文档文本内容
专题 01 因式分解的拓展（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
题型归纳
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)......................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:7)(cid:31)(cid:32)(cid:19)..........................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)1(cid:32)(cid:19)...........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:45)(cid:44)1(cid:32)(cid:19).......................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:19)....................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:48)(cid:41)(cid:25)(cid:19)....................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:49)(cid:41)(cid:25)(cid:19)....................................................................................................................................................4
举一反三
+
A
A
科
知识点1 十字相乘法分解因式 ★ 全
号
众
公
注
对于一个二次三项式 + + ， ， 若关存在 = · (cid:50) = · (cid:50)且 + = ，那么二次三项
源
资
辅2
式 + + 可以分教解为𝑎：𝑥 𝑏+𝑥 𝑐+ =( 𝑎 +𝑎1)𝑎(2 𝑐+ 𝑐)1(cid:51)𝑐2 𝑎1𝑐2 𝑎2𝑐1 𝑏
2 2
𝑎𝑥对于𝑏二𝑥 次𝑐项系数a等于1𝑎𝑥时，𝑏即𝑥 𝑐+ +𝑎1𝑥， 若𝑐1存𝑎在2𝑥有 𝑐=2 · (cid:50)且 + = ，则 + + 可分
2 2
解为： + + = + + 𝑥) (cid:51)𝑏𝑥 𝑐 𝑐 𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2 𝑏 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2
知识点
𝑥2
分
𝑏𝑥
组分
𝑐
解因
(𝑥
式
𝑐1)(𝑥 𝑐2
对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提
公因式法或公式法或者十子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。
【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】
(cid:15)(cid:52)1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) +3 (cid:51)
3 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)1-1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)𝑥 (cid:10) 𝑥 −4𝑥−12 + (cid:51)
3 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)1-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:67)(cid:68)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)𝑚 −𝑚 𝑛+−4𝑚 4𝑛
(cid:15)(cid:62)(cid:31)1-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:69)(cid:70)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)8𝑎(cid:10)𝑥−𝑏𝑦( 4𝑎)𝑦+−2𝑏(𝑥 )+ ( )
2 2 2
【题型2 分组分解法（分组后利用公式）】 𝑎 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐−𝑎 𝑐 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:52)2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:71)(cid:72)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) + (cid:51)
2 2
𝑥 −1−𝑦 2𝑦(cid:15)(cid:62)(cid:31)2-1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:69)(cid:70)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)2-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:73)(cid:74)·(cid:60)(cid:75)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)𝑥4 −𝑥+−225𝑦−4𝑦 (cid:51)
2 2 4
(cid:15)(cid:62)(cid:31)2-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:69)(cid:70)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)𝑦(cid:10) +𝑥 −1−4𝑦 +
2 2
【题型3 十字相乘法（二次项系数为1）】 𝑥 𝑥𝑦−6𝑦 −2𝑥 19𝑦−15
(cid:15)(cid:52)3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:10)
(cid:86) + (cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:87)(cid:88)(cid:28)(cid:89)(cid:90)(cid:82)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:24)(cid:94)(cid:10)
2
(cid:24)𝑥(cid:10)(cid:95)(cid:96)2𝑥(cid:10)−35(cid:97)(cid:22)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:98)(cid:99)(cid:43)(cid:41)(cid:10) = (cid:50) =( )×(+7)(cid:51)
2
(cid:100)(cid:101)(cid:37)(cid:38)①(cid:50)(cid:102)(cid:75)(cid:41)(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥 −35 −5
②
(cid:51)
(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + =( +7)( )(cid:51)
2
③(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:108)(cid:109)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:100)(cid:101)𝑥(cid:37)(cid:38)2𝑥(cid:22)−(cid:24)35(cid:30)(cid:31)𝑥(cid:92)(cid:93)(cid:25)𝑥(cid:110)−(cid:111)5(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:51)
(cid:112)(cid:34)(cid:56)(cid:113)(cid:93)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
+
A
A
科
(1) + +4(cid:114) ★ 全
号
众
2 公
注
(2)𝑥 5𝑥 (cid:114) 关
，
源
2 辅 资
(cid:15)(cid:62)𝑥 (cid:31)−63𝑥-−1(cid:19)7(cid:26)24-25(cid:76)教(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:68)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)3-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)𝑥 −9𝑥−10
(1) +6(cid:114)
2
(2)𝑥3 −5+𝑥 (cid:51)
2
(cid:15)(cid:62)𝑥(cid:31)32-3𝑥(cid:19)−(cid:26)824-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:122)(cid:123)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)( + ) ( + )+12
2 2 2
【题型4 十字相乘法（二次项系数不为1）】 𝑥 𝑥 −8 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:52)4(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:69)(cid:70)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)4 .
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)4-1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:68)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)2 + 𝑥(cid:51)−11𝑥𝑦−3𝑦
2
𝑥 𝑥−6 1
(cid:15)(cid:62)(cid:31)4-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:68)(cid:125)(cid:128)(cid:57)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)3 + (cid:114)
3
2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)4-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) 𝑥 −2𝑥
(1)6 (cid:114)
2
(2) 𝑎 −7+𝑎−+53(cid:51)
2
−2𝑥 𝑥【题型5 换元法】
(cid:15)(cid:52)5(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:133)(cid:134)(cid:134)(cid:132)·(cid:60)(cid:75)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
(1) + + +81(cid:114)
2
(2) ((𝑚 𝑛)+−21)8((𝑚 𝑛)+6)+4(cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)𝑥 −5-41𝑥(cid:19)(cid:26)24-2𝑥5−(cid:76)4(cid:54)𝑥(cid:55)(cid:56)·(cid:130)(cid:135)(cid:78)(cid:136)·(cid:60)(cid:75)(cid:32)(cid:34)“(cid:46)(cid:47)(cid:25)”(cid:137)(cid:138)(cid:41)(cid:31)( + + +2)+( + +1)(
2 2 2 2
+ +1(cid:139)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24) 𝑥 𝑥)(𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)𝑥(cid:62)−(cid:31)1)5-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:140)(cid:78)(cid:134)(cid:119)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
( )( )( +1)( +3)+9 (cid:51)
2
(cid:15)𝑥−(cid:62)6(cid:31)𝑥5−-32(cid:19)(cid:26)𝑥24-25(cid:76)𝑥 (cid:54)(cid:55)(cid:82)·(cid:118)𝑥 (cid:119)(cid:141)(cid:125)·(cid:60)(cid:75)(cid:32)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:105)(cid:106)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:51)
(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)( +3)( +4)( +5)( +6) =_______
①(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)(𝑥 )(𝑥 +3)(𝑥 +5)+𝑥16=−_3_6__0___(cid:51)
2
② 【题型6 添项 𝑥 法 − 】 1 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:52)6(cid:19)(cid:26)2025·(cid:140)(cid:78)(cid:149)(cid:150)·(cid:39)(cid:151)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:138)(cid:41)(cid:31) (cid:92)(cid:147)(cid:148)(cid:152) (cid:51)
A
+
A
科
5 ★ 全
(cid:15)(cid:62)(cid:31)6-1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)·(cid:153)(cid:78)(cid:154)(cid:155)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)𝑎(cid:156)−(cid:34)1(cid:48)(cid:41)(cid:25) 众 (cid:22)(cid:24)号(cid:30)(cid:31)(cid:10) + (cid:51)
公
注
关 2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)6-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:82)·(cid:153)(cid:78)源(cid:78)(cid:157)， ·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31) 𝑎 −4𝑎𝑚−𝑛 4𝑚𝑛
资
辅
教
(1) +4 (cid:114)
4 4
(2)𝑥 +4𝑦
4
(cid:15)(cid:62)𝑎(cid:31)6-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:82)·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:150)·(cid:60)(cid:75)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:51)
(1) + (cid:51)
2 2
(2)𝑥 +2𝑎𝑥−8+𝑎 (cid:51)
4 2 2 4
【题
𝑎 型7𝑎 𝑏
拆项
𝑏
法】
(cid:15)(cid:52)7(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:68)(cid:125)(cid:160)(cid:161)·(cid:60)(cid:75)(cid:32)(cid:142)(cid:162)(cid:163)(cid:82)(cid:83)(cid:164)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + (cid:114)
3
(2)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)𝑥 9𝑥−10 +6(cid:51)
3 2
(cid:15)(cid:62)(cid:31)7-1(cid:19)(cid:26)2𝑥4-−252𝑥(cid:76)−(cid:54)5(cid:55)𝑥(cid:56)·(cid:133)(cid:134)(cid:165)(cid:166)(cid:167)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
(1) + (cid:114)
2 2
(2)𝑥 4𝑥𝑦−+5𝑦9 (cid:114)
2 2
(3)𝑥 −+10𝑥𝑦 𝑦 (cid:51)
2 2
𝑥 14𝑥𝑦−32𝑦(cid:15)(cid:62)(cid:31)7-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:68)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) + (cid:51)
4 2 2 4
(cid:15)(cid:62)(cid:31)7-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:76)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:68)(cid:125)(cid:168)(cid:119)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:142)(cid:162)(cid:163)(cid:82)(cid:83)(cid:20)(cid:169)(cid:10)𝑎 −3𝑎 𝑏 𝑏
(1) + + (cid:114)
2 2
(2)𝑎 −𝑏 2+𝑎1(cid:51)6𝑏−8
4 2
𝑥 −23𝑥
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
