专题03分式化简求值(60题)(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(湘教)

专题 03 分式化简求值（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
考卷信息：
本套训练卷共60题，含4大题型的化简求值. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对解(cid:20)(cid:21)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)水平！
【题型1 分式化简后直接代入求值】
3 4
1(cid:35)(cid:36)24-25(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =4(cid:35)
2
𝑎 +4𝑎+
1 𝑎 1−𝑎−1 𝑎−1 𝑎
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:54)
2 3
𝑎−2
𝑎+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:21)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:30)(cid:66)(cid:67)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:21)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:30)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:9)(cid:70)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:30)
(cid:49)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:68) =4(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
+
A
A
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + 3 ÷ 4 𝑎 ★ 全 科
2 号
𝑎 +4𝑎+ 公 众
注
( 1)( ) 𝑎 1−𝑎−1 𝑎−1 关
= ，
源
( 2) 资
𝑎+ 𝑎−1 −3 𝑎−1 辅
2教
𝑎−1 ⋅ 𝑎+
=
2 ( 2)
𝑎 −4 𝑎−1
2
( 𝑎−1 2)(⋅ 𝑎+)
=
( 2)
𝑎+ 𝑎−2 𝑎−1
2
𝑎−1 ⋅ 𝑎+
= (cid:30)
2
𝑎−2
𝑎+
1
(cid:86) =4(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
4 2 3
4−2
𝑎 + 5
2(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =1(cid:35)
4
𝑥−3
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) + (cid:30) 𝑥 2−𝑥−2 𝑥 −4𝑥+ 𝑥
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑥(cid:56)(cid:57)(cid:94)𝑥−(cid:95)6(cid:58)−(cid:59)4(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)
(cid:74)(cid:102)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:110)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
5
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
4
𝑥−3
2
( +2)( 𝑥) 2−5𝑥−2 𝑥 −4𝑥+
= ÷
( )
𝑥 𝑥−2 𝑥−3
− 2
𝑥−2 𝑥−2 𝑥−25
= ÷
2 ( )
𝑥 −4 𝑥−3
(− ) 2
= 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
2 2
𝑥 −9 𝑥−2
( +3⋅)( )
= 𝑥−2 𝑥−3
2
𝑥 𝑥−3 (𝑥−2)
= + (cid:30) ⋅
𝑥−2 𝑥−3
2
(cid:86) 𝑥=1𝑥(cid:87)−(cid:30)6(cid:88)(cid:21)=1 + = (cid:35)
2
𝑥 1−6 −4 1
3(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:91)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) +1 ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =3(cid:35)
2 1
𝑎 + 4𝑎
2
𝑎−1 −𝑎 𝑎 −2𝑎+ 𝑎
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) ,1(cid:35)
2
𝑎−1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57) (cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:103)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:66)(cid:67)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:21)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:26)(cid:74)(cid:102)(cid:117)(cid:88)(cid:21)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:117) =3(cid:81)(cid:82)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
1 ( ) ( ) 𝑎
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)=
2 2 2
𝑎 + 𝑎−1 𝑎−1
+ + 𝑎(−1 −) 𝑎−1 ⋅ 4𝑎
=
2 2 2 +
𝑎 1−𝑎 2𝑎−1 𝑎−1 A A
科
⋅ 全
= ( 𝑎− ) 1 = 4𝑎 号 ★
2 2 众
2𝑎 𝑎−1 𝑎−1 注 公
关
𝑎−1⋅ 4𝑎 ，
源
(cid:86) =3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= =1 资
2 辅
3教−1
𝑎
1
4(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =2(cid:35)
2 1 1
𝑎 −1 𝑎+ 1−𝑎
2
1 𝑎 −2𝑎+ 𝑎−1⋅ +𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
1 3
𝑎−1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56) 𝑎 (cid:57) + (cid:58)(cid:59)−(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:121)(cid:122)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:81)(cid:82)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
2 1 1
𝑎 −1 𝑎+ 1−𝑎
2
( )( +𝑎1)−2𝑎+ 𝑎−1(⋅ +𝑎)
=
( ) +1 +1
𝑎−1 𝑎 𝑎−1 − 𝑎−1
2 ⋅ ⋅
=
𝑎(cid:30)−1 𝑎 𝑎
1
𝑎−1
−𝑎+
1
(cid:117) =2(cid:81)(cid:82)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
2 1 3
2−1
𝑎 − + −
5(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:123)(cid:91)(cid:124)(cid:125)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25) + × (cid:30)(cid:50)(cid:51) = (cid:35)
2 2
2𝑥 𝑥 𝑥 −4
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +2(cid:30) 𝑥−2 𝑥+ 𝑥 𝑥 −3
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)3𝑥(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:26)−7(cid:103)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:127)(cid:74)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:49)(cid:78)(cid:20)(cid:80)(cid:84)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:49)(cid:117) =
(cid:81)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) 𝑥 −3(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ×
2 2
2𝑥 𝑥 𝑥 −4
( 2) 𝑥−2 ( 𝑥+ ) ( 𝑥2)( )
= +
( )( 2) ( 2)( )
2𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥−2 𝑥+ 𝑥−2
(𝑥−24𝑥+ ) ( 𝑥+ 2)( 𝑥−2 ) ⋅ 𝑥
=
( )( 2)
𝑥 2𝑥+ +𝑥−2 𝑥+ 𝑥−2
= 𝑥− + 2 2 𝑥 (cid:30) + ⋅ 𝑥
(cid:86) 3=𝑥 (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= +2= (cid:35)
𝑥 −3 −9 −7 1
6(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:131)(cid:125)(cid:132)(cid:133)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =3(cid:35)
𝑥−2
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +1(cid:30)4 1−𝑥−1 𝑥 −1 𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑥(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:35)
(cid:48)(cid:134)(cid:69)(cid:9)(cid:30)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:128)(cid:135) +1(cid:30)(cid:49)(cid:68) =3(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
1 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
𝑥−2
2
1−𝑥−1 𝑥 −1
=
2
𝑥−2 𝑥 −1 +
A
= +1⋅(cid:30) 科 A
𝑥−1 𝑥−2 全
★
号
众
(cid:86) 𝑥=3(cid:87)(cid:30) +1=4(cid:35) 公
注
关
，
源
7(cid:35) 𝑥 (cid:36)24-25(cid:89) 𝑥 (cid:38)(cid:39)(cid:40)·教(cid:136)(cid:137)辅(cid:138)(cid:139) 资 ·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) 1 ÷ 1 (cid:30)(cid:50)(cid:51) = 1 (cid:35)
2 1 1 3
2𝑥+ 𝑥 −𝑥
2 2
1 𝑥 −1 𝑥 −2𝑥+ −𝑥+ 𝑥 −
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑥 (cid:57)−(cid:94)3(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:117)(cid:73)(cid:9)(cid:140)(cid:80)(cid:26)(cid:141)(cid:142)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:20)(cid:71)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:139)(cid:20)(cid:28)(cid:145)(cid:21)(cid:30)(cid:49)(cid:117)(cid:73)(cid:74)
(cid:75)(cid:138)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:146)(cid:147)(cid:72)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)(cid:52)(cid:53)(cid:35)
1 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
2 1 1
2𝑥+ 𝑥 −𝑥
2 2
+1 𝑥 −1 (𝑥 −2𝑥)+ −𝑥+1
= ÷
( +1)( ) ( ) +1
2𝑥 𝑥 𝑥−1
+1 ( ) 2− 1
= 𝑥 𝑥−1 𝑥−1 𝑥
( +1)( ) ( 2) +1
2𝑥 𝑥−1
+1 1⋅ −
= 𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥−1 𝑥
( +1) +1
2𝑥
+1 −
= 𝑥 𝑥 𝑥
( +1) ( +1)
2𝑥 𝑥
+1 −
= 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
( +1)
𝑥
=
𝑥1 (cid:30)𝑥
𝑥1 1
(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
3 1
3
𝑥 − − −3
8(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:119)(cid:120)(cid:148)(cid:149)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10)1+ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =1(cid:30) =3(cid:35)
2 2
𝑥 −𝑦
2 2
𝑥 −2𝑥𝑦+𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) (cid:35)
2𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑥− (cid:57) 𝑦 (cid:58)−(cid:59)1(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:66)(cid:67)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:21)(cid:143)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:21)(cid:150)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:117) =1(cid:30) =3
(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:28)(cid:83)(cid:84)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:151)(cid:3)(cid:114)(cid:115)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35) 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)1+
2 2
𝑥 −𝑦
2 2
( + )( 𝑥)−2𝑥𝑦+𝑦
=1+
( )
𝑥 𝑦 𝑥−𝑦
+ 2
=1+ 𝑥−𝑦
𝑥 𝑦
+
= 𝑥+−𝑦
𝑥−𝑦 𝑥 𝑦
=
𝑥−𝑦(cid:30) 𝑥−𝑦
2𝑥
𝑥−𝑦
(cid:86) =1(cid:30) =3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= 2×1 = (cid:35) A A +
科
全
★
号
𝑥 𝑦 1−3 −1 公 众 1 1
9(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:125)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)
，
(cid:48)(cid:22)关(cid:23)(cid:30)注(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷
2
(cid:30)(cid:50)(cid:51) =3(cid:35)
源 𝑥 −2𝑥+
3 教 辅 资 1−𝑥 𝑥 2 𝑥
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
2
𝑥
𝑥−1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:72)(cid:20)(cid:155)(cid:78)(cid:20)(cid:30)(cid:117)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:35)
(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:30)(cid:49)(cid:117)(cid:73)(cid:22)(cid:76)(cid:77)(cid:30)(cid:20)(cid:28)(cid:145)(cid:21)(cid:78)(cid:20)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:68) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
𝑥
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ÷
2
𝑥−1 (𝑥−1)
2
𝑥 𝑥
=
2
𝑥−1 𝑥
⋅ 2
= 𝑥 (cid:30)(𝑥−1)
𝑥
𝑥−1
(cid:86) =3(cid:87)(cid:30)
𝑥 3
(cid:88)(cid:21)=
3−1
3
= (cid:35)
2
1
10(cid:35)(cid:36)23-24(cid:156)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:131)(cid:125)(cid:148)(cid:157)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =5(cid:35)
1 2 1
𝑥 −𝑥
2
2 1−𝑥+ 𝑥 −2𝑥+ 𝑥
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:54)
1 3
𝑥−1
𝑥+(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:68)(cid:88)(cid:21)(cid:26)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:72)(cid:20)(cid:30)(cid:49)(cid:117)(cid:73)(cid:74)(cid:158)(cid:159)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:80)(cid:128)(cid:79)(cid:23)(cid:129)
(cid:130)(cid:30)(cid:49)(cid:117) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
𝑥 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
1 2 1
𝑥 −𝑥
2
+ 1−𝑥++1 𝑥 −2𝑥+
=
+1 2
𝑥 1−1 𝑥 −2𝑥
( ⋅ ) 2
= 𝑥 𝑥 −𝑥
+1 ( 2)
𝑥 𝑥−1
⋅
=𝑥 (cid:54) 𝑥 𝑥−1
1
𝑥−1
𝑥+
4 2
(cid:86) =5(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = = (cid:35)
5 1 6 3
5−1
𝑥 + 4 1
11(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) = (cid:35)
2 2 2 2
𝑥 −4𝑥+ 𝑥 −2𝑥
2
1 𝑥 −4 𝑥+ 𝑥
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)2
𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:155)(cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:164)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:138)(cid:76)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)
(cid:104)(cid:35)
+
A
A
科
1 ★ 全
(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:68) = (cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)号(cid:35)
2 众
公
注
关
4 源
，𝑥
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷ 资
𝑥 2 −4𝑥+ 教 𝑥 2辅 − 2 2𝑥
2
( ) 𝑥 −4( 𝑥)+
= ÷
( +2)( 2 ) +2
𝑥−2 𝑥 𝑥−2
( ) +2
= 𝑥 𝑥−2 𝑥
( +2)( 2 ) ( )
𝑥−2 𝑥
⋅
1
= 𝑥(cid:35) 𝑥−2 𝑥 𝑥−2
𝑥
1 1 1
(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= =1÷ =2(cid:35)
2 2
𝑥 𝑥
3
12(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:163)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =3(cid:35)
2 4
𝑥−1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +2(cid:54)8 𝑥−2 𝑥+ 2𝑥+ 𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)2(cid:56)𝑥(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:168)(cid:57)(cid:30)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:64)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:64)
(cid:34)(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:48)(cid:77)(cid:62)(cid:30)(cid:49)(cid:77)(cid:73)(cid:30)(cid:49)(cid:127)(cid:174)(cid:36)(cid:175)(cid:130)(cid:176)(cid:69)(cid:9)(cid:48)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:70)(cid:177)(cid:26)(cid:30)(cid:49)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:178)(cid:177)(cid:26)(cid:47)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)
(cid:74)(cid:102)(cid:30)(cid:180)(cid:48)(cid:150)(cid:69)(cid:9)(cid:70)(cid:177)(cid:26)(cid:20)(cid:21)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:22)(cid:76)(cid:181)(cid:20)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:49)(cid:127)(cid:174)(cid:30)(cid:181)(cid:87)(cid:68)(cid:73)(cid:21)(cid:26)(cid:20)(cid:71)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:49)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:73)
(cid:74)(cid:95)(cid:77)(cid:182)(cid:73)(cid:21)(cid:26)(cid:183)(cid:110)(cid:22)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:80)(cid:128)(cid:135)(cid:79)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:179)(cid:65) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:50)(cid:30)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:184)(cid:129)(cid:130)(cid:35)
3 𝑥
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
2 4
𝑥−1
𝑥−2 𝑥+ 2𝑥+3
= + ÷
2+2 +2 +4
𝑥 −4 𝑥−1
= 𝑥 ÷ 𝑥 2𝑥
2+2 +4
𝑥 −1 𝑥−1
( +1)( ) 2( +2)
= 𝑥 2𝑥 ×
+2
𝑥 𝑥−1 𝑥
= +2(cid:54)
𝑥 𝑥−1
(cid:86) 2=𝑥 3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=2×3+2=8(cid:35)
𝑥 1 1
13(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:90)(cid:91)(cid:90)(cid:163)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =2025
2𝑥+ 𝑥+
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +1(cid:30)2026 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑥(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:172)(cid:173)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:35)
(cid:88)(cid:21)(cid:69)(cid:9)(cid:51)(cid:141)(cid:185)(cid:72)(cid:20)(cid:186)(cid:179)(cid:65)(cid:181)(cid:20)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:127)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:181)(cid:87)(cid:179)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:75)(cid:187)(cid:30)(cid:49)(cid:78)(cid:20)(cid:128)(cid:135)(cid:79)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:30)
(cid:117) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:83)(cid:84)(cid:28)(cid:57)(cid:35)
𝑥 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= +
2 1
𝑥 2𝑥+ 𝑥
+ +1 𝑥 𝑥 ⋅𝑥+ +
A
= A
科
2 +1 全
★
𝑥 2𝑥 𝑥 号
众
( +1) ⋅ 公
= 𝑥 𝑥 关 注
2 +1 ，
源
𝑥 𝑥 资
辅
= +1(cid:30) ⋅ 教
𝑥 𝑥
(cid:86) 𝑥=2025(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=2025+1=2026(cid:35)
𝑥 1 1
14(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:42)(cid:153)(cid:156)(cid:42)·(cid:188)(cid:189)(cid:97)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =2(cid:35)
2 2
𝑥 𝑥 +2𝑥+
1 𝑥−1−𝑥−1 𝑥−1 𝑥
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
1 3
𝑥−1
𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:117) =2(cid:81)(cid:82)(cid:135)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)
(cid:129)(cid:130)(cid:51)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:28)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35) 𝑥
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ×
2 ( 1)
𝑥 −1 𝑥−1
2
( +1)( ) 𝑥−1 𝑥+
= ×
( +1)
𝑥 𝑥−1 𝑥−1
2
= (cid:30) 𝑥−1 𝑥
1
𝑥−1
𝑥+
(cid:86) =2(cid:87)(cid:30)
𝑥 1
(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
2 1 3
2−1
+1
15(cid:35)(cid:36)24-25(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:163)·(cid:188)(cid:189)(cid:97)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) = (cid:35)
𝑥−2
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +1(cid:30) 1−𝑥−1 𝑥 −1 𝑥 −5
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑥(cid:196)(cid:57)(cid:58)(cid:59)−(cid:60)4 (cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:127)(cid:174)(cid:64)(cid:34)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:72)(cid:20)(cid:30)(cid:72)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:197)(cid:79)(cid:23)(cid:7)(cid:20)(cid:144)(cid:54)(cid:20)(cid:21)(cid:26)
(cid:77)(cid:73)(cid:64)(cid:34)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:78)(cid:20)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:197)(cid:7)(cid:145)(cid:21)(cid:35)
(cid:88)(cid:21)(cid:198)(cid:73)(cid:110)(cid:69)(cid:9)(cid:51)(cid:141)(cid:185)(cid:72)(cid:20)(cid:186)(cid:179)(cid:65)(cid:181)(cid:20)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:174)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:181)(cid:87)(cid:179)(cid:65)(cid:73)(cid:182)(cid:199)(cid:142)(cid:110)(cid:164)(cid:200)(cid:77)(cid:182)(cid:201)(cid:142)(cid:110)(cid:26)(cid:183)
(cid:110)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:64)(cid:34)(cid:22)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:128)(cid:135)(cid:79)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:68)x(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:184)(cid:25)(cid:35)
1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
𝑥−2
2
1−𝑥−1 𝑥 −1
= (cid:30)
𝑥−1−1 (𝑥+1)(𝑥−1)
=𝑥−1+1⋅(cid:30) 𝑥−2
(cid:86) 𝑥= (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= +1= (cid:35)
𝑥 −5 −5 −4
16(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:67)(cid:202)·(cid:203)(cid:45)(cid:204)(cid:205)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) (cid:30)(cid:50)(cid:51) =1(cid:35)
2
3𝑥 𝑥 𝑥 −4
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +4(cid:30)6 𝑥−2−𝑥−2 ⋅ 𝑥 𝑥
+
A
A
科
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)2(cid:56)𝑥(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:30)(cid:150)(cid:206)(cid:185)
★
(cid:21)(cid:145)全(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:49)(cid:117) =1(cid:81)
号
众
公
注
(cid:82)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) 关 𝑥
，
源
资
辅
教( 2)( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= =2( +2)= +4(cid:35)
2𝑥 𝑥+ 𝑥−2
(cid:86) =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=2 𝑥 × −2 1⋅+4= 𝑥 6(cid:35) 𝑥 2𝑥
𝑥 4 4 1
17(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:165)(cid:166)(cid:207)(cid:163)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) = (cid:35)
2 2 2 2
𝑥 −4𝑥+
1 2 1−𝑥+ 𝑥+ 𝑥
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
3
𝑥−2 − 1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:117) = (cid:81)(cid:82)(cid:135)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)
2
(cid:129)(cid:130)(cid:51)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:28)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35) 𝑥
2 4 2
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ×
2 2 ( )
𝑥+ 𝑥+
2
+2 𝑥+ −𝑥+ 𝑥−2
= ×
+2 ( )
𝑥−2 𝑥
2
= 𝑥1 (cid:30) 𝑥−2
𝑥−21 1 2
(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
2 1 3
2
𝑎 −2 −
18(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:119)(cid:120)(cid:136)(cid:61)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =3(cid:35)
1 2 1
𝑥 𝑥 −𝑥
𝑥+ −𝑥 𝑥+ 𝑥3
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
2
𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56) 𝑥 (cid:57) −1 (cid:58)(cid:59)−(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:70)(cid:26)(cid:174)(cid:74)(cid:30)(cid:49)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:158)(cid:22)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:76)(cid:79)(cid:23)(cid:20)
(cid:21)(cid:30)(cid:49)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
1 2 1
𝑥 𝑥 −𝑥
( 𝑥++1−)𝑥 (𝑥+ )
= ÷
+1 +1 +1
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥−1
− +1
= 𝑥 𝑥 𝑥
+21 ( )
𝑥−𝑥 −𝑥 𝑥
⋅+1
= 𝑥 𝑥 𝑥−1
+21 ( )
−𝑥 𝑥
⋅
=𝑥 (cid:30)𝑥 𝑥−1
𝑥
−= 𝑥 3 − (cid:30) 1
∵𝑥 3 3
(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
2
∴ −3−1 − 4 1
19(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:152)(cid:153)(cid:208)(cid:209)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51)+=1(cid:35)
2 2A A
𝑎 −4𝑎+ 科
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) 1 公 众 号𝑎 2 −4 ★ 全 1−𝑎+ 𝑎
1 2 注
𝑎−2 关
，
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑎+ (cid:57)(cid:58)−(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)辅(cid:22)(cid:23)资(cid:24)(cid:25) 源 (cid:30)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:30)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:30)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
教
( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ÷
( 2)( 2 ) 2
𝑎−2 𝑎+2−1
( ) +2𝑎+ 𝑎−2 𝑎+
=
( +2)( 2 ) +1
𝑎−2 𝑎
⋅
= 𝑎 (cid:35) 𝑎−2 𝑎
1
𝑎−2
𝑎+
1
(cid:86) =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
1 1 2
1−2
𝑎 + −
20(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:42)(cid:153)(cid:156)(cid:42)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =3(cid:35)
2
2𝑥 𝑥 𝑥
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) 𝑥+ −𝑥−2 𝑥 −4 𝑥
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56)3(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:143)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:210)(cid:211)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:30)(cid:49)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:54)
( 2)( ) ( 2)( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= × × (cid:30)
2
2𝑥 𝑥+ 𝑥−2 𝑥 𝑥+ 𝑥−2
=2( ) ( +2)(cid:30)𝑥+ 𝑥 −𝑥−2 𝑥
= 𝑥−2 − 𝑥(cid:30)
=2𝑥−4(cid:30)−𝑥−2
𝑥−6(cid:86) =3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= (cid:35)
【 𝑥 题型2 分式化简 − 后 3 选择合适的值代入求值】
1 1
21(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:152)(cid:153)(cid:153)(cid:193)·(cid:188)(cid:189)(cid:97)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:49)(cid:212) (cid:30)0(cid:30)1(cid:30)2(cid:51)(cid:30)(cid:213)(cid:199)(cid:142)
2 2 4
𝑥 −2𝑥
2
(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:204)(cid:76)x(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑥+ 𝑥−2 𝑥 −4𝑥+ −2
2 2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
2 3
𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:30)(cid:170)(cid:171)(cid:68)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:143)(cid:213)(cid:219)(cid:101)(cid:214)(cid:26)x(cid:26)(cid:25)(cid:103)(cid:28)(cid:52)(cid:56)
(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:169)(cid:171)(cid:220)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:140)(cid:31)(cid:40)(cid:30)(cid:171)(cid:221)x(cid:26)(cid:25)(cid:186)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
1 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
2 2 4
𝑥 −2𝑥
2
+ +2𝑥+ 𝑥−2 +𝑥4−4𝑥+
= ×
( +2)( ) 2
𝑥−2 𝑥 𝑥 −4𝑥
( 2 )
= 𝑥 𝑥−2 × 𝑥 −2𝑥
( +2)( ) ( 2)
2𝑥 𝑥−2
2
= 𝑥 (cid:30) 𝑥−2 𝑥 𝑥−2
2
+
A
A
(cid:86) 𝑥+ =0(cid:30)±2(cid:87)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:222)(cid:215)(cid:216)(cid:30)
★
全 科
号
众
公
注
𝑥 2 2 关
(cid:86) =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = ，
1 2 3 资 源
辅
教
∴ 𝑥 +
2 1 1
22(cid:35)(cid:36)2024·(cid:131)(cid:125)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) + ÷ (cid:30)(cid:49)(cid:213)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:50)(cid:51)a(cid:84)(cid:219)(cid:25)(cid:76) (cid:30) (cid:30)
3 3
𝑎+
(cid:35) 𝑎−3 𝑎+ 𝑎+ −1 −2
−3 3 3
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=
5
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑎− (cid:57) 3 (cid:94)(cid:95)𝑎(cid:58)(cid:59)−(cid:60)2 (cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)−(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:117)(cid:227)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:117)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:138)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)
(cid:79)(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:213)(cid:228)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
2 1 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
3 3
𝑎+
2( +3)𝑎−3 𝑎+ 𝑎+ +3
= +
( )( +3) ( )( +3) +1
𝑎 𝑎−3 𝑎
+6+ +3 ⋅
= 𝑎−3 𝑎 𝑎−3 𝑎 𝑎
( )( +3) +1
2𝑎 𝑎−3 𝑎
+3 ⋅ +3
= 𝑎−3 𝑎 𝑎
( )( +3) +1
3𝑎 𝑎
3( +1) ⋅ +3
= 𝑎−3 𝑎 𝑎
( )( +3) +1
𝑎 𝑎
⋅
=
𝑎3−(cid:30)3 𝑎 𝑎
𝑎−3(cid:20)(cid:21)(cid:95)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:30)
∵ ( +3)( ) 0
(cid:30)
+1 0
𝑎 𝑎−3 ≠
∴ ±𝑎3(cid:229) ≠ (cid:30)
∴𝑎≠ 𝑎≠−1 3 3
(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
5
∴ 𝑎 −2 −2−3 −
23(cid:35)(cid:36)22-23(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:42)(cid:230)(cid:231)(cid:163)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:22)(cid:23) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:76)(cid:232)(cid:164)(cid:21) 2(cid:26)(cid:233)
2
𝑎−1 𝑎 −1
(cid:110)(cid:28)(cid:30)(cid:213)(cid:228)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 1− 𝑎 𝑎+2𝑎 𝑎 −1≤𝑎≤
1 1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) (cid:35)
1 3
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−本 𝑎 题 + 考查−分式的化简求值、不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先算除法，再算减法，然后根据 为不等式 2的整数解，选取一个使得原分式有意义的值代入化简
后的式子计算即可． 𝑎 −1≤𝑎≤
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)解： ÷
2
𝑎−1 𝑎 −1
2
1− 𝑎+2)𝑎 +2𝑎 +
= A A
+ 全 科
𝑎−1 𝑎(𝑎 号 ★
1− +2⋅
公
众
= 𝑎 (𝑎 1)(𝑎−1) 注
关
+1 ，
源
𝑎 资
1−+ 教 辅
= 𝑎
+1
𝑎 1−𝑎−2
1
= 𝑎 ，
1
−为 𝑎+ 不等式 2的整数解， 0， + 0， +2 0，
∵𝑎=2， −1≤𝑎≤ 𝑎≠ (𝑎 1)(𝑎−1)≠ 𝑎 ≠
∴𝑎 1 1
当 =2时，原式= = ．
2 1 3
𝑎 − + − 3 4
24(cid:35)(cid:36)23-24(cid:156)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:42)(cid:230)(cid:234)(cid:235)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) 3(cid:229)x(cid:76)(cid:233)(cid:110)(cid:30)
1 2
𝑥 −4𝑥+
2
(cid:236)(cid:237)(cid:219)(cid:199)(cid:142)(cid:101) ． (cid:214) ． (cid:26)(cid:110)(cid:204)(cid:76)x(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 1−𝑥+ 𝑥 −1 −1≤𝑥≤
1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) =0(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= (cid:54) =3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=2
2
𝑥−1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19) 𝑥 (cid:56) −2 (cid:57)(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)𝑥(cid:48)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:30)(cid:49)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
1 3 ( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ÷
1 1 ( 1)( 2 )
𝑥+ 𝑥−2
( +1)( )𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ 𝑥−1
=
+1 ( )
𝑥−2 𝑥 𝑥−1
⋅ 2
𝑥 𝑥−2= (cid:30)
𝑥−1
𝑥−2
( +1)( ) 0(cid:30)( ) 0(cid:30)
2
∵ 𝑥 2(cid:30)𝑥−1±1≠(cid:30) 𝑥−2 ≠
∴𝑥≠ 𝑥≠3(cid:229)x(cid:76)(cid:233)(cid:110)(cid:30)
∵−1=≤0(cid:238)𝑥≤=3(cid:30)
∴𝑥 𝑥 1
(cid:86) =0(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = = (cid:54)
2
𝑥−1 0−1
𝑥 𝑥−2 0−2
(cid:86) =3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = =2(cid:35)
𝑥−1 3−1
𝑥 𝑥−2 3−2
1
25(cid:35)(cid:36)23-24(cid:156)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:42)(cid:230)(cid:234)(cid:235)·(cid:188)(cid:189)(cid:97)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:212) (cid:30) (cid:30)0(cid:51)
1 1
𝑎
2
(cid:26)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:110)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑎 +2𝑎+ 1−𝑎+ 𝑎 −2 −1
1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:54)
1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19) 𝑎 (cid:56) + (cid:57)(cid:58)−(cid:59)1 (cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:239)(cid:240)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:155)(cid:72)(cid:20)(cid:155)(cid:78)(cid:20)(cid:240)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:127)(cid:174)(cid:77)(cid:73)(cid:64)(cid:34)(cid:164)(cid:114)(cid:115)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)
(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:172)(cid:173)(cid:30)(cid:48)(cid:150)(cid:20)(cid:21)(cid:20)(cid:71)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:77)(cid:73)+(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:78)(cid:20)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)
A
A
科
全
★
(cid:22)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:49)(cid:241)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:128)(cid:135) (cid:30)(cid:81)(cid:25)(cid:24)(cid:28)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)号(cid:52)(cid:53)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:242)(cid:168)(cid:57)
众
公
注
关
(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35) 源 ， 𝑎
资
辅
教
1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
1 1
𝑎
2
𝑎 ++2𝑎1+ 11−𝑎+
= ÷
( +1) +1 +1
𝑎 𝑎
2 + −
= 𝑎 ÷ 𝑎 𝑎
( +1) +1
𝑎 𝑎 1−1
2 +1
= 𝑎 × 𝑎
( +1)
𝑎 𝑎
2
=
𝑎1
(cid:30)
𝑎
1
𝑎+
(cid:241)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:84)(cid:114)(cid:30) (cid:30)(cid:229) 0(cid:30)(cid:102) (cid:219)(cid:25)(cid:76) (cid:30)
1 𝑎≠−1 𝑎≠ 𝑎 −2
(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
1
∴ 𝑎 −2 −2+ −1 1
26(cid:35)(cid:36)2025·(cid:42)(cid:230)(cid:230)(cid:163)·(cid:243)(cid:223)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) ÷ (cid:30)(cid:49)(cid:212)1(cid:30)0(cid:30)3(cid:51)(cid:213)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:110)(cid:204)(cid:76) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35)
2 2 ．．
𝑎 + 𝑎 −1
𝑎 −2 𝑎 𝑎
1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
1 2
𝑎−1
𝑎+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:169)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:30)(cid:244)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:54)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:70)(cid:26)
(cid:174)(cid:74)(cid:30)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:30)(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:171)(cid:221)a(cid:26)(cid:25)(cid:186)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
2 2
𝑎 + 𝑎 −1
+1 𝑎 −2 𝑎
= ÷
2 2
𝑎 −2𝑎 𝑎 −1
= 𝑎 × 𝑎
2 +
(𝑎−1) 𝑎
= 𝑎(cid:54) (𝑎 1)(𝑎−1)
1
𝑎−1
𝑎+
0(cid:30) +1 0(cid:30) 0(cid:30)
∵𝑎≠0(cid:30)𝑎 ≠(cid:30) 𝑎−11(cid:30)≠
∴𝑎≠=3(cid:54)𝑎≠−1 𝑎≠
∴𝑎 1
(cid:86) =3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
3 1 2
3−1
𝑎 + 8 9
27(cid:35)(cid:36)2024·(cid:42)(cid:230)(cid:230)(cid:163)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ , (cid:50)(cid:51)x(cid:213)(cid:219)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:35)
2
𝑥 −6𝑥+
3 𝑥 1−𝑥−1 1−𝑥
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) =0(cid:30)(cid:88)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:76)1
𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56)𝑥(cid:57)−3(cid:94)(cid:95)𝑥 (cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:30)(cid:77)(cid:74)(cid:7)(cid:21)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
+
A
A
科
(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:74)(cid:7)(cid:21)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:81)(cid:82)(cid:214)(cid:86)(cid:26)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:28)(cid:35) 全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + 8 ÷ 资2 源 9 ， 关
辅𝑥 −6𝑥+
教
𝑥( 1−)𝑥−1 1−𝑥
= ÷
2 2
𝑥 −1−8 𝑥−3
( +3)( ) ( )
= 𝑥−1 ×1−𝑥
( )
𝑥 𝑥−3 − 𝑥−1
2
= 3𝑥 (cid:30) −1 𝑥−3
𝑥+
−𝑥−3
0(cid:30) +9 0(cid:30)
2
∵𝑥−11≠(cid:30) 𝑥3−(cid:30)6𝑥 ≠
∴𝑥≠ 𝑥≠ 3 0 3
(cid:245) =0(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = =1(cid:35)
𝑥+ +
∴ 𝑥 −𝑥−3 −0−3
1
28(cid:35)(cid:36)23-24(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:41)(cid:42)(cid:112)(cid:246)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) ÷ (cid:30)(cid:186)(cid:169) (cid:30) (cid:30)1(cid:30)3(cid:51)(cid:213)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)
2 2 1
𝑎 +𝑎 𝑎 −1
2
(cid:82)(cid:24)(cid:25) 𝑎 −3𝑎 𝑎−3−𝑎+ −2 −1
2 2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
3
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑎(cid:56)−(cid:57)1(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:21)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)
(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:21)(cid:107)(cid:108)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:24)(cid:128) ±1(cid:30)(cid:229)
𝑎≠3(cid:30)(cid:49)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
𝑎≠ 1) 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ×
( 1)( ) 1
𝑎(𝑎+ 𝑎−3
𝑎(𝑎−3) 𝑎+ 𝑎−1 −𝑎+
(cid:247)
1 1
1
𝑎−1−+𝑎+1
=
( +1)( ) ( +1)( )
𝑎 𝑎−1
−
= 𝑎2 (cid:30) 𝑎−1 𝑎 𝑎−1
2
𝑎 −1 0(cid:30)(cid:229) 0(cid:30)
2
∵𝑎 −±11≠(cid:30)(cid:229) 𝑎−33(cid:30)≠
∴𝑎≠ 𝑎≠ 2 2 2
(cid:117) = (cid:81)(cid:82)(cid:128)(cid:30) = = (cid:35)
3
2
𝑎 −2 𝑎 −1 4−1 2
29(cid:35)(cid:36)2024·(cid:42)(cid:153)(cid:156)(cid:42)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) ÷ (cid:30)(cid:49)(cid:212)(cid:248)2(cid:30)0(cid:30)2(cid:51)(cid:213)(cid:228)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)
4
2𝑥 2𝑥−4
2 2
(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑥−2−𝑥 −4 𝑥 −4𝑥+
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) ,1
2
+
A
A
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑥+ (cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:26)(cid:103)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:26)
★
(cid:74)(cid:102)全(cid:117)(cid:88) 科 (cid:21)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:213)(cid:184)(cid:101)(cid:214)(cid:26)x(cid:26)(cid:25)
号
众
公
注
(cid:81)(cid:82)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) 关
，
源
资
辅
2 教
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
4
2𝑥 2𝑥−4
2 2
2( +2) 𝑥−2−2(𝑥 −4) 𝑥 −4𝑥+
= ÷
( +2)( ) ( )
𝑥 −2𝑥 𝑥−2
+ 2
= 𝑥 𝑥−2 𝑥−2
+ 2
2(𝑥 2)−2𝑥 (𝑥−2)
⋅
2
=(𝑥 (cid:35)2)(𝑥−2) 2(𝑥−2)
2
𝑥+
2(cid:30)(cid:248)2(cid:30)
∵𝑥≠=0(cid:35)
∴𝑥 2 2
(cid:88)(cid:21)= = =1(cid:35)
0 2 2
∴ +
30(cid:35)(cid:36)23-24(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:123)(cid:153)(cid:249)(cid:250)·(cid:188)(cid:189)(cid:97)(cid:190)(cid:47)(cid:22)(cid:23)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:49)(cid:212) = 1(cid:30)0(cid:30)1(cid:51)(cid:213)(cid:228)(cid:199)(cid:142)
1 2 1 2
3𝑥−1 𝑥 −1
(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑥− 𝑥+ 𝑥+ 𝑥 −
1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:86) =0(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=1
1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑥+ (cid:57)(cid:94)(cid:95)𝑥(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:35)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:251)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
( 1) ( )( 1)
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ÷
1 1 1 2
𝑥 𝑥+ 3𝑥−1 𝑥−1 𝑥+
+ +1 1𝑥+ − 𝑥+ 𝑥+
=
2 +1 ( )
𝑥 𝑥−3𝑥
( ) 1 ⋅ 2
= 𝑥 𝑥−1
+12 ( )
𝑥−1
1 ⋅ 2
= 𝑥 𝑥−1
+1
(cid:86) =0(cid:87)(cid:30)
𝑥
𝑥 1
(cid:88)(cid:21)= =1(cid:35)
0 1
∴ +
3
31(cid:35)(cid:36)23-24(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:252)(cid:125)(cid:253)(cid:254)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) 1+ ÷ (cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:49)(cid:212) =0(cid:30) (cid:30)1(cid:30) (cid:51)(cid:213)(cid:228)(cid:199)(cid:142)(cid:101)
1 2
3𝑥−1 𝑥
2
(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑥+ 𝑥 −1 𝑥 −1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:54)2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)4(cid:56)𝑥(cid:57)−4(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:164)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:57)
+
A
(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35) 科 A
全
★
号
众
(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:176)公(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:171)(cid:221)x(cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 1+ 教÷ 辅
1
3𝑥−1 𝑥
2
+1+ (𝑥++1)(𝑥 −1)
= ×
+1
𝑥 3𝑥−1 𝑥 𝑥−1
= ×𝑥 𝑥
1
4𝑥 𝑥−1
=4( )
𝑥
= 𝑥−1(cid:30)
4𝑥−0(cid:30)4 (cid:30)
∵𝑥≠ 3−1,1 3
(cid:86)x(cid:247) (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=4× =2(cid:35)
2 2
∴ −4 2 1 1
32(cid:35)(cid:36)23-24(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:255)(cid:163)(cid:256)(cid:257)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:51)(cid:212) (cid:30)1(cid:30)0(cid:30)2(cid:51)(cid:213)(cid:219)(cid:199)(cid:142)
1
𝑎+ 𝑎+
2
(cid:101)(cid:214) (cid:26)(cid:110)(cid:204)(cid:76) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑎−1−𝑎 −2𝑎+ 𝑎−1 −1
1 𝑎
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) (cid:238)1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19) 𝑎 (cid:196) −1 (cid:57)(cid:58)−(cid:59)1(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:30)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:30)(cid:72)(cid:20)(cid:107)(cid:108)
(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:68)(cid:258)(cid:101)(cid:57)(cid:215)(cid:26) (cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:88)(cid:21)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:184)(cid:52)(cid:53)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:30)(cid:259)(cid:260)(cid:64)(cid:65)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:30)
𝑎(cid:72)(cid:20)(cid:164)(cid:33)(cid:34)(cid:261)(cid:262)(cid:30)(cid:244)(cid:171)(cid:171)(cid:221)(cid:263)(cid:144)(cid:26)(cid:219)(cid:25)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
2 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= × (cid:30)
( ) 1
𝑎+ 𝑎−1
2
2 1 𝑎−1− 𝑎−1 𝑎+
= (cid:30)
𝑎−
1
1−𝑎−1
= (cid:30)
𝑎−1
+1 0(cid:229) 0(cid:30)
∵𝑎 ±≠1(cid:30) 𝑎−1≠
∴𝑎≠ 1
(cid:86) =0(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:54)
∴ 𝑎 0−1 −1
1
(cid:238)(cid:86) =2(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= =1(cid:35)
𝑎 2−1
5 8 4
33(cid:35)(cid:36)23-24(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:264)(cid:125)(cid:265)(cid:266)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:212) (cid:30)2(cid:30)3(cid:267)(cid:142)(cid:110)
2 2 2
𝑥+ 𝑥 +4𝑥+
(cid:51)(cid:268)(cid:219)(cid:199)(cid:142)(cid:101) ． (cid:214) ． (cid:26)(cid:25)(cid:35) 𝑥+ −𝑥+ ⋅ 𝑥−3 𝑥 −2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) +2(cid:30)(cid:86) =2(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=4
+
A
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑥(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:20)(cid:21)(cid:174)(cid:74)(cid:30)科(cid:49)(cid:33)A(cid:34)(cid:20)(cid:21)(cid:77)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:146)(cid:147)(cid:105)(cid:106)(cid:20)
全
★
号
众
(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:171)(cid:221)x(cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)公
注
关
，
源
5 8 辅 资 4
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 教
2 2 2
𝑥+ 𝑥 +4𝑥+
( +2𝑥)+ −𝑥+ ⋅ 𝑥−3
=
+2 2
𝑥−3 𝑥
= +2⋅(cid:30)
𝑥 𝑥−3
(cid:20)𝑥(cid:21)(cid:95)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:30)
∵ +2 0
0 (cid:30)
𝑥 ≠
∴ 𝑥−33(cid:229)≠ (cid:30)
∴(cid:86)𝑥≠=2𝑥(cid:87)≠(cid:30)−(cid:88)2(cid:21)=2+2=4(cid:35)
∴ 𝑥 3
34(cid:35)(cid:36)22-23(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:252)(cid:125)(cid:269)(cid:270)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:22)(cid:23)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:212) (cid:30)1(cid:30)3(cid:51)(cid:213)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)
9
3𝑥 3𝑥−9
2 2
(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:28)(cid:35) 𝑥−3−𝑥 −9 𝑥 −6𝑥+ −3
3 3
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:86) =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=
3 4
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:48) 𝑥+ (cid:22)(cid:23)(cid:69)𝑥(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:30)(cid:49)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:178)(cid:26)(cid:73)(cid:74)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:212) (cid:30)1(cid:30)3(cid:51)(cid:213)(cid:228)(cid:199)(cid:142)(cid:271)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)
(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) −33( 3) ( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)=
( )( 3) ( )( 3) 3( 2)
𝑥+ 3𝑥 𝑥−3
9 ( 𝑥)−3 𝑥+ − 𝑥−3 𝑥+ ⋅ 𝑥−3
=
( )( +3) 3
𝑥−3
⋅
=
𝑥3−(cid:30)3 𝑥
3
𝑥+
(cid:86) =±3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:222)(cid:215)(cid:216)(cid:30)
𝑥=1(cid:30)
∴𝑥 3 3
(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
1 3 4
∴(cid:15)(cid:116)(cid:272)(cid:19)(cid:56)+(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
1 1
35(cid:35)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) )÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:273)(cid:274)(cid:169)0(cid:30)1(cid:30) (cid:201)(cid:267)(cid:142)(cid:25)(cid:51)(cid:219)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:35)
2
𝑚 −2𝑚+
1 (𝑚−𝑚 1 𝑚 𝑚 −2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:86)m=-2(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=
3
𝑚+
𝑚−1
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:213)(cid:184)(cid:199)(cid:142)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)=
(𝑚+1)(𝑚−1) 𝑚 A +
2 A
+1 𝑚 ⋅(𝑚−1) 全 科
= 号 ★
众
公
𝑚 注
关
𝑚−1
0(cid:30)(cid:229) 1(cid:30) =
资
(cid:35)源 ，
辅
教
∵𝑚≠ 𝑚≠ ∴𝑚 1−21
(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
3
−2+
∴(cid:15)(cid:116)𝑚(cid:272)(cid:19)−(cid:56)2(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)−2(cid:26)−1(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:182)(cid:240)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:30)(cid:244)(cid:171)(cid:33)(cid:34)(cid:103)(cid:56)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
【题型3 分式化简后先计算后代入求值】
2
5 9
36(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:123)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:10) + ÷ 2 (cid:30)(cid:49)(cid:212)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278) 1 +1 (cid:26)(cid:233)
𝑥 −6𝑥+ 3𝑥≥ 𝑥−3
2𝑥+
(cid:110)(cid:28)(cid:51)(cid:219)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:35) 𝑥 2−𝑥−2 𝑥−2 ≤2𝑥
3
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:54)
𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19) 𝑥 (cid:56) −3 (cid:57)(cid:58)−(cid:59)2 (cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:279)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:155)(cid:28)(cid:199)(cid:280)(cid:199)(cid:281)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)
(cid:218)(cid:103)(cid:20)(cid:144)(cid:232)(cid:76)0(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:48)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:128)(cid:184) (cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:30)(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:20)
(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:213)(cid:219)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) 𝑥
5 9
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
2
𝑥 −6𝑥+
( +2)( 𝑥) 2−𝑥−2 𝑥−2
=
( )
𝑥 𝑥−2 −5 𝑥−2
⋅ 2
𝑥−2 𝑥−3=
2 ( )
𝑥 −9 𝑥−2
( )⋅( +3)2
= 𝑥−2 𝑥−3
( )
𝑥−3 𝑥
2
=
3 (cid:54)𝑥−3
𝑥+
𝑥−32
1 +1 (cid:30)
3𝑥≥ 𝑥−3①
2𝑥+
(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)≤①2(cid:128)𝑥②(cid:30) 3(cid:30)
(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)②(cid:128)(cid:30)𝑥≤1(cid:30)
(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:26)(cid:28)(cid:282)𝑥(cid:76)≥1 3(cid:30)
∴(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:76)≤=𝑥≤1,2,3(cid:30)
(cid:241)∴(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:84)(cid:128)𝑥 (cid:30) 2(cid:229) 3(cid:30)
1 3 𝑥≠ 𝑥≠
(cid:219) =1(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
+
∴ 𝑥 1−3 −2 1 1
37(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:119)(cid:120)(cid:283)(cid:284)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:285)(cid:114) = (cid:30) = (cid:30)(cid:24) + (cid:26)(cid:25)(cid:35)
3 2 3 2 𝑏 𝑎
+
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19)10 𝑎 − 𝑏 + 𝑎 科 𝑏A A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:243)(cid:281)(cid:105)(cid:21)公(cid:26)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:243)(cid:281)(cid:105)(cid:21)(cid:26)(cid:127)(cid:174)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:66)(cid:67)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:21)(cid:30)
注
关
，
源
(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:50)(cid:64)(cid:34)(cid:286)(cid:102)(cid:103)(cid:28)辅(cid:57)(cid:26)资(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:48)(cid:105)(cid:106)a(cid:30)b(cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:243)(cid:281)(cid:105)(cid:21)(cid:26)(cid:77)(cid:74)(cid:182)(cid:240)(cid:127)(cid:74)(cid:33)(cid:34)(cid:184) (cid:143) + (cid:30)(cid:49)
教
(cid:107)(cid:108)(cid:287)(cid:20)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:127)(cid:74)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
1 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) = = (cid:30)
3 2 3 2
1 ∵𝑎 1 − ,𝑏 + 1 1 3 2 3 2
= × =1(cid:30) + = + = =2 3(cid:35)
3 2 3 2 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2)
+ + −
∴𝑎𝑏 − + 𝑎 𝑏 − + + −
( ) (2 3)
+ = = = =10(cid:35)
2 2 2 12
𝑏 𝑎 𝑏 +𝑎 𝑎+𝑏 −2𝑎𝑏 −2
∴𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 1 1
38(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:111)(cid:112)(cid:288)(cid:289)·(cid:188)(cid:189)(cid:97)(cid:190)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10)1+ ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =( ) + 4(cid:35)
2
𝑥 −2𝑥+
0
2
2 5 𝑥−2 𝑥 −4 𝑥 π−2024
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
2
𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑥(cid:56)−1(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:155)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:21)(cid:155)(cid:66)(cid:67)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:21)(cid:155)(cid:290)(cid:291)(cid:110)(cid:292)(cid:155)(cid:34)(cid:293)(cid:61)(cid:62)(cid:105)(cid:30)
(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:9)(cid:70)(cid:72)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:181)(cid:87)(cid:20)(cid:71)(cid:155)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:30)(cid:109)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:184) (cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)
(cid:83)(cid:84)(cid:35) 𝑥
1 1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 1+ ÷
2
𝑥 −2𝑥+
2
𝑥−2 𝑥 −4+1 ( +2)( )
=
( )
𝑥−2 𝑥 𝑥−2
⋅ 2
= 𝑥2− (cid:30) 2 𝑥−1
𝑥+
𝑥−1
3 2 5
(cid:86) =( ) + 4=1+2=3(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
2
0 +
𝑥 π−2024 3−1
39(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:136)(cid:137)(cid:90)(cid:280)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:294)(cid:295) +| 3|
2 2 2
𝑎 −𝑏 2𝑎𝑏−𝑏
=0(cid:35) 𝑎 𝑎− 𝑎 𝑎, 𝑏 𝑎−2 𝑏−
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)7+4 3
𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)𝑎(cid:56)−𝑏(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:296)(cid:297)(cid:110)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:243)(cid:281)(cid:105)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:34)(cid:293)(cid:61)(cid:62)(cid:105)(cid:155)(cid:298)(cid:150)(cid:25)(cid:26)
(cid:296)(cid:297)(cid:191)(cid:24)(cid:184) =2, = 3(cid:30)(cid:49)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:68) =2, = 3(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) +| 3|=0(cid:30) 0(cid:30)| 3| 0(cid:30)
=0(cid:30)∵ 𝑎 3 − = 2 0(cid:30) 𝑏− 𝑎−2≥ 𝑏− ≥
∴ 𝑎−=22, = 𝑏−3(cid:35)
+
A
(cid:88) ∴ (cid:21) 𝑎 = ( 𝑏)( ) ÷ ( ) = ( )( ) = (cid:35) 全 科 A
𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 ( 𝑎 ) 𝑎+𝑏 众 号 ★
2 公
(cid:86) =2, = 𝑎 3(cid:87)(cid:30) 𝑎 𝑎 ⋅ 𝑎−𝑏关 注𝑎−𝑏
，
源
资
辅
𝑎 2 𝑏 3 教
(cid:88)(cid:21)= =7+4 3(cid:35)
3
+
2− 2 1
40(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:67)(cid:202)·(cid:203)(cid:45)(cid:204)(cid:205)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:103)(cid:62)(cid:122) =0
2 4 2
𝑥 −4 𝑥 𝑥 +2𝑥
2
(cid:26)(cid:28)(cid:35) 𝑥 −4𝑥+ −𝑥−2 𝑥−2 𝑥 𝑥−2−𝑥
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:88)(cid:21)(cid:222)(cid:215)(cid:216)
( 2)
𝑥 𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:28)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:122)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:68)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:28)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:122)(cid:30)
(cid:68)(cid:24)(cid:184)(cid:26)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:122)(cid:26)(cid:28)(cid:81)(cid:82)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:172)(cid:173)(cid:240)(cid:28)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:122)(cid:26)(cid:210)(cid:211)(cid:103)(cid:28)(cid:196)(cid:57)(cid:26)
(cid:3)(cid:104)(cid:35)
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
2 4 2
𝑥 −4 𝑥 𝑥 +2𝑥
2
(𝑥 −4𝑥)+ −𝑥(−2+2)𝑥−2
= ÷
( 2 ) ( )
𝑥 −4 𝑥 𝑥−2 𝑥 𝑥
2−+ 2
= 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
2 ( 2) ( +2)
𝑥 −4−𝑥 2𝑥 𝑥−2
2( ) 2 ⋅
= 𝑥−2 𝑥 𝑥
( ) ( +2)
𝑥−2 𝑥−2
2 ⋅
𝑥−2 𝑥 𝑥2
= (cid:30)
( 2)
𝑥 𝑥+
2 1
=0(cid:30)
∵𝑥−2−( 𝑥
)=0(cid:30)
∴2𝑥− 𝑥+−22=0(cid:30)
∴2𝑥=−𝑥 (cid:30)
∴𝑥 −2 2
(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:86) = (cid:87)(cid:30) (cid:222)(cid:215)(cid:216)(cid:30)(cid:83)(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)(cid:222)(cid:215)(cid:216)(cid:35)
( 2)
𝑥 −2 𝑥 𝑥+ 𝑥 −2 +2 0
41(cid:35)(cid:36)2025·(cid:302)(cid:303)(cid:42)(cid:304)(cid:305)(cid:306)·(cid:267)(cid:223)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51)x(cid:103)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278) 0
1
𝑥 3𝑥 𝑥−2
2 2 𝑥 ≥
(cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:35) 𝑥−1−𝑥 −1 𝑥 +2𝑥+ 3𝑥−2≤
( 1) 2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:86) =0(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=0(cid:35)(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= (cid:54)
3
𝑥 𝑥+
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)𝑥−(cid:57)1(cid:58)(cid:59)(cid:60)𝑥(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:199)(cid:280)𝑥(cid:199)(cid:281)−(cid:232)2(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:26)(cid:233)(cid:110)−(cid:28)(cid:164)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:30)(cid:307)(cid:171)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:74)(cid:103)
(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
(cid:48)(cid:105)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:24)(cid:128)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:30)(cid:83)(cid:84)(cid:128)
A
(cid:135)+x(cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:25)(cid:30)(cid:49)(cid:212)x(cid:26)(cid:233)
A
科
全
★
(cid:110)(cid:25)(cid:51)(cid:213)(cid:219)(cid:271)(cid:128)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:24)(cid:28)(cid:83)号(cid:84)(cid:35)
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷ 资
辅
𝑥 教3𝑥 𝑥−2 1
2 2
𝑥−1−𝑥 −1 𝑥 +2𝑥+
= ÷
( ) ( +1)( ) ( +1)
𝑥 3𝑥 𝑥−2
( −+1) 2( +1)
= 𝑥−1 𝑥 𝑥−1 𝑥 ×
( +1)( ) ( +1)( ) 2
𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥
+ − ( +1)
= 𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥−1 × 𝑥−2
( +12)( ) ( +1)( ) 2
𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥
+ −( +1)
= 𝑥 𝑥−1× 𝑥 𝑥−1 𝑥−2
( +2 1)( ) 2
𝑥 𝑥−3𝑥 𝑥
( ) ( +1)
= 𝑥 𝑥−1 × 𝑥−2
( +1)( ) 2
𝑥 𝑥−2 𝑥
( +1)
= 𝑥 𝑥−1 𝑥−2
𝑥 𝑥
+2 0
(cid:28)(cid:232)𝑥(cid:164)−(cid:21)1(cid:278)
0
𝑥 ≥
(cid:241) +2 0(cid:128)3𝑥(cid:10)−2≤ (cid:30)
𝑥 ≥ 𝑥≥−22
(cid:241) 0(cid:128)(cid:10) (cid:30)
3
3𝑥−2≤ 𝑥≤ 2
(cid:308)(cid:182)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:26)(cid:28)(cid:282)(cid:76) (cid:30)(cid:50)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:76) (cid:30) (cid:30)0(cid:35)
3
−2≤𝑥≤ −2 −1(cid:145)(cid:76)(cid:86) = (cid:87)(cid:88)(cid:21)(cid:222)(cid:215)(cid:216)(cid:30)
𝑥 −1 ( 1) 0(0 1) ( 1) ( 1) 2
(cid:308)(cid:182)(cid:86) =0(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = =0(cid:54)(cid:86) = (cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = = (cid:35)
3
𝑥 𝑥+ + 𝑥 𝑥+ −2 −2+
42(cid:35)(cid:36)𝑥24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:67)(cid:202)𝑥−·(cid:203)1 (cid:45)(cid:204)0(cid:205)−1(cid:47)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:25)𝑥 −2 𝑥−1 −2−1 −
(1)(cid:285)(cid:114) = = 0(cid:30)(cid:24) (cid:26)(cid:25)(cid:54)
𝑥+2𝑦+3𝑧
3𝑥 2𝑦 5𝑧≠ 𝑥−𝑦+𝑧
(2)(cid:285)(cid:114) = = (cid:30)(cid:24) (cid:26)(cid:25)(cid:35)
( )( )( )
𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) 𝑎 (1)58 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎
1
(2) (cid:238)
8
(cid:15)(cid:20)(cid:55)−(cid:19)1(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:309)(cid:310)(cid:110)(cid:74)(cid:30)(cid:197)(cid:184)(cid:267)(cid:142)(cid:75)(cid:311)(cid:312)(cid:26)(cid:3)(cid:313)(cid:30)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
(cid:36)1(cid:47)(cid:309) = = = ( 0)(cid:30)(cid:102) = (cid:30) = (cid:30) = (cid:35)(cid:81)(cid:82)(cid:88)(cid:21)(cid:83)(cid:128)(cid:35)
3𝑥 2𝑦 5𝑧 30𝑘 𝑘≠ 𝑥 10𝑘 𝑦 15𝑘 𝑧 6𝑘
(cid:36)2(cid:47)(cid:309) = = = (cid:30)(cid:102) + = (cid:30) + = (cid:30) + = (cid:35)(cid:128)
𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏
+ + 𝑎 + + 𝑏 + 𝑐 = 𝑚 + 𝑏 + 𝑐 (cid:35)𝑎(𝑚+ 𝑐+ 𝑎)( 𝑏𝑚)= 𝑎 0(cid:35)𝑏(cid:128)𝑐𝑚 + + =0(cid:238) =2(cid:35)(cid:241)
𝑏 + 𝑐 + 𝑐 = 𝑎 0(cid:30) 𝑎 (cid:128) 𝑏 = 𝑎𝑚 = 𝑏𝑚 = 𝑐𝑚 (cid:30)(cid:128) 𝑎 = 𝑏 2(cid:238) 𝑐 2 = −𝑚 (cid:35)(cid:83)(cid:128)(cid:88) 𝑎 (cid:21)= 𝑏1 (cid:238)A 𝑐 A(cid:35) +𝑚
全
科8
𝑏+𝑐 𝑎 ★
号
𝑎(cid:15)(cid:85)𝑏(cid:28)(cid:19)𝑐(cid:36)1(cid:47)(cid:28)(cid:10)𝑚(cid:309) 𝑎
=
−𝑎
=
−
=
1 𝑚(
注
0)(cid:30)𝑚公 众 −1 −1
关
，
源
(cid:102) = (cid:30) = (cid:30)3𝑥=辅2𝑦资(cid:35) 5𝑧 30𝑘 𝑘≠
教
𝑥 10𝑘 𝑦 15𝑘 𝑧 6𝑘
(cid:88)(cid:21)= = =58(cid:35)
10𝑘+30𝑘+18𝑘 58𝑘
∴ 10𝑘−15𝑘+6𝑘 𝑘
(cid:36)2(cid:47)(cid:28)(cid:10)(cid:309) = = = (cid:30)
𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏
(cid:102) + = (cid:30) 𝑎 +𝑏 = 𝑐(cid:30) 𝑚+ = (cid:35)
𝑏+𝑐+ 𝑎𝑚+ +𝑐 𝑎+ =𝑏𝑚 𝑎+ 𝑏 +𝑐𝑚(cid:35)
∴𝑏2( 𝑐+ 𝑐+ )𝑎= 𝑎( 𝑏+ 𝑎+𝑚)(cid:30)𝑏𝑚 𝑐𝑚
(cid:83)∴( 𝑎+ 𝑏+ )𝑐( 𝑚)𝑎=0(cid:35)𝑏 𝑐
𝑎+ 𝑏+ 𝑐=20−(cid:238)𝑚 =2(cid:35)
(cid:241)∴𝑎+𝑏+𝑐=0(cid:30)𝑚
𝑎 𝑏 𝑐
(cid:128) = = = (cid:30)
𝑏+𝑐 𝑎
𝑚 =2 𝑎(cid:238) −= 𝑎 (cid:35)−1
∴𝑚 𝑚 −11
(cid:88)(cid:21)= = (cid:30)
𝑎𝑏𝑐
3 3
∵ 𝑎𝑏𝑐𝑚 𝑚1
(cid:88)(cid:21)= (cid:238) (cid:35)
8
∴ −1 +1 0
1
43(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:275)(cid:276)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)
𝑥
21 +
𝑥
2
+𝑥
÷
𝑥
22
+2𝑥+
(cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:103)(cid:294)(cid:295)(cid:232)(cid:164)(cid:21)
𝑥 5
1
≥
1
2 2𝑥+
(cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:35) 𝑥+ 𝑥−1 −𝑥−2 𝑥 −4𝑥 𝑥 ≤
1 1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
1 2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56) 𝑥 (cid:57) + (cid:58)(cid:59)−(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:30)(cid:170)(cid:171)(cid:98)(cid:99)(cid:151)(cid:3)(cid:191)(cid:192)(cid:126)(cid:314)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:182)
+1 0
1
(cid:240)(cid:64)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:30)(cid:49)(cid:64)(cid:34)(cid:77)(cid:74)(cid:182)(cid:240)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:128) (cid:30)(cid:49)(cid:20)(cid:315)(cid:34)(cid:184) 1 1 (cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:30)(cid:129)(cid:101)(cid:20)(cid:21)(cid:176)(cid:215)(cid:216)(cid:26)(cid:217)(cid:218)(cid:30)
1
𝑥 5 ≥
2𝑥+
1 1 1 −𝑥+ ≤
(cid:117) =1(cid:81)(cid:82) (cid:30)(cid:128) = (cid:30)(cid:83)(cid:84)(cid:204)(cid:52)(cid:35)
1 1 1 2
𝑥 −𝑥+ − + −
1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
21 2 22
𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 +2𝑥+
2
+( )(𝑥++1)𝑥−1 −+𝑥−2 2𝑥 −4𝑥
= ×
2 +1 2 +2 +1
𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −4𝑥
+ ( +1−) ( 2)
= 𝑥 ×𝑥−2 𝑥 2𝑥
2 +21 ( +1)
𝑥 𝑥 −1 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥−2
2 2− 2 +
= 𝑥 𝑥−2 𝑥 A A
科
+2 1 +21 全
★
𝑥 −1 𝑥 号
众
2 − 公
= 𝑥 𝑥 关 注
2 +1 2 ，
源
𝑥 −1−2𝑥 资
辅
1 教
= 𝑥 (cid:35)
1
−+𝑥+1 0
1
1
𝑥 5 ≥ ①
2𝑥+
∵(cid:241) (cid:128)≤ ② (cid:54)
∴(cid:241)①(cid:128)𝑥≥−2(cid:54)1
∴(cid:232)(cid:164)②(cid:21)(cid:278)𝑥(cid:26)≤(cid:28)(cid:282)(cid:76) 2(cid:30)
+1 0
∴ −1≤𝑥≤
(cid:50)(cid:51) (cid:103)(cid:294)(cid:295)(cid:232)(cid:164)(cid:21) 1 1 (cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)
𝑥 5 ≥
2𝑥+
∵ = 𝑥 ≤
∴𝑥+1−1,00,1,2,2 = ( ) 0,
2
∵𝑥= ≠ 𝑥 −4𝑥0(cid:30)2𝑥 𝑥−2 ≠
∴(cid:102)𝑥 =−11(cid:30),𝑥≠2,𝑥≠
𝑥 1 1 1
(cid:117) =1(cid:81)(cid:82) (cid:30)(cid:128) = (cid:35)
1 1 1 2
𝑥 −𝑥+ − + − 1 2
44(cid:35)(cid:36)2025·(cid:275)(cid:276)·(cid:51)(cid:58)(cid:316)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10)( +1)( ) ( +1)+ ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =| |
2 1 1
𝑥 −𝑥
2
𝑥 3𝑥−1 −𝑥 3𝑥 𝑥 +2𝑥+ 𝑥−𝑥+ 𝑥 −3+ (cid:35)
0
(𝜋−4) 1 1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)(cid:88)(cid:21)=
1 5
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56) 𝑥 (cid:57) + (cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)−(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:290)(cid:291)(cid:110)(cid:292)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:206)(cid:185)(cid:21)(cid:77)(cid:182)(cid:206)(cid:185)(cid:21)(cid:30)(cid:317)(cid:185)(cid:21)(cid:77)(cid:182)(cid:206)(cid:185)(cid:21)(cid:30)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)
(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:30)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:105)(cid:106)(cid:298)(cid:150)(cid:25)(cid:26)(cid:215)(cid:216)(cid:30)(cid:290)(cid:291)(cid:110)(cid:292)(cid:24)(cid:184) (cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:49)(cid:117) (cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:51)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)
(cid:83)(cid:84)(cid:35) 𝑥 𝑥
( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)=3 + + ÷
( 1) ( 1)
2 2 𝑥 𝑥−1 𝑥+1−2𝑥
2
( ) ( 𝑥+1)2𝑥−1−3𝑥 −𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+
= +
( +1)
𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥
𝑥−1 2⋅
= 𝑥 1−𝑥
+21
𝑥
𝑥−1−
= 𝑥
2 +1 2
𝑥 −1−𝑥
1
= 𝑥 (cid:54)
1
−= 𝑥 | + |+ =3+1=4(cid:30)
0 +
A
∵𝑥 −3 1(𝜋−4)1 科 A
(cid:88)(cid:21)= = (cid:35) 全
4 1 5 号 ★
众
公
∴ − + − 关 注 ( )>
45(cid:35)(cid:36)2025·(cid:136)(cid:137)(cid:318)(cid:123)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)
资
(cid:47)(cid:48)源(cid:22)(cid:23)，(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10)
2
÷
2
+2 (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:103)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278) 1
教
辅 𝑥
2
−2𝑥 2𝑥−4 −2 𝑥+𝑥3−3 2−𝑥
(cid:26)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:35) 𝑥 −4 𝑥+ −𝑥 𝑥 ≤𝑥−1
1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19) 2 (cid:56) −𝑥 (cid:57)(cid:58)−(cid:59)1 (cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:88)(cid:21)(cid:69)(cid:9)(cid:51)(cid:141)(cid:185)(cid:72)(cid:20)(cid:186)(cid:179)(cid:65)(cid:181)(cid:20)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:174)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:181)(cid:87)(cid:179)(cid:65)
(cid:73)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:75)(cid:187)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:128)(cid:135)(cid:79)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:278)(cid:30)(cid:24)(cid:128)(cid:50)(cid:233)(cid:110)(cid:28)(cid:30)(cid:49)(cid:68)(cid:101)(cid:214)(cid:26)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:184)(cid:25)(cid:35)
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷ +2
2 2
𝑥 −2𝑥 2𝑥−4
2
( ) 𝑥 −4 𝑥+ −𝑥
= ÷ +
( +2)( ) +2 +22
𝑥 𝑥−2 2𝑥−4 4−𝑥
= 𝑥 ÷ 𝑥−2 𝑥 𝑥
+2 +22
𝑥 2𝑥−𝑥
+2
= 𝑥 · 𝑥
+2 ( )
𝑥 𝑥
= 𝑥1 (cid:35) 𝑥 2−𝑥
2−𝑥( )>
(cid:28) 1 (cid:30)
−2 𝑥+𝑥3−3 2−𝑥
(cid:28) ( ≤)>𝑥−1 (cid:128) <4(cid:30)
−2 𝑥−3 2−𝑥 𝑥1
(cid:28) (cid:128) 2(cid:30)
3
𝑥+
(cid:232)(cid:164)(cid:21)≤(cid:278)𝑥−(cid:26)1(cid:28)𝑥(cid:282)≥(cid:76)2 <4(cid:35)
∴ (cid:76)(cid:233)(cid:110)(cid:30) ≤𝑥
∵𝑥=2(cid:238)3(cid:30)
∴𝑥( +2)( ) 0(cid:30) ( ) 0(cid:30)
∵ 𝑥 ±2(cid:30)𝑥−0(cid:30)2 ≠ 𝑥 2−𝑥 ≠
∴𝑥≠=3(cid:30)
∴𝑥 1
(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
∴ 2−3 −1 1
46(cid:35)(cid:36)2025·(cid:136)(cid:137)(cid:319)(cid:123)·(cid:51)(cid:58)(cid:316)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:35)(cid:50)(cid:51)x(cid:155)y(cid:294)(cid:295)( +2) +| |=0
𝑦 𝑥 2
2 2
1 𝑥 −𝑦 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 𝑥 𝑦−1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56) 𝑥+𝑦 (cid:57)(cid:94)−(cid:95)1 (cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:117)(cid:227)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:117)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:138)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)
(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)(cid:52)(cid:53)(cid:35)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + 1 ÷ 号 ★ 全
众
𝑦 𝑥 注 公
2 2 关
𝑥 −𝑦 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ，
= + 资 源÷
( + )( ) ( + 辅)( )
教
𝑦 𝑥−𝑦 𝑥
= 𝑥 𝑦 𝑥−𝑦÷ 𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦
( + )( )
𝑥 𝑥
= 𝑥 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦
( + )( )
𝑥 𝑥−𝑦
⋅
𝑥1 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥
= (cid:30)
𝑥+𝑦
( +2) +| |=0(cid:30)( +2) 0(cid:30)| | 0(cid:30)
2 2
∵(𝑥+2) =|𝑦−1|=0(cid:30) 𝑥 ≥ 𝑦−1 ≥
2
∴ 𝑥+2=0(cid:30)𝑦−1=0(cid:30)
∴𝑥= (cid:30) =𝑦−11(cid:30)
∴𝑥 −2 1𝑦
(cid:88)(cid:21)= = (cid:35)
1
∴ −2+ −1 2
47(cid:35)(cid:36)2025·(cid:193)(cid:194)(cid:320)(cid:125)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + (cid:30)(cid:50)(cid:51) +4+ =0(cid:35)
2 3
𝑥 −9 𝑦 2
2
1 𝑦 ⋅𝑥+ 𝑦 𝑥 −4𝑥 3−𝑦
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
3
𝑥−1
𝑦
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:48)(cid:150)(cid:88)(cid:21)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:72)(cid:121)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:143)(cid:78)(cid:20)(cid:23)(cid:22)(cid:21)(cid:71)(cid:54)(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:296)(cid:297)(cid:110)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:110)(cid:143)(cid:34)(cid:293)(cid:61)(cid:62)(cid:105)(cid:321)(cid:76)(cid:296)(cid:297)(cid:30)(cid:322)(cid:143)(cid:76)0(cid:102)(cid:323)(cid:324)(cid:76)0 (cid:47)(cid:24)(cid:184) (cid:155) (cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:145)(cid:21)(cid:20)(cid:28)(cid:155)(cid:296)(cid:297)(cid:110)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:30)(cid:96)(cid:97)𝑥(cid:98)(cid:99)𝑦 (cid:20)(cid:21)(cid:64)(cid:34)(cid:286)(cid:102)(cid:143)(cid:296)(cid:297)(cid:110)(cid:191)(cid:192)(cid:36)(cid:325)(cid:142)(cid:296)(cid:297)(cid:110)(cid:26)(cid:143)(cid:76)0(cid:30)(cid:102)(cid:326)(cid:142)(cid:296)(cid:297)
(cid:110)(cid:139)(cid:76)0 (cid:47)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
( )( 3) 2
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= +
3
𝑥−3 𝑥+ 𝑦
2
2 𝑦 ⋅𝑥+ 𝑦
= +
𝑥−3
= 𝑦 (cid:35) 𝑦
𝑥−1
𝑦
+4+ =0(cid:30)
2
∵𝑥 −4𝑥 3−𝑦
( ) + =0
2
∴ 𝑥−2 3−𝑦
( ) 0, 0(cid:30)
2
∵ 𝑥−2 ≥ 3−𝑦≥
( ) =0, =0(cid:35)
2
∴ 𝑥 = −2 2, =3(cid:35) 3−𝑦
+
A
A
科
∴ (cid:88) 𝑥 (cid:21)= 𝑦 = 1 (cid:35) 号 ★ 全
3 3 众
2−1 注 公
关
∴ ，
源 2 1
48(cid:35)(cid:36)2025·(cid:275)(cid:276)·(cid:267)(cid:223) 教 (cid:47)(cid:48) 辅 (cid:22)(cid:23)资(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + 𝑥 2 −9 ÷ 𝑥 2 −3𝑥 9 (cid:30)(cid:50)(cid:51) =| 3| 3 −1 +( ) 0 (cid:35)
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) 3 𝑥 3− 𝑥−3 𝑥 −6𝑥+ 𝑥 1− − 𝜋−2025
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56)𝑥(cid:57)(cid:94)3−(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:297)(cid:233)(cid:110)(cid:291)(cid:110)(cid:292)(cid:143)(cid:290)(cid:291)(cid:110)(cid:292)(cid:30)(cid:48)(cid:117)(cid:227)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:26)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)
(cid:117)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:138)(cid:77)(cid:74)(cid:80)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:33)(cid:34)(cid:184)x(cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:186)(cid:81)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)(cid:52)(cid:53)(cid:35)
2
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
2 2 9
𝑥 −9 𝑥 −3𝑥
2
2 𝑥 3− 𝑥−3 𝑥 −6𝑥+
= ÷
2 2 2 +9
𝑥 −9 𝑥 −9 𝑥 −3𝑥
− ( ) 2
= 𝑥−3÷ 𝑥−3 𝑥 −6𝑥
2 ( )
𝑥 𝑥 𝑥−3
− ( ) 2
= 𝑥−3 𝑥−3
2 ( 2)
𝑥 𝑥−3
= − (cid:30) ⋅
𝑥−3 𝑥 𝑥−3
−𝑥 1
=| 3| +( ) = 3 +1= 3 (cid:30)
3 −1
0
∵𝑥 1− − 𝜋−2025 −1−3 −3
(cid:88)(cid:21)= ( 3 )= 3(cid:35)
∴ − −3 3−
5
49(cid:35)(cid:36)2025·(cid:275)(cid:276)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) =| | ( ) 4(cid:35)
3−𝑎
0
𝑎 2−𝑎−2 2𝑎−4 𝑎 −4 − 2025−π −(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56)2(cid:57)𝑎−(cid:58)6(cid:59)(cid:60)−8(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:327)(cid:110)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:30)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:30)(cid:49)(cid:68)(cid:73)(cid:74)(cid:158)(cid:22)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:83)(cid:84)
(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:24)(cid:184) (cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:28)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:196)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
𝑎 5
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + ÷
3−𝑎
( +2)( 𝑎) 2−𝑎−2 2𝑎−4
= ÷
2( )
𝑎 𝑎−2 −5 3−𝑎
2( )
𝑎−2 𝑎−2
=
2
𝑎 −9 𝑎−2
( +3⋅)( ) 2( )
= 𝑎−2 3−𝑎
𝑎 𝑎−3 𝑎−2
= (cid:30) ⋅
𝑎−2 3−𝑎
(cid:86) −=2𝑎|−6| ( ) 4= =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= × = (cid:35)
0
𝑎 −4 − 2025−π − 4−1−2 9 −2 1−6 5−8
50(cid:35)(cid:36)2025·(cid:275)(cid:276)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ +2+ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:103)(cid:271)(cid:232)(cid:164)(cid:21) <1(cid:138)(cid:328)(cid:26)(cid:170)
2 2
𝑎 −6𝑎+ 𝑎−1
(cid:233)(cid:110)(cid:35) 𝑎−2 𝑎 2−𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19)(1) +
A
A
科
全
★
(2) (cid:30) 1 −2 公 众 号
3 2 注
𝑎−3 关
，
(cid:15)(cid:20) + (cid:55) 𝑎 (cid:19)−(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)辅(cid:26)(cid:22)资(cid:23)(cid:24) 源 (cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:199)(cid:280)(cid:199)(cid:281)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:33)(cid:34)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)
教
(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:28)(cid:232)(cid:164)(cid:21)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
( ) 5
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:241)(cid:57)(cid:215)(cid:128)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= ÷ (cid:30)
2 2
𝑎−3 4−𝑎 +
( ) 𝑎−2 2−𝑎
= × (cid:30)
2 ( )(3 )
𝑎−3 2−𝑎
𝑎−2 3−𝑎 +𝑎
=
3+
𝑎−3
<𝑎 1(cid:30)
2
𝑎−1
∵ <3(cid:30)
∴𝑎(cid:76)(cid:170)(cid:233)(cid:110)(cid:229) 2(cid:30)
∵𝑎=1 𝑎≠
∴𝑎 1
(cid:86) =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)= = =
3 3 1 2
𝑎−3 1−3
𝑎 1 +𝑎 + −
(cid:329)(cid:118)(cid:30)(cid:88)(cid:21)(cid:26)(cid:25)(cid:76) (cid:35)
2
−【题型4 分式化简后整体代入求值】
1
51(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + (cid:30)(cid:50)(cid:51) =1(cid:35)
2𝑦
2 2
1 𝑥+𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) ,1
𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:127)(cid:174)(cid:64)(cid:34)(cid:240)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:239)(cid:240)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:72)(cid:20)(cid:155)(cid:78)(cid:20)(cid:182)(cid:240)(cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:26)(cid:233)(cid:330)(cid:81)(cid:82)(cid:331)(cid:332)(cid:35)(cid:179)
(cid:65)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:21)(cid:20)(cid:28) (cid:30)(cid:49)(cid:72)(cid:20)(cid:155)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
2 2
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)
𝑥
=
1−𝑦
+
2𝑦
𝑥+𝑦 (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
= +
𝑥−𝑦 2𝑦
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
=
𝑥−𝑦+2𝑦
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
=
𝑥+𝑦
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
1
= (cid:30)
𝑥−𝑦
(cid:86) =1(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:21)=1(cid:35)
A
+
A
科
全
★
𝑥−𝑦 众 号 1 1
52(cid:35)(cid:36)2025·(cid:136)(cid:137)(cid:90)(cid:280)·(cid:267)(cid:223)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:322)2公= +1(cid:30)(cid:24)(cid:81)(cid:110)(cid:21) ÷ (cid:26)(cid:25)(cid:35)
注 2
， 关 2 2𝑎𝑏−𝑏
源
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) 1 (cid:30)2 教 辅 资 𝑏 2𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑎− 𝑎
( )
𝑏 𝑏−𝑎
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:103)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:172)(cid:173)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:35)(cid:48)(cid:105)(cid:106)
1
(cid:20)(cid:21)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:172)(cid:173)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:88)(cid:21)(cid:30)(cid:49)(cid:68)2 = +1(cid:158)(cid:22)(cid:76) ( )= (cid:30)(cid:49)(cid:233)(cid:330)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:84)(cid:128)(cid:35)
2
2
1 1 𝑏 2𝑎𝑏 𝑏 𝑏−𝑎
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
2
2𝑎𝑏−𝑏
𝑎−𝑏 𝑎− 𝑎
= ÷
2 2
𝑏−𝑎 𝑎 2𝑎𝑏−𝑏
− +
= 𝑎𝑏 ÷ 𝑎 𝑎
2 2
𝑏−𝑎 𝑎 −2𝑎𝑏 𝑏
= 𝑎𝑏 𝑎
( )
𝑏−𝑎 𝑎
⋅ 2
1
= 𝑎𝑏 (cid:54)𝑏−𝑎
( )
𝑏 𝑏−𝑎
2 = +1(cid:30)
2
∵ 𝑏 2𝑎𝑏1
( )= (cid:30)
2
∴𝑏 𝑏−𝑎1
(cid:88)(cid:21)= =2(cid:35)
1
2
∴2 5
53(cid:35)(cid:36)24-25(cid:89)(cid:38)(cid:39)(cid:40)·(cid:67)(cid:202)·(cid:203)(cid:45)(cid:204)(cid:205)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51)x(cid:155)y(cid:294)(cid:295) =
2 2 2 2 2
𝑥 −6𝑥𝑦+ 𝑦 𝑥 −4𝑦 𝑥
𝑥−𝑦 −𝑥 𝑦 𝑦−𝑥 −
(cid:35)
3
𝑦
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:54)2
2𝑦−𝑥
𝑥+2𝑦
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:30)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:30)(cid:105)(cid:106) = (cid:30)(cid:128)(cid:135)
2 3
𝑥 𝑦
= (cid:30)(cid:233)(cid:330)(cid:81)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) −
2𝑦 −3𝑥 2 5 ( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ÷
2 2 2 2 2 2
𝑥 −6𝑥𝑦+ 𝑦 − 𝑥 −2𝑥𝑦+𝑦 𝑥 −4𝑦
+4 ( ) 𝑥−𝑦 𝑦−𝑥
=
2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦 − 𝑥−𝑦
( ) ⋅(2 )2
= 𝑥−𝑦 𝑥 −4𝑦
2 ( )( + )
𝑥−2𝑦 − 𝑥−𝑦
⋅
= 𝑥−(cid:35)𝑦 𝑥−2𝑦 𝑥 2𝑦
2𝑦−𝑥
𝑥+2𝑦
= (cid:30)
2 3
𝑥 𝑦
+
∵ = − (cid:35) 科 A A
全
★
号
众
∴2𝑦 −3𝑥 公
(cid:88)(cid:21)= = =2(cid:35) 关 注
，
−3𝑥−𝑥 −4𝑥 源
资
∴ 𝑥−3𝑥 −2𝑥教 辅
1
54(cid:35)(cid:36)2025·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)·(cid:267)(cid:223)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) +1 ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51)x(cid:294)(cid:295)(cid:62)(cid:122)(cid:10) + =0(cid:35)
𝑥−2 2
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30) 𝑥−1−𝑥 𝑥 −1 𝑥 𝑥−1
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56)𝑥(cid:57)−(cid:58)𝑥(cid:59)(cid:20)−1(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:72)(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:9)(cid:126)(cid:30)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:77)(cid:74)(cid:30)(cid:107)(cid:108)(cid:78)(cid:20)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:105)(cid:106)
2
+ =0(cid:30)(cid:128)(cid:135) + =1(cid:30)(cid:233)(cid:330)(cid:81)(cid:82)(cid:74)(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:35) 𝑥
2
𝑥−1 𝑥 𝑥( )
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= ÷
2 ( 1)( )
1− 𝑥−1 𝑥−2
( +1)( )𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1
=
2
2𝑥−𝑥 𝑥 𝑥−1
( )⋅ ( +1)( )
= 𝑥−1 𝑥−2
𝑥 2−𝑥 𝑥 𝑥−1
⋅
= ( +1)
𝑥−1 𝑥−2
=−𝑥⋅ 𝑥 (cid:30)
2
−+𝑥 −𝑥 =0(cid:30)
2
∵𝑥 +𝑥−=11(cid:30)
2
∴(cid:88)𝑥 (cid:21)𝑥= (cid:35)
∴ −11
55(cid:35)(cid:36)23-24(cid:156)(cid:38)(cid:39)(cid:118)·(cid:136)(cid:137)(cid:125)(cid:333)·(cid:45)(cid:51)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:322)2 + =0(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:35)
2 9
𝑥−1 𝑥+ 𝑥 +3𝑥
2
2
𝑥−3− 𝑥 𝑥 −6𝑥+ 𝑥 𝑥−3
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:128) (cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:128)
𝑥−3
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)𝑥 (cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)−(cid:143)2 (cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:48)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)
(cid:100)(cid:101)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:179)(cid:65)(cid:233)(cid:330)(cid:74)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:35)
1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
2 9
𝑥−1 𝑥+ 𝑥 +3𝑥
2
( ) ( 𝑥−)3(−+𝑥1) 𝑥 −6𝑥++9
=
( ) 2 +
𝑥 𝑥−1 − 𝑥−3 𝑥 𝑥 −6𝑥
+ +3 ( ⋅ )2
= 𝑥 𝑥−3 𝑥 3𝑥
2 (2 ) ( +32)
𝑥 −𝑥−𝑥 2𝑥 𝑥−3
+3 ( ) ⋅
= 𝑥 𝑥−3 𝑥 𝑥
( ) ( +32)
𝑥 𝑥−3
⋅
=𝑥 𝑥−(cid:30)3 𝑥 𝑥
𝑥−3
2
(cid:241)2 𝑥 + =0(cid:30)
2
(cid:128) 𝑥 =𝑥−3 (cid:30)
+
A
2 A
科
(cid:88) 𝑥− (cid:21) 3 = −2𝑥 = = (cid:35) 号 ★ 全
2 众
𝑥−3 −2𝑥 注 公
2 2 关
∴ 𝑥 𝑥 −2 源 ， 4 2
56(cid:35)(cid:36)2025·(cid:42)(cid:153)(cid:125)(cid:334)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)资(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) + =0(cid:35)
辅 2
教 𝑚 +4𝑚+ 𝑚+ 2
2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) + (cid:30)1 𝑚−2 𝑚 −2𝑚 𝑚 2𝑚−1
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)本𝑚题考2查𝑚的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据 + =0
2
即可得出结论．熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 𝑚 2𝑚−1
4 2
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)解： ÷
2
𝑚 +4𝑚+ 𝑚+
2
+2) 𝑚−2 𝑚 −2𝑚
=
2 +2
(𝑚 𝑚(𝑚−2)
= +2)⋅
𝑚−2 𝑚
=𝑚(𝑚+ ，
2
𝑚 + 2𝑚 =0，
2
∵𝑚 +2𝑚−=11，
2
∴𝑚原式=2𝑚1．
∴
57(cid:35)(cid:36)2025·(cid:136)(cid:137)(cid:319)(cid:123)·(cid:243)(cid:223)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:26)(cid:25)(cid:30)(cid:50)(cid:51) = (cid:35)
1 2
𝑥 𝑥−1 𝑥 2
2
𝑥−1−𝑥+ 𝑥 −1 𝑥 3𝑥−1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)1
3𝑥−1
2
𝑥(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:196)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:35)(cid:88)(cid:21)(cid:69)(cid:9)(cid:51)(cid:141)(cid:185)(cid:72)(cid:20)(cid:186)(cid:179)(cid:65)(cid:181)
(cid:20)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:174)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:181)(cid:87)(cid:179)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:74)(cid:102)(cid:75)(cid:187)(cid:30)(cid:78)(cid:20)(cid:128)(cid:135)(cid:79)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:117) = (cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:28)(cid:35)
2
𝑥 3𝑥−1
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ÷
1 2
𝑥 𝑥−1 𝑥
2
( +1) (𝑥−1−)𝑥+ 𝑥 −1
= ÷
2 2
𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥
2 − 2 2
= 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥 −1
2
3𝑥−1 𝑥 −1
2 ⋅ 2
= 𝑥 −1 𝑥
3𝑥−1
2
= (cid:30)
𝑥
2
∵𝑥 3𝑥−1
(cid:88)(cid:21)= =1(cid:35)
3𝑥−1
∴ 3𝑥−1
9
58(cid:35)(cid:36)2025·(cid:275)(cid:276)·(cid:267)(cid:223)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:10) ÷ (cid:30)(cid:50)(cid:51) (cid:294)(cid:295) =0(cid:35)
2 9 2
𝑎 𝑎 + 𝑎 +3𝑎 2
2
3 3 𝑎−3−𝑎 −6𝑎+ 𝑎−3 𝑎 𝑎 −3𝑎−5
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19) (cid:30)
5
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)−(cid:56) 𝑎 (cid:57) − (cid:58) 3𝑎 (cid:59)−(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:48)(cid:179)(cid:65)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:49)(cid:241) =0(cid:128)
+
A
A 2 2
科
=5(cid:30)(cid:107)(cid:335)(cid:81)(cid:82)(cid:135)(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:26)(cid:129)(cid:130)(cid:51)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:28)(cid:30)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:21)
★
(cid:26)(cid:191)全(cid:192)(cid:143)(cid:64)(cid:34)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:28)𝑎(cid:57)−(cid:26)3𝑎(cid:3)−5(cid:104) 𝑎
号
众
公
注
−3𝑎 9 关
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 2 9 资 ÷ 2源 ，
𝑎 𝑎 +辅 𝑎 +3𝑎
教2
+𝑎9−3−𝑎(−6𝑎++3) 𝑎−3
= ÷
( 2 )
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
( −) 2+9
= 𝑎−3 𝑎−3 ×𝑎−3
( ) ( 2 ) ( +3)
𝑎 𝑎−3 𝑎 𝑎−3
2 − +92
= 𝑎−3 𝑎−3 × 𝑎 𝑎
( 2 ) ( 2 ) ( +3)
𝑎 −3𝑎 𝑎 𝑎−3
2− 2
= 𝑎−3 × 𝑎−3 𝑎 𝑎
( ) ( +3)
−3𝑎−9 𝑎−3
( +2 3)
= 𝑎−3 𝑎×𝑎
( ) ( +3)
−3 𝑎 𝑎−3
3 2
= 𝑎−3 𝑎 𝑎
( )
−
=
𝑎 𝑎3−3(cid:30)
2
−𝑎 −3𝑎 =0(cid:30)
2
∵𝑎 −3𝑎−=55(cid:30)
2
∴𝑎 −3𝑎 3
(cid:88)(cid:21)= (cid:35)
5
∴ −1
59(cid:35)(cid:36)2025·(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:44)·(cid:243)(cid:223)(cid:47)(cid:285)(cid:114) =0(cid:30)(cid:24)(cid:81)(cid:110)(cid:21) + (cid:26)(cid:25)(cid:35)
4
2𝑥−4𝑦
2 2
𝑥−2𝑦−6 𝑥−2𝑦 𝑥 −4𝑥𝑦+ 𝑦
1
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:279)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:104)(cid:169)(cid:200)(cid:179)(cid:65)(cid:285)(cid:114)(cid:217)(cid:218) =6(cid:107)(cid:108)(cid:233)(cid:330)(cid:81)(cid:82)(cid:35)(cid:48)(cid:117)
3 𝑥−2𝑦
(cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:76) (cid:30)(cid:49)(cid:117) =0(cid:233)(cid:27)(cid:76) =6(cid:30)(cid:233)(cid:330)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:24)(cid:184)(cid:35)
𝑥−12𝑦 𝑥−2𝑦−6 𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) +
4
2𝑥−4𝑦
2 2
1 2( 𝑥−2𝑦) 𝑥 −4𝑥𝑦+ 𝑦
= +
( )
𝑥−2𝑦
1 2 2
= 𝑥−2𝑦+ 𝑥−2𝑦
3
= 𝑥−2𝑦 𝑥−2𝑦
𝑥−2𝑦 =0
∵𝑥−2𝑦−=66
∴𝑥−2𝑦 3 1
(cid:88)(cid:21)= = +
6 2 A A
科
全
∴ 众 号 ★ 1
60(cid:35)(cid:36)2025·(cid:336)(cid:337)(cid:339)(cid:340)·(cid:243)(cid:223)(cid:47)(cid:285)(cid:114) +3 =0(cid:30)公(cid:24)(cid:81)(cid:110)(cid:21) ÷ (cid:26)(cid:25)(cid:35)
注
2 ，2 关 𝑎+𝑏 2𝑏
源 2 2
(cid:15)(cid:52)(cid:53)(cid:19)7 辅 资𝑎 𝑏 −7 𝑎−𝑏−𝑎+𝑏 𝑎 −𝑏
教
(cid:15)(cid:20)(cid:55)(cid:19)(cid:56)(cid:57)(cid:94)(cid:95)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:21)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:182)(cid:240)(cid:81)(cid:110)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:170)(cid:171)(cid:117)(cid:308)(cid:24)(cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:138)3 +3 (cid:103)(cid:28)(cid:57)(cid:26)(cid:3)
2 2
(cid:104)(cid:35) 𝑎 𝑏
(cid:48)(cid:117)(cid:308)(cid:24)(cid:21)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:128)(cid:135) +3 (cid:30)(cid:49) +3 =0(cid:128)(cid:184) +3 =7(cid:30)(cid:241)(cid:196)(cid:83)(cid:84)(cid:128)(cid:135)(cid:52)(cid:53)(cid:35)
2 2 2 2 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −7 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:85)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:88)(cid:21)= +
2
(𝑎+𝑏) −2𝑏(𝑎−𝑏)
= + + +(𝑎2−𝑏)(𝑎+𝑏) ⋅(𝑎−𝑏)(𝑎 𝑏)
2 2 2
=𝑎 +23𝑎𝑏. 𝑏 −2𝑎𝑏 𝑏
2 2
𝑎 +3 𝑏 =0(cid:30)
2 2
∵𝑎 +3𝑏 −=77(cid:35)
2 2
∴(cid:88)𝑎 (cid:21)=𝑏7(cid:35)
∴