专题2.3分式的乘法和除法(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(湘教)

专题 2.3 分式的乘法和除法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:19)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)....................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:41)(cid:36)(cid:19)..........................................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:46)(cid:20)(cid:21)(cid:19)..............................................................................................................................24
+
A
A
科
知识点1 分式的乘除 ★ 全
号
众
公
注
关
1. (cid:25)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:40)(cid:22)(cid:49)(cid:24)(cid:50)，(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:48)(cid:22)(cid:53)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:24)(cid:22)(cid:53)(cid:54)(cid:40)(cid:23)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:52) = (cid:54)
源
资
辅 𝑎 𝑐 𝒂⋅𝒄
教
𝑏⋅𝑑 𝒃⋅𝒅
2. (cid:27)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:57)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:58)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:59)(cid:22)(cid:53)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:27)(cid:23)(cid:67)(cid:25)(cid:54)(cid:40)(cid:23)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:52) ÷ = =
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑
𝑏 𝑑 𝑏⋅𝑐
(cid:54)
𝒂⋅𝒅
𝒃⋅𝒄
知识点2 分式的乘方
个
(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:48)(cid:71)n(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:48)( ) = = 𝑛 = (cid:48)(cid:77)( ) = (cid:54)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:80)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:28)(cid:81)(cid:58)(cid:22)(cid:49)(cid:59)
𝑛 𝒏
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 个 𝑎 𝑎⋅𝑎⋅个⋯⋅𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝒂 𝒏
𝑏 𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏 𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏 𝑏 𝑏 𝒃
𝑛
𝑛
(cid:22)(cid:53)(cid:22)(cid:82)(cid:25)(cid:28)(cid:54)
知识点3 分式的混合运算
(cid:23)(cid:65)(cid:75)(cid:83)(cid:67)(cid:84)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:10)(cid:87)(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:88)(cid:25)(cid:27)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:90)(cid:91)(cid:48)(cid:83)(cid:92)(cid:9)(cid:81)(cid:87)(cid:32)(cid:92)(cid:9)(cid:93)(cid:94)(cid:24)(cid:54)
【题型1 分式的乘法】
(cid:15)(cid:95)1(cid:19)(cid:96)(cid:97)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:10) = (cid:48)(cid:47)(cid:33)(cid:34) ×[ ](cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:72) (cid:54)
𝑥+2𝑦
𝑥∗𝑦 𝑥−𝑦 (𝑎∗𝑏) 𝑏∗(−𝑎)
2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
2 2
𝑏 −2𝑎 −3𝑎𝑏
2 2
𝑎 −𝑏(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:103)(cid:104)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:105)(cid:106) ×[ ]= × (cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:107)(cid:108)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:109)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:48)(cid:77)(cid:105)
𝑎+2𝑏 𝑏−2𝑎
(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:106)(cid:112)(cid:54) (𝑎∗𝑏) 𝑏∗(−𝑎) 𝑎−𝑏 𝑏+𝑎
2 2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19) ×[ ]= × = = (cid:48)
2 2 2 2
𝑎+2𝑏 𝑏−2𝑎 𝑎𝑏−2𝑎 + 𝑏 −4𝑎𝑏 𝑏 −2𝑎 −3𝑎𝑏
2 2 2 2
(𝑎2∗𝑏) 𝑏∗(−𝑎) 𝑎−𝑏 𝑏+𝑎 𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
2 2
𝑏 −2𝑎 −3𝑎𝑏
2 2
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)𝑎(cid:119)−𝑏(cid:24)(cid:72)(cid:96)(cid:97)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:20)(cid:120)(cid:48)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:112)(cid:96)(cid:97)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:123)(cid:97)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:48)(cid:125)(cid:112)(cid:100)(cid:126)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:127)
(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:75)(cid:133)(cid:134)(cid:48)(cid:129)(cid:130)(cid:135)(cid:117)(cid:31)(cid:32)(cid:136)(cid:137)(cid:59)(cid:42)(cid:43)(cid:138)(cid:139)(cid:31)(cid:32)(cid:54)
(cid:15)(cid:140)(cid:23)1-1(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)
3
(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:72)(cid:141) (cid:152)
2 9 2
𝑎 −4 𝑎+
2
1 𝑎 +62𝑎+ ⋅𝑎+
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)
3 3 3
𝑎−2 𝑎+ 𝑎−2
𝑎+ 𝑎+ 𝑎+ 𝑎−3
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)A
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:157)(cid:52)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
(cid:87)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:23)(cid:22)(cid:112)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:59)(cid:22)(cid:53)(cid:160)(cid:23)(cid:22)(cid:112)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:88)(cid:161)(cid:22)(cid:77)(cid:105)(cid:112)(cid:100)(cid:54)
3 A +
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) A
2 9 2 全 科
𝑎 −4 𝑎+ ★
( +2)( 𝑎 2 )+6𝑎++⋅3𝑎+ 公 众 号
= 注
( +3) +2 ， 关
𝑎 𝑎−2 𝑎 资 源
2 ⋅ 教 辅
=
𝑎(cid:54) 𝑎
3
𝑎−2
𝑎+
(cid:114)(cid:162)A(cid:54)
( ) 3
(cid:15)(cid:140)(cid:23)1-2(cid:19)(cid:141)24-25(cid:163)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:145)(cid:164)(cid:165)(cid:166)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:152)(cid:109)(cid:32)(cid:10) = (cid:54)
( 3 )
2𝑎 𝑥−𝑦 𝑏
2 2
9𝑏 ⋅𝑎 𝑦−𝑥
2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
( 2 )
𝑏
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)3𝑎(cid:20)𝑥−(cid:118)𝑦 (cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:54)
( ) 3
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:172)(cid:23)=
( 3 )
2𝑎 𝑥−𝑦 𝑏
2 2
9𝑏 ⋅𝑎 𝑥−𝑦
2
= (cid:48)
( 2 )
𝑏
3𝑎 𝑥−𝑦
2
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
( 2 )
𝑏
3𝑎 𝑥−𝑦 2
(cid:15)(cid:140)(cid:23)1-3(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:173)(cid:174)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:152)若分式“ ”，可以进行约分化简，则“□”不可以
𝑥−1 𝑥+
2
是（ ） 𝑥 −□⋅ 𝑥
A(cid:54)1 B(cid:54)2 C(cid:54)4 D(cid:54)x(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)B
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:48)(cid:112)(cid:175)(cid:111)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:112)(cid:160)(cid:23)(cid:48)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:54)
(cid:176) (cid:48)(cid:177)(cid:68)(cid:133)(cid:178)“□”(cid:48)(cid:22)(cid:112)(cid:160)(cid:23)(cid:64)(cid:105)(cid:57)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:179)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:48)(cid:179)(cid:105)(cid:57)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:54)
1,2,4,𝑥 2 2 2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)A(cid:54) = = (cid:48)(cid:105)(cid:57)(cid:138)(cid:139)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:48)“□”(cid:105)(cid:57)(cid:72)1(cid:48)(cid:179)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:181)
1) 1)
𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥+ 𝑥+
2
2 𝑥 −1⋅ 𝑥 (𝑥−1)(𝑥+ ⋅ 𝑥 𝑥(𝑥+
B(cid:54) (cid:48)(cid:179)(cid:105)(cid:57)(cid:138)(cid:139)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:48)“□”(cid:179)(cid:105)(cid:57)(cid:72)2(cid:48)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:181)
𝑥−1 𝑥+
2
𝑥 −2⋅ 𝑥 2 2
C(cid:54) = = (cid:48)(cid:105)(cid:57)(cid:138)(cid:139)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:48)“□”(cid:105)(cid:57)(cid:72)4(cid:48)(cid:179)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:54)
2)
𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1
2
𝑥 −4⋅ 𝑥 2 (𝑥−2)(𝑥+ 2 ⋅ 𝑥 2 𝑥(𝑥−2)
D(cid:54) = = (cid:48)(cid:105)(cid:57)(cid:138)(cid:139)(cid:161)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:48)“□”(cid:105)(cid:57)(cid:72) (cid:48)(cid:179)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:181)
𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥+ 𝑥+
2 2
(cid:114)(cid:162)𝑥(cid:10)−𝑥 B(cid:54)⋅ 𝑥 𝑥(𝑥−1)⋅ 𝑥 𝑥 𝑥
【题型2 分式的除法】
(cid:15)(cid:95)2(cid:19)(cid:141)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:182)(cid:147)(cid:183)(cid:184)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:186)
2
1
÷
3
(cid:109)(cid:32)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:74)(cid:23)(cid:48)(cid:47)“□”(cid:151)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:105)(cid:159)(cid:72)(cid:141) (cid:152)
𝑥 + 𝑥 +𝑥
1 𝑥−6 □
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)
+
2 2 A
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)𝑥 2 C−6 𝑥 −6 𝑥 −6𝑥
★
全 科 𝑥−6 A
号
众
公
注
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)关(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
，
源
资
辅
(cid:87)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:109)教(cid:32)(cid:48)(cid:88)(cid:103)(cid:104)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:74)(cid:23)(cid:48)(cid:106)(cid:187)“□”(cid:151)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:24)(cid:105)(cid:159)(cid:23)(cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:100)(cid:101)(cid:54)
1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) ÷
2 3
𝑥 + 𝑥 +𝑥
1 𝑥−6 □
=
2 ( 1)
𝑥 + □
2
𝑥−6 ⋅𝑥 𝑥 +
= (cid:48)
( )
□
𝑥 𝑥−6
(cid:31)(cid:32)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:74)(cid:23)(cid:48)
∵“□”(cid:151)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:39)(cid:188)(cid:72)(cid:189)(cid:83)(cid:160)(cid:23) ( )(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:48)
∴(cid:190)(cid:83)(cid:162)(cid:108)C(cid:151) = ( )𝑥(cid:180)𝑥(cid:30)−6(cid:20)(cid:123)(cid:48)
2
(cid:114)(cid:162)(cid:10)C(cid:54) 𝑥 −6𝑥 𝑥 𝑥−6
( )
(cid:15)(cid:140)(cid:23)2-1(cid:19)(cid:141)24-25(cid:163)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:145)(cid:164)(cid:191)(cid:96)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:152)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:23) (cid:25)(cid:68)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:64)(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:48)(cid:193)(cid:194)(cid:78)(cid:192)(cid:22)
2 2
𝑥 −1 1−𝑥
2
(cid:23)(cid:52) (cid:54) 𝑥 − 𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
𝑥−1
2
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)−(cid:126)𝑥(cid:20)+(cid:153)𝑥 (cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:171)(cid:132)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:54)( )
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:195)(cid:20)(cid:123)(cid:78)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:10) ÷
2 2
1−𝑥 𝑥 −1
2
( ) − 𝑥 𝑥
=
2 ( +1)( )
𝑥−1 𝑥
− 2 ⋅1
= 𝑥 𝑥 𝑥−1
+1
𝑥−1
− ⋅
= 𝑥 (cid:48)𝑥
𝑥−1
2
−𝑥 +𝑥
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
𝑥−1
2
−𝑥 +𝑥
(cid:15)(cid:140)(cid:23)2-2(cid:19)(cid:109)(cid:32) ÷ = (cid:54)
𝑎−𝑏 3 𝑎𝑏 2 2
1 𝑎𝑏 ⋅ 𝑎−𝑏 (𝑎−𝑏)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
2 2
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)𝑎(cid:87)𝑏(cid:109)−𝑎(cid:32)𝑏 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:88)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:112)(cid:100)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) ÷
𝑎−𝑏 3 𝑎𝑏 2 2
𝑎𝑏 ⋅ 𝑎1−𝑏 (𝑎−𝑏)
=
3 2 2
(𝑎−𝑏) 𝑎 𝑏 +
313 ⋅ 2⋅ 2 A A
= 𝑎 𝑏 (𝑎−𝑏) (𝑎−𝑏) 全 科
★
号
众
公
注
=
𝑎𝑏(𝑎1−𝑏(cid:54))
，
关
源
资
辅
2 2 教
𝑎 𝑏−𝑎𝑏 1
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
2 2
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)𝑎(cid:20)𝑏(cid:118)−𝑎(cid:119)𝑏 (cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:57)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)
(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)2-3(cid:19)(cid:141)2024(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:173)(cid:174)·(cid:200)(cid:20)(cid:169)(cid:170)(cid:152)(cid:96)(cid:97)(cid:201)(cid:202)(cid:31)(cid:32)(cid:10) = (cid:48) = (cid:48)(cid:47) ÷( )
𝑏
2 2
= (cid:54) 𝑎△𝑏 𝑎+𝑏 𝑎∗𝑏 𝑎 −𝑏 𝑚△𝑛 𝑚∗𝑛
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
𝑚−𝑛
𝑛
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:54)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
(cid:87)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:123)(cid:106)(cid:187) (cid:65) (cid:24)(cid:55)(cid:203)(cid:23)(cid:48)(cid:88)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:26)(cid:47)(cid:138)(cid:139)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
𝑚△𝑛 𝑚1 ∗𝑛
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) = (cid:48) = (cid:48)
𝑏
2 2
1 ∵𝑎△𝑏 𝑎+𝑏 𝑎∗𝑏 𝑎 −𝑏
= (cid:48) = (cid:48)
𝑛
2 2
∴𝑚△𝑛 𝑚+𝑛 𝑚∗𝑛1 𝑚 −𝑛 1 ( )( )
÷( )= ÷ = = (cid:54)
𝑛 𝑚+𝑛 𝑚−𝑛 𝑚−𝑛
2 2
∴𝑚△𝑛 𝑚∗𝑛 𝑚+𝑛 𝑚 −𝑛 𝑚+𝑛⋅ 𝑛 𝑛(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
𝑚−𝑛
𝑛
【题型3 分式的乘方】
(cid:15)(cid:95)3(cid:19)(cid:204)(cid:205)(cid:109)(cid:32)(cid:73)(cid:121)(cid:24)(cid:72)(cid:141)(cid:206)(cid:206)(cid:152)
A(cid:54) = B(cid:54) =
3 2 26 2 4 2
𝑏 𝑏 −3𝑏 −9𝑏
2 2
2𝑎 𝑎8 2𝑎 9𝑎
C(cid:54) = D(cid:54) =
3 3 2 2
2𝑦 𝑦 3𝑥 𝑥
3 2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)−C3𝑥 −27𝑥 𝑥−𝑎 𝑥 −𝑎
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:58)(cid:207)(cid:192)(cid:162)(cid:108)(cid:22)(cid:82)(cid:87)(cid:208)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:26)(cid:47)(cid:48)(cid:176)(cid:22)(cid:49)(cid:22)(cid:53)(cid:22)(cid:82)(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:88)(cid:208)(cid:40)(cid:209)(cid:65)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:26)(cid:47)(cid:22)(cid:82)(cid:138)
(cid:139)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)A(cid:59) = (cid:48)(cid:117)(cid:162)(cid:108)(cid:210)(cid:211)(cid:48)(cid:179)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:181)
3 2 46
𝑏 𝑏
2
9 2𝑎 𝑎
B(cid:59) = (cid:48)(cid:117)(cid:162)(cid:108)(cid:210)(cid:211)(cid:48)(cid:179)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:181)
2 4 2
−3𝑏 𝑏
2
2𝑎 𝑎8
C(cid:59) = (cid:48)(cid:117)(cid:162)(cid:108)(cid:73)(cid:121)(cid:48)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:181)
3 3 +
2𝑦 𝑦 A
3 科 A
−3𝑥 −27𝑥9
★
全
D(cid:59) 2 = 2 (cid:48)(cid:117)(cid:162)(cid:108)(cid:210)(cid:211)(cid:48)(cid:179)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:54) 公 众 号
3𝑥 𝑥 注
2 2 关
(cid:114)(cid:162)(cid:10)𝑥−C𝑎(cid:54) 𝑥 −2𝑎𝑥+𝑎 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:26)(cid:47)(cid:59)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:26)(cid:47)(cid:59)(cid:209)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:26)(cid:47)(cid:59)(cid:212)(cid:173)(cid:213)(cid:28)(cid:7)(cid:23)(cid:214)(cid:132)(cid:215)(cid:48)(cid:155)(cid:156)(cid:78)(cid:216)(cid:26)
(cid:47)(cid:57)(cid:196)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:23)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
(cid:15)(cid:140)(cid:23)3-1(cid:19)(cid:141)23-24(cid:217)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:149)(cid:218)(cid:219)(cid:164)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:152)(cid:33)(cid:34)(cid:10) ÷
𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑏𝑐 4
2
− 𝑐 ⋅ −𝑎 − 𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
6
𝑎
2 4
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)−(cid:87)𝑏(cid:32)𝑐(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) ÷
𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑏𝑐 4
2
− 𝑐 ⋅ −𝑎 − 𝑎
= ÷
4 2 2 4 4
𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐
2 ⋅ − 2 4
= 𝑐 × 𝑎 𝑎
4
2 2 𝑎
−𝑎 𝑏 4 4
= (cid:54) 𝑏 𝑐
6
𝑎
2 4
(cid:15)(cid:115)−(cid:116)𝑏 𝑐(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:25)(cid:28)(cid:214)(cid:132)(cid:215)(cid:115)(cid:48)(cid:155)(cid:156)(cid:74)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:100)(cid:117)(cid:20)(cid:24)(cid:3)
(cid:124)(cid:54)(cid:15)(cid:140)(cid:23)3-2(cid:19)(cid:109)(cid:32)( ) (cid:65) ) (cid:24)(cid:98)(cid:99)( )
−𝑛 2 3 𝑛 3 2
2 2 3 3
A(cid:54)(cid:67)(cid:214) 𝑎 𝑏 B(cid:54)(cid:220)((cid:52)−(cid:61)𝑎(cid:75)𝑏 C(cid:54)(cid:220)(cid:52)(cid:67)(cid:221)(cid:75) D(cid:54)(cid:57)(cid:145)(cid:222)(cid:179)(cid:158)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)C
n n
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) =- (cid:48)
a b2 3 a b6
−
2 2 6 6
n n
= (cid:48)
a b3 2 a b6
3 3 6 6
(cid:223)−(cid:57)(cid:224)(cid:225)(cid:220)(cid:52)(cid:67)(cid:221)(cid:75)(cid:48)
(cid:114)(cid:162)C
(cid:15)(cid:140)(cid:23)3-3(cid:19)(cid:152) (cid:24)(cid:36)(cid:72)(cid:141) (cid:152)
2 2𝑛+1
𝑏
−𝑚
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)
2𝑛+3 2𝑛+3 4𝑛+2 4𝑛+2
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
2𝑛+1 2𝑛+1 2𝑛+1 2𝑛+1
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)𝑚D −𝑚 𝑚 −𝑚
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:208)(cid:40)(cid:209)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:226)(cid:98)(cid:99)(cid:54)
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:105)(cid:106) 2 2𝑛+1 = 2 ( 2𝑛+1 ) = 4𝑛+2 全 科 A A +
𝑏 𝑏 2𝑛+1 𝑏 2𝑛+1 众 号 ★
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:126)(cid:20)(cid:118)−(cid:119)𝑚(cid:154)(cid:209)(cid:24)(cid:25)−(cid:28)𝑚(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)−(cid:156)𝑚(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:117)公(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
注
关
，
源
资
【题型4 分式的混合教运算 辅 】
(cid:15)(cid:95)4(cid:19)(cid:141)2025·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)·(cid:227)(cid:228)(cid:152)(cid:204)(cid:94)(cid:72)(cid:68)(cid:229)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)(cid:48)(cid:230)(cid:151)(cid:92)(cid:9)(cid:231)(cid:24)(cid:232)(cid:22)(cid:233)(cid:234)(cid:10) ÷ +(cid:141) (cid:152)(cid:131)(cid:132)
3 2 6
𝑎−2 𝑎 −4
(cid:188)(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:72)
3
(cid:48)(cid:47)(cid:92)(cid:9)(cid:231)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:52)(cid:141) (cid:152)
𝑎+ 2𝑎+
2
5
−𝑎+
3 5
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)(cid:179)(cid:159)(cid:121)(cid:96)
2 2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19) 𝑎+ C 𝑎+ −𝑎+
3
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:92)(cid:9)(cid:231)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:52) ÷ (cid:48)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:35)(cid:112)(cid:181)
2 3 2 6
𝑎−2 𝑎 −4
(cid:159)(cid:171)(cid:169)(cid:138)(cid:139)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54) −𝑎+ − 𝑎+ 2𝑎+
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:235)(cid:20)(cid:123)(cid:106)
3
÷
+2 +3 2+6
𝑎−2 𝑎 −4
− 3− 2( +3)
=𝑎 𝑎 ×2𝑎
+2 +3 ( +2)( )
𝑎−2 𝑎
− 3 − 2
= 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎−2
+2 +2
− −
𝑎 𝑎5
= (cid:181)
2
(cid:114)(cid:162)−(cid:10)𝑎+ C(cid:54)
2 1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)4-1(cid:19)(cid:141)2024·(cid:236)(cid:237)(cid:166)(cid:238)(cid:33)·(cid:68)(cid:228)(cid:152)(cid:33)(cid:34)(cid:10) ÷ ( +2) = (cid:54)
5 5
+𝑎
1 1−𝑎+ 𝑎+ − 𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)−(cid:117)𝑎(cid:20)+ (cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:32)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:138)(cid:139)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1 ( 2) 5)
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:172)(cid:23)= ÷
5 5 5
𝑎+5−2 +𝑎 𝑎+ (𝑎+
+3 1+ 𝑎+ 𝑎+ − 𝑎+
= ÷( )
+5 +2 5
𝑎 𝑎−𝑎 −7𝑎−10
+3
= 𝑎 ÷( 𝑎 )
+5 2 +5
𝑎 −𝑎 −6𝑎−9
+3 +3)
= 𝑎 ÷ 𝑎
+5 +52
𝑎 (𝑎
= 𝑎 1 (cid:54) − 𝑎
3
(cid:114)(cid:100) − (cid:101) 𝑎+ (cid:52)(cid:10) 1 (cid:54) A A +
3 全 科
★
号
−𝑎+ 公 众 3 25
(cid:15)(cid:140)(cid:23)4-2(cid:19)(cid:141)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:182)(cid:147)(cid:239)(cid:240)
，
·(cid:150)关(cid:185)(cid:152)注(cid:131)(cid:132)a(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:241)
2
÷
2
(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:35)(cid:223)(cid:83)(cid:180)
源 𝑎+ 𝑎−5 𝑎 −10𝑎+
(cid:30)(cid:242)(cid:243)(cid:24)a(cid:24)(cid:36)(cid:24)(cid:244) 教 辅 (cid:54) 资 𝑎−5−𝑎+ 𝑎 2 −4
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)16
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:87)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:176)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:48)(cid:88)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:123)(cid:35)(cid:106)a(cid:36)(cid:48)(cid:138)(cid:245)(cid:35)(cid:244)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
3 25
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) ÷
2 2
𝑎+ 𝑎−5 𝑎 −10𝑎+
2
+3 𝑎−5−(𝑎++2)(𝑎 −4)
= ×
+2 ( )
𝑎 𝑎−5 𝑎 𝑎−2
+3− 2
= 𝑎−5 𝑎 𝑎−5
𝑎 𝑎−2
−
5
=𝑎−5(cid:48) 𝑎−5
𝑎−5
5
a(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:48) (cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)
∵(cid:180)(cid:30)(cid:242)(cid:243)(cid:24)𝑎−
a
5(cid:24)(cid:36)(cid:52)6(cid:48)10(cid:48)
(cid:47)∴ (cid:180)(cid:30)(cid:242)(cid:243)(cid:24)a(cid:24)(cid:36)(cid:24)(cid:244)(cid:52)6+10=16(cid:48)
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10)16(cid:54)
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:246)(cid:73)(cid:121)(cid:35)(cid:106)a(cid:36)(cid:72)(cid:112)(cid:100)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)(cid:15)(cid:140)(cid:23)4-3(cid:19)(cid:141)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:182)(cid:147)(cid:247)(cid:248)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:83)(cid:68)(cid:192)(cid:109)(cid:32)(cid:137)(cid:86)(cid:48)(cid:249)(cid:250)(cid:31)(cid:32)(cid:222)(cid:72)(cid:58)(cid:68)(cid:192)(cid:75)(cid:87)(cid:25)(cid:57)2(cid:48)(cid:88)(cid:27)(cid:57)
(cid:224)(cid:65)1(cid:24)(cid:244)(cid:48)(cid:107)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:138)(cid:139)(cid:78)(cid:202)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:136)(cid:137)(cid:253)(cid:204)(cid:10)
(cid:47)(cid:254)2024(cid:250)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:98)(cid:99) = (cid:54)(cid:141)(cid:40)(cid:189)(cid:255)(cid:53) (cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:152)
2
𝑦2024
𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
(2 2024) 1
𝑥
2024
−1 𝑥+ 2
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:120)(cid:151)(cid:24)(cid:137)(cid:86)(cid:105)(cid:57)(cid:22)(cid:82)(cid:109)(cid:32)(cid:187) (cid:59) (cid:244) = (cid:48)(cid:106)(cid:226)
(cid:141)2 𝑛(cid:152) 1
𝑛 𝑥
𝑛
𝑦2 𝑦3 𝑦 −1 𝑥+
(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:256)(cid:245)(cid:105)(cid:57)(cid:112)(cid:100)(cid:117)(cid:20)(cid:54)(cid:112)(cid:100)(cid:117)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:257)(cid:121)(cid:20)(cid:123)(cid:48)(cid:40)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:187) (cid:54)
𝑛
𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19) = = (cid:48)
1 ( ) 1
1 2𝑥 2𝑥
2 ∵𝑦 2×𝑥+ 2−1 𝑥+ 2
= = 1= = (cid:48)
𝑦1 1 1𝑥 2 + 𝑥 1 4𝑥 1 (2 2 𝑥 ) 1
2𝑥 2
∴𝑦2 𝑦1+ 𝑥+ + 3𝑥+ −1 𝑥+
2 2× 2
+1
= = =
+1 4𝑥 (2 3) +1
𝑦2 +31𝑥 +1 𝑥 +
𝑦 … 3 … 𝑦2 4𝑥 3 −1 𝑥 全 科 A A
3𝑥 号 ★
众
公
注
2 关
= (cid:54) ，
𝑛 (cid:141)2 𝑛 𝑛 𝑥 (cid:152) 1 教 辅 资 源
∴𝑦 −1 2𝑥2+024x
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
(22024−1)x 1
+
【题型5 分式的化简求值】
1 1 1
(cid:15)(cid:95)5(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:258)(cid:259)(cid:259)(cid:260)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:253)(cid:99) (cid:48) (cid:48) (cid:72)(cid:73)(cid:75)(cid:48)(cid:241)(cid:261)(cid:262) + + =12(cid:48) + + =
3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎
(cid:48)(cid:47) + + (cid:24)(cid:36)(cid:52) (cid:54)
4
𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:100)(cid:101) 𝑏+ (cid:19) 𝑐 6 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:235)(cid:131)(cid:132)(cid:105)(cid:106) = ( + )(cid:48) = ( + )(cid:48) = ( + )(cid:48)(cid:138)
(cid:245)(cid:133)(cid:134)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:48)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)𝑎(cid:72)(cid:112)1(cid:20)2−(cid:24)(cid:3)𝑏 (cid:124)𝑐(cid:54) 𝑏 12− 𝑎 𝑐 𝑐 12− 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) + + =12(cid:48)
= ( +∵𝑎)(cid:48)𝑏=𝑐 ( + )(cid:48) = ( + )(cid:48)
∴𝑎 12− 𝑏 𝑐 𝑏 (12)− 𝑎 (𝑐 )𝑐 12(− 𝑎) 𝑏
+ + = + +
𝑎 𝑏 𝑐 12− 𝑏+𝑐 12− 𝑎+𝑐 12− 𝑎+𝑏
∴𝑏+𝑐12 𝑐+𝑎 𝑎+1𝑏2 𝑏+𝑐 12 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏
= + +
+ + +
−1 −1 −1
𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏12 12 12
= + +
+ + +
1 1 −13
=1𝑏2 𝑐 𝑐 +𝑎 𝑎+𝑏
+ + +
3 −3
=12×𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏
4
=6(cid:54) −3
1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)5-1(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10) +1 ÷ (cid:48)(cid:88)(cid:256) < <3(cid:151)(cid:162)(cid:187)(cid:68)(cid:192)
2
𝑎 + 4𝑎
2
(cid:30)(cid:267)(cid:24)(cid:74)(cid:75) (cid:24)(cid:36)(cid:48)(cid:133)(cid:134)(cid:35)(cid:36)(cid:54) 𝑎−1 −𝑎 𝑎 −1 −1 𝑎
1𝑎 3
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19) (cid:48) =2(cid:76)(cid:48)(cid:172)(cid:23)=
2 2
𝑎+
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)𝑎(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:54) (cid:87)(cid:268)(cid:22)(cid:92)(cid:9)(cid:231)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:48)(cid:84)(cid:76)(cid:176)(cid:92)(cid:9)(cid:269)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:270)(cid:33)(cid:52)(cid:25)(cid:26)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:161)(cid:22)(cid:48)
(cid:88)(cid:256)0(cid:48)1(cid:48)2(cid:151)(cid:162)(cid:187)(cid:110)(cid:106)(cid:172)(cid:22)(cid:23)(cid:83)(cid:123)(cid:97)(cid:24)(cid:74)(cid:75)(cid:133)(cid:134)(cid:33)(cid:34)(cid:64)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) +1 ÷
2
𝑎 + 4𝑎
2
+1 ( 𝑎−1)(−𝑎 ) ( 𝑎 −)1( +1)
=
2
+
𝑎 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎 A A
科
+ − + ( ⋅ )( +1) 全
= 𝑎−1 𝑎−1 4𝑎 号 ★
2 2 公 众
𝑎 1−𝑎 2𝑎−1 𝑎−1 𝑎 关 注
( )( +1)⋅ ，
源
= 𝑎−1 4资𝑎
辅
教
2𝑎 𝑎−1 𝑎
⋅
1
=𝑎−1(cid:48) 4𝑎
2
𝑎+
(cid:158)(cid:198) < <3(cid:48)(cid:47) =0(cid:271)1(cid:271)2(cid:48)
(cid:71) =−10(cid:271)𝑎1(cid:24)(cid:76)(cid:272)(cid:48)𝑎(cid:172)(cid:22)(cid:23)(cid:273)(cid:123)(cid:97)(cid:48)
𝑎 2 1 3
=2(cid:48)(cid:47)(cid:172)(cid:23)= = (cid:54)
2 2
+
∴𝑎 1 1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)5-2(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:166)(cid:274)(cid:275)(cid:276)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:131)(cid:132)(cid:73)(cid:75) (cid:59) (cid:59) (cid:261)(cid:262)(cid:10) =1(cid:48) + =3(cid:48) + =11(cid:48)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐
1
(cid:47) + = (cid:54)
𝑐 𝑎
1
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19) /0.5
2
1 1 1
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:54)(cid:109)(cid:32) + + + (cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:74)(cid:277)(cid:133)(cid:134)(cid:35)(cid:112)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1 1 1 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:160)(cid:52) + + +
1 𝑎 𝑏 1𝑏 𝑐 𝑐 𝑎
= + +1+ +
𝑎
𝑎𝑏 𝑐
𝑐 𝑏𝑐 𝑎1 1 1 1
= + + + + + + +
𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑐 𝑏
= + 1 + +𝑏1 + 𝑐+ 1𝑎 + 𝑎𝑏𝑐 + 1 (cid:48)
𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐
1 1
(cid:223)(cid:57)3×11× + =3+11+ + +2(cid:48)
1 1 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎
(cid:112)(cid:106) + = (cid:54)
2
𝑐 𝑎 1
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
2
5 5 5 5
(cid:15)(cid:140)(cid:23)5-3(cid:19)(cid:141)24-25(cid:163)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:260)(cid:278)(cid:260)(cid:279)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:152)(cid:186) + + =0(cid:241) (cid:280)(cid:179)(cid:52)0(cid:48)(cid:47) + + + +
5 5 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐
+ (cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:141)(cid:206)(cid:206)(cid:152)
𝑎 A𝑏(cid:54) B(cid:54) C(cid:54)0 D(cid:54)12
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)−A15 −12
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:126)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:196)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:24)(cid:123)(cid:97)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:117)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
(cid:87)(cid:158)(cid:22)(cid:23)(cid:138)(cid:139)(cid:33)(cid:34)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:140)(cid:281)(cid:133)(cid:134)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
+
A
A
科
全
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 号 ★
众
公
注
关
+ 𝑎 𝑏 +𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 +𝑐 𝑎，𝑏
源
= + + 资
辅
教
5𝑎𝑐 5𝑎𝑏 5𝑏𝑐 5𝑎𝑏 5𝑏𝑐 5𝑎𝑐
5 +5 5 + +
= 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 +𝑎𝑏
2 2 2 2 2 2
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 5𝑎𝑏 5𝑏𝑐 5𝑎𝑐
5 +5 +5 + + +
= 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐
2 2 2 2 2 2
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 5𝑎𝑏 5𝑏𝑐 5𝑎𝑐
( + )+ ( + )+ ( + )
= 𝑎𝑏𝑐
5𝑎𝑐 𝑎 𝑐 5𝑎𝑏 𝑎 𝑏 5𝑏𝑐 𝑏 𝑐
+ + =0(cid:48)
𝑎𝑏𝑐
∵𝑎+𝑏=𝑐 + = + = (cid:48)
∴𝑎 𝑐 −𝑏,𝑎 𝑏 −𝑐,𝑏 𝑐 −𝑎
(cid:172)(cid:23)= = = (cid:54)
−5𝑎𝑏𝑐−5𝑎𝑏𝑐−5𝑎𝑏𝑐 −15𝑎𝑏𝑐
∴(cid:114)(cid:162)(cid:10)A(cid:54) 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 −15
【题型6 分式运算的实际应用】
(cid:15)(cid:95)6(cid:19)(cid:141)22-23(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:146)(cid:282)(cid:283)(cid:266)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:284)(cid:59)(cid:285)(cid:201)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:139)(cid:289)(cid:256)(cid:67)(cid:290)s(cid:291)(cid:292)(cid:24)(cid:201)(cid:70)(cid:84)(cid:76)(cid:187)(cid:293)(cid:48)(cid:186)(cid:84)(cid:294)(cid:245)(cid:139)(cid:48)
(cid:295)(cid:136)a(cid:296)(cid:76)(cid:284)(cid:297)(cid:145)(cid:285)(cid:181)(cid:186)(cid:67)(cid:294)(cid:245)(cid:139)(cid:48)(cid:295)(cid:136)b(cid:296)(cid:76)(cid:284)(cid:59)(cid:285)(cid:67)(cid:298)(cid:54)(cid:299)(cid:284)(cid:24)(cid:300)(cid:301)(cid:52) (cid:291)(cid:292)/(cid:296)(cid:76)(cid:48)(cid:285)(cid:24)(cid:300)(cid:301)(cid:52) (cid:291)
𝑣1 𝑣2
(cid:292)/(cid:296)(cid:76)(cid:48)(cid:47)(cid:40)(cid:255)(cid:53)a(cid:48)b(cid:55)(cid:56) (cid:52) (cid:54)
𝑣1
𝑣2(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:235)(cid:84)(cid:294)(cid:245)(cid:139)(cid:48)(cid:295)(cid:136)a(cid:296)(cid:76)(cid:284)(cid:297)(cid:145)(cid:285)(cid:105)(cid:106) = (cid:48)(cid:235)(cid:67)(cid:294)(cid:245)(cid:139)(cid:48)(cid:295)(cid:136)b(cid:296)(cid:76)(cid:284)(cid:59)(cid:285)(cid:67)(cid:298)(cid:105)(cid:106) =
𝑠
1 2
𝑎 ( 𝑣 − ) 𝑣 ( ) 𝑏
(cid:48)(cid:47) = ①(cid:48) + = ②(cid:48)(cid:35)(cid:106) = (cid:48) = (cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:226) (cid:54)
𝑠 1 2 𝑠 1 2 𝑠 1 𝑎+𝑏 𝑠 𝑎−𝑏 𝑠 𝑣1
𝑣 1 +𝑣 2 𝑣 −𝑣 𝑎 𝑣 𝑣 𝑏 𝑣 2𝑎𝑏 𝑣2 2𝑎𝑏 𝑣2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:235)(cid:20)(cid:123)(cid:106)(cid:48) = (cid:48) = (cid:48)
𝑠 𝑠
1 2 1 2
𝑎 𝑣 −𝑣 𝑏 𝑣 +𝑣
= ①(cid:48) + = ②(cid:48)
1 2 𝑠 1 2 𝑠
∴𝑣 −𝑣 𝑎 𝑣 𝑣 𝑏
( )
①(cid:302)②(cid:106)(cid:48)2 = + = (cid:48)
1 𝑠 𝑠 𝑎+𝑏 𝑠
( )𝑣 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
(cid:112)(cid:106) = (cid:48)
1 𝑎+𝑏 𝑠
𝑣 2𝑎𝑏
( )
②(cid:303)①(cid:106)(cid:48)2 = = (cid:48)
𝑠 𝑠 𝑎−𝑏 𝑠
(
)𝑣2 𝑏−𝑎 𝑎𝑏
(cid:112)(cid:106) = (cid:48)
𝑎−𝑏 𝑠
𝑣2 2𝑎𝑏
( ) ( ) ( )
= ÷ = × = (cid:48)
( )
𝑣1 𝑎+𝑏 𝑠 𝑎−𝑏 𝑠 𝑎+𝑏 𝑠 2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 A +
A
∴𝑣2 2𝑎𝑏 2𝑎𝑏 2𝑎𝑏 𝑎−𝑏 𝑠 𝑎−𝑏 全 科
★
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) 号
众
𝑎+𝑏 注 公
关
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:126)𝑎(cid:20)−𝑏(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)源(cid:32)(cid:59)，(cid:90)(cid:91)(cid:26)(cid:112)(cid:304)(cid:305)(cid:68)(cid:250)(cid:28)(cid:137)(cid:306)(cid:214)(cid:132)(cid:215)(cid:48)(cid:307)(cid:308)(cid:20)(cid:123)(cid:48)(cid:309)(cid:121)(cid:109)(cid:32)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)
资
辅
教
(cid:124)(cid:54)
(cid:15)(cid:140)(cid:23)6-1(cid:19)(cid:83)(cid:68)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:52)x(cid:292)(cid:24)(cid:73)(cid:28)(cid:281)(cid:313)(cid:70)(cid:48)(cid:109)(cid:314)(cid:129)(cid:253)(cid:315)(cid:223)(cid:56)(cid:24)(cid:28)(cid:23)(cid:316)(cid:202)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:141)(cid:315)(cid:151)(cid:320)(cid:321)(cid:232)(cid:22)(cid:202)(cid:317)(cid:318)
(cid:319)(cid:152)(cid:54)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:48)(cid:125)(cid:73)(cid:28)(cid:281)(cid:313)(cid:70)(cid:145)(cid:322)(cid:201)(cid:242)(cid:323)(cid:52)2a(cid:292)(cid:24)(cid:220)(cid:67)(cid:324)(cid:325)(cid:24)(cid:326)(cid:181)(cid:28)(cid:23)(cid:304)(cid:48)(cid:125)(cid:73)(cid:28)(cid:281)(cid:313)(cid:70)(cid:207)(cid:327)(cid:328)(cid:322)(cid:68)(cid:310)(cid:311)
(cid:312)(cid:52)a(cid:292)(cid:24)(cid:296)(cid:73)(cid:28)(cid:281)(cid:313)(cid:70)(cid:202)(cid:317)(cid:329)(cid:330)(cid:48)(cid:331)(cid:309)(cid:332)(cid:40)5000(cid:305)(cid:333)(cid:138)(cid:318)(cid:319)(cid:54)(cid:3)(cid:198)(cid:334)(cid:202)(cid:28)(cid:23)(cid:202)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:57)(cid:196)(cid:338)(cid:337)
(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:72)(cid:338)(cid:339)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:24)(cid:107)(cid:340)(cid:341)(cid:141)(cid:206)(cid:206)(cid:152)
A(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:342)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:304)(cid:202)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:48)(cid:241)(cid:338)(cid:337)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:72)(cid:338)(cid:339)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:24) (cid:341)
𝑥+2𝑎
𝑥−2𝑎
B(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:342)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:304)(cid:202)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:48)(cid:241)(cid:338)(cid:337)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:72)(cid:338)(cid:339)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:24) (cid:341)
𝑥−2𝑎
𝑥+2𝑎C(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:304)(cid:342)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:202)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:48)(cid:241)(cid:338)(cid:337)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:72)(cid:338)(cid:339)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:24) (cid:341)
𝑥+2𝑎
𝑥−2𝑎
D(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:304)(cid:342)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:202)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:48)(cid:241)(cid:338)(cid:337)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:72)(cid:338)(cid:339)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:24) (cid:341)
𝑥−2𝑎
𝑥+2𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)A
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为
5000 5000
： ，再求出即可．
2
(𝑥−2𝑎) (𝑥+2𝑎)(𝑥−2𝑎) 5000
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝ （元）；
2
(𝑥−2𝑎)
5000 5000
方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝ ＝ （元），
2 2
∵x+2a＞x﹣2a， 𝑥 −4𝑎 (𝑥+2𝑎)(𝑥−2𝑎)
5000 5000
∴ ＞ ，
2
∴(用𝑥−方2𝑎式) 一 ( 比 𝑥+ 用 2𝑎) 方 (𝑥− 式 2𝑎 二 ) 种植草皮的单价高，
5000 5000
两种草皮单价之比为 ：
+
A
2 A
5000 (𝑥−2𝑎) (𝑥+2𝑎)(𝑥−2𝑎) 全 科
＝ • 号 ★
5000 众
(𝑥+2𝑎)(𝑥−2𝑎) 公
2 关 注
(𝑥−2𝑎) ，
源
＝ ， 资
辅
𝑥+2𝑎 教
𝑥−2𝑎
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行
计算．
(cid:15)(cid:140)(cid:23)6-2(cid:19)(cid:343)(cid:344)(cid:199)(cid:176)(cid:201)(cid:202)(cid:345)(cid:29)(cid:30)(cid:157)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:187)(cid:348)(cid:54)(cid:158)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:96)(cid:336)(cid:40)(cid:57)(cid:204)(cid:28)(cid:26)(cid:121)(cid:96)(cid:10)
(cid:186)A(cid:202)(cid:345)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:52)a(cid:305)/(cid:291)(cid:349)(cid:48)B(cid:202)(cid:345)(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:52)b(cid:305)/(cid:291)(cid:349)(cid:141)a≠b(cid:152)(cid:48)(cid:47)m(cid:291)(cid:349)(cid:24)A(cid:202)(cid:345)(cid:65)n(cid:291)(cid:349)(cid:24)B(cid:202)(cid:345)(cid:29)
(cid:30)(cid:245)(cid:157)(cid:24)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:335)(cid:336)(cid:52) (cid:305)(cid:54)
𝑚𝑎+𝑛𝑏
(cid:141)1(cid:152)(cid:71)a=20(cid:48)b=30(cid:76)(cid:48)𝑚+𝑛
①(cid:176)10(cid:291)(cid:349)(cid:24)A(cid:202)(cid:345)(cid:65)15(cid:291)(cid:349)(cid:24)B(cid:202)(cid:345)(cid:29)(cid:30)(cid:245)(cid:157)(cid:24)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:335)(cid:336)(cid:52)(cid:107)(cid:340)(cid:350)
②(cid:125)①(cid:24)(cid:135)(cid:351)(cid:145)(cid:48)(cid:186)(cid:81)(cid:176)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:335)(cid:336)(cid:352)(cid:337)2(cid:305)(cid:48)(cid:47)(cid:353)(cid:354)(cid:90)B(cid:202)(cid:345)(cid:107)(cid:340)(cid:291)(cid:349)(cid:350)
（2）(cid:186)(cid:331)(cid:83)(cid:201)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:10)(cid:68)(cid:202)(cid:72)(cid:235)10(cid:291)(cid:349)(cid:24)A(cid:202)(cid:345)(cid:244)10(cid:291)(cid:349)(cid:24)B(cid:202)(cid:345)(cid:29)(cid:30)(cid:245)(cid:157)(cid:48)(cid:355)(cid:68)(cid:202)(cid:72)(cid:235)100(cid:305)(cid:336)
(cid:36)(cid:24)A(cid:202)(cid:345)(cid:244)100(cid:305)(cid:336)(cid:36)(cid:24)B(cid:202)(cid:345)(cid:29)(cid:30)(cid:245)(cid:157)(cid:48)(cid:47)(cid:78)(cid:201)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:334)(cid:68)(cid:202)(cid:356)(cid:357)(cid:350)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)（1）① “(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:335)(cid:336)(cid:52)26(cid:305)(cid:54)②(cid:299)(cid:353)(cid:354)(cid:90)B(cid:202)(cid:345)25(cid:291)(cid:349)；（2）(cid:254)(cid:68)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:356)(cid:357)(cid:54)
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)①(cid:133)(cid:134)m(cid:48)n(cid:48)a(cid:48)b(cid:24)(cid:36)(cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:35)(cid:187)(cid:98)(cid:358)(cid:181)②(cid:299)(cid:353)(cid:354)(cid:90)B(cid:202)(cid:345)x(cid:291)(cid:349)(cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:359)(cid:336)=(cid:335)(cid:336)×(cid:75)(cid:360)(cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:3)(cid:198)x(cid:24)(cid:68)(cid:305)(cid:68)(cid:250)(cid:28)(cid:137)(cid:48)(cid:112)(cid:361)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:98)(cid:358)(cid:181)(cid:141)2(cid:152)(cid:208)(cid:40)(cid:335)(cid:336)=(cid:359)(cid:336)÷(cid:75)(cid:360)(cid:48)(cid:35)(cid:187)(cid:201)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”
(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:48)(cid:304)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:64)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:98)(cid:358)(cid:54)
10×20 15×30
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)（1）① =26(cid:141)(cid:305)(cid:152)(cid:54)
10 15
+
(cid:100)(cid:10)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:335)(cid:336)(cid:52)26 +(cid:305)(cid:54)
②(cid:299)(cid:353)(cid:354)(cid:90)B(cid:202)(cid:345)x(cid:291)(cid:349)(cid:48)
(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:123)(cid:106)(cid:10)(cid:141)26+2）（25+x）=25×26+30x，
(cid:112)(cid:106)(cid:10)x=25(cid:54)
(cid:100)(cid:10)(cid:353)(cid:354)(cid:90)B(cid:202)(cid:345)25(cid:291)(cid:349)．
(cid:141)2(cid:152)(cid:254)(cid:68)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:52) = ；
10 10 2
10𝑎+10𝑏 𝑎+𝑏
100 100 +
(cid:355)(cid:68)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:52) = ．
100 100
+ 2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎+𝑏
= = ．
2 2
2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 4𝑎𝑏−(𝑎+𝑏) (𝑎−𝑏)
𝑎+a𝑏+−b＞0，（2a(﹣𝑎+b𝑏）) 2＞−0， 2(𝑎+𝑏)
+
A
A
科
∵ ★ 全
﹣ <0， 号
2 众
(𝑎−𝑏) 注 公
关
∴ 2(𝑎+𝑏) 源 ，
< ． 资
2 辅
2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 教
(cid:100)∴𝑎+(cid:10)𝑏(cid:254)(cid:68)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:356)(cid:357)(cid:54)
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:205)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:59)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:196)(cid:68)(cid:305)(cid:68)(cid:250)(cid:28)(cid:137)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:10)
(cid:141)1(cid:152)①(cid:133)(cid:134)m(cid:48)n(cid:48)a(cid:48)b(cid:24)(cid:36)(cid:48)(cid:35)(cid:187)(cid:335)(cid:336)(cid:181)②(cid:365)(cid:309)(cid:214)(cid:360)(cid:3)(cid:366)(cid:48)(cid:73)(cid:121)(cid:205)(cid:187)(cid:68)(cid:305)(cid:68)(cid:250)(cid:28)(cid:137)(cid:181)(cid:141)2(cid:152)(cid:208)(cid:40)(cid:335)(cid:336)=
(cid:359)(cid:336)÷(cid:75)(cid:360)(cid:35)(cid:187)(cid:201)(cid:202)“(cid:346)(cid:347)(cid:345)”(cid:24)(cid:335)(cid:336)(cid:54)
(cid:15)(cid:140)(cid:23)6-3(cid:19)(cid:141)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:147)(cid:367)(cid:344)(cid:368)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)1.(cid:253)(cid:315)(cid:48)(cid:284)(cid:369)(cid:244)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:22)(cid:82)(cid:370)(cid:83)(cid:277)(cid:50)(cid:280)(cid:52) mL(cid:24)(cid:371)(cid:372)(cid:244)(cid:373)
(cid:99)(cid:372)(cid:141)(cid:253)(cid:204)(cid:374)(cid:51)(cid:48)(cid:99)(cid:372)(cid:280)(cid:179)(cid:375)(cid:187)(cid:152)(cid:54) 𝑎
(cid:141)1(cid:152)(cid:71) =200(cid:76)(cid:48)(cid:256)(cid:284)(cid:369)(cid:376) mL( <200)(cid:371)(cid:372)(cid:377)(cid:134)(cid:285)(cid:369)(cid:246)(cid:378)(cid:379)(cid:280)(cid:380)(cid:48)(cid:47)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:371)(cid:372)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:372)(cid:24)(cid:277)(cid:50)(cid:342)
(cid:52) 𝑎 (cid:181) 𝑏 𝑏(cid:141)2(cid:152)(cid:58)(cid:201)(cid:369)(cid:151)(cid:24)(cid:99)(cid:372)(cid:138)(cid:139)(cid:253)(cid:204)(cid:374)(cid:51)(cid:10)
(cid:254)(cid:68)(cid:381)(cid:10)(cid:256)(cid:284)(cid:369)(cid:376)(cid:187) mL( > )(cid:371)(cid:372)(cid:48)(cid:61)(cid:134)(cid:285)(cid:369)(cid:246)(cid:378)(cid:379)(cid:280)(cid:380)(cid:54)(cid:126)(cid:76)(cid:48)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:24)(cid:371)(cid:372)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:372)(cid:24)(cid:277)(cid:50)(cid:342)(cid:52)
(cid:254)(cid:304)(cid:381)(cid:10)(cid:256)(cid:285)(cid:369)(cid:376)(cid:187)𝑏mL(cid:29)𝑎(cid:30)(cid:99)𝑏(cid:372)(cid:48)(cid:61)(cid:134)(cid:284)(cid:369)(cid:246)(cid:378)(cid:379)(cid:280)(cid:380)(cid:54)(cid:295)(cid:136)(cid:201)(cid:250)(cid:382)(cid:244)(cid:64)(cid:48)(cid:299)(cid:126)(cid:76)(cid:284)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:373)(cid:99)(cid:372) mL(cid:48)
𝑏 𝑥
(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:371)(cid:372) mL(cid:48)(cid:47) = .
𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19) 𝑦 (200+ 𝑦 ) ( + ) 1
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)𝑏(cid:81): (cid:118)(cid:119)(cid:154)𝑏(cid:205)(cid:133)(cid:75)(cid:23)𝑏:(cid:48)𝑎(cid:22)𝑏(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:181)
(cid:141)1(cid:152)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:123)(cid:205)(cid:187)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:77)(cid:105)(cid:181)
(cid:141)2(cid:152)(cid:254)(cid:68)(cid:381)(cid:10)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:123)(cid:205)(cid:187)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:77)(cid:105)(cid:181)
(cid:254)(cid:304)(cid:381)(cid:10)(cid:87)(cid:35)(cid:187)(cid:126)(cid:76)(cid:284)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:373)(cid:99)(cid:372) = (cid:48)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:371)(cid:372) = (cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:35)(cid:187)(cid:98)(cid:99)(cid:54)
𝑎𝑏 𝑎𝑏
(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)𝑥 (cid:47)𝑎(cid:48)+𝑏(cid:309)(cid:121)(cid:109)(cid:32)(cid:54) 𝑦 𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:141)1(cid:152)(cid:256)(cid:284)(cid:369)(cid:376) mL( <200)(cid:371)(cid:372)(cid:377)(cid:134)(cid:285)(cid:369)(cid:246)(cid:378)(cid:379)(cid:280)(cid:380)(cid:48)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:24)(cid:99)(cid:372)(cid:359)(cid:277)(cid:50)(cid:52)(cid:10)( + )mL(cid:48)
𝑏 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:47)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:371)(cid:372)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:372)(cid:24)(cid:277)(cid:50)(cid:342)(cid:52)(cid:10) = (cid:181)
200
𝑏 𝑏
+
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (200+ )(cid:181) 𝑎+𝑏 +𝑏 科 A A
全
★
号
众
(cid:141)2(cid:152)(cid:254)(cid:68)(cid:381)𝑏(cid:10): (cid:256)(cid:284)(cid:369)𝑏(cid:376)(cid:187) mL( > )(cid:371)(cid:372)(cid:48)(cid:61)
注
(cid:134)(cid:285)公(cid:369)(cid:246)(cid:378)(cid:379)(cid:280)(cid:380)(cid:48)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:24)(cid:99)(cid:372)(cid:359)(cid:277)(cid:50)(cid:52)(cid:10)( + )mL(cid:48)
关
，
源
辅𝑏 资𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:47)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:371)(cid:372)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:99)教(cid:372)(cid:24)(cid:277)(cid:50)(cid:342)(cid:52)(cid:10) (cid:181)
𝑏
𝑎+𝑏
(cid:254)(cid:304)(cid:381)(cid:10)(cid:256)(cid:285)(cid:369)(cid:376)(cid:187) mL(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:372)(cid:48)(cid:47)(cid:126)(cid:76)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:372)(cid:151)(cid:189)(cid:83)(cid:373)(cid:99)(cid:372)(cid:10) × = (cid:48)
𝑎 𝑎𝑏
𝑏 𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏
(cid:77)(cid:126)(cid:76)(cid:284)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:373)(cid:99)(cid:372) = (cid:181)
𝑎𝑏
𝑥 𝑎+𝑏
(cid:126)(cid:76)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:371)(cid:372) = = (cid:48)
2 2 2
𝑏 𝑎𝑏+𝑏 𝑏 𝑎𝑏
𝑏−𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 −𝑎+𝑏 𝑎+𝑏
(cid:77)(cid:126)(cid:76)(cid:285)(cid:369)(cid:151)(cid:189)(cid:371)(cid:372) = (cid:48)
𝑎𝑏
𝑦 𝑎+𝑏
= =1(cid:54)
𝑎𝑏
𝑥 𝑎+𝑏
𝑎𝑏
∴ (cid:114) 𝑦 (cid:100)(cid:101)𝑎+(cid:52)𝑏 (cid:10) ( + )(cid:181)1(cid:54)
【题型7 分 𝑏: 式 𝑎 的大 𝑏 小比较】
11
(cid:15)(cid:95)7(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:166)(cid:274)(cid:282)(cid:383)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)(cid:131)(cid:132) > >0(cid:48)(cid:40)(cid:201)(cid:202)(cid:179)(cid:84)(cid:24)(cid:28)(cid:26)(cid:342)(cid:338) , (cid:24)(cid:357)(cid:296)(cid:181)
1 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
(cid:141)2(cid:152)(cid:186) < (cid:48)(cid:47) =_____(cid:48) =______(cid:141)(cid:384)(cid:187)(cid:68)(cid:306)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:24)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:152)(cid:54)
1
𝑏 𝑏+
𝑎 𝑎+ 1 1𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)(cid:141)1(cid:152) < (cid:181)(cid:122)(cid:235)(cid:385)(cid:112)(cid:102)(cid:181)(cid:141)2(cid:152)3(cid:181)2(cid:141)(cid:100)(cid:101)(cid:179)(cid:386)(cid:68)(cid:152)
𝑎 𝑏(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:54)
(cid:141)1(cid:152)(cid:40)(cid:51)(cid:364)(cid:26)(cid:244)(cid:51)(cid:343)(cid:26)(cid:342)(cid:338)(cid:357)(cid:296)(cid:77)(cid:105)(cid:181)
1
(cid:141)2(cid:152)(cid:103)(cid:104) < (cid:384)(cid:187)(cid:68)(cid:306)(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:24)a(cid:59)b(cid:24)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1
𝑏 𝑏+
𝑎 𝑎+
1 1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:141)1(cid:152)(cid:28)(cid:26)(cid:68)(cid:10) = (cid:48)
𝑏−𝑎
> >0(cid:48)
𝑎−𝑏 𝑎𝑏
∵𝑎 >𝑏0(cid:48) <0(cid:48)
∴𝑎𝑏 𝑏−𝑎
<0(cid:48)
𝑏−𝑎
∴𝑎𝑏
1 1
<0(cid:48)
∴𝑎
1
−𝑏
1
< (cid:181)
∴𝑎 𝑏 1
1
(cid:28)(cid:26)(cid:304)(cid:10) = × = (cid:48)
1
𝑎 𝑏
> >𝑏0(cid:48) 𝑎 𝑏 𝑎
+
A
∵𝑎1 𝑏 1 科 A
>0(cid:48) >0(cid:48)0< <1(cid:48) 全
★
号
𝑏 众
公
∴𝑎 1 𝑏 𝑎
关
注
0< <1(cid:48) ，
1 源
𝑎 辅 资
教
∴ 1 1𝑏
< (cid:181)
∴𝑎 𝑏
2 1 3
(cid:141)2(cid:152)(cid:71) =3(cid:48) =2(cid:76)(cid:48) = (cid:48) = (cid:48)
3 1 4
𝑏 𝑏+
2 3 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎+
< (cid:48)
3 4
∵ =3(cid:48) =2(cid:180)(cid:30)(cid:20)(cid:123)(cid:54)
∴𝑎 𝑏 1 1 1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)7-1(cid:19)(cid:141)2023·(cid:146)(cid:147)(cid:387)(cid:344)(cid:388)·(cid:68)(cid:228)(cid:152)(cid:186)(cid:133)(cid:75)(cid:23) + (cid:48) (cid:222)(cid:83)(cid:123)(cid:97)(cid:48)(cid:342)(cid:338)(cid:304)(cid:362)(cid:24)(cid:75)(cid:360)(cid:3)(cid:366)(cid:48)(cid:204)(cid:205)(cid:80)(cid:26)(cid:73)(cid:121)
2 2
(cid:24)(cid:52)(cid:141) (cid:152)
𝑥 𝑥+
A(cid:54)(cid:179)(cid:67)(cid:214) B(cid:54)(cid:67)(cid:214) C(cid:54)(cid:389)(cid:362)(cid:338)(cid:357) D(cid:54)(cid:64)(cid:362)(cid:338)(cid:357)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)A
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:268)(cid:136)(cid:51)(cid:364)(cid:26)(cid:342)(cid:338)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1 1 1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) +
2 2
2( +2)+ 𝑥( +−2𝑥)+
=
( +2)
𝑥 𝑥 𝑥 −2𝑥
2𝑥 𝑥1) 3
= 0(cid:48)
( 22)
(𝑥+ +
(cid:114)(cid:304)2𝑥(cid:362)𝑥(cid:179)+ (cid:67)≠(cid:214)(cid:181)
1) 3 3
(cid:71) =2(cid:76)(cid:48) = >0(cid:48)(cid:389)(cid:362)(cid:338)(cid:357)(cid:181)
( 22) 4
(𝑥+ +
𝑥 2𝑥 𝑥 1 + ) 3 3
(cid:71) = 1(cid:76)(cid:48) = <0(cid:48)(cid:64)(cid:362)(cid:338)(cid:357)(cid:54)
( 22) 2
(𝑥+ +
(cid:114)𝑥(cid:162)(cid:10)−A(cid:54) 2𝑥 𝑥+ −
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:155)(cid:156)(cid:51)(cid:364)(cid:26)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)7-2(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:166)(cid:274)(cid:282)(cid:383)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:131)(cid:132) = (cid:48) = (cid:54)
2 1
𝑚+ 2𝑚
(1)(cid:71) >0(cid:76)(cid:48)(cid:342)(cid:338)A(cid:65)B(cid:24)(cid:357)(cid:296)(cid:48)(cid:246)(cid:80)(cid:257)(cid:122)(cid:235)(cid:10) 𝐴 𝐵 𝑚+
𝑚 2
(2)(cid:299) = + (cid:48)(cid:186)m(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:47)(cid:73)(cid:74)(cid:75)y(cid:24)(cid:36)(cid:52)______(cid:54)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)𝑦 (cid:19)𝐴 (1) 𝐵 (cid:48)(cid:122)(cid:235)(cid:385)(cid:113)(cid:112)
(2)y(cid:24)(cid:36)(cid:52)4𝐴(cid:271)≥𝐵3(cid:271)1
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:109)(cid:32)(cid:10) +
A
A
科
全
★
( ) 众 号
(cid:141)1(cid:152)(cid:208)(cid:40)(cid:51)(cid:364)(cid:26)(cid:106)(cid:226) = (cid:48)(cid:235) >0(cid:48)(cid:105)公(cid:106)(cid:187) 0(cid:181)
2( 12) 注
𝑚−1 关
，
源
2 𝐴−𝐵 辅 资2 𝑚+ 𝑚 𝐴−𝐵≥
(cid:141)2(cid:152)(cid:87)(cid:35)(cid:187) = + 教=2+ (cid:48)(cid:88)(cid:235)y(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:106)(cid:226) +1=1(cid:271) +1=2(cid:271) +1= (cid:48)(cid:112)(cid:361)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:141)1𝑦(cid:152)(cid:112)𝐴(cid:10)𝐵 (cid:48)(cid:122) 𝑚 (cid:235) + (cid:253)(cid:204)(cid:10) 𝑚 𝑚 𝑚 −2
+1 𝐴≥𝐵
=
2 +1
𝑚 2𝑚
𝐴−(𝐵 +1) −
= 𝑚
2( +21)
𝑚 −4𝑚
+ +
= 𝑚
2 2( +1)
𝑚 2𝑚 1−4𝑚
+1
= 𝑚
22( +1)
𝑚 −2𝑚
( )
= 𝑚 (cid:48)
2( 12)
𝑚−1
𝑚 > + 0(cid:48)
∵𝑚+1>0(cid:48)
(cid:390)∴𝑚( ) 0(cid:48)
2
∵ 𝑚−10(cid:48)≥
(cid:77)∴𝐴−𝐵≥(cid:48)
𝐴≥𝐵2 4 2 2 2
(cid:141)2(cid:152) = + = + = =2+ (cid:48)
1 1 1 1
2𝑚 + +2𝑚
m(cid:52)𝑦(cid:74)(cid:75)𝐴(cid:48)𝐵y(cid:52)(cid:73)𝑚+(cid:74)(cid:75)𝑚(cid:48)+ 𝑚+ 𝑚+
∵ +1=1(cid:271) +1=2(cid:271) +1= (cid:48)
∴𝑚=0(cid:271) =𝑚1(cid:271) = (cid:48)𝑚 −2
∴y𝑚(cid:24)(cid:36)(cid:52)𝑚4(cid:271)3(cid:271)𝑚1(cid:54)−3
(cid:15)∴(cid:140)(cid:23)7-3(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:146)(cid:282)(cid:391)(cid:248)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:392)(cid:225)(cid:125)(cid:22)(cid:102)(cid:112)(cid:175)(cid:393)(cid:216)(cid:75)(cid:11)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:48)(cid:295)(cid:199)(cid:81)(cid:342)(cid:338)(cid:201)(cid:192)(cid:75)(cid:271)(cid:201)(cid:192)
(cid:23)(cid:49)(cid:24)(cid:357)(cid:296)(cid:48)(cid:112)(cid:175)(cid:111)(cid:20)(cid:24)(cid:394)(cid:14)(cid:68)(cid:69)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:68)(cid:96)(cid:24)(cid:270)(cid:33)(cid:48)(cid:230)(cid:151)“(cid:51)(cid:364)(cid:26)”(cid:79)(cid:72)(cid:199)(cid:40)(cid:24)(cid:28)(cid:26)(cid:361)(cid:68)(cid:54)“(cid:51)(cid:364)(cid:26)”(cid:79)(cid:72)(cid:268)
(cid:136)(cid:51)(cid:364)(cid:59)(cid:140)(cid:281)(cid:48)(cid:208)(cid:40)(cid:364)(cid:24)(cid:180)(cid:9)(cid:121)(cid:96)(cid:224)(cid:225)(cid:24)(cid:357)(cid:296)(cid:48)(cid:253)(cid:81)(cid:342)(cid:338)(cid:23)(cid:49) (cid:48) (cid:24)(cid:357)(cid:296)(cid:48)(cid:190)(cid:81)(cid:35)(cid:187) (cid:24)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:54)(cid:186)
>0(cid:48)(cid:47) > (cid:181)(cid:186) =0(cid:48)(cid:47) = (cid:181)(cid:186) <0(cid:48)𝑀(cid:47) 𝑁< (cid:54) 𝑀−𝑁
𝑀−𝑁 𝑀 𝑁 1𝑀−𝑁 2 𝑀 𝑁 𝑀−𝑁 𝑀 𝑁
(1)(cid:186) >0(cid:48)(cid:395)(cid:396)(cid:397)(cid:10) (cid:141)(cid:398)“>”“=”(cid:271)“<”(cid:152)(cid:54)
1
𝑛+ 𝑛+
𝑛 𝑛 𝑛+
m 9 1 1
(2)(cid:131)(cid:132) = (cid:48) = (cid:48)(cid:71) > (cid:76)(cid:48)(cid:342)(cid:338) (cid:65) (cid:24)(cid:357)(cid:296)(cid:48)(cid:246)(cid:80)(cid:257)(cid:122)(cid:235)(cid:54)
2 6
+6𝑚+ 2𝑚+
2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)𝐴(1)>𝑚 −9 𝐵 2𝑚+ 𝑚 −3 𝐴 𝐵
+
A
(2) 1 < (cid:48)(cid:122)(cid:235)(cid:385)(cid:112)(cid:102) 全 科 A
★
号
众
公
(cid:15)(cid:22)𝐴 (cid:102)𝐵(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:135)(cid:117)(cid:399)(cid:400)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:3)关(cid:124)(cid:72) 注 (cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:135)(cid:117)(cid:399)(cid:400)(cid:48)(cid:268)(cid:136)(cid:20)(cid:401)(cid:28)(cid:26)(cid:51)(cid:364)(cid:35)(cid:112)(cid:54)
，
源
资
辅
教1 2
(cid:141)1(cid:152)(cid:109)(cid:32)(cid:201)(cid:23)(cid:361)(cid:364) (cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:364)(cid:36)(cid:24)(cid:180)(cid:9)(cid:138)(cid:139)(cid:396)(cid:397)(cid:181)
1
𝑛+ 𝑛+
1 𝑛 −𝑛+
(cid:141)2(cid:152)(cid:33)(cid:34) = (cid:48)(cid:235) > (cid:105)(cid:106) <0(cid:48)(cid:138)(cid:245)(cid:35)(cid:112)(cid:54)
2( 3) 2( 3)
−7 −7
𝐴−𝐵 𝑚+ 𝑚 −3 𝑚+
1 2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)(cid:112)(cid:10)
1
𝑛+ 𝑛+
( +1) ( +2𝑛)−𝑛+
=
( +12) ( +1)
𝑛 𝑛 𝑛
+ +−
= 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
2 ( +1)2
𝑛 2𝑛 1−𝑛 −2𝑛
1
= 𝑛(cid:48)𝑛
( 1)
𝑛 𝑛+
>0(cid:48) +1>0
∵𝑛( +1)𝑛>0(cid:48)
∴𝑛 𝑛1
(cid:47) >0(cid:48)
( 1)
𝑛 𝑛+
1 2
>0(cid:48)
1
𝑛+ 𝑛+
∴ 𝑛 − 1 𝑛+ 2
> (cid:48)
1
𝑛+ 𝑛+
∴ 𝑛 𝑛+(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10)>(cid:181)
1
(cid:141)2(cid:152)(cid:112)(cid:10) < (cid:48)(cid:122)(cid:235)(cid:253)(cid:204)(cid:10)
1 𝐴 𝐵 +1
=
+2 +9 +6
𝑚 −9 2𝑚
−(𝐵 +3)2( ) − +1
𝐴= 𝑚 6𝑚 2𝑚
( +3) 2( +3)
𝑚 𝑚−3 2𝑚
2 −+1
= 𝑚 𝑚
2( +3) 2( +3)
2𝑚−6 2𝑚
−
7
= 𝑚 (cid:48) 𝑚
2( 3)
−> 𝑚+
∵𝑚 −3,
<0(cid:48)
2( 3)
−7
∴ 𝑚+
1
<0(cid:48)
∴𝐴−𝐵
1
< (cid:54)
∴𝐴 𝐵 +
【题型8 分式的最值】 A A
科
全
★
号
众
公
(cid:15)(cid:95)8(cid:19)(cid:141)24-25(cid:217)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:146)(cid:147)(cid:402)(cid:403)·(cid:404)(cid:11)(cid:118)
关
(cid:395)(cid:152)注(cid:186)a(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:204)(cid:205)(cid:3)(cid:198)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:36)(cid:24)(cid:98)(cid:358)(cid:73)(cid:121)(cid:24)(cid:72)(cid:141) (cid:152)
，
源 2𝑎−2
资 2
教 辅 2 𝑎 −1
A(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:72)2 B(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:72)
3
C(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:72)1 D(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:48)(cid:405)(cid:83)(cid:41)(cid:357)(cid:36)
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)B
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:87)(cid:58) (cid:33)(cid:34)(cid:48)(cid:88)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:406)(cid:115)(cid:22)(cid:102)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
2𝑎−2
2
2( ) 2 𝑎 −1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) = = (cid:48)
( 1)( ) 1
2𝑎−2 𝑎−1
2
(cid:22)(cid:23)(cid:81)(cid:83)(cid:123)(cid:97)𝑎 −(cid:48)1 𝑎+ 𝑎−1 𝑎+
∵( +1)( ) 0(cid:48)
∴ 𝑎 1(cid:241)𝑎−1 ≠(cid:48)
∴𝑎a(cid:52)≠(cid:73)(cid:74)𝑎(cid:75)≠(cid:48)−1
∵a(cid:24)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:52)2(cid:54)
∴ (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:407)(cid:408)a(cid:24)(cid:36)(cid:24)(cid:354)(cid:357)(cid:245)(cid:91)(cid:296)(cid:48)
∵ 2 2
(cid:71)a(cid:376)(cid:41)(cid:296)(cid:74)(cid:75)2(cid:76)(cid:48)(cid:172)(cid:23)(cid:83)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:48)(cid:41)(cid:357)(cid:36)= = (cid:48)(cid:241)(cid:172)(cid:22)(cid:23)(cid:273)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:54)
2 1 3
∴ +(cid:114)(cid:162)(cid:10)B(cid:54)
(cid:15)(cid:140)(cid:23)8-1(cid:19)(cid:22)(cid:23)
5 12
(cid:105)(cid:376)(cid:24)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:52)(cid:141) (cid:152)
2 2
𝑥 +10𝑥+
2
A(cid:54)4 𝑥 +2B𝑥+(cid:54)5 C(cid:54)6 D(cid:54)7
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)D
5 12 2
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:87)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:52) =5+ (cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:212)(cid:173)(cid:213)(cid:28)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:409)(cid:410)(cid:399)(cid:106)(cid:187)( +1)+1 1(cid:77)(cid:105)(cid:54)
2 2 ( 1) 1
𝑥 +10𝑥+
2 2
5 12𝑥 + 5 2 ( 𝑥+ 2) 2 𝑥+ + 2 2 𝑥 ≥
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) = =5+ =5+ (cid:48)
2 2 2 2 2 ( 1) 1
𝑥 +10𝑥+ 𝑥 +2𝑥+ +
2 2 2 2
( +1) 0(cid:48)𝑥 +2𝑥+ 𝑥 +2𝑥+ 𝑥 +2𝑥+ 𝑥+ +
∵(𝑥+1)+≥1 1(cid:48)
∴5𝑥 12 ≥
=5+2=7(cid:54)
2 2 (cid:41)(cid:357)
𝑥 +10𝑥+
2
(cid:114)∴ (cid:162)𝑥 +(cid:10)2𝑥D+(cid:54)
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:411)(cid:108)(cid:26)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:157)(cid:83)(cid:122)(cid:75)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:201)(cid:232)(cid:22)(cid:48)(cid:409)(cid:410)(cid:75)(cid:399)(cid:400)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:155)(cid:156)(cid:411)(cid:108)(cid:26)(cid:58)(cid:22)(cid:23)
(cid:22)(cid:157)(cid:83)(cid:122)(cid:75)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:201)(cid:232)(cid:22)(cid:48)(cid:409)(cid:410)(cid:75)(cid:399)(cid:400)(cid:54)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:140)(cid:23)8-2(cid:19)(cid:141)22-23(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:412)(cid:166)(cid:413)(cid:149)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:186) + =6(cid:48)★(cid:241)全 (cid:48)(cid:47)(cid:204)(cid:205)(cid:80)(cid:26)(cid:73)(cid:121)(cid:24)(cid:72)(cid:141) (cid:152)
号
众
公
注
3 关 2𝑎 3𝑏 9 𝑎≤3𝑏 1
A(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36) B(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36)3， C(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36) D(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36)
2 资 源 2 3
𝑎 辅𝑎 𝑏 𝑏
教
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)𝑏
D
𝑏 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:112)(cid:179)(cid:214)(cid:23)(cid:48)(cid:87)(cid:103)(cid:104) + =6(cid:48)(cid:106)(cid:187) = (cid:48)(cid:103)(cid:104) (cid:48)
2 3 3 3 2 2𝑎 3𝑏 2𝑎 6−3𝑏 𝑎≤3𝑏
(cid:106)(cid:187) (cid:48)(cid:103)(cid:104) = 2 = (cid:48)(cid:106)(cid:187)(cid:71) = (cid:76)(cid:48) (cid:83)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:35)(cid:187)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
3 2 3
𝑎 3− 𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:113)𝑏(cid:112)≥(cid:19)(cid:112)(cid:10) 𝑏+ 𝑏=6(cid:48)𝑏− 𝑏 𝑏
= (cid:48)∵2𝑎 3𝑏
∴2𝑎 6−33𝑏
= (cid:48)
2
∴𝑎 3−(cid:48)𝑏
∵𝑎≤33𝑏
(cid:48)
2
∴3− 𝑏≤3𝑏2
(cid:112)(cid:106)(cid:10) (cid:48)
3
𝑏3≥ 3 3
= 2 = (cid:48)
2
𝑎 3− 𝑏
∴𝑏 𝑏2 𝑏− 3 3
(cid:71) = (cid:76)(cid:48) (cid:83)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:48)(cid:241)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:52)(cid:10) =3(cid:48)
3 2 2
𝑎 3
∴ 𝑏 𝑏 −1
(cid:83)(cid:41)(cid:296)(cid:36) (cid:54)
3
𝑏
∴(cid:114)𝑎(cid:162)(cid:10)D(cid:54)
1
(cid:15)(cid:140)(cid:23)8-3(cid:19)(cid:141)2023·(cid:146)(cid:147)(cid:414)(cid:248)·(cid:228)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:152)(cid:418)(cid:419)(cid:22)(cid:23)(cid:140)(cid:281)(cid:136)(cid:137)(cid:10) = = + =1+ (cid:48)(cid:230)(cid:151)
𝑎+ 𝑎−1+○ 𝑎−1 □ ◇
“○”“□”“ ”(cid:22)(cid:82)(cid:420)(cid:421)(cid:154)(cid:68)(cid:192)(cid:74)(cid:75). 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1
(cid:141)1(cid:152)“○◇”“□”“ ”(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:74)(cid:75) (cid:181)(cid:141)(cid:398)“(cid:67)(cid:84)”(cid:271)“(cid:179)(cid:67)(cid:84)”(cid:152)
◇
(cid:141)2(cid:152)(cid:71) 0(cid:76)(cid:48) (cid:24)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:52) .
2
2𝑎−8
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)𝑎 ≥ (cid:67)(cid:84) 𝑎 +
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)(cid:140)−(cid:281)4(cid:381)(cid:422)(cid:22)(cid:82)(cid:35)(cid:187)(cid:328)(cid:192)(cid:180)(cid:9)(cid:420)(cid:421)(cid:24)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:98)(cid:99)(cid:181)
(cid:141)2(cid:152)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:20)(cid:401)(cid:28)(cid:26)(cid:140)(cid:281)(cid:35)(cid:112)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
1 2 2 2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:141)1(cid:152) = = + =1+ (cid:48)
𝑎+ 𝑎−1+ 𝑎−1
= = =2 𝑎 (cid:48) −1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1
(cid:114)∴○(cid:100)(cid:101)2(cid:52),□(cid:10)(cid:67)2,◇(cid:84)(cid:181)
+
A
A
科
(cid:141)2(cid:152) = = 12 (cid:48) 号 ★ 全
2 2 2 众
2𝑎−8 2(𝑎+2)−12 注 公
关
0 𝑎 (cid:48) + 𝑎+ 2−𝑎+ 源 ，
资
辅
教
∵𝑎≥ 12
(cid:71) =0(cid:76)(cid:48) =6(cid:376)(cid:106)(cid:41)(cid:357)(cid:36)(cid:48)
2
∴ 𝑎 𝑎+
(cid:24)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:52) = (cid:48)
2
2𝑎−8
∴(cid:114) 𝑎 (cid:100) + (cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)2−6 −4
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:20)−(cid:120)4(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:140)(cid:281)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
【题型9 分式运算的规律探究】
(cid:15)(cid:95)9(cid:19)(cid:141)2025·(cid:260)(cid:278)(cid:423)(cid:266)·(cid:227)(cid:228)(cid:152)(cid:418)(cid:419)(cid:57)(cid:204)(cid:214)(cid:23)(cid:10)
1 2
(cid:254)1(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
2 1 2
2
2−1 +
3
(cid:254)2(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
3 2 2
2
3−1 +
4
(cid:254)3(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
4 3 2
2
4−1 +
5
(cid:254)4(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
5 4 2
2
…… −1 +(cid:129)(cid:130)(cid:57)(cid:145)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:112)(cid:175)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:424)(cid:384)(cid:187)(cid:254)6(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) (cid:54)
(2)(cid:424)(cid:425)(cid:426)(cid:427)(cid:254)n(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:141)(cid:40)(cid:189)n(cid:24)(cid:214)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:48)(cid:246)(cid:428)(cid:257)(cid:54)
6 7
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)(1) + =1
7 6 2
2
−11 +
(2) + =1(cid:48)(cid:385)(cid:112)(cid:102)
( 1) 1 2
𝑛 𝑛+
2
(cid:15)(cid:22)𝑛+(cid:102)(cid:19)−(cid:117)(cid:20) 𝑛 (cid:153) + (cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:83)(cid:3)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:429)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:26)(cid:109)(cid:32)(cid:48)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:112)(cid:20)(cid:123)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:430)
(cid:141)1(cid:152)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:120)(cid:151)(cid:214)(cid:23)(cid:24)(cid:406)(cid:115)(cid:48)(cid:105)(cid:57)(cid:384)(cid:187)(cid:254)6(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:181)
(cid:141)2(cid:152)(cid:103)(cid:104)(cid:20)(cid:120)(cid:151)(cid:214)(cid:23)(cid:24)(cid:406)(cid:115)(cid:48)(cid:105)(cid:57)(cid:384)(cid:187)(cid:426)(cid:427)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:176)(cid:214)(cid:23)(cid:431)(cid:311)(cid:244)(cid:432)(cid:311)(cid:433)(cid:404)(cid:48)(cid:434)(cid:72)(cid:435)(cid:67)(cid:214)(cid:48)(cid:77)(cid:105)(cid:428)(cid:257)(cid:426)(cid:427)(cid:54)
1 2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)(cid:112)(cid:10)(cid:254)1(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
2 1 2
2
2 3 −1 +
(cid:254)2(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
3 2 2
2
3−1 +
4
(cid:254)3(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
4 3 2
2
(cid:254)4(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) 4−1 + + 5 =1(cid:54) A A +
5 4 2 全 科
★
2 号
…… −1 + 公 众
注
关
，
源
(cid:254)6(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) 6 + 教 7 = 辅 1(cid:54) 资
7 6 2
2
−1 + 1
(cid:141)2(cid:152)(cid:112)(cid:10)(cid:426)(cid:427)(cid:254)n(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:52) + =1(cid:48)(cid:428)(cid:257)(cid:253)(cid:204)(cid:10)
( 1) 1 2
𝑛 𝑛+
2
𝑛+ − 𝑛+
1
(cid:214)(cid:23)(cid:431)(cid:311)= +
( 1) 1 2
𝑛 𝑛+
2
𝑛+ − 𝑛+ +1
= +
( +1+1)( + ) +2
𝑛 𝑛
+1
= 𝑛 + 𝑛 1−1 𝑛
( +2) +2
𝑛 𝑛
1 +1
= 𝑛 𝑛 + 𝑛
+2 +2
𝑛
+2
= 𝑛 𝑛
+2
𝑛
=1(cid:48)
𝑛
(cid:126)(cid:76)(cid:214)(cid:23)(cid:431)(cid:432)(cid:201)(cid:311)(cid:67)(cid:214)(cid:48)(cid:77)(cid:214)(cid:23)(cid:157)(cid:436)(cid:54)
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3
(cid:15)(cid:140)(cid:23)9-1(cid:19)(cid:418)(cid:419)(cid:204)(cid:205)(cid:328)(cid:214)(cid:23)(cid:10) = (cid:48) = (cid:48) = (cid:48)…(cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:425)(cid:293)(cid:331)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:109)(cid:32)(cid:10) + +
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4 1×2 2×3
3 3 − − −
+ + = (cid:141)n(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:152)(cid:54)
3×4 ( 1)
⋯ 𝑛 𝑛+(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)
1
3𝑛
𝑛+
1 1 1
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:87)(cid:103)(cid:104)(cid:131)(cid:132)(cid:214)(cid:23)(cid:437)(cid:438)(cid:439)(cid:440)(cid:187) = (cid:48)(cid:88)(cid:133)(cid:134)(cid:109)(cid:32)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:54)
( 1) 1
𝑛 𝑛 1 + 𝑛 1 −𝑛+ 1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:235)(cid:20)(cid:123)(cid:48)(cid:437)(cid:438)(cid:439)(cid:440)(cid:106)(cid:10) = (cid:48)
( 1) 1
3 3 3 3
𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+
(cid:47) + + + +
1×2 2×3 3×4 ( 1)
1 1 ⋯ 𝑛1𝑛+ 1
=3× + + + +
1×2 2×3 3×4 ( +1)
1 1 1 1 1 1 ⋯ 1 1
𝑛 𝑛
=3× + + + +
1 2 2 3 3 4 +1
− 1 − − ⋯ −
=3× 𝑛 𝑛
+1
1−
= (cid:48) 𝑛
1
3𝑛
𝑛+
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:54)
1
3𝑛
𝑛+
1 1 1
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:73)(cid:121)(cid:437)(cid:438)(cid:439)(cid:440)(cid:187) = (cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
( 1) 1
+
A
A
(cid:15)(cid:140)(cid:23)9-2(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)·(cid:231)(cid:441)(cid:442)(cid:268)(cid:263)·(cid:150)(cid:185)(cid:152)(cid:418)(cid:419)(cid:204) 𝑛 (cid:94) 𝑛+ (cid:24)(cid:214)
★
(cid:23)𝑛−(cid:10) 𝑛全+ 科
号
众
公
注
1 2 2 关
(cid:254)1(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) 3 × 1+ 1 = 资1 (cid:181) 源 ，
辅
教
4 2 3−2
(cid:254)2(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
4 2 2
7 2 3−2
(cid:254)3(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
5 3 3
10 2 3− 2
(cid:254)4(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
6 4 4
…… 3−
(cid:129)(cid:145)(cid:94)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:437)(cid:438)(cid:187)(cid:68)(cid:192)(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:98)(cid:358) (cid:141)(cid:40)(cid:189)n(cid:24)(cid:214)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:48)n(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:152)(cid:54)
2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19) × 1+ =
2
3𝑛−2
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:126) 𝑛+ (cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:112)𝑛 (cid:175)(cid:75)3(cid:23)−𝑛(cid:140)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:111)(cid:20)(cid:24)(cid:159)(cid:443)(cid:48)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:159)(cid:268)(cid:136)(cid:73)(cid:121)(cid:70)(cid:418)(cid:419)(cid:59)(cid:426)(cid:427)(cid:59)(cid:428)(cid:257)(cid:106)(cid:226)(cid:111)(cid:20)(cid:151)(cid:444)
(cid:189)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:54)(cid:268)(cid:136)(cid:389)4(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:105)(cid:106)(cid:126)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:54)
1 2 2
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:254)1(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
3 1 1
4 2 2 3−
(cid:254)2(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
4 2 2
7 2 3−2
(cid:254)3(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
5 3 3
3−10 2 2
(cid:254)4(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:181)
6 4 4
…… 3−
2
(cid:254) (cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:52) × 1+
2
3𝑛−2
∴ 𝑛 +2𝑛+ 𝑛
= ×
+2
3𝑛−2 𝑛
= 𝑛 𝑛
3𝑛−2
2
= 𝑛
3𝑛
−
2
= 𝑛 (cid:48)𝑛
3−𝑛
2 2
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) × 1+ = (cid:54)
2
3𝑛−2
(cid:15)(cid:140)(cid:23)9-3(cid:19) 𝑛 (cid:141) + 2025·(cid:260)(cid:278)𝑛(cid:445)(cid:182)3·−(cid:304) 𝑛 (cid:228)(cid:152)(cid:418)(cid:419)(cid:57)(cid:204)(cid:214)(cid:23)(cid:10)
1 1×3
(cid:254)1(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) =1+ (cid:181)
2 2
(cid:254)2(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) 3− 2 =1+ 2×5 (cid:181) A A +
3 3 全 科
★
号
众
(cid:254)3(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) 5− 3 4 =1+ 3× 4 7 (cid:181) ， 关 注 公
源
资
辅
7−4 教4×9
(cid:254)4(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) =1+ (cid:181)
5 5
9− 5 5×11
(cid:254)5(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) =1+ ;
6 6
…(cid:54) 11−
(cid:129)(cid:130)(cid:57)(cid:145)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:112)(cid:175)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:384)(cid:187)(cid:254)6(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10)_______(cid:181)
(2)(cid:384)(cid:187)(cid:425)(cid:426)(cid:427)(cid:24)(cid:254)n(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10)_______(cid:141)(cid:40)(cid:189)n(cid:24)(cid:214)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:152)(cid:48)(cid:246)(cid:428)(cid:257)(cid:54)
6 6×13
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)(1) =1+
7 7
13− ( 1)
(2)( +1) =1+ (cid:48)(cid:428)(cid:257)(cid:385)(cid:112)(cid:102)
1 1
𝑛 𝑛 2𝑛+
(cid:15)(cid:22)2(cid:102)𝑛 (cid:19)(cid:117)−(cid:20)𝑛+(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:75)(cid:255) 𝑛 (cid:24) + (cid:42)(cid:43)(cid:140)(cid:33)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:181)(cid:268)(cid:136)(cid:418)(cid:419)(cid:75)(cid:255)(cid:48)(cid:22)(cid:102)(cid:59)(cid:437)(cid:438)(cid:246)(cid:293)(cid:331)(cid:230)(cid:151)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:48)
(cid:246)(cid:39)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:112)(cid:175)(cid:111)(cid:20)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
(cid:141)1(cid:152)(cid:195)(cid:250)(cid:418)(cid:419)(cid:249)(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:48)(cid:105)(cid:57)(cid:293)(cid:331)(cid:42)(cid:43)(cid:10)(cid:214)(cid:23)(cid:431)(cid:311)(cid:52)(cid:256)3(cid:404)(cid:446)(cid:24)(cid:447)(cid:448)(cid:24)(cid:449)(cid:75)(cid:91)(cid:316)(cid:68)(cid:192)(cid:22)(cid:49)(cid:52)(cid:86)(cid:9)(cid:59)(cid:22)(cid:53)(cid:342)
(cid:22)(cid:49)(cid:357)1(cid:24)(cid:75)(cid:48)(cid:214)(cid:9)(cid:24)(cid:432)(cid:311)(cid:52)1(cid:90)(cid:145)(cid:22)(cid:49)(cid:52)(cid:214)(cid:23)(cid:431)(cid:311)(cid:24)(cid:449)(cid:75)(cid:25)(cid:57)(cid:86)(cid:9)(cid:24)(cid:75)(cid:181)(cid:129)(cid:130)(cid:126)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:105)(cid:35)(cid:112)(cid:181)(cid:141)2(cid:152)(cid:58)(cid:145)(cid:94)(cid:293)(cid:331)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:40)(cid:255)(cid:53) (cid:55)(cid:56)(cid:187)(cid:450)(cid:48)(cid:246)(cid:31)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:109)(cid:32)(cid:214)(cid:23)(cid:431)(cid:432)(cid:201)(cid:311)(cid:48)(cid:138)(cid:245)(cid:106)(cid:226)(cid:431)(cid:432)
(cid:67)(cid:214)(cid:451)(cid:105)(cid:54) 𝑛
6 6×13
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)(cid:112)(cid:10)(cid:254)6(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10) =1+ (cid:48)
7 7
6 6×13 13−
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) =1+ (cid:54)
7 7
13− ( 1)
(cid:141)2(cid:152)(cid:112)(cid:10)(cid:426)(cid:427)(cid:254)n(cid:192)(cid:214)(cid:23)(cid:10)( +1) =1+
1 1
𝑛 𝑛 2𝑛+
2𝑛 −𝑛+ 𝑛+
(cid:428)(cid:257)(cid:10) (cid:431)(cid:311)=( +1)
1
𝑛
∵ 2𝑛 −𝑛+
=1+
+1
𝑛
+21𝑛+− ( +1)
= 𝑛
+1
𝑛 2𝑛 𝑛 −𝑛
2 + +1
= 𝑛
2 +1
𝑛 2𝑛
( 1)
(cid:432)(cid:311)=𝑛1+
1
𝑛 2𝑛+
+1+ (𝑛++1) +
= A A
+1 全 科
𝑛 𝑛 2𝑛 号 ★
众
= 2 𝑛1 =(cid:432)(cid:311)(cid:48) 关 注 公
2 1 ，
𝑛 +2𝑛+ 源
资
辅
𝑛+ 教( 1)
( +1) =1+ (cid:54)
1 1
𝑛 𝑛 2𝑛+
(cid:114)
∴ 2
(cid:100)
𝑛
(cid:101)(cid:52)(cid:10)
−
(
𝑛
2
+
n+1)−
n 𝑛+
=1+
n(2n 1)
(cid:54)
n 1 n 1
+
+ +
【题型10 分式运算的新题型】
(cid:15)(cid:95)10(cid:19)(cid:42)(cid:96)(cid:68)(cid:202)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)“JQx→+∞ ”(cid:48)(cid:230)(cid:151)A(cid:244)B(cid:72)(cid:3)(cid:198)x(cid:24)(cid:107)(cid:108)(cid:23)(cid:54)(cid:71)A(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:296)(cid:198)B(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:76)(cid:48)JQx→+∞
𝐴
𝐵
=0(cid:181)(cid:71)A(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:214)(cid:198)B(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:76)(cid:48)JQx→+∞ (cid:24)(cid:36)(cid:52)A(cid:244)B(cid:24)(cid:41)(cid:337)(cid:250)(cid:108)(cid:24)(cid:366)(cid:75)(cid:24)(cid:343)(cid:181)(cid:71)A(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:357)(cid:198)B
𝐴 𝐴
𝐵 2 𝐵 2 1 3 6
(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:76)(cid:48)JQx→+∞
𝐴
(cid:179)(cid:452)(cid:125)(cid:54)(cid:95)(cid:10)JQx→+∞ (cid:453)0(cid:48)JQx→+∞
2 𝑥 2 +
=
2
(cid:54)(cid:186)
𝐴
= )÷
𝑥 2 −15𝑥
(cid:48)(cid:47)
2 2
𝐵 𝑥−1 𝑥 +3𝑥−1 𝐵 (2−𝑥−1 𝑥 −1
JQx→+∞ (cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:141) (cid:152)
𝐴
𝐵
1 1
A(cid:54)0 B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)(cid:179)(cid:452)(cid:125)
2 3
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)C
3 6
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:87)(cid:158) = ÷ (cid:138)(cid:139)(cid:109)(cid:32)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:88)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:96)(cid:24)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:112)(cid:100)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
2
𝐴 𝑥 −15𝑥
2
𝐵 2−𝑥−1 𝑥 −13 6
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) = ÷
2
𝐴 𝑥 −15𝑥
2
( 𝐵 ) 2−𝑥−1 𝑥 −1
(cid:453) ÷
( 1)( )
2𝑥−5 3𝑥 2𝑥−5
𝑥−1 𝑥+ 𝑥−1
( 1)( )
(cid:453) ×
( )
2𝑥−5 𝑥+ 𝑥−1
𝑥−1 3𝑥 2𝑥−5
1
(cid:453) (cid:48)
𝑥+
3𝑥
A(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:214)(cid:198)B(cid:24)(cid:250)(cid:75)(cid:48)
∴ 1
JQx→+∞ (cid:453) (cid:48)
3
𝐴
∴(cid:114)(cid:162)(cid:10)C(cid:54) 𝐵
(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:48)(cid:57)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:122)(cid:112)(cid:131)(cid:132)(cid:42)(cid:96)(cid:24)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
(cid:15)(cid:140)(cid:23)10-1(cid:19)(cid:141)23-24(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:166)(cid:274)(cid:273)(cid:454)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:186)(cid:201)(cid:192)(cid:22)(cid:23)A(cid:65)B(cid:261)(cid:262)(cid:10)| |=3(cid:48)(cid:47)(cid:455)A(cid:65)B
4 𝐴−𝐵
(cid:78)(cid:201)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:220)(cid:52)“(cid:456)(cid:457)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:186)(cid:22)(cid:23) (cid:65) (cid:220)(cid:52)“(cid:456)(cid:457)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:241)a(cid:48)b(cid:280)(cid:52)(cid:179)(cid:214)(cid:198)0(cid:24)(cid:37)(cid:75)(cid:48)(cid:47)(cid:22)(cid:23)
2
𝑎 𝑎
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎+𝑏
2
= (cid:54)
2 2
𝑎 −𝑏 A +
A
科
(cid:15) 𝑎 (cid:100) 𝑏 (cid:101)(cid:19) 17 (cid:271) 1 号 ★ 全
3 3 众
公
注
关
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)−(cid:117)(cid:20)(cid:118)−(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91)(cid:26)源(cid:244)(cid:37)，(cid:75)(cid:24)(cid:399)(cid:400)(cid:48)(cid:458)(cid:158)(cid:36)(cid:24)(cid:123)(cid:97)(cid:48)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:90)(cid:91)(cid:26)(cid:24)(cid:26)(cid:47)(cid:48)(cid:158)(cid:46)(cid:96)(cid:97)
资
辅
教
(cid:24)(cid:122)(cid:112)(cid:72)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:54)
| |
4 4
(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)
2
(cid:65) (cid:220)(cid:52)“(cid:456)(cid:457)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:106)(cid:226)
2
=3(cid:48)(cid:35)(cid:187)① = (cid:48)② =3 (cid:48)(cid:22)(cid:82)(cid:58)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 2 2
2 2 2 2
𝑎 −𝑏 2 𝑎+𝑏 𝑎 −𝑏 −𝑎+𝑏 𝑎 −3𝑏 𝑎𝑏 𝑏 −6𝑎
①②(cid:133)(cid:134)(cid:22)(cid:23)
2 2
(cid:151)(cid:35)(cid:187)(cid:98)(cid:99)(cid:77)(cid:105)(cid:54)
𝑎 −𝑏
𝑎𝑏
4
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19) (cid:65) (cid:220)(cid:52)“(cid:456)(cid:457)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)
2
𝑎 𝑎
2 2
|
4
∵𝑎 −|𝑏 𝑎+𝑏
=3(cid:48)
2
𝑎 𝑎
2 2
∴|𝑎4−𝑏 −𝑎+𝑏| |
4 ( )
| |
3
|
= = =3(cid:48)
2 ( )(2 ) ( )( ) ( 2)( )
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎−𝑏 𝑎 +𝑎𝑏
2 2
∵ 𝑎3−𝑏 −𝑎+𝑏 𝑎3+𝑏 𝑎−𝑏 − 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
=3(cid:271) = (cid:48)
( 2)( ) ( 2)( )
𝑎 +𝑎𝑏 𝑎 +𝑎𝑏
∴ 3 𝑎+𝑏 + 𝑎−𝑏 =3( 𝑎+𝑏 ) 𝑎 (cid:271) −𝑏 3 + −3 = ( )(cid:48)
2 2 2 2 2 2
∴ 𝑎(cid:59) (cid:280)𝑎(cid:52)𝑏 (cid:179)(cid:214)𝑎(cid:198)−0(cid:24)𝑏 (cid:37)(cid:75)(cid:48)𝑎 𝑎𝑏 −3 𝑎 −𝑏
∵𝑎①𝑏= (cid:48)② =3 (cid:48)
2 2
∴ 𝑎 −23𝑏 2𝑎(𝑏 )𝑏 −6𝑎17 17
(cid:58)①(cid:133)(cid:134)
2 2
=
2 2
=
2
=
3
(cid:48)
𝑎 −𝑏 −3𝑏 −𝑏 𝑏
2 2
𝑎𝑏 −3𝑏 −3𝑏 −2 2 2 1
(cid:58)②(cid:133)(cid:134)
2 2
=
3 2 2
=
(22 2 )
=
3
(cid:48)
𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏
2 2 2 2
𝑎𝑏 𝑏 −6𝑎 −3 𝑎 −𝑏 −
2 17 1
(cid:459)(cid:145)(cid:10)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:36)(cid:52) (cid:271) (cid:54)
2 2 3 3
𝑎 −𝑏
1𝑎7𝑏 1 − −
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10) (cid:271) (cid:54)
3 3
(cid:15)(cid:140)(cid:23)10-2−(cid:19)(cid:141)24−-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:460)(cid:259)(cid:282)(cid:264)·(cid:404)(cid:11)(cid:118)(cid:395)(cid:152)(cid:141)(cid:68)(cid:152)(cid:253)(cid:99)(cid:68)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:271)(cid:22)(cid:53)(cid:105)(cid:57)(cid:160)(cid:23)(cid:22)(cid:112)(cid:48)(cid:241)
(cid:78)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:179)(cid:105)(cid:161)(cid:22)(cid:48)(cid:193)(cid:194)(cid:392)(cid:225)(cid:455)(cid:78)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:52)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
(cid:141)1(cid:152)(cid:204)(cid:205)(cid:22)(cid:23)(cid:10)① (cid:181)② (cid:181)③ (cid:54)(cid:230)(cid:151)(cid:72)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:72)_____(cid:141)(cid:398)(cid:86)(cid:9)(cid:152)(cid:181)
1
𝑥−1 𝑎−2𝑏 𝑥+𝑦
2 2 2 2 2
𝑥 + 𝑎 −𝑏 𝑥 −𝑦
(cid:141)2(cid:152)(cid:186) (cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:241) (cid:52)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:424)(cid:325)(cid:462)(cid:384)(cid:187) (cid:24)(cid:36)(cid:54)
4
𝑥−1
2
(cid:141)(cid:304)(cid:152)(cid:3)𝑎(cid:198)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:392)𝑥(cid:225)+𝑎(cid:463)𝑥+(cid:105)(cid:57)(cid:78)(cid:464)(cid:450)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:253)(cid:99)(cid:68)(cid:192)(cid:22)𝑎(cid:23)(cid:159)(cid:33)(cid:157)(cid:68)(cid:192)(cid:74)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:192)(cid:22)(cid:49)(cid:52)(cid:199)(cid:75)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:244)
1 2 2 2 1
(cid:24)(cid:281)(cid:23)(cid:48)(cid:47)(cid:455)(cid:78)(cid:192)(cid:22)(cid:23)(cid:52)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:253)(cid:10) = = + =1+ (cid:54)(cid:47) (cid:72)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
1
𝑥+ 𝑥−1+ 𝑥−1 𝑥+
1 2 1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1
(cid:141)1(cid:152)(cid:204)(cid:205)(cid:22)(cid:23)(cid:10)① (cid:181)②
1
(cid:181)③
3
(cid:54)(cid:230)(cid:151)(cid:72)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:72)_____(cid:141)(cid:398)(cid:86)(cid:9)(cid:152)(cid:181)
𝑥+ 𝑥+ 𝑦 +
2
𝑥 𝑥+ 𝑦
3 3
(cid:141)2(cid:152)(cid:176)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)” (cid:33)(cid:157)(cid:68)(cid:192)(cid:74)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:192)(cid:22)(cid:49)(cid:52)(cid:199)(cid:75)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:244)(cid:24)(cid:281)(cid:23)(cid:52)(cid:10)+ =_____+_____(cid:181)
2 A A2
𝑎 −2𝑎+ 科 𝑎 −2𝑎+
全
6 𝑎−1 众 号 ★ 𝑎−1
(cid:141)3(cid:152)(cid:87)(cid:33)(cid:34) ÷ (cid:48)(cid:246)(cid:35) (cid:376)(cid:346)(cid:194)(cid:74)(cid:75)(cid:76)公(cid:48)(cid:188)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:350)
1 2 注
3𝑥+ 𝑥−1 𝑥 −1 ， 关
2 源
𝑥+ − 𝑥 𝑥 辅 +2𝑥资 𝑥 2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)(cid:141)(cid:68)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)教②(cid:181)(cid:141)2(cid:152) (cid:24)(cid:36)(cid:52)5(cid:271)4(cid:181)(cid:141)(cid:304)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)①②③(cid:181)(cid:141)2(cid:152) (cid:48) (cid:181)(cid:141)3(cid:152) = (cid:54)
(cid:15)(cid:22)(cid:102)(cid:19)(cid:117)(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)𝑎(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:171)(cid:169)(cid:155)(cid:156)𝑎−(cid:22)1(cid:23)(cid:24) 𝑎− (cid:135) 1 (cid:117)(cid:399)(cid:400)(cid:196)𝑥 (cid:158)−(cid:244)3(cid:461)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:122)(cid:112)(cid:54)
(cid:141)(cid:68)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)(cid:235)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:35)(cid:112)(cid:77)(cid:105)(cid:181)
(cid:141)2(cid:152)(cid:235)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:158)(cid:328)(cid:23)(cid:140)(cid:281)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:181)
(cid:141)(cid:304)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)(cid:235)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:158)(cid:328)(cid:23)(cid:140)(cid:281)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:181)
1 2 2
(cid:141)2(cid:152)(cid:235)(cid:172)(cid:23)= = (cid:48)(cid:88)(cid:74)(cid:122)(cid:105)(cid:106)(cid:181)
2 2
𝑎 −2𝑎+ + (𝑎−1) +
𝑎−1 𝑎−1 4 2
(cid:141)3(cid:152)(cid:103)(cid:104)(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:74)(cid:122)(cid:52) =2+ (cid:48)(cid:88)(cid:465)(cid:358)(cid:106)(cid:187)(cid:100)(cid:101)(cid:54)
1 1
2𝑥+
𝑥+ 𝑥+
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:141)(cid:68)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)① (cid:179)(cid:72)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)② = (cid:72)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)③ =
1 ( )( ) ( )( )
𝑥−1 𝑎−2𝑏 𝑎−2𝑏 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦
2 2 2 2 2
1 𝑥 + 𝑎 −𝑏 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑥 −𝑦 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦
= (cid:179)(cid:72)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)
𝑥−𝑦
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52)(cid:10)②(cid:181)
(cid:141)2(cid:152) (cid:52)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)1×4= ×( )=4,2×2= ×( )=4
4
𝑥−1
2
∵𝑥 +𝑎𝑥+ 4,−1 −4 4,−2 −2+ +4=( +1)( +4)= + +4(cid:271) + +4=( )( )= +4(cid:271) + +4=
2 2 2 2 2
∴(𝑥 )𝑎(𝑥 )= 𝑥 +𝑥4(cid:48) +𝑥 +54𝑥=( +𝑥2)(𝑎𝑥+2)= 𝑥−+1 +𝑥−44(cid:48) 𝑥 −5𝑥 𝑥 𝑎𝑥
2 2 2
𝑥−=25(cid:271)𝑥−2= 𝑥(cid:271)−4𝑥= (cid:271)𝑥 =4𝑎(cid:48)𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 4𝑥
∴a𝑎(cid:52)(cid:73)(cid:74)𝑎(cid:75)(cid:48)−5 𝑎 −4 𝑎
∵ =5(cid:271) =4(cid:48)
∴𝑎 𝑎
(cid:71) =5(cid:76)(cid:48) = (cid:52)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)
4 4
𝑥−1 𝑥−1
2 2
𝑎 𝑥 +𝑎𝑥+ 𝑥 +5𝑥+
(cid:71) =4(cid:76)(cid:48) = (cid:52)“(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)
4 4
𝑥−1 𝑥−1
2 2
𝑎(cid:24)(cid:36)(cid:52)5(cid:271)𝑥
4
+(cid:181)𝑎𝑥+ 𝑥 +4𝑥+
∴𝑎 1 1
(cid:141)(cid:304)(cid:152)(cid:141)1(cid:152)① =1+ (cid:48)(cid:72)(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)(cid:181)
𝑥+
2 1 𝑥 𝑥
② =1+ (cid:72)(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)(cid:181)
1 1
𝑥+
𝑥+ 1 𝑥+1
③ = + (cid:48)(cid:72)(cid:244)(cid:461)(cid:22)(cid:23)(cid:54)
3
𝑦 +
2 2
(cid:114)(cid:100)𝑦(cid:101)(cid:52)(cid:10) 𝑦 ① 𝑦 ②③(cid:54) A +
A
科
全
★
3 1 2 2 2 众 号
(cid:141)2(cid:152) = = = + (cid:48)公
2 2 2 注
𝑎 −2𝑎+ 𝑎 −2𝑎+ + (𝑎−1) + ， 关
源
𝑎−1 2 𝑎−1 辅 资𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1
(cid:114)(cid:100)(cid:101)(cid:52) (cid:48) (cid:54)教
6∶𝑎−1 𝑎−1
(cid:141)3(cid:152) ÷
1 2
3𝑥+ 𝑥−1 𝑥 −1
2
+𝑥+6 − 𝑥 𝑥 +2𝑥 +2)
=
+1 +
3𝑥 𝑥−1 𝑥(𝑥
3 +6− +2⋅
= 𝑥 𝑥 (𝑥 1)(𝑥−1)
+1 +1
𝑥 𝑥
+4−
= 𝑥 𝑥
+1
2𝑥
2 +1)+2
= 𝑥
+1
(𝑥
2
=2+𝑥 (cid:48)
1
𝑥+
(cid:71) +1=±1(cid:271) +1=±2(cid:76)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:48)
∴(cid:126)(cid:76)𝑥 =0(cid:271) (cid:271)𝑥1(cid:271) (cid:48)
(cid:390) (cid:22)𝑥(cid:23)(cid:83)(cid:123)−(cid:97)2(cid:76) −0(cid:59)3 1(cid:59) (cid:59) (cid:48)
x ∵=−3(cid:54) 𝑥≠ −1 −2
∴(cid:15)(cid:140)(cid:23)10-3(cid:19)(cid:141)24-25(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:204)·(cid:166)(cid:274)(cid:466)(cid:248)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:186)(cid:22)(cid:23)A(cid:65)(cid:22)(cid:23)B(cid:24)(cid:364)(cid:214)(cid:198)(cid:224)(cid:225)(cid:24)(cid:50)(cid:54)(cid:77)1 1 1 1 1 1 1
= (cid:48)(cid:47)(cid:455)(cid:22)(cid:23)B(cid:72)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:253) (cid:65) (cid:54)(cid:160)(cid:52) = (cid:48) × =
1 2 1 2 ( 1)( 2) 1 2
𝐴−𝐵1 𝐴𝐵 1 1 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
(cid:54)(cid:223)(cid:57) (cid:72) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
( 1)( 2) 2 1
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
1 1
(1)(cid:398)(cid:313)(cid:10)(cid:22)(cid:23) ______(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:141)(cid:398)“(cid:72)”(cid:271)“(cid:179)(cid:72)”(cid:152)
4 3
𝑥2+ 𝑥+
(2)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
2
2𝑥+
3𝑥+
①(cid:35)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)(cid:55)(cid:203)(cid:23)(cid:181)
②(cid:186)(cid:74)(cid:75)x(cid:110)(cid:106)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:325)(cid:462)(cid:384)(cid:187)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)(cid:36)(cid:181)
2 ( )
(3)(cid:186)(cid:3)(cid:198)x(cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:3)(cid:198)x(cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:35) (cid:24)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:54)
( 2) 2
𝑛+ 𝑚−2 𝑚−𝑛 𝑥 +2𝑥
2 2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:101)(cid:19)(1)(cid:72) 𝑚𝑥+𝑚 +𝑛 𝑚𝑥+𝑛 𝑥 + 𝑚+𝑛 𝑥+
2
(2)① (cid:181)②A(cid:24)(cid:36)(cid:52)1(cid:271)3(cid:271)4
2𝑥+
𝑥
4
(3)
31
(cid:15)(cid:22)−(cid:102)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)(cid:103)(cid:104)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:96)(cid:97)(cid:138)(cid:139)(cid:396)(cid:397)(cid:77)(cid:105)(cid:181)
+
A
A
科
(cid:141)2(cid:152)①(cid:103)(cid:104)(cid:22)(cid:23)
2
(cid:72)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:106)(cid:187)
2
=号
★2
×
全
(cid:48)(cid:208)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:35)(cid:187)A(cid:77)(cid:105)(cid:181)
2 众2 2
2𝑥+ 注 公2𝑥+ 2𝑥+
关
②(cid:103)(cid:104)(cid:74)(cid:27)(cid:24)(cid:96)(cid:97) 3𝑥 (cid:138) + (cid:139)(cid:35)(cid:112)(cid:77)(cid:105)(cid:181)源 ， 𝐴−3𝑥+ 3𝑥+ 𝐴
资
辅
教
2
(cid:141)3(cid:152)(cid:299)(cid:3)(cid:198) (cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:52)M(cid:48)(cid:35)(cid:187) = (cid:48)(cid:103)(cid:104)(cid:3)(cid:198) (cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:3)(cid:198) (cid:24)(cid:22)
𝑚−2 𝑚−2 𝑛+
2 2 2
𝑥 𝑚𝑥+𝑛 = +2𝑀 𝑚−2+𝑚𝑥+𝑛 =4𝑥 𝑚 ( 𝑥+𝑚 ) +𝑛 𝑥
(cid:23) 𝑚−2 2 (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:106)(cid:187) + 𝑚− + 2 2 = 𝑛 + 2 + (cid:48)(cid:35)(cid:187) 𝑚− + 𝑛 = 1 2 (cid:48)(cid:133)(cid:134) 2 𝑚− ( 𝑛 𝑥 2) +2𝑥 2 (cid:48)(cid:35)(cid:187)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)𝑚𝑥(cid:41)+𝑛(cid:296)(cid:36)(cid:77)(cid:105)(cid:54) 𝑚−2 𝑚𝑥 𝑛 𝑚𝑥 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 𝑥 + 𝑚+𝑛 𝑥+
1 1 1
(cid:15)(cid:113)(cid:112)(cid:19)(cid:141)1(cid:152)(cid:112)(cid:10) = (cid:48)
3 4 ( 3)( 4)
1 1 1 ∵𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
× = (cid:48)
3 4 ( 3)( 4)
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
1 1 1 1
= × (cid:48)
3 4 3 4
∴𝑥+ −𝑥
1
+ 𝑥+
1
𝑥+
(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:181)
4 3
(cid:114)∴ (cid:100)(cid:101) 𝑥+ (cid:52)(cid:10)(cid:179)(cid:72) 𝑥 (cid:54) +
2
(cid:141)2(cid:152)(cid:112)(cid:10)① (cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)
2
2𝑥+
2 ∵2 3𝑥+
= × (cid:48)
2 2
2𝑥+ 2𝑥+
∴𝐴−3𝑥+ 3𝑥+ 𝐴2 2
× = (cid:48)
2 2
2𝑥+ 2𝑥+
∴𝐴−3𝑥+ 2 𝐴 3𝑥+ 2
= (cid:48)
2 2
2𝑥+ 2𝑥+
∴𝐴 1−3𝑥+ 3 2 𝑥+
× =
2 2
𝑥 2𝑥+
∴𝐴 3𝑥+ 3𝑥+
2
= ÷
2 2
2𝑥+ 𝑥
∴𝐴 +3𝑥+2 3𝑥++2
=
+2
2𝑥 3𝑥
⋅
2
=3𝑥 (cid:54) 𝑥
2𝑥+
𝑥
2 2
② = =2+ (cid:48)
2𝑥+
(cid:74)∵(cid:75)𝐴 x(cid:110)(cid:106)𝑥 (cid:22)(cid:23)A(cid:24) 𝑥 (cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)
∵ = (cid:48)1(cid:48)2(cid:48)
∴𝑥 −2 2
(cid:71) = (cid:76)(cid:48) =2+ =1(cid:48)
(cid:71) 𝑥 = − 1(cid:76) 2 (cid:48) 𝐴 =2+ 2 = −2 4(cid:48) A A +
1 全 科
★
号
𝑥 𝐴 2 公 众
(cid:71) =2(cid:76)(cid:48) =2+ =3(cid:48) 关 注
2 ，
源
资
辅
(cid:459)𝑥(cid:145)(cid:22)(cid:102)(cid:105)(cid:132)𝐴(cid:10)A(cid:24)(cid:36)教(cid:52)1(cid:271)3(cid:271)4(cid:54)
(cid:141)3(cid:152)(cid:112)(cid:10)(cid:299)M(cid:72)(cid:3)(cid:198) (cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:47)(cid:10)
𝑚−2
2
𝑥 𝑚𝑥+𝑛
= × (cid:48)
𝑚−2 𝑚−2
2 2
𝑚𝑥+𝑛 −𝑀 𝑚𝑥+𝑛 𝑀
= ÷ +1
𝑚−2 𝑚−2
2 2
∴𝑀 𝑚𝑥+𝑛 𝑚𝑥+𝑛+
=
+ + 2+
𝑚−2 𝑚𝑥 𝑛
2⋅ 2
=𝑚𝑥 𝑛 𝑚(cid:48)−2 𝑚𝑥 𝑛
𝑚−2
2
𝑚−2+𝑚𝑥+𝑛 2
(cid:3)(cid:198)x(cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:3)(cid:198)x(cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:467)(cid:468)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)
𝑛+ 𝑚−2
2 2
∵ 𝑚𝑥=+𝑚 ++𝑛2 𝑚𝑥+𝑛
+ + = + + (cid:48)
𝑚−2 2 𝑛 2
∴ 𝑚−2 𝑚𝑥 𝑛 𝑚𝑥 = 𝑚 4 𝑛
(cid:74)(cid:122)(cid:106)(cid:10) ( + )( )+ +2=0(cid:48)
𝑚−𝑛
=4
𝑚 𝑛 𝑚−𝑛 𝑛−𝑚
(cid:112)(cid:106)(cid:10) + = 1(cid:48)
𝑚−𝑛 2
𝑚 𝑛( )
( 2) 2
𝑚−𝑛 𝑥 +2𝑥
2
∴𝑥 + 𝑚+𝑛 𝑥+
4 +
=
21
+ +2
𝑥 2 2𝑥
2
𝑥 𝑥1
4 + +2
2
=
2 1
𝑥 + 2𝑥 +2 −8
2
𝑥 8𝑥
=
1
+ +2
2
4−
2
𝑥 8 𝑥
= (cid:48)
1 31
4 2 16
4− 𝑥+ +
1 31 31
+ + (cid:48)
4 2 16 16
∵ 𝑥 8 128≥(cid:48)
1 31 31
4 2 16
∴ 𝑥+ +8 ≤ 128
(cid:48)
1 31 31
4 2 16
∴4− 𝑥+ 8 + ≥4−4 +
A
1 31 31 科 A
4 2 16 ★ 全
号
∴4− ( 𝑥+) + ≥− 4 公 众
(cid:77) ( 2) 2 (cid:24)(cid:41)(cid:296)(cid:36)(cid:52) 31 (cid:54) ， 关 注
𝑚−𝑛 𝑥 +2𝑥 源
2 资
辅
(cid:15)𝑥(cid:115)+(cid:116)𝑚(cid:19)+𝑛(cid:117)𝑥+(cid:20)(cid:153)(cid:81)(cid:118)(cid:119)教(cid:154)−(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:39)(cid:40)(cid:48)(cid:46)(cid:96)(cid:97)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:112)(cid:28)(cid:137)(cid:306)(cid:48)(cid:133)(cid:75)(cid:23)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:112)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:124)(cid:72)(cid:171)(cid:169)
(cid:155)(cid:156)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:47)(cid:48)(cid:309)(cid:121)(cid:109)(cid:32)(cid:54)