文档文本内容
专题 2.3 实数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:19)....................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:19)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:19)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:19)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:19)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:19)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:19)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:19)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:26)(cid:54)(cid:3)(cid:46)(cid:31)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)11 (cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:19)............................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)12 (cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:58)(cid:3)(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................10
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
知识点1 无理数 教 辅
(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:65)(cid:66)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:54)(cid:72)(cid:50)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
(cid:75)1(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:77)(cid:62)(cid:79)(cid:26)(cid:24)(cid:26)(cid:58)(cid:56)(cid:78)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:83) 2(cid:82)3 5(cid:84)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:88) (cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:54) (cid:26)(cid:24),(cid:83)2 (cid:82) (cid:84)(cid:85)
2
π
π π π
(cid:75)3(cid:76)(cid:72)(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:70)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:26)(cid:24),(cid:83)0.101 001 000 1…(cid:75)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:90)(cid:96)0)(cid:84)(cid:67)(cid:4)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:37)
(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:103)(cid:24)(cid:22)(cid:61)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:62)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:53)(cid:24)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:67)
知识点2 实数的概念及分类
1. (cid:27)(cid:28)(cid:10)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:24)(cid:67)
2. (cid:53)(cid:112)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:54)(cid:95)(cid:74)(cid:53)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:10)
(cid:75)1(cid:76)(cid:115)(cid:48)(cid:49)(cid:53)(cid:112)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:116)(cid:53)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)
(cid:118)(cid:51)(cid:24)
(cid:118)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:118)(cid:53)(cid:24)
(cid:54)(cid:23)(cid:24) 0
(cid:54)(cid:61)(cid:37)(cid:24)(cid:120)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)
(cid:119) (cid:51) (cid:24)
(cid:119)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:24)
(cid:119)(cid:53)(cid:24)
(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)
(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)2(cid:76)(cid:115)(cid:118)(cid:119)(cid:32)(cid:53)(cid:112)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:116)(cid:53)(cid:111)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:121)0(cid:121)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:67)
(cid:118)(cid:51)(cid:24)
(cid:118)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:118)(cid:53)(cid:24)
(cid:118)(cid:25)(cid:24)
(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:24) 0
(cid:119)(cid:51)(cid:24)
(cid:119)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:119)(cid:25)(cid:24) (cid:119)(cid:53)(cid:24)
(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
+
A
A
知识点3 实数与数轴的关系 全 科
★
号
众
公
注
(cid:122)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:123)(cid:116)(cid:72)(cid:57)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:90)(cid:96)(cid:125)(cid:126)(cid:105)(cid:106)关(cid:85)(cid:127)(cid:128)(cid:126)(cid:82)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:122)(cid:90)(cid:96)(cid:125)(cid:123)(cid:105)(cid:106)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:67)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:124)
，
源
资
辅
(cid:26)(cid:125)(cid:90)(cid:90)(cid:129)(cid:56). 教
知识点4 实数范围内的有关概念
(cid:130)(cid:110) (cid:32)(cid:33) (cid:131)(cid:132)
(cid:58)(cid:127)(cid:24) (cid:133)a(cid:34)b(cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:135) + =0 3(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 3
(cid:136)(cid:24) (cid:133)a(cid:34)b(cid:134)(cid:111)(cid:136)(cid:24)(cid:82)(cid:135) 𝑎 =1 𝑏 2(cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81) 1 −
2
𝑎𝑏
>0)
(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:123)(cid:81)(cid:141)(cid:119)(cid:24)(cid:82)(cid:142)| | 0 | | =0)
(cid:139)(cid:129)(cid:140) 𝑎(𝑎 <0)
𝑎 ≥ 𝑎 0(𝑎
(cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:26)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:58)(cid:84)(cid:82)(cid:142)| |=| | | 2 |− = 𝑎|(𝑎 2 | = 2
𝑎 −𝑎 −
知识点5 实数的运算
(cid:143)(cid:25)(cid:24)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:82)(cid:62)(cid:147)(cid:116)(cid:72)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:121)(cid:151)(cid:121)(cid:152)(cid:121)(cid:153)(cid:75)(cid:153)(cid:24)(cid:62)(cid:111)(cid:154)(cid:76)(cid:121)(cid:152)(cid:78)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:155)(cid:156)(cid:116)(cid:72)(cid:148)(cid:149)(cid:77)(cid:157)(cid:78)(cid:42)(cid:31)(cid:72)(cid:89)
(cid:141)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:77)(cid:158)(cid:78)(cid:42)(cid:31)(cid:67)
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:108)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:143)(cid:25)(cid:24)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:57)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:34)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:58)(cid:163)(cid:82)
(cid:164)(cid:152)(cid:78)(cid:121)(cid:77)(cid:78)(cid:82)(cid:165)(cid:152)(cid:153)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:150)(cid:151)(cid:67)(cid:163)(cid:168)(cid:42)(cid:31)(cid:115)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:82)(cid:54)(cid:173)(cid:9)(cid:26)(cid:164)(cid:31)(cid:173)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:26)(cid:67)知识点6 实数的大小比较
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:26)(cid:78)(cid:176)(cid:143)(cid:25)(cid:24)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:57)(cid:67)
(cid:95)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:177)(cid:83)(cid:50)(cid:10)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:123)(cid:36)(cid:178)0(cid:82)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:123)(cid:37)(cid:178)0(cid:82)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:178)(cid:90)(cid:179)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)
(cid:36)(cid:26)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:36)(cid:26)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:37)(cid:85)(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:95)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:172)(cid:180)(cid:26)(cid:24)(cid:181)(cid:38)(cid:170)(cid:180)(cid:26)(cid:24)
(cid:36)(cid:67)(cid:182)(cid:183)(cid:82)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:184)(cid:54)(cid:83)(cid:50)(cid:78)(cid:176)(cid:10)
(cid:75)1(cid:76)(cid:185)(cid:128)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:148)(cid:155)(cid:186)(cid:48)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:177)(cid:67)(cid:83)(cid:38)(cid:39) 10(cid:34)3(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:187)(cid:178)( 10) =10
2
，3 =9，10>9(cid:82)(cid:188) 10>3(cid:67)
2
(cid:75)2(cid:76)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:26)(cid:78)(cid:176)(cid:189)(cid:94)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:190)(cid:191)(cid:140)(cid:167)(cid:82)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:67)
(cid:75)3(cid:76)(cid:192)(cid:95)(cid:96)(cid:193)(cid:80)(cid:9)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:194)(cid:82)(cid:116)(cid:56)(cid:57)(cid:83)(cid:50)(cid:195)(cid:196)(cid:10)
> 0 > (cid:67)
① 𝑎>𝑏≥3 ⇔>𝑎3 (cid:67)𝑏
②
【题
𝑎 型1𝑏 ⇔
无
𝑎
理数】
𝑏
+
A
(cid:15)(cid:132)1(cid:19)(cid:75)2025·(cid:197)(cid:198)·(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:20)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:203)(cid:24)(cid:199)(cid:82)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76) 科 A
全
★
号
众
公 2
A(cid:67)0 B(cid:67) 2 关 C注(cid:67)3.14 D(cid:67)
， 3
源
资
辅
(cid:15)(cid:204)(cid:71)1-1(cid:19)(cid:75)2025·(cid:205)教(cid:206)·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:76)(cid:7)(cid:211)(cid:212)500(cid:213)(cid:82)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:11)(cid:222)(cid:26)(cid:223)(cid:224)(cid:215)(cid:225)(cid:226)(cid:221)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:180)(cid:230)(cid:111)1
(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:129)(cid:231)(cid:232)(cid:230)(cid:62)(cid:104)(cid:57)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:67)(cid:111)(cid:229)(cid:233)(cid:28)(cid:234)(cid:82)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:91)(cid:24)(cid:239)(cid:130)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:240)(cid:241)(cid:93)(cid:94)(cid:90)(cid:96)(cid:36)(cid:178)3
(cid:156)(cid:37)(cid:178)4(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) (cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)1-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:3)(cid:178) 5(cid:249)(cid:250)(cid:118)(cid:186)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) 5(cid:105)(cid:106)5(cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:80) B(cid:67) 5(cid:62)(cid:116)(cid:72)(cid:57)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:125)(cid:126)(cid:105)(cid:106)
C(cid:67) 5(cid:81)(cid:90)(cid:96)(cid:38) (cid:36)(cid:26)(cid:24) D(cid:67) 5(cid:81)(cid:90)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
π 21
(cid:15)(cid:204)(cid:71)1-3(cid:19)(cid:75)2025·(cid:251)(cid:198)(cid:198)(cid:252)·(cid:253)(cid:207)(cid:76)(cid:143)(cid:25)(cid:24)1.414(cid:82) 5(cid:82)0(cid:82)3 9(cid:82) (cid:82) (cid:82)3.1415926(cid:82)1.010010001…((cid:58)
2 7
𝜋
(cid:254)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)0(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:255)(cid:100)(cid:150)1)(cid:199)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:81) (cid:96)(cid:67) −
【题型2 实数的概念理解及其性质】
(cid:15)(cid:132)2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:237)(cid:50)(cid:202)(cid:203)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:44)(cid:9)(cid:260)(cid:143)(cid:58)(cid:56)(cid:26)(cid:36)(cid:173)(cid:9)(cid:146)(cid:67)
25(cid:82) (cid:82) 0.31(cid:82) (cid:75)(cid:58)(cid:254)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:261)(cid:150)(cid:90)(cid:96)1(cid:76)(cid:82) 3 9(cid:82)
① ②−5𝜋 ③22 ④2.181881888⋯ ⑤
(cid:82) (cid:82) 0(cid:67)
7
⑥(cid:51)(cid:24)−3(cid:10).1 { 4 1 5 9 2 6 ⑦ … ⑧ }(cid:85)(cid:141)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:10){ …}(cid:85)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10){ …}(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)2-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:205)(cid:206)(cid:262)(cid:263)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:264)(cid:176)(cid:118)(cid:186)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67)(cid:25)(cid:24)(cid:53)(cid:111)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:108)(cid:119)(cid:25)(cid:24) B(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:108)(cid:184)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
C(cid:67) (cid:81)(cid:166)(cid:36)(cid:26)(cid:119)(cid:24) D(cid:67)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:24)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)−2-12(cid:19)(cid:50)(cid:202)(cid:264)(cid:176)(cid:118)(cid:186)(cid:26)(cid:54) (cid:67)
(cid:25)(cid:24)(cid:62)(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:265)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:85) 2(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) (cid:62)(cid:193)(cid:80)(cid:9)(cid:26)(cid:24)(cid:123)(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) (cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) (cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:137)
①(cid:90)(cid:125)(cid:123)(cid:129)(cid:56)(cid:90)(cid:96)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) 3②(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 3(cid:67)③ ④π ⑤
(cid:15)(cid:204)(cid:71)2-3(cid:19)(cid:75)2025(cid:242)(cid:213)(cid:168)⑥(cid:50)−·(cid:266)(cid:267)·(cid:268)(cid:20)(cid:269)(cid:270)(cid:76)(cid:237)(cid:50)(cid:202)(cid:203)(cid:24)(cid:260)(cid:171)(cid:58)(cid:56)(cid:26)(cid:271)(cid:232)(cid:124)(cid:75)(cid:260)(cid:44)(cid:9)(cid:76)(cid:10)
1
2 3(cid:85) (cid:85) 3 (cid:85) 0.54(cid:85) 0.13(cid:85) (cid:85) 0(cid:85) (cid:85) ( 7) (cid:85) (cid:75)(cid:58)(cid:254)(cid:95)
3 9
π 2
(cid:96)① 2(cid:97)(cid:98)② 0(cid:26)−(cid:96)(cid:24)③(cid:255)(cid:100)−6(cid:150)4(cid:90)(cid:76)④(cid:67) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧−23 ⑨ ⑩0.3020020002⋯
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:10) (cid:85)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) (cid:85)
+
A
A
科
(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:10) (cid:85)
★
全
号
众
公
注
(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:10) (cid:67) 关
，
源
资
辅
教
【题型3 无理数的估算】
(cid:15)(cid:132)3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:256)(cid:257)(cid:87)(cid:272)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:273)(cid:274) 2<| |< 17(cid:82)(cid:156) (cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:135)(cid:275)(cid:54) (cid:140)(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:111)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67)5 B(cid:67)6 C(cid:67)7 𝑥 D𝑥(cid:67)8 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:71)3-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:252)(cid:276)(cid:277)(cid:252)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:25)(cid:24) (cid:82) (cid:82) (cid:82) (cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:103)(cid:278)(cid:83)(cid:279)(cid:275)(cid:106)(cid:82)(cid:135)(cid:104)(cid:105)(cid:106) 3
(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1−
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)𝑑3-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:280)(cid:213)(cid:168)𝑐(cid:50)·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:50)𝑏(cid:202)(cid:51)(cid:24)(cid:34)3 (cid:166)(cid:285)(cid:190)(cid:26)𝑎 (cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) −67 D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)−3-53(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)−(cid:50)4·(cid:256)(cid:257)(cid:87)(cid:272)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:143)−(cid:24)3(cid:11)(cid:199)(cid:82)(cid:286)(cid:236)(cid:116)(cid:72)(cid:185)(cid:128)−(cid:287)2(cid:98)(cid:30)(cid:46)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:190)(cid:191)
(cid:140)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:10)
4< 6< 9(cid:82)(cid:142)2< 6<3(cid:82)
∵ 6(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)2(cid:82)
∴6(cid:26)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) 6 (cid:67)
(∴1)(cid:189) 17(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:108)−(cid:37)2(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:67)
(2)(cid:273)(cid:274) +2(cid:26)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:81)3(cid:82) + (cid:26)(cid:31)(cid:288)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:81)4(cid:82) (cid:81) 12(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:82)(cid:189) + (cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:67)
【题型
54𝑎
实数的性质】
3𝑎 𝑏−1 𝑐 3𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:132)4(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:124)·(cid:289)(cid:290)(cid:197)(cid:291)(cid:292)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:25)(cid:24) (cid:82) (cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82) (cid:82) (cid:134)(cid:111)(cid:136)(cid:24)(cid:82)x(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:111) 3(cid:82)(cid:71)
(cid:224) +( + + ) + + +3 (cid:26)(cid:140)(cid:81) (cid:67)𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
2
(cid:15)𝑥(cid:204)(cid:71)4 𝑎 -1(cid:19)𝑏(cid:75)1(cid:76)𝑐𝑑3𝑥(cid:26)(cid:136)𝑎(cid:24)(cid:81)𝑏 _____ 𝑐 _ 𝑑 _(cid:85)
7
(cid:75)2(cid:76)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:123)(cid:111) 5(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:81)_______(cid:85)
(cid:75)3(cid:76)3 27 (cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81)_____ 3 _ − _(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:81)_______(cid:82)(cid:136)(cid:24)(cid:81)_______(cid:67)
8
1
(cid:15)(cid:204)(cid:71)4-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:280)(cid:213)(cid:168)(cid:124)·(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:296)·(cid:297)(cid:298)(cid:269)(cid:270)(cid:76) 6(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) (cid:82)(cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81) (cid:82)| 3 |= (cid:67)
− π −π
(cid:15)(cid:204)(cid:71)4-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:299)(cid:300)(cid:257)(cid:77)·(cid:247)(cid:199)(cid:76) 15(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:34) 15(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:108)(cid:84)(cid:178) (cid:67)
【题型5 实数与数轴】 5− 5− +
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:132)5(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:301)(cid:257)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:168)(cid:306)(cid:103)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)
众
(cid:83)(cid:279)号(cid:82)(cid:25)(cid:24)a(cid:121)b(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:129)(cid:56)(cid:125)(cid:26)(cid:103)(cid:278)(cid:83)(cid:279)(cid:275)(cid:106)(cid:82)
公
注
关
，
源
(cid:292)(cid:307) (cid:26)(cid:195)(cid:308)(cid:81)(cid:75)资 (cid:76)
辅
教
2
(𝑎−𝑏) −|𝑎|
A(cid:67)a B(cid:67)b C(cid:67) D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)5-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:280)(cid:213)(cid:168)(cid:124)·(cid:206)(cid:309)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:83)(cid:279)(cid:82)2(cid:118)𝑎−(cid:78)𝑏(cid:70) (cid:26)(cid:175)(cid:310)(cid:111)𝑏3−(cid:82)2(cid:311)𝑎 (cid:125) (cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:82)(cid:156)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)
(cid:24)(cid:111)2(cid:82)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:54)(cid:90)(cid:125) (cid:143)(cid:125) (cid:26)(cid:170)(cid:312)(cid:82)(cid:133) = (cid:82)(cid:135)(cid:125)𝐴𝐵(cid:105)𝐶(cid:106)𝐷(cid:26)(cid:24)(cid:111)(cid:75) (cid:76) 𝐴 𝐴
𝐸 𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐸
A(cid:67) 3 B(cid:67) 3 C(cid:67) 3 D(cid:67) 3
(cid:15)(cid:204)(cid:71)5-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)2−(cid:50)·(cid:205)(cid:257)(cid:313)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:83)−(cid:279)(cid:82)(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:105)(cid:106)2(cid:82) 5(cid:26)−2(cid:129)(cid:56)(cid:125)(cid:53)(cid:315)(cid:111) (cid:121) (cid:82)(cid:125) (cid:81)
(cid:26)(cid:199)(cid:125)(cid:82)(cid:135)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81)(cid:75) (cid:76) 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵
𝐴A(cid:67) 5 B(cid:67) 5 C(cid:67) 5 D(cid:67) 5
(cid:15)(cid:204)(cid:71)5-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)2−(cid:50)·(cid:281)(cid:282)(cid:316)(cid:317)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:83)4(cid:279)−(cid:82)(cid:273)(cid:274)(cid:125) (cid:82) (cid:81)(cid:24)(cid:35)5−(cid:124)(cid:95)(cid:125)(cid:82) =2(cid:82)(cid:125) (cid:143)(cid:125) (cid:26)(cid:172)
(cid:312)(cid:82)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:111) 2(cid:82)(cid:45)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:111) (cid:67) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴
𝐴 − 𝐵 𝑚
(1)(cid:25)(cid:24) (cid:26)(cid:140)(cid:81)___________(cid:85)
(2)(cid:189)| 𝑚 | | |(cid:26)(cid:140)(cid:85)
(3)(cid:143)(cid:24)𝑚(cid:35)−2(cid:124)−(cid:54)1−(cid:82)𝑚 (cid:95)(cid:125)(cid:53)(cid:315)(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:24) (cid:108) (cid:82)(cid:156)(cid:54)| +4|(cid:34) (cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:189) + (cid:26)(cid:31)(cid:288)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:67)
【题型6 实数 𝐶 的大 𝐷 小比较】 𝑐 𝑑 2𝑐 𝑑−4 2𝑐 5𝑑
(cid:15)(cid:132)6(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:281)(cid:282)(cid:245)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:133) =3 7(cid:82) = 5(cid:82) =2(cid:82)(cid:135)a(cid:82)b(cid:82)c(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:177)(cid:111)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) < B(cid:67) < < C𝑎(cid:67) < <𝑏 𝑐 D(cid:67) < <
(cid:15)(cid:204)(cid:71)6𝑏-1≤(cid:19)𝑐(cid:75)24𝑎-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)𝑏(cid:50)·𝑎(cid:251)(cid:198)𝑐(cid:198)(cid:252)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:237)𝑎(cid:50)(cid:202)𝑐(cid:25)(cid:24)𝑏(cid:105)(cid:106)(cid:143)(cid:83)(cid:279)(cid:275)𝑎(cid:106)(cid:26)𝑏(cid:24)(cid:35)𝑐(cid:124)(cid:121)(cid:318)(cid:38)(cid:39)(cid:319)(cid:236)(cid:26)(cid:36)(cid:37)
(cid:75)(cid:57)“<”(cid:320)(cid:285)(cid:76)(cid:67)
8 +
16 3 8 A A
3 全 科
★
号
,− ,−1, 公 众
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:204)(cid:71)6-2(cid:19)(cid:75)24-25教(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:321)(cid:198)(cid:126)(cid:322)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:10)4 3 25(cid:75)(cid:57)“>”(cid:120)“<”(cid:260)(cid:323)(cid:76)(cid:67)
1
(cid:15)(cid:204)(cid:71)6-3(cid:19)(cid:75)2025(cid:324)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:325)(cid:197)(cid:263)(cid:326)·(cid:11)(cid:327)(cid:200)(cid:328)(cid:76)(cid:133) < <0(cid:82)(cid:135) ,3 , (cid:90)(cid:48)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
3
−1 𝑎 𝑎,𝑎 𝑎𝑎
1 1 1
A(cid:67) (cid:166)(cid:37)(cid:82) (cid:166)(cid:36)B(cid:67)3 (cid:166)(cid:37)(cid:82)a(cid:166)(cid:36) C(cid:67) (cid:166)(cid:37)(cid:82)a(cid:166)(cid:36) D(cid:67) (cid:166)(cid:37)(cid:82)3 (cid:166)(cid:36)
3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
【题型7 实数的混合运算】
(cid:15)(cid:132)7(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:205)(cid:257)(cid:230)(cid:329)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:46)(cid:31)(cid:10)2 +| 6| ( ) (cid:67)
3 2
(cid:15)(cid:204)(cid:71)7-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:281)(cid:282)(cid:330)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:46)(cid:31)(cid:10)( 2− ) − | −3 2|+ 8= (cid:67)
2025
(cid:15)(cid:204)(cid:71)7-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:281)(cid:282)(cid:245)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76) 9+| −12|×(− 1)− 3 125= (cid:67)
2024
(cid:15)(cid:204)(cid:71)7-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:280)(cid:213)(cid:168)(cid:124)·(cid:256)(cid:257)(cid:87)(cid:272)·(cid:297)(cid:298)(cid:269)(cid:270)(cid:76)(cid:143)1(cid:90)−(cid:100)“(cid:331)(cid:332)−(cid:333)1(cid:334)”(cid:199)−(cid:82)(cid:335)(cid:336)(cid:37)(cid:337)(cid:108)(cid:37)(cid:338)(cid:118)(cid:143)(cid:339)(cid:163)(cid:340)(cid:226)(cid:341)
(cid:342)“(cid:343)(cid:344)”(cid:67)(cid:234)(cid:236)(cid:90)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:82)(cid:350)(cid:178)(cid:126)(cid:171)(cid:229)“(cid:343)(cid:344)”(cid:275)(cid:143)(cid:26)“(cid:341)(cid:342)(cid:351)(cid:352)”(cid:67)(cid:160)(cid:155)(cid:82)(cid:234)(cid:236)(cid:353)(cid:171)(cid:229)(cid:90)(cid:96)(cid:354)(cid:20)(cid:82)“(cid:343)(cid:344)”
(cid:26)(cid:103)(cid:278)(cid:187)(cid:25)(cid:24)x(cid:355)(cid:48)(cid:82)(cid:156)(cid:356)(cid:357)(cid:78)(cid:43)| |= 5(cid:67)
(cid:37)(cid:337)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:264)(cid:10)“(cid:286)(cid:361)(cid:362)x(cid:26)(cid:140)(cid:56)(cid:363)𝑥(cid:81)−33+ 5(cid:85)”
(cid:37)(cid:338)(cid:364)(cid:200)(cid:365)(cid:366)(cid:167)(cid:264)(cid:367)(cid:10)“(cid:62)(cid:129)(cid:82)(cid:286)(cid:361)(cid:362)(cid:184)(cid:54)(cid:116)(cid:104)(cid:81)(cid:368)(cid:90)(cid:96)(cid:140)(cid:67)”(cid:369)(cid:370)(cid:37)(cid:338)(cid:275)(cid:264)(cid:26)(cid:368)(cid:90)(cid:96)(cid:140)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) 5 B(cid:67) + 5
C(cid:67)3− 5 D(cid:67)−(cid:72)3(cid:124)(cid:123)(cid:62)(cid:129)
【题型
−8 3 −
程序设计与实数运算】
(cid:15)(cid:132)8(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:206)(cid:309)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:279)(cid:81)(cid:90)(cid:96)(cid:24)(cid:140)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:75)| |<25(cid:76)
𝑥
(1)(cid:192)(cid:374)(cid:375)(cid:26)x(cid:111) (cid:194)(cid:82)(cid:374)(cid:94)(cid:26)y(cid:140)(cid:81)______(cid:85)
(2)(cid:133)(cid:374)(cid:375)(cid:25)(cid:24)x−(cid:167)1(cid:82)4(cid:376)(cid:350)(cid:374)(cid:62)(cid:94)y(cid:140)(cid:82)(cid:135)(cid:275)(cid:54)(cid:356)(cid:357)(cid:377)(cid:189)(cid:26)x(cid:26)(cid:140)(cid:111)______(cid:85)
(3)(cid:133)(cid:374)(cid:94)(cid:26)y(cid:81) 5(cid:82)(cid:189)x(cid:26)(cid:119)(cid:51)(cid:24)(cid:140)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)8-1(cid:19)(cid:75)23-24(cid:280)(cid:213)(cid:168)(cid:124)·(cid:378)(cid:379)(cid:329)(cid:380)(cid:381)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:115)(cid:83)(cid:279)(cid:275)(cid:106)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:82)(cid:104)(cid:382)(cid:374)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:308)(cid:111)2(cid:26)(cid:81)(cid:75)(cid:383)(cid:383)(cid:76)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
A(cid:67) =2(cid:82) =2 B(cid:67) = 5(cid:82)源= C(cid:67) = 5(cid:82) =1 D(cid:67) = (cid:82) =
资
辅
教
(cid:15)(cid:204)(cid:71)𝑥8-2(cid:19)(cid:75)𝑦24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)𝑥(cid:50)·(cid:281)(cid:282)(cid:330)𝑦 (cid:314)−·(cid:297)1(cid:298)(cid:269)(cid:270)𝑥(cid:76)(cid:143)−(cid:83)(cid:279)(cid:275)𝑦(cid:106)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:43)𝑥(cid:44)(cid:199)−(cid:82)2(cid:374)𝑦(cid:375) (cid:26)−2(cid:140)(cid:81)64(cid:194)(cid:82)(cid:374)(cid:94)(cid:26)
(cid:140)(cid:81) (cid:67) 𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:204)(cid:71)8-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:321)(cid:282)(cid:321)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:54)(cid:90)(cid:96)(cid:24)(cid:140)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:82)(cid:45)(cid:48)(cid:26)(cid:374)(cid:375)(cid:140)(cid:111)0(cid:171)100(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:384)(cid:43)
(cid:83)(cid:279)(cid:85)(cid:192)(cid:374)(cid:94) (cid:140)(cid:111) 2(cid:194)(cid:82)(cid:374)(cid:375)(cid:26)x(cid:140)(cid:81) (cid:67)
𝑦【题型9 新定义下的实数运算】
1 1 1 1
(cid:15)(cid:132)9(cid:19)(cid:286)(cid:236)(cid:237) (cid:110)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24) ( 1)(cid:26)(cid:385)(cid:136)(cid:24)(cid:82)(cid:83)(cid:10)2(cid:26)(cid:385)(cid:136)(cid:24)(cid:81) = (cid:82)-2(cid:26)(cid:385)(cid:136)(cid:24)(cid:81) = (cid:67)(cid:83)
( ) 3
1−𝑎 𝑎 𝑎≠ 1−2 −1 1− −2
(cid:308) = (cid:82) (cid:81) (cid:26)(cid:385)(cid:136)(cid:24)(cid:82) (cid:81) (cid:26)(cid:385)(cid:136)(cid:24)(cid:82) (cid:81) (cid:26)(cid:385)(cid:136)(cid:24)(cid:82)…(cid:82)(cid:99)(cid:182)(cid:112)(cid:386)(cid:82)(cid:369)(cid:370) + + +
𝑎1 −3 𝑎+ 2 𝑎1 (cid:26)(cid:140)(cid:81)(cid:75)𝑎 3 (cid:76)𝑎2 𝑎4 𝑎3 𝑎1−𝑎2 𝑎3−𝑎4 ⋯⋯
𝑎202 A 3 (cid:67) −𝑎2 1 0 3 24 𝑎2025 B(cid:67) C(cid:67) 11 D(cid:67) 23
12 4 12
− −3 −
(cid:15)(cid:204)(cid:71)9-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:251)(cid:198)(cid:387)(cid:388)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:228)(cid:129)(cid:25)(cid:24) (cid:82) (cid:48)(cid:49)(cid:90)(cid:74)(cid:42)(cid:31)(cid:10) ※ = (cid:82)(cid:135) 4※3 (cid:84)
(cid:178)(cid:75) (cid:76) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏−𝑏 −8
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67)2 D(cid:67)6
(cid:15)(cid:204)(cid:71)−9-62(cid:19)(cid:75)23-24(cid:242)(cid:213)(cid:168)−(cid:50)2·(cid:389)(cid:257)(cid:390)(cid:337)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:57)“*”(cid:105)(cid:106)(cid:90)(cid:74)(cid:47)(cid:42)(cid:31)(cid:10)(cid:129)(cid:178)(cid:137)(cid:102)(cid:118)(cid:25)(cid:24)a(cid:82)b(cid:123)(cid:54) =
+ (cid:67)(cid:132)(cid:83)4 9= 9+4=7(cid:82)(cid:369)(cid:370)15 64= (cid:67) 𝑎∗𝑏 𝑏
(cid:15)𝑎(cid:204)(cid:71)9-3(cid:19)∗(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:205)(cid:206)(cid:302)(cid:303)∗(cid:304)(cid:305)(cid:168)(cid:306)(cid:103)·(cid:297)(cid:298)(cid:269)(cid:270)(cid:76)(cid:286)(cid:236)(cid:237) ={ }(cid:65)(cid:391)(cid:41)M(cid:82)(cid:392)(cid:199)1(cid:82)3(cid:82)x
(cid:65)(cid:66)(cid:391)(cid:41)M(cid:26)(cid:211)(cid:393)(cid:67)(cid:391)(cid:41)(cid:199)(cid:26)(cid:211)(cid:393)(cid:394)(cid:54)(cid:186)(cid:48)(cid:32)(cid:75)(cid:83)x(cid:395)(cid:160)(cid:396)(cid:143)(cid:76)(cid:82)(cid:134)(cid:397)𝑀(cid:32)(cid:75)(cid:83)1,3,𝑥 1(cid:82) 3(cid:76)(cid:82)(cid:22)(cid:44)(cid:32)(cid:75)(cid:142)
+
A
(cid:398)(cid:204)(cid:211)(cid:393)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:82)(cid:391)(cid:41)(cid:62)(cid:204)(cid:76)(cid:67)(cid:133)(cid:391)(cid:41) ={ }(cid:82)(cid:286)(cid:236)(cid:264) = (cid:67)(cid:273)(cid:274)科(cid:391)(cid:41)A𝑥=≠{0,|𝑥|≠}(cid:82)(cid:391)(cid:41) =
全
★
号
众
(cid:82)(cid:133) = (cid:82)(cid:135) + (cid:26)(cid:140)(cid:81)𝑁(cid:75) (cid:76)𝑥,1 注 ,3 公 𝑀 𝑁 𝐴 𝑥 ,𝑦 𝐵
关
，
源
𝑥,𝑥A𝑦(cid:67), 𝑥4−𝑦 𝐴 𝐵B(cid:67)辅2𝑥 资𝑦 C(cid:67)0 D(cid:67)
教
【题型10 无理数整数部分的有关计算】 −2
(cid:15)(cid:132)10(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:252)(cid:276)(cid:252)(cid:379)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:399)(cid:257)(cid:81)(cid:199)(cid:267)(cid:214)(cid:235)(cid:400)(cid:57)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:259)(cid:26)(cid:90)(cid:74)(cid:404)(cid:257)(cid:405)(cid:394)(cid:82)(cid:83)(cid:279)(cid:82)(cid:399)(cid:257)(cid:26)
(cid:70)(cid:406)(cid:407)(cid:90)(cid:237)(cid:408)(cid:409)(cid:82)(cid:319)(cid:26)(cid:230)(cid:410)(cid:34)(cid:166)(cid:36)(cid:411)(cid:410)(cid:97)(cid:38)(cid:111) 26 (cid:82)(cid:133) 26 (cid:412)(cid:178)(cid:95)(cid:96)(cid:320)(cid:413)(cid:51)(cid:24)n(cid:108) +1(cid:97)(cid:98)(cid:82)(cid:135)n(cid:26)
(cid:140)(cid:81) (cid:67) −1 −1 𝑛
(cid:15)(cid:204)(cid:71)10-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:256)(cid:206)(cid:414)(cid:281)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:279)(cid:82)(cid:415)(cid:230)(cid:111)8(cid:82)(cid:411)(cid:111)4(cid:26)(cid:230)(cid:78)(cid:70)(cid:416)(cid:365)(cid:53)(cid:417)(cid:107)3(cid:96)(cid:418)(cid:231)(cid:70)
(cid:167)(cid:82)(cid:419)(cid:420)(cid:421)(cid:107)(cid:90)(cid:96)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:135)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:230)(cid:166)(cid:285)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67)4 B(cid:67)5 C(cid:67)6 D(cid:67)7(cid:15)(cid:204)(cid:71)10-2(cid:19)(cid:75)23-24(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:256)(cid:206)(cid:422)(cid:284)·(cid:247)(cid:248)(cid:76)(cid:133) 6+ 5(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:81)m(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:81)n(cid:82)(cid:135)| |(cid:111)
(cid:75) (cid:76) 𝑛−𝑚
A(cid:67) 5 B(cid:67) 5 C(cid:67) 5 D(cid:67)8
(cid:15)(cid:204)(cid:71)10-−3(cid:19)10(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)1(cid:168)0(cid:50)−·(cid:252)(cid:276)(cid:423)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:424)(cid:425)−(cid:426)2 (cid:427)(cid:10)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)(cid:62)(cid:36)(cid:178)(cid:238)(cid:96)(cid:24)(cid:26)(cid:166)(cid:36)(cid:51)
(cid:24)(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)(cid:238)(cid:96)(cid:24)(cid:34)(cid:319)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:26)(cid:385)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:10)1.4(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)1(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)
=0.4(cid:85) 3(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)1(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) 3 (cid:85)(cid:165)(cid:83)(cid:82) (cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) (cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)
1|.4−1 ( )|=0.2(cid:67)(cid:187)(cid:182)(cid:362)(cid:171)(cid:10)(cid:133) 3= + (cid:82)(cid:392)−(cid:199)1 x(cid:81)(cid:51)(cid:24)−(cid:82)3(cid:156).80< <1(cid:82)(cid:135)−4=1(cid:82) = 3 (cid:67)(cid:80)(cid:428)
(cid:426)−(cid:427)3.8(cid:82)−(cid:429)−(cid:430)4(cid:50)(cid:202)(cid:431)(cid:20)(cid:10) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 −1
(1)(cid:133) 10= + (cid:82)(cid:392)(cid:199)m(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0< <1(cid:82)(cid:135) = (cid:82) = (cid:85)
(2)(cid:133) =𝑚+ 𝑛26(cid:82)(cid:392)(cid:199)a(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0<𝑛 <1(cid:82)(cid:189)𝑚| + | ( 𝑛 )(cid:26)(cid:140)(cid:85)
(3)(cid:133)8−𝑎17𝑏= + (cid:82)(cid:392)(cid:199)p(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0<𝑏<1(cid:82)(cid:189) 𝑎 (cid:26)𝑏(cid:140)−(cid:67)𝑏−1
【题型
4−11
实数
𝑝
运算
𝑞
的实际应用】
𝑞 𝑝−𝑞
(cid:15)(cid:132)11(cid:19)(cid:83)(cid:279)(cid:82)(cid:230)(cid:78)(cid:70) (cid:26)(cid:230)(cid:111)2cm(cid:82)(cid:411)(cid:111)1cm(cid:67)
+
A
A
科
𝐴𝐵𝐶𝐷 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:75)1(cid:76)(cid:415)(cid:230)(cid:78)(cid:70) (cid:148)(cid:149)(cid:161)(cid:192)(cid:26)(cid:53)(cid:417)(cid:75)(cid:432)(cid:94)(cid:53)(cid:417)(cid:232)(cid:76)(cid:82)(cid:382)(cid:53)(cid:417)(cid:167)(cid:26)(cid:279)(cid:70)(cid:104)(cid:421)(cid:107)(cid:90)(cid:96)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:318)(cid:432)(cid:94)(cid:275)(cid:421)(cid:26)
(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:85)(cid:75)(cid:113)(cid:94)𝐴(cid:3)𝐵𝐶(cid:433)𝐷(cid:125)(cid:108)(cid:24)(cid:428)(cid:76)
(cid:75)2(cid:76)(cid:189)(cid:275)(cid:421)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:180)(cid:230)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)11-1(cid:19)(cid:211)(cid:434)(cid:247)(cid:98)(cid:435)(cid:436)(cid:437)(cid:386)(cid:94)“(cid:122)(cid:356)100(cid:211)(cid:151)50(cid:211)”(cid:26)(cid:333)(cid:334)((cid:38)(cid:83)(cid:10)(cid:435)(cid:438)(cid:439)(cid:440)(cid:441)230(cid:211)(cid:82)(cid:234)(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:445)130
(cid:211))(cid:82)(cid:436)(cid:437)(cid:446)(cid:447)(cid:135)(cid:448)(cid:449)“(cid:164)(cid:450)9(cid:451)(cid:82)(cid:165)(cid:122)(cid:356)100(cid:211)(cid:151)50(cid:211)”(cid:26)(cid:452)(cid:453)(cid:67)(cid:295)(cid:164)(cid:454)(cid:81)(cid:436)(cid:437)(cid:446)(cid:447)(cid:82)(cid:455)(cid:440)(cid:456)(cid:90)(cid:457)(cid:113)(cid:458)320
(cid:211)(cid:26)(cid:124)(cid:459)(cid:82)(cid:234)(cid:166)(cid:460)(cid:444)(cid:445) (cid:211)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:71)11-2(cid:19)(cid:199)(cid:267)(cid:461)(cid:462)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:466)(cid:199)(cid:467)(cid:468)(cid:82)(cid:469)(cid:214)(cid:194)(cid:247)(cid:82)(cid:235)(cid:236)(cid:185)(cid:128)(cid:143)(cid:470)(cid:224)(cid:124)(cid:450)(cid:195)(cid:126)(cid:46)(cid:24)(cid:82)(cid:142)“(cid:195)(cid:470)(cid:46)(cid:24)”(cid:67)(cid:83)(cid:279)(cid:82)
(cid:90)(cid:103)(cid:471)(cid:472)(cid:143)(cid:169)(cid:172)(cid:171)(cid:170)(cid:99)(cid:100)(cid:473)(cid:202)(cid:26)(cid:470)(cid:224)(cid:124)(cid:450)(cid:195)(cid:82)(cid:356)5(cid:148)1(cid:82)(cid:57)(cid:126)(cid:467)(cid:474)(cid:475)(cid:224)(cid:476)(cid:94)(cid:454)(cid:167)(cid:26)(cid:299)(cid:24)(cid:67)(cid:187)(cid:279)(cid:116)(cid:274)(cid:82)(cid:475)(cid:224)(cid:476)
(cid:94)(cid:454)(cid:167)(cid:26)(cid:299)(cid:24)(cid:81)(cid:75) (cid:76)A(cid:67)10 B(cid:67)89 C(cid:67)165 D(cid:67)294
(cid:15)(cid:204)(cid:71)11-3(cid:19)(cid:75)2023·(cid:205)(cid:257)(cid:230)(cid:329)·(cid:90)(cid:207)(cid:76)(cid:477)(cid:90)(cid:478)(cid:479)(cid:124)(cid:480)(cid:167)(cid:82)(cid:111)(cid:229)(cid:105)(cid:481)(cid:143)(cid:482)(cid:247)(cid:99)(cid:483)(cid:484)(cid:201)(cid:485)(cid:107)(cid:24)(cid:11)(cid:259)(cid:327)(cid:26)(cid:37)(cid:486)(cid:108)(cid:37)
(cid:487)(cid:163)(cid:11)(cid:82)(cid:24)(cid:11)(cid:488)(cid:489)(cid:355)(cid:48)(cid:143)(cid:435)(cid:183)(cid:490)(cid:158)(cid:491)(cid:124)(cid:125)2(cid:492)(cid:306)(cid:458)(cid:123)(cid:81)16(cid:211)(cid:26)(cid:493)(cid:494)(cid:495)(cid:496)(cid:234)(cid:236)(cid:67)(cid:169)(cid:493)(cid:494)(cid:497)(cid:171)(cid:11)(cid:479)(cid:26)(cid:122)(cid:498)(cid:499)(cid:306)
(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:123)(cid:111)1.6(cid:211)(cid:82)(cid:187)(cid:178)(cid:24)(cid:11)(cid:488)(cid:489)(cid:81)(cid:363)(cid:158)(cid:491)(cid:26)(cid:446)(cid:447)(cid:82)(cid:503)(cid:182)(cid:122)(cid:306)(cid:123)(cid:116)(cid:72)(cid:382)(cid:57)(cid:90)(cid:96)(cid:158)(cid:491)(cid:504)(cid:501)(cid:26)5(cid:211)(cid:158)(cid:491)(cid:505)(cid:506)(cid:129)(cid:122)
(cid:498)(cid:499)(cid:306)(cid:26)(cid:181)(cid:458)(cid:151)(cid:507)5(cid:211)(cid:75)(cid:499)(cid:306)(cid:181)(cid:458)(cid:62)(cid:92)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:82)(cid:163)(cid:90)(cid:499)(cid:306)(cid:442)(cid:508)(cid:509)(cid:382)(cid:57)(cid:90)(cid:96)(cid:505)(cid:506)(cid:76)(cid:67)(cid:510)(cid:80)(cid:428)(cid:363)(cid:493)(cid:494)(cid:497)(cid:26)(cid:452)(cid:453)
(cid:333)(cid:334)(cid:82)(cid:192)(cid:499)(cid:306)(cid:181)(cid:458)(cid:75)(cid:62)(cid:92)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:76)(cid:356)30(cid:211)(cid:194)(cid:82)5(cid:211)(cid:26)(cid:158)(cid:491)(cid:505)(cid:506)(cid:116)(cid:511)(cid:372)(cid:111)(cid:90)(cid:96)7(cid:211)(cid:26)(cid:497)(cid:336)(cid:505)(cid:506)(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:72)(cid:512)(cid:499)
(cid:306)(cid:181)(cid:458)(cid:75)(cid:62)(cid:92)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:76)(cid:151)(cid:507)7(cid:211)(cid:192)(cid:24)(cid:11)(cid:488)(cid:489)(cid:163)(cid:194)(cid:125)(cid:229)2(cid:492)(cid:493)(cid:494)(cid:114)(cid:513)(cid:50)(cid:306)(cid:444)(cid:445)(cid:194)(cid:82)(cid:37)(cid:486)(cid:163)(cid:11)(cid:264)(cid:10)“(cid:488)(cid:489)(cid:82)(cid:286)(cid:236)
(cid:116)(cid:72)(cid:372)(cid:90)(cid:74)(cid:50)(cid:306)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:452)(cid:453)(cid:514)(cid:101)(cid:515)”(cid:240)(cid:163)(cid:11)(cid:236)(cid:53)(cid:516)(cid:37)(cid:486)(cid:163)(cid:11)(cid:26)(cid:50)(cid:306)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:318)(cid:46)(cid:31)(cid:94)(cid:517)(cid:100)(cid:183)(cid:490)(cid:181)(cid:502)(cid:57)(cid:75)(cid:506)(cid:92)(cid:500)
(cid:501)(cid:502)(cid:76)(cid:166)(cid:460)(cid:116)(cid:111) (cid:211)(cid:67)
【题型12 与实数运算相关的规律题】
(cid:15)(cid:132)12(cid:19)(cid:518)(cid:519)(cid:50)(cid:202)(cid:84)(cid:71)(cid:82)(cid:318)(cid:429)(cid:430)(cid:431)(cid:20)(cid:10)
| 2|= 2 (cid:85)
①|1−2 3|= −31 2(cid:85)
+
A
A
科
②| 3− 4|= 4− 3(cid:85) ★ 全
号
众
公
注
③| 4− 5|= 5− 4(cid:85) 关
，
源
资
辅
④…… − − 教
(1)(cid:240)(cid:93)(cid:94)(cid:520) (cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:10)______(cid:82)(cid:292)(cid:307)(cid:10)| 35 |=______(cid:85)
(2)(cid:93)(cid:94)(cid:241)(cid:521)⑤(cid:455)(cid:26)(cid:520)n(cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:10)______(cid:85)(cid:75)(cid:57)(cid:92)−6n(cid:26)(cid:71)(cid:224)(cid:105)(cid:106)(cid:76)
24
(3)(cid:38)(cid:39) (cid:34)1(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:67)
4
−1
(cid:15)(cid:204)(cid:71)12-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)·(cid:522)(cid:523)(cid:524)(cid:314)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:286)(cid:236)(cid:59)(cid:48)(cid:90)(cid:96)(cid:47)(cid:24)“ ”(cid:82)(cid:90)(cid:179)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:116)(cid:72)(cid:34)(cid:47)(cid:24)(cid:148)(cid:149)(cid:243)(cid:135)(cid:42)
(cid:31)(cid:82)(cid:156)(cid:525)(cid:54)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:108)(cid:42)(cid:31)(cid:176)(cid:135)(cid:159)(cid:160)(cid:107)(cid:157)(cid:82) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:82)(cid:369)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:370) + + + + + = (cid:67)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:204)(cid:71)𝑖12-2𝑖(cid:19)(cid:75)⋯24-2𝑖5(cid:242)(cid:213)(cid:168)𝑖(cid:50)·(cid:205)(cid:206)(cid:526)(cid:527)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:279)(cid:82)(cid:185)(cid:128)(cid:432)(cid:180)(cid:230)(cid:111)1(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:265)(cid:104)(cid:114)(cid:186)(cid:26)(cid:237) 2(cid:105)(cid:106)(cid:143)
(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:125) (cid:528)(cid:82)(cid:467) (cid:172)(cid:312)(cid:166)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:125)(cid:111) (cid:82)(cid:72)(cid:125) (cid:111)(cid:86)(cid:529)(cid:82) (cid:530)(cid:531)(cid:432)(cid:530)(cid:86)(cid:82)(cid:532)(cid:24)(cid:35)(cid:178)(cid:125) (cid:82)(cid:467) (cid:172)(cid:312)
(cid:166)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)𝐴1(cid:125)(cid:111) 𝐴(cid:82)1(cid:72)(cid:125) (cid:111)(cid:86)(cid:529)(cid:82) 𝐵(cid:111)1(cid:530)(cid:531)(cid:432)𝐵(cid:530)1(cid:86)(cid:82)(cid:532)(cid:24)𝐴(cid:35)1(cid:178)𝐵1(cid:125) (cid:82)(cid:83)(cid:182)(cid:533)(cid:413)(cid:82)(cid:135) 𝐴2(cid:26)(cid:230)(cid:111)𝐴2(cid:75) (cid:76)
𝐵2 𝐵2 𝐴2𝐵2 𝐴3 𝐴11𝐵11A(cid:67) 2 B(cid:67) 2 C(cid:67) 2 D(cid:67) 2+1
(cid:15)(cid:204)(cid:71)21−2-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:242)(cid:213)(cid:168)(cid:50)−1·(cid:256)(cid:206)(cid:295)(cid:336)(cid:272)·(cid:247)(cid:199)(cid:76)(cid:129)(cid:178)(cid:25)(cid:24) (cid:82)(cid:286)(cid:236)(cid:59)(cid:48)(cid:10)(cid:57){ }(cid:105)(cid:106)(cid:62)(cid:37)(cid:178) (cid:26)(cid:166)(cid:37)(cid:51)
𝑝 (cid:520)1(cid:100) (cid:520)2𝑝(cid:100) (cid:520)3(cid:100)𝑝
(cid:24)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:10){ 4}=2(cid:82){ 3}=2(cid:67)(cid:228)(cid:143)(cid:129)72(cid:148)(cid:149)(cid:83)(cid:50)(cid:534)(cid:259)(cid:10)72 { 72}=9 { 9}=3 { 3}=2(cid:82)
(cid:142)(cid:129)72(cid:442)(cid:443)(cid:148)(cid:149)3(cid:100)(cid:534)(cid:259)(cid:265)(cid:204)(cid:111)2(cid:67)(cid:112)(cid:38)(cid:124)(cid:535)(cid:534)(cid:259)(cid:82)(cid:133)(cid:129)(cid:118)(cid:51)(cid:24)→(cid:442)(cid:443)(cid:148)(cid:149)3(cid:100)→(cid:534)(cid:259)(cid:265)(cid:204)(cid:111)2→(cid:82)(cid:135) (cid:26)(cid:166)(cid:36)
(cid:140)(cid:111) (cid:67) 𝑛 𝑛
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
