文档文本内容
专题 2.5 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)/(cid:38)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)...................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)..............................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)......................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:20)(cid:19)......................................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..........................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)..............................................................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)..............................................................................................................................24
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 分式方程 公 众
注
关
，
源
1. (cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:32)(cid:24)辅(cid:25)(cid:60) 资 (cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)
教
2. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(cid:67)1(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
(cid:67)2(cid:68)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:62)
知识点2 解分式方程
1. (cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)
(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:61)(cid:52)(cid:69)“(cid:82)(cid:22)(cid:55)”(cid:78)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:7)(cid:22)(cid:55)(cid:62)(cid:90)(cid:91)(cid:69)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:92)(cid:93)
(cid:24)(cid:52)(cid:62)
2. (cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)【题型1 分式方程概念】
1 1
(cid:15)(cid:96)1(cid:19)(cid:67)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:56)(cid:67)1(cid:68) =1(cid:70)(cid:67)2(cid:68) =1+ (cid:70)
3 4
2𝑥+ 1−3𝑥
𝑥
(cid:67)3(cid:68) + =1(cid:70)(cid:67)4(cid:68) = +4(cid:70)(cid:67)5(cid:68) +1=0(cid:78)(cid:29)(cid:56)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:38)(cid:67) (cid:68)
𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥+3𝑦 A +
A
A(cid:62) 𝑏 1𝑏(cid:112) 𝑎 B−(cid:62)32(cid:112)𝑎 𝜋 C(cid:62)3(cid:112)
★
全D(cid:62) 科 4(cid:112)
号
众
公
注
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)A 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)教(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:70)
(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:125)(cid:112)(cid:22)(cid:115)(cid:126)(cid:127)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19) =1(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:130)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
𝑥
1
=1+ (cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:131)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:130)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
3 4
2𝑥+ 1−3𝑥
(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:24)(cid:25) + =1(cid:22)(cid:55)b(cid:69)(cid:132)(cid:36)(cid:78)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:131)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:130)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
𝑥 𝑥
𝑏 𝑏
(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:24)(cid:25) = +4(cid:22)(cid:55)a(cid:69)(cid:132)(cid:36)(cid:78)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:131)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
𝑥
𝑎−3 𝑎
+1=0(cid:22)(cid:55)(cid:56) (cid:69)(cid:132)(cid:36)(cid:78)(cid:131)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:130)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
2𝑥+3𝑦
(cid:133)𝜋(cid:100)(cid:134)(cid:135)(cid:10)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝜋(cid:25)(cid:32)(cid:38)1(cid:112)(cid:70)
(cid:130)(cid:136)(cid:10)A(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)1-1(cid:19)(cid:67)2024(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)·(cid:141)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
6 10 5
A(cid:62) = B(cid:62) = C(cid:62) =2 D(cid:62) =
3 1 3 6
𝑥 3𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)D 𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥+ −3(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:142)(cid:143)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:84)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:124)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:125)(cid:51)(cid:22)(cid:115)(cid:84)(cid:128)(cid:147)(cid:113)(cid:62)
6
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)A(cid:148) = (cid:78)(cid:22)(cid:55)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)(cid:149)(cid:136)(cid:51)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
3
𝑥
𝑥
10 5
B(cid:148) = (cid:78)(cid:22)(cid:55)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)(cid:149)(cid:136)(cid:51)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
𝑥 𝑥−1
C(cid:148) =2(cid:78)(cid:22)(cid:55)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)(cid:149)(cid:136)(cid:51)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
1
3𝑥
𝑥+
D(cid:148) = (cid:78)(cid:22)(cid:55)(cid:131)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)(cid:149)(cid:136)(cid:51)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
3 6
𝑥 𝑥
(cid:130)(cid:136)(cid:10)D(cid:62)−3
1 5
(cid:15)(cid:137)(cid:23)1-2(cid:19)(cid:67)2025(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:153)(cid:154)·(cid:141)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:10)① =2(cid:78)② =3(cid:78)③ = (cid:78)④ +
7 3 2 4
3−𝑥 𝑥 4𝑥−1 𝑥+ 𝑥
=5(cid:78)⑤
1
+1=0(cid:56)(cid:78)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:67)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:9)(cid:68)(cid:10) (cid:62)
𝜋 − 𝑚
2
𝑥
𝑛 (cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)⑤ 𝑥+
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:125)(cid:112)(cid:126)(cid:127)(cid:84)(cid:128)(cid:62)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:158)(cid:119)(cid:159)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:22)(cid:55)
(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:69)(cid:30)(cid:144)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
+
A
1 5 科 A
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:24)(cid:25)① =2(cid:148)② =3(cid:148)③ = (cid:148)④ +全=5(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:160)(cid:131)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:78)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)
7 3 2 4 号 ★
3−𝑥 𝑥 4𝑥−1 𝑥+ 众 𝑥 𝑥
公
1 𝜋 关 注− 𝑚 𝑛
(cid:24)(cid:25)(cid:78)⑤ +1=0(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)，(cid:36)(cid:78)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)
2 资 源
辅
教
(cid:134)(cid:161)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝑥+(cid:25)(cid:38)⑤(cid:62)
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10)⑤(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)1-3(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:167)① + 1 (cid:78)② 1 = +4(cid:78)③ + =6(cid:78)④ =1
2
2 𝑥 2𝑥
(cid:56)(cid:78)(cid:29)(cid:56)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77)(cid:67)(cid:168)(cid:168)(cid:68) 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎−3 𝑎 5𝑥 𝑥−3
A(cid:62)1 𝑥 B(cid:62)2 C(cid:62)3 D(cid:62)4
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)A
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:169)(cid:170)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:146)(cid:126)(cid:127)(cid:84)(cid:128)(cid:171)(cid:172)(cid:113)(cid:114)(cid:62)
1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)① + (cid:78)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)①(cid:173)(cid:174)(cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
2
1 𝑥 −𝑥 𝑥
② = +4(cid:69)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)②(cid:173)(cid:174)(cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
𝑎−3 𝑎 𝑎
③ + =6(cid:78)(cid:69)(cid:92)(cid:54)(cid:92)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:131)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)③(cid:173)(cid:174)(cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
2
𝑥
5𝑥
④ =1(cid:78)(cid:69)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:130)④(cid:176)(cid:177)(cid:78)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
2𝑥
(cid:3)𝑥−(cid:111)3 (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)𝑥 (cid:112)(cid:36)(cid:77)1(cid:112)(cid:78)
∴ 𝑥(cid:130)(cid:136)(cid:10)A(cid:62)
(cid:15)(cid:178)(cid:179)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
【题型2 解分式方程】
3 4 1 2
(cid:15)(cid:96)2(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:165)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) = (cid:32)(cid:30)(cid:77) (cid:62)
4 5 2 3
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
7
𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ −𝑥+
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) =
2
𝑥 − 1
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:144)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:176)(cid:177)(cid:185)(cid:75)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:187)(cid:69)(cid:30)(cid:188)(cid:189)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62) (cid:190)(cid:75)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:187) +
4
1 1 1 1−𝑥+ −1
= + (cid:78)(cid:191)(cid:145)(cid:92)(cid:94)(cid:76)(cid:89)(cid:192)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:30)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
5 2 3
𝑥+ 1−𝑥+ −1 𝑥+ 3 4 1 2
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:186)(cid:24)(cid:25) = (cid:128)(cid:137)(cid:187)(cid:77)(cid:78)
4 5 2 3
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
1 1
𝑥+
1
−𝑥+ 1𝑥+ −𝑥+
+ = + (cid:78)
4 5 2 3
1−𝑥+ −1 1𝑥+
1
1−𝑥
1
+ −11 𝑥+
(cid:76)(cid:89)(cid:171)(cid:78) = (cid:78)
5 4 3 2
1 + 1 𝑥+ = −𝑥 1 + + 𝑥1+ (cid:78) −𝑥+ A A +
5 2 3 4 全 科
★
号
∴𝑥+ 𝑥7+ 𝑥+ 𝑥+ 7 公 众
(cid:84) 2) = 4) (cid:78) ， 关 注
2𝑥+ 2𝑥+ 源
资
(𝑥+
+
5)
7
(𝑥
=
+
0(cid:78)
(𝑥+3)(𝑥+教 辅
∴2𝑥 7
(cid:30)(cid:171)(cid:10) = (cid:78)
2
𝑥 − 7
(cid:193)(cid:194)(cid:78)(cid:195) = (cid:196)(cid:197) + + + +4) 0(cid:78)
2
𝑥 − (7𝑥 5)(𝑥 2)(𝑥 3)(𝑥 ≠
(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:77) = (cid:62)
2
∴ 𝑥 7 −
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10) =
2
𝑥 − 1 10
(cid:15)(cid:137)(cid:23)2-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:180)(cid:198)(cid:199)(cid:101)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:11)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:203)(cid:78)(cid:38)(cid:204)(cid:109)(cid:94)(cid:95)(cid:10)
2
①(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:7)(cid:22)(cid:55)( )( +5) 𝑥−5 𝑥 −25
②(cid:171)(cid:172)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:77) +5=𝑥1−0(cid:78)5 (cid:30)𝑥(cid:171) =5
③(cid:75) =5(cid:196)(cid:197)(cid:172)(𝑥 )( +5)(cid:56)(cid:78)(𝑥 )( +5)=0
④(cid:171)(cid:172)𝑥 (cid:205)(cid:206)(cid:10) =𝑥5−(cid:69)5(cid:149)(cid:22)𝑥 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)𝑥−5 𝑥
(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:172)(cid:200)(cid:201)(cid:202)𝑥(cid:11)(cid:32)(cid:30)(cid:20)(cid:210)(cid:25)(cid:78)(cid:211)(cid:212)(cid:38)(cid:92)(cid:213)(cid:173)(cid:174)(cid:78)(cid:214)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:157)(cid:9)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
A(cid:62)① B(cid:62)② C(cid:62)③ D(cid:62)④(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)D
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:120)(cid:121)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:148)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:215)(cid:216)(cid:193)(cid:194)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
(cid:217)(cid:218)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:125)(cid:94)(cid:126)(cid:127)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
1 10
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) =
2
1 1𝑥0−5 𝑥 −25
=
( +5)( )
𝑥(cid:85)−(cid:86)5(cid:202)(cid:87)𝑥(cid:161)(cid:88)(cid:89)𝑥(cid:7)−(cid:22)5(cid:55)( )( +5)(cid:171)(cid:10)
(cid:171)(cid:172)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:77) +5=𝑥1−0(cid:78)5 (cid:30)𝑥(cid:171) =5(cid:78)
(cid:193)(cid:194)(cid:10)(cid:219) =5(cid:203)𝑥(cid:78)( +5)( )=𝑥0(cid:78)
(cid:134)(cid:161)(cid:149)(cid:22)𝑥(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:30)𝑥(cid:78)(cid:84)④𝑥(cid:173)−5(cid:174)(cid:62)
(cid:130)(cid:136)(cid:10)D(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)2-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:220)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:221)(cid:222)(cid:151)(cid:223)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:224) 1 = ( 1)(cid:78)(cid:214) = (cid:62)
𝑥−𝑎
𝑒 𝑥+𝑎 𝑒≠ 𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)
𝑒𝑎+𝑎 A +
A
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72) 𝑒− (cid:20) 1 (cid:116)(cid:117)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:30)(cid:225)(cid:55)(cid:226)(cid:36)(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:24)全(cid:52) 科 (cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)(cid:4)(cid:152)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
★
号
众
公
注
(cid:193)(cid:194)(cid:123)(cid:62) 关
，
源
资
辅
(cid:190)(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:78)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)教(cid:192)(cid:76)(cid:143)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:227)(cid:228)(cid:191)(cid:193)(cid:194)(cid:123)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:202)(cid:203)(cid:87)(cid:161) ( + )(cid:78)(cid:171)
+ = 𝑒 𝑥 𝑎
𝑥 𝑎 𝑒𝑥−𝑒𝑎
(cid:30)(cid:171)(cid:10) =
𝑒𝑎+𝑎
𝑥 𝑒−1
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:10) = (cid:69)(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
𝑒𝑎+𝑎
𝑥 𝑒−1
(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:10) = (cid:62)
𝑒𝑎+𝑎
∴ 𝑥 𝑒−1
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10) (cid:62)
𝑒𝑎+𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:23)2-3(cid:19) 𝑒− (cid:67) 1 24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:180)(cid:181)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:230)(cid:231)(cid:109)(cid:110)(cid:232)(cid:23)(cid:10)
1 1 1 1 1 1 1 1
= (cid:78) = (cid:78) =
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1− 1 − 1 1 −
(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:171)(cid:212)(cid:10) =
( 1) 1
(cid:75)(cid:161)(cid:100)(cid:236)(cid:112)(cid:232) 𝑚 (cid:23) 𝑚 (cid:85) + (cid:86)(cid:22)(cid:237)𝑚−(cid:238)𝑚(cid:239)+(cid:171)(cid:10)1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + = + + = =
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
(cid:123)(cid:124)(cid:161)(cid:100)(cid:240)(cid:241)(cid:78)(cid:34)(cid:212)(cid:109)(cid:242)1(cid:22)−(cid:23)(cid:24)(cid:25)−(cid:10) − 1−
1 1 1 1
+ + + =1(cid:32)(cid:30)(cid:69) (cid:62)
( ) ( )( ) ( )( )
𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−3
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) =4
𝑥 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:78)(cid:171) = , = , = (cid:78)(cid:34)(cid:243)(cid:39)(cid:241)(cid:30)(cid:113)(cid:84)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(cid:128)(cid:62) 𝑥 𝑥−1 𝑥−1 −𝑥 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−2 − 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−3 − 𝑥−2
(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:244)(cid:245)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:52)(cid:78)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:241)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:78)(cid:171) = , = , = (cid:78)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1 𝑥 𝑥− 1 1 𝑥−1 −𝑥 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−2 − 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−3 − 𝑥−2
(cid:130) + + + =1(cid:137)(cid:187)(cid:77)(cid:10)
( ) ( )( ) ( )( )
1 𝑥 𝑥1𝑥−1 1 𝑥−1 1𝑥−2 𝑥1−2 𝑥−3 1 1
+ + + =1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
− − −
1
(cid:39)𝑥 (cid:241)(cid:78)𝑥−(cid:171)1 𝑥 =1𝑥(cid:78)−2 𝑥−1 𝑥−3 𝑥−2
( )
+
A
A
(cid:30)(cid:171) =4 𝑥 (cid:78) −3 ★ 全 科
号
众
公
注
(cid:229)(cid:193)𝑥(cid:194)(cid:78) =4(cid:69)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:123)(cid:78) 关
，
源
资
辅
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)𝑥(cid:10) =4(cid:62) 教
【题型3 由 𝑥 分式方程解的值的求参数】
2 1
(cid:15)(cid:96)3(cid:19)(cid:67)2025·(cid:246)(cid:102)(cid:180)(cid:247)·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:68)(cid:200)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:143)(cid:20)(cid:256)(cid:10)(cid:30)(cid:24)(cid:25) + =0(cid:62)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:92)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:260)(cid:261)
2
(cid:131)(cid:262)(cid:78)(cid:117)(cid:263)(cid:113)(cid:114)(cid:228)(cid:257)(cid:258)(cid:264)(cid:253)(cid:113)(cid:114)(cid:69) = (cid:78)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:200)(cid:252)(cid:240)(cid:127)(cid:260)(cid:261) □ (cid:131)𝑥(cid:262)+(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:128)(cid:158)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
A(cid:62) B(cid:62) 𝑥 −1 C(cid:62) +4 D(cid:62)
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)𝑥−A1 −𝑥−4 𝑥 𝑥 −1
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:148)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:238)(cid:3)(cid:59)(cid:269)(cid:178)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)(cid:270)(cid:260)(cid:261)(cid:131)(cid:262)(cid:32)(cid:22)(cid:55)
2 1
(cid:77) (cid:78)(cid:31)(cid:20)(cid:152)(cid:171) + =0(cid:78)(cid:171)(cid:212) = (cid:78)(cid:191)(cid:125)(cid:51)(cid:22)(cid:115)(cid:84)(cid:128)(cid:126)(cid:127)(cid:62)
2
(cid:15)𝑦(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:270) 𝑦 (cid:260)(cid:261)−1(cid:131)+ (cid:262)(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:77)𝑦(cid:78)−2
2 1 𝑦
(cid:31)(cid:20)(cid:152)(cid:171)(cid:78) + =0(cid:78)
2
(cid:30)(cid:171)(cid:10) = 𝑦 (cid:78)−1+
A(cid:148)(cid:219) 𝑦= −2(cid:203)(cid:78) = = (cid:78)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
𝑥 −1 𝑥−1 −1−1 −2B(cid:148)(cid:219) = (cid:203)(cid:78) = = (cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
C(cid:148)(cid:219)𝑥= −1(cid:203)(cid:78)−+𝑥−44= −1+−44=−35≠−(cid:78)2 (cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
D(cid:148)(cid:219)𝑥 =−1(cid:203)(cid:78)𝑥 =−(1 ) =≠0 −2 (cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
2 2
(cid:130)(cid:136)(cid:10)𝑥A(cid:62)−1 𝑥 −1 −1 −1 ≠−2
(cid:15)(cid:137)(cid:23)3-1(cid:19)(cid:67)2025·(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:101)·(cid:92)(cid:248)(cid:68)(cid:24)(cid:25)
4
= (cid:32)(cid:30)(cid:69) =2(cid:78)(cid:214) (cid:32)(cid:33)(cid:67) (cid:68)
+𝑎
A(cid:62)0 B(cid:62)1 𝑥−1 C(cid:62)2𝑥 𝑥 𝑎D(cid:62)(cid:37)(cid:30)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)A −1
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:113)(cid:84)(cid:128)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:120)(cid:121)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)
(cid:122)(cid:62)
4
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) (cid:24)(cid:25) = (cid:32)(cid:30)(cid:69) =2(cid:78)
+𝑎
4 ∵ 𝑥−1 2𝑥 𝑥
=2×2(cid:78)
+𝑎
∴2− = 1 0(cid:78)
+
A
∴(cid:130)𝑎(cid:136)(cid:10)A(cid:62) 科 A
全
★
号
众
公
(cid:15)(cid:137)(cid:23)3-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)·(cid:166)关(cid:183)(cid:68)注(cid:278)(cid:59) =1(cid:69)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) + =1(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:279)(cid:280)k(cid:32)(cid:33)
，
源 𝑘 𝑥−1
资
(cid:77)(cid:67) (cid:68) 教 辅 𝑥 𝑥 𝑥−3
A(cid:62)0 B(cid:62)1 C(cid:62)2 D(cid:62)4
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)B
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:195) =1(cid:196)(cid:197)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:145)(cid:146)(cid:34)(cid:30)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
𝑥
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:195) =1(cid:196)(cid:197) + =1(cid:78)(cid:171)(cid:10) +0=1(cid:78)
𝑘 𝑥−1
=1(cid:70) 𝑥 𝑥 𝑥−3 𝑘
(cid:130)∴𝑘(cid:136)B(cid:62)
1
(cid:15)(cid:137)(cid:23)3-3(cid:19)(cid:67)2024(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:153)(cid:154)·(cid:141)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:224)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =5(cid:281)(cid:24)(cid:25) =3(cid:32)(cid:30)(cid:238)(cid:202)(cid:78)(cid:214)m
3−𝑚𝑥 2𝑥+
(cid:32)(cid:33)(cid:77)( )
𝑥−2 𝑥−1
7 7 4 4
A(cid:62) B(cid:62) C(cid:62) D(cid:62)
4 4 7 7
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)−A −
1
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:34)(cid:212)(cid:24)(cid:25) =3(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:195)(cid:30)(cid:196)(cid:197)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =5(cid:34)
2𝑥+ 3−𝑚𝑥
𝑥−1 𝑥−2(cid:212)m(cid:84)(cid:128)(cid:62)
1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:30)(cid:24)(cid:25) =3(cid:78)
2𝑥+
𝑥−1
(cid:171)(cid:78) =4(cid:78)
𝑥 1
(cid:229)(cid:193)(cid:194) =4(cid:69)(cid:24)(cid:25) =3(cid:32)(cid:30)(cid:78)
2𝑥+
𝑥 𝑥−1
(cid:195) =4(cid:196)(cid:197)(cid:24)(cid:25) =5(cid:78)
3−𝑚𝑥
𝑥 7 𝑥−2
(cid:171)(cid:78) = (cid:78)
4
(cid:130)(cid:136)𝑚(cid:10)A(cid:62)−
【题型4 由分式方程无/有解求参数】
(cid:15)(cid:96)4(cid:19)(cid:67)2025·(cid:271)(cid:272)(cid:181)(cid:282)·(cid:283)(cid:248)(cid:68)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:24)(cid:25) + =0(cid:92)(cid:48)(cid:38)(cid:123)(cid:78)(cid:214) (cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:77)(cid:67) (cid:68)
3 6
𝑚 𝑥
𝑥 𝑥+ 2𝑥+ 𝑚
3
A(cid:62) B(cid:62) C(cid:62) > D(cid:62) <0
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)𝑚A≠ 𝑚≠−3 𝑚 −3 𝑚
+
A
A
科
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:161)(cid:28)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:123)(cid:32)(cid:284)(cid:285)(cid:78)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)全(cid:161)(cid:100)(cid:59)(cid:269)(cid:178)(cid:69)(cid:30)(cid:113)(cid:72)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
★
号
众
公
注
关 3
(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:171) = (cid:78)(cid:31)(cid:22) 资 (cid:23)(cid:24) 源 (cid:25)(cid:38)，(cid:123)(cid:32)(cid:284)(cid:285)(cid:171) (cid:78)(cid:134)(cid:161) (cid:78)(cid:30)(cid:171) 2 (cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:171)(cid:30)(cid:62)
辅
教
𝑥 −2𝑚 𝑥≠−3 −2𝑚≠−3 𝑚≠
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) + =0(cid:78)
3 6
𝑚 𝑥
𝑥+ 2𝑥+
(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:202)(cid:87)2( +3)(cid:78)(cid:171) + =0(cid:78)
(cid:30)(cid:171)(cid:10) = 𝑥(cid:78) 2𝑚 𝑥
𝑥 −2𝑚
(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:24)(cid:25) + =0(cid:92)(cid:48)(cid:38)(cid:123)(cid:78)
3 6
𝑚 𝑥
∵ 2( +𝑥3) 0(cid:78) 𝑥+ 2𝑥+
∴ 𝑥 (cid:78)≠
(cid:75)∴𝑥≠−3(cid:196)(cid:197) = (cid:78)(cid:171) (cid:78)
𝑥≠−33 𝑥 −2𝑚 −2𝑚≠−3
(cid:78)
2
(cid:130)∴(cid:136)𝑚(cid:10)≠A(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)4-1(cid:19)(cid:67)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:101)(cid:102)(cid:286)(cid:287)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:224)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
2
+
1
=1(cid:37)(cid:30)(cid:78)(cid:214)a(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:67) (cid:68)
𝑎+
A(cid:62)0 B(cid:62)1 C(cid:62)1(cid:288)5 𝑥 D − (cid:62) 5 5 5−𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)B(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:32)(cid:189)(cid:20)(cid:78)(cid:190)(cid:195)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:191)(cid:30)(cid:212)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:227)(cid:228)(cid:123)(cid:124)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:78)(cid:128)(cid:171) =5(cid:78)(cid:191)(cid:196)(cid:197)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:34)(cid:30)(cid:62)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:82)(cid:22)(cid:55)𝑥(cid:171)(cid:10) ( +1)= (cid:78)
(cid:30)(cid:171)(cid:10) = (cid:78) 2− 𝑎 𝑥−5
(cid:289)(cid:77)(cid:22)𝑥(cid:23)(cid:24)6(cid:25)−(cid:37)𝑎 (cid:30)(cid:78)
(cid:134)(cid:161) =0(cid:78)
(cid:84) =𝑥−55(cid:78)
(cid:195)𝑥=5(cid:196)(cid:197)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:10)5= (cid:78)
(cid:30)𝑥(cid:171)(cid:10) =1(cid:62) 6−𝑎
(cid:130)(cid:136)(cid:10)𝑎B(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)4-2(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:198)(cid:290)(cid:291)(cid:104)·(cid:292)(cid:11)(cid:116)(cid:293)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:294)(cid:38)(cid:30)(cid:78)(cid:214)m(cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62)
( )( 2)
𝑥 𝑚
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)3(cid:288)0
𝑥−1−1 𝑥−1 𝑥+
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:24)(cid:25)(cid:190)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:77) = +2(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:294)(cid:38)(cid:30)(cid:78)(cid:84)(cid:77)( )( +2)=0(cid:78)(cid:34)(cid:212)x(cid:228)(cid:196)
+
A
A
科
(cid:197)(cid:100)(cid:23)(cid:84)(cid:128)(cid:34)(cid:212)m(cid:32)(cid:33)(cid:62) 𝑚 𝑥 ★ 全 𝑥−1 𝑥
号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:24)(cid:25) = (cid:78)，
( )( 源2)
𝑥 辅 资𝑚
教
(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:171) ( +2)
𝑥
(
−1−1
)( +
𝑥−
2
1
)
𝑥
=
+
(cid:78)
(cid:76)(cid:89)(cid:78)(cid:171)𝑥 𝑥= +−2(cid:78)𝑥−1 𝑥 𝑚
(cid:24)(cid:25)(cid:294)(cid:38)𝑚(cid:30)(cid:78)𝑥
∵( )( +2)=0(cid:78)
∴ 𝑥=−11(cid:288)𝑥 = (cid:78)
∴𝑥 =3(cid:288)𝑥 =−02(cid:70)
∴(cid:130)𝑚(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10)𝑚3(cid:288)0(cid:62)
(cid:15)(cid:178)(cid:179)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:189)(cid:20)(cid:78)(cid:176)(cid:177)(cid:241)(cid:30)(cid:20)(cid:152)(cid:148)(cid:120)(cid:121)(cid:30)(cid:113)(cid:32)(cid:24)(cid:52)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
6 3
(cid:15)(cid:137)(cid:23)4-3(cid:19)(cid:67)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:153)(cid:154)·(cid:295)(cid:228)(cid:147)(cid:296)(cid:68)(cid:224)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:38)(cid:30)(cid:78)(cid:214)k(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)
( )
𝑥+ 𝑘
(cid:69) (cid:62) 𝑥−1 𝑥 𝑥−1 −𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) (cid:297)
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)𝑘(cid:190)≠(cid:34)−(cid:212)3(cid:298)(cid:22)𝑘≠(cid:23)(cid:24)−5(cid:25)(cid:37)(cid:152)(cid:49)(cid:203)(cid:78)k(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:78)(cid:191)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:73)(cid:302)(cid:34)(cid:212)(cid:219)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:30)(cid:203)k(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:62)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:87) ( )(cid:78)(cid:171) = + ( )①(cid:62)
𝑥 𝑥−1 6𝑥 𝑥 3−𝑘 𝑥−1(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:30)(cid:78)
∵ 3
(cid:30)(cid:24)(cid:25)①(cid:78)(cid:171) = (cid:78)
5
+𝑘
∴3 3 𝑥 +𝑘
0(cid:297) 1(cid:78)(cid:30)(cid:171) (cid:62)
5 5
+𝑘 +𝑘
∴x+(cid:303)𝑘≠(cid:167)(cid:78) +𝑘≠ 𝑘≠−3
∵3
(cid:64)(cid:38)(cid:152)(cid:49)(cid:78)
5
+𝑘
∴ +𝑘 (cid:62)
∴k𝑘(cid:32)≠(cid:40)−5(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:69) (cid:297) (cid:62)
∴(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10) 𝑘≠(cid:297)−3 𝑘≠(cid:62)−5
(cid:15)(cid:178)(cid:179)(cid:19)(cid:72)𝑘(cid:20)≠(cid:116)−(cid:117)3(cid:22)(cid:23)𝑘≠(cid:24)(cid:25)−5(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:161)(cid:28)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:152)(cid:49)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:158)(cid:304)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:24)(cid:52)(cid:69)(cid:30)(cid:188)(cid:72)(cid:20)
(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
【题型5 由分式方程的整数解求参数】
2
(cid:15)(cid:96)5(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:271)(cid:272)(cid:305)(cid:165)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:67) >3(cid:78)(cid:297)+(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:68)(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)
A
𝑚 科 A
全
(cid:214) (cid:32)(cid:128)(cid:158)(cid:40)(cid:33)(cid:32)(cid:243)(cid:77)(cid:67) (cid:68) 𝑥
号𝑥−3★𝑥
𝑚 𝑚
众
公
注
关
𝑚A(cid:62)15 B(cid:62)17 源 ， C(cid:62)22 D(cid:62)28
资
辅
教
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)B
6
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:306)(cid:307)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:78)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:212) = =3+ (cid:78)
3𝑚
(cid:205)(cid:151) >3(cid:78)(cid:297) (cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78) (cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)(cid:171)(cid:212) (cid:128)(cid:40)4(cid:78)5(cid:78)8(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:171)(cid:30)(cid:62) 𝑥 𝑚−2 𝑚−2
𝑚 2𝑚 𝑥 𝑚
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) = (cid:78)
𝑚
𝑥−3 𝑥
(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:171)(cid:10) = ( )(cid:78)
(cid:82)(cid:308)(cid:9)(cid:171)(cid:10)2𝑥=𝑚 𝑥−3 (cid:78)
(cid:309)(cid:51)(cid:171)(cid:10)( 2𝑥 ) 𝑚=𝑥−3𝑚(cid:78)
2−𝑚 𝑥 −3𝑚 6
(cid:226)(cid:36)(cid:76)(cid:77)1(cid:171)(cid:10) = =3+ (cid:78)
3𝑚
>3(cid:78)(cid:297) (cid:77)𝑥(cid:39)(cid:36)𝑚(cid:78)−2(cid:77)(cid:39)(cid:36) 𝑚 (cid:78) −2
∵𝑚 =2,3𝑚,6 𝑥
∴𝑚−(cid:128)2(cid:40)4(cid:78)5(cid:78)8(cid:78)
∴𝑚(cid:32)(cid:128)(cid:158)(cid:40)(cid:33)(cid:32)(cid:243)(cid:77)4+5+8=17(cid:78)
∴𝑚(cid:130)(cid:136)(cid:10)B(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)5-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:310)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:101)(cid:102)(cid:311)(cid:312)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) + = (cid:38)(cid:313)(cid:314)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:214) (cid:32)
𝑦 𝑎
(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:77) (cid:62) 𝑦 𝑦−2 2−𝑦 −1 𝑎
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) (cid:297) 2
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)𝑎(cid:72)≥(cid:20)−(cid:116)2(cid:117)(cid:123)𝑎(cid:124)≠(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:306)(cid:307)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:41)(cid:42)(cid:78)(cid:190)(cid:34)(cid:212)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:306)(cid:307)(cid:205)
(cid:151)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:152)(cid:49)(cid:78)(cid:110)(cid:212)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:145)(cid:146)(cid:34)(cid:30)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:30) + = (cid:78)(cid:171)(cid:10) =1+ (cid:78)
2
𝑦 𝑎 𝑎
(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:313)(cid:314)(cid:39)(cid:36) 𝑦− (cid:30) 2 (cid:78) 2−𝑦 −1 𝑦
∵ 0(cid:297) 0(cid:78)
∴𝑦≥ 𝑦−2≠
1+ 0(cid:297)1+ 2(cid:78)
2 2
𝑎 𝑎
∴ ≥(cid:297) 2(cid:70)≠
∴(cid:130)𝑎(cid:113)≥(cid:114)−(cid:77)2(cid:10)𝑎≠ (cid:297) 2(cid:62)
+
A
(cid:15)(cid:137)(cid:23)5-2(cid:19) 𝑎 (cid:67) ≥ 2 − 2- 2 23(cid:97) 𝑎≠ (cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:315)(cid:181)(cid:316)(cid:287)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:224)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)全 3 科 = A (cid:38)(cid:176)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:214)(cid:39)(cid:36)m(cid:32)(cid:33)(cid:69)
★
众 号 𝑚
公
(cid:67) (cid:68) 关
注 𝑥−2 𝑥
，
源
资
辅
A(cid:62)2 教B(cid:62)5 C(cid:62)2(cid:288)5 D(cid:62)5(cid:288)7
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)B
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:190)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:78) = (cid:78)(cid:289)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:176)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:145)(cid:317)(cid:128)(cid:171)(cid:172)(cid:39)(cid:36)m(cid:32)(cid:33)(cid:62)
𝑚
𝑥 3 𝑚−2
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:78) = (cid:78)
𝑚
𝑥−2 𝑥
(cid:128)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78) = ( )(cid:78)
3𝑥 𝑚 𝑥−2
(cid:30)(cid:171) = ( 3)(cid:78)
2𝑚
𝑥 𝑚−3 𝑚≠
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:78) = ( 3)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
2𝑚
𝑥 2 𝑚−3 𝑚≠
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:38)(cid:176)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)
𝑚
(cid:219)∵ =2(cid:203) 𝑥 (cid:78) −1 = 𝑥 (cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
(cid:219)𝑚=5(cid:203)(cid:78)𝑥=−5(cid:78)4(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:78)
𝑚 𝑥 14 7
(cid:219) =7(cid:203)(cid:78) = = (cid:78)(cid:131)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:70)
4 2
(cid:39)𝑚(cid:36)m(cid:32)(cid:33)𝑥(cid:69)5(cid:78)
∴(cid:130)(cid:136)(cid:10)B(cid:62)
(cid:15)(cid:178)(cid:179)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:30)(cid:188)(cid:72)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:69)(cid:253)(cid:177)(cid:34)(cid:212)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:62)
5 3
(cid:15)(cid:137)(cid:23)5-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:271)(cid:272)(cid:318)(cid:101)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:224)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319) 3𝑥+ 4 +1 >𝑥+ 2 (cid:37)(cid:30)(cid:78)(cid:297)(cid:3)(cid:111)y(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
2≤ 2
𝑥+𝑎
𝑥
3
(cid:25) = (cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:214)(cid:320)(cid:321)(cid:284)(cid:285)(cid:32)(cid:39)(cid:36)a(cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62)
5−𝑎𝑦
(cid:15)(cid:113)
2−
(cid:114)
𝑦−(cid:19)12(cid:288) 𝑦−
3
2
(cid:288)7
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:32)(cid:37)(cid:30)(cid:148)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:30)(cid:188)(cid:72)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:69)(cid:123)(cid:124)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:32)(cid:37)(cid:30)(cid:28)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:177)(cid:48)a(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:62)(cid:123)(cid:124)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:37)(cid:30)(cid:177)(cid:48)a(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:78)(cid:191)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:177)(cid:48)a
(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:78)(cid:322)(cid:317)(cid:34)(cid:212)(cid:150)(cid:151)(cid:284)(cid:285)(cid:32)(cid:134)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:84)(cid:128)(cid:171)(cid:205)(cid:206)(cid:62)
5 3
4 2
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) 3𝑥++1 >𝑥+ (cid:78)
2≤ 2 ①
𝑥+𝑎
∵
𝑥 ②
(cid:30)(cid:131)(cid:232)(cid:23)①(cid:171)(cid:10) 1(cid:70)
(cid:30)(cid:131)(cid:232)(cid:23)②(cid:171)(cid:10)𝑥≤> (cid:78)
+
A
科
A
5𝑥 𝑎3−1 ★ 全
号
4 2 众
(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319) 3𝑥++1 >𝑥+ (cid:37)(cid:30)(cid:78) 注 公
关
2≤ 2 ① ，
𝑥+𝑎 源
∵
1(cid:78)
𝑥 教②辅 资
∴(cid:30)𝑎(cid:171)−1≥ 2(cid:70)
𝑎≥ 3
=
5−𝑎𝑦
∵(cid:82) 2 (cid:22) −𝑦 (cid:55)−(cid:171)1(cid:10) 𝑦−2 + = (cid:78)
5−𝑎6𝑦−2 𝑦 −3
(cid:39)(cid:241)(cid:78)(cid:171) = (cid:78)
(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:39)𝑦(cid:36)(cid:30) 𝑎− (cid:78) 1
∵ =±1(cid:78) =±2(cid:78) =±3(cid:78) =±6
(cid:30)∴𝑎(cid:171)−1 = =𝑎0−(cid:78)1 = 𝑎−=13(cid:78) = 𝑎−1=4(cid:78) = =7
𝑎2(cid:78)2,𝑎 𝑎 −1,𝑎 𝑎 −2,𝑎 𝑎 −5,𝑎
∵(cid:150)𝑎≥(cid:151)(cid:20)(cid:152)(cid:32)(cid:39)(cid:36)a(cid:32)(cid:33)(cid:77)2,3,4,7(cid:78)
∴ =2(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:78)
∵(cid:144)𝑦(cid:203) +2= (cid:78)
(cid:30)(cid:171)5−=2𝑎4−(cid:78)2 −3
𝑎(cid:150)(cid:151)(cid:284)(cid:285)(cid:32)(cid:134)(cid:38)(cid:39)(cid:36)a(cid:77)2,3,7(cid:62)
(cid:130)∴ (cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10)2(cid:288)3(cid:288)7(cid:62)
【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】
(cid:15)(cid:96)6(cid:19)(cid:67)2025·(cid:138)(cid:139)(cid:140)·(cid:56)(cid:116)(cid:323)(cid:20)(cid:68)(cid:278)(cid:59)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =3(cid:30)(cid:77)(cid:314)(cid:36)(cid:78)(cid:214) (cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:67) (cid:68)
𝑥+𝑘 2𝑘
𝑥 𝑥−4−4−𝑥 4 𝑘 4
A(cid:62) < B(cid:62) > C(cid:62) < (cid:297) D(cid:62) > (cid:297)
3 3
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)𝑘 A −4 𝑘 −4 𝑘 −4 𝑘≠− 𝑘 −4 𝑘≠−
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:324)(cid:190)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:192)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:34)(cid:212)(cid:30)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:325)(cid:326)(cid:23)(cid:78)(cid:191)(cid:205)(cid:151)(cid:30)(cid:77)(cid:314)(cid:36)
(cid:28)(cid:22)(cid:55)(cid:131)(cid:77)(cid:327)(cid:32)(cid:284)(cid:285)(cid:177)(cid:48) (cid:32)(cid:41)(cid:42)(cid:62) 𝑘
𝑘
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) =3(cid:78)
𝑥+𝑘 2𝑘
𝑥−4−4−𝑥
(cid:171) =3(cid:78)
𝑥+3𝑘
(cid:171)𝑥− + 4 = (cid:78)
(cid:30) 𝑥 (cid:171)(cid:10) 3𝑘 = 3𝑥 2 1−21 (cid:78) 2 全 科 A A +
3𝑘+ ★
号
众
𝑥 12 公
(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:78)(cid:30) = <0(cid:78) 关 注
2 ，
3𝑘+ 源
资
辅
(cid:84) +12<0𝑥(cid:78) 教
(cid:30)3(cid:171)𝑘(cid:10) < (cid:78)
(cid:22)(cid:55)𝑘 −40(cid:78)
(cid:84)∵ 4𝑥(cid:78)−4≠
𝑥≠12
(cid:84) 4(cid:78)
2
3𝑘+
≠ 4
(cid:30)(cid:171)(cid:10) (cid:78)
3
< 𝑘≠(cid:78)−
(cid:130)∴(cid:136)𝑘 (cid:10)−A(cid:62)4
3
(cid:15)(cid:137)(cid:23)6-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:140)(cid:291)(cid:328)(cid:221)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:278)(cid:59)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = +1(cid:32)(cid:30)(cid:320)(cid:321) < <
( )( 3)
𝑥+ 𝑘
(cid:78)(cid:297)k(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)(cid:214)(cid:150)(cid:151)(cid:284)(cid:285)(cid:32)(cid:134)(cid:38)k(cid:33)(cid:32)(cid:243)(cid:77) (cid:62) 𝑥−2 𝑥−2 𝑥+ −2 𝑥
−(cid:15)1(cid:113)(cid:114)(cid:19)30
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:32)(cid:329)(cid:330)(cid:62)(cid:324)(cid:190)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:128)(cid:171) = +15(cid:78)(cid:191)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)
(cid:320)(cid:321) < < (cid:78)(cid:128)(cid:171) (cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:78)(cid:191)(cid:123)(cid:124) (cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)(cid:177)(cid:48) (cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:306)(cid:307)𝑘(cid:78)(cid:84)5(cid:128)𝑥 (cid:34)(cid:30)(cid:62)
−2 𝑥 −1 𝑘 𝑘 𝑘3
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:30)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = +1(cid:78)
( )( 3)
𝑥+ 𝑘
(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:171)(cid:10)( +3) = 𝑥 +( )( 𝑥− + 2 3)(cid:78) 𝑥−2 𝑥+
2
(cid:309)(cid:51)(cid:148)(cid:39)(cid:241)(cid:171)𝑥(cid:10) = 𝑘+15𝑥(cid:78)−2 𝑥
< < (cid:78) 𝑘 5𝑥
∵−5<2 <𝑥10−(cid:78)1
∴k(cid:77)𝑘(cid:39)(cid:36)(cid:78)
∵ =6(cid:288)7(cid:288)8(cid:288)9(cid:78)
∴(cid:134)𝑘 (cid:38)k(cid:33)(cid:32)(cid:243)(cid:77)6+7+8+9=30(cid:78)
∴(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10)30(cid:62)
2 5
(cid:15)(cid:137)(cid:23)6-2(cid:19)(cid:67)2025·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:331)(cid:331)(cid:332)(cid:333)·(cid:236)(cid:248)(cid:68)(cid:278)(cid:59)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) + = (cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:313)(cid:176)(cid:36)(cid:78)(cid:214) (cid:40)(cid:33)
3
𝑚𝑥
2
(cid:41)(cid:42)(cid:69)(cid:67) (cid:68) 𝑥 𝑥−3 𝑥 −9 𝑥+ 𝑚
A(cid:62) 3(cid:297) 10 B(cid:62) >3(cid:297) 10
C(cid:62)𝑚≥3(cid:297)𝑚≠ D(cid:62)𝑚 >3(cid:297)𝑚≠ 4 A +
A
科
全
★
(cid:15)(cid:113)(cid:114)𝑚(cid:19)B≤ 𝑚≠−4 𝑚 众𝑚号≠
公
注
关
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:52)源(cid:78)(cid:92)，(cid:54)(cid:92)(cid:175)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:32)(cid:30)(cid:52)(cid:78)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:167)(cid:111)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:306)(cid:307)(cid:334)
资
辅
教
(cid:335)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:62)
(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:78)(cid:190)(cid:30)(cid:212)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:191)(cid:123)(cid:124)(cid:29)(cid:30)(cid:69)(cid:313)(cid:176)(cid:36)(cid:78)(cid:334)(cid:335)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:4)(cid:152)(cid:116)(cid:336)(cid:22)(cid:55)(cid:131)(cid:77)0(cid:84)(cid:128)(cid:62)
2 5
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) + =
3
𝑚𝑥
2
2( +3)+ 𝑥− = 3 5(𝑥 −9) 𝑥+
𝑥+6+ 𝑚=𝑥 𝑥−3
2(𝑥 ) =𝑚𝑥 5𝑥−15
𝑚−3 𝑥21 −21
= (cid:78)
𝑥 (cid:22)−(cid:23) 𝑚 (cid:24) −3 (cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:313)(cid:176)(cid:36)(cid:78)
∵ 21 21 21
= 0(cid:78)(cid:297) 3(cid:78) (cid:78)
∴𝑥 −𝑚− 0 3(cid:78)≤ −𝑚−3≠ −𝑚−3≠−3
(cid:39)∵(cid:241)𝑚−(cid:171)3(cid:10)≠ >0(cid:78)(cid:297)21 (cid:78)21 + (cid:78)
(cid:30)(cid:171) >𝑚3(cid:78)−3(cid:297) (cid:78)≠9−130𝑚(cid:78) ≠−9 3𝑚
𝑚 𝑚≠−4 𝑚≠(cid:133)(cid:100)(cid:134)(cid:135)(cid:78)(cid:214) (cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:69) >3(cid:297) 10(cid:78)
(cid:130)(cid:136)(cid:10)B 𝑚 𝑚 𝑚≠
3( )<2( +1)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)6-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:63)(cid:337)(cid:338)(cid:198)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:224)(cid:39)(cid:36)a(cid:298)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)
+
(cid:38)(cid:297)(cid:339)(cid:38)
𝑥−1 𝑥
(cid:236)(cid:112)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:297)(cid:298)(cid:3)(cid:111)y(cid:32)(cid:24)(cid:25) + =4(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:313)(cid:176)(cid:36)(cid:78)(cid:214)(cid:150)(cid:151)(cid:284)(cid:285)(cid:32)(cid:134)(cid:38)5(cid:39)𝑥−(cid:36)2 a ≥(cid:32)𝑥(cid:243)(cid:77)𝑎 (cid:62)
3𝑦+𝑎 2𝑎
𝑦−1 1−𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)15
2
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:190)(cid:39)(cid:241)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:171) <5(cid:78)(cid:205)(cid:151)(cid:131)(cid:232)(cid:23)(cid:319)(cid:38)(cid:297)(cid:339)(cid:38)(cid:236)(cid:112)
4
𝑎+
2 ≤𝑥
(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:214)1< 2(cid:78)(cid:84)2< 6(cid:78)(cid:191)(cid:39)(cid:241) + =4(cid:78)(cid:171) = (cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:30)(cid:77)(cid:313)(cid:176)(cid:36)(cid:78)(cid:214) =4(cid:288)5
4
𝑎+ 3𝑦+𝑎 2𝑎
(cid:288)6(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:147)(cid:113)(cid:62) ≤ 𝑎≤ 𝑦−1 1−𝑦 𝑦 4−𝑎 𝑎
3( )<2( +1)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) (cid:78)
+
𝑥−1 𝑥 ①
(cid:31) (cid:171)(cid:10) <∵5(cid:78)5𝑥−2≥𝑥 𝑎②
∴ ① 𝑥 2
(cid:31) (cid:171)(cid:10) (cid:78)
4
𝑎+
+
A
②(cid:186)(cid:131)(cid:232)(cid:23)𝑥≥(cid:319)(cid:38)(cid:297)(cid:339)(cid:38)(cid:236)(cid:112)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)
科
A
全
★
号
众
∵(cid:90)(cid:236)(cid:112)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:340)(cid:77)4(cid:78)3(cid:78)2(cid:78) 公
注
关
，
源
∴ 1< 2 2(cid:78) 教 辅 资
4
𝑎+
(cid:30)∴(cid:171)(cid:10)2<≤ 6(cid:78)
(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑎(cid:82)≤(cid:22)(cid:55)(cid:171)(cid:10) + = (cid:78)
(cid:30)(cid:171)(cid:10) = (cid:78) 3𝑦 𝑎−2𝑎 4𝑦−4
(cid:149)(cid:22)𝑦(cid:23)(cid:24)4(cid:25)−(cid:32)𝑎 (cid:30)(cid:77)(cid:313)(cid:176)(cid:36)(cid:78)(cid:297)a(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)
∵ 0(cid:78) 1(cid:78)(cid:297)a(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)
∴4−=𝑎4≤(cid:288)5(cid:288)4−6𝑎(cid:78)≠
(cid:214)∴4𝑎+5+6=15(cid:78)
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10)15．
【题型7 分式方程的规律探索题】
1 1
(cid:15)(cid:96)7(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:271)(cid:272)(cid:143)(cid:160)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:75)(cid:22)(cid:23) (cid:243) (cid:22)(cid:237)(cid:159)(cid:77)M(cid:78)N(cid:78)(cid:265)(cid:217)(cid:109)(cid:110)(cid:94)(cid:95)(cid:341)(cid:147)(cid:10)(cid:259)(cid:92)(cid:94)(cid:78)(cid:190)
1
𝑥 𝑥+
(cid:244)(cid:245) + (cid:78)(cid:205)(cid:342)(cid:159)(cid:77) (cid:78)(cid:191)(cid:244)(cid:245) (cid:78)(cid:205)(cid:342)(cid:159)(cid:77) (cid:70)(cid:259)(cid:283)(cid:94)(cid:78)(cid:190)(cid:244)(cid:245) + (cid:78)(cid:205)(cid:342)(cid:159)(cid:77) (cid:78)(cid:191)(cid:244)(cid:245)
𝑀 (cid:78)𝑁(cid:205)(cid:342)(cid:159)(cid:77) (cid:70)𝑀(cid:259) 1 (cid:236)(cid:94)(cid:70)(cid:190)𝑀(cid:244)−(cid:245)𝑁 + (cid:78)(cid:205)𝑁1 (cid:342)(cid:159)(cid:77) (cid:78)(cid:191)(cid:244)(cid:245)𝑀1 𝑁(cid:78) 1 (cid:205)(cid:342)(cid:159)(cid:77) 𝑀(cid:78) 2 …(cid:343)(cid:344)(cid:341)(cid:147)
𝑀1−𝑁1 𝑁2 𝑀2 𝑁2 𝑀3 𝑀2 −𝑁2 𝑁3(cid:109)(cid:82)(cid:78)(cid:214) = (cid:62)(cid:224) =192(cid:78)(cid:214) (cid:32)(cid:33)(cid:69) (cid:62)
𝑀4
4
𝑀12 𝑁12
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) 48
𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:345)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:20)(cid:62)(cid:22)(cid:237)(cid:34)(cid:212) (cid:78) (cid:78) (cid:78) (cid:78) (cid:78) (cid:78)(cid:31)(cid:144)(cid:257)(cid:258)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:219)n(cid:77)
𝑀1 𝑁1 𝑀2 𝑁2 𝑀3 𝑁3
(cid:346)(cid:36)(cid:203)(cid:78) = (cid:78) = (cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:34)(cid:30)(cid:62)
1
𝑛 𝑛
𝑀𝑛 𝑥 𝑁𝑛 𝑥+
1 1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) = + = + (cid:78) = = (cid:78)
1 1
𝑀1 𝑀
1
𝑁
1
𝑥
1
𝑥+
1
𝑁1 2𝑀−𝑁 𝑥−𝑥+
= + = + + = (cid:78)
1 1
∴𝑀2 𝑀1 𝑁1 1 𝑥 1 𝑥+ 1 𝑥 1 −𝑥+ 2 𝑥
= = + = (cid:78)
1 1 1
𝑁2 𝑀1−𝑁1 𝑥 2 𝑥+2 − 𝑥−𝑥+ 𝑥+
= + = + (cid:78)
1
∴𝑀3 𝑀2 𝑁2
2
𝑥2 𝑥+
= = (cid:78)
1
𝑁3 𝑀2−𝑁2 𝑥−𝑥+
2 2 2 2 4
= + = + + = (cid:78)
1 1
∴𝑀4 = 𝑀3 𝑁 = 3 2 + 𝑥 2 𝑥+ 2 𝑥 2 −𝑥+ = 4 (cid:78) 𝑥 A A +
1 1 1 全 科
★
号
…𝑁… 4 (cid:78)𝑀3−𝑁3 𝑥 𝑥+ − 𝑥−𝑥+ 𝑥+ 公 众
注
关
，
源
资
2 辅 2
(cid:219)n(cid:77)(cid:346)(cid:36)(cid:203)(cid:78) =教(cid:78) = (cid:78)
𝑘 𝑘1
𝑀2𝑘 𝑥 𝑁2𝑘 𝑥+
2 2
= (cid:78) = (cid:78)
6 61
∴𝑀12 =1𝑥92(cid:78)𝑁12 𝑥+
∵𝑀2 12
=192(cid:78)
6
∴𝑥 1
(cid:30)(cid:171)(cid:10) = (cid:78)
3
𝑥 1
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:10) = (cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
3
2𝑥
= =48(cid:62)
1 6
1
3
∴𝑁12
+ 4
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10) (cid:78)48(cid:62)
x
1 2 1 3 1 4 1 5
(cid:15)(cid:137)(cid:23)7-1(cid:19)(cid:230)(cid:231)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:67)1(cid:68) = (cid:70)(cid:67)2(cid:68) = (cid:70)(cid:67)3(cid:68) = (cid:70)(cid:67)4(cid:68) = (cid:70)…(cid:123)(cid:124)(cid:161)(cid:100)(cid:43)(cid:44)(cid:78)
2 3 4 5
(cid:259) (cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:161)(cid:28)(cid:347)(cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:67) (cid:68)(cid:62)
𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+
𝑛 1 1 1 1
A(cid:62) = (cid:78) = B(cid:62) = (cid:78) =
1
𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛+
𝑥 𝑥+𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑥+𝑛+ 𝑥 𝑛1 1 1
C(cid:62) = (cid:78) = D(cid:62) = (cid:78) =
1 1
𝑛 𝑛−1 𝑛+ 𝑛
(cid:15)(cid:113)(cid:114) 𝑥 (cid:19)B 𝑥+𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥+𝑛+ 𝑥 𝑛+
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:190)(cid:31)(cid:134)(cid:348)(cid:24)(cid:25)(cid:349)(cid:212)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:156)(cid:212)(cid:259) (cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:191)(cid:34)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:62)
1 1 1 𝑛1 2 1 1 3 1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:67)1(cid:68)(cid:128)(cid:76)(cid:77) = (cid:70)(cid:67)2(cid:68)(cid:128)(cid:76)(cid:77) = (cid:70)(cid:67)3(cid:68)(cid:128)(cid:76)(cid:77) = …(cid:70)
1 1 2 1 3 1
+ + +
𝑥 𝑥+ + 𝑥 𝑥+ + 𝑥 𝑥+ +
1 1
(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:78)(cid:259) (cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:10) = (cid:62)
1
𝑛+
(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)𝑛(cid:202)(cid:87)(cid:161) + 𝑥 + 𝑥 1 + ) 𝑛 (cid:78) + (cid:171)
+ +1= + 𝑥(𝑥(cid:78)(cid:84)𝑛 = +1(cid:62)
(cid:31)𝑥 (cid:20)𝑛(cid:152)(cid:59) (𝑛0 1)𝑥 𝑛𝑥 𝑛
+𝑛1≠
=
𝑛
∴𝑥
1
(cid:229)(cid:193)(cid:194) 𝑛= (cid:69)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
𝑛+
(cid:130)(cid:136)(cid:10)B𝑥(cid:62) 𝑛
(cid:15)(cid:178)(cid:179)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:78)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:69)(cid:340)(cid:190)(cid:123)(cid:124)(cid:134)(cid:348)(cid:24)(cid:25)(cid:349)(cid:212)(cid:43)(cid:44)+(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:110)(cid:212)(cid:259) (cid:112)(cid:24)
A
A
科
全
★
(cid:25)(cid:78)(cid:88)(cid:228)(cid:34)(cid:30)(cid:62) 众 号 𝑛
公
注
关
(cid:15)(cid:137)(cid:23)7-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:220)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:350)(cid:140)源(cid:351)(cid:352)，·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:190)(cid:263)(cid:353)(cid:109)(cid:242)(cid:32)(cid:354)(cid:355)(cid:78)(cid:227)(cid:228)(cid:356)(cid:113)(cid:189)(cid:20)(cid:10)
资
辅
教
1 1 1 1 1 1
(cid:24)(cid:25) + =2+ (cid:32)(cid:30)(cid:77) =2(cid:78) = (cid:70)(cid:24)(cid:25) + =3+ (cid:32)(cid:30)(cid:77) =3(cid:78) = (cid:70)(cid:62)(cid:62)(cid:62)(cid:62)(cid:62)(cid:62)
2 2 3 3
𝑥 𝑥 𝑥1 1 𝑥2 1 𝑥 𝑥 𝑥1 𝑥2
(1)(cid:123)(cid:124)(cid:100)(cid:242)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:233)(cid:234) + = + (cid:32)(cid:30)(cid:77) (cid:70)
𝑥 𝑥 𝑎 𝑎 1 7 1 1
(2)(cid:357)(cid:299)(cid:67)1(cid:68)(cid:56)(cid:32)(cid:205)(cid:206)(cid:78)(cid:75)(cid:24)(cid:25) + = (cid:137)(cid:187)(cid:77) + = + (cid:32)(cid:187)(cid:23)(cid:235)(cid:34)(cid:30)(cid:70)
2
𝑦+
3 13 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑎 𝑎
(3)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + = (cid:62)
1 3
2𝑥+
𝑥 𝑥+ 1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(1) = (cid:78) = (cid:70)
1 𝑥11 𝑎 𝑥2 𝑎 1
(2) + =2+ (cid:78) =2(cid:78) =
2 2
𝑦 𝑦 𝑦1 𝑦2
2
(3) =2(cid:78) = (cid:62)
3
(cid:15)(cid:22)𝑥1 (cid:115)(cid:19)(cid:67)𝑥 1 2 (cid:68)(cid:358)−(cid:218)(cid:354)(cid:355)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:205)(cid:171)(cid:172)(cid:205)(cid:342)(cid:70)
1 1
(cid:67)2(cid:68)(cid:190)(cid:75)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:146)(cid:137)(cid:187)(cid:128)(cid:171)(cid:10) + =2+ (cid:78)(cid:227)(cid:228)(cid:357)(cid:299)(cid:67)1(cid:68)(cid:32)(cid:205)(cid:206)(cid:145)(cid:146)(cid:244)(cid:245)(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:30)(cid:113)(cid:70)
2
𝑦 𝑦 1 1
(cid:67)3(cid:68)(cid:190)(cid:75)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:146)(cid:137)(cid:187)(cid:128)(cid:171)(cid:10) +1+ =3+ (cid:78)(cid:227)(cid:228)(cid:357)(cid:299)(cid:67)1(cid:68)(cid:32)(cid:205)(cid:206)(cid:145)(cid:146)(cid:244)(cid:245)(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:30)(cid:113)(cid:62)
1 3
𝑥 𝑥+1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:67)1(cid:68)(cid:30)(cid:10)(cid:123)(cid:124)(cid:100)(cid:242)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:233)(cid:234) + = + (cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:10) = (cid:78) = (cid:62)
1 𝑥 𝑥 𝑎 𝑎 𝑥1 𝑎 𝑥2 𝑎
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10) = (cid:78) =
𝑥1 𝑎 1 𝑥2 7 𝑎
(cid:67)2(cid:68)(cid:30)(cid:10)(cid:31) + = (cid:78)
2
𝑦+
1
𝑦7 𝑦
(cid:171) +1+ = (cid:78)
2
𝑦
1
5𝑦
+ = (cid:78)
2
∴𝑦 𝑦 1 1
+ =2+ (cid:78)
2
∴𝑦 𝑦
1
(cid:31)(cid:67)1(cid:68)(cid:56)(cid:52)(cid:43)(cid:44)(cid:171)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:10) =2(cid:78) = (cid:70)
2
𝑦1 𝑦2
3 13
(cid:67)3(cid:68)(cid:30)(cid:10)(cid:31) + = (cid:78)
1 3
2𝑥+
1)
𝑥
1
1𝑥3+
(cid:171) + = (cid:78)
1 3
2(𝑥+ +
𝑥 𝑥+ 1 13
+2+ = (cid:78)
1 3
+
A
A
科
∴𝑥 +1+ 𝑥+ 1 = 10 (cid:78) 号 ★ 全
1 3 众
公
注
关
∴𝑥 𝑥+ 1 1 源 ，
+1+ =3+ (cid:78) 资
1 3 教 辅
∴𝑥 𝑥+ 1
+1=3(cid:78)(cid:288) +1= (cid:78)
3
∴𝑥 𝑥 2
(cid:30)(cid:171) =2(cid:78) = (cid:62)
3
(cid:15)(cid:178)𝑥(cid:179) 1 (cid:19)(cid:72)(cid:20)𝑥(cid:116) 2 (cid:117)(cid:118)−(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:43)(cid:44)(cid:21)(cid:10)(cid:36)(cid:225)(cid:32)(cid:137)(cid:76)(cid:345)(cid:78)(cid:253)(cid:177)(cid:119)(cid:107)(cid:185)(cid:145)(cid:146)(cid:244)(cid:245)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)
(cid:3)(cid:122)(cid:62)
1 1 1 1 3 3 1 1
(cid:15)(cid:137)(cid:23)7-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:180)(cid:181)(cid:221)(cid:165)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:230)(cid:231)(cid:43)(cid:44)(cid:10) = 1+ = × = (cid:78)
2 2 2 2 2 4 2 3
2 2 2
1 1 1 1 1 3 2 4 2 1 1− 1 1− 1 1 3 2 4 3 5 1− 5 1−
= 1+ 1+ = × × × = (cid:78) = × × × × × = ……(cid:224)
2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 4 2 2 3 3 4 4 8
2 2 2
1 1 − 1 1− 1 1
=
1013
(cid:67)n(cid:77)(cid:176)(cid:39)(cid:36)(cid:68)
1−
(cid:78)(cid:214)n
1
(cid:32)
−
(cid:33)(cid:77)
1
(cid:67)
−
(cid:68)
2 3 4 2025
2 2 2 2
1−A(cid:62)2012−3 1− ⋯B(cid:62)12−02𝑛4 C(cid:62)2025 D(cid:62)2026
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)C
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:357)(cid:299)(cid:276)(cid:24)(cid:362)(cid:7)(cid:23)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:345)(cid:363)(cid:245)(cid:78)(cid:241)(cid:30)(cid:43)(cid:44)(cid:243)(cid:120)(cid:121)(cid:276)(cid:24)(cid:362)(cid:7)(cid:23)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:3)(cid:122).
(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:256)(cid:56)(cid:23)(cid:364)(cid:32)(cid:65)(cid:178)(cid:78)(cid:357)(cid:299)(cid:276)(cid:24)(cid:362)(cid:7)(cid:23)(cid:22)(cid:30)(cid:289)(cid:23)(cid:78)(cid:227)(cid:228)(cid:365)(cid:22)(cid:84)(cid:128)(cid:34)(cid:171)(cid:113)(cid:114).1 1 1 1 1013
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19) =
2 3 4 2025
2 2 2 2
1 ∵ 1−1 1−1 1−1 ⋯ 11−𝑛 1 1 1 1013
1+ 1+ 1+ 1+ =
2 2 3 3 4 4 2025
∴11−3 2 4 31−5 1−+1 1013⋯ 1−
× × × × × × × = 𝑛 𝑛
2 2 3 3 4 4 2025
𝑛−1 𝑛
∴1 +1 1013 ⋯
× = 𝑛 𝑛
2 2025
𝑛
∴(cid:30)(cid:171)(cid:10)
=2025
𝑛
(cid:229)(cid:193)(cid:194)𝑛(cid:78) =2025(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
(cid:130)(cid:136)(cid:10)C(cid:62)𝑛
【题型8 分式方程的新定义题】
(cid:15)(cid:96)8(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:366)(cid:287)(cid:367)(cid:368)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:369)(cid:111)(cid:92)(cid:370)(cid:65)(cid:371)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:372)(cid:373)(cid:348)(cid:212)(cid:85)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:10)①(cid:224)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:238)
(cid:202)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:214)(cid:374)(cid:90)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:77)“(cid:238)(cid:375)(cid:24)(cid:25)”(cid:70)(cid:224)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:238)(cid:202)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:214)(cid:374)(cid:90)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:77)“(cid:238)(cid:376)(cid:24)(cid:25)”(cid:62)
(1)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:25) ( )= (cid:281) = (cid:69)(cid:377)(cid:77)“(cid:238)(cid:375)(cid:24)(cid:25)”(cid:78)(cid:235)(cid:378)(cid:379)(cid:241)(cid:31)(cid:70)
2
3𝑥−1
+
(2)(cid:278)(cid:59)(cid:3)(cid:111)6x−(cid:78)4y1(cid:32)−(cid:283)𝑥(cid:54)(cid:92)2𝑥(cid:175)(cid:24) 𝑥 (cid:25) + =−4 +6(cid:243) = + (cid:69)“(cid:238)(cid:376)(cid:24)(cid:25)”科(cid:78)(cid:34)A(cid:176) A (cid:39)(cid:36)m(cid:32)(cid:33)(cid:62)
全
★
号
众
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(1)(cid:69)(cid:78)(cid:241)(cid:31)(cid:380)(cid:30)(cid:115) 𝑦 𝑚𝑥 𝑦 公𝑥 4𝑚
注
关
，
源
(2) =2(cid:288) =3 辅 资
教
(cid:15)(cid:22)𝑚(cid:115)(cid:19)(cid:72)𝑚(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:47)(cid:48)(cid:49)——“(cid:238)(cid:375)(cid:24)(cid:25)”“(cid:238)(cid:376)(cid:24)(cid:25)”(cid:78)(cid:161)(cid:28)(cid:30)(cid:92)(cid:54)(cid:92)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:243)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:119)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:238)(cid:3)
(cid:329)(cid:330)(cid:381)(cid:382)(cid:78)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
(cid:67)1(cid:68)(cid:190)(cid:22)(cid:237)(cid:245)(cid:212)(cid:24)(cid:25) = (cid:281) = (cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:191)(cid:205)(cid:151)“(cid:238)(cid:375)(cid:24)(cid:25)”(cid:145)(cid:146)(cid:126)(cid:127)(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:147)(cid:113)(cid:62)
2
3𝑥−1
(cid:67)2(cid:68)(cid:289)(cid:77)(cid:3)(cid:111)x(cid:78)y(cid:32)6(cid:283)−4(cid:54)(1(cid:92)−(cid:175)𝑥)(cid:24)(cid:25)2𝑥 = 𝑥+ +6−(cid:243)4 = + (cid:69)“(cid:238)(cid:376)(cid:24)(cid:25)”(cid:78)(cid:134)(cid:161) +6= + (cid:78)(cid:39)(cid:241)
2 𝑦 𝑚𝑥 𝑦 𝑥 4𝑚 𝑚𝑥 𝑥 4𝑚
(cid:171) = = (cid:78)(cid:205)(cid:151)x(cid:78)y(cid:78)m(cid:383)(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)(cid:214) =0(cid:78) =2(cid:78) = (cid:78) =3(cid:78)(cid:289)(cid:77)m(cid:77)(cid:176)(cid:39)(cid:36)(cid:78)
4𝑚−6
(cid:124)𝑥(cid:144)(cid:84)(cid:128)𝑚−(cid:147)1 (cid:113)(cid:62)4−𝑚−1 𝑚1 𝑚2 𝑚3 −1 𝑚4
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:67)1(cid:68)(cid:30)(cid:10)(cid:24)(cid:25) = (cid:281)(cid:24)(cid:25) = (cid:69)“(cid:238)(cid:375)(cid:24)(cid:25)”(cid:78)(cid:241)(cid:31)(cid:204)(cid:109)(cid:10)
2
3𝑥−1
(cid:30)(cid:24)(cid:25) = (cid:171)6−4(1−𝑥) 2𝑥 𝑥+ −4
= 6(cid:78)−4(1−𝑥) 2𝑥
𝑥 −1
(cid:30)(cid:24)(cid:25) = (cid:171)
2
3𝑥−1
= (cid:78) 𝑥+ −4
𝑥(cid:193)(cid:194)−(cid:10)1 = (cid:69)(cid:149)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:30)(cid:62)
𝑥 −1(cid:24)(cid:25) = (cid:281)(cid:24)(cid:25) = (cid:69)“(cid:238)(cid:375)(cid:24)(cid:25)”
2
3𝑥−1
(cid:67)∴ 2(cid:68)(cid:30)6−(cid:10)4(1−=𝑥) 2+𝑥6(cid:243) = 𝑥+ + −(cid:69)4“(cid:238)(cid:376)(cid:24)(cid:25)”(cid:62)
+6=∵𝑦+ 𝑚𝑥 𝑦 𝑥 4𝑚
∴𝑚𝑥 𝑥 4𝑚2
= =
4𝑚−6
𝑥 x(cid:78)y(cid:78)m(cid:383)(cid:77)4(cid:39)−(cid:36)(cid:78)
𝑚−1 𝑚−1
∵ =±1(cid:78) =±2(cid:78)
∴𝑚−=1 0(cid:78) =𝑚−2(cid:78)1 = (cid:78) =3(cid:78)
∴(cid:384)𝑚1m(cid:77)(cid:176)(cid:39)𝑚(cid:36)2 𝑚3 −1 𝑚4
m ∵=2
(cid:288)
m=3
∴ 2 2 3 7
(cid:15)(cid:137)(cid:23)8-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:271)(cid:272)(cid:385)(cid:56)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:48)(cid:49)(cid:363)(cid:245) = + (cid:78)(cid:204)(cid:70)3 4= + = (cid:78)(cid:224) ( )
3 3
𝑎
=1(cid:78)(cid:214) (cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62) 𝑎Δ𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 Δ 3−4 − 𝑥Δ −4
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)𝑥4
+
A
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:109)(cid:32)(cid:386)(cid:36)(cid:363)(cid:245)(cid:78)(cid:110)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:188)(cid:386)(cid:387)(cid:189)科(cid:20)(cid:78)A(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:69)(cid:176)(cid:177)(cid:241)(cid:30)(cid:20)(cid:152)(cid:78)
全
★
号
众
(cid:110)(cid:212)(cid:24)(cid:25)(cid:62) 公
注
关
，
源
(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:110)(cid:212)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:227)(cid:228)辅(cid:145)(cid:146)资(cid:34)(cid:30)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
教
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:123)(cid:124)(cid:20)(cid:152)(cid:171)(cid:78)
( )=1
∵𝑥2Δ −4
+ =1
( )
𝑥
∴2𝑥 𝑥− −4
+ =1
+4
𝑥
2( +4)+ = ( +4)
𝑥 𝑥
2
(cid:39)𝑥(cid:241)(cid:171) =𝑥8 𝑥 𝑥
(cid:30)(cid:171) =2𝑥4
(cid:229)(cid:193)𝑥(cid:194)(cid:78) =4(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:123)(cid:78)
(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)𝑥(cid:10)4(cid:62)
(cid:15)(cid:137)(cid:23)8-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:315)(cid:181)(cid:388)(cid:165)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:369) (cid:78) (cid:48)(cid:49)(cid:92)(cid:389)(cid:47)(cid:363)(cid:245) (cid:78)(cid:43)(cid:48) ( )= (cid:78)(cid:90)(cid:390)(cid:232)(cid:23)(cid:391)
3𝑎𝑏
3×1×2 𝑎 𝑏 𝑀 𝑀 𝑎,𝑏 𝑎−𝑏
(cid:86)(cid:69)(cid:392)(cid:132)(cid:32)(cid:271)(cid:214)(cid:363)(cid:245)(cid:78)(cid:96)(cid:204)(cid:10) (1,2)= = (cid:78)(cid:204)(cid:342) ( )= ( )(cid:78)(cid:34)(cid:386)(cid:36) (cid:32)(cid:33)(cid:70)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) 𝑀 1−2 −6 𝑀 1,2𝑥 𝑀 4,−1 𝑥
−2(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:363)(cid:245)(cid:32)(cid:244)(cid:245)(cid:24)(cid:52)(cid:110)(cid:212)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:171)x(cid:32)(cid:36)(cid:33)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:31)(cid:20)(cid:152)(cid:59)(cid:78) ( )= (cid:78)
3𝑎𝑏
( )= ( )(cid:78) 𝑀 𝑎,𝑏 𝑎−𝑏
∵𝑀3×11×,2𝑥 3×𝑀4×(4,−)1
= (cid:78)
( )
2𝑥 −1
∴(cid:30)(cid:171)1−2𝑥 = 4 (cid:78) − −1
(cid:229)(cid:193)𝑥(cid:194)(cid:10)−2= (cid:69)(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:62)
(cid:386)(cid:36) (cid:32)𝑥(cid:33)(cid:77)−2(cid:62)
∴ 𝑥 −2
(cid:15)(cid:137)(cid:23)8-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:220)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:350)(cid:140)(cid:393)(cid:394)·(cid:166)(cid:183)(cid:68)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:92)(cid:389)(cid:47)(cid:363)(cid:245)(cid:10) = (cid:67)x(cid:78)y(cid:69)(cid:386)(cid:36)(cid:78)(cid:297)
☆
☆ 𝑥𝑦
𝑥−𝑦
( )×2 2 𝑥 𝑦
(cid:68)(cid:78)(cid:96)(cid:204)( ) = = (cid:62)
2 ( ) 3
☆ −1
𝑥 (1) ≠ (cid:34) 𝑦( ) ( ) − (cid:32) 1 (cid:33)(cid:62) −1 −2
☆
(2)(cid:69)(cid:377)−(cid:303)3(cid:167)x−(cid:32)2(cid:33)(cid:78)(cid:298)(cid:171) = +3(cid:143)(cid:335)(cid:395)(cid:224)(cid:303)(cid:167)(cid:78)(cid:265)(cid:34)(cid:212)x(cid:32)(cid:33)(cid:70)(cid:224)(cid:131)(cid:303)(cid:167)(cid:78)(cid:265)(cid:378)(cid:379)(cid:241)(cid:31)(cid:62)
1 1
☆ ☆
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(1)
𝑥 𝑥
+
A
A
科
(2)3(cid:78)(cid:380)(cid:30)(cid:115)−6
★
全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:386)(cid:36)(cid:32)(cid:47)(cid:363)(cid:245)(cid:281)(cid:22)(cid:23)(cid:24)关(cid:25)(cid:32)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:47)(cid:363)(cid:245)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:176)(cid:177)(cid:110)(cid:212)(cid:23)(cid:364)(cid:69)(cid:30)(cid:188)(cid:72)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
，
源
资
辅
(cid:67)1(cid:68)(cid:123)(cid:124) (cid:32)(cid:47)(cid:363)(cid:245)教(cid:48)(cid:49)(cid:244)(cid:245)(cid:84)(cid:128)(cid:70)
☆
(cid:67)2(cid:68)(cid:123)(cid:124) (cid:32)(cid:47)(cid:363)(cid:245)(cid:190)(cid:325)(cid:396)(cid:212) (cid:281) +3(cid:78)(cid:191)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:52)(cid:34)(cid:30)(cid:235)(cid:193)(cid:194)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
☆ 1 1
☆ ☆
( )×( )
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:67)1(cid:68)(cid:30)(cid:10)( ) ( )𝑥= 𝑥 = (cid:62)
( ) ( )
☆ −3 −2
−3 −2 −3 − −2 −6
(cid:67)2(cid:68)(cid:30)(cid:10) = (cid:78) +3= +3(cid:78)
1 1
☆ 𝑥 ☆ 𝑥
𝑥−1 1−𝑥
= 𝑥 +3(cid:78) 𝑥
1 1
☆ ☆
∵
𝑥 = +𝑥3(cid:78)(cid:84) =3(cid:78)
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
∴𝑥−1 1−𝑥 𝑥−1−1−𝑥
(cid:84) + =3(cid:78)
𝑥 𝑥
𝑥−1 𝑥−1
(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:78)(cid:171) + =3( )(cid:78)
(cid:30)(cid:90)(cid:112)(cid:24)(cid:25)𝑥(cid:78)(cid:171)𝑥 =3(cid:62)𝑥−1
(cid:229)(cid:193)(cid:194) =3(cid:69)(cid:186)𝑥(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:62)
(cid:186)(cid:24)(cid:25)𝑥(cid:32)(cid:30)(cid:77)
x=3
(cid:62)
∴【题型9 裂项法解分式方程】
(cid:15)(cid:96)9(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:397)(cid:334)(cid:398)(cid:287)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:204)(cid:399)1(cid:134)(cid:396)(cid:78)(cid:75)(cid:187)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:255)(cid:153)(cid:238)(cid:202)(cid:32)“□”(cid:217)(cid:218)(cid:92)(cid:48)(cid:43)(cid:44)(cid:403)(cid:143)
(cid:109)(cid:110)(cid:399)(cid:187)(cid:78)(cid:259)1(cid:404)(cid:399)(cid:56)“□”(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77) (cid:78)(cid:259)2(cid:404)(cid:399)(cid:56)“□”(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77) (cid:78)(cid:259)3(cid:404)(cid:399)(cid:56)“□”(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77) (cid:78)……(cid:78)(cid:161)(cid:144)
2 2 2 2 𝑎1 𝑎2 𝑎3
(cid:345)(cid:240)(cid:78)(cid:224) + + + + = (cid:67) (cid:77)(cid:176)(cid:39)(cid:36)(cid:68)(cid:78)(cid:214) (cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62)
21
𝑛
𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛 𝑛 𝑛
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)41
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:123)(cid:124)(cid:399)(cid:187)(cid:171)(cid:172)(cid:399)(cid:187)(cid:32)(cid:137)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:10) = ( +1)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:196)(cid:197)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:187)(cid:77)2
1 1 1 1 𝑎𝑛 𝑛 𝑛
+ + + + = (cid:78)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
1×2 2×3 3×4 ( 1) 21
𝑛
⋯ 𝑛 𝑛+
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:31)(cid:399)(cid:128)(cid:171) =1×2(cid:78) =2×3(cid:78) =3×4(cid:78)……(cid:78)
= ( +1)(cid:78) 𝑎1 𝑎2 𝑎3
+
A
A
科
∴𝑎2𝑛
+
2𝑛
+
𝑛2
+ +
2
= (cid:78) 号 ★
全
21 众
𝑛 公
注
∵𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛 ， 关
1 1 1 1 源
2 + + + + 资=
1×2 2×3 3×4 辅( 1) 21
教 𝑛
∴ 1 1 1 1 ⋯1 𝑛 𝑛+1 1
2 + + + + =
2 2 3 3 4 +1 21
𝑛
1− 1 − − ⋯ −
2 = 𝑛 𝑛
+1 21
𝑛
2( 1− 𝑛)
= (cid:78)
1 21
𝑛+1−1 𝑛
(cid:30)(cid:171)𝑛+ =0(cid:67)(cid:405)(cid:82)(cid:68)(cid:288) =41(cid:78)
(cid:130)(cid:113)𝑛(cid:114)(cid:77)(cid:10)41(cid:62) 𝑛
(cid:15)(cid:178)(cid:179)(cid:19)(cid:144)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:406)(cid:78)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:176)(cid:177)(cid:241)(cid:30)(cid:399)(cid:187)(cid:32)(cid:244)(cid:245)(cid:43)(cid:44)(cid:196)(cid:197)(cid:24)(cid:25)(cid:244)(cid:245)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
1 1 1 1
(cid:15)(cid:137)(cid:23)9-1(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + + = (cid:62)
( )( ) ( ) ( 1) 1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) =5 𝑥−2 𝑥−1 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥+
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)𝑥(cid:144)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:239)(cid:407)(cid:52)(cid:243)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:52)(cid:78)(cid:408)(cid:262)(cid:20)(cid:56)(cid:32)(cid:409)(cid:51)(cid:52)(cid:69)(cid:30)(cid:72)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62)
(cid:24)(cid:25)(cid:357)(cid:299)(cid:409)(cid:51)(cid:52)(cid:137)(cid:187)(cid:228)(cid:78)(cid:84)(cid:128)(cid:392)(cid:210)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:212)(cid:30)(cid:62)
1 1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19) + + =
( )( ) ( ) ( 1) 1
𝑥−2 𝑥−1 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥+1 1 1 1 1 1 1
+ + = (cid:78)
1 1
𝑥−2−𝑥−1
1
𝑥−1−𝑥
2
𝑥−𝑥+ 𝑥+
(cid:39)(cid:241)(cid:171)(cid:10) = (cid:78)
1
𝑥−2 𝑥+
(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:171)(cid:10) +1= (cid:78)
(cid:30)(cid:171)(cid:10) =5𝑥(cid:78) 2𝑥−4
(cid:229)(cid:193)(cid:194)𝑥(cid:78) =5(cid:69)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:123)(cid:78)
(cid:214)(cid:186)(cid:24)(cid:25)𝑥(cid:32)(cid:123)(cid:69)
x=5
(cid:62)
1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:137)(cid:23)9-2(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + + + + = (cid:62)
( ) ( 2) ( 2)( 4) ( 2024)( 2026) 2026
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) =1016 𝑥−2 𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ ⋅⋅⋅ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)𝑥(cid:72)(cid:20)(cid:184)(cid:64)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:243)(cid:36)(cid:225)(cid:32)(cid:137)(cid:76)(cid:345)(cid:62)
1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) + + + + = (cid:78)
( ) ( 2) ( 2)( 4) ( 2024)( 2026) 2026
𝑥−2 𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ ⋅⋅⋅ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + = (cid:78)
2 2 2024 2026 2026
1 𝑥− 1 2−𝑥 1 𝑥−𝑥 = + ⋅1⋅⋅ (cid:78) 𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ A A +
2 2026 2026 全 科
★
号
(cid:30)𝑥(cid:171)−2(cid:10)−𝑥=+ 1016(cid:78) 𝑥+ 公 众
注
关
，
源
(cid:229)(cid:193)(cid:194)𝑥(cid:78) =1016(cid:69)(cid:186)(cid:24)辅(cid:25)(cid:32)资(cid:30)(cid:78)
教
(cid:186)(cid:24)(cid:25)𝑥(cid:32)(cid:30)(cid:69)
x=1016
(cid:62)
(cid:15) ∴ (cid:137)(cid:23)9-3(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:25) 1 + 1 + 1 + 1 = 4 (cid:62)
20 30 42 56 28
2 2 2 2 2
1 𝑥 +9𝑥+ 𝑥 +11𝑥+ 𝑥 +13𝑥+ 𝑥 +15𝑥+ 𝑥 +
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) =
3
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)𝑥(cid:72)(cid:20)−(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:289)(cid:23)(cid:22)(cid:30)(cid:281)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:69)(cid:379)(cid:177)(cid:20)(cid:152)(cid:78)(cid:241)(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:238)(cid:410)(cid:52)(cid:32)(cid:340)(cid:299)(cid:161)(cid:28)(cid:119)(cid:107)(cid:34)
(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)
(cid:357)(cid:299)(cid:409)(cid:51)(cid:52)(cid:289)(cid:23)(cid:22)(cid:30)(cid:228)(cid:191)(cid:357)(cid:299)(cid:50)(cid:51)(cid:238)(cid:410)(cid:52)(cid:76)(cid:89)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:228)(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:84)(cid:128)(cid:62)
1 1 1 1 4
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) + + + = (cid:78)
20 30 42 56 28
2 2 2 2 2
1 𝑥 + 1 9𝑥+ 𝑥 +111𝑥+ 𝑥 +113𝑥+ 𝑥4+15𝑥+ 𝑥 +
+ + + = (cid:78)
5) 6) 7) 8) 28
2
(𝑥+4)(𝑥+ (𝑥+5)(𝑥+ (𝑥+6)(𝑥+ (𝑥+7)(𝑥+ 𝑥 +
1 1 1 1 1 1 1 1 4
+ + + = (cid:78)
4 5 5 6 6 7 7 8 28
2
𝑥+
1
−𝑥+
1
𝑥+4−𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ 𝑥 +
= (cid:78)
4 8 28
2
𝑥+ −4 𝑥+ 𝑥 +4
= (cid:78)
32 28
2 2
𝑥 +12𝑥+ 𝑥 ++28= + +32(cid:78)
2 2
𝑥 =4(cid:78)𝑥 12𝑥
−12𝑥1
= (cid:78)
3
𝑥 − 1
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:78) = (cid:69)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
3
(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)
𝑥
(cid:30)(cid:77)
−x=− 1
(cid:62)
3
∴
【题型10 换元法解分式方程】
3
(cid:15)(cid:96)10(cid:19)(cid:67)2023(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:153)(cid:154)·(cid:141)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) =0(cid:62)
2
𝑥−1
1
𝑥+ −𝑥−1−1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) =
2
𝑥 −
2
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:357)(cid:299)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:70)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:239)(cid:407)(cid:52)(cid:78)(cid:128)(cid:171) =0(cid:78)(cid:191)(cid:123)
2
𝑥−1 𝑥+
(cid:124)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:34)(cid:30)(cid:84)(cid:128)(cid:70) 𝑥+ −𝑥−1
2
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:10) =0(cid:78) +
2 A
𝑥−1 𝑥+ 科 A
全
(cid:270) = (cid:78) (cid:214)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:10)
𝑥+ −1 𝑥−
=
1
0(cid:78) 公 众
号 ★
2 注
𝑥−1 关
，
(cid:24)
𝑦
(cid:25)(cid:85)
𝑥
(cid:86)
+
(cid:202)(cid:203)(cid:87)(cid:161)y(cid:171)(cid:10)辅
𝑦资−
=
𝑦
0
源
(cid:78)(cid:30)(cid:171)(cid:10) =±1(cid:78)
教
2
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:10) =±1(cid:160)(cid:69)(cid:24)(cid:25) 𝑦 −11 =0(cid:32)(cid:30)(cid:78) 𝑦
𝑦 𝑦−𝑦
(cid:219) =1(cid:203)(cid:78) =1(cid:78)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:78)
2
𝑥−1
∴ 𝑦 𝑥+ 1
(cid:219) = (cid:203)(cid:78) = (cid:78)(cid:30)(cid:171) = (cid:78)
2 2
𝑥−1
𝑦 −1 𝑥+ 1 −1 𝑥 −
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:10) = (cid:69)(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
2
𝑥 − 1
(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30) = (cid:62)
2
∴ 𝑥 − 3( )
(cid:15)(cid:137)(cid:23)10-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:100)(cid:411)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:299)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:24)(cid:25) + =5(cid:203)(cid:78)(cid:204)(cid:342)(cid:270) = (cid:78)(cid:279)(cid:280)(cid:171)
2
𝑥 𝑥 −1 𝑥
2 2
(cid:172)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:69) (cid:62) 𝑥 −1 𝑥 𝑥 −1 𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:114)𝑦(cid:19) +3=0
2
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72) 𝑦 (cid:20)−5(cid:116)𝑦(cid:117)(cid:118)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:78)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:270) = (cid:78)(cid:214)(cid:24)(cid:25)(cid:128)(cid:76)(cid:77) + 3 =5(cid:78)(cid:145)(cid:317)(cid:82)(cid:22)(cid:55)(cid:243)
𝑥
2
(cid:309)(cid:51)(cid:84)(cid:128)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:120)(cid:121)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:24)(cid:52)(cid:69)(cid:30)(cid:20) 𝑥 (cid:32) − (cid:3) 1 (cid:122)𝑦(cid:62) 𝑦 𝑦3
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:270) = (cid:78)(cid:214)(cid:24)(cid:25)(cid:128)(cid:76)(cid:77) + =5(cid:78)
𝑥
2
𝑥 −1 𝑦 𝑦 𝑦
(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:161) (cid:78)(cid:171) +3= (cid:78)
2
+3=𝑦0(cid:78) 𝑦 5𝑦
2
∴(cid:171)𝑦 (cid:172)−5(cid:3)𝑦(cid:111) (cid:32)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:69) +3=0(cid:78)
2
∴(cid:130)(cid:113)(cid:114)(cid:77)(cid:10)𝑦 +3=0𝑦(cid:62)−5𝑦
2
(cid:15)(cid:137)(cid:23)10-2 𝑦 (cid:19)(cid:67) −5 2 𝑦 4-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:271)(cid:272)(cid:318)(cid:101)·(cid:166)(cid:56)(cid:68)(cid:278)(cid:59)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:24)(cid:25) + =3(cid:32)(cid:30)(cid:77) =2(cid:78)(cid:214)(cid:3)(cid:111)y(cid:32)
𝑎 3𝑏
2
𝑥−1 𝑥 −1 𝑥
(cid:24)(cid:25) + =3(cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
( )
𝑎 3𝑏
2
A 4 (cid:62) 𝑦−3 =1 4𝑦−2 −1 B(cid:62) =2 C(cid:62) =3 D(cid:62)(cid:37)(cid:30)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19)𝑦 A 𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:30)(cid:20)(cid:3)(cid:122)(cid:69)(cid:392)(cid:210)(cid:137)(cid:412)(cid:413)(cid:53)(cid:75)(cid:259)(cid:283)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:192)(cid:76)(cid:77)(cid:259)(cid:92)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:187)
(cid:23)(cid:78)(cid:357)(cid:299)(cid:278)(cid:59)(cid:30)(cid:34)(cid:30)(cid:62)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10)(cid:278)(cid:59)(cid:24)(cid:25) + =3(cid:32)(cid:30)(cid:77) =2(cid:78)
𝑎 3𝑏 A +
(cid:414) = (cid:78) 𝑥−1 𝑥 2 −1 𝑥 ★ 全 科 A
号
众
公
注
(cid:214)4(cid:144)𝑦(cid:203)−2(cid:259)(cid:283)𝑥(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:55) (cid:137)(cid:77) 关(cid:78)(cid:297) = (cid:78)(cid:281)(cid:259)(cid:92)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:187)(cid:23)(cid:255)(cid:153)(cid:238)(cid:202)(cid:78)
，
源
资2 2
辅
(cid:219) =2(cid:203)(cid:78)(cid:196)(cid:197) 教(=4𝑦2−(cid:78)2(cid:30)) (cid:171)−1 =1𝑥(cid:70)−1 4𝑦−3 𝑥−1
(cid:194)𝑥(cid:415)(cid:22)(cid:55)(cid:10)(cid:219) =41𝑦(cid:203)−2(cid:78) =1𝑦(cid:243) =3(cid:383)(cid:131)(cid:77)(cid:327)(cid:78)(cid:150)(cid:151)(cid:284)(cid:285)(cid:78)(cid:289)(cid:144)(cid:30)(cid:77) =1(cid:78)
2
(cid:130)(cid:136)(cid:10)A (cid:62) 𝑦 4𝑦−3 (4𝑦−2) −1 𝑦
27
(cid:15)(cid:137)(cid:23)10-3(cid:19)(cid:67)2023(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:153)(cid:154)·(cid:141)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) =0(cid:62)
2
𝑥−1
7 5 𝑥+ −𝑥−1−9
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:19) = (cid:288) =
2 4
𝑥 − 𝑥 −
2)
(cid:15)(cid:22)(cid:115)(cid:19)(cid:72)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:239)(cid:407)(cid:52)(cid:78)(cid:128)(cid:171) =0(cid:78)(cid:191)(cid:123)(cid:124)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:34)(cid:30)(cid:84)(cid:128)(cid:70)(cid:357)(cid:299)
2
𝑥−1 9(𝑥+
(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:69)(cid:30)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:122)(cid:62) 𝑥+ − 𝑥−1
27 27 2)
(cid:15)(cid:129)(cid:30)(cid:19)(cid:30)(cid:10) = +9)= (cid:78)
2 2 2
𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 9(𝑥+
∵𝑥+ −𝑥−1−9 𝑥+ −(𝑥−1 𝑥+ − 𝑥−1
2)
(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:77) =0(cid:78)
2
𝑥−1 9(𝑥+
∴ 𝑥+ − 𝑥−1 9
(cid:270) = (cid:78)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:128)(cid:76)(cid:77) =0(cid:78)
2
𝑥−1
(cid:24)𝑦(cid:25)(cid:85) 𝑥 (cid:86) + (cid:202)(cid:203)(cid:87)(cid:161) (cid:78)(cid:171) 𝑦− 9 𝑦 =0(cid:78)
2
(cid:30)(cid:171)(cid:78) =±3(cid:78) 𝑦 𝑦 −
𝑦(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:78) =±3(cid:160)(cid:69)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
𝑦 7
(cid:219) =3(cid:203)(cid:78)(cid:38) =3(cid:78)(cid:30)(cid:171)(cid:10) = (cid:78)
2 2
𝑥−1
𝑦 𝑥+ 𝑥 − 5
(cid:219) = (cid:203)(cid:78)(cid:38) = (cid:78)(cid:30)(cid:171)(cid:10) = (cid:78)
2 4
𝑥−1
𝑦 −3 7 𝑥+ −53 𝑥 −
(cid:229)(cid:193)(cid:194)(cid:10) = (cid:288) = (cid:160)(cid:69)(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:78)
2 4
𝑥 − 𝑥 − 7 5
(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)(cid:77) = (cid:288) = (cid:62)
2 4
∴ 𝑥 − 𝑥 −
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
