文档文本内容
专题 2.5 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:37)/(cid:38)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)...................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:20)(cid:19)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:19)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................................7
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 分式方程 公 众
注
关
，
源
1. (cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:32)(cid:24)辅(cid:25)(cid:60) 资 (cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)
教
2. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(cid:67)1(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:70)
(cid:67)2(cid:68)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:62)
知识点2 解分式方程
1. (cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)
(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:61)(cid:52)(cid:69)“(cid:82)(cid:22)(cid:55)”(cid:78)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:7)(cid:22)(cid:55)(cid:62)(cid:90)(cid:91)(cid:69)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:92)(cid:93)
(cid:24)(cid:52)(cid:62)
2. (cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)【题型1 分式方程概念】
1 1
(cid:15)(cid:96)1(cid:19)(cid:67)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:56)(cid:67)1(cid:68) =1(cid:70)(cid:67)2(cid:68) =1+ (cid:70)
3 4
2𝑥+ 1−3𝑥
𝑥
(cid:67)3(cid:68) + =1(cid:70)(cid:67)4(cid:68) = +4(cid:70)(cid:67)5(cid:68) +1=0(cid:78)(cid:29)(cid:56)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:38)(cid:67) (cid:68)
𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥+3𝑦 A +
A
A(cid:62) 𝑏 1𝑏(cid:112) 𝑎 B−(cid:62)32(cid:112)𝑎 𝜋 C(cid:62)3(cid:112)
★
全D(cid:62) 科 4(cid:112)
号
众
公
(cid:15)(cid:113)(cid:23)1-1(cid:19)(cid:67)2024(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:20)关(cid:107)(cid:108) 注 (cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:118)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
，
源
资
辅
6 教10 5
A(cid:62) = B(cid:62) = C(cid:62) =2 D(cid:62) =
3 1 3 6
𝑥 3𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥+ −3 1 5
(cid:15)(cid:113)(cid:23)1-2(cid:19)(cid:67)2025(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:119)(cid:120)·(cid:117)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:10)① =2(cid:78)② =3(cid:78)③ = (cid:78)④ +
7 3 2 4
3−𝑥 𝑥 4𝑥−1 𝑥+ 𝑥
=5(cid:78)⑤
1
+1=0(cid:56)(cid:78)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:67)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:9)(cid:68)(cid:10) (cid:62)
𝜋 − 𝑚
2
𝑥
𝑛 𝑥+
(cid:15)(cid:113)(cid:23)1-3(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:129)① + 1 (cid:78)② 1 = +4(cid:78)③ + =6(cid:78)④ =1
2
2 𝑥 2𝑥
(cid:56)(cid:78)(cid:29)(cid:56)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77)(cid:67)(cid:130)(cid:130)(cid:68) 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎−3 𝑎 5𝑥 𝑥−3
A(cid:62)1 𝑥 B(cid:62)2 C(cid:62)3 D(cid:62)4
【题型2 解分式方程】
3 4 1 2
(cid:15)(cid:96)2(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:127)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) = (cid:32)(cid:30)(cid:77) (cid:62)
4 5 2 3
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ 1 10
(cid:15)(cid:113)(cid:23)2-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:131)(cid:135)(cid:136)(cid:101)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:11)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:140)(cid:78)(cid:38)(cid:141)(cid:109)(cid:94)(cid:95)(cid:10)
2
①(cid:24)(cid:25)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:7)(cid:22)(cid:55)( )( +5) 𝑥−5 𝑥 −25
②(cid:142)(cid:143)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:77) +5=𝑥1−0(cid:78)5 (cid:30)𝑥(cid:142) =5
𝑥 𝑥③(cid:75) =5(cid:144)(cid:145)(cid:143)( )( +5)(cid:56)(cid:78)( )( +5)=0
④(cid:142)(cid:143)𝑥 (cid:146)(cid:147)(cid:10) =𝑥5−(cid:69)5(cid:148)(cid:22)𝑥 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:30)𝑥−5 𝑥
(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:143)(cid:137)(cid:138)(cid:139)𝑥(cid:11)(cid:32)(cid:30)(cid:20)(cid:152)(cid:25)(cid:78)(cid:153)(cid:154)(cid:38)(cid:92)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:78)(cid:158)(cid:156)(cid:157)(cid:32)(cid:123)(cid:9)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
A(cid:62)① B(cid:62)② C(cid:62)③ D(cid:62)④
(cid:15)(cid:113)(cid:23)2-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:159)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:164) 1 = ( 1)(cid:78)(cid:158) = (cid:62)
𝑥−𝑎
(cid:15)(cid:113)(cid:23)2-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:131)(cid:132)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:165)(cid:166)(cid:109)(cid:110)𝑒(cid:167)(cid:23) 𝑥+ (cid:10) 𝑎 𝑒≠ 𝑥
1 1 1 1 1 1 1 1
= (cid:78) = (cid:78) =
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1− 1 − 1 1 −
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:142)(cid:154)(cid:10) =
( 1) 1
(cid:75)(cid:171)(cid:100)(cid:172)(cid:112)(cid:167) 𝑚 (cid:23) 𝑚 (cid:85) + (cid:86)(cid:22)(cid:173)𝑚−(cid:174)𝑚(cid:175)+(cid:142)(cid:10)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + = + + = =
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
(cid:176)(cid:177)(cid:171)(cid:100)(cid:178)(cid:179)(cid:78)(cid:34)(cid:154)(cid:109)(cid:180)1(cid:22)−(cid:23)(cid:24)(cid:25)−(cid:10) − 1−
1 1 1 1
+ + + =1(cid:32)(cid:30)(cid:69) (cid:62) +
( ) ( )( ) ( )( ) A
A
科
全
𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−3 号 ★
【题型3 由分式方程解的值的求参数】 公 众
注
关
，
源
(cid:15)(cid:96)3(cid:19)(cid:67)2025·(cid:181)(cid:102)(cid:131)教(cid:182) 辅 ·(cid:183)(cid:184) 资 (cid:185)(cid:186)(cid:68)(cid:137)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:20)(cid:192)(cid:10)(cid:30)(cid:24)(cid:25) 2 + 1 =0(cid:62)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:92)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:196)(cid:197)
2
(cid:118)(cid:198)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:193)(cid:194)(cid:204)(cid:188)(cid:201)(cid:202)(cid:69) = (cid:78)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:137)(cid:187)(cid:178)(cid:209)(cid:196)(cid:197) □ (cid:118)𝑥(cid:198)+(cid:32)(cid:22)(cid:55)(cid:210)(cid:211)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
A(cid:62) B(cid:62) 𝑥 −1 C(cid:62) +4 D(cid:62)
2
(cid:15)(cid:113)(cid:23)
𝑥
3
−
-1
1
(cid:19)(cid:67)2025·(cid:212)(cid:213)(cid:214)
−
(cid:101)
𝑥−
·(cid:92)
4
(cid:183)(cid:68)(cid:24)(cid:25)
4
=
𝑥
(cid:32)(cid:30)(cid:69) =2(cid:78)(cid:158) (cid:32)(cid:33)
𝑥
(cid:67)
− 1
(cid:68)
+𝑎
A(cid:62)0 B(cid:62)1 𝑥−1 C(cid:62)2𝑥 𝑥 𝑎D(cid:62)(cid:37)(cid:30)
−1
(cid:15)(cid:113)(cid:23)3-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:219)(cid:59) =1(cid:69)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) + =1(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:220)(cid:221)k(cid:32)(cid:33)
𝑘 𝑥−1
(cid:77)(cid:67) (cid:68) 𝑥 𝑥 𝑥−3
A(cid:62)0 B(cid:62)1 C(cid:62)2 D(cid:62)4
1
(cid:15)(cid:113)(cid:23)3-3(cid:19)(cid:67)2024(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:120)·(cid:117)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:164)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =5(cid:222)(cid:24)(cid:25) =3(cid:32)(cid:30)(cid:174)(cid:139)(cid:78)(cid:158)m
3−𝑚𝑥 2𝑥+
(cid:32)(cid:33)(cid:77)( )
𝑥−2 𝑥−1
7 7 4 4
A(cid:62) B(cid:62) C(cid:62) D(cid:62)
4 4 7 7
− −【题型4 由分式方程无/有解求参数】
(cid:15)(cid:96)4(cid:19)(cid:67)2025·(cid:212)(cid:213)(cid:132)(cid:223)·(cid:224)(cid:183)(cid:68)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:24)(cid:25) + =0(cid:92)(cid:48)(cid:38)(cid:176)(cid:78)(cid:158) (cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:77)(cid:67) (cid:68)
3 6
𝑚 𝑥
𝑥 𝑥+ 2𝑥+ 𝑚
3
A(cid:62) B(cid:62) C(cid:62) > D(cid:62) <0
2
(cid:15)(cid:113)(cid:23)
𝑚
4-1
≠
(cid:19)(cid:67)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)
𝑚
(cid:100)
≠
·(cid:101)
−3
(cid:102)(cid:225)(cid:226)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:164)
𝑚
(cid:3)(cid:111)
−
x
3
(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
2
+
𝑚 1
=1(cid:37)(cid:30)(cid:78)(cid:158)a(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:67) (cid:68)
𝑎+
A(cid:62)0 B(cid:62)1 C(cid:62)1(cid:227)5 𝑥 D − (cid:62) 5 5 5−𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:23)4-2(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:135)(cid:228)(cid:229)(cid:104)·(cid:230)(cid:11)(cid:231)(cid:232)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:233)(cid:38)(cid:30)(cid:78)(cid:158)m(cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62)
( )( 2)
𝑥 𝑚
𝑥−1−1
6
𝑥−1 𝑥+
3
(cid:15)(cid:113)(cid:23)4-3(cid:19)(cid:67)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:120)·(cid:234)(cid:203)(cid:235)(cid:236)(cid:68)(cid:164)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:38)(cid:30)(cid:78)(cid:158)k(cid:32)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)
( )
𝑥+ 𝑘
(cid:69) (cid:62) 𝑥−1 𝑥 𝑥−1 −𝑥
【题型5 由分式方程的整数解求参数】
2
(cid:15)(cid:96)5(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:212)(cid:213)(cid:237)(cid:127)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:67) >3(cid:78)(cid:238) (cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:68)(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)
𝑚
(cid:158) (cid:32)(cid:210)(cid:211)(cid:40)(cid:33)(cid:32)(cid:239)(cid:77)(cid:67) (cid:68) 𝑥 𝑥−3 𝑥 𝑚 𝑚+
A
A
科
全
★
𝑚A(cid:62)15 B(cid:62)17 C(cid:62)22
众
号 D(cid:62)28
公
注
关
，
(cid:15)(cid:113)(cid:23)5-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:240)(cid:98)(cid:99)(cid:109)资·(cid:101)(cid:102)源(cid:241)(cid:242)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) + = (cid:38)(cid:243)(cid:244)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:158) (cid:32)
辅
教 𝑦 𝑎
(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:77) (cid:62) 𝑦 𝑦−2 2−𝑦 −1 𝑎
3
(cid:15)(cid:113)(cid:23)5-2(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:245)(cid:132)(cid:246)(cid:226)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:164)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:38)(cid:247)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:158)(cid:39)(cid:36)m(cid:32)(cid:33)(cid:69)
𝑚
(cid:67) (cid:68)
𝑥−2 𝑥
A(cid:62)2 B(cid:62)5 C(cid:62)2(cid:227)5 D(cid:62)5(cid:227)7
5 3
(cid:15)(cid:113)(cid:23)5-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:212)(cid:213)(cid:248)(cid:101)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:164)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:118)(cid:167)(cid:23)(cid:249) 3𝑥+ 4 +1 >𝑥+ 2 (cid:37)(cid:30)(cid:78)(cid:238)(cid:3)(cid:111)y(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
2≤ 2
𝑥+𝑎
𝑥
3
(cid:25) = (cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:158)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:32)(cid:39)(cid:36)a(cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62)
5−𝑎𝑦
2−𝑦−1 𝑦−2
【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】
(cid:15)(cid:96)6(cid:19)(cid:67)2025·(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:56)(cid:231)(cid:254)(cid:20)(cid:68)(cid:219)(cid:59)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =3(cid:30)(cid:77)(cid:244)(cid:36)(cid:78)(cid:158) (cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:67) (cid:68)
𝑥+𝑘 2𝑘
𝑥 𝑥−4−4−𝑥 4 𝑘 4
A(cid:62) < B(cid:62) > C(cid:62) < (cid:238) D(cid:62) > (cid:238)
3 3
𝑘 −4 𝑘 −4 𝑘 −4 𝑘≠− 𝑘3 −4 𝑘≠−
(cid:15)(cid:113)(cid:23)6-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:116)(cid:229)(cid:255)(cid:160)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:219)(cid:59)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = +1(cid:32)(cid:30)(cid:250)(cid:251) < <
( )( 3)
𝑥+ 𝑘
𝑥−2 𝑥−2 𝑥+ −2 𝑥(cid:78)(cid:238)k(cid:77)(cid:39)(cid:36)(cid:78)(cid:158)(cid:256)(cid:162)(cid:252)(cid:253)(cid:32)(cid:257)(cid:38)k(cid:33)(cid:32)(cid:239)(cid:77) (cid:62)
−1 2 5
(cid:15)(cid:113)(cid:23)6-2(cid:19)(cid:67)2025·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:258)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:172)(cid:183)(cid:68)(cid:219)(cid:59)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) + = (cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:243)(cid:247)(cid:36)(cid:78)(cid:158) (cid:40)(cid:33)
3
𝑚𝑥
2
(cid:41)(cid:42)(cid:69)(cid:67) (cid:68) 𝑥 𝑥−3 𝑥 −9 𝑥+ 𝑚
A(cid:62) 3(cid:238) 10 B(cid:62) >3(cid:238) 10
C(cid:62)𝑚≥3(cid:238)𝑚≠ D(cid:62)𝑚 >3(cid:238)𝑚≠ 4
𝑚≤ 𝑚≠−4 𝑚 𝑚≠ 3( )<2( +1)
(cid:15)(cid:113)(cid:23)6-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:63)(cid:261)(cid:262)(cid:135)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:164)(cid:39)(cid:36)a(cid:263)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:118)(cid:167)(cid:23)(cid:249)
+
(cid:38)(cid:238)(cid:264)(cid:38)
𝑥−1 𝑥
(cid:172)(cid:112)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:238)(cid:263)(cid:3)(cid:111)y(cid:32)(cid:24)(cid:25) + =4(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:243)(cid:247)(cid:36)(cid:78)(cid:158)(cid:256)(cid:162)(cid:252)(cid:253)(cid:32)(cid:257)(cid:38)5(cid:39)𝑥−(cid:36)2 a ≥(cid:32)𝑥(cid:239)(cid:77)𝑎 (cid:62)
3𝑦+𝑎 2𝑎
𝑦−1 1−𝑦
【题型7 分式方程的规律探索题】
1 1
(cid:15)(cid:96)7(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:212)(cid:213)(cid:191)(cid:265)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:75)(cid:22)(cid:23) (cid:239) (cid:22)(cid:173)(cid:266)(cid:77)M(cid:78)N(cid:78)(cid:205)(cid:267)(cid:109)(cid:110)(cid:94)(cid:95)(cid:268)(cid:235)(cid:10)(cid:195)(cid:92)(cid:94)(cid:78)(cid:269)
1
𝑥 𝑥+
(cid:270)(cid:271) + (cid:78)(cid:146)(cid:272)(cid:266)(cid:77) (cid:78)(cid:273)(cid:270)(cid:271) (cid:78)(cid:146)(cid:272)(cid:266)(cid:77) (cid:70)(cid:195)(cid:224)(cid:94)(cid:78)(cid:269)(cid:270)(cid:271) + (cid:78)(cid:146)(cid:272)(cid:266)(cid:77) (cid:78)(cid:273)(cid:270)(cid:271)
𝑀 (cid:78)𝑁(cid:146)(cid:272)(cid:266)(cid:77) (cid:70)𝑀(cid:195) 1 (cid:172)(cid:94)(cid:70)(cid:269)𝑀(cid:270)−(cid:271)𝑁 + (cid:78)(cid:146)𝑁(cid:272) 1 (cid:266)(cid:77) (cid:78)(cid:273)(cid:270)(cid:271)𝑀1 𝑁(cid:78) 1 (cid:146)(cid:272)(cid:266)(cid:77) 𝑀(cid:78) 2 …(cid:274)(cid:275)(cid:268)(cid:235)
𝑀(cid:109)1(cid:82)−(cid:78)𝑁1 (cid:158) = 𝑁 2 (cid:62)(cid:164) =1𝑀92 2 (cid:78)(cid:158)𝑁2 (cid:32)(cid:33)(cid:69) 𝑀 3 (cid:62)𝑀2 −𝑁2 A + 𝑁3
A
科
全
(cid:15)(cid:113)(cid:23)7-
𝑀
1(cid:19)
4
(cid:165)(cid:166)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:67)1
𝑀
(cid:68)
1 1 2
=
2
(cid:70)(cid:67)2
𝑁
(cid:68)
12 1
公=
3众
(cid:70)
号
(cid:67)3(cid:68)
★ 1
=
4
(cid:70)(cid:67)4(cid:68)
1
=
5
(cid:70)…(cid:176)(cid:177)(cid:171)(cid:100)(cid:43)(cid:44)(cid:78)
2 注 3 4 5
关
，
源
(cid:195) (cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:171)(cid:28)(cid:276)(cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:67)辅 (cid:68)资(cid:62) 𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+
教
𝑛 1 1 1 1
A(cid:62) = (cid:78) = B(cid:62) = (cid:78) =
1
𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛+
1 𝑥 𝑥+𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑥 1 𝑥+𝑛+ 1 𝑥 𝑛
C(cid:62) = (cid:78) = D(cid:62) = (cid:78) =
1 1
𝑛 𝑛−1 𝑛+ 𝑛
(cid:15)(cid:113)(cid:23) 𝑥7-2(cid:19) 𝑥+ (cid:67) 𝑛 2𝑥4-25(cid:159)𝑛 (cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:277)(cid:116)(cid:278)(cid:279)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:269) 𝑥 (cid:200)(cid:280) 𝑥+ (cid:109) 𝑛+ (cid:180)(cid:32)𝑥(cid:281)(cid:282)𝑛(cid:78)+ (cid:283)(cid:203)(cid:284)(cid:201)(cid:285)(cid:20)(cid:10)
1 1 1 1 1 1
(cid:24)(cid:25) + =2+ (cid:32)(cid:30)(cid:77) =2(cid:78) = (cid:70)(cid:24)(cid:25) + =3+ (cid:32)(cid:30)(cid:77) =3(cid:78) = (cid:70)(cid:62)(cid:62)(cid:62)(cid:62)(cid:62)(cid:62)
2 2 3 3
𝑥 𝑥 𝑥1 1 𝑥2 1 𝑥 𝑥 𝑥1 𝑥2
(1)(cid:176)(cid:177)(cid:100)(cid:180)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:168)(cid:169) + = + (cid:32)(cid:30)(cid:77) (cid:70)
𝑥 𝑥 𝑎 𝑎 1 7 1 1
(2)(cid:286)(cid:287)(cid:67)1(cid:68)(cid:56)(cid:32)(cid:146)(cid:147)(cid:78)(cid:75)(cid:24)(cid:25) + = (cid:113)(cid:288)(cid:77) + = + (cid:32)(cid:288)(cid:23)(cid:170)(cid:34)(cid:30)(cid:70)
2
𝑦+
3 13 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑎 𝑎
(3)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + = (cid:62)
1 3
2𝑥+
𝑥 𝑥+ 1 1 1 1 3 3 1 1
(cid:15)(cid:113)(cid:23)7-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:131)(cid:132)(cid:160)(cid:127)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:165)(cid:166)(cid:43)(cid:44)(cid:10) = 1+ = × = (cid:78)
2 2 2 2 2 4 2 3
2 2 2
1 1 1 1 1 3 2 4 2 1 1 − 1 1− 1 1 3 2 4 3 1− 5 5 1−
= 1+ 1+ = × × × = (cid:78) = × × × × × = ……(cid:164)
2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 4 2 2 3 3 4 4 8
2 2 2
1 1 − 1 1− 1 1
=
1013
(cid:67)n(cid:77)(cid:247)(cid:39)(cid:36)(cid:68)
1−
(cid:78)(cid:158)n
1
(cid:32)
−
(cid:33)(cid:77)
1
(cid:67)
−
(cid:68)
2 3 4 2025
2 2 2 2
1− 1− 1− ⋯ 1−𝑛A(cid:62)2023 B(cid:62)2024 C(cid:62)2025 D(cid:62)2026
【题型8 分式方程的新定义题】
(cid:15)(cid:96)8(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:289)(cid:226)(cid:290)(cid:291)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:292)(cid:111)(cid:92)(cid:293)(cid:65)(cid:294)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:154)(cid:85)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:10)①(cid:164)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:174)
(cid:139)(cid:32)(cid:30)(cid:78)(cid:158)(cid:298)(cid:90)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:77)“(cid:174)(cid:299)(cid:24)(cid:25)”(cid:70)(cid:164)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:38)(cid:174)(cid:139)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:30)(cid:78)(cid:158)(cid:298)(cid:90)(cid:85)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:77)“(cid:174)(cid:300)(cid:24)(cid:25)”(cid:62)
(1)(cid:301)(cid:209)(cid:24)(cid:25) ( )= (cid:222) = (cid:69)(cid:302)(cid:77)“(cid:174)(cid:299)(cid:24)(cid:25)”(cid:78)(cid:170)(cid:303)(cid:304)(cid:179)(cid:31)(cid:70)
2
3𝑥−1
(2)(cid:219)(cid:59)(cid:3)(cid:111)6x−(cid:78)4y1(cid:32)−(cid:224)𝑥(cid:54)(cid:92)2𝑥(cid:305)(cid:24) 𝑥 (cid:25) + =−4 +6(cid:239) = + (cid:69)“(cid:174)(cid:300)(cid:24)(cid:25)”(cid:78)(cid:34)(cid:247)(cid:39)(cid:36)m(cid:32)(cid:33)(cid:62)
𝑦 𝑚𝑥 𝑦 𝑥 4𝑚 2 2 3 7
(cid:15)(cid:113)(cid:23)8-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:212)(cid:213)(cid:306)(cid:56)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:48)(cid:49)(cid:307)(cid:271) = + (cid:78)(cid:141)(cid:70)3 4= + = (cid:78)(cid:164) ( )
3 3
𝑎
=1(cid:78)(cid:158) (cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62) 𝑎Δ𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 Δ 3−4 − 𝑥Δ −4
𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:23)8-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:245)(cid:132)(cid:308)(cid:127)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:292) (cid:78) (cid:48)(cid:49)(cid:92)(cid:309)(cid:47)(cid:307)(cid:271) (cid:78)(cid:43)(cid:48) ( )= (cid:78)(cid:90)(cid:310)(cid:167)(cid:23)(cid:311)
3𝑎𝑏
3×1×2 𝑎 𝑏 𝑀 𝑀 𝑎,𝑏 𝑎−𝑏
(cid:86)(cid:69)(cid:312)(cid:313)(cid:32)(cid:212)(cid:158)(cid:307)(cid:271)(cid:78)(cid:96)(cid:141)(cid:10) (1,2)= = (cid:78)(cid:141)(cid:272) ( )= ( )(cid:78)(cid:34)(cid:314)(cid:36) (cid:32)(cid:33)(cid:70)
𝑀 1−2 −6 𝑀 1,2𝑥 𝑀 4,−1 𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:23)8-3(cid:19)(cid:67)24-25(cid:159)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:277)(cid:116)(cid:315)(cid:316)·(cid:128)(cid:134)(cid:68)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:92)(cid:309)(cid:47)(cid:307)(cid:271)(cid:10) = (cid:67)x(cid:78)y(cid:69)(cid:314)(cid:36)(cid:78)(cid:238)
☆
☆ 𝑥𝑦
+
A𝑥−𝑦
(cid:68)(cid:78)(cid:96)(cid:141)( ) ☆ 2 = (
(
−1 )
)×2
=
2
3 (cid:62) 众 号 ★ 全
科𝑥A𝑦
公
𝑥 (1) ≠ (cid:34) 𝑦( ) ( ) − (cid:32) 1 (cid:33)(cid:62) −1 −2 关 注
，
☆ 源
资
辅
(2)(cid:69)(cid:302)−(cid:317)3(cid:129)x−(cid:32)2(cid:33)(cid:78)(cid:263)教(cid:142) = +3(cid:191)(cid:318)(cid:319)(cid:164)(cid:317)(cid:129)(cid:78)(cid:205)(cid:34)(cid:154)x(cid:32)(cid:33)(cid:70)(cid:164)(cid:118)(cid:317)(cid:129)(cid:78)(cid:205)(cid:303)(cid:304)(cid:179)(cid:31)(cid:62)
1 1
☆ ☆
【题型9 裂项法解分式方𝑥程】 𝑥
(cid:15)(cid:96)9(cid:19)(cid:67)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:320)(cid:321)(cid:322)(cid:226)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:141)(cid:323)1(cid:257)(cid:324)(cid:78)(cid:75)(cid:288)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:190)(cid:119)(cid:174)(cid:139)(cid:32)“□”(cid:267)(cid:328)(cid:92)(cid:48)(cid:43)(cid:44)(cid:329)(cid:191)
(cid:109)(cid:110)(cid:323)(cid:288)(cid:78)(cid:195)1(cid:330)(cid:323)(cid:56)“□”(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77) (cid:78)(cid:195)2(cid:330)(cid:323)(cid:56)“□”(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77) (cid:78)(cid:195)3(cid:330)(cid:323)(cid:56)“□”(cid:32)(cid:112)(cid:36)(cid:77) (cid:78)……(cid:78)(cid:171)(cid:331)
2 2 2 2 𝑎1 𝑎2 𝑎3
(cid:332)(cid:178)(cid:78)(cid:164) + + + + = (cid:67) (cid:77)(cid:247)(cid:39)(cid:36)(cid:68)(cid:78)(cid:158) (cid:32)(cid:33)(cid:77) (cid:62)
21
𝑛
𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛 𝑛 𝑛
1 1 1 1
(cid:15)(cid:113)(cid:23)9-1(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + + = (cid:62)
( )( ) ( ) ( 1) 1
𝑥− 1 2 𝑥−1 1 𝑥−1 𝑥 𝑥 1 𝑥+ 𝑥+ 1 1
(cid:15)(cid:113)(cid:23)9-2(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) + + + + = (cid:62)
( ) ( 2) ( 2)( 4) ( 2024)( 2026) 2026
𝑥 1 −2 𝑥 𝑥 𝑥+ 1 𝑥+ 𝑥+ 1 ⋅⋅⋅ 𝑥+ 1 𝑥+ 4 𝑥+
(cid:15)(cid:113)(cid:23)9-3(cid:19)(cid:30)(cid:24)(cid:25) + + + = (cid:62)
20 30 42 56 28
2 2 2 2 2
𝑥 +9𝑥+ 𝑥 +11𝑥+ 𝑥 +13𝑥+ 𝑥 +15𝑥+ 𝑥 +【题型10 换元法解分式方程】
3
(cid:15)(cid:96)10(cid:19)(cid:67)2023(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:120)·(cid:117)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) =0(cid:62)
2
𝑥−1
𝑥+ −𝑥−1−1
3( )
(cid:15)(cid:113)(cid:23)10-1(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:100)(cid:333)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:287)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:24)(cid:25) + =5(cid:140)(cid:78)(cid:141)(cid:272)(cid:334) = (cid:78)(cid:220)(cid:221)(cid:142)
2
𝑥 𝑥 −1 𝑥
2 2
(cid:143)(cid:3)(cid:111) (cid:32)(cid:39)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:69) (cid:62) 𝑥 −1 𝑥 𝑥 −1 𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:23)
𝑦10-2(cid:19)(cid:67)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:109)·(cid:212)(cid:213)(cid:248)(cid:101)·(cid:128)(cid:56)(cid:68)(cid:219)(cid:59)(cid:3)(cid:111)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)
+ =3(cid:32)(cid:30)(cid:77) =2(cid:78)(cid:158)(cid:3)(cid:111)y(cid:32)
𝑎 3𝑏
2
𝑥−1 𝑥 −1 𝑥
(cid:24)(cid:25) + =3(cid:32)(cid:30)(cid:69)(cid:67) (cid:68)
( )
𝑎 3𝑏
2
A 4 (cid:62) 𝑦−3 =1 4𝑦−2 −1 B(cid:62) =2 C(cid:62) =3 D(cid:62)(cid:37)(cid:30)
𝑦 𝑦 𝑦 27
(cid:15)(cid:113)(cid:23)10-3(cid:19)(cid:67)2023(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:119)(cid:120)·(cid:117)(cid:20)(cid:107)(cid:108)(cid:68)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:10) =0(cid:62)
2
𝑥−1
𝑥+ −𝑥−1−9
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
