，可得（n+1）2+4＝（n﹣2）2+1．②当AP＝AB时，可得22+
（n+1）2＝（3 ）2．③当BP＝BA时，可得12+（n﹣2）2＝（3 ）2．分别解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入 得到k ＝﹣2，
2
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
∵B（n，﹣1）在y＝﹣ 上，
∴n＝2，
由题意 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1．
（2）∵一次函数y＝x+m与反比例函数y＝﹣ 的图象恰有一个交点
∴ ，消去y可得x+m＝﹣ ，整理可得：x2+mx+2＝0
因为只有一个交点，该方程恰有两个相等的实数根，
所以△＝m2﹣8＝0，解得m＝±2 ；
（3）∵A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴AB＝3 ，AP2＝22+（t+1）2，BP2＝12+（t﹣2）2，
∵△ABP为等腰三角形
①当PA＝PB时，（t+1）2+4＝（t﹣2）2+1，
∴t＝0，（不合题意，舍去）
②当AP＝AB时，∴AP2＝AB2，
∴22+（t+1）2＝（3 ）2，
∴t＝﹣1± ．
③当BP＝BA时，∴BP2＝BA2，
∴12+（t﹣2）2＝（3 ）2，
∴t＝2± ．
综上所述，P（﹣1+ ，0）或（﹣1﹣ ，0）或（2+ ，0）或（2﹣ ，0）．
25．如图，反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n），交y轴于点
C．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P是y轴上的点，请直接写出能使△PAC为等腰三角形的点P的坐标．
【分析】（1）根据点A坐标，可以求出反比例函数解析式，再求出点 B坐标，即可根据待定系数法求
出一次函数解析式．
（2）求出一次函数与x轴的交点，再根据三角形面积公式即可求解；
（3）分三种情形：①AC＝AP，②PA＝AP，③AC＝CP，进行讨论即可求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（﹣2，1），∴m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
∵反比例函数y＝ 的图象经过点B（1，n），
∴n＝﹣2，
故B（1，﹣2），
依题意有 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
则S△AOB ＝ ×1×1+ ×1×2＝0.5+1＝1.5；
（3）当x＝0时，y＝0﹣1＝﹣1，
故C（0，﹣1），
AC＝ ＝2 ，
如图中，当AP＝AC时，P （0，3），
1
当AC＝CP时，P （0，﹣1+2 ），P （0，﹣1﹣2 ），
2 3
当PA＝PC时，P （0，1），
4
∴满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，﹣1+2 ）或（0，﹣1﹣2 ）或（0，1）．
