专题01菱形与翻折、最值、动点、定值的交互问题(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本

专题 01 菱形与翻折、最值、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:31)60(cid:32)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:20).....................................................................................................................................12
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:20)......................................................................................................................................17
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:20)......................................................................................................................................22
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:20)......................................................................................................................................27
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:20)..........................................................................................................................................34
【题型1 菱形的翻折】
(cid:15)(cid:42)1(cid:20)(cid:43)2024·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)·(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:25) (cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:36)E(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:59) (cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:61)(cid:62)
(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:63)(cid:64) =4(cid:53) =90°𝐴(cid:53)𝐵𝐶𝐷 𝐷=𝐶15°(cid:53)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (cid:25)𝐴(cid:68)𝐸(cid:69)(cid:43)(cid:70)△(cid:70)𝐴𝐷(cid:50)𝐸 𝐴𝐸
′ ′ ′ ′
△𝐴𝐷 𝐸 𝐷 𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐷𝐸𝐷 ∠𝐷𝐴𝐸 𝐷 𝐶
A(cid:63) 3 B(cid:63) 3 C(cid:63)4 3 D(cid:63)4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)8−C4 4−2 −4
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:21)(cid:53)(cid:31)30(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:26)(cid:27)
(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:96)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:63)(cid:97)(cid:60) (cid:26)(cid:27) (cid:53)(cid:61)(cid:62) (cid:53) =15°(cid:53)(cid:98)(cid:61) = =30°(cid:53)
′ ′
= (cid:53) = 𝐴(cid:53)𝐸(cid:61)(cid:62) △(cid:54)𝐴𝐷𝐸(cid:55)(cid:53)(cid:99)(cid:40)△(cid:41)𝐴𝐷(cid:24)𝐸 ∠𝐷(cid:93)𝐴(cid:23)𝐸 (cid:24)(cid:53)(cid:89) =∠𝐷𝐴=𝐷 2=∠4𝐷(cid:53)𝐴𝐸(cid:100)
′ ′ ′
𝐷𝐸 𝐷 𝐸 ∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐴𝐸𝐷 𝐷 𝐴𝐶 1 𝐴𝐵𝐶𝐷 3 𝐷𝐶 1𝐷𝐴 𝐴3𝐵
= =30°(cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:61) = = (cid:53) = 3 = (cid:53)(cid:102)(cid:99) + =4(cid:53)(cid:91)(cid:61)
2 2 2 2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∠=𝐷4𝐶𝐴3 ∠(cid:63)𝐷𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐷 𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐷 𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)−4(cid:91)(cid:10) (cid:60) (cid:26)(cid:27) (cid:53)(cid:61)(cid:62) (cid:53)
′
= ∵ 𝐴𝐸=30°△(cid:53)𝐴𝐷𝐸= (cid:53)△𝐴𝐷 𝐸= (cid:53)
′ ′ ′
∴ ∠𝐷𝐴𝐷 =920∠°𝐷(cid:53)𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷 𝐸 ∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐴𝐸𝐷
′
∵ ∠𝐷𝐸𝐷= =45°(cid:53)
′
∴∠𝐷𝐸=𝐴 ∠𝐴𝐸𝐷 =120°(cid:53)
∴∠(cid:40)𝐷(cid:41)(cid:24)180°−∠(cid:93)𝐷(cid:23)𝐴𝐸(cid:24)−(cid:53)∠𝐷𝐸𝐴
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =60°(cid:53)
∴∠𝐷𝐴𝐵 =13800°°(cid:53)−∠𝐷
′
∵∠𝐷𝐴𝐷 = =30°(cid:53)
′ ′
∴∠ 𝐷𝐴(cid:54)𝐷 (cid:55)∠(cid:53)𝐵𝐴𝐷
′
∴ 𝐷 𝐴𝐶= =30°(cid:53)
∴(cid:40)∠(cid:41)𝐷𝐴(cid:24)𝐶 2∠(cid:93)𝐷𝐴(cid:23)𝐸(cid:24)(cid:53)
∵ =𝐴𝐵𝐶=𝐷 =4(cid:53)
∴ 𝐷𝐶 𝐷=𝐴 𝐴𝐵=30°(cid:53)
∴ ∠𝐷𝐶𝐴=9∠0𝐷°𝐴(cid:53)𝐶
′
∵∠𝐷𝐸𝐷 =90°(cid:53)
′
∴∠𝐶𝐸𝐷 1
= = (cid:53)
2
′ ′
∴𝐷𝐸 𝐷 𝐸 𝐶𝐷
3
= 3 = (cid:53)
2
′ ′
𝐶𝐸 + 𝐷 𝐸= =𝐶𝐷 4(cid:53)
∵𝐷1𝐸 𝐶𝐸3 𝐷𝐶
+ =4(cid:53)
2 2
′ ′
∴ 𝐶𝐷 =4𝐶3 𝐷 (cid:104)
′
(cid:100)∴(cid:105)𝐶(cid:10)𝐷C(cid:63) −4
(cid:15)(cid:106)(cid:107)1-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:45)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =50°(cid:53)(cid:36)E(cid:93) (cid:41)(cid:55)(cid:25)(cid:117)(cid:36)(cid:53)
(cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:118)(cid:119)(cid:68)(cid:53)(cid:120) (cid:121)(cid:36)F(cid:63)(cid:65)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:25)(cid:79)∠(cid:122)𝐴 (cid:93) (cid:63)𝐴𝐵 △𝐵𝐶𝐸
′ ′
𝐶𝐸 △𝐵 𝐶𝐸 𝐷𝐵 𝐶𝐸 ∠𝐷𝐹𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)65°/65(cid:79)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:27)(cid:124)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:88)(cid:125)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:126)(cid:81)(cid:96)(cid:37)(cid:87)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:81)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:130)(cid:131)
(cid:94)(cid:95)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:96)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:132)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:93)(cid:91)(cid:71)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)1
(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:23)(cid:24)(cid:83)(cid:84)(cid:61)(cid:62) = (cid:53) = =50°(cid:53)(cid:136)(cid:97)(cid:27)(cid:124)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:61) = = (cid:53) =
2
′ ′ ′
𝐶𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐵 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐵
1
= (cid:53)(cid:137)(cid:99)(cid:138)(cid:139)(cid:88)(cid:125)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:96)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:126)(cid:81)(cid:96)(cid:37)(cid:87)(cid:61)(cid:62) = = (cid:53)(cid:140)(cid:141)(cid:138)(cid:139)
2
′ ′ ′
(cid:82)(cid:81)𝐶𝐷(cid:24)(cid:25)(cid:129)(cid:81)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:142)(cid:61)(cid:71)(cid:72)(cid:63) ∠𝐶𝐷𝐵 ∠𝐶𝐵 𝐷 90°− ∠𝐷𝐶𝐵
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10) (cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
= (cid:53) ∵ = 𝐴𝐵𝐶=𝐷50°(cid:53)
∴𝐶𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 1
(cid:97)(cid:27)(cid:124)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:61) = = (cid:53) = (cid:53)
2
′ ′
= (cid:53) ∠𝐵 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵
′
∴𝐶𝐷 𝐶𝐵 1 1
= = ( )= (cid:53)
2 2
′ ′ ′ ′
∴∠𝐶𝐷𝐵 ∠𝐶𝐵 𝐷 180°−∠𝐷𝐶𝐵 90°− ∠𝐷𝐶𝐵
=
′ ′
∴∠𝐷𝐹𝐶 1 ∠𝐶𝐵 𝐷− 1 ∠𝐵 𝐶𝐸
=
2 2
′ ′
90°−1∠𝐷𝐶𝐵 − ∠𝐵𝐶𝐵
= ( + )
2
′ ′
90°−1 ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝐵
=
2
=
9
6
0
5
°
°
−(cid:53) ∠𝐵𝐶𝐷
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)65°(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)1-2(cid:20)(cid:51)(cid:52)①(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:143)(cid:144) (cid:53) =45°(cid:63)(cid:145)(cid:128)(cid:137)(cid:146)(cid:51)(cid:111)(cid:147)(cid:148)(cid:10)
(cid:59) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:149)(cid:36)A(cid:150)(cid:36)D(cid:151)𝐴(cid:152)𝐵𝐶(cid:53)𝐷(cid:27)∠(cid:153)𝐴(cid:69) (cid:104)(cid:59) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:149)(cid:36)C(cid:150)(cid:36)D(cid:151)(cid:152)(cid:53)(cid:27)(cid:153)(cid:69) (cid:43)(cid:51)(cid:52)
2(cid:50)△(cid:53)𝐴(cid:57)𝐸𝐺(cid:58) (cid:53) (cid:63)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:27)(cid:153)(cid:25)(cid:119)(cid:68)(cid:66)(cid:120)(cid:121)𝐸𝐺(cid:36)O(cid:63)△𝐶𝐹𝐻 𝐹𝐻
𝐷𝐺 𝐷𝐻
(1)(cid:157)(cid:54)(cid:52)②(cid:28)(cid:158)(cid:52)(cid:24)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:53)(cid:118)(cid:142) (cid:25)(cid:79)(cid:122)(cid:104)
(2)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:163)(cid:164)(cid:157)(cid:165)(cid:166)(cid:87)(cid:97)∠(cid:63)𝐸𝑂𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(𝐷1𝐺)(cid:167)𝑂𝐻(cid:52)(cid:168)(cid:91)(cid:74)(cid:53) =45°
(2)(cid:93)(cid:53)(cid:87)(cid:97)(cid:168)(cid:91)(cid:74) ∠𝐸𝑂𝐹
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:26)(cid:27)(cid:106)(cid:170)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:172)(cid:88)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:139)(cid:27)(cid:124)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:75)
(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)1
(cid:43)1(cid:50)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:61) = (cid:53) = =45°(cid:53) =135°(cid:53)(cid:97)(cid:27)(cid:124)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:61) = = (cid:53)
2
𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐷
1
(cid:53) = =45°(cid:53) = = (cid:53) (cid:53) = =45°(cid:53)(cid:97)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:126)(cid:81)(cid:96)(cid:37)(cid:87)(cid:98)
2
𝐺(cid:142)𝐸(cid:91)⊥(cid:104)𝐴𝐷 ∠𝐴 ∠𝐺𝐷𝐴 𝐷𝐹 𝐹𝐶 𝐶𝐷 𝐻𝐹⊥𝐶𝐷 ∠𝐶 ∠𝐶𝐷𝐻
(cid:43)2(cid:50)(cid:97)(cid:21)(cid:176)(cid:98)(cid:177) (cid:53)(cid:98)(cid:177)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:178)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:97)“ASA”(cid:98)(cid:177) (cid:53)(cid:98)(cid:61)
= (cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:177)𝐺(cid:40)𝐸∥(cid:41)𝐷𝐻(cid:24),𝐺𝐷∥𝐻𝐹(cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:63) 𝐷𝐺𝑂𝐻 △𝐷𝐸𝐺≌△𝐷𝐹𝐻
𝐷(cid:15)𝐺(cid:103)(cid:91)𝐷(cid:20)𝐻(cid:43)1(cid:50)(cid:91)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:53)𝐷(cid:119)𝐺𝑂(cid:68)𝐻 (cid:53) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)
𝐸𝐺 𝐹𝐻 𝑂
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =45°(cid:53)
∵ = 𝐴𝐵(cid:53)𝐶𝐷 = =∠4𝐴5°(cid:53) =135°(cid:53)
∴𝐴(cid:59)𝐷 𝐶𝐷(cid:26)∠(cid:27)𝐴(cid:53)(cid:149)∠(cid:61)𝐶 (cid:36) (cid:150)(cid:36)∠𝐴(cid:151)𝐷(cid:152)𝐶 (cid:53)(cid:27)(cid:153)(cid:69) (cid:104)(cid:59) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:149)(cid:61)(cid:36) (cid:150)(cid:36) (cid:151)(cid:152)(cid:53)(cid:27)(cid:153)(cid:69) (cid:53)
∵ △𝐴𝐸𝐺 1 𝐴 𝐷 𝐸𝐺 △𝐶𝐹𝐻 1 𝐶 𝐷 𝐹𝐻
= = (cid:53) (cid:53) = =45°(cid:53) = = (cid:53) (cid:53) = =45°(cid:53)
2 2
∴𝐴𝐸 𝐷+𝐸 𝐴𝐷+ 𝐺𝐸⊥𝐴+𝐷 ∠𝐴 =∠36𝐺0𝐷°𝐴(cid:53) 𝐷𝐹 𝐹𝐶 𝐶𝐷 𝐻𝐹⊥𝐶𝐷 ∠𝐶 ∠𝐶𝐷𝐻
∵∠𝐸𝑂𝐹=∠𝑂𝐸𝐷 ∠𝑂𝐹𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶=45°(cid:104)
(cid:43)∴2∠(cid:50)𝐸𝑂(cid:177)𝐹(cid:166)(cid:10)360°−90°−=9103°−5°1(cid:53)35° = =45°(cid:53)
= ∵∠𝐴𝐷=𝐶90°(cid:53)(cid:179) ∠𝐴𝐷𝐺(cid:53)∠𝐶𝐷𝐻 (cid:53)
∴∠𝐺𝐷𝐶 ∠𝐴𝐷𝐻(cid:53) 𝐺𝐸⊥𝐴𝐷 𝐻𝐹⊥𝐶𝐷
∴𝐺(cid:40)𝐸(cid:41)∥𝐷(cid:24)𝐻,𝐺𝐷∥𝐻(cid:93)𝐹(cid:178)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)
∴ 𝐷𝐺𝑂𝐻1 1
= = (cid:53) = = (cid:53) = (cid:53)
2 2
∵𝐴𝐸 =𝐷𝐸(cid:53)(cid:179)𝐴𝐷 𝐷𝐹= 𝐹𝐶 =𝐶4𝐷5°(cid:53)𝐴𝐷 𝐶𝐷= =90°(cid:53)
∴𝐷𝐸 𝐷𝐹 ∠𝐴(𝐷AS𝐺A)(cid:53)∠𝐶𝐷𝐻 ∠𝐷𝐸𝐺 ∠𝐷𝐹𝐻
∴△𝐷𝐸=𝐺≌△(cid:53)𝐷𝐹𝐻
∴𝐷(cid:40)𝐺(cid:41)(cid:24)𝐷𝐻 (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:63)
(cid:15)∴(cid:106)(cid:107)1-𝐷3(cid:20)𝐺𝑂(cid:43)𝐻2025·(cid:180)(cid:181)(cid:68)(cid:182)·(cid:49)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:41)(cid:68)(cid:69)4(cid:25)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) (cid:93) (cid:55)(cid:25)(cid:117)(cid:36)(cid:53)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷 𝐸 𝐶𝐷(cid:158) (cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62) (cid:53) (cid:120) (cid:121)(cid:36) (cid:63)(cid:64) = (cid:53)(cid:65) (cid:25)(cid:30)(cid:69) (cid:63)
𝐶𝑃
△𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐸 △𝐴𝐹𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝑃 𝐷𝐸 3𝐶𝐸 𝑃𝐵
2
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)
5
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:186)(cid:36)P(cid:148) (cid:53)(cid:120) (cid:25)(cid:119)(cid:68)(cid:66)(cid:121)(cid:36)H(cid:53)(cid:154) = (cid:53)(cid:65) = = (cid:53) =
2 2
= 3
(cid:53)(cid:91)(cid:71)𝐴(cid:101)𝐶(cid:98),𝐶𝐹(cid:63) 𝑃𝐻⊥𝐷𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐻 𝑥 𝑃𝐶 𝑃𝐹 2𝑥 𝑃𝐻 𝑃𝐶 −𝐶𝐻
(cid:15)(cid:103)(cid:91)𝑥(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:186)(cid:36)P(cid:148) (cid:53)(cid:120) (cid:25)(cid:119)(cid:68)(cid:66)(cid:121)(cid:36)H(cid:53)
(cid:41)(cid:68)(cid:69)4(cid:25)(cid:23)(cid:24) 𝐴𝐶,𝐶𝐹(cid:53) 𝑃𝐻⊥𝐷𝐶 𝐶𝐷
∵ = = =𝐴𝐵𝐶𝐷=4(cid:53) (cid:53)
∴𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐶𝐷 𝐷(cid:53)𝐴 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴∠𝐷=∠60𝐵°(cid:53)∠𝑃𝐶𝐻
∵∠𝐷= = =60°(cid:53)
∴∠𝐵 ∠(cid:93)𝑃𝐶(cid:88)𝐻(cid:41)(cid:82)∠𝐷(cid:81)(cid:24)(cid:53) = = =60°(cid:53) =30°(cid:53)
∴△𝐴=𝐷𝐶 (cid:53) ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷 ∠𝐶𝑃𝐻
∴𝐴𝐶 𝐴𝐷(cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62) (cid:53)
∵△𝐴=𝐷𝐸 (cid:53)𝐴𝐸 = △=𝐴6𝐹0𝐸°(cid:53) = (cid:53)
∴𝐴𝐹=𝐴𝐷(cid:53)∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷 (cid:53) 𝐷𝐸 𝐹𝐸
∴𝐴𝐹 𝐴=𝐶 ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝐴𝐹𝐶= (cid:53)
∴∠𝐴𝐶𝐹−=∠𝐴𝐶𝐵 (cid:53)∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐴𝐹𝐸
∴∠𝑃𝐶=𝐹 (cid:53)∠𝑃𝐹𝐶
∴𝑃𝐶 𝑃𝐹
(cid:154) = (cid:53)(cid:65) = = (cid:53) = = 3 (cid:53)
2 2
𝐶𝐻= 𝑥 (cid:53)𝑃𝐶=4𝑃(cid:53)𝐹 2𝑥 𝑃𝐻 𝑃𝐶 −𝐶𝐻 𝑥
∵𝐷𝐸=3𝐶𝐸 =𝐷1𝐶(cid:53)
∴𝐷𝐸= 3,𝐶𝐸 (cid:53) =1+ (cid:53)
∴𝑃𝐸 3−2𝑥 𝐸𝐻 𝑥( ) =(1+ ) +( 3 )
2
2 2
∴ 3−2𝑥 4 𝑥 𝑥
(cid:91)(cid:61) = (cid:53)
7
𝑥 8
= = = (cid:53)
7
∴𝑃𝐶 𝑃𝐹 2𝑥 20
= = (cid:53)
7
∴𝑃𝐵 8𝐵𝐶−7𝑃𝐶2
= × = (cid:53)
7 20 5
𝐶𝑃
∴𝑃𝐵 2
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10) (cid:63)
5
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:88)(cid:125)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:27)(cid:124)
(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:130)(cid:131)(cid:94)(cid:95)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
【题型2 菱形中的最值】
(cid:15)(cid:42)2(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53)(cid:36)P(cid:54) (cid:55)(cid:53)(cid:36)E(cid:69) (cid:28)(cid:36)(cid:53)(cid:179) + =2(cid:53)(cid:65)(cid:41) (cid:25)
(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:88)(cid:121)(cid:43) (cid:50) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐸 𝐴𝐵
4 3
A(cid:63)2 B(cid:63) C(cid:63) 3 D(cid:63)2 3
3
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)B
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:188)(cid:133)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:53) (cid:97)(cid:189)(cid:89)(cid:156)(cid:190)(cid:98)(cid:191)(cid:61)(cid:192) + = + =2 (cid:43)(cid:193)P(cid:93) (cid:150) (cid:25)(cid:120)(cid:36)
𝐴𝑃 𝐴𝐸 𝐴𝐶 3𝑃𝐸 𝑃3𝐶 𝑃𝐸 𝑃𝐴 ≥𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐵
(cid:194)(cid:195)(cid:88)(cid:9)(cid:50)(cid:53)(cid:136)(cid:138)(cid:139)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:61)(cid:192) = = (cid:53)(cid:137)(cid:99)(cid:142)(cid:192) (cid:68)(cid:25)(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:63)
2 2
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:53) 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝑃 𝐴𝐸 𝐴𝐶(cid:134)(cid:135)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
= (cid:53)𝐴𝐵𝐶𝐷= (cid:53)
∴𝐴𝐷+ 𝐶𝐷=𝐴𝑃+ 𝐶𝑃=2 (cid:53)
∴𝑃𝐸 𝑃=𝐶60𝑃°(cid:53)𝐸 𝑃𝐴 ≥𝐴𝐸
∵∠𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:53) = (cid:53)
∴∠𝐴𝐷𝐸 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)𝐴𝐷(cid:81)(cid:24)𝐶(cid:53)𝐷
∴△𝐴=𝐷𝐶 (cid:53)
∵𝐷𝐸 𝐶=𝐸90°(cid:53) =30°(cid:53)
∴(cid:154)∠𝐴𝐸𝐷= (cid:53)(cid:65) ∠𝐷=𝐴𝐸 (cid:53)
𝐷𝐸 𝑥 𝐴𝐷 2𝑥
(cid:97)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:61)(cid:10) = = 3 (cid:53)
2 2
𝐴𝐸 𝐴𝐷 −𝐷𝐸 𝑥
3 3
= = 2(cid:53)
2 2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐵≤
4 3
(cid:196)(cid:191) (cid:53)
3
𝐴𝐵≤ 4 3
(cid:101) (cid:68)(cid:25)(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:93) (cid:53)
3
(cid:100)𝐴(cid:105)𝐵(cid:10)B(cid:63)
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:197)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:191)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:56)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:61)(cid:192) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
3 △𝐴𝐷𝐶
= (cid:93)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
2
𝐴(cid:15)𝐸(cid:106)(cid:107)2𝐴-1𝐷(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:201)(cid:202)(cid:68)(cid:203)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:15)(cid:78)(cid:21)(cid:204)(cid:22)(cid:20)(cid:51)(cid:52)①(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =2
(cid:63)(cid:36)E(cid:93)(cid:41) (cid:55)(cid:117)(cid:36)(cid:53)(cid:36)F(cid:93)(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:55)(cid:117)(cid:36)(cid:53) = (cid:53)(cid:205)(cid:206)(cid:207) + (cid:25)𝐴(cid:29)𝐵𝐶(cid:208)𝐷(cid:30)(cid:63)∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:78)(cid:21)(cid:206)(cid:207)(cid:20)(cid:51)(cid:52)②(cid:53)(cid:208)(cid:166)(cid:188)(cid:133)(cid:186)(cid:36)C(cid:148)(cid:53)(cid:149) (cid:53) = =2(cid:53)(cid:138)(cid:139)(cid:178)(cid:146)(cid:66)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:61)(cid:62)
= = (cid:53)(cid:137)(cid:99)(cid:98)(cid:138)(cid:139) 𝐶𝑀∥𝐵𝐷(cid:53)(cid:158)𝐶𝑀 +𝐴𝐷 (cid:209)(cid:210)(cid:69) + (cid:53)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:158)(cid:78)(cid:21)(cid:209)(cid:210)(cid:69)
∠𝑀𝐶𝐵 ∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐴𝐷𝐹 △𝐴𝐷𝐹≌△𝑀𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝑀𝐸(cid:214)(cid:215)(cid:36)E(cid:216)(cid:217)(cid:25)(cid:78)(cid:21)(cid:63)
(cid:191)(cid:111)(cid:93)(cid:208)(cid:166)(cid:177)(cid:166) = (cid:25)(cid:218)(cid:73)(cid:186)(cid:219)(cid:10)
(cid:177)(cid:166)(cid:10)(cid:186)(cid:36)C(cid:148)𝐴C𝐹M(cid:53)𝑀(cid:149)𝐸 (cid:53) = =2(cid:53)(cid:57)(cid:220) (cid:63)
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) 𝐶𝑀∥𝐵𝐷 𝐶𝑀 𝐴𝐷 𝑀𝐸
∵ 𝐴𝐵 𝐶𝐷 = (cid:63)
(cid:177)∴(cid:166)𝐴𝐷(cid:186)∥(cid:219)𝐵𝐶(cid:221), (cid:222)∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶(cid:63)𝐵𝐷
(cid:157)(cid:223)(cid:159)(cid:172)(cid:221)(cid:222)(cid:25)∴(cid:177)𝐴𝐹(cid:166)(cid:186)𝑀(cid:219)𝐸(cid:63)
(cid:15)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:20)(cid:220)(cid:152)(cid:55)(cid:224)(cid:206)(cid:207)(cid:186)(cid:219)(cid:53)(cid:139)(cid:225)(cid:226)(cid:79)(cid:25)(cid:80)(cid:227)(cid:53)(cid:54)(cid:52)③(cid:28)(cid:148)(cid:192)(cid:15)(cid:78)(cid:21)(cid:204)(cid:22)(cid:20)(cid:28)(cid:25)(cid:36)E(cid:25)(cid:216)(cid:217)(cid:53)(cid:149) +
(cid:25)(cid:30)(cid:29)(cid:208)(cid:53)(cid:197)(cid:194) + (cid:25)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:93)___________(cid:63)(cid:43)(cid:228)(cid:229)(cid:148)(cid:52)(cid:153)(cid:230)(cid:50) 𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:15)(cid:78)(cid:21)𝐴(cid:206)𝐸(cid:207)(cid:20)𝐴(cid:168)𝐹 (cid:91)(cid:74)(cid:53)(cid:15)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:20)(cid:52)(cid:168)(cid:91)(cid:74)(cid:53)(cid:29)(cid:208)(cid:30)2 2
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:78)(cid:21)(cid:206)(cid:207) (cid:97)(cid:21)(cid:176)(cid:159)(cid:172)(cid:177)(cid:166)(cid:186)(cid:219)(cid:101)(cid:98)(cid:104)
(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21) (cid:57)(cid:58) (cid:53)∶ (cid:53) (cid:120)BD(cid:121)(cid:36)O(cid:53)(cid:97)(cid:148)(cid:52)(cid:89) (cid:101)(cid:69) + (cid:25)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:63)(cid:97)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:98)(cid:61)(cid:192)(cid:71)(cid:72)(cid:63)
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:78)∶ (cid:21)(cid:206)𝐴𝑀(cid:207): 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:177)(cid:166)(cid:186)(cid:219)(cid:159)(cid:172)(cid:51)(cid:111)(cid:10) (cid:53)
= (cid:53) ∵𝐶𝑀∥𝐵𝐷
∴∠𝑀𝐶𝐸=∠𝐶𝐵𝐷(cid:53)
∴∠𝑀𝐶=𝐸 ∠(cid:53)𝐴𝐷𝐹= (cid:53)
∵𝐶𝑀 𝐴𝐷 𝐶𝐸 (SA𝐷S𝐹)
∴(cid:91)△(cid:200)𝐴(cid:78)𝐷𝐹(cid:21)≌:△𝑀𝐶𝐸
(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:53) (cid:120) (cid:121)(cid:36)O(cid:53)(cid:97)(cid:148)(cid:52)(cid:89) (cid:101)(cid:69) + (cid:25)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:63)
𝐴𝑀 =𝐴6𝐶0°(cid:53)𝐴𝐶 𝐵=𝐷2(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)𝐴𝑀(cid:24)(cid:53) 𝐴𝐸 𝐴𝐹
∵∠𝐴𝐵𝐶(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)𝐴(cid:81)𝐷(cid:24)(cid:53) (cid:53)𝐴𝐵𝐶𝐷
∴△𝐴𝐶=𝐷 =2(cid:53) 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
∴𝐴𝐶 𝐴𝐷(cid:53)
∵𝐶𝑀∥𝐵𝐷(cid:53)
∴𝐶𝑀⊥=𝐴2𝐶(cid:53)
∵𝐶𝑀
= + =2 2(cid:63)
2 2
∴(cid:100)𝐴(cid:71)𝑀(cid:72)(cid:69)(cid:10)𝐴𝐶
2 2(cid:63)
𝐶𝑀
(cid:148)(cid:52)(cid:51)(cid:111)(cid:10)(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:130)(cid:131)
(cid:94)(cid:95)(cid:191)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)2-2(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:93)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:53)(cid:36) (cid:96)(cid:36) (cid:73)(cid:235)(cid:93) (cid:96)
(cid:55)(cid:25)(cid:36)(cid:53) =120°(cid:63) 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐶 𝐶𝐷
∠𝐴𝐵𝐶
(cid:43)1(cid:50)(cid:64) =20°(cid:53)(cid:65) (cid:25)(cid:79)(cid:122)(cid:69) °(cid:104)
(cid:43)2(cid:50)(cid:64)∠𝐴𝐷=𝐸4(cid:53) = ∠(cid:53)𝐶𝐸(cid:65)𝐷 + (cid:25)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:69) (cid:63)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)𝐴 𝐵 50 𝐴 𝐸 4𝐶𝐹2 𝐷𝐸 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:88)(cid:125)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:193)(cid:239)(cid:240)(cid:66)(cid:241)
(cid:242)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:43)1(cid:50)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:61) =60°(cid:53) = =30°(cid:53)(cid:97)(cid:129)(cid:81)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:142)(cid:91)(cid:104)
(cid:43)2(cid:50)(cid:97)“SAS”(cid:98)(cid:177) ∠𝐵𝐴𝐷 (cid:53)(cid:98)∠(cid:61)𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵(cid:53)𝐴(cid:65)𝐶 + = + (cid:53)(cid:101)(cid:193)(cid:36) (cid:53)(cid:36) (cid:53)(cid:36) (cid:82)(cid:36)(cid:243)(cid:66)
(cid:194)(cid:53) + (cid:56)(cid:29)(cid:208)△(cid:30)𝐴(cid:69)𝐸𝐺≌△(cid:25)(cid:68)𝐶𝐹(cid:53)𝐵(cid:97)(cid:88)(cid:125)𝐸(cid:80)𝐺(cid:81)(cid:82)𝐵(cid:81)𝐹 (cid:24)(cid:25)𝐷(cid:83)𝐸(cid:84)(cid:98)𝐵𝐹(cid:142)(cid:91)𝐷(cid:63)𝐸 𝐸𝐺 𝐸 𝐷 𝐺
(cid:15)(cid:103)𝐷(cid:91)𝐸(cid:20)(cid:91)𝐹(cid:10)𝐵(cid:43)1(cid:50) (cid:40)(cid:41)𝐷𝐺(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =120°(cid:53)
=60°(cid:53) ∵ = 𝐴𝐵𝐶=𝐷30°(cid:53) ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷=20°(cid:53)∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
∵∠𝐴𝐷𝐸= + =50°(cid:104)
(cid:100)∴(cid:71)∠𝐶(cid:72)𝐸𝐷(cid:69)(cid:10)∠50𝐷(cid:104)𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:43)2(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:53)(cid:179) = (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:53)
𝐴 𝐴𝐺⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐸𝐺 𝐷𝐺(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =120°(cid:53)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 (cid:53) ∠𝐴=𝐵3𝐶0°(cid:53) =60°(cid:53)
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐷 𝐴𝐺 ∠=𝐷𝐴60𝐶°= ∠(cid:53)𝐵𝐶𝐷
(cid:244)∴∠𝐺𝐴𝐸= 90(cid:53)°−30° ∠𝐵𝐶𝐷
∵𝐴𝐸 𝐶𝐹 SAS)(cid:53)
∴△𝐴𝐸=𝐺≌△(cid:53)𝐶𝐹𝐵(
∴𝐸𝐺+𝐵𝐹= + (cid:53)
∴𝐷(cid:193)𝐸(cid:36) 𝐵(cid:53)𝐹(cid:36) 𝐷(cid:53)𝐸(cid:36)𝐸(cid:82)𝐺(cid:36)(cid:243)(cid:66)(cid:194)(cid:53) + (cid:56)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:69) (cid:25)(cid:68)(cid:53)
∴ 𝐸 (cid:53)𝐷 =𝐺 =4(cid:53) 𝐷𝐸 𝐹𝐵 𝐷𝐺
∵𝐴D𝐺G⊥=𝐴4𝐷2(cid:53)𝐴𝐷 𝐴𝐺
(cid:100)∴(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)4 2(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)2-3(cid:20)(cid:43)24-25(cid:245)(cid:109)(cid:110)(cid:55)·(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:148)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)4(cid:53) =60°(cid:53)(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:150)
(cid:132)(cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:36) (cid:69)(cid:66)(cid:67) (cid:55)(cid:117)(cid:35)(cid:36)(cid:43)(cid:249)(cid:150)(cid:36) (cid:151)(cid:152)(cid:50)(cid:63)(cid:57)(cid:58)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:53)(cid:158)(cid:66)(cid:67) (cid:250)∠(cid:36)𝐴𝐵(cid:251)𝐶(cid:194)(cid:252)(cid:253)(cid:209)60°(cid:61)(cid:62)𝐴𝐶 (cid:53)𝐵𝐷
(cid:65)(cid:66)(cid:67) 𝑂(cid:25)(cid:29)(cid:208)𝐸(cid:30)(cid:69) 𝐵 𝐷(cid:53)(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:69) (cid:63)𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐴 𝐴𝐹
𝑂𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20) 1 2 7
1
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:89) = (cid:53) = = =30°(cid:53) = (cid:53)(cid:65)(cid:98)(cid:177)(cid:166)
2
(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)𝐶(cid:53)𝐹(cid:65) = (cid:53) = 𝐴 6 𝐵 0°(cid:53)𝐵(cid:177)𝐶(cid:166)∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 (SA∠S𝐴)𝐵(cid:53)𝐶(cid:100)(cid:56) 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 =30°(cid:53)(cid:36)△(cid:54)𝐴𝐵𝐶
(cid:88)(cid:41) (cid:28) 𝐴𝐵(cid:178)(cid:73)𝐴(cid:66)𝐶(cid:55)(cid:175)∠𝐵(cid:35)𝐴𝐶(cid:53)(cid:193) (cid:194)(cid:53)△𝐵𝐴(cid:29)𝐸≌(cid:208)△(cid:53)𝐶(cid:134)𝐴𝐹(cid:135)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)∠(cid:25)𝐴(cid:83)𝐶𝐹(cid:84)(cid:98)∠(cid:61)𝐴(cid:192)𝐵𝐸 =1(cid:53)(cid:193)𝐹(cid:150)
(cid:36) (cid:151)△(cid:152)𝐴(cid:194)𝐶𝐷(cid:53) ∠𝐴(cid:29)𝐶(cid:18)𝐷(cid:53)(cid:186) (cid:148) (cid:121)𝑂(cid:36)𝐹⊥(cid:53)𝐶𝐹(cid:154) (cid:150)𝑂𝐹 (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:97)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:142)(cid:192)𝑂𝐹 =1(cid:53)𝐸(cid:254)(cid:186)
(cid:88)𝐷(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)𝑂(cid:83)𝐹(cid:84)(cid:96)(cid:66)(cid:67)𝑂(cid:96)(cid:255)𝑂(cid:142)𝐻(cid:192)⊥𝐶𝐹=3𝐻3(cid:53)(cid:136)𝐶(cid:97)𝐹(cid:85)𝐴(cid:86)𝐷(cid:37)(cid:87)(cid:101)(cid:98)𝐺(cid:142)(cid:91)(cid:63)𝐹𝐷 𝑂𝐻
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53) 𝐹𝐻
𝐶𝐹(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 1
= (cid:53) = = =30°(cid:53) = (cid:53)
2
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶60∠°(cid:53)𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐶
∵∠𝐴𝐵𝐶 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴△𝐴=𝐵𝐶 (cid:53) =60°(cid:53)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠1𝐵𝐴𝐶
= = =2(cid:53)
2
(cid:256)∴𝑂(cid:87)𝐴(cid:98)(cid:177)𝑂𝐶(cid:10) 𝐴𝐶 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
(cid:97)(cid:253)(cid:209)(cid:83)(cid:84)(cid:98)△(cid:89)𝐴𝐶(cid:10)𝐷 =60°(cid:53) = (cid:53)
+ =∠𝐸𝐴𝐹 + 𝐴=𝐸60°𝐴(cid:53)𝐹
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶(cid:53)∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹 (SAS)(cid:53)
∴△𝐵𝐴𝐸=≌△𝐶𝐴𝐹=30°(cid:53)
∴(cid:36)∠𝐴𝐶(cid:54)𝐹(cid:88)(cid:41)∠𝐴𝐵𝐸 (cid:28) (cid:178)(cid:73)(cid:66)(cid:55)(cid:175)(cid:35)(cid:53)
∴(cid:193)𝐹 (cid:194)△(cid:53)𝐴𝐶𝐷(cid:29)∠(cid:208)𝐴(cid:53)𝐶𝐷(cid:51)(cid:52)(cid:53)
∴ 𝑂𝐹⊥𝐶𝐹 𝑂𝐹
=30°(cid:53)
∵∠𝑂𝐶𝐹1 1
= = ×2=1(cid:53)
2 2
∴(cid:193)𝑂𝐹(cid:150)(cid:36)𝑂𝐶(cid:151)(cid:152)(cid:194)(cid:53) (cid:29)(cid:18)(cid:53)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:186) (cid:148) (cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:154) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)
𝐸 𝐷 𝑂𝐹 𝑂 𝑂𝐻⊥𝐶𝐹 𝐻 𝐶𝐹 𝐴𝐷 𝐺 𝐹𝐷(cid:97)(cid:55)(cid:98)(cid:89) =1(cid:53)
𝑂𝐻
= = 2 1 = 3(cid:53)
2 2 2 2
∴𝐶𝐻 𝑂𝐶 −𝑂𝐻 − 1
(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53) = =30°(cid:53)
2
∵△𝐴𝐶𝐷 (cid:53) ∠𝐴𝐶𝐺 ∠𝐴𝐶𝐷
∴𝐶𝐺⊥𝐴𝐷 1
= = =2(cid:53) = =90°(cid:53)
2
∴𝐴𝐺 𝐺𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐺𝐶 ∠𝐷𝐺𝐶
= = 4 2 =2 3(cid:53)
2 2 2 2
∴𝐶𝐺 = 𝐴𝐶 −𝐴=𝐺 3(cid:53) −
∴(cid:40)𝐺𝐻(cid:41)(cid:24)𝐶𝐺−𝐶𝐻(cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
∵ 𝐴(cid:53)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶= =60°(cid:53)
∴∠𝐹𝐴𝐷=3∠0𝐴°𝐵(cid:53)𝐶
∴∠𝐴𝐹=𝐺 =4(cid:53)
∴𝐴𝐹 2𝐴𝐺
= = 4 2 =2 3(cid:53)
2 2 2 2
∴𝐺𝐹 = 𝐴𝐹+−𝐴𝐺=2 3+−3=3 3(cid:53)
∴𝐹𝐻 𝐺𝐹 𝐺𝐻
= + = (3 3) +1 =2 7(cid:53)
2
2 2 2
∴(cid:257)𝑂(cid:55)𝐹(cid:98)(cid:89)𝐹(cid:10)𝐻 (cid:25)𝑂(cid:29)𝐻(cid:208)(cid:30)(cid:69)1(cid:53)(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:69)2 7(cid:53)
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)𝑂1(cid:53)𝐹2 7(cid:63)
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)
(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:253)(cid:209)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:94)(cid:95)(cid:89)(cid:90)(cid:36)(cid:25)(cid:258)(cid:139)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
【题型3 含60°的菱形】
(cid:15)(cid:42)3(cid:20)(cid:43)24-25(cid:245)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:263)(cid:11)(cid:76)(cid:205)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =6(cid:53) (cid:93)(cid:117)(cid:156)
(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:53) (cid:93) (cid:55)(cid:117)(cid:36)(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:53)(cid:38)(cid:264)(cid:69) (cid:53)(cid:57)(cid:58) 𝐴(cid:63)𝐵(cid:64)𝐶𝐷 =∠𝐴𝐵(cid:53)𝐶(cid:65) (cid:25)(cid:68)𝐴(cid:69)𝐵(cid:43) (cid:50)𝐴𝐶
𝐸 𝐴𝐶 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸
A(cid:63) 26 B(cid:63)3 3 C(cid:63)2 7 D(cid:63) 29(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)C
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:94)(cid:95)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:152)(cid:87)(cid:148)
(cid:52)(cid:93)(cid:3)(cid:92)(cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:61)(cid:62) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)(cid:51)(cid:52)(cid:196)(cid:265)(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148)
△𝐴𝐵𝐶1 △𝐴𝐶𝐷 𝐷 𝐷𝐺⊥𝐴𝐶
(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:97)(cid:197)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:61)(cid:62) = = =3(cid:53) = = 6 3 =3 3(cid:53)(cid:154) = = (cid:53)(cid:65)
2
2 2 2 2
=𝐺 = (cid:53) =𝐴𝐺 =𝐶𝐺2(cid:53) 𝐴𝐶= 𝐷𝐺= 𝐴𝐷=−4𝐴(cid:53)𝐺 =1(cid:53)−(cid:136)(cid:175)(cid:139)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)𝐶(cid:101)𝐸(cid:98)(cid:142)𝐴𝐹(cid:91)(cid:63)𝑥
𝐴(cid:15)𝐸(cid:103)(cid:91)𝐴(cid:20)𝐶−(cid:91)𝐶(cid:10)𝐸 (cid:40)6(cid:41)−𝑥(cid:24) 𝐴𝐹 (cid:93)𝐶𝐸(cid:23)(cid:24)(cid:53) 𝐴𝐸 𝐴𝐶−𝐶𝐸 6−2 𝐺𝐸
= = ∵ = 𝐴=𝐵𝐶6𝐷(cid:53) (cid:53)
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶60°𝐶(cid:53)𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∵∠𝐴𝐵𝐶 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴△𝐴𝐵𝐶=60°(cid:53) = =6(cid:53)
∴∠𝐵𝐴𝐶 = 𝐴=𝐶60°𝐴(cid:53)𝐵
∴∠𝐷𝐶𝐸 (cid:93)∠(cid:88)𝐹𝐴(cid:41)𝐸(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴(cid:51)△(cid:52)𝐴(cid:196)𝐶(cid:265)𝐷(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:121)(cid:36) (cid:53)
𝐷 𝐷𝐺⊥𝐴𝐶 𝐺
1
= = =3(cid:53) = = 6 3 =3 3(cid:53)
2
2 2 2 2
∴𝐴𝐺 𝐶𝐺(cid:53) 𝐴𝐶 𝐷𝐺 𝐴𝐷 −𝐴𝐺 −
∵𝐸𝐹⊥𝐴=𝐵30°(cid:53)
∴∠𝐴𝐸𝐹1
= (cid:53)
2
∴(cid:154)𝐴𝐹 = 𝐴𝐸= (cid:53)(cid:65) = = (cid:53)
𝐶𝐸1 𝐴𝐹 𝑥 𝐴𝐸 𝐴𝐶−𝐶𝐸 6−𝑥
= ( )(cid:53)
2
∴(cid:91)𝑥(cid:61)(cid:53) 6− = 𝑥 2(cid:53)
=𝑥 =2(cid:53) = = =4(cid:53)
∴𝐴𝐹 =𝐶𝐸 =𝐴𝐸 𝐴=𝐶1−(cid:53)𝐶𝐸 6−2
∴𝐺𝐸 𝐴𝐸−𝐴𝐺 4−3
= + = (3 3) +1 =2 7(cid:53)
2
2 2 2
∴𝐷𝐸 𝐷𝐺 𝐺𝐸(cid:100)(cid:105)(cid:10)C (cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)3-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:40)(cid:266)(cid:267)(cid:268)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60 (cid:53) (cid:53) (cid:53)
∘
(cid:38)(cid:264)(cid:73)(cid:235)(cid:69)B(cid:53)D(cid:53)(cid:64) =2 3cm(cid:53)(cid:65) = cm(cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐶𝐷
𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)2 3
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:63)
(cid:134)(cid:135)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:177)(cid:166) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53) (ASA)(cid:53)(cid:61) = (cid:53)(cid:138)(cid:139)(cid:31)30(cid:79)(cid:81)(cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:82)
(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:101)(cid:98)(cid:91)(cid:200)(cid:78)△(cid:21)𝐴𝐵(cid:63)𝐷 △𝐶𝐷𝐹≌△𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:120) (cid:121)O(cid:53)(cid:65) = (cid:53) = (cid:53)
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝐵𝑂 𝑂𝐷
(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:89) = = = (cid:53) = = = (cid:53) (cid:53)
=60 (cid:53)𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐶𝐴 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
∘
∵∠𝐷𝐴𝐵(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53) = = = =30 (cid:53)
∘
∴△𝐴𝐵=𝐷2 3cm(cid:53) ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐶𝐴 ∠𝐵𝐶𝐴
∵𝐵𝐸=4 3cm(cid:53)
(cid:97)∴𝐴(cid:85)𝐸(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:98)(cid:89) =6cm
= =6c𝐴m𝐵(cid:53)
∴𝐵𝐷=3𝐴c𝐵m(cid:53)
∴𝐵𝑂= 3 =3 3cm(cid:53)
∴𝐴𝑂= 𝐵𝑂=6 3cm(cid:53)
∴𝐴𝐶 2𝐴(cid:53)𝑂 (cid:53)
∵𝐵𝐸⊥𝐴=𝐵 𝐷𝐹⊥=𝐶𝐷90 (cid:53)
∘
∴∠𝐶=𝐷𝐹 (cid:53)∠𝐴𝐵𝐸 = (cid:53)
∵𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐶(ASA∠)𝐵(cid:53)𝐶𝐴
∴△𝐶𝐷𝐹≌△𝐴𝐵𝐸= (cid:53)
∴𝐴𝐸 𝐶=𝐹30 (cid:53)
∘
∵∠𝐵𝐴=𝐸 = =4 3cm(cid:53)
∴𝐶𝐹 =𝐴𝐸+ 2𝐵𝐸 =4 3+4 3 3=2 3(cm)(cid:53)
(cid:100)∴(cid:71)𝐸𝐹(cid:72)(cid:69)𝐴(cid:10)𝐸2 𝐶3𝐹(cid:63)−𝐴𝐶 −6
(cid:15)(cid:106)(cid:107)3-2(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:246)(cid:16)(cid:269)(cid:45)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =2(cid:53)E(cid:93)(cid:41) (cid:55)(cid:117)
(cid:36)(cid:43)(cid:249)(cid:150)(cid:36)A(cid:53)B(cid:151)(cid:152)(cid:50)(cid:53)(cid:148) (cid:120) (cid:121)(cid:36)F(cid:53)(cid:179) =6𝐴0𝐵°(cid:53)𝐶𝐷(cid:57)(cid:58) ∠𝐴(cid:63)(cid:3)(cid:121)(cid:220)(cid:270)𝐴𝐵Ⅰ(cid:123)Ⅱ(cid:53)(cid:111)(cid:271)(cid:171)𝐴𝐵(cid:272)(cid:273)
(cid:274)(cid:25)(cid:93)(cid:43) (cid:50) ∠𝐸𝐷𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐸𝐹
(cid:220)(cid:270)Ⅰ(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:104)
(cid:220)(cid:270)Ⅱ(cid:10) 𝐵𝐷(cid:25)(cid:275)△(cid:68)𝐴(cid:25)𝐵𝐷(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:93)3
A(cid:63)(cid:276)(cid:56)△(cid:220)𝐷𝐸(cid:270)𝐹Ⅰ(cid:273)(cid:274) B(cid:63)(cid:276)(cid:56)(cid:220)(cid:270)Ⅱ(cid:273)(cid:274)
C(cid:63)(cid:220)(cid:270)Ⅰ(cid:123)Ⅱ(cid:268)(cid:273)(cid:274) D(cid:63)(cid:220)(cid:270)Ⅰ(cid:123)Ⅱ(cid:268)(cid:249)(cid:273)(cid:274)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)A
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:150)(cid:171)(cid:37)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:150)(cid:171)(cid:37)(cid:104)
(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:61) = (cid:53) (cid:53)(cid:65)(cid:98)(cid:177)(cid:166) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)(cid:100)(cid:220)(cid:270)Ⅰ(cid:273)(cid:274)(cid:104)(cid:97)(cid:88)(cid:41)
(cid:82)(cid:81)𝐵(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:61)(cid:62) = (cid:53)𝐴𝐵 𝐴𝐷=6𝐴0𝐷°(cid:53)∥(cid:177)𝐵𝐶(cid:166) △𝐴𝐵𝐷(ASA)(cid:53)(cid:61)(cid:62) = (cid:53)(cid:65) (cid:93)(cid:88)(cid:41)
(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)(cid:65) 𝐵(cid:25)𝐷(cid:275)(cid:68)𝐴𝐷= ∠𝐴+𝐷𝐵 + = △(cid:53)𝐷(cid:193)𝐴𝐸≌△𝐷𝐵(cid:194)𝐹(cid:53) (cid:56)(cid:29)(cid:208)(cid:30)𝐷𝐸(cid:53)(cid:101)𝐷(cid:197)𝐹(cid:194) △𝐷𝐸(cid:25)𝐹(cid:275)(cid:68)(cid:56)
△𝐷𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐹 3𝐷𝐸 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐸 △𝐷𝐸𝐹
(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:53)(cid:197)(cid:194) = = 3(cid:53)(cid:65) (cid:25)(cid:275)(cid:68)(cid:25)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:69)3 3(cid:53)(cid:100)(cid:220)(cid:270)Ⅱ(cid:277)(cid:278)(cid:63)
2 2
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)𝐷(cid:51)𝐸(cid:52)(cid:196)(cid:265)𝐴(cid:53)𝐷 (cid:57)−𝐴(cid:58)𝐸 (cid:53) △𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐷
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
∵ = 𝐴𝐵(cid:53)𝐶𝐷 (cid:53)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶=60°(cid:53)
∵∠𝐴 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)(cid:100)(cid:220)(cid:270)Ⅰ(cid:273)(cid:274)(cid:104)
∴△𝐴=𝐵𝐷 (cid:53) =60°(cid:53)
∴𝐵𝐷 𝐴=𝐷 ∠𝐴𝐷=𝐵60°(cid:53)
∴∠𝐶𝐵𝐷=6∠0𝐴°𝐷(cid:53)𝐵
∵∠𝐸𝐷𝐹 = = (cid:53)
∴(cid:244)∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹=6600°°(cid:53)−∠𝐵𝐷𝐸
∵∠𝐴 ∠𝐷𝐵𝐹 (ASA)(cid:53)
∴△𝐷=𝐴𝐸≌(cid:53)△𝐷𝐵𝐹
∴𝐷𝐸 𝐷(cid:93)𝐹(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴△𝐷=𝐸𝐹 = (cid:53)
∴𝐷𝐸 𝐷(cid:25)𝐹(cid:275)(cid:68)𝐸𝐹= + + = (cid:53)
∴(cid:193)△𝐷𝐸𝐹 (cid:194)(cid:53) 𝐷(cid:56)𝐸(cid:29)𝐷(cid:208)𝐹(cid:30)(cid:53)𝐸(cid:101)𝐹(cid:197)(cid:194)3𝐷𝐸 (cid:25)(cid:275)(cid:68)(cid:56)(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:53)
∴ 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐸 1 △𝐷𝐸𝐹
(cid:193) (cid:194)(cid:53) = =1(cid:53)
2
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵
= = 3(cid:53)
2 2
∴𝐷𝐸 (cid:25)𝐴𝐷(cid:275)(cid:68)−𝐴(cid:25)𝐸(cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:69)3 3(cid:53)(cid:100)(cid:220)(cid:270)Ⅱ(cid:277)(cid:278)(cid:53)
∴(cid:100)△(cid:105)𝐷(cid:10)𝐸A𝐹
(cid:15)(cid:106)(cid:107)3-3(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:40)(cid:266)(cid:279)(cid:234)·(cid:115)(cid:28)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =4(cid:53) (cid:93)(cid:117)(cid:156)
(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:53) (cid:93) (cid:55)(cid:117)(cid:36)(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:53)(cid:38)(cid:264)(cid:69) (cid:53)(cid:57)(cid:58) 𝐴(cid:63)𝐵𝐶(cid:64)𝐷 =∠𝐴𝐵(cid:53)𝐶(cid:65) (cid:25)(cid:68)𝐴(cid:69)𝐵 (cid:63)𝐴𝐶
𝐸 𝐴𝐶 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸
4 7 4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20) / 7
3 3
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:57)(cid:58) (cid:120) (cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:61) = =4(cid:53) (cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73) (cid:53)(cid:65) = (cid:53) =90°(cid:53)
(cid:280)(cid:69) =6𝐵0𝐷°(cid:53)(cid:196)𝐴𝐶(cid:191) 𝐿 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)𝐴(cid:65)𝐵 𝐶=𝐵 =4𝐴(cid:53)𝐶 =6𝐵0𝐷°(cid:53)(cid:196)𝐷(cid:191)𝐸 =𝐵𝐸 ∠=𝐵2𝐿(cid:53)𝐶(cid:97)
(cid:121)(cid:36)∠(cid:53)𝐴𝐵(cid:61)𝐶 = △=𝐴𝐵90𝐶°(cid:53)(cid:142)(cid:61) =30𝐴°(cid:53)𝐶 (cid:65)𝐴𝐵 = ∠=𝐵𝐴𝐶 (cid:53)(cid:97) +𝐶𝐿 =𝐴4𝐿(cid:53)(cid:142)(cid:61) 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵
𝐹 ∠4𝐴𝐹𝐸 ∠8𝐵𝐹𝐸 8 ∠𝐴𝐸1𝐹6 𝐴𝐸 2𝐴𝐹 2𝐶𝐸 2𝐶4𝐸7 𝐶𝐸
= = (cid:53) = (cid:53)(cid:65) = (cid:53) = (cid:53)(cid:142)(cid:61) = = + = (cid:53)(cid:121)(cid:93)(cid:61)(cid:62)(cid:78)(cid:21)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:63)
3 3 3 3 3
2 2 2
𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:120) (cid:121)(cid:36) (cid:53)
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐿
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =60°(cid:53) =4(cid:53)
= =4(cid:53) (cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73) (cid:53)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
∴𝐴𝐵 𝐶(cid:93)𝐵(cid:88)(cid:41)(cid:82)𝐴(cid:81)𝐶(cid:24)(cid:53) =𝐵𝐷 (cid:53) =90°(cid:53)
∴△𝐴𝐵=𝐶 =4(cid:53) =𝐷𝐸60°(cid:53)𝐵𝐸 ∠𝐵𝐿𝐶
∴𝐴𝐶 𝐴𝐵 1 ∠𝐵𝐴𝐶
= = =2(cid:53)
2
∴𝐶𝐿(cid:93) 𝐴(cid:55)𝐿(cid:117)(cid:36)𝐴(cid:53)𝐶 (cid:121)(cid:36) (cid:53) = (cid:53)
∵𝐸 𝐴𝐶= =𝐸𝐹90⊥°(cid:53)𝐴𝐵 𝐹 𝐶𝐸 𝐴𝐹
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐸 =30°(cid:53)
∴∠𝐴𝐸=𝐹 90=°−∠𝐵𝐴(cid:53)𝐶
∴𝐴𝐸+ 2𝐴𝐹= 2𝐶𝐸+ = =4(cid:53)
∵𝐴𝐸 𝐶𝐸 24𝐶𝐸 𝐶𝐸8 𝐴𝐶
= = (cid:53) = (cid:53)
3 3
∴𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸 4 8 8 4 16
= = = (cid:53) = = = (cid:53)
3 3 3 2 3 2 3
2 2 2
∴𝐵𝐹 𝐴𝐵−𝐴𝐹 4− 𝐸𝐹 𝐴𝐸 −𝐴𝐹 −
8 16 4 7
= = + = + = (cid:53)
3 2 3 3
2 2
∴𝐷𝐸 𝐵𝐸4 7 𝐵𝐹 𝐸𝐹
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10) (cid:63)
3
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:197)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:66)(cid:67)(cid:25)(cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73)(cid:66)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:28)30°(cid:81)
(cid:196)(cid:145)(cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:41)(cid:88)(cid:121)(cid:281)(cid:41)(cid:25)(cid:117)(cid:282)(cid:123)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:273)(cid:274)(cid:283)(cid:236)(cid:237)(cid:239)(cid:240)(cid:66)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
【题型4 菱形中的面积】
(cid:15)(cid:42)4(cid:20)(cid:43)2024·(cid:284)(cid:247)(cid:285)(cid:234)·(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)2(cid:53) =60 (cid:53)(cid:65)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93)2 3(cid:104)
∘
(cid:191)(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:69)(cid:41)(cid:148)(cid:286)(cid:48)(cid:287)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:149) 𝐴𝐵𝐶𝐷=60 (cid:53)(cid:65)(cid:23)(cid:24)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93)6 𝐴3𝐵(cid:104)𝐶(cid:191)𝐷(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:69)(cid:41)
∘
(cid:148)(cid:286)(cid:82)(cid:287)(cid:23)𝐴𝐶(cid:24) (cid:53)(cid:149) 𝐴𝐶𝐶1𝐷= 1 60°(cid:53)∠(cid:65)𝐷1(cid:23)𝐴𝐶(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)𝐴(cid:93)𝐶𝐶118𝐷1 3(cid:104)…(cid:63)(cid:288)(cid:197)(cid:289)(cid:290)(cid:196)(cid:148)(cid:25)(cid:286)𝐴𝐶(cid:287) 1 (cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93) 𝐴𝐶(cid:63)1𝐶2𝐷2 ∠𝐷2𝐴𝐶1 𝐴𝐶1𝐶2𝐷2 𝑛(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)2 3×3
𝑛−1
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:191)(cid:127)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:87)(cid:25)(cid:258)(cid:139)(cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:289)(cid:290)(cid:61)(cid:192)(cid:286)n(cid:287)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:93)(cid:91)(cid:200)(cid:75)(cid:21)(cid:25)(cid:3)
(cid:92)(cid:63)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:120) (cid:150)(cid:36)O(cid:53)(cid:97)(cid:21)(cid:176)(cid:98)(cid:89) (cid:69)(cid:41)(cid:68)(cid:69)1(cid:25)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)(cid:98)(cid:142)(cid:192) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:61)
(cid:192)(cid:23)(cid:24) 𝐵𝐷(cid:25)(cid:33)𝐴(cid:34)𝐶(cid:104)(cid:134)(cid:135)(cid:189)(cid:89)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)△(cid:98)𝐴𝐵(cid:73)𝐷(cid:235)(cid:142)(cid:61) (cid:53) (cid:53) (cid:25)(cid:68)(cid:53)(cid:102)(cid:99)(cid:98)△(cid:294)𝐴(cid:295)𝐵(cid:289)𝐷(cid:290)(cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:289)(cid:290)(cid:101)
(cid:98)(cid:61)(cid:192)(cid:286)𝐴𝐵n𝐶𝐷(cid:287)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:53)(cid:137)(cid:99)(cid:98)(cid:61)(cid:192)(cid:286)n(cid:287)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)𝐴(cid:34)𝐶(cid:63)𝐴𝐶1 𝐴𝐶2
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:120) (cid:150)(cid:36)O(cid:53)
𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:53)(cid:179) =60 (cid:53)
∘
∵ 𝐴(cid:69)𝐵(cid:88)𝐶𝐷(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53) ∠𝐷𝐴𝐵
∴△𝐴=𝐵𝐷 = =2(cid:53)
∴𝐴𝐷 =𝐵1(cid:53)𝐷 𝐴=𝐵 3(cid:53)
∴𝐵𝑂=2 3𝐴(cid:53)𝑂(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93)2 3(cid:104)
∴(cid:40)𝐴𝐶(cid:41)(cid:24) (cid:69)𝐴(cid:23)𝐵(cid:24)𝐶𝐷(cid:53) =60°(cid:53)
∵ 𝐴𝐶𝐶1𝐷1 ∠𝐷1𝐴𝐶
(cid:98)(cid:61) = 3 =2( 3) (cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93)2 3×3=6 3(cid:104)
2
∴ 𝐴𝐶1 𝐴𝐶 𝐴𝐶𝐶1𝐷1
(cid:256)(cid:87)(cid:98)(cid:61) = 3 =2( 3) (cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93)2 3×3 =18 3(cid:104)
3
1 2
𝐴𝐶2 𝐴𝐶 𝐴𝐶1𝐶2𝐷2
(cid:191)(cid:197)(cid:296)(cid:293)(cid:53)(cid:98)(cid:61)(cid:192)(cid:196)(cid:148)(cid:25)(cid:286)n(cid:287)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)2( 3) (cid:53)
𝑛−1
1
(cid:286)n(cid:287)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:69)= ×2×2×[( 3) ] × 3=2 3×3 (cid:63)
2 𝑛−1 2 𝑛−1
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)2 3×3n−1(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)4-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:300)·(cid:301)(cid:67)(cid:131)(cid:302)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:36)D(cid:53)F(cid:59)(cid:66)(cid:67) (cid:73)(cid:267)(cid:82)(cid:156)(cid:66)(cid:67) (cid:53) (cid:53) (cid:53)
𝐵𝐻 𝐵𝐷 𝐷𝐹 𝐹𝐻(cid:73)(cid:235)(cid:191)(cid:211)(cid:82)(cid:156)(cid:66)(cid:67)(cid:69)(cid:117)(cid:156)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:148)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:57)(cid:220) (cid:53) (cid:53) (cid:53) (cid:303)(cid:267)(cid:40)(cid:41)
(cid:24) (cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)17(cid:53) 𝐴𝐵=𝐶𝐷44(cid:53) 𝐷=𝐸3𝐹0𝐺(cid:53)(cid:65)(cid:40)(cid:41)𝐹𝑀(cid:24)𝐻𝑁 (cid:25)(cid:33)𝐶(cid:34)𝐸 (cid:93)𝐸 𝑀 𝑀 𝐺 𝐺𝐶(cid:63)
𝐶𝐸𝑀𝐺 𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐵𝐻 𝐷𝐹 𝐶𝐸𝑀𝐺
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)296
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:21)(cid:3)(cid:92)(cid:93)(cid:175)(cid:139)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:304)(cid:132)(cid:38)(cid:80)(cid:179)(cid:178)(cid:73)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)
(cid:3)(cid:92)(cid:63)
1 1
(cid:57)(cid:58) (cid:123) (cid:123) (cid:53)(cid:73)(cid:235)(cid:120) (cid:121)(cid:36) (cid:123) (cid:123) (cid:53)(cid:154) = (cid:53) = (cid:53)(cid:142)(cid:192) = (cid:53) = (cid:53)
2 2
=
𝐴𝐶 𝐸
=
𝐺 15(cid:53)𝑀𝑁(cid:175)(cid:139)(cid:85)(cid:86)(cid:37)𝐵(cid:87)𝐻(cid:142)(cid:61)𝑃
=
𝑂
16
𝑄(cid:53) 𝐵𝐷 𝑎
=
𝐹𝐻 𝑏
+
𝐷(cid:53)𝑃 (cid:101)(cid:98)𝑎(cid:61)𝐹(cid:91)𝑄(cid:63) 𝑏
四边形
𝑂(cid:15)𝐷(cid:103)(cid:91)𝑂(cid:20)𝐹(cid:91)(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:123) (cid:123) (cid:53)(cid:73)𝐸𝐺(cid:235)(cid:120) (cid:121)𝑆(cid:36) (cid:123)𝐶𝐸𝑀(cid:123)𝐺 (cid:53)𝑆(cid:51)△𝐶(cid:52)𝐺𝐸(cid:196)(cid:265)𝑆△(cid:53)𝑀𝐸𝐺
𝐴𝐶 𝐸𝐺 𝑀𝑁 𝐵𝐻 𝑃 𝑂 𝑄
(cid:53)
=44(cid:53) =30(cid:53)
∵ 𝐵𝐻+ = 𝐷𝐹 =14(cid:53)
(cid:154)∴𝐵𝐷=𝐹𝐻(cid:53) 𝐵=𝐻−𝐷(cid:53)𝐹
(cid:101)𝐵𝐷+ =𝑎 14𝐹(cid:53)𝐻 𝑏
𝑎(cid:40)(cid:41)𝑏(cid:24) (cid:123) (cid:123) (cid:268)(cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
∵ 𝐴𝐵(cid:53)𝐶𝐷 𝐷𝐸𝐹(cid:53)𝐺 𝐹𝑀𝐻𝑁 (cid:53)
∴𝐴𝐶⊥𝐵1𝐷 𝐸𝐺1⊥𝐷𝐹 𝑀𝑁1 ⊥𝐹𝐻1 1 1
= = (cid:53) = = (cid:53) = = =15(cid:53) = (cid:53)
2 2 2 2 2 2
∴𝐷(cid:23)𝑃(cid:24) 𝐵𝐷(cid:25)(cid:41)𝑎(cid:68)(cid:69)𝐹𝑄17(cid:53)𝐹𝐻=1𝑏5(cid:53) 𝑂𝐷 𝑂𝐹 𝐷𝐹 𝑂𝐸 𝐸𝐺
∵ 𝐷𝐸𝐹𝐺 𝑂𝐷
= = 17 5 = 64=8(cid:53)
2 2 2 2
∴𝑂𝐸=16𝐷(cid:53)𝐸 −𝑂𝐷 −1
∴𝐸𝐺 = + (cid:53)
四边形
𝑆 1 𝐶𝐸𝑀𝐺 𝑆△𝐶𝐺𝐸 1𝑆△𝑀𝐸𝐺
= ·( + ) + ·( + ) (cid:53)
2 2
𝐷𝑃 𝑂𝐷 ·𝐸𝐺 𝐹𝑄 𝑂𝐹 ·𝐸𝐺1 1 1 1
= · +15 ·16+ · +15 ·16(cid:53)
2 2 2 2
=4( +𝑎 )+240(cid:53) 𝑏
+𝑎 =𝑏14(cid:53)
∵𝑎 𝑏 =4×14+240=296(cid:63)
四边形
(cid:100)∴(cid:71)𝑆 (cid:72)(cid:69)𝐶(cid:10)𝐸𝑀2𝐺96(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)4-2(cid:20)(cid:43)2025·(cid:305)(cid:181)(cid:181)(cid:231)·(cid:49)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53)(cid:158)(cid:306)(cid:23)(cid:24)(cid:250)(cid:36) (cid:54)(cid:178)(cid:33)(cid:126)(cid:307)
(cid:194)(cid:252)(cid:308)(cid:309)(cid:253)(cid:209)30°(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:24) (cid:53) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:179)𝐴𝐵𝐶𝐷=1(cid:53)∠(cid:65)𝐵(cid:253)𝐴𝐷(cid:209)(cid:141)(cid:25)(cid:52)(cid:24)(cid:150)(cid:204)(cid:52)(cid:24)(cid:151)(cid:124)𝐴(cid:218)(cid:73)(cid:25)(cid:33)(cid:34)
(cid:93) (cid:63) 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝑀 𝐷𝑀
3 3
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)
2
+
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:253)(cid:209)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:88)(cid:125)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:126)(cid:81)(cid:96)(cid:37)(cid:87)(cid:123)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:28)30°(cid:81)
(cid:196)(cid:145)(cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:41)(cid:88)(cid:121)(cid:281)(cid:41)(cid:25)(cid:117)(cid:282)(cid:123)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:123)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:7)(cid:107)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:273)(cid:274)(cid:283)(cid:236)(cid:237)(cid:239)(cid:240)(cid:66)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:148) (cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:138)(cid:139)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:96)(cid:253)(cid:209)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:142)(cid:192) =30°(cid:53) = =45°(cid:53)(cid:138)(cid:139)30°
(cid:80)(cid:81)𝐷(cid:82)𝐸(cid:81)(cid:24)𝐸(cid:25)𝐿(cid:83)⊥(cid:84)𝐴𝐸(cid:96)(cid:88)(cid:125)𝐿(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:220)(cid:152) ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝑀𝐷𝐸 ∠𝑀𝐸𝐷
= (cid:137)(cid:146)(cid:142)(cid:91)(cid:101)(cid:98)(cid:63)
四边形
(cid:15)𝑆 (cid:103)(cid:91)𝐴(cid:20)𝐷𝑀(cid:91)𝐸(cid:10)(cid:57)𝑆△(cid:58)𝐴𝐹𝐸−(cid:53)𝑆△(cid:148)𝐷𝐹𝑀 (cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:65) =90°(cid:53)
= = (cid:53)𝐷𝐸 𝐸(cid:53)𝐿⊥𝐴𝐸 (cid:53)𝐿 ∠𝐸𝐿𝐹
∴𝐴𝐵 =𝐵𝐶 𝐷=𝐶 𝐵𝐶∥𝐴𝐷=𝐷1𝐶20∥°(cid:53)𝐴𝐵
∴∠(cid:158)𝐵(cid:23)(cid:24)∠𝐴𝐷𝐶 (cid:250)1(cid:36)80°−(cid:307)6(cid:194)0°(cid:252)(cid:253)(cid:209)30°(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:24) (cid:53)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = 𝐴 (cid:53) =30°(cid:53) =𝐴𝐸𝐹𝐺=120°(cid:53)
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐵 (cid:53)𝐵𝐶 =𝐸𝐹(cid:53)∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐴𝐸𝐹 =∠𝐵30°(cid:53)
∴𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐹𝐿 1𝐴𝐿 ∠𝐸𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸
= = × =30°(cid:53)
2
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐸𝐹𝐴 (180°−120°)
1
= (cid:53) = = × =75°(cid:53)
2
∴∠(cid:36)𝐸𝐴𝐷(cid:54) ∠(cid:55)𝐸𝐴(cid:53)𝐹 ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= (180°=−3405°°)(cid:53)
∴ 𝐷= 𝐴𝐹=1(cid:53)∠𝑀𝐷𝐸 =∠𝑀𝐸𝐷 =120°−75+° =90°(cid:53)
∴𝐸𝑀 𝐷𝑀 ∠𝐷𝑀𝐸 ∠𝐷𝑀𝐹 ∠𝑀𝐷𝐸 ∠𝑀𝐸𝐷= =2(cid:53)
∴𝐷𝐹 2𝐷𝑀
= = 2 1 = 3
2 2 2 2
∴𝐹𝑀= 𝐷𝐹+ −𝐷𝑀= 3+1(cid:53)−
∴𝐸𝐹 1𝐹𝑀 𝐸𝑀3 1
= = (cid:53) = (cid:53)
2 2
+
∴𝐸𝐿 𝐸𝐹 𝐸𝐹 2𝐸𝐿 3 1 3 3
= = = 3 = 3× = (cid:53)
2 2
2 2 2 2 + +
∴𝐹𝐿 = 𝐸𝐹=−3𝐸𝐿+ 3(cid:53)(2𝐸𝐿) −𝐸𝐿 𝐸𝐿
∴𝐴𝐹 2𝐹𝐿 1 3 1 1 3 3
= = ×(3+ 3) × 3×1= (cid:53)
四边形 2 2 2 2
+ +
∴𝑆 𝐴𝐷𝑀𝐸 𝑆△𝐴𝐹𝐸−𝑆△𝐷𝐹𝑀 −
3 3
(cid:253)(cid:209)(cid:141)(cid:25)(cid:52)(cid:24)(cid:150)(cid:204)(cid:52)(cid:24)(cid:151)(cid:124)(cid:218)(cid:73)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:93) (cid:53)
2
+
∴ 3 3
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10) (cid:63)
2
+
(cid:15)(cid:106)(cid:107)4-3(cid:20)(cid:43)2024·(cid:310)(cid:247)(cid:310)(cid:311)·(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:41)(cid:68)(cid:69)2(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =120°(cid:53)(cid:158)(cid:23)(cid:24) (cid:250)(cid:36)
A(cid:251)(cid:194)(cid:252)(cid:253)(cid:209)(cid:53)(cid:149)(cid:36)B(cid:25)(cid:145)(cid:258)(cid:36) (cid:312)(cid:54)(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:55)𝐴(cid:53)𝐵(cid:65)𝐶𝐷 = °(cid:53) ∠𝐵(cid:120) (cid:121)(cid:36)E(cid:53)(cid:65)(cid:40)𝐴(cid:41)𝐵𝐶(cid:24)𝐷
′ ′ ′ ′ ′
(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:88)(cid:121) (cid:63) 𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐵 𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴𝐵
𝐸
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20) 30 3/ 3+3
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)3−(cid:83)(cid:84)−(cid:53)(cid:253)(cid:209)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:178)(cid:73)(cid:117)(cid:303)(cid:145)(cid:81)(cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:61)(cid:192) (cid:25)(cid:79)(cid:122)(cid:53)
′
(cid:138)(cid:139) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:313)(cid:314) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:142)(cid:192)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:101)(cid:98)(cid:63) ∠𝐷𝐴𝐵
′ ′
(cid:15)(cid:103)(cid:91)△(cid:20)𝐴𝐷(cid:91)𝐶(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:120)△𝐶𝐸(cid:121)𝐵(cid:36) (cid:53) 𝐷𝐴𝐵 𝐸
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝑂(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:41)(cid:68)(cid:69)2(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =120°(cid:53)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 ∠𝐵
= (cid:53)
2
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶=,∠6𝐷0𝐴°(cid:53)𝐶 ∠𝐷𝐴𝐵,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
∴∠𝐷𝐴𝐵=30°(cid:53) =60°(cid:53) =30°(cid:53) (cid:69)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴∠𝐷𝐴=𝐶 =2(cid:53)∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐶𝐴 △𝐴𝐵𝐷
∴𝐵𝐷 𝐴𝐵
= = = 3(cid:53)
2 2
∴𝐵𝑂
=2
1,𝑂
3
𝐴(cid:53) 𝐴𝐵 −𝑂𝐵
∴(cid:158)𝐴𝐶(cid:23)(cid:24) (cid:250)(cid:36)A(cid:251)(cid:194)(cid:252)(cid:253)(cid:209)(cid:53)(cid:149)(cid:36)B(cid:25)(cid:145)(cid:258)(cid:36) (cid:312)(cid:54)(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:55)(cid:53)
′
∵ 𝐴=𝐵𝐶𝐷 =30°(cid:53) = =2(cid:53) =𝐵120° 𝐴𝐶
′ ′ ′ ′
∴∠𝐷𝐴𝐵 =6∠0𝐷°𝐴, 𝐶 = 𝐴𝐵 =𝐴2𝐵3 (cid:53)∠𝐴𝐵 𝐶
′ ′ ′
∴∠𝐶𝐵 𝐸=30°(cid:53)𝐵 𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐵 −2
∵∠𝐷𝐶𝐴 =90°(cid:53)
′
∴∠𝐵 𝐸𝐶1
= = 3 (cid:53) = 3 = 3(cid:53)
2
′ ′ ′
∴𝐵 𝐸 𝐵 𝐶 −1 𝐶𝐸 𝐵 𝐸 3−
1 1
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:88)(cid:121) = ×2 3× ×( 3 )( 3)= 3 3+3= 3(cid:104)
2 2
′ ′
∴(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)𝐷(cid:10)𝐴𝐵30𝐸(cid:104)3− 3(cid:63) 𝑆△𝐴𝐷𝐶 −𝑆△𝐵𝐸𝐶 1− −1 3− −2 3−
【题型5 菱形中的动点】
(cid:15)(cid:42)5(cid:20)(cid:43)24-25(cid:245)(cid:109)(cid:110)(cid:55)·(cid:246)(cid:247)(cid:6)(cid:234)·(cid:115)(cid:28)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:40)(cid:287)(cid:315)(cid:36)(cid:316)(cid:54)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:55)(cid:53)(cid:36) ( )(cid:53)
(0,4)(cid:53) (6,0)(cid:63)(cid:36) (cid:93)(cid:23)(cid:24) (cid:41)(cid:55)(cid:25)(cid:117)(cid:287)(cid:35)(cid:36)(cid:53)(cid:57)(cid:58)𝐴𝐵𝐶(cid:53)𝐷(cid:59) (cid:250)(cid:320)(cid:36) (cid:307)(cid:194)(cid:252)(cid:253)(cid:209)90°(cid:61)𝐴(cid:62)−3,(cid:53)0 (cid:57)𝐵(cid:58)
(cid:63)(cid:64)(cid:36)𝐸 (cid:102)(cid:36) (cid:192)𝑃(cid:294)(cid:53)(cid:191)(cid:321)𝐴(cid:322)𝐵𝐶5𝐷(cid:287)(cid:323)(cid:216)(cid:68)(cid:79)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:41)(cid:68)(cid:251)𝑃(cid:194)𝐸 (cid:252)(cid:308)𝑃(cid:309)𝐸(cid:175)(cid:35)(cid:53)(cid:65)𝐸 (cid:286)2025(cid:322)(cid:194)(cid:53)(cid:36) (cid:25)𝐹(cid:317)𝐸 (cid:318)(cid:93)(cid:43) (cid:50)
𝑃𝐹 𝑃 𝐶 𝐹A(cid:63)(10,6) B(cid:63)( ) C(cid:63)(6,9) D(cid:63)(2,6)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)A 10,−6
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:253)(cid:209)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:36)(cid:53)(cid:188)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:40)
(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)(cid:61) (cid:53)(cid:244) ( )(cid:53) (0,4)(cid:53) (6,0)(cid:53)(cid:100) =3(cid:53) = =4(cid:53) =6(cid:53)(cid:97)(cid:85)(cid:86)
(cid:37)(cid:87)𝐴(cid:61)𝐵𝐶𝐷= = 𝐴=𝐶⊥𝐵=𝐷5(cid:53)(cid:97)𝐴(cid:121)−(cid:36)3,0(cid:102)(cid:36)𝐵 (cid:192)(cid:294)(cid:53)𝐸(cid:191)(cid:321)(cid:322)5(cid:287)𝑂(cid:323)𝐴(cid:216)(cid:68)(cid:79)𝑂(cid:60)𝐷(cid:23)(cid:24)𝑂(cid:41)𝐵(cid:68)(cid:251)(cid:194)𝑂(cid:252)𝐸(cid:308)(cid:309)(cid:175)(cid:35)(cid:53)(cid:65)
(cid:36) (cid:25)(cid:175)𝐴(cid:35)𝐵 (cid:324)𝐵(cid:230)𝐶(cid:321)4𝐶(cid:322)𝐷(cid:117)(cid:287)𝐴(cid:325)𝐷(cid:326)(cid:53)(cid:280)(cid:197)(cid:286)20𝑃25(cid:322)(cid:194)𝐶(cid:53)(cid:36) (cid:25)(cid:317)(cid:318)(cid:150)(cid:286)1(cid:322)(cid:194)(cid:36) (cid:25)(cid:317)(cid:318)(cid:132)(cid:256)(cid:53)(cid:286)1(cid:322)(cid:194)(cid:36) (cid:54)
(cid:36)𝑃(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:319)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:177)(cid:166) (AA𝐹S)(cid:53)(cid:140)(cid:141)(cid:134)(cid:135)(cid:172)(cid:88)(cid:82)𝐹(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:101)(cid:98)(cid:142)(cid:91)(cid:53)(cid:94)𝑃(cid:95)(cid:89)𝐵(cid:90)
(cid:36)(cid:25)(cid:258)(cid:139)𝐹(cid:93)(cid:91)𝐹(cid:21)𝐺(cid:25)⊥𝑥(cid:3)(cid:92)(cid:63) 𝐺 △𝑂𝐵𝐸≌△𝐺𝐸𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10) (cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
(cid:53) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐶( ⊥𝐵𝐷)(cid:53) (0,4)(cid:53) (6,0)(cid:53)
∵𝐴 −=3,03(cid:53) 𝐵 = 𝐸=4(cid:53) =6(cid:53)
∴𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐸
= = = = 3 +4 =5(cid:53)
2 2
∴(cid:36)𝐴𝐵 (cid:102)𝐵(cid:36)𝐶 (cid:192)𝐶(cid:294)𝐷(cid:53)(cid:191)𝐴(cid:321)𝐷(cid:322)5(cid:287)(cid:323)(cid:216)(cid:68)(cid:79)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:41)(cid:68)(cid:251)(cid:194)(cid:252)(cid:308)(cid:309)(cid:175)(cid:35)(cid:53)
∵(cid:36)𝑃(cid:25)(cid:175)𝐶(cid:35)(cid:324)(cid:230)(cid:321)4(cid:322)(cid:117)(cid:287)(cid:325)(cid:326)(cid:53)2025÷4= (cid:53)
∴(cid:286)𝑃2025(cid:322)(cid:194)(cid:53)(cid:36) (cid:25)(cid:317)(cid:318)(cid:150)(cid:286)1(cid:322)(cid:194)(cid:36) (cid:25)(cid:317)(cid:318)5(cid:132)06(cid:256)⋯1(cid:53)(cid:286)1(cid:322)(cid:194)(cid:36) (cid:54) (cid:36)(cid:53)
∴(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) 𝐹 (cid:319)(cid:121)(cid:36) (cid:53) 𝐹 𝑃 𝐵
𝐹 𝐹𝐺⊥𝑥 𝐺+ =90°(cid:53) + =90°(cid:53)
∵∠𝑂𝐸𝐵=∠𝐺𝐸𝐹(cid:53) ∠𝑂𝐵𝐸 ∠𝑂𝐸𝐵
∴(cid:244)∠𝑂𝐵𝐸 =∠𝐺𝐸𝐹 =90°(cid:53)(cid:179) = (cid:53)
∵∠𝐵𝑂𝐸 ∠𝐸𝐺𝐹(AAS)(cid:53) 𝐵𝐸 𝐸𝐹
∴△𝑂=𝐵𝐸≌=△4𝐺(cid:53)𝐸𝐹 = =6(cid:53)
∴𝐺𝐸 =𝑂𝐵+ =𝐹𝐺6+𝑂4𝐸=10(cid:53)
∴𝑂(𝐺10,6𝑂)𝐸(cid:53) 𝐺𝐸
∴(cid:100)𝐹(cid:105)(cid:10)A(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)5-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:259)(cid:181)(cid:44)(cid:327)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =8(cid:53)(cid:35)(cid:36) (cid:102) (cid:36)(cid:192)(cid:294)(cid:53)(cid:191)(cid:321)(cid:322)
1(cid:287)(cid:323)(cid:216)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:328)(cid:79)(cid:60) (cid:309) (cid:36)(cid:175)(cid:35)(cid:104)(cid:35)(cid:36) (cid:102) (cid:36)(cid:192)(cid:294)(cid:53)(cid:191)(cid:321)𝐴(cid:322)𝐵𝐶2𝐷(cid:287)(cid:323)(cid:216)𝐴𝐵(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:328)(cid:79)(cid:60)𝑀 𝐴(cid:309) (cid:36)(cid:175)(cid:35)(cid:63)(cid:64)
(cid:175)(cid:35) (cid:322)(cid:141)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) 𝐴𝐵(cid:93)𝐵(cid:178)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:65)𝑁(cid:25)𝐶(cid:30)(cid:69)(cid:43) (cid:50) 𝐶𝐷 𝐷
𝑡 𝐴𝑀𝑁𝐷 𝑡
2 8
A(cid:63)2 B(cid:63) C(cid:63)4 D(cid:63)
3 3
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)D
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:197)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:178)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:130)(cid:131)(cid:94)(cid:95)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:61)
= =8(cid:53) (cid:53)(cid:98)(cid:89)(cid:193) = (cid:194)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:178)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:280)(cid:69) = (cid:53) = (cid:53)(cid:196)(cid:191)
𝐶𝐷= 𝐴𝐵(cid:53)(cid:91)(cid:308)𝐴(cid:219)𝑀(cid:101)∥(cid:98)𝐷𝑁(cid:142)(cid:91)(cid:63) 𝐴𝑀 𝐷𝑁 𝐴𝑀𝑁𝐷 𝐴𝑀 𝑡 𝐶𝑁 2𝑡
𝑡(cid:15)(cid:103)8(cid:91)−(cid:20)2𝑡(cid:91)(cid:10) (cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =8(cid:53)
= =8∵(cid:53) 𝐴𝐵𝐶(cid:53)𝐷 𝐴𝐵
∴𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝑀∥𝐷𝑁(cid:193) = (cid:194)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:178)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)
∴(cid:97)(cid:21)𝐴(cid:176)𝑀(cid:61) 𝐷𝑁= (cid:53) =𝐴𝑀(cid:53)𝑁𝐷
= 𝐴𝑀 𝑡= 𝐶𝑁 (cid:53)2𝑡
∴𝐷𝑁 =𝐶𝐷−(cid:53)𝐶𝑁 8−2𝑡
∵𝐴𝑀= 𝐷𝑁(cid:53)
∴𝑡 8−28𝑡
(cid:91)(cid:61) = (cid:53)
3
(cid:100)(cid:105)𝑡(cid:10)D(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)5-2(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:298)(cid:329)(cid:330)(cid:45)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =120°(cid:53) (cid:69) (cid:41)(cid:55)(cid:117)(cid:36)(cid:53)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝐶𝐷 3
=30°(cid:63)(cid:36) (cid:54) (cid:41)(cid:55)(cid:175)(cid:35)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:36) (cid:93) (cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:53)(cid:148) (cid:121) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:64) (cid:29)(cid:208)(cid:30)(cid:69) (cid:53)
5
∠(cid:65)𝐷(cid:23)𝐴𝐸(cid:24) (cid:25)(cid:41)𝐹(cid:68)(cid:69)𝐴 𝐷 (cid:63) 𝐵𝐹 𝐺 𝐵𝐹 𝐹𝐻⊥𝐴𝐸 𝐻 𝐺𝐻 𝐺𝐻
𝐴𝐵𝐶𝐷
4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20) 3
5
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:119)(cid:68) (cid:120) (cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:63)(cid:177)(cid:166) (cid:93) (cid:25)(cid:28)(cid:216)(cid:66)(cid:53)(cid:136)(cid:138)(cid:139)(cid:38)(cid:66)(cid:67)(cid:29)(cid:331)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:63)
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)𝐴(cid:57)𝐶(cid:58) (cid:53)𝐹(cid:119)𝐻(cid:68) 𝐴𝐶(cid:120) 𝐽(cid:121)(cid:36) (cid:53)𝐵(cid:57)𝐽(cid:58) (cid:332)𝐺𝐻 △𝐹𝐵𝐽
𝐴𝐶 𝐹𝐻 𝐴𝐶 𝐽 𝐵𝐽
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =120°(cid:53)
= = = (cid:53)∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =60°(cid:53)∠𝐵𝐴𝐷
∴𝐴𝐵 𝐵(cid:53)𝐶 𝐶𝐷 (cid:268)𝐴(cid:93)𝐷(cid:88)(cid:41)∠𝐵(cid:82)𝐴(cid:81)𝐶 (cid:24)(cid:53)∠𝐶𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐶=3△0𝐴°(cid:53)𝐶𝐷
∵∠𝐷𝐴𝐸= =30°(cid:53)
∴∠𝐷𝐴𝐸 (cid:53)∠𝐶𝐴𝐸
∴𝐴𝐸⊥𝐶𝐷(cid:53)
∵𝐴𝐸⊥𝐹(cid:53)𝐽
∴𝐹𝐽∥𝐶𝐷= =60°(cid:53) = =60°(cid:53)
∴∠𝐴𝐽𝐹 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐹𝐽 ∠𝐷(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴△𝐴=𝐹𝐽 (cid:53)
(cid:244)∴𝐴𝐽 𝐴𝐹(cid:53)
𝐴𝐻⊥=𝐹𝐻(cid:53)
∴𝐹𝐻= 𝐻𝐽(cid:53)
∵𝐹𝐺 𝐺1𝐵
= (cid:53)
2
∴𝐺𝐻 𝐵𝐽 6
(cid:193) (cid:194)(cid:53) (cid:25)(cid:30)(cid:29)(cid:208)(cid:53)(cid:197)(cid:194) = = (cid:53)
5
𝐵𝐽⊥𝐴=𝐶60°(cid:53)𝐺𝐻 =90°(cid:53) 𝐵𝐽 2𝐺𝐻
∵∠𝐵𝐴𝐽=30°(cid:53)∠𝐵𝐽𝐴
∴∠𝐴𝐵=𝐽 (cid:53)
∴𝐴𝐵 =2𝐴𝐽 + (cid:53)
2 2 2
∵𝐴𝐵 𝐴𝐽 𝐵𝐽6
= + (cid:53)
5 2
2 2
∴4𝐴𝐽 2 3𝐴𝐽
= (cid:53)
5
∴𝐴𝐽 4 3
= (cid:63)
5
∴𝐴𝐵 4 3
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10) (cid:63)
5
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:38)(cid:66)(cid:67)(cid:29)(cid:331)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:28)(cid:216)(cid:66)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)
(cid:93)(cid:11)(cid:333)(cid:236)(cid:237)(cid:334)(cid:139)(cid:239)(cid:240)(cid:66)(cid:53)(cid:241)(cid:242)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:28)(cid:216)(cid:66)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)5-3(cid:20)(cid:43)2025·(cid:298)(cid:329)(cid:247)(cid:335)·(cid:49)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =3(cid:53)(cid:36)P(cid:93) (cid:41)(cid:55)(cid:117)
(cid:287)(cid:35)(cid:36)(cid:53)(cid:54) (cid:119)(cid:68)(cid:66)(cid:55)(cid:215)(cid:117)(cid:36)Q(cid:53)(cid:149)(cid:61)(cid:36)P(cid:96)(cid:36)Q(cid:3)(cid:121)𝐴(cid:36)𝐵𝐶C𝐷(cid:145)(cid:336)∠(cid:53)𝐴(cid:57)𝐵𝐶(cid:58) (cid:120)𝐴(cid:121)𝐵(cid:36)M.(cid:193)(cid:36)P(cid:102)𝐵𝐶B(cid:36)(cid:175)
(cid:35)(cid:62)C(cid:36)(cid:194)𝐵(cid:53)𝐶(cid:36)M(cid:25)(cid:175)(cid:35)(cid:337)(cid:338)(cid:68)(cid:69) . 𝐷𝑃,𝐴𝑄
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20) 3
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:306)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73)(cid:66)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:96)(cid:171)(cid:37)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:36)(cid:53)(cid:91)
(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:191)(cid:55)(cid:36)M(cid:25)(cid:175)(cid:35)(cid:337)(cid:338)(cid:63)(cid:186)(cid:36)C(cid:148) (cid:120) (cid:121)(cid:36)H(cid:53)(cid:134)(cid:135) =60°(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)(cid:61)(cid:192) (cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73) (cid:53)(cid:136)(cid:177)(cid:166)
(cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73)𝐶𝐻(cid:53)⊥(cid:36)𝐴𝐷M(cid:54)𝐴𝐷 (cid:55)(cid:175)(cid:35)(cid:53)(cid:134)(cid:135)∠𝐴(cid:91)𝐵(cid:80)𝐶(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24) =𝐴𝐵𝐶𝐷 tan30°= 3(cid:63)𝐶(cid:101)𝐻(cid:98)(cid:142)(cid:91)(cid:63)𝐴𝐷 𝐶𝐻
′
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)𝑃(cid:91)𝑄(cid:10)(cid:186)(cid:36)C(cid:148)𝐶𝐻 (cid:120) (cid:121)(cid:36)H(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)𝐶𝑀 𝐵𝐶⋅
𝐶𝐻⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶
=60°(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =3(cid:53)
∵∠𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:53) = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = =𝐴𝐵3(cid:53)
∴∠𝐴𝐷𝐶 (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)𝐶𝐷(cid:81)(cid:24)𝐵(cid:53)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∴△𝐴(cid:38)𝐶(cid:80)𝐷(cid:178)(cid:73) (cid:53)
∴𝐶𝐻 (cid:53) 𝐴𝐷
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶 (cid:53)
∴(cid:36)𝐶𝐻P⊥(cid:96)𝐵𝐶(cid:36)Q(cid:3)(cid:121)(cid:36)C(cid:145)(cid:336)(cid:53)
∵ = (cid:53)(cid:101) (cid:38)(cid:80)(cid:178)(cid:73) (cid:53)
∴𝑃𝐶(cid:123)𝑄𝐶(cid:120)(cid:121)(cid:36)𝐶𝐻M(cid:63) 𝑃𝑄
∵(cid:36)𝐷𝑃M𝐴(cid:54)𝑄 (cid:55)(cid:175)(cid:35)(cid:53)
(cid:193)∴ (cid:36)P(cid:150)𝐶(cid:36)𝐻B(cid:151)(cid:152)(cid:194)(cid:53)(cid:36)M(cid:216)(cid:121)(cid:36) (cid:53)
′
=60°(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)𝑀 =3(cid:53)
∵∠𝐴𝐵𝐶 1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵
= =30°(cid:53) =3
2
′
∴∠𝑀 𝐵
=
𝐶 3(cid:63)∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
′
(cid:100)∴𝐶(cid:36)𝑀M(cid:25)(cid:175)(cid:35)(cid:337)(cid:338)(cid:68)(cid:69) = 3(cid:63)
′
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10) 3(cid:63) 𝐶𝑀
【题型6 菱形中的定值】
(cid:15)(cid:42)6(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:339)(cid:299)(cid:340)(cid:234)·(cid:301)(cid:67)(cid:131)(cid:302)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =4(cid:53)(cid:36)E(cid:123)F(cid:73)(cid:235)
(cid:69) (cid:123) (cid:55)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:53) =60°(cid:53)(cid:36)E(cid:102)(cid:36)A(cid:309)(cid:36)D(cid:175)(cid:35)(cid:186)𝐴(cid:219)𝐵𝐶(cid:28)𝐷(cid:53) ∠+𝐴 (cid:25)(cid:68)(cid:79)𝐴(cid:43)𝐵 (cid:50)
𝐴𝐷 𝐷𝐶 ∠𝐸𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹A(cid:63)(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:237) B(cid:63)(cid:133)(cid:313)(cid:208)(cid:136)(cid:343)(cid:237)
C(cid:63)(cid:344)(cid:88)(cid:121)4 3 D(cid:63)(cid:344)(cid:88)(cid:121)4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)D
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:83)(cid:84)(cid:293)(cid:192) = = = (cid:53) = =60°(cid:53)(cid:171)(cid:37) (cid:123) (cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)(cid:61)(cid:62)𝐵𝐷
= 𝐴𝐵 𝐵=𝐶60°𝐶(cid:53)𝐷 𝐴=𝐷 ∠(cid:53)𝐶(cid:97) ∠𝐴 + =△𝐴𝐵𝐷+ △𝐶𝐷𝐵=60°(cid:53)(cid:293)(cid:192) = (cid:53)(cid:97)ASA
∠(cid:171)𝐶(cid:37)𝐵𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵 (cid:53)(cid:61)𝐵𝐶(cid:62) 𝐵𝐷= (cid:53)∠𝐸(cid:121)𝐵(cid:93)𝐷(cid:61)(cid:62)∠𝐷𝐵𝐹+ ∠𝐶=𝐵𝐹 +∠𝐷𝐵𝐹= =4(cid:53)(cid:3)∠(cid:92)𝐶(cid:93)𝐵𝐹(cid:97)(cid:23)∠(cid:24)𝐸(cid:25)𝐵𝐷(cid:83)(cid:84)(cid:293)(cid:192)
△𝐶𝐵𝐹≌△(𝐷A𝐵S𝐸A)(cid:63) 𝐶𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)△(cid:103)𝐶𝐵(cid:91)𝐹(cid:20)≌(cid:91)△(cid:10)𝐷𝐵(cid:57)𝐸(cid:58)BD(cid:53)
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = =4(cid:53) = =60°(cid:53)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:123) 𝐶𝐷 (cid:93)𝐴𝐷(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)∠(cid:24)𝐶(cid:53)∠𝐴
∴△𝐴𝐵𝐷= △𝐶𝐷𝐵=60°(cid:53) = (cid:53)
∴∠𝐶𝐵𝐷=6∠0𝐴°𝐷(cid:53)𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷
∵∠𝐸𝐵𝐹 + = + =60°(cid:53)
∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐹(cid:53)∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐷𝐵𝐹
(cid:54)∴∠𝐶𝐵𝐹 (cid:96)∠𝐸𝐵𝐷 (cid:28)(cid:53)
△𝐶=𝐵𝐹 △𝐷𝐵𝐸
= (cid:53)
∠𝐶 =∠𝐸𝐷𝐵
𝐵𝐶 𝐵𝐷
∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐸𝐵𝐷 (ASA)(cid:53)
∴△𝐶𝐵𝐹≌△𝐷𝐵𝐸= (cid:53)
∴𝐶𝐹+ 𝐷𝐸= + = (cid:53)
∴𝐴𝐸 =𝐶4𝐹(cid:53) 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐷
∵𝐴𝐵+ =4(cid:63)
∴(cid:100)𝐴(cid:105)𝐸(cid:10)D𝐶(cid:63)𝐹
(cid:15)(cid:106)(cid:107)6-1(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24)ABCD(cid:25)(cid:24)(cid:345)(cid:96)(cid:18)(cid:208)(cid:228)(cid:346)(cid:249)(cid:106)(cid:53)(cid:158)(cid:23)(cid:24)ABCD(cid:250)(cid:36)B(cid:253)(cid:209)(cid:347)(cid:193)(cid:81)(cid:79)(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:24)
A'BC'D'(cid:53)(cid:41)A'D(cid:150)AD(cid:53)DC(cid:120)(cid:121)E(cid:53)F(cid:43)D(cid:53)E(cid:53)F(cid:249)(cid:151)(cid:152)(cid:50)(cid:53)(cid:57)(cid:58)EB(cid:53)FB(cid:63)(cid:54)(cid:253)(cid:209)(cid:186)(cid:219)(cid:28)(cid:10)①EB(cid:178)(cid:73)
1
AED'(cid:104)②FB(cid:178)(cid:73) A'FC(cid:104)③ DEF(cid:25)(cid:275)(cid:68)(cid:93)(cid:117)(cid:287)(cid:37)(cid:30)(cid:104)④S +2S (cid:348) S (cid:53)(cid:171)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:25)(cid:93) (cid:63)
DEF BEF 2 (cid:23)(cid:24)ABCD
△ △
∠ ∠ △
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)①②③(cid:63)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:121) (cid:53) (cid:121) (cid:53) (cid:121) (cid:53)(cid:138)(cid:139)(cid:81)(cid:178)(cid:73)(cid:66)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:37)(cid:87)(cid:177)(cid:166)(cid:105)(cid:349)①(cid:123)②
′ ′
(cid:93)(cid:350)(cid:273)(cid:274)(cid:53)(cid:136)𝐵(cid:138)(cid:139)𝐵(cid:172)𝐻(cid:88)⊥(cid:82)𝐴(cid:81)𝐷(cid:24)(cid:25)𝐻(cid:83)𝐵(cid:84)𝑀(cid:177)⊥(cid:166)𝐴𝐷 𝑀 (cid:25)𝐵(cid:275)𝑁(cid:68)⊥𝐶=𝐷 𝑁 (cid:69)(cid:37)(cid:30)(cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:171)(cid:272)③ (cid:104)(cid:134)(cid:135)
Rt BEM Rt BEH(cid:53)Rt BMA Rt BNC(cid:53)△Rt𝐷𝐸B𝐹FN Rt BF2H𝐷(cid:53)𝑀
(cid:61)△(cid:62)S B≌EM(cid:348)△S BEH(cid:53)△S BMA≌(cid:348)S△BNC(cid:53)S △BFN(cid:348)≌S B△FH(cid:53)S DEF+2S BEF(cid:348)S DMBN(cid:53)(cid:351)(cid:93) A(cid:249)(cid:117)
(cid:40)(cid:41)(cid:24)
△ △ △ △ △ △ △ △
1 ∠
(cid:37)(cid:69)60°(cid:53)(cid:101)AM(cid:249)(cid:117)(cid:37)(cid:88)(cid:121) AB(cid:53)(cid:97)(cid:197)(cid:171)(cid:272)④.
2
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:186)(cid:36)B(cid:148)BH A′D′(cid:121)H(cid:53)BM AD(cid:121)M(cid:53)BN CD(cid:121)N(cid:63)
⊥ ⊥ ⊥
(cid:23)(cid:24)BA′D′C′(cid:93)(cid:97)(cid:23)(cid:24)ABCD(cid:253)(cid:209)(cid:61)(cid:62)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:321)(cid:156)(cid:41)(cid:55)(cid:25)(cid:352)(cid:132)(cid:88)(cid:53)
∵BM(cid:348)BH(cid:348)BN(cid:53)
∴BH A′D′(cid:121)H(cid:53)BM AD(cid:121)M(cid:53)BN CD(cid:121)N(cid:53)
∵BE⊥(cid:178)(cid:73) AED′(cid:53)BF⊥(cid:178)(cid:73) A′FC(cid:53)(cid:100)⊥(cid:105)(cid:349)①②(cid:273)(cid:274)(cid:53)
∴ ∠ ∠BME(cid:348) NHE(cid:348)90°(cid:53)BE(cid:348)BE(cid:53)BM(cid:348)BH(cid:53)
∵R∠t BEM∠Rt BEH(cid:43)HL(cid:50)(cid:53)
∴EH△(cid:348)EM(cid:53)≌ △
(cid:256)∴ (cid:353)(cid:98)(cid:177)(cid:53)FH(cid:348)FN(cid:53)
DEF(cid:25)(cid:275)(cid:68)(cid:348)DE+EF+DF(cid:348)DE+EM+DF+FN(cid:348)DM+DN(cid:53)
∴△BMA(cid:348) BNC(cid:348)90°(cid:53)BM(cid:348)BN(cid:53)BA(cid:348)BC(cid:53)
∵R∠t BMA∠Rt BNC(cid:43)HL(cid:50)(cid:53)
∴AM△(cid:348)CN(cid:53)≌ △
∴DA(cid:348)DC(cid:53)
∵DM(cid:348)DN(cid:53)
∴ DEF(cid:25)(cid:275)(cid:68)(cid:348)2DM(cid:348)(cid:37)(cid:30)(cid:53)(cid:100)③(cid:273)(cid:274)(cid:53)
∴R△t BEM Rt BEH(cid:53)Rt BMA Rt BNC(cid:53)Rt BFN Rt BFH(cid:53)
∵S △ (cid:348)S≌ △(cid:53)S (cid:348)△S (cid:53)≌S △ (cid:348)S (cid:53)△ ≌ △
BEM BEH BMA BNC BFN BFH
△ △ △ △ △ △
∴S +2S (cid:348)S (cid:53)
DEF BEF (cid:40)(cid:41)(cid:24)DMBN
△ △
∴ A(cid:249)(cid:117)(cid:37)(cid:69)60°(cid:53)
∵∠ 1
AM(cid:249)(cid:117)(cid:37)(cid:88)(cid:121) AB(cid:53)
2
∴ 1
S +2S ≠ S (cid:53)(cid:100)④(cid:277)(cid:278)(cid:104)
DEF BEF 2 (cid:23)(cid:24)ABCD
△ △
∴(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)①②③ (cid:63)
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:253)(cid:209)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:53)(cid:93)(cid:151)(cid:199)(cid:76)(cid:36)(cid:53)(cid:354)(cid:79)(cid:355)
(cid:356)(cid:53)(cid:94)(cid:95)(cid:132)(cid:3)(cid:89)(cid:90)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)6-2(cid:20)(cid:43)2025·(cid:297)(cid:298)(cid:357)(cid:180)·(cid:117)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:358)(cid:24) (cid:275)(cid:68)(cid:69)8(cid:53)(cid:179) > (cid:63)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:148)(cid:36)C(cid:3)(cid:121) (cid:25)
(cid:145)(cid:336)(cid:36)E(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:120) (cid:121)(cid:36)P(cid:53)(cid:148) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:120) (cid:121)(cid:36)G(cid:53)𝐵(cid:111)𝐶(cid:271)(cid:165)𝐶(cid:353)𝐷(cid:28)(cid:273)(cid:274)𝐵(cid:25)𝐷(cid:56)(cid:43) (cid:50)(cid:287)(cid:63) 𝐵𝐷
𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝑃𝐺⊥𝐵𝐷 𝐵𝐶
①2< <4(cid:104)②(cid:82)(cid:81)(cid:24) (cid:25)(cid:275)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:30)4
③(cid:193) 𝐵(cid:106)𝐶(cid:18)(cid:194)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) 𝐴𝐵𝑃(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:133)(cid:106)(cid:18)(cid:141)(cid:106)(cid:208)(cid:104)④(cid:193) (cid:106)(cid:18)(cid:194)(cid:53) (cid:359)(cid:99)(cid:106)(cid:208)
𝐵𝐶 𝑃𝐴𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝑃A(cid:63)1 B(cid:63)2 C(cid:63)3 D(cid:63)4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)C
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:358)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:98)(cid:61) + =4(cid:53)(cid:136)(cid:220)(cid:152) > (cid:53)(cid:98)(cid:61)2< <4(cid:53)(cid:137)(cid:99)(cid:171)(cid:272)①(cid:273)(cid:274)(cid:53)(cid:57)(cid:58)
(cid:53)(cid:360) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:136)(cid:177)𝐶𝐷 =𝐵𝐶 (cid:53)(cid:98)(cid:177)(cid:61)(cid:65)𝐵𝐶 𝐶(cid:25)𝐷(cid:275)(cid:68)= 𝐵+𝐶 + = + =4(cid:53)(cid:137)(cid:99)
𝐷(cid:171)𝐺(cid:272)②𝑃(cid:273)𝐺(cid:274)(cid:53)𝐵𝐷(cid:136)(cid:177)(cid:40)(cid:41)𝑂(cid:24) 𝐵(cid:93)𝑃(cid:23)(cid:24)𝐷𝑃(cid:53)(cid:65) = △(cid:53)𝐴𝐵𝑃 = 𝐴(cid:53)𝐵Rt𝐴𝑃 𝐵𝑃Rt 𝐵𝐶 𝐶(𝐷HL)(cid:53)(cid:61)
𝑃𝐵𝐺𝐷 𝐵1𝑃 𝐷𝐺
𝑆△𝐵
1
𝑃𝐺 𝑆△𝐷𝑃𝐺
1△𝐴𝐵𝑃≌ △𝐶𝐷𝐺
= (cid:53)(cid:98)(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)= = ( )= ( ) +2(cid:53)(cid:137)(cid:99)(cid:98)(cid:89)(cid:193)
2 矩形 2 2
2
𝑆 2 △ < 𝐴𝐵𝑃 < 𝑆 4 △ (cid:194) 𝐶𝐷𝐺 (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) 𝑃(cid:25)𝐴(cid:33)𝐵𝐺(cid:34)(cid:361)(cid:320) (cid:343)𝑆(cid:18)(cid:99) 𝐴 (cid:313) 𝐵𝐶 (cid:208) 𝐷 (cid:53)(cid:137)𝐵(cid:99)𝐶(cid:171)4−(cid:272)𝐵 ③ 𝐶 (cid:273)(cid:274)−(cid:104)𝐵(cid:97)𝐶(cid:21)−2(cid:176)(cid:61) = (cid:53)
𝐵𝐶 𝑃𝐴𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐵𝑃 𝐵𝐶−𝐴𝑃8
= = (cid:53)(cid:65)(cid:54)Rt (cid:28)(cid:53) = =( ) ( ) (cid:53)(cid:162)(cid:87)(cid:61) = (cid:53)(cid:137)(cid:99)
2 2 2 2 2
𝐴(cid:171)𝐵(cid:272)④𝐶𝐷(cid:277)(cid:278)4(cid:63)−𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐵𝑃 −𝐴𝐵 𝐵𝐶−𝐴𝑃 − 4−𝐵𝐶 𝐴𝑃 4−𝐵𝐶
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:54)(cid:358)(cid:24) (cid:28)(cid:53) = (cid:53) = (cid:53) (cid:53)
(cid:358)(cid:24) (cid:275)(cid:68)(cid:69)8(cid:53)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∵ +𝐴𝐵𝐶𝐷=4(cid:53)(cid:65) = (cid:53) <4(cid:53)
∴𝐶𝐷>𝐵𝐶(cid:53) 𝐶𝐷 4−𝐵𝐶 𝐵𝐶
∵𝐵𝐶>𝐶𝐷 (cid:53)(cid:65) >2(cid:53)
∴𝐵2𝐶< 4−<𝐵4𝐶(cid:53)(cid:100)①𝐵𝐶(cid:273)(cid:274)(cid:104)
∴(cid:57)(cid:58) 𝐵𝐶(cid:53)(cid:360) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)
𝐷𝐺 𝑃𝐺 𝐵𝐷 𝑂
(cid:97)(cid:27)(cid:124)(cid:98)(cid:89)(cid:53) = (cid:53)
∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷
∵𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:53)(cid:65) =
∴∠𝐶𝐵=𝐷 (cid:53)∠𝑃𝐷𝐵 ∠𝐸𝐵𝐷 ∠𝑃𝐷𝐵
∴(cid:65)𝐵𝑃 𝐷𝑃(cid:25)(cid:275)(cid:68)= + + = + + = + = + =4(cid:53)(cid:100)②(cid:273)(cid:274)(cid:104)
△𝐴𝐵𝑃(cid:53) 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝐷𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
∵𝑃𝐺⊥𝐵=𝐷 (cid:53)
(cid:244)∴∠𝐵𝑂𝑃= ∠𝐵(cid:53)𝑂𝐺
∵𝐵𝑂 𝐵𝑂(cid:53)
∴△𝐵=𝑂𝑃≌(cid:53)△(cid:65)𝐵𝑂𝐺=
∴(cid:40)𝐵𝑃(cid:41)(cid:24)𝐵𝐺 (cid:93)𝐵𝐺(cid:178)(cid:146)𝐷(cid:40)𝑃(cid:41)(cid:24)(cid:53)
(cid:244)∴ =𝑃𝐵𝐺(cid:53)𝐷
(cid:40)∵(cid:41)𝐵𝑃(cid:24) 𝐵𝐺 (cid:93)(cid:23)(cid:24)(cid:53)(cid:65) = (cid:53) =
∴Rt 𝑃𝐵𝐺R𝐷t (HL𝐵)(cid:53)𝑃 𝐷𝐺 𝑆△𝐵𝑃𝐺 𝑆△𝐷𝑃𝐺
∴ △𝐴𝐵=𝑃≌ △(cid:53)𝐶𝐷𝐺
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐶𝐷𝐺 1 1 1
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)= = ( )= ( ) +2(cid:53)
2 矩形 2 2
2
(cid:193)∴ 2< 𝑃𝐴<𝐵4𝐺(cid:194)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24)𝑆 𝐴𝐵 (cid:25) 𝐶𝐷 (cid:33)(cid:34)𝐵(cid:361)𝐶(cid:320)4−𝐵(cid:343)𝐶(cid:18)(cid:99)−(cid:313)(cid:208)𝐵𝐶(cid:53)−(cid:100)2 ③(cid:273)(cid:274)(cid:104)
=𝐵𝐶 = = 𝑃𝐴𝐵𝐺(cid:53) = 𝐵=𝐶 (cid:53)
(cid:65)∵𝐵(cid:54)𝑃Rt𝑃𝐷 𝐴(cid:28)𝐷−(cid:53)𝐴𝑃 =𝐵𝐶−𝐴𝑃 𝐴𝐵=(𝐶𝐷 4−)𝐵𝐶( ) (cid:53)
2 2 2 2 2
△𝐴𝐵𝑃 8𝐴𝑃 𝐵𝑃 −𝐴𝐵 𝐵𝐶−𝐴𝑃 − 4−𝐵𝐶
(cid:162)(cid:87)(cid:61)(cid:10) = (cid:53)
(cid:193)
(cid:106)(cid:18)𝐴𝑃(cid:194)(cid:53)4−𝐵
(cid:362)
𝐶
(cid:106)(cid:18)(cid:53)(cid:100)④(cid:277)(cid:278)(cid:53)
∴(cid:257)(cid:55)𝐵(cid:53)𝐶(cid:273)(cid:274)(cid:25)(cid:56)𝐴①𝑃②③(cid:53)(cid:243)3(cid:287)(cid:53)
(cid:100)(cid:105)(cid:10)C(cid:63)
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:358)(cid:24)(cid:150)(cid:27)(cid:124)(cid:78)(cid:21)(cid:53)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:127)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:36)(cid:53)(cid:87)(cid:91)(cid:118)
(cid:94)(cid:95)(cid:132)(cid:3)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)6-3(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:178)(cid:33)(cid:80)(cid:81)(cid:317)(cid:318)(cid:363)xOy(cid:28)(cid:53)(cid:23)(cid:24)AOBC(cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)8(cid:53) AOB=60°(cid:63) (cid:36)D(cid:93)(cid:41)OB(cid:55)(cid:117)(cid:35)
(cid:36)(cid:53)(cid:36)E(cid:54)BC(cid:55)(cid:53)(cid:179) DAE=60°(cid:63) ∠
(cid:56)(cid:111)(cid:271)(cid:220)(cid:270)(cid:10) ∠
①(cid:36)C(cid:25)(cid:317)(cid:318)(cid:69)(cid:43)12(cid:53)4 3(cid:50)(cid:104)②BD=CE(cid:104)
③(cid:40)(cid:41)(cid:24)ADBE(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:37)(cid:30)(cid:104)
④(cid:193)D(cid:69)OB(cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:194)(cid:53) DBE(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:208)(cid:63)
(cid:128)(cid:28)(cid:273)(cid:274)(cid:25)(cid:56) (cid:63)(cid:43)(cid:59)△(cid:223)(cid:364)(cid:69)(cid:273)(cid:274)(cid:220)(cid:270)(cid:25)(cid:365)(cid:9)(cid:268)(cid:366)(cid:55)(cid:50)(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)①②③
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)①(cid:186)(cid:36)C(cid:148)CF OB(cid:53)(cid:38)(cid:264)(cid:69)(cid:36)F(cid:53)(cid:142)(cid:192)BF=4(cid:53)CF=4 3(cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:142)(cid:192)(cid:36)C(cid:317)(cid:318)(cid:104)②(cid:57)(cid:220)AB(cid:53)(cid:177)(cid:166)
⊥ 1
ADB AEC(cid:53)(cid:65)BD=CE(cid:104)③(cid:97)S
ADB
=S
AEC
(cid:53)(cid:98)(cid:61)S
ABC
=S
(cid:40)(cid:41)(cid:24)ADBE
=
2
×8×4 3=16 3(cid:104)④(cid:98)(cid:177) ADE(cid:69)(cid:88)(cid:41)
△ △ △ △
△(cid:82)(cid:81)(cid:24)≌(cid:53)△(cid:193)D(cid:69)OB(cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:194)(cid:53)AD OB(cid:53)(cid:197)(cid:194)AD(cid:29)(cid:208)(cid:53)(cid:65)S
ADE
(cid:29)(cid:208)(cid:53)(cid:97)③(cid:89)S
(cid:40)(cid:41)(cid:24)ADBE
(cid:69)(cid:37)△(cid:30)(cid:53)(cid:98)(cid:61)S
DBE
△ △
(cid:29)(cid:18)(cid:63) ⊥
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)①(cid:186)(cid:36)C(cid:148)CF OB(cid:53)(cid:38)(cid:264)(cid:69)(cid:36)F(cid:53)
(cid:40)(cid:41)(cid:24)AOBC(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:53) ⊥
∵OB=BC=8(cid:53) AOB= CBF=60°(cid:53)
∴BF=4(cid:53)CF=4∠3(cid:53) ∠
∴OF=8+4=12(cid:53)
∴(cid:36)C(cid:25)(cid:317)(cid:318)(cid:69)(cid:43)12(cid:53)4 3(cid:50)(cid:53)(cid:100)①(cid:273)(cid:274)(cid:104)
②∴ (cid:57)(cid:220)AB(cid:53)
BC=AC=AO=OB(cid:53) AOB= ACB=60°(cid:53)
∵ ABC(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)∠(cid:24)(cid:53) ∠AOB(cid:93)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
∴△AB=AC(cid:53) BAC=60°(cid:53) △
∴ DAE=60∠°(cid:53)
∵∠DAB= EAC(cid:53)
∴∠ABD=∠ACE=60°(cid:53)
∵∠ADB ∠ AEC(cid:43)ASA(cid:50)(cid:53)
∴B△D=CE≌(cid:53)△(cid:100)②(cid:273)(cid:274)(cid:104)
∴③ ADB AEC(cid:63)
S ∵△=S ≌△(cid:53)
ADB AEC
△ △
∴ 1
S
ABC
=S
(cid:40)(cid:41)(cid:24)ADBE
=
2
×8×4 3=16 3(cid:53)(cid:100)③(cid:273)(cid:274)(cid:104)
△ △
∴④ ADB AEC(cid:53)
AD∵=△AE(cid:53)≌△
∴ DAE=60°(cid:53)
∵∠ADE(cid:69)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:53)
(cid:193)∴△D(cid:69)OB(cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:194)(cid:53)AD OB(cid:53)
(cid:197)(cid:194)AD(cid:29)(cid:208)(cid:53)(cid:65)S (cid:29)⊥(cid:208)(cid:53)
ADE
△
(cid:97)③(cid:89)S
(cid:40)(cid:41)(cid:24)ADBE
(cid:69)(cid:37)(cid:30)(cid:53)(cid:98)(cid:61)S
DBE
(cid:29)(cid:18)(cid:63)
△
(cid:100)④(cid:249)(cid:273)(cid:274)(cid:104)
(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)①②③(cid:63)
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:88)(cid:41)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:88)(cid:53)(cid:273)(cid:274)(cid:148)(cid:192)(cid:239)(cid:240)
(cid:66)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
【题型7 垂美四边形】
(cid:15)(cid:42)7(cid:20)(cid:367)(cid:368)(cid:87)(cid:91)(cid:10)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:304)(cid:132)(cid:38)(cid:80)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:369)(cid:370)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)
(cid:43)1(cid:50)(cid:83)(cid:84)(cid:206)(cid:207)(cid:10)(cid:51)(cid:52)1(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24)ABCD(cid:93)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:80)(cid:58)(cid:371)(cid:192)AB2(cid:123)CD2(cid:123)AD2(cid:123)BC2(cid:25)(cid:122)(cid:372)(cid:3)(cid:363)(cid:10)(cid:70) (cid:70)(cid:63)
(cid:43)2(cid:50)(cid:91)(cid:200)(cid:78)(cid:21)(cid:10)(cid:51)(cid:52)2(cid:53)(cid:73)(cid:235)(cid:191)Rt ACB(cid:25)(cid:80)(cid:81)(cid:41)AC(cid:96)(cid:281)(cid:41)AB(cid:69)(cid:41)(cid:309)(cid:129)(cid:148)(cid:273)(cid:308)(cid:24)ACFG(cid:96)(cid:273)(cid:308)(cid:24)
ABDE(cid:53)(cid:57)(cid:220)CE(cid:123)BG(cid:123)GE(cid:63)(cid:64)AC(cid:348)△4(cid:53)AB(cid:348)5(cid:53)(cid:142)GE(cid:25)(cid:68)(cid:43)(cid:98)(cid:80)(cid:58)(cid:138)(cid:139)(cid:43)1(cid:50)(cid:28)(cid:83)(cid:84)(cid:50)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:43)1(cid:50)AD2+BC2(cid:348)AB2+CD2(cid:104)(cid:43)2(cid:50)GE(cid:348) 73(cid:63)(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(1)(cid:138)(cid:139)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:101)(cid:98)(cid:61)(cid:192)(cid:220)(cid:270)(cid:104)
(2)(cid:133)(cid:171)(cid:272)(cid:192)CE BG(cid:53)(cid:61)(cid:192)(cid:40)(cid:41)(cid:24)CGEB(cid:93)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:373)(cid:240)(1)(cid:25)(cid:220)(cid:270)(cid:101)(cid:98)(cid:61)(cid:192)(cid:220)(cid:270)(cid:63)
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(1)(cid:220)(cid:270)⊥(cid:10)AD2+BC2=AB2+CD2(cid:53)
(cid:51)(cid:52)1(cid:28)(cid:53)(cid:154)BD(cid:120)AC(cid:121)E(cid:63)
AC BD(cid:53)
∵ AE⊥D= AEB= BEC= CED=90°(cid:53)
(cid:97)∴∠(cid:85)(cid:86)(cid:37)∠(cid:87)(cid:61)(cid:53)∠AD2+B∠C2=AE2+DE2+BE2+CE2(cid:53)
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2(cid:53)
AD2+BC2=AB2+CD2(cid:104)
(cid:100)∴ (cid:71)(cid:72)(cid:69)(cid:10)AD2+BC2=AB2+CD2(cid:63)
(2)(cid:57)(cid:58)CG(cid:123)BE(cid:53)
CAG= BAE=90°(cid:53)
∵∠CAG+∠BAC= BAE+ BAC(cid:53)(cid:101) GAB= CAE(cid:53)
∴(cid:54)∠ GAB∠(cid:96) CA∠E(cid:28)(cid:53)∠ ∠ ∠
△ = △
= (cid:53)
𝐴𝐺=𝐴𝐶
∠𝐺𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐸
G𝐴A𝐵B 𝐴C𝐸AE(SAS)(cid:53)
∴△ ≌△ABG= AEC(cid:53)
(cid:244)∴∠ AEC+∠ AME=90°(cid:53)
∠ABG+ ∠AME=90°(cid:53)(cid:101)CE BG(cid:53)
∴∠(cid:40)(cid:41)(cid:24)∠CGEB(cid:93)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)⊥(cid:53)
∴(cid:97)(2)(cid:61)(cid:53)CG2+BE2=CB2+GE2(cid:53)
AC=4(cid:53)AB=5(cid:53)
∵BC=3(cid:53)CG=4 2(cid:53)BE=5 2(cid:53)
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73(cid:53)
∴GE= 73(cid:63)
(cid:15)∴ (cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:93)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:257)(cid:152)(cid:21)(cid:53)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:93)(cid:273)(cid:308)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:96)(cid:83)(cid:84)(cid:123)(cid:38)(cid:80)(cid:25)(cid:37)(cid:47)(cid:123)(cid:85)
(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:25)(cid:258)(cid:139)(cid:53)(cid:273)(cid:274)(cid:87)(cid:91)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:47)(cid:123)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:139)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)7-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:298)(cid:329)(cid:330)(cid:45)·(cid:115)(cid:116)(cid:50)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:304)(cid:132)(cid:38)(cid:80)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:369)(cid:370)“(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:53)(cid:307)(cid:374)(cid:57)(cid:58)“(cid:38)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:375)(cid:41)(cid:28)(cid:36)(cid:196)(cid:61)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:93) (cid:63)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:358)(cid:24)
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:76)(cid:77)(cid:169)(cid:358)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:308)(cid:353)(cid:123)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:28)(cid:216)(cid:66)(cid:37)(cid:87)(cid:53)(cid:97)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:28)(cid:216)(cid:66)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:61)(cid:192)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:178)(cid:146)
(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:177)(cid:166)(cid:192)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:358)(cid:24)(cid:53)(cid:61)(cid:192) =90°(cid:53)(cid:101)(cid:98)(cid:61)(cid:177)(cid:53)(cid:130)(cid:131)(cid:94)(cid:95)(cid:191)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:36)(cid:118)(cid:173)𝐸(cid:174)𝐹𝐺(cid:175)𝐻(cid:139)(cid:93)(cid:91)
(cid:197)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63) 𝐸𝑀𝑂𝑁 ∠𝑀𝐸𝑁
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)(cid:91)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:53)(cid:36) (cid:123) (cid:123) (cid:123) (cid:73)(cid:235)(cid:69)(cid:375)(cid:41)(cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:123) (cid:123) (cid:123) (cid:53)
𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐷 𝐻𝐸
(cid:53)
(cid:36) (cid:123) (cid:123) (cid:123) (cid:73)(cid:235)(cid:69)(cid:375)(cid:41)(cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:53)
∵ 𝐸 𝐹(cid:53)𝐺 𝐻 (cid:53) (cid:53) (cid:53)
∴𝐸𝐹∥𝐴𝐶 𝐺𝐻∥𝐴𝐶 𝐸𝐻∥𝐵𝐷 𝐹𝐺∥𝐵𝐷
∴(cid:40)𝐸𝐹(cid:41)∥(cid:24)𝐻𝐺,𝐸𝐻∥(cid:93)𝐹(cid:178)𝐺(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)
∴ 𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:53) (cid:53) (cid:53)
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷= 𝐸𝐹∥𝐴=𝐶 𝐸𝐻∥𝐵=𝐷90°(cid:53)
∴(cid:40)∠𝑀(cid:41)𝑂(cid:24)𝑁 ∠𝐸𝑀(cid:93)𝑂(cid:358)(cid:24)∠(cid:53)𝐸𝑁𝑂
∴ 𝐸=𝑀9𝑂0𝑁°(cid:53)
∴(cid:40)∠𝑀(cid:41)𝐸(cid:24)𝑁 (cid:93)(cid:358)(cid:24)(cid:53)
∴(cid:100)(cid:71)(cid:72)(cid:69)𝐸(cid:10)𝐹𝐺(cid:358)𝐻(cid:24)(cid:63)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)7-2(cid:20)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:304)(cid:132)(cid:38)(cid:80)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:369)(cid:370)“(cid:38)(cid:39)”(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:295)(cid:56)(cid:51)(cid:52)(cid:196)(cid:265)(cid:25)“(cid:38)(cid:39)”(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:53)(cid:145)(cid:81)(cid:66)
(cid:123) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:63)(cid:64) =2(cid:53) =4(cid:53)(cid:65) + = (cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷
2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)20
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:97)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:47)(cid:98)(cid:61)AC BD(cid:53)(cid:136)(cid:138)(cid:139)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:61)(cid:62)AD2+BC2=AB2+CD2(cid:53)(cid:102)(cid:99)(cid:142)(cid:91).
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20) (cid:40)(cid:41)(cid:24)ABCD(cid:93)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)⊥
AC BD(cid:53)∵
∴ A⊥OD= AOB= BOC= COD=90°(cid:53)
∴(cid:97)∠(cid:85)(cid:86)(cid:37)∠(cid:87)(cid:61)(cid:53)∠AD2+B∠C2=AO2+DO2+BO2+CO2(cid:53)
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2(cid:53)
AD2+BC2=AB2+CD2(cid:53)
∴AD=2(cid:53)BC=4(cid:53)
∵ + =AD2+BC2=22+42=20(cid:53)
2 2
(cid:100)∴𝐴(cid:71)𝐵(cid:72)(cid:69)𝐶𝐷(cid:10)20.
(cid:15)(cid:36)(cid:187)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:258)(cid:139)(cid:53)(cid:91)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:93)(cid:87)(cid:91)(cid:376)(cid:37)(cid:47)(cid:53)(cid:118)(cid:130)(cid:131)(cid:175)(cid:139)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87).
(cid:15)(cid:106)(cid:107)7-3(cid:20)(cid:43)2025·(cid:246)(cid:247)(cid:247)(cid:234)·(cid:117)(cid:49)(cid:50)(cid:257)(cid:152)(cid:150)(cid:377)(cid:378)(cid:10)
(cid:54)(cid:11)(cid:302)(cid:379)(cid:380)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:186)(cid:219)(cid:28)(cid:53)(cid:381)(cid:382)(cid:34)(cid:383)(cid:169)(cid:117)(cid:37)(cid:25)(cid:384)(cid:207)(cid:385)(cid:386)(cid:53)(cid:157)(cid:175)(cid:139)(cid:189)(cid:56)(cid:25)(cid:385)(cid:386)(cid:145)“(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:137)(cid:146)(cid:384)
(cid:207)(cid:63)(cid:37)(cid:47)(cid:10)(cid:145)(cid:81)(cid:66)(cid:132)(cid:88)(cid:179)(cid:38)(cid:80)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:369)(cid:148)(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:63)(1)(cid:37)(cid:47)(cid:87)(cid:91)
(cid:52)1(cid:28)(cid:53) (cid:123) (cid:123) (cid:82)(cid:36)(cid:316)(cid:54)(cid:387)(cid:36)(cid:55)(cid:53)(cid:157)(cid:54)(cid:387)(cid:36)(cid:55)(cid:274)(cid:37)(cid:36) (cid:53)(cid:149)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:69)(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:63)
(2)(cid:261)(cid:388)(cid:206)𝐴(cid:207)𝐵 𝐷 𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:51)(cid:52)2(cid:53)(cid:54)(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:28)(cid:53)(cid:145)(cid:81)(cid:66) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:179) = (cid:53) = (cid:53)(cid:158) (cid:250)(cid:36) (cid:251)
(cid:194)(cid:252)(cid:253)(cid:209)(cid:43)0° (cid:253)(cid:209)(cid:81)<4𝐴5𝐵°(cid:50)𝐶𝐷(cid:53) (cid:123) (cid:25)(cid:145)(cid:258)𝐴𝐶(cid:36)(cid:73)𝐵𝐷(cid:235)(cid:69) (cid:123)𝑂 (cid:53)(cid:51)𝑂(cid:52)𝐴 3(cid:53)𝑂𝐷(cid:157)(cid:171)𝑂(cid:272)𝐵(cid:40)(cid:41)𝑂𝐶(cid:24) △𝐶(cid:93)𝑂𝐵(cid:350)(cid:69)(cid:145)𝑂(cid:88)
′ ′ ′ ′
(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:118)≤(cid:165)(cid:166)(cid:87)(cid:97)(cid:63)(cid:43)(cid:389)(cid:213)(cid:52)𝐵 3(cid:25)𝐶(cid:390)(cid:391)(cid:177)(cid:166)(cid:101)(cid:98)(cid:50)𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
(3)(cid:392)(cid:393)(cid:175)(cid:139)
(cid:54)(cid:43)2(cid:50)(cid:25)(cid:156)(cid:190)(cid:111)(cid:53)(cid:64) =3(cid:53) =5(cid:53)(cid:193) (cid:69)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:194)(cid:53)(cid:80)(cid:58)(cid:371)(cid:192)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:63)
′ ′ ′
(cid:15)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(1)(cid:168)(cid:103)(cid:91) 𝑂𝐵 𝑂𝐴 △𝑂𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
(2)(cid:177)(cid:166)(cid:168)(cid:91)(cid:74)
(3)32(cid:394)29
(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:20)(cid:75)(cid:21)(cid:198)(cid:199)(cid:76)(cid:77)(cid:395)(cid:396)(cid:148)(cid:52)(cid:53)(cid:172)(cid:88)(cid:82)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:37)(cid:150)(cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:191)(cid:127)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:87)(cid:25)(cid:258)(cid:139)(cid:53)(cid:273)(cid:274)(cid:87)(cid:91)“(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)
(cid:41)(cid:24)”(cid:25)(cid:37)(cid:47)(cid:93)(cid:91)(cid:71)(cid:75)(cid:21)(cid:25)(cid:3)(cid:92)(cid:63)
(cid:43)1(cid:50)(cid:134)(cid:135)“(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:25)(cid:37)(cid:47)(cid:148)(cid:52)(cid:101)(cid:98)(cid:104)
(cid:43)2(cid:50)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:154) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:177)(cid:166) (SAS)(cid:61) = (cid:53) =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:53)(cid:136)(cid:177)𝐴𝐶(cid:166) 𝐵 𝐷 (cid:101)(cid:98)𝑁(cid:61)(cid:192)𝑂(cid:220)𝐷(cid:270)(cid:104)𝐵 𝐷 𝐸 △𝐴𝑂𝐶 ≌△𝐷𝑂𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐵 ∠𝐶 𝐴𝑂 ∠
′ ′ ′
𝐵(cid:43)3𝐷(cid:50)𝑂(cid:193) 𝐴(cid:93)𝐶(cid:80)⊥(cid:81)𝐵(cid:194)𝐷(cid:53)(cid:193) (cid:69)(cid:80)(cid:81)(cid:194)(cid:53)(cid:73)(cid:235)(cid:142)(cid:91)(cid:101)(cid:98)(cid:104)
′ ′
(cid:15)(cid:103)(cid:91)(cid:20)∠(cid:43)𝐴𝑂1𝐵(cid:50)(cid:91)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:40)∠(cid:41)𝐴(cid:24)𝐵 𝑂 (cid:101)(cid:69)(cid:196)(cid:148)(cid:25)(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:104)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:43)2(cid:50)(cid:91)(cid:10)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:93)(cid:145)(cid:88)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:87)(cid:97)(cid:51)(cid:111)(cid:10)
′ ′
𝐴𝐵 𝐶 𝐷(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)(cid:154) (cid:150) (cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:53)
′ ′ ′
𝐴𝐶 𝐵 𝐷 𝑁 𝑂𝐴 𝐵 𝐷 𝐸
(cid:97)(cid:21)(cid:176)(cid:89)(cid:53) = (cid:53) = (cid:53) = =90°(cid:53)
′ ′ ′ ′
+ 𝑂𝐴 𝑂=𝐷 𝑂𝐵 +𝑂𝐶 ∠𝐴(cid:53)𝑂(cid:101)𝐷 ∠𝐵 𝑂=𝐶 (cid:53)
′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:54)∴∠𝐴𝑂𝐷 (cid:96)∠𝐷𝑂𝐶 ∠(cid:28)𝐵(cid:53)𝑂𝐶 ∠𝐷𝑂𝐶 ∠𝐷𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶
′ ′
△𝐴𝑂𝐶= △𝐷𝑂𝐵
= (cid:53)
𝑂𝐴=𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐶′ ∠𝐷𝑂𝐵′
𝑂𝐶′ 𝑂𝐵′ (SAS)(cid:53)
′
∴△𝐴𝑂=𝐶′≌△(cid:53)𝐷𝑂𝐵 = (cid:53)
′ ′ ′ ′
(cid:244)∴𝐴𝐶 𝐷𝐵= ∠𝐶 𝐴(cid:53)𝑂 ∠𝐵 𝐷𝑂
∵∠𝐷𝐸=𝑂 ∠𝐴𝐸𝑁=90°(cid:53)
∴∠𝐴𝑂𝐷 ∠(cid:53)𝐴𝑁𝐷
′ ′
∴(cid:54)𝐴(cid:40)𝐶 (cid:41)⊥(cid:24)𝐵 𝐷 (cid:28)(cid:53) (cid:53) = (cid:53)
′ ′ ′ ′ ′ ′
∴(cid:40)(cid:41)(cid:24) 𝐴𝐵 𝐶(cid:93)𝐷(cid:145)(cid:88)(cid:38)𝐴𝐶(cid:39)⊥(cid:40)𝐵(cid:41)𝐷(cid:24)(cid:104)𝐴𝐶 𝐵 𝐷
′
(cid:43)∴ 3(cid:50)(cid:91)(cid:10)𝐴𝐵①𝐶′(cid:193)𝐷 (cid:93)(cid:80)(cid:81)(cid:194)(cid:53)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
′
∠𝐴𝑂𝐵
=3(cid:53) = (cid:53)
∵ 𝑂𝐵=3(cid:104) 𝑂𝐵 𝑂𝐶
∴𝑂𝐶 1 1 1 1
= + + +
2 2 2 2
′ ′ ′ ′
𝑆▱1𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂1𝐴·𝑂𝐵 𝑂1𝐶·𝑂𝐵 𝑂1𝐷·𝑂𝐴 𝑂𝐶·𝑂𝐷
= ×3×5+ ×3×3+ ×5×5+ ×3×5
2 2 2 2
15 9 25 15
= + + +
2 2 2 2=32(cid:104)
(cid:193) (cid:69)(cid:80)(cid:81)(cid:194)(cid:53)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:186)(cid:36) (cid:148) (cid:25)(cid:38)(cid:66)(cid:53)(cid:38)(cid:264)(cid:69) (cid:53)
′ ′
∠𝐴𝐵 𝑂 𝐷 𝑂𝐶 𝐻
= (cid:53) = (cid:53)
′
∵𝑂𝐷 𝑂+𝐴 ∠𝑂𝐻=𝐷90∠°(cid:53)𝐴𝐵 𝑂 + =90°(cid:53)
′
∵∠𝐴𝑂𝐵 =∠𝐻𝑂𝐴 (cid:53) ∠𝐷𝑂𝐻 ∠𝐴𝑂𝐻
′
∴∠𝐷𝑂𝐻 ∠𝐴𝑂𝐵 (AAS)(cid:53)
′
∴△𝐷=𝑂𝐻≌△𝐴𝑂𝐵
′
∴𝐷 𝐻 =𝐴3𝐵(cid:53) =5(cid:53)
∵ 𝑂𝐵 𝑂𝐴
(cid:65) = = 5 3 =4(cid:104)
′ 2 ′2 2 2
𝐴𝐵 𝑂1𝐴 −𝑂𝐵 1 − 1 1
= + + +
2 2 2 2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑆▱𝐴𝐵 1 𝐶𝐷 𝑂𝐴 1 ·𝑂𝐷 𝐵 𝐴 1 ·𝑂𝐵 𝑂 1𝐶 ·𝑂𝐵 𝑂𝐶 ·𝐷𝐻
= ×5×5+ ×4×3+ ×3×3+ ×4×3
2 2 2 2
25 12 9 12
= + + +
2 2 2 2
=29(cid:104)
(cid:257)(cid:55)(cid:196)(cid:224)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)32(cid:394)29
′ ′
𝐴𝐵 𝐶 𝐷