文档文本内容
专题 2.3 垂径定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:19)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:45)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:19)....................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:23)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:19)..............................................................................................................................11
知识点 垂径定理
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:77)AM =BM
①CD是直径
如图，
②CD AB
(cid:79) = C
⇒
⊥ (cid:78)𝐴𝐶 =𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐷
2. (cid:71)(cid:72)
(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)①CD是直径
(cid:77)CD AB
如上图，②AM =BM
(cid:79) ⊥= C
（AB不是直径）
⇒ (cid:78)𝐴𝐶 =𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:87)(cid:88) (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:47)(cid:73)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:91) (cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:91) (cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:73)(cid:92)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:91) (cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)
(cid:53)(cid:93)(cid:69)(cid:91)(cid:78)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:94)(cid:69)(cid:95)①(cid:96)(cid:97)(cid:67)(cid:68)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:100)(cid:87)(cid:88)②(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:68)(cid:98)(cid:99)③(cid:62)(cid:104)(cid:105)“(cid:83)(cid:106)(cid:107)(cid:103)”(cid:70) ④
【题型1 利用垂径定理判断正误】
(cid:15)(cid:108)1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:59)(cid:25)AB (cid:44)CD(cid:60)(cid:50)E(cid:62)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:95)(cid:86)(cid:26)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
⊙ ⊥
1
A(cid:70)AE(cid:116)OE B(cid:70)CE(cid:116)DE C(cid:70)OE(cid:116) CE D(cid:70) AOC(cid:116)60°
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)1-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:111)(cid:112)(cid:128)(cid:20)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) ∠(cid:76)
A(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:129)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
B(cid:70)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:42)(cid:61)(cid:44)
C(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:129)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
D(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:129)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)1-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)·(cid:103)(cid:134)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:135) (cid:136) (cid:122)(cid:62)(cid:137)(cid:138) (cid:62) (cid:62) (cid:70) (cid:53)(cid:42)(cid:61)(cid:35)(cid:139) (cid:60)(cid:50)
(cid:62)(cid:139) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:137)(cid:138) (cid:62) (cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:140)𝐴 (cid:31)𝐵(cid:53)(cid:75)⊙(cid:73)𝑂(cid:141)(cid:141)(cid:76) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵
𝐶 ⊙𝑂 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
A(cid:70) = B(cid:70) C(cid:70) = D(cid:70) =
(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴1𝐶-3(cid:19)𝐵(cid:73)𝐶2022(cid:119)(cid:120)(cid:121)𝑂·(cid:123)𝐷⊥(cid:124)𝐴·(cid:142)𝐵(cid:20)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:84)(cid:109)𝑂(cid:62)𝐶AB(cid:145)𝐶𝐷(cid:146)(cid:48)O(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)𝐴𝐷AC(cid:62)𝐵A𝐷D(cid:147)(cid:75)(cid:44)(cid:62)(cid:64)AC(cid:42)(cid:61)
BAD(cid:62)(cid:148)(cid:111)(cid:112)(cid:149)(cid:118)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
∠A(cid:70)AB+AD(cid:116)2AC B(cid:70)AB+AD(cid:150)2AC
C(cid:70)AC(cid:116)AB•AD D(cid:70)AC(cid:150)AB•AD
【题型2 利用垂径定理求角度】
(cid:15)(cid:108)2(cid:19)(cid:73)22-23(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:151)(cid:152)(cid:151)(cid:126)·(cid:153)(cid:36)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)2(cid:62)(cid:44) (cid:135) (cid:37)(cid:61)(cid:154)(cid:145)2 2(cid:155)2 3(cid:62)(cid:148)
(cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:145)(cid:73)(cid:141)(cid:141)(cid:76) ⊙ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
A(cid:70)30° B(cid:70)45° C(cid:70)15°(cid:156)75° D(cid:70)30°(cid:156)45°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)2-1(cid:19)(cid:73)2023·(cid:157)(cid:131)(cid:158)(cid:159)·(cid:134)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:64) = (cid:62)
=52°(cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:145)(cid:73)(cid:141)(cid:76) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐷𝐸
∠𝐶𝑂𝐵 ∠𝐷𝐶𝑂
A(cid:70)52° B(cid:70)50° C(cid:70)48° D(cid:70)38°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)2-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:111)·(cid:163)(cid:131)(cid:164)(cid:165)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:146)(cid:25) (cid:62) (cid:62)(cid:148) (cid:53)
(cid:34)(cid:52)(cid:145)(cid:73) (cid:76) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐴𝐶∥𝑂𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶
A(cid:70)30° B(cid:70)45° C(cid:70)60° D(cid:70)75°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)2-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:124)(cid:166)(cid:167)(cid:126)·(cid:127)(cid:168)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:67)(cid:44) (cid:135) (cid:169)(cid:139)(cid:60) (cid:62)(cid:64)(cid:50) (cid:145) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)
(cid:170) =32°(cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:145) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐴 𝐶𝐷
∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝐶𝐸𝐴【题型3 利用垂径定理求线段长度】
(cid:15)(cid:108)3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:171)(cid:166)(cid:166)(cid:172)·(cid:153)(cid:36)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:89)(cid:90)(cid:50) (0,0)(cid:62)(cid:139)y(cid:173)(cid:60)(cid:50)A(cid:62)(cid:170) ( )(cid:62)
(cid:44) (cid:37)(cid:145)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑃 𝑂 𝑃 −10,−8
𝑂𝐴
A(cid:70)8 B(cid:70)10 C(cid:70)16 D(cid:70)20
(cid:15)(cid:117)(cid:118)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:174)(cid:126)(cid:175)(cid:176)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136) (cid:95)(cid:62) (cid:60)(cid:50) (cid:62) =4(cid:62) =1(cid:62)(cid:148)
(cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)(cid:37)(cid:75)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝑂𝐶 ⊙𝑂
A(cid:70)2 3 B(cid:70) 10 C(cid:70) 17 D(cid:70)2 5
(cid:15)(cid:117)(cid:118)3-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:163)(cid:131)(cid:37)(cid:177)·(cid:103)(cid:134)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:135) (cid:135) (cid:75) (cid:122)(cid:53)(cid:50)(cid:62) (cid:62)(cid:24)(cid:178)(cid:145)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:170)
=6(cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:37)(cid:145)(cid:73) (cid:76) 𝐴 𝐵 𝐶 ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐷 𝐵𝐶∥𝑂𝐴
𝐵𝐶 𝑂𝐷
A(cid:70)3 3 B(cid:70)3 C(cid:70)2 3 D(cid:70)4
(cid:15)(cid:117)(cid:118)3-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:111)·(cid:163)(cid:179)(cid:180)(cid:181)·(cid:153)(cid:36)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:50)A(cid:62)C(cid:62)D(cid:136) (cid:122)(cid:62)(cid:50)B(cid:136) (cid:182)(cid:62)
⊙𝑂 ⊙𝑂 ∠𝐵(cid:155) (cid:183)(cid:145)(cid:59)(cid:33)(cid:62) =2(cid:62) =6(cid:62) =4(cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)(cid:73) (cid:76)
∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ⊙𝑂
A(cid:70)5 B(cid:70)3 2 C(cid:70)2 5 D(cid:70) 21
【题型4 利用垂径定理求面积】
(cid:15)(cid:108)4(cid:19)(cid:73)23-24(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:163)(cid:179)(cid:184)(cid:185)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136)(cid:146)(cid:25)(cid:145)1(cid:53) (cid:95)(cid:186)(cid:103)(cid:68)(cid:44)(cid:62)(cid:187)(cid:188)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:33)(cid:61)(cid:154)
(cid:145)60°(cid:62)90°(cid:62)120°(cid:62)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:103)(cid:68)(cid:44)(cid:37)(cid:145)(cid:193)(cid:37)(cid:53)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75) ⊙ 𝑂 (cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)4-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:171)(cid:166)(cid:195)(cid:131)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:137)(cid:138) (cid:62) (cid:62)
(cid:170) =8cm(cid:62) =2cm(cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75)(cid:73) (cid:76) 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝑂𝐵
𝐵𝐷 𝐴𝐸 △𝑂𝐵𝐶
A(cid:70)10cm B(cid:70)20cm C(cid:70)40cm D(cid:70)5cm
2 2 2 2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)4-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:163)(cid:179)·(cid:106)(cid:134)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:196)(cid:194) (cid:53)(cid:197)(cid:50)B(cid:62)C(cid:136)(cid:146)(cid:25)(cid:145)5(cid:53)(cid:146)(cid:48)O(cid:122)(cid:62)(cid:197)(cid:50)A(cid:62)D(cid:136)
(cid:59)(cid:25) (cid:122)(cid:70)(cid:170) =2(cid:62)(cid:148)(cid:196)(cid:194) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:198)(cid:60)(cid:73)𝐴𝐵 𝐶 𝐷(cid:76)
𝐸𝐹 𝐸𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:70)21 B(cid:70)22 C(cid:70)23 D(cid:70)24(cid:15)(cid:117)(cid:118)4-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:103)(cid:51)(cid:197)(cid:50)(cid:147)(cid:136)(cid:48)O(cid:122)(cid:62)(cid:50)O(cid:203) (cid:53)(cid:204)(cid:205)(cid:145)3(cid:62)
=8(cid:64) = (cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:38)(cid:39)= (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴 【 𝐵 题型5 𝐶𝐴 利用 𝐶 垂 𝐵 径定理 △ 求 𝐴 坐 𝐵𝐶 标】
(cid:15)(cid:108)5(cid:19)(cid:73)2025·(cid:124)(cid:166)(cid:131)(cid:206)·(cid:86)(cid:134)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:50) ( )(cid:62) ( )(cid:62)(cid:146)(cid:25)(cid:145)5(cid:53) (cid:89)(cid:90)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:148)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)
(cid:145)(cid:73) (cid:76) 𝑀 0,−2 𝑁 0,−8 ⊙𝐴 𝑀 𝑁 𝐴
A(cid:70)( ) B(cid:70)( ) C(cid:70)( ) D(cid:70)( )
(cid:15)(cid:117)(cid:118)5-−15(cid:19),−(cid:73)424-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)−(cid:122)4,·−(cid:207)6(cid:208)·(cid:127)(cid:168)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136)−6(cid:42),−(cid:38)4(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:209)(cid:95)(cid:62)(cid:146)−4(cid:25),−(cid:145)55(cid:53) (cid:89)(cid:90)(cid:50) ( )(cid:62)
( )(cid:62)(cid:148)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:145) (cid:70) ⊙𝐴 𝐵 0,−1 𝐶
0,−7 𝐴
(cid:15)(cid:117)(cid:118)5-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:136)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:209)(cid:95)(cid:62) (cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:40)(cid:41)(cid:75) >3)(cid:62)
(cid:146)(cid:25)(cid:145)3(cid:62)(cid:215)(cid:52) = (cid:53)(cid:109)(cid:216)(cid:217) (cid:218)(cid:219)(cid:53)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:145)2 3(cid:62)(cid:148) (cid:53)(cid:58)(cid:75) ⊙ 𝑃(cid:70) (3,𝑎)(𝑎
𝑦 𝑥 ⊙𝑃 𝐴𝐵 𝑎
(cid:15)(cid:117)(cid:118)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)·(cid:127)(cid:168)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:209)(cid:95)(cid:62)(cid:30)(cid:224)(cid:194) (cid:53)(cid:197)(cid:50) (cid:62) (cid:61)(cid:154)
(cid:136) (cid:173)(cid:62) (cid:173)(cid:122)(cid:62)(cid:191) (cid:145)(cid:44)(cid:53) (cid:225) (cid:173)(cid:169)(cid:226)(cid:62)(cid:170)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:145)(0,8)(cid:62)(cid:148)(cid:48)(cid:47) (cid:53)(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:145)𝐵(cid:73)𝐶𝑂 (cid:76) 𝐴 𝐶
𝑦 𝑥 𝐴𝐵 ⊙𝑀 𝑥 𝐴 𝑀A(cid:70)( ) B(cid:70)( ) C(cid:70)( ) D(cid:70)( )
−4,5 −5,4 −4,4 −4,3
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
(cid:15)(cid:108)6(cid:19)(cid:136)(cid:48)(cid:227)(cid:194)(cid:228)(cid:229)(cid:182)(cid:230)(cid:186)(cid:86)(cid:231)(cid:228)(cid:62)(cid:218)(cid:38)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:232)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:218)(cid:38) O(cid:146)(cid:25)(cid:145)5cm(cid:62)(cid:228)(cid:38)(cid:233)AB(cid:145)6cm(cid:62)(cid:84)(cid:85)
(cid:234)(cid:4)(cid:235)(cid:86)(cid:231)(cid:228)(cid:236)(cid:62)(cid:228)(cid:38)(cid:233)(cid:117)(cid:145)8cm(cid:62)(cid:148)(cid:228)(cid:38)AB(cid:122)(cid:237)(cid:238)(cid:73) (cid:76)cm ⊙
A(cid:70)1 B(cid:70)3 C(cid:70)3(cid:156)4 D(cid:70)1(cid:156)7
(cid:15)(cid:117)(cid:118)6-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:196)(cid:194)ABCD(cid:225)(cid:48)(cid:47)(cid:136)AB(cid:122)(cid:53)(cid:239)O(cid:139)(cid:60)(cid:50)G(cid:62)B(cid:62)F(cid:62)E(cid:62) GB =5(cid:62)EF =4(cid:62)(cid:189)(cid:190)AD =_____(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)6-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:240)(cid:241)(cid:124)(cid:242)(cid:243)(cid:124)·(cid:127)(cid:168)(cid:76)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)13(cid:62)(cid:44) (cid:42)(cid:43)(cid:60)(cid:44) (cid:62) =10(cid:62)
=24(cid:62) (cid:155) (cid:244)(cid:245)(cid:53)(cid:204)(cid:205)(cid:75) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐷
𝐴(cid:15)𝐵(cid:117)(cid:118)6-3(cid:19)𝐴𝐵(cid:73)2𝐶4𝐷-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:130)(cid:179)(cid:246)(cid:247)(cid:214)·(cid:127)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)3(cid:62)(cid:44) =2 3,Rt (cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:197)
(cid:50)B(cid:136)(cid:44) (cid:122)(cid:248)(cid:249)(cid:73)(cid:82)(cid:225)(cid:50)M(cid:62)N(cid:250)(cid:251)(cid:76)(cid:62)(cid:50)A(cid:62)C(cid:252)(cid:253)⊙(cid:136)𝑂 (cid:122)(cid:62)(cid:64) =𝑀3𝑁(cid:70)(cid:3)(cid:60)(cid:254)(cid:254)△(cid:155)𝐴(cid:255)𝐵(cid:255)𝐶(cid:53)(cid:256)(cid:257)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)𝑀𝑁(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 𝐴𝐵(cid:254)(cid:254)(cid:256)(cid:10)“(cid:258)(cid:50)B(cid:225)(cid:50)M(cid:62)(cid:50)N(cid:250)(cid:251)(cid:259)(cid:62) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:75)30°(cid:70)”
(cid:255)(cid:255)(cid:256)(cid:10)“(cid:137)(cid:138) (cid:62)(cid:258) (cid:225)(cid:44) (cid:42)(cid:43)(cid:259)(cid:62)∠𝐶(cid:50)B(cid:203) (cid:53)(cid:204)(cid:205)(cid:145)2(cid:70)”
A(cid:70)(cid:254)(cid:254)(cid:30)(cid:115)𝑂𝐴(cid:62)(cid:255)(cid:255)𝑂(cid:140)𝐴 (cid:31) 𝑀𝑁 B(cid:70)(cid:254)𝑂(cid:254)𝐴 (cid:140)(cid:31)(cid:62)(cid:255)(cid:255)(cid:30)(cid:115)
C(cid:70)(cid:254)(cid:254)(cid:30)(cid:115)(cid:62)(cid:255)(cid:255)(cid:260)(cid:30)(cid:115) D(cid:70)(cid:254)(cid:254)(cid:140)(cid:31)(cid:62)(cid:255)(cid:255)(cid:260)(cid:140)(cid:31)
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
(cid:15)(cid:108)7(cid:19) (cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:86)(cid:261)(cid:262)(cid:53)(cid:69)(cid:194)(cid:263)(cid:153)(cid:62)(cid:264)(cid:122)(cid:265)(cid:111)(cid:266)(cid:75)(cid:86)(cid:267)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:217)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:65)(cid:218)(cid:219)(cid:53)(cid:86)(cid:267)(cid:48)(cid:69)(cid:70)(cid:110)(cid:83)(cid:268)(cid:51)(cid:263)
(cid:153)(cid:233)(cid:34)(cid:145)32cm(cid:73)(cid:269)(cid:169)(cid:270)(cid:67)(cid:69)(cid:146)(cid:25)(cid:169)(cid:271)32cm(cid:76)(cid:62)(cid:162)(cid:219)AB=200cm(cid:62)AC=BD=40cm(cid:62)(cid:148)(cid:69)AB(cid:65)(cid:136)(cid:53)(cid:48)(cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)
cm
(cid:15)(cid:117)(cid:118)7-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:67)(cid:51)(cid:48)(cid:147)(cid:191)(cid:50)O(cid:145)(cid:48)(cid:47)(cid:70)
(cid:32)(cid:272)(cid:10) = (cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴7𝐶-2(cid:19)𝐵(cid:84)𝐷(cid:109)(cid:62)(cid:67)(cid:51)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:61)(cid:154)(cid:145)2(cid:155)4(cid:62)(cid:196)(cid:194) (cid:53)(cid:193) (cid:155) (cid:61)(cid:154)(cid:75)(cid:67)(cid:48)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:148)(cid:196)(cid:194)
(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:57)(cid:273)(cid:58)(cid:75) (cid:70) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:117)(cid:118)7-3(cid:19)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:98)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:75)(cid:280)SARS(cid:276)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:34)(cid:285)(cid:286)(cid:53)(cid:282)(cid:283)(cid:276)(cid:70)(cid:73)1(cid:76)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:186)8(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:62)(cid:294)(cid:295)(cid:186)1(cid:292)(cid:293)(cid:219)(cid:238)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:74)(cid:296)(cid:297)(cid:96)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:62)(cid:189)(cid:190)(cid:62)(cid:203)(cid:303)(cid:106)(cid:304)(cid:305)(cid:132)(cid:306)
(cid:276)(cid:293)10(cid:292)(cid:62)(cid:203)(cid:303)(cid:103)(cid:304)(cid:307)(cid:305)(cid:132)(cid:306)(cid:276)(cid:293)100(cid:292)(cid:62)(cid:191)(cid:236)(cid:268)(cid:304)(cid:132)(cid:306)(cid:276)(cid:293)(cid:52)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:107)(cid:62)(cid:311)(cid:45)(cid:10)(cid:203)(cid:303)(cid:199)(cid:304)(cid:62)(cid:312)(cid:186)(cid:313)(cid:314)(cid:292)
(cid:293)(cid:219)(cid:238)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:276)(cid:315)(cid:203)(cid:303)(cid:316)(cid:304)(cid:62)(cid:317)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:65)(cid:186)(cid:293)(cid:147)(cid:318)(cid:217)(cid:279)(cid:283)(cid:315)
(cid:73)2(cid:76)(cid:145)(cid:299)(cid:319)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:320)(cid:321)(cid:62)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:26)(cid:10)(cid:205)(cid:325)(cid:50)3(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:182)(cid:145)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:62)(cid:65)(cid:186)(cid:277)(cid:310)(cid:207)(cid:333)(cid:330)(cid:331)(cid:91)(cid:205)(cid:325)(cid:50)3(cid:334)5(cid:326)
(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:182)(cid:145)(cid:335)(cid:325)(cid:332)(cid:62)(cid:65)(cid:186)(cid:53)(cid:277)(cid:310)(cid:336)(cid:337)(cid:335)(cid:325)(cid:91)(cid:46)(cid:259)(cid:62)(cid:66)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:155)(cid:335)(cid:325)(cid:332)(cid:182)(cid:53)(cid:338)(cid:339)(cid:135)(cid:340)(cid:341)(cid:54)(cid:43)(cid:207)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:27)(cid:70)(cid:345)
(cid:186)(cid:86)(cid:68)(cid:346)(cid:59)(cid:53)(cid:7)(cid:341)AB(cid:347)(cid:90)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:276)(cid:332)(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:62)O(cid:145)(cid:325)(cid:50)(cid:62)(cid:136)(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:182)(cid:53)(cid:7)(cid:341)CD(cid:37)(cid:145)4(cid:326)(cid:327)(cid:62)(cid:45)(cid:192)(cid:68)(cid:7)(cid:341)
(cid:136)(cid:317)(cid:335)(cid:325)(cid:332)(cid:182)(cid:186)(cid:313)(cid:314)(cid:326)(cid:327)
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
(cid:15)(cid:108)8(cid:19)(cid:73)2022·(cid:130)(cid:179)(cid:185)(cid:348)(cid:339)·(cid:86)(cid:134)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)AB(cid:75) C(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:59)(cid:25)MN AB(cid:60)(cid:50)O(cid:62)MN=10(cid:62)AB=8(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:191)O
(cid:145)(cid:349)(cid:50)(cid:152)(cid:350)(cid:40)(cid:41)(cid:209)(cid:70)(cid:351)(cid:188)(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:75)(cid:49)(cid:52)(cid:53)⊙(cid:50)(cid:355)(cid:356)(cid:49)(cid:52)(cid:50)(cid:62)(cid:148)(cid:35)⊥(cid:36)OC(cid:37)(cid:75) (cid:62) C(cid:122)(cid:53)(cid:49)(cid:52)(cid:50)(cid:186)
(cid:51)(cid:70) ⊙
(cid:15)(cid:117)(cid:118)8-1(cid:19)(cid:73)2024(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:124)(cid:16)·(cid:142)(cid:20)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)10(cid:62) (cid:53)(cid:86)(cid:68)(cid:44) =16(cid:62)(cid:170)
(cid:182)(cid:53)(cid:86)(cid:50)P(cid:357)(cid:358)(cid:136) (cid:122)(cid:62)(cid:148)(cid:35)(cid:36) (cid:53)(cid:37)(cid:34)(cid:145)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:186)(cid:73)⊙ 𝑂 (cid:76) ⊙𝑂 𝐴𝐵 ⊙𝑂
𝐴𝐵 𝑂𝑃A(cid:70)2(cid:51) B(cid:70)3(cid:51) C(cid:70)4(cid:51) D(cid:70)5(cid:51)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)8-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:59)(cid:25)(cid:145)10(cid:53) (cid:182)(cid:186)(cid:86)(cid:50) (cid:62)(cid:64) =3(cid:62)(cid:148)(cid:89)(cid:90) (cid:50)(cid:53)(cid:65)(cid:186)(cid:44)(cid:95)(cid:37)(cid:34)(cid:145)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:186)
(cid:68)(cid:70) ⊙𝑂 𝑃 𝑂𝑃 𝑃
(cid:15)(cid:117)(cid:118)8-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:124)(cid:16)(cid:359)(cid:124)·(cid:153)(cid:36)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:209) (cid:95)(cid:62)(cid:191)(cid:349)(cid:50)O(cid:145)(cid:48)(cid:47)(cid:53)(cid:48)
𝑥𝑂𝑦
(cid:90)(cid:50) 13(cid:62)0 (cid:62)(cid:59)(cid:35) = +4( 0)(cid:225) (cid:139)(cid:60)B(cid:135)C(cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:148)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:145)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:186) (cid:68)(cid:70)
𝐴 𝑦 𝑘𝑥−3𝑘 𝑘≠ ⊙𝑂 𝐵𝐶
【题型9 垂径定理的实际应用】
(cid:15)(cid:108)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:172)(cid:360)(cid:361)(cid:172)·(cid:153)(cid:36)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:186)(cid:86)(cid:51)(cid:165)(cid:333)(cid:362)(cid:363)(cid:194)(cid:53)(cid:364)(cid:365)(cid:62)(cid:363)(cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)5cm(cid:62)(cid:365)(cid:182)(cid:366)
(cid:367)(cid:110)(cid:89)(cid:90)(cid:146)(cid:62)(cid:57)(cid:273)(cid:368)(cid:34) =7cm(cid:62)(cid:148)(cid:218)(cid:38)(cid:48)(cid:95)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:145)(cid:73) (cid:76)
𝐶𝐷 𝐴𝐵
A(cid:70)4cm B(cid:70)4 6cm C(cid:70)2 21cm D(cid:70)2 29cm
(cid:15)(cid:117)(cid:118)9-1(cid:19)(cid:73)2023·(cid:211)(cid:369)(cid:95)(cid:370)·(cid:103)(cid:134)(cid:76)(cid:351)(cid:208)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:52)(cid:11)(cid:373)(cid:375)(cid:376)(cid:119)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:312)(cid:382)(cid:383)(cid:238)246(cid:51)(cid:52)(cid:11)(cid:45)(cid:20)(cid:62)(cid:192)
(cid:231)(cid:45)(cid:20)(cid:53)(cid:378)(cid:257)(cid:384)(cid:280)(cid:385)(cid:386)(cid:46)(cid:310)(cid:378)(cid:257)(cid:387)1500(cid:120)(cid:70)(cid:101)(cid:95)(cid:186)(cid:192)(cid:388)(cid:86)(cid:51)(cid:45)(cid:20)(cid:10)“(cid:389)(cid:186)(cid:48)(cid:390)(cid:62)(cid:391)(cid:136)(cid:392)(cid:95)(cid:62)(cid:74)(cid:83)(cid:273)(cid:393)(cid:62)(cid:191)
(cid:394)(cid:394)(cid:244)(cid:62)(cid:368)(cid:86)(cid:395)(cid:62)(cid:394)(cid:340)(cid:37)(cid:86)(cid:396)(cid:62)(cid:45)(cid:25)(cid:316)(cid:298)(cid:315)”(cid:23)(cid:52)(cid:11)(cid:397)(cid:398)(cid:82)(cid:191)(cid:399)(cid:400)(cid:145)(cid:10)“(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:145) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44)
(cid:60)(cid:50)E(cid:62) =2(cid:395)(cid:62) =8(cid:395)(cid:73)(cid:4)(cid:10)1(cid:396)=10(cid:395)(cid:76)(cid:62)(cid:148)(cid:82)(cid:219)(cid:59)(cid:25) (cid:53)(cid:37)(cid:145) 𝐶 𝐷(cid:396)⊙(cid:70)”𝑂 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷
𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:15)(cid:117)(cid:118)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:401)(cid:402)·(cid:127)(cid:168)(cid:76)(cid:84)(cid:109)①(cid:75)(cid:393)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:405)(cid:356)(cid:53)(cid:86)(cid:51)(cid:406)(cid:407)(cid:408)(cid:62)(cid:109)②(cid:75)(cid:187)(cid:53)(cid:218)(cid:38)(cid:109)(cid:62)
(cid:24)(cid:59)(cid:409)(cid:410)(cid:53)(cid:406)(cid:407)(cid:225)(cid:408)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:67)(cid:414)(cid:415)(cid:53)(cid:139)(cid:50)(cid:145) (cid:62) (cid:62) =32cm (cid:62)(cid:406)(cid:407)(cid:59)(cid:25)(cid:145)40cm(cid:62)(cid:148)(cid:406)(cid:407)(cid:57)(cid:416)(cid:50) (cid:203)
(cid:53)(cid:204)(cid:205)(cid:75) cm(cid:70) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:117)(cid:118)9-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:254)(cid:402)·(cid:127)(cid:168)(cid:76)(cid:417)(cid:418)(cid:136)(cid:376)(cid:419)(cid:420)(cid:346)(cid:421)(cid:380)(cid:95)(cid:382)(cid:422)(cid:238)(cid:423)(cid:378)(cid:48)(cid:69)(cid:37)(cid:34)(cid:53)“(cid:318)(cid:48)(cid:379)”(cid:62)(cid:424)
(cid:384)(cid:425)(cid:341)(cid:75)(cid:426)(cid:333)(cid:191)(cid:59)(cid:372)(cid:427)(cid:62)(cid:428)(cid:43)(cid:429)(cid:430)(cid:423)(cid:378)(cid:70)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75)(cid:191) (cid:145)(cid:48)(cid:47)(cid:135) (cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:53)(cid:48)(cid:69)(cid:62) (cid:75)(cid:44) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62) (cid:75)
𝐴𝐵 𝑂 𝑂𝐴 𝐶 𝐴𝐵 𝐷
(cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:148) (cid:37)(cid:34)(cid:53)(cid:429)(cid:430)(cid:58) = + (cid:70)(cid:170) =2(cid:62) =8(cid:62)(cid:148) =(cid:73) (cid:76)
2
𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑙 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑙
A(cid:70)8.8 B(cid:70)8.7 C(cid:70)8.6 D(cid:70)8.5
【题型10 利用垂径定理求最值】
(cid:15)(cid:108)10(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:146)(cid:25)(cid:145)5(cid:62)P(cid:75)(cid:59)(cid:25)AB(cid:53)(cid:321)(cid:37)(cid:35)(cid:122)(cid:86)(cid:50)(cid:62)BP=1(cid:62)CD(cid:75) O(cid:53)(cid:86)(cid:68)(cid:44)(cid:62)CD=6(cid:62)
(cid:191)PC(cid:62)PD(cid:145)(cid:169)(cid:270)(cid:67)(cid:193)⊙(cid:375)(cid:42)(cid:43)(cid:199)(cid:193)(cid:194)PCED(cid:62)(cid:258)C(cid:62)D(cid:50)(cid:136)(cid:48)(cid:431)(cid:122)(cid:248)(cid:249)(cid:259)(cid:62)(cid:35)(cid:36)PE(cid:37)(cid:53)⊙(cid:57)(cid:393)(cid:58)(cid:75) (cid:70)(cid:15)(cid:117)(cid:118)10-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136) O(cid:95)(cid:62)AD(cid:145)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44)BC AD(cid:60)(cid:50)H(cid:62)(cid:137)(cid:138)OB(cid:62)(cid:110)(cid:83)OB(cid:116)2cm(cid:62) OBC(cid:116)30°(cid:62)
(cid:249)(cid:50)E(cid:136)(cid:59)(cid:25)AD(cid:122)(cid:264)⊙D(cid:432)A(cid:191)1cm/s(cid:53)(cid:284)(cid:34)(cid:356)(cid:433)⊥(cid:284)(cid:248)(cid:249)(cid:62)(cid:248)(cid:249)(cid:259)(cid:245)(cid:145)ts(cid:62)(cid:258) OBE(cid:116)30°(cid:259)(cid:62)∠t(cid:53)(cid:58)(cid:145) (cid:70)
∠
(cid:15)(cid:117)(cid:118)10-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136) (cid:95)(cid:62)(cid:59)(cid:25) =8(cid:62)(cid:44) =3(cid:62)(cid:50) (cid:75) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:375) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:170)(cid:50)
(cid:135) (cid:136) (cid:122)(cid:248)(cid:249)(cid:73)(cid:50)⊙(cid:135)𝑂 (cid:225)(cid:50) (cid:135)𝐴𝐵(cid:74)(cid:250)(cid:251)(cid:76)(cid:62)𝐶𝐷(cid:148) (cid:53)(cid:57)(cid:273)𝐸(cid:58)𝐶(cid:75)𝐷(cid:73) (cid:76) 𝐶 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐸𝐹
9 8
A(cid:70) B(cid:70)4 C(cid:70) D(cid:70)6
2 3
(cid:15)(cid:117)(cid:118)10-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:111)·(cid:172)(cid:360)(cid:434)(cid:126)·(cid:435)(cid:11)(cid:436)(cid:437)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:136)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:209)(cid:95)(cid:62)(cid:191)(cid:50) (0,1)(cid:145)(cid:48)(cid:47)(cid:62)(cid:146)
(cid:25)(cid:145)2(cid:53)(cid:48)(cid:225) (cid:173)(cid:139)(cid:60) (cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:225) (cid:173)(cid:139)(cid:60) (cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:50) (cid:145) (cid:122)(cid:86)(cid:249)(cid:50)(cid:62) (cid:60)(cid:50)𝐺(cid:62)(cid:148)(cid:50) (cid:136) (cid:122)
(cid:248)(cid:249)(cid:90)(cid:438)(cid:95)(cid:62)𝑥(cid:35)(cid:36) 𝐴(cid:53),𝐵(cid:37)(cid:53)(cid:57)(cid:393)(cid:58)𝑦(cid:145)(cid:73) 𝐶(cid:76),𝐷 𝐸 ⊙𝐺 𝐶𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹 𝐸 ⊙𝐺
𝐹𝐺
A(cid:70) 5 B(cid:70) 3 C(cid:70) 5+2 D(cid:70) 3+1
−2 −1
