文档文本内容
专题 2.3 分式的乘法和除法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:41)(cid:36)(cid:19)............................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:46)(cid:20)(cid:21)(cid:19)................................................................................................................................7
+
A
A
科
知识点1 分式的乘除 ★ 全
号
众
公
注
关
1. (cid:25)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:40)(cid:22)(cid:49)(cid:24)(cid:50)，(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:48)(cid:22)(cid:53)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:50)(cid:24)(cid:22)(cid:53)(cid:54)(cid:40)(cid:23)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:52) = (cid:54)
源
资
辅 𝑎 𝑐 𝒂⋅𝒄
教
𝑏⋅𝑑 𝒃⋅𝒅
2. (cid:27)(cid:26)(cid:26)(cid:47)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:57)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:58)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:59)(cid:22)(cid:53)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:27)(cid:23)(cid:67)(cid:25)(cid:54)(cid:40)(cid:23)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:52) ÷ = =
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑
𝑏 𝑑 𝑏⋅𝑐
(cid:54)
𝒂⋅𝒅
𝒃⋅𝒄
知识点2 分式的乘方
个
(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:48)(cid:71)n(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:48)( ) = = 𝑛 = (cid:48)(cid:77)( ) = (cid:54)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:80)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:28)(cid:81)(cid:58)(cid:22)(cid:49)(cid:59)
𝑛 𝒏
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 个 𝑎 𝑎⋅𝑎⋅个⋯⋅𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝒂 𝒏
𝑏 𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏 𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏 𝑏 𝑏 𝒃
𝑛
𝑛
(cid:22)(cid:53)(cid:22)(cid:82)(cid:25)(cid:28)(cid:54)
知识点3 分式的混合运算
(cid:23)(cid:65)(cid:75)(cid:83)(cid:67)(cid:84)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:85)(cid:86)(cid:10)(cid:87)(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:88)(cid:25)(cid:27)(cid:48)(cid:89)(cid:64)(cid:90)(cid:91)(cid:48)(cid:83)(cid:92)(cid:9)(cid:81)(cid:87)(cid:32)(cid:92)(cid:9)(cid:93)(cid:94)(cid:24)(cid:54)
【题型1 分式的乘法】
(cid:15)(cid:95)1(cid:19)(cid:96)(cid:97)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:10) = (cid:48)(cid:47)(cid:33)(cid:34) ×[ ](cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:72) (cid:54)
𝑥+2𝑦
(cid:15)(cid:100)(cid:23)1-1(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)
𝑥
(cid:103)
∗
(cid:104)
𝑦
(cid:105)·
𝑥
(cid:106)
−𝑦
(cid:107)(cid:108)(cid:109)·(cid:110)(cid:111)
(𝑎
(cid:112)
∗𝑏) 𝑏∗(− 3 𝑎
(cid:24)
)
(cid:98)(cid:99)(cid:72)(cid:101) (cid:112)
2 9 2
𝑎 −4 𝑎+
2
𝑎 +6𝑎+ ⋅𝑎+1 2
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)
3 3 3
𝑎−2 𝑎+ 𝑎−2
𝑎+ 𝑎+ 𝑎+ ( ) 3 𝑎−3
(cid:15)(cid:100)(cid:23)1-2(cid:19)(cid:101)24-25(cid:113)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:105)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:112)(cid:121)(cid:32)(cid:10) = (cid:54)
( 3 )
2𝑎 𝑥−𝑦 𝑏
2 2
9𝑏 2⋅𝑎 𝑦−𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:23)1-3(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:122)(cid:123)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:112)若分式“ ”，可以进行约分化简，则“□”不可以
𝑥−1 𝑥+
2
是（ ） 𝑥 −□⋅ 𝑥
A(cid:54)1 B(cid:54)2 C(cid:54)4 D(cid:54)x
【题型2 分式的除法】
(cid:15)(cid:95)2(cid:19)(cid:101)23-24(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:124)(cid:107)(cid:125)(cid:126)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:128)
2
1
÷
3
(cid:121)(cid:32)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:52)(cid:74)(cid:23)(cid:48)(cid:47)“□”(cid:111)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:129)(cid:130)(cid:72)(cid:101) (cid:112)
𝑥 + 𝑥 +𝑥
1 𝑥−6 □
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)
2 2
2
𝑥 −6 𝑥 −6 𝑥 −6𝑥 𝑥−6 ( )
(cid:15)(cid:100)(cid:23)2-1(cid:19)(cid:101)24-25(cid:113)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:105)(cid:114)(cid:131)(cid:96)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:112)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23) (cid:25)(cid:68)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:64)(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:48)(cid:135)(cid:136)(cid:78)(cid:134)(cid:22)
2 2
𝑥 −1 1−𝑥
2
(cid:23)(cid:52) (cid:54) 𝑥 − 𝑥
(cid:15)(cid:100)(cid:23)2-2(cid:19)(cid:121)(cid:32) ÷ = (cid:54) A +
𝑎−𝑏 3 𝑎𝑏 2 2 全 科 A
★
(cid:15)(cid:100)(cid:23)2-3(cid:19)(cid:101)2024 𝑎𝑏 (cid:102)(cid:103) ⋅ (cid:104) 𝑎 (cid:105) −𝑏 ·(cid:122)(cid:123)· ( (cid:137) 𝑎− (cid:20) 𝑏 (cid:119) ) (cid:120)(cid:112)(cid:96)(cid:97)公(cid:138)(cid:139)众(cid:31)(cid:32) 号 (cid:10) = 1 (cid:48) = (cid:48)(cid:47) ÷( )
注
关 𝑏
= (cid:54) 辅 资 源 ， 𝑎△𝑏 𝑎+𝑏 𝑎∗𝑏 𝑎 2 −𝑏 2 𝑚△𝑛 𝑚∗𝑛
教
【题型3 分式的乘方】
(cid:15)(cid:95)3(cid:19)(cid:140)(cid:141)(cid:121)(cid:32)(cid:73)(cid:142)(cid:24)(cid:72)(cid:101)(cid:143)(cid:143)(cid:112)
A(cid:54) = B(cid:54) =
3 2 26 2 4 2
𝑏 𝑏 −3𝑏 −9𝑏
2 2
2𝑎 𝑎8 2𝑎 9𝑎
C(cid:54) = D(cid:54) =
3 3 2 2
2𝑦 𝑦 3𝑥 𝑥
3 2 2
−3𝑥 −27𝑥 𝑥−𝑎 𝑥 −𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:23)3-1(cid:19)(cid:101)23-24(cid:144)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:109)(cid:145)(cid:146)(cid:114)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:10) ÷
𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑏𝑐 4
2
− 𝑐 ⋅ −𝑎 − 𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:23)3-2(cid:19)(cid:121)(cid:32)( ) (cid:65) ) (cid:24)(cid:98)(cid:99)( )
−𝑛 2 3 𝑛 3 2
2 2 3 3
A(cid:54)(cid:67)(cid:147) 𝑎 𝑏 B(cid:54)(cid:148)((cid:52)−(cid:61)𝑎(cid:75)𝑏 C(cid:54)(cid:148)(cid:52)(cid:67)(cid:149)(cid:75) D(cid:54)(cid:57)(cid:105)(cid:150)(cid:151)(cid:152)
(cid:15)(cid:100)(cid:23)3-3(cid:19)(cid:112) (cid:24)(cid:36)(cid:72)(cid:101) (cid:112)
2 2𝑛+1
𝑏
−𝑚
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)
2𝑛+3 2𝑛+3 4𝑛+2 4𝑛+2
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
2𝑛+1 2𝑛+1 2𝑛+1 2𝑛+1
𝑚 −𝑚 𝑚 −𝑚【题型4 分式的混合运算】
(cid:15)(cid:95)4(cid:19)(cid:101)2025·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)·(cid:153)(cid:154)(cid:112)(cid:140)(cid:94)(cid:72)(cid:68)(cid:155)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:20)(cid:48)(cid:156)(cid:111)(cid:92)(cid:9)(cid:157)(cid:24)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:160)(cid:10) ÷ +(cid:101) (cid:112)(cid:132)(cid:133)
3 2 6
𝑎−2 𝑎 −4
(cid:161)(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:72)
3
(cid:48)(cid:47)(cid:92)(cid:9)(cid:157)(cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:52)(cid:101) (cid:112)
𝑎+ 2𝑎+
2
5
−𝑎+
3 5
A(cid:54) B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)(cid:151)(cid:130)(cid:142)(cid:96)
2 2 2
𝑎+ 𝑎+ −𝑎+
2 1
(cid:15)(cid:100)(cid:23)4-1(cid:19)(cid:101)2024·(cid:162)(cid:163)(cid:116)(cid:164)(cid:33)·(cid:68)(cid:154)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:10) ÷ ( +2) = (cid:54)
5 5
+𝑎
1−𝑎+ 𝑎+ − 𝑎 3 25
(cid:15)(cid:100)(cid:23)4-2(cid:19)(cid:101)23-24(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:124)(cid:107)(cid:165)(cid:166)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:132)(cid:133)a(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:167) ÷ (cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:35)(cid:168)(cid:83)(cid:169)
2 2
𝑎+ 𝑎−5 𝑎 −10𝑎+
2
(cid:30)(cid:170)(cid:171)(cid:24)a(cid:24)(cid:36)(cid:24)(cid:172) (cid:54) 𝑎−5−𝑎+ 𝑎 −4
(cid:15)(cid:100)(cid:23)4-3(cid:19)(cid:101)23-24(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:124)(cid:107)(cid:173)(cid:174)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:83)(cid:68)(cid:134)(cid:121)(cid:32)(cid:175)(cid:86)(cid:48)(cid:176)(cid:177)(cid:31)(cid:32)(cid:150)(cid:72)(cid:58)(cid:68)(cid:134)(cid:75)(cid:87)(cid:25)(cid:57)2(cid:48)(cid:88)(cid:27)(cid:57)
(cid:178)(cid:65)1(cid:24)(cid:172)(cid:48)(cid:179)(cid:177)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:78)(cid:139)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:184)(cid:175)(cid:185)(cid:140)(cid:10)
+
A
(cid:47)(cid:186)2024(cid:177)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:98)(cid:99) = (cid:54)(cid:101)(cid:40)(cid:187)(cid:188)(cid:53) (cid:24)(cid:23)(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:112)科 A
全
★
号
【题型5 分式的化简求 𝑦 值 202 】 4 关 注 公 众 𝑥
，
源
资
辅
教 1 1 1
(cid:15)(cid:95)5(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:189)(cid:190)(cid:190)(cid:191)·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:185)(cid:99) (cid:48) (cid:48) (cid:72)(cid:73)(cid:75)(cid:48)(cid:167)(cid:192)(cid:193) + + =12(cid:48) + + =
3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎
(cid:48)(cid:47) + + (cid:24)(cid:36)(cid:52) (cid:54)
4
𝑎 𝑏 𝑐
𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏
1
(cid:15)(cid:100)(cid:23)5-1(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:10) +1 ÷ (cid:48)(cid:88)(cid:198) < <3(cid:111)(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:134)
2
𝑎 + 4𝑎
2
(cid:30)(cid:201)(cid:24)(cid:74)(cid:75) (cid:24)(cid:36)(cid:48)(cid:202)(cid:203)(cid:35)(cid:36)(cid:54) 𝑎−1 −𝑎 𝑎 −1 −1 𝑎
𝑎 1 1
(cid:15)(cid:100)(cid:23)5-2(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:116)(cid:204)(cid:205)(cid:206)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:132)(cid:133)(cid:73)(cid:75) (cid:59) (cid:59) (cid:192)(cid:193)(cid:10) =1(cid:48) + =3(cid:48) + =11(cid:48)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐
1
(cid:47) + = (cid:54)
𝑐 𝑎
5 5 5 5
(cid:15)(cid:100)(cid:23)5-3(cid:19)(cid:101)24-25(cid:113)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:191)(cid:207)(cid:191)(cid:208)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:112)(cid:128) + + =0(cid:167) (cid:209)(cid:151)(cid:52)0(cid:48)(cid:47) + + + +
5 5 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐
+ (cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:101)(cid:143)(cid:143)(cid:112)
𝑎 A𝑏(cid:54) B(cid:54) C(cid:54)0 D(cid:54)12
【题型6− 15
分式运算的实际
−
应
12
用】
(cid:15)(cid:95)6(cid:19)(cid:101)22-23(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:106)(cid:210)(cid:211)(cid:197)·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:212)(cid:59)(cid:213)(cid:138)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:183)(cid:217)(cid:198)(cid:67)(cid:218)s(cid:219)(cid:220)(cid:24)(cid:138)(cid:70)(cid:84)(cid:76)(cid:200)(cid:221)(cid:48)(cid:128)(cid:84)(cid:222)(cid:223)(cid:183)(cid:48)(cid:224)(cid:184)a(cid:225)(cid:76)(cid:212)(cid:226)(cid:105)(cid:213)(cid:227)(cid:128)(cid:67)(cid:222)(cid:223)(cid:183)(cid:48)(cid:224)(cid:184)b(cid:225)(cid:76)(cid:212)(cid:59)(cid:213)(cid:67)(cid:228)(cid:54)(cid:229)(cid:212)(cid:24)(cid:230)(cid:231)(cid:52) (cid:219)(cid:220)/(cid:225)(cid:76)(cid:48)(cid:213)(cid:24)(cid:230)(cid:231)(cid:52) (cid:219)
𝑣1 𝑣2
(cid:220)/(cid:225)(cid:76)(cid:48)(cid:47)(cid:40)(cid:188)(cid:53)a(cid:48)b(cid:55)(cid:56) (cid:52) (cid:54)
𝑣1
𝑣2
(cid:15)(cid:100)(cid:23)6-1(cid:19)(cid:83)(cid:68)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:52)x(cid:220)(cid:24)(cid:73)(cid:28)(cid:235)(cid:236)(cid:70)(cid:48)(cid:121)(cid:237)(cid:238)(cid:185)(cid:239)(cid:168)(cid:56)(cid:24)(cid:28)(cid:23)(cid:240)(cid:139)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:101)(cid:239)(cid:111)(cid:244)(cid:245)(cid:158)(cid:22)(cid:139)(cid:241)(cid:242)
(cid:243)(cid:112)(cid:54)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:48)(cid:246)(cid:73)(cid:28)(cid:235)(cid:236)(cid:70)(cid:105)(cid:247)(cid:138)(cid:170)(cid:248)(cid:52)2a(cid:220)(cid:24)(cid:148)(cid:67)(cid:249)(cid:250)(cid:24)(cid:251)(cid:227)(cid:28)(cid:23)(cid:252)(cid:48)(cid:246)(cid:73)(cid:28)(cid:235)(cid:236)(cid:70)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:247)(cid:68)(cid:232)(cid:233)
(cid:234)(cid:52)a(cid:220)(cid:24)(cid:225)(cid:73)(cid:28)(cid:235)(cid:236)(cid:70)(cid:139)(cid:241)(cid:256)(cid:257)(cid:48)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:40)5000(cid:261)(cid:262)(cid:182)(cid:242)(cid:243)(cid:54)(cid:3)(cid:263)(cid:264)(cid:139)(cid:28)(cid:23)(cid:139)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:57)(cid:268)(cid:269)(cid:267)
(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:72)(cid:269)(cid:270)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:24)(cid:179)(cid:271)(cid:272)(cid:101)(cid:143)(cid:143)(cid:112)
A(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:273)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:252)(cid:139)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:48)(cid:167)(cid:269)(cid:267)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:72)(cid:269)(cid:270)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:24) (cid:272)
𝑥+2𝑎
+
A
A𝑥−2𝑎
科
B(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:273)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:252)(cid:139)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:48)(cid:167)(cid:269)(cid:267)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:72)(cid:269)全(cid:270)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:24) (cid:272)
★
众 号 𝑥−2𝑎
公
注 𝑥+2𝑎
关
C(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:252)(cid:273)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:139)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:24)，(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:48)(cid:167)(cid:269)(cid:267)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:72)(cid:269)(cid:270)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:24) (cid:272)
源
资
辅 𝑥+2𝑎
教
𝑥−2𝑎
D(cid:54)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:252)(cid:273)(cid:40)(cid:28)(cid:23)(cid:68)(cid:139)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:48)(cid:167)(cid:269)(cid:267)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:72)(cid:269)(cid:270)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:24) (cid:272)
𝑥−2𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:23)6-2(cid:19)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:138)(cid:139)(cid:278)(cid:29)(cid:30)(cid:279)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:200)(cid:282)(cid:54)(cid:152)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:24)(cid:96)(cid:266)(cid:40)(cid:57)(cid:140)(cid:28)(cid:26) 𝑥+ (cid:142) 2𝑎 (cid:96)(cid:10)
(cid:128)A(cid:139)(cid:278)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:52)a(cid:261)/(cid:219)(cid:283)(cid:48)B(cid:139)(cid:278)(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:52)b(cid:261)/(cid:219)(cid:283)(cid:101)a≠b(cid:112)(cid:48)(cid:47)m(cid:219)(cid:283)(cid:24)A(cid:139)(cid:278)(cid:65)n(cid:219)(cid:283)(cid:24)B(cid:139)(cid:278)(cid:29)
(cid:30)(cid:223)(cid:279)(cid:24)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:265)(cid:266)(cid:52) (cid:261)(cid:54)
𝑚𝑎+𝑛𝑏
(cid:101)1(cid:112)(cid:71)a=20(cid:48)b=30(cid:76)(cid:48)𝑚+𝑛
①(cid:277)10(cid:219)(cid:283)(cid:24)A(cid:139)(cid:278)(cid:65)15(cid:219)(cid:283)(cid:24)B(cid:139)(cid:278)(cid:29)(cid:30)(cid:223)(cid:279)(cid:24)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:265)(cid:266)(cid:52)(cid:179)(cid:271)(cid:284)
②(cid:246)①(cid:24)(cid:285)(cid:286)(cid:105)(cid:48)(cid:128)(cid:81)(cid:277)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:265)(cid:266)(cid:287)(cid:267)2(cid:261)(cid:48)(cid:47)(cid:288)(cid:289)(cid:90)B(cid:139)(cid:278)(cid:179)(cid:271)(cid:219)(cid:283)(cid:284)
（2）(cid:128)(cid:258)(cid:83)(cid:138)(cid:139)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:10)(cid:68)(cid:139)(cid:72)(cid:290)10(cid:219)(cid:283)(cid:24)A(cid:139)(cid:278)(cid:172)10(cid:219)(cid:283)(cid:24)B(cid:139)(cid:278)(cid:29)(cid:30)(cid:223)(cid:279)(cid:48)(cid:291)(cid:68)(cid:139)(cid:72)(cid:290)100(cid:261)(cid:266)
(cid:36)(cid:24)A(cid:139)(cid:278)(cid:172)100(cid:261)(cid:266)(cid:36)(cid:24)B(cid:139)(cid:278)(cid:29)(cid:30)(cid:223)(cid:279)(cid:48)(cid:47)(cid:78)(cid:138)(cid:139)“(cid:280)(cid:281)(cid:278)”(cid:24)(cid:265)(cid:266)(cid:264)(cid:68)(cid:139)(cid:292)(cid:293)(cid:284)
(cid:15)(cid:100)(cid:23)6-3(cid:19)(cid:101)23-24(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:106)(cid:107)(cid:294)(cid:275)(cid:295)·(cid:110)(cid:111)(cid:112)1.(cid:185)(cid:239)(cid:48)(cid:212)(cid:296)(cid:172)(cid:213)(cid:296)(cid:111)(cid:22)(cid:82)(cid:297)(cid:83)(cid:298)(cid:50)(cid:209)(cid:52) mL(cid:24)(cid:299)(cid:300)(cid:172)(cid:301)
(cid:99)(cid:300)(cid:101)(cid:185)(cid:140)(cid:302)(cid:51)(cid:48)(cid:99)(cid:300)(cid:209)(cid:151)(cid:303)(cid:200)(cid:112)(cid:54) 𝑎(cid:101)1(cid:112)(cid:71) =200(cid:76)(cid:48)(cid:198)(cid:212)(cid:296)(cid:304) mL( <200)(cid:299)(cid:300)(cid:305)(cid:203)(cid:213)(cid:296)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:209)(cid:309)(cid:48)(cid:47)(cid:213)(cid:296)(cid:111)(cid:299)(cid:300)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:300)(cid:24)(cid:298)(cid:50)(cid:273)
(cid:52) 𝑎 (cid:227) 𝑏 𝑏
(cid:101)2(cid:112)(cid:58)(cid:138)(cid:296)(cid:111)(cid:24)(cid:99)(cid:300)(cid:182)(cid:183)(cid:185)(cid:140)(cid:302)(cid:51)(cid:10)
(cid:186)(cid:68)(cid:310)(cid:10)(cid:198)(cid:212)(cid:296)(cid:304)(cid:200) mL( > )(cid:299)(cid:300)(cid:48)(cid:61)(cid:203)(cid:213)(cid:296)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:209)(cid:309)(cid:54)(cid:311)(cid:76)(cid:48)(cid:213)(cid:296)(cid:111)(cid:24)(cid:299)(cid:300)(cid:65)(cid:29)(cid:30)(cid:99)(cid:300)(cid:24)(cid:298)(cid:50)(cid:273)(cid:52)
(cid:186)(cid:252)(cid:310)(cid:10)(cid:198)(cid:213)(cid:296)(cid:304)(cid:200)𝑏mL(cid:29)𝑎(cid:30)(cid:99)𝑏(cid:300)(cid:48)(cid:61)(cid:203)(cid:212)(cid:296)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:209)(cid:309)(cid:54)(cid:224)(cid:184)(cid:138)(cid:177)(cid:312)(cid:172)(cid:64)(cid:48)(cid:229)(cid:311)(cid:76)(cid:212)(cid:296)(cid:111)(cid:187)(cid:301)(cid:99)(cid:300) mL(cid:48)
𝑏 𝑥
(cid:213)(cid:296)(cid:111)(cid:187)(cid:299)(cid:300) mL(cid:48)(cid:47) = .
𝑥
𝑦 𝑦
【题型7 分式的大小比较】
+
A
(cid:15)(cid:95)7(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:116)(cid:204)(cid:210)(cid:313)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:101)1(cid:112)(cid:132)(cid:133) > >0(cid:48)(cid:40)全(cid:138)(cid:139) 科 (cid:151)(cid:84) A (cid:24)(cid:28)(cid:26)(cid:273)(cid:269) 1 , 1 (cid:24)(cid:293)(cid:225)(cid:227)
★
号
众
公
1 关 注 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
(cid:101)2(cid:112)(cid:128) <
1
(cid:48)(cid:47) =_____
资
(cid:48) 源=__，____(cid:101)(cid:314)(cid:200)(cid:68)(cid:315)(cid:169)(cid:30)(cid:20)(cid:316)(cid:24)(cid:36)(cid:77)(cid:129)(cid:112)(cid:54)
𝑏 𝑏+ 辅
教
𝑎 𝑎+ 𝑎 𝑏 1 1 1
(cid:15)(cid:100)(cid:23)7-1(cid:19)(cid:101)2023·(cid:106)(cid:107)(cid:317)(cid:275)(cid:318)·(cid:68)(cid:154)(cid:112)(cid:128)(cid:202)(cid:75)(cid:23) + (cid:48) (cid:150)(cid:83)(cid:316)(cid:97)(cid:48)(cid:273)(cid:269)(cid:252)(cid:319)(cid:24)(cid:75)(cid:320)(cid:3)(cid:321)(cid:48)(cid:140)(cid:141)(cid:80)(cid:26)(cid:73)(cid:142)
2 2
(cid:24)(cid:52)(cid:101) (cid:112)
𝑥 𝑥+
A(cid:54)(cid:151)(cid:67)(cid:147) B(cid:54)(cid:67)(cid:147) C(cid:54)(cid:322)(cid:319)(cid:269)(cid:293) D(cid:54)(cid:64)(cid:319)(cid:269)(cid:293)
1
(cid:15)(cid:100)(cid:23)7-2(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:116)(cid:204)(cid:210)(cid:313)·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:132)(cid:133) = (cid:48) = (cid:54)
2 1
𝑚+ 2𝑚
(1)(cid:71) >0(cid:76)(cid:48)(cid:273)(cid:269)A(cid:65)B(cid:24)(cid:293)(cid:225)(cid:48)(cid:306)(cid:80)(cid:323)(cid:324)(cid:290)(cid:10) 𝐴 𝐵 𝑚+
𝑚 2
(2)(cid:229) = + (cid:48)(cid:128)m(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:47)(cid:73)(cid:74)(cid:75)y(cid:24)(cid:36)(cid:52)______(cid:54)
(cid:15)(cid:100)(cid:23)𝑦 7-𝐴3(cid:19)𝐵(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:106)(cid:210)(cid:325)(cid:174)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:326)(cid:327)(cid:246)(cid:22)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:75)(cid:11)(cid:333)(cid:20)(cid:76)(cid:48)(cid:224)(cid:276)(cid:81)(cid:273)(cid:269)(cid:138)(cid:134)(cid:75)(cid:334)(cid:138)(cid:134)
(cid:23)(cid:49)(cid:24)(cid:293)(cid:225)(cid:48)(cid:329)(cid:330)(cid:333)(cid:20)(cid:24)(cid:335)(cid:14)(cid:68)(cid:69)(cid:81)(cid:182)(cid:183)(cid:68)(cid:96)(cid:24)(cid:336)(cid:33)(cid:48)(cid:156)(cid:111)“(cid:51)(cid:337)(cid:26)”(cid:79)(cid:72)(cid:276)(cid:40)(cid:24)(cid:28)(cid:26)(cid:338)(cid:68)(cid:54)“(cid:51)(cid:337)(cid:26)”(cid:79)(cid:72)(cid:339)
(cid:184)(cid:51)(cid:337)(cid:59)(cid:100)(cid:235)(cid:48)(cid:340)(cid:40)(cid:337)(cid:24)(cid:169)(cid:9)(cid:142)(cid:96)(cid:178)(cid:327)(cid:24)(cid:293)(cid:225)(cid:48)(cid:185)(cid:81)(cid:273)(cid:269)(cid:23)(cid:49) (cid:48) (cid:24)(cid:293)(cid:225)(cid:48)(cid:341)(cid:81)(cid:35)(cid:200) (cid:24)(cid:36)(cid:77)(cid:129)(cid:54)(cid:128)
>0(cid:48)(cid:47) > (cid:227)(cid:128) =0(cid:48)(cid:47) = (cid:227)(cid:128) <0(cid:48)𝑀(cid:47) 𝑁< (cid:54) 𝑀−𝑁
𝑀−𝑁 𝑀 𝑁 1𝑀−𝑁 2 𝑀 𝑁 𝑀−𝑁 𝑀 𝑁
(1)(cid:128) >0(cid:48)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:10) (cid:101)(cid:345)“>”“=”(cid:334)“<”(cid:112)(cid:54)
1
𝑛+ 𝑛+
𝑛 𝑛 𝑛+
m 9 1 1
(2)(cid:132)(cid:133) = (cid:48) = (cid:48)(cid:71) > (cid:76)(cid:48)(cid:273)(cid:269) (cid:65) (cid:24)(cid:293)(cid:225)(cid:48)(cid:306)(cid:80)(cid:323)(cid:324)(cid:290)(cid:54)
2 6
+6𝑚+ 2𝑚+
2
𝐴 𝑚 −9 𝐵 2𝑚+ 𝑚 −3 𝐴 𝐵【题型8 分式的最值】
(cid:15)(cid:95)8(cid:19)(cid:101)24-25(cid:144)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:106)(cid:107)(cid:346)(cid:347)·(cid:348)(cid:11)(cid:349)(cid:342)(cid:112)(cid:128)a(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:140)(cid:141)(cid:3)(cid:263)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:36)(cid:24)(cid:98)(cid:350)(cid:73)(cid:142)(cid:24)(cid:72)(cid:101) (cid:112)
2𝑎−2
2
𝑎 −1
2
A(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:293)(cid:36)(cid:72)2 B(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:293)(cid:36)(cid:72)
3
C(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:225)(cid:36)(cid:72)1 D(cid:54)(cid:83)(cid:41)(cid:225)(cid:36)(cid:48)(cid:351)(cid:83)(cid:41)(cid:293)(cid:36)
(cid:15)(cid:100)(cid:23)8-1(cid:19)(cid:22)(cid:23)
5 12
(cid:129)(cid:304)(cid:24)(cid:41)(cid:293)(cid:36)(cid:52)(cid:101) (cid:112)
2 2
𝑥 +10𝑥+
2
A(cid:54)4 𝑥 +2B𝑥+(cid:54)5 C(cid:54)6 D(cid:54)7
(cid:15)(cid:100)(cid:23)8-2(cid:19)(cid:101)22-23(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:352)(cid:116)(cid:353)(cid:109)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:128) + =6(cid:48)(cid:167) (cid:48)(cid:47)(cid:140)(cid:141)(cid:80)(cid:26)(cid:73)(cid:142)(cid:24)(cid:72)(cid:101) (cid:112)
3 2𝑎 3𝑏 9 𝑎≤3𝑏 1
A(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:225)(cid:36) B(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:225)(cid:36)3 C(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:225)(cid:36) D(cid:54) (cid:83)(cid:41)(cid:225)(cid:36)
2 2 3
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏 𝑎 𝑎
1
(cid:15)(cid:100)(cid:23)8-3(cid:19)(cid:101)2023·(cid:106)(cid:107)(cid:354)(cid:174)·(cid:154)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:112)(cid:358)(cid:359)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:235)(cid:184)(cid:175)(cid:10) = = + =1+ (cid:48)(cid:156)(cid:111)
𝑎+ 𝑎−1+○ 𝑎−1 □ ◇
“○”“□”“ ”(cid:22)(cid:82)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:68)(cid:134)(cid:74)(cid:75). 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1 𝑎−1
(cid:101)1(cid:112)“○◇”“□”“ ”(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:74)(cid:75) (cid:227)(cid:101)(cid:345)“(cid:67)(cid:84)”(cid:334)“(cid:151)(cid:67)(cid:84)”(cid:112)
+
A
(cid:101)2(cid:112)(cid:71) 0
◇
(cid:76)(cid:48) (cid:24)(cid:41)(cid:225)(cid:36)(cid:52) . 全
科 A
2𝑎− 2 8 众 号 ★
公
【题型9 𝑎 ≥ 分式运算 𝑎+ 的规律探究】 ， 关 注
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:95)9(cid:19)(cid:101)2025·(cid:191)(cid:207)(cid:363)(cid:197)·(cid:153)(cid:154)(cid:112)(cid:358)(cid:359)(cid:57)(cid:140)(cid:147)(cid:23)(cid:10)
1 2
(cid:186)1(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
2 1 2
2
2−1 +
3
(cid:186)2(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
3 2 2
2
3−1 +
4
(cid:186)3(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
4 3 2
2
4−1 +
5
(cid:186)4(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) + =1(cid:54)
5 4 2
2
…… −1 +
(cid:238)(cid:364)(cid:57)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:329)(cid:330)(cid:140)(cid:141)(cid:333)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:365)(cid:314)(cid:200)(cid:186)6(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) (cid:54)
(2)(cid:365)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:186)n(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:101)(cid:40)(cid:187)n(cid:24)(cid:147)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:112)(cid:48)(cid:306)(cid:369)(cid:323)(cid:54)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3
(cid:15)(cid:100)(cid:23)9-1(cid:19)(cid:358)(cid:359)(cid:140)(cid:141)(cid:255)(cid:147)(cid:23)(cid:10) = (cid:48) = (cid:48) = (cid:48)…(cid:48)(cid:370)(cid:371)(cid:366)(cid:221)(cid:258)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:121)(cid:32)(cid:10) + +
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4 1×2 2×3
3 3 − − −
+ + = (cid:101)n(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:112)(cid:54)
3×4 ( 1)
⋯ 𝑛 𝑛+(cid:15)(cid:100)(cid:23)9-2(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:157)(cid:372)(cid:373)(cid:339)(cid:194)·(cid:110)(cid:127)(cid:112)(cid:358)(cid:359)(cid:140)(cid:94)(cid:24)(cid:147)(cid:23)(cid:10)
1 2 2
(cid:186)1(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:227)
3 1 1
4 2 3−2
(cid:186)2(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:227)
4 2 2
7 2 3−2
(cid:186)3(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:227)
5 3 3
10 2 3− 2
(cid:186)4(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) × 1+ = (cid:227)
6 4 4
…… 3−
(cid:238)(cid:105)(cid:94)(cid:24)(cid:42)(cid:43)(cid:374)(cid:375)(cid:200)(cid:68)(cid:134)(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:98)(cid:350) (cid:101)(cid:40)(cid:187)n(cid:24)(cid:147)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:48)n(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:112)(cid:54)
(cid:15)(cid:100)(cid:23)9-3(cid:19)(cid:101)2025·(cid:191)(cid:207)(cid:376)(cid:124)·(cid:252)(cid:154)(cid:112)(cid:358)(cid:359)(cid:57)(cid:140)(cid:147)(cid:23)(cid:10)
1 1×3
(cid:186)1(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) =1+ (cid:227)
2 2
3− 2 2×5
(cid:186)2(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) =1+ (cid:227)
3 3
5− 3 3×7
(cid:186)3(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) =1+ (cid:227)
4 4
+
A
A
科
(cid:186)4(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) 7−4 =1+ 4×9 (cid:227) 号 ★ 全
5 5 公 众
注
关
9− 5 5×11 源 ，
(cid:186)5(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10) =1+ 资;
6 辅6
教
…(cid:54) 11−
(cid:238)(cid:364)(cid:57)(cid:105)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:329)(cid:330)(cid:140)(cid:141)(cid:333)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:314)(cid:200)(cid:186)6(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10)_______(cid:227)
(2)(cid:314)(cid:200)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:24)(cid:186)n(cid:134)(cid:147)(cid:23)(cid:10)_______(cid:101)(cid:40)(cid:187)n(cid:24)(cid:147)(cid:23)(cid:55)(cid:56)(cid:112)(cid:48)(cid:306)(cid:369)(cid:323)(cid:54)
【题型10 分式运算的新题型】
(cid:15)(cid:95)10(cid:19)(cid:42)(cid:96)(cid:68)(cid:139)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)“JQx→+∞ ”(cid:48)(cid:156)(cid:111)A(cid:172)B(cid:72)(cid:3)(cid:263)x(cid:24)(cid:179)(cid:377)(cid:23)(cid:54)(cid:71)A(cid:24)(cid:177)(cid:75)(cid:225)(cid:263)B(cid:24)(cid:177)(cid:75)(cid:76)(cid:48)JQx→+∞
𝐴
𝐵
=0(cid:227)(cid:71)A(cid:24)(cid:177)(cid:75)(cid:147)(cid:263)B(cid:24)(cid:177)(cid:75)(cid:76)(cid:48)JQx→+∞ (cid:24)(cid:36)(cid:52)A(cid:172)B(cid:24)(cid:41)(cid:267)(cid:177)(cid:377)(cid:24)(cid:321)(cid:75)(cid:24)(cid:274)(cid:227)(cid:71)A(cid:24)(cid:177)(cid:75)(cid:293)(cid:263)B
𝐴 𝐴
𝐵 2 𝐵 2 1 3 6
(cid:24)(cid:177)(cid:75)(cid:76)(cid:48)JQx→+∞
𝐴
(cid:151)(cid:378)(cid:246)(cid:54)(cid:95)(cid:10)JQx→+∞ (cid:379)0(cid:48)JQx→+∞
2 𝑥 2 +
=
2
(cid:54)(cid:128)
𝐴
= )÷
𝑥 2 −15𝑥
(cid:48)(cid:47)
2 2
𝐵 𝑥−1 𝑥 +3𝑥−1 𝐵 (2−𝑥−1 𝑥 −1
JQx→+∞ (cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:101) (cid:112)
𝐴
𝐵
1 1
A(cid:54)0 B(cid:54) C(cid:54) D(cid:54)(cid:151)(cid:378)(cid:246)
2 3
(cid:15)(cid:100)(cid:23)10-1(cid:19)(cid:101)23-24(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:116)(cid:204)(cid:380)(cid:381)·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:128)(cid:138)(cid:134)(cid:22)(cid:23)A(cid:65)B(cid:192)(cid:193)(cid:10)| |=3(cid:48)(cid:47)(cid:382)A(cid:65)B
𝐴−𝐵4
(cid:78)(cid:138)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:148)(cid:52)“(cid:383)(cid:384)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:128)(cid:22)(cid:23) (cid:65) (cid:148)(cid:52)“(cid:383)(cid:384)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:167)a(cid:48)b(cid:209)(cid:52)(cid:151)(cid:147)(cid:263)0(cid:24)(cid:37)(cid:75)(cid:48)(cid:47)(cid:22)(cid:23)
2
𝑎 𝑎
2 2
𝑎 −𝑏 𝑎+𝑏
2
= (cid:54)
2 2
𝑎 −𝑏
(cid:15)𝑎(cid:100)𝑏(cid:23)10-2(cid:19)(cid:101)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:140)·(cid:385)(cid:190)(cid:210)(cid:195)·(cid:348)(cid:11)(cid:349)(cid:342)(cid:112)(cid:101)(cid:68)(cid:112)(cid:185)(cid:99)(cid:68)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:49)(cid:334)(cid:22)(cid:53)(cid:129)(cid:57)(cid:386)(cid:23)(cid:22)(cid:329)(cid:48)(cid:167)
(cid:78)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:151)(cid:129)(cid:387)(cid:22)(cid:48)(cid:135)(cid:136)(cid:326)(cid:327)(cid:382)(cid:78)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:52)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
(cid:101)1(cid:112)(cid:140)(cid:141)(cid:22)(cid:23)(cid:10)① (cid:227)② (cid:227)③ (cid:54)(cid:156)(cid:111)(cid:72)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:72)_____(cid:101)(cid:345)(cid:86)(cid:9)(cid:112)(cid:227)
1
𝑥−1 𝑎−2𝑏 𝑥+𝑦
2 2 2 2 2
𝑥 + 𝑎 −𝑏 𝑥 −𝑦
(cid:101)2(cid:112)(cid:128) (cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:167) (cid:52)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:365)(cid:250)(cid:389)(cid:314)(cid:200) (cid:24)(cid:36)(cid:54)
4
𝑥−1
2
(cid:101)(cid:252)(cid:112)(cid:3)𝑎(cid:263)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:326)𝑥(cid:327)+𝑎(cid:390)𝑥+(cid:129)(cid:57)(cid:78)(cid:391)(cid:392)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:185)(cid:99)(cid:68)(cid:134)(cid:22)𝑎(cid:23)(cid:130)(cid:33)(cid:279)(cid:68)(cid:134)(cid:74)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:134)(cid:22)(cid:49)(cid:52)(cid:276)(cid:75)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:172)
1 2 2 2 1
(cid:24)(cid:235)(cid:23)(cid:48)(cid:47)(cid:382)(cid:78)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:52)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:185)(cid:10) = = + =1+ (cid:54)(cid:47) (cid:72)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
1
𝑥+ 𝑥−1+ 𝑥−1 𝑥+
1 2 1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1
(cid:101)1(cid:112)(cid:140)(cid:141)(cid:22)(cid:23)(cid:10)① (cid:227)②
1
(cid:227)③
3
(cid:54)(cid:156)(cid:111)(cid:72)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)(cid:72)_____(cid:101)(cid:345)(cid:86)(cid:9)(cid:112)(cid:227)
𝑥+ 𝑥+ 𝑦 +
2
𝑥 𝑥+ 𝑦
3 3
(cid:101)2(cid:112)(cid:277)“(cid:172)(cid:388)(cid:22)(cid:23)” (cid:33)(cid:279)(cid:68)(cid:134)(cid:74)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:134)(cid:22)(cid:49)(cid:52)(cid:276)(cid:75)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:172)(cid:24)(cid:235)(cid:23)(cid:52)(cid:10) =_____+_____(cid:227)
2 2
𝑎 −2𝑎+ 𝑎 −2𝑎+
𝑎−1 𝑎−1
6
(cid:101)3(cid:112)(cid:87)(cid:33)(cid:34) ÷ (cid:48)(cid:306)(cid:35) (cid:304)(cid:280)(cid:136)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:48)(cid:161)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:284) +
1 2 A A
3𝑥+ 𝑥−1 𝑥 −1 科
(cid:15)(cid:100)(cid:23)10-3(cid:19)𝑥(cid:101)+ 2−4-2𝑥5(cid:102)𝑥(cid:103) 2 +(cid:104)2𝑥(cid:140)·(cid:116)(cid:204)𝑥(cid:393)(cid:174)·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:96)(cid:97)(cid:10)
众
(cid:128)(cid:22)号(cid:23)A ★ (cid:65) 全 (cid:22)(cid:23)B(cid:24)(cid:337)(cid:147)(cid:263)(cid:178)(cid:327)(cid:24)(cid:50)(cid:54)(cid:77)
公
注
关
源 ， 1 1 1 1 1 1 1
= (cid:48)(cid:47)(cid:382)(cid:22)(cid:23)B(cid:72)(cid:22)(cid:23)资A(cid:24)“(cid:394)(cid:395)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:185) (cid:65) (cid:54)(cid:386)(cid:52) = (cid:48) × =
教 辅 1 2 1 2 ( 1)( 2) 1 2
𝐴−𝐵1 𝐴𝐵 1 1 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
(cid:54)(cid:168)(cid:57) (cid:72) (cid:24)“(cid:394)(cid:395)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
( 1)( 2) 2 1
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
1 1
(1)(cid:345)(cid:236)(cid:10)(cid:22)(cid:23) ______(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:394)(cid:395)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)(cid:101)(cid:345)“(cid:72)”(cid:334)“(cid:151)(cid:72)”(cid:112)
4 3
𝑥2+ 𝑥+
(2)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)“(cid:394)(cid:395)(cid:22)(cid:23)”(cid:54)
2
2𝑥+
3𝑥+
①(cid:35)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)(cid:55)(cid:396)(cid:23)(cid:227)
②(cid:128)(cid:74)(cid:75)x(cid:397)(cid:398)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:48)(cid:250)(cid:389)(cid:314)(cid:200)(cid:22)(cid:23)A(cid:24)(cid:36)(cid:227)
2 ( )
(3)(cid:128)(cid:3)(cid:263)x(cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:3)(cid:263)x(cid:24)(cid:22)(cid:23) (cid:24)“(cid:394)(cid:395)(cid:22)(cid:23)”(cid:48)(cid:35) (cid:24)(cid:41)(cid:225)(cid:36)(cid:54)
( 2) 2
𝑛+ 𝑚−2 𝑚−𝑛 𝑥 +2𝑥
2 2 2
𝑚𝑥+𝑚 +𝑛 𝑚𝑥+𝑛 𝑥 + 𝑚+𝑛 𝑥+
