专题2.7三角形的内切圆、切线长定理(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(苏科)

专题 2.7 三角形的内切圆、切线长定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:19)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:39)(cid:32)(cid:19)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:42)(cid:39)(cid:19)......................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:19)......................................................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:24)(cid:32)(cid:19)......................................................................................................................26
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................................................30
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:19)......................................................................................................................36
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:26)(cid:51)(cid:52)(cid:19)......................................................................................................41
(cid:15)(cid:20)(cid:21)11 (cid:29)(cid:48)(cid:29)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:19)..............................................................................................................................46
知识点1 三角形的内切圆
1. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:10)(cid:48)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:28)(cid:26)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:26)(cid:49)(cid:28)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:65)
2. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:67)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:65)
3. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:26)(cid:72)(cid:73)
(cid:27)(cid:34) (cid:49)(cid:34)
(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77) (cid:49)(cid:34)(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:78)(cid:71)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)
(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:71)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:81)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24) (cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:30)(cid:71)(cid:80)(cid:49)(cid:34)(cid:26)(cid:82)(cid:38)(cid:83)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:57)
(cid:84)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:85)(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:87) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:88)(cid:89)(cid:40)(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:87)
知识点2 切线长及切线长定理
1. (cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:10)(cid:90)(cid:79)(cid:29)(cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:26)(cid:29)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:91)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:80)(cid:28)(cid:71)(cid:92)(cid:93)(cid:38)(cid:94)(cid:26)(cid:39)(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:71)(cid:74)(cid:29)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:65)
2. (cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:95)(cid:29)(cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:29)(cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:100)(cid:101)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:59)(cid:77)(cid:62)(cid:63)(cid:89)(cid:71)(cid:80)(cid:29)(cid:34)(cid:26)(cid:102)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)
(cid:26)(cid:103)(cid:24)(cid:65)知识点3 圆和圆的位置关系
(cid:99)(cid:29)(cid:49)(cid:76) d>R+r(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:49)(cid:28)⇔d=R+r(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:59)(cid:70) R-r<d<R+r(R≥r)(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:27)(cid:28)⇔d=R-r(R>r)(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:27)(cid:105)⇔d<R-r(R>r)(cid:65)
【题型1 ⇔ 作三角形的内切圆】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) ABC(cid:30)(cid:61)(cid:89)(cid:64)(cid:29)(cid:62)(cid:122)(cid:100)(cid:48)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:57)(cid:58)(cid:59)
(cid:28)(cid:65) △
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:69)(cid:73)(cid:22) (cid:62) (cid:26)(cid:68)(cid:69)(cid:38) (cid:80) (cid:62)(cid:70)(cid:71)(cid:128)I(cid:62)(cid:129)(cid:79)I(cid:22) (cid:26)(cid:83)(cid:38)(cid:62)(cid:83)(cid:130)(cid:128)D(cid:62)(cid:129)(cid:97)I(cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:97)
(cid:26)(cid:39)(cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:22) ∠𝐵(cid:133)(cid:96)∠(cid:65)𝐶(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)𝐵(cid:23)𝐸(cid:24)(cid:25)𝐶𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:22)𝐵(cid:23)𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:140)(cid:141)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:3)(cid:142)(cid:65) 𝐼𝐷
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)⊙(cid:111)𝐼(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:10)(cid:69)(cid:73)(cid:22) (cid:62) (cid:26)(cid:68)(cid:69)(cid:38) (cid:80) (cid:62)(cid:70)(cid:71)(cid:128)I(cid:62)(cid:129)(cid:79)I(cid:22) (cid:26)(cid:83)(cid:38)(cid:62)(cid:83)(cid:130)(cid:128)D(cid:62)(cid:129)
(cid:97)I(cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:97) (cid:26)(cid:39)(cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:22) ∠𝐵(cid:65) ∠𝐶 𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐶
𝐼𝐷 ⊙𝐼
(cid:15)(cid:145)(cid:146)1-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:11)(cid:135)(cid:150)(cid:119)(cid:151)(cid:152)(cid:111)(cid:121)(cid:30)(cid:29)(cid:153)(cid:26)(cid:22)(cid:121)(cid:154)(cid:155)(cid:62)(cid:156)(cid:37)(cid:82)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:159)(cid:40) (cid:27)(cid:34)
(cid:26)(cid:66)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶A(cid:65) B(cid:65)
C(cid:65) D(cid:65)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)D
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:65)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:67)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:164)(cid:165)(cid:31)(cid:126)(cid:133)(cid:96)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:67)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:62)
(cid:166)(cid:64)(cid:167)(cid:168)(cid:30)(cid:156)∵(cid:35)D(cid:167)(cid:168)(cid:22)(cid:121)(cid:140)(cid:141)(cid:66)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:157)(cid:153)(cid:22)(cid:121)(cid:62)
∴(cid:169)(cid:167)(cid:10)D(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)1-2(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:112)(cid:113)(cid:170)(cid:171)·(cid:172)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:173) (cid:174)(cid:175)(cid:62)(cid:122) (cid:57)(cid:176)(cid:86) (cid:57)(cid:91)(cid:62)(cid:177)(cid:149)(cid:178)(cid:179)(cid:74)(cid:174)
(cid:154) (cid:65)(cid:129)(cid:173) (cid:174)(cid:175)(cid:62)(cid:122) (cid:57)(cid:176)(cid:86) (cid:57)(cid:91)(cid:62)(cid:177)(cid:149)(cid:178)(cid:179)(cid:74)△(cid:174)𝐴𝐵(cid:154)𝐶 (cid:65)(cid:180) 𝐴(cid:48)𝐶 (cid:26)(cid:70)𝐴(cid:71)𝐵(cid:128) (cid:62)(cid:181)(cid:71) (cid:66)(cid:107) (cid:119)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝑂 𝑂
A(cid:65) (cid:26)(cid:49)(cid:34) B(cid:65) (cid:26)(cid:27)(cid:34) C(cid:65) (cid:26)(cid:182)(cid:34) D(cid:65) (cid:26)(cid:30)(cid:34)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)△B𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:183)(cid:174)(cid:145)(cid:184)(cid:97)(cid:185)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:174)(cid:175)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:96)(cid:188)(cid:71) (cid:128)(cid:24)(cid:68)
(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:96)(cid:188)(cid:71) (cid:74) (cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:65) 𝑂
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:10)(cid:79)(cid:71) (cid:22) (cid:62) 𝑂 △𝐴(cid:62)𝐵𝐶 (cid:62)
𝑂 𝑂𝐹⊥𝐴𝐵 𝑂𝑀⊥𝐴𝐶 𝑂𝑁⊥𝐵𝐶(cid:189)(cid:20)(cid:190)(cid:179)(cid:10) = (cid:62) = (cid:62)
(cid:128)(cid:24)(cid:68)(cid:69)∠𝐵(cid:38)𝐴(cid:26)𝐷(cid:70)(cid:71)∠𝐶(cid:62)𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸
∴𝑂 = = (cid:62)
∴𝑂(cid:71)𝐹 (cid:74)𝑂𝑀 𝑂(cid:23)𝑁(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:65)
∴(cid:71)𝑂(cid:66)△𝐴𝐵𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:65)
(cid:169)∴(cid:167)(cid:10)𝑂 B(cid:65)△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:145)(cid:146)1-3(cid:19)(cid:126)(cid:20)(cid:48)(cid:191)(cid:192)(cid:65)
(cid:120)(cid:121)(cid:62)Rt ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:193)(cid:57)AB(cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71)D(cid:62)AD(cid:195)4(cid:62)BD(cid:195)5(cid:65)(cid:31)Rt ABC(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:10)△(cid:63)(cid:199)(cid:20)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:43)(cid:44)(cid:203)(cid:204)(cid:66)20(cid:62)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:162)(cid:208)(cid:65)(cid:203)(cid:204)(cid:66)4×5(cid:195)20(cid:62)(cid:35)△(cid:209)(cid:210)(cid:200)(cid:26)(cid:211)(cid:212)…
(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:10)(cid:216)(cid:217)4(cid:80)5(cid:184)(cid:218)m(cid:219)n(cid:129)(cid:200)(cid:89)(cid:220)(cid:62) ABC(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:221)(cid:66)m•n!(cid:159)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:162)…
(cid:33)(cid:11)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:10)(cid:230)(cid:231)(cid:192)(cid:89)(cid:192)(cid:62)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:120)(cid:236)(cid:237)△(cid:238)(cid:74)(cid:239)(cid:240)(cid:62)(cid:88)(cid:241)(cid:200)(cid:242)(cid:88)(cid:242)(cid:179)(cid:74)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:120)(cid:62)(cid:246)(cid:121)(cid:244)
(cid:247)(cid:248)(cid:10)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:62)(cid:216)(cid:86)(cid:192)(cid:249)(cid:89)(cid:64)(cid:113)(cid:250)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:121)(cid:242)(cid:88)(cid:242)(cid:157)(cid:153)(cid:251)(cid:201)(cid:202)(cid:252)(cid:211)(cid:212)(cid:121)(cid:58)(cid:40)(cid:162)(cid:65)(cid:216)(cid:253)(cid:254)(cid:192)(cid:88)(cid:201)(cid:202)(cid:243)(cid:244)
(cid:241)(cid:200)(cid:255)(cid:45)
(cid:107)1(cid:119)(cid:256)(cid:79)(cid:241)(cid:200)(cid:31)(cid:201)Rt ABC(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
(cid:246)(cid:121)(cid:257)(cid:258) △
(cid:107)2(cid:119)(cid:173)Rt ABC(cid:69)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:25)(cid:30)(cid:107)(cid:263)(cid:121)(cid:119)(cid:62)(cid:256)(cid:79)(cid:246)(cid:121)(cid:242)(cid:82)(cid:50)“(cid:264)”(cid:201)“20”(cid:265)(cid:86)(cid:121)(cid:30)(cid:251)(cid:201)(cid:246)(cid:121)(cid:178)(cid:26)4(cid:64)(cid:82)(cid:24)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:266)(cid:219)(cid:267)△(cid:219)(cid:268)(cid:219)(cid:269)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:62)(cid:22)(cid:270)(cid:161)(cid:271)(cid:4)(cid:272)(cid:237)(cid:161)(cid:273)(cid:198)(cid:65)(cid:157)(cid:153)(cid:22)(cid:121)
(cid:107)3(cid:119)(cid:157)(cid:153)(cid:22)(cid:121)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)D(cid:86)(cid:38)(cid:94)AB(cid:91)(cid:62)(cid:97)AB(cid:128)(cid:193)(cid:57)(cid:31)(cid:22)(cid:89)(cid:64)Rt ABC(cid:62)(cid:122)(cid:100)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:193)(cid:57)AB(cid:59)(cid:28)
(cid:194)(cid:71)D(cid:65)(cid:107)(cid:274)(cid:275)(cid:22)(cid:121)(cid:26)(cid:154)(cid:155)(cid:62)(cid:276)(cid:201)(cid:270)(cid:161)(cid:26)(cid:277)(cid:278)(cid:273)(cid:198)(cid:119) △
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)S ABC(cid:195)20(cid:104)(cid:107)2(cid:119)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:104)(cid:107)3(cid:119)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:65)
△
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)(cid:279) O(cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)r(cid:62)(cid:189)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:62)AE(cid:195)AD(cid:195)4(cid:62)BF(cid:195)BD(cid:195)5(cid:62)CE(cid:195)CF(cid:195)r(cid:62)(cid:189)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)
(cid:179)(cid:62)(cid:107)r+4(cid:119)2+(cid:107)r⊙+5(cid:119)2(cid:195)92(cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:31)(cid:179)(cid:234)(cid:235)(cid:104)
(cid:107)2(cid:119)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:96)(cid:45)(cid:198)(cid:266)(cid:80)(cid:267)(cid:99)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:283)(cid:77)(cid:62)(cid:268)(cid:269)(cid:99)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:283)(cid:77)(cid:62)(cid:169)(cid:173)(cid:266)(cid:267)(cid:121)(cid:25)(cid:260)(cid:86)OE(cid:128)(cid:57)(cid:26)
(cid:91)(cid:140)(cid:62)(cid:173)(cid:268)(cid:269)(cid:97)OP(cid:128)(cid:57)(cid:260)(cid:86)(cid:284)(cid:285)(cid:62)(cid:286)(cid:218)(cid:262)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:39)(cid:66)4(cid:80)5(cid:104)
(cid:107)3(cid:119)(cid:96)(cid:287)(cid:241)(cid:200) AFB(cid:195)135°(cid:62)(cid:151)(cid:152)“(cid:40)(cid:288)(cid:289)(cid:40)(cid:24)”(cid:22)F(cid:71)(cid:26)(cid:290)(cid:155)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:79)(cid:71)F(cid:22)AB(cid:26)(cid:83)(cid:38)(cid:62)(cid:129)(cid:151)
(cid:152)(cid:82)(cid:132)(cid:84)(cid:289)(cid:26)(cid:29)∠(cid:42)(cid:24)(cid:66)90°(cid:62)(cid:159)(cid:40)(cid:71)C(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:107)1(cid:119)(cid:120)(cid:121)1(cid:62)
(cid:279) O(cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)r(cid:62)
(cid:102)⊙(cid:50)OE(cid:62)OF(cid:62)
O(cid:27)(cid:28)(cid:194) ABC(cid:62)
∵O⊙E AC(cid:62)O△F BC(cid:62)AE(cid:195)AD(cid:195)4(cid:62)BF(cid:195)BD(cid:195)5(cid:62)
∴ O⊥EC(cid:195) OF⊥C(cid:195) C(cid:195)90°(cid:62)
∴∠(cid:166)(cid:57)(cid:25)E∠CFO(cid:66)(cid:262)∠(cid:25)(cid:62)
∴CF(cid:195)OE(cid:195)r(cid:62)CE(cid:195)OF(cid:195)r(cid:62)
∴AC(cid:195)4+r(cid:62)BC(cid:195)5+r(cid:62)
∴(cid:86)Rt ABC(cid:30)(cid:62)(cid:189)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:62)
(cid:107)r+4△(cid:119)2+(cid:107)r+5(cid:119)2(cid:195)92(cid:62)
r2+9r(cid:195)20(cid:62)
∴ 1
S ABC(cid:195)
2
△
∴ 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶1
(cid:195) +4) +5)
2
1(𝑟 ⋅(𝑟
(cid:195) ( + +20)
2
2
1 𝑥 9𝑟
(cid:195) ×(20+20)
2
(cid:195)20(cid:104)
(cid:107)2(cid:119)
(cid:120)(cid:121)2(cid:62)
(cid:107)3(cid:119)(cid:279) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:291)(cid:22) F(cid:62)
AF(cid:80)B△F(cid:68)(cid:69) BAC(cid:80) ABC⊙(cid:62)FD AB(cid:62)
∴ 1 ∠ ∠ 1 ⊥
BAF(cid:195) CAB(cid:62) ABF(cid:195) (cid:62)
2 2
∴∠ ∠ 1 ∠ ∠𝐴𝐵𝐶 1
BAF+ ABF(cid:195) (cid:107) BAC+ ABC(cid:119)(cid:195) ×90°(cid:195)45°(cid:62)
2 2
∴∠AFB(cid:195)∠135°(cid:62) ∠ ∠
∴(cid:96)∠(cid:97)(cid:292)(cid:97)(cid:111)(cid:293)(cid:294)(cid:22)(cid:121)(cid:107)(cid:120)(cid:121)3(cid:119)(cid:10)
①(cid:97)BA(cid:128)(cid:82)(cid:132)(cid:22)(cid:29)(cid:62)(cid:22)AB(cid:26)(cid:83)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:70)(cid:29)(cid:194)(cid:71)E(cid:62)
②(cid:97)E(cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:62)AE(cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:29)(cid:62)
③(cid:79)(cid:71)D(cid:22)AB(cid:26)(cid:83)(cid:38)(cid:62)(cid:70)(cid:29)(cid:194)F(cid:62)
④(cid:102)(cid:50)EF(cid:272)(cid:295)(cid:39)(cid:70)(cid:29)(cid:194)C(cid:62)(cid:102)(cid:50)AC(cid:62)BC(cid:62)
(cid:181) ABC(cid:158)(cid:66)(cid:31)(cid:22)(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:65)
△(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:186)(cid:187)(cid:219)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:262)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:48)(cid:186)(cid:187)(cid:219)(cid:157)(cid:153)(cid:22)(cid:121)-(cid:22)(cid:83)(cid:38)(cid:62)
(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:59)(cid:3)(cid:188)(cid:298)(cid:26)(cid:299)(cid:55)(cid:48)(cid:300)(cid:37)(cid:66)(cid:126)(cid:123)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型2 三角形内切圆中求角的度数】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)D(cid:62)E(cid:62)F(cid:62) A(cid:195)75°(cid:62) B(cid:195)45°(cid:62)(cid:181)(cid:29)(cid:34)(cid:24) EOF(cid:195) (cid:32)(cid:65)
△ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)120
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:301)(cid:287)(cid:151)(cid:152) A=75°(cid:62) B=45°(cid:62)(cid:31)(cid:201) C=60°(cid:104)(cid:233)(cid:178)(cid:151)(cid:152) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)D(cid:219)E(cid:219)F(cid:62)(cid:96)
(cid:179) OEC= OFC=90°∠(cid:62)(cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:166)∠(cid:57)(cid:25)OECF(cid:26)∠(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:77)(cid:194)360°(cid:62)△(cid:31)(cid:201)(cid:29)(cid:34)(cid:24) EOF(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:133)(cid:96)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)∠ (cid:126)(cid:19)∠(cid:126)(cid:10) A=75°(cid:62) B=45°(cid:62) ∠
C=180°﹣75∵°﹣∠45°=105∠°﹣45°=60°(cid:65)
∴∠ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)D(cid:219)E(cid:219)F(cid:62)
∵△OEC= OFC=90°(cid:62)
∴(cid:166)∠ (cid:57)(cid:25)∠OECF(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:77)(cid:194)360°(cid:62)
∵ EOF=360°﹣(cid:107)90°+90°+60°(cid:119)=360°﹣240°=120°(cid:65)
∴(cid:169)∠(cid:123)(cid:124)(cid:128)120(cid:65)
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:236)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:161)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:62)(cid:126)(cid:123)(cid:236)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:66)(cid:161)(cid:198)(cid:159)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)
(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:104)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:48)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:71)(cid:26)(cid:102)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:63)(cid:64)(cid:27)(cid:24)(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)2-1(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62)(cid:71) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:180) =50°(cid:62)(cid:181) = (cid:65)
△𝐴𝐵𝐶 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)115°/115(cid:32)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:104)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:48)(cid:23)
1
(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:71)(cid:26)(cid:102)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:63)(cid:64)(cid:27)(cid:24)(cid:65)(cid:302)(cid:37)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:179)(cid:74) = ( + )(cid:62)
2
(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:126)(cid:65) ∠𝐴𝑂𝐶 180°− ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶𝐴
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10) (cid:71) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
1 ∵ 𝑂 △𝐴𝐵1𝐶
= = (cid:62)
2 2
∴∠ 𝐶𝐴𝑂=50°∠(cid:62)𝐶𝐴𝐵,∠𝐴𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐵
∵ ∠𝐵 + = =130°(cid:62)
∴∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−∠𝐵 1
= ( + )= ( + )=115°(cid:62)
2
(cid:169)∴(cid:123)∠(cid:124)𝐴𝑂(cid:128)𝐶(cid:10)111850°(cid:65)°− ∠𝐶𝐴𝑂 ∠𝐴𝐶𝑂 180°− ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶𝐴
(cid:15)(cid:145)(cid:146)2-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =90 (cid:62) =70 (cid:62) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:29) (cid:48)(cid:57) (cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:219)
∘ ∘
(cid:219) (cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:32)(cid:33)𝑅(cid:128)𝑡𝛥 𝐴 𝐵 𝐶 ∠(cid:65)𝐶 ∠𝐵 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴 𝐷
∘
𝐸 𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)80°
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:102)(cid:50)DO(cid:62)FO(cid:62)(cid:302)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:179)(cid:201) ODA= OFA=90°(cid:62)(cid:129)(cid:302)(cid:37)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:97)(cid:185)(cid:166)(cid:57)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)
(cid:31)(cid:201) DOF(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:302)(cid:37)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:201)∠ DEF(cid:26)∠(cid:32)(cid:33)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)∠(cid:126)(cid:19)(cid:102)(cid:50)DO(cid:62)FO(cid:62) ∠(cid:86)Rt ABC(cid:30), C=90°, B=70°(cid:62)
∵ A=2△0°(cid:62) ∠ ∠
∴(cid:27)∠ (cid:28)(cid:29)O(cid:48)(cid:57)AB(cid:219)BC(cid:219)CA(cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71)D. E. F(cid:62)
∵ ODA= OFA=90°(cid:62)
∴∠DOF=1∠60°(cid:62)
∴∠DEF(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:128)80°.
∴(cid:169)∠(cid:123)(cid:124)(cid:128):80°.
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:236)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:126)(cid:20)(cid:3)(cid:142)(cid:86)(cid:194)(cid:138)(cid:139)(cid:303)(cid:186)(cid:187)(cid:80)(cid:22)(cid:304)(cid:305)(cid:38).
(cid:15)(cid:145)(cid:146)2-3(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =70°(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)M(cid:62)N(cid:62)K(cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:65)(cid:70)
(cid:194)E(cid:62)D(cid:99)(cid:71)(cid:65)(cid:71)△F𝐴(cid:66)𝐵𝐶 (cid:91)(cid:26)∠𝐵(cid:89)(cid:71)(cid:62)(cid:102)(cid:50)⊙𝑂(cid:62)△(cid:62)𝐴𝐵(cid:181)𝐶 (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:66) (cid:65) 𝑂𝐴 𝑂𝐶
⊙𝑂 𝑀𝑁 𝐷𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐸𝐹𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)62.5°/62.5(cid:32)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:287)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)
1 1
(cid:179) = (cid:62) = (cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:31)(cid:201) + (cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:201) (cid:62)(cid:233)(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:201)
2 2
(cid:123)∠(cid:124)𝑂(cid:65)𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑂𝐴𝐶 ∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝐴𝑂𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)
(cid:62) ∵(cid:66)⊙𝑂 △(cid:26)𝐴(cid:24)𝐵𝐶(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:62)
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶 1 △𝐴𝐵𝐶 1
= (cid:62) = (cid:65)
2 2
∴∠𝑂𝐴=𝐶70°(cid:62)∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝐵𝐶𝐴
∵∠𝐵 + =110°(cid:62)
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴1
+ = + =55°(cid:62)
2
∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴 (=∠𝐵1𝐴2𝐶5°(cid:62)∠𝐵𝐶𝐴)
∴∠𝐴𝑂𝐶 1180°−55°
= =62.5°(cid:65)
2
∴(cid:169)∠(cid:123)𝐸𝐹(cid:124)𝐷(cid:128)(cid:10)∠62𝐸.𝑂5°𝐷(cid:65)
【题型3 三角形内心有关的应用】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:91)(cid:306)(cid:307)(cid:308)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:217) (cid:309)(cid:218)(cid:23)(cid:87)(cid:69)(cid:62)(cid:57) (cid:62) (cid:62) (cid:260)(cid:86)(cid:310)(cid:89)(cid:82)(cid:38)
(cid:91)(cid:62)(cid:71) (cid:58)(cid:176)(cid:86)(cid:82)(cid:38) (cid:91)(cid:62)(cid:82)(cid:38) (cid:65)(cid:86) (cid:30)(cid:62)(cid:180)△𝐴𝐵𝐶=124°(cid:62)(cid:181) 𝐴(cid:26)𝐵 (cid:32)𝐵(cid:33)𝐶(cid:128)𝐴(cid:107)𝐶 (cid:119)
𝑙 𝑂 𝑀𝑁 𝑀𝑁∥𝑙 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
A(cid:65)72° B(cid:65)70° C(cid:65)68° D(cid:65)54°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)C
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:311)(cid:312)(cid:20)(cid:190)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:66)(cid:126)(cid:313)
(cid:314)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:79)(cid:71) (cid:69)(cid:73)(cid:22) (cid:194) (cid:62) (cid:194) (cid:62) (cid:194) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:62)(cid:179)(cid:74)(cid:71) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:133)(cid:71) (cid:128)(cid:23)
(cid:64)(cid:27)𝑂(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)𝑂(cid:26)𝐷(cid:70)⊥(cid:71)𝐴𝐶(cid:62)(cid:233)𝐷(cid:178)(cid:151)𝑂𝐸(cid:152)⊥(cid:23)𝐴(cid:24)𝐵(cid:25)𝐸(cid:27)(cid:24)𝑂(cid:80)𝐹⊥(cid:40)𝐵(cid:41)𝐶(cid:133)(cid:96)𝐹 (cid:179)(cid:74)(cid:123)(cid:124)(cid:65) 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝑂
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:79)(cid:71) (cid:69)(cid:73)(cid:22) (cid:194) (cid:62) (cid:194) (cid:62) (cid:194) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:10)
𝑂 𝑂𝐷⊥𝐴𝐶 𝐷 𝑂𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝑂𝐹⊥𝐵𝐶 𝐹
(cid:82)(cid:38) (cid:62)
∵ =𝑀𝑁∥𝑙= (cid:62)
∴(cid:71)𝑂𝐷 (cid:66)𝑂𝐸 𝑂(cid:26)𝐹(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:133)(cid:71) (cid:128)(cid:23)(cid:64)(cid:27)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:62)
∴ 𝑂 =△1𝐴2𝐵4𝐶° 𝑂
∵∠𝐵𝑂𝐶+ = =56°
∴∠𝑂𝐵𝐶+∠𝑂𝐶𝐵=21(80°−∠𝐵+𝑂𝐶 )=112°(cid:62)
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵 ( ∠𝑂+𝐵𝐶 ∠𝑂)𝐶=𝐵68°(cid:65)
∴(cid:169)∠(cid:167)𝐵𝐴(cid:10)𝐶C(cid:65)180°− ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:15)(cid:145)(cid:146)3-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:163)·(cid:172)(cid:318)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:35)(cid:89)(cid:82)(cid:38)(cid:256)(cid:79) (cid:71)(cid:319)(cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:219)
𝐼 △𝐴𝐵𝐶 𝐼 𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:59)(cid:70)(cid:194) (cid:71)(cid:219) (cid:71)(cid:65)(cid:180) = =5(cid:62) =6(cid:62)(cid:181) (cid:71)(cid:74) (cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:66)(cid:107) (cid:119)
𝐷 𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐼 𝐵𝐶
30 24
A(cid:65)3 B(cid:65)2 C(cid:65) D(cid:65)
11 11
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)D
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:151)(cid:152)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:321)(cid:57)(cid:91)(cid:26) (cid:322)(cid:219)(cid:321)(cid:57)(cid:91)(cid:26)(cid:30)(cid:38)(cid:219)(cid:78)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:59)(cid:323)(cid:182)(cid:52) ((cid:23)(cid:38)(cid:52)(cid:89))(cid:62)(cid:80)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:82)
(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:62)(cid:99)(cid:67)(cid:82)(cid:24)(cid:57)(cid:26)(cid:68)(cid:140)(cid:80)(cid:77)(cid:194)(cid:193)(cid:57)(cid:26)(cid:68)(cid:140)(cid:62)(cid:96)(cid:97)(cid:31)(cid:179) (cid:26)(cid:39)(cid:104)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)((cid:23) (cid:67)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)
(cid:71))(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:77)(cid:43)(cid:44)(cid:141)(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:74)(cid:26) (cid:219)𝐷𝐹(cid:39)(cid:62)(cid:95)(cid:282)(cid:96)(cid:97)(cid:179)(cid:74)(cid:71) (cid:74) (cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:22) (cid:194)(cid:71) (cid:62) (cid:194)(cid:71) (cid:62) 𝐼𝐺 𝐼𝐻(cid:194)(cid:71) (cid:62)(cid:22) (cid:194)(cid:71)𝐼 𝐵(cid:62)𝐶(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:10)
𝐴𝐼 𝐼𝐺⊥𝐴𝐵 𝐺 𝐼𝐽⊥𝐵𝐶 𝐽 𝐼𝐻⊥𝐴𝐶 𝐻 𝐷𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹
= =5(cid:62) =6(cid:62) (cid:62)
=3(cid:62) =90∵°(cid:62)𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐹⊥𝐴𝐸
∴𝐴𝐹 𝐴𝐹𝐷
= = 5 3 =4(cid:62)
2 2 2 2
(cid:279)∴𝐷𝐹= (cid:62)𝐴𝐷 −𝐴𝐹 −
(cid:128)𝐼𝐻 𝑥 (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵𝐼 =△𝐴𝐵=𝐶 = (cid:62)
∴𝐼𝐺 𝐼𝐽= 𝐼𝐻 +𝑥 (cid:62)
∵𝑆6× 𝛥 4 𝐴𝐷𝐸 𝑆𝛥𝐴𝐷𝐼 𝑆𝛥𝐴𝐸𝐼
= + (cid:62)
2 2 2
5𝑥 6𝑥
∴ 24
(cid:126)(cid:179)(cid:10) = (cid:65)
11
(cid:169)(cid:167)(cid:10)D𝑥(cid:65)
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:219)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:188)(cid:199)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:66)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:102)(cid:50)(cid:43)(cid:44)(cid:241)(cid:200)(cid:48)(cid:75)(cid:76)(cid:31)(cid:126)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)3-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:324)(cid:147)(cid:325)(cid:231)(cid:326)·(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =10(cid:62) =12(cid:62)I(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
(cid:79)(cid:71)I(cid:22)(cid:82)(cid:38) (cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:62) (cid:194)(cid:71)M(cid:62)N(cid:62)(cid:319) △=𝐴𝐵𝐶 (cid:62)𝐴(cid:181)𝐵 (cid:26)𝐴𝐶(cid:42)(cid:39)(cid:128)(cid:107) (cid:119)△𝐴𝐵𝐶
𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑀𝑁 ∠𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝑀𝑁
A(cid:65)11 B(cid:65)16 C(cid:65)18 D(cid:65)22
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)D
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:62)(cid:283)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:65)(cid:79)(cid:71)I(cid:22) (cid:62)(cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:62) (cid:194)(cid:71)D(cid:62)E(cid:62)
(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:45)(cid:198) (cid:80) (cid:62)(cid:331)(cid:201) (cid:26)(cid:42)(cid:39)𝐷(cid:133)𝐸(cid:128)∥𝐵𝐶 (cid:26)(cid:42)𝐴(cid:39)𝐵(cid:104)(cid:302)𝐴𝐶(cid:37)(cid:68)(cid:165)(cid:38)(cid:26)
(cid:186)(cid:187)𝐴(cid:234)𝐼(cid:52)(cid:77)(cid:320)(cid:23)△(cid:24)𝐴𝐷(cid:25)𝐼≌(cid:26)△(cid:297)(cid:40)𝐴𝑀(cid:80)𝐼(cid:186)(cid:187)△(cid:31)𝐴𝐷(cid:179)𝐸≌△=𝐴𝑀𝑁(cid:80) = △(cid:62)𝐴𝑀(cid:152)𝑁(cid:236)(cid:31)(cid:126)(cid:133)(cid:96)(cid:65)△𝐴𝐷𝐸
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:79)(cid:71)I(cid:22) (cid:62)(cid:69)𝐷𝐼(cid:73)(cid:70)𝐷𝐵 (cid:62)𝐸𝐶 (cid:194)𝐸(cid:71)𝐼 D(cid:62)E(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐼
= (cid:62)
∴∠𝐴𝐷𝐼 =∠𝐴𝐵𝐶 (cid:62)
∵∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐴𝐵𝐶(cid:62)
∴I∠(cid:128)𝐴𝐷𝐼 ∠𝐴(cid:26)𝑀(cid:27)𝐼 (cid:34)(cid:62)
∵ △=𝐴𝐵𝐶 (cid:62)
∴∠𝐷=𝐴𝐼 (cid:62)∠𝑀𝐴𝐼
∵𝐴𝐼 𝐴𝐼 (cid:62)
∴△𝐴=𝐷𝐼≌△(cid:62)𝐴𝑀𝐼
∴𝐴𝐷 𝐴=𝑀 (cid:62) = (cid:62)
∵∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝑀𝐴𝑁 (cid:62)∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝑀𝑁
∴△𝐴𝐷𝐸≌(cid:26)△(cid:42)𝐴(cid:39)𝑀(cid:133)𝑁(cid:128) (cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:104)
∴△𝐴𝑀𝑁 △𝐴𝐷𝐸(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62)
I(cid:128)𝐵𝐼 𝐶𝐼 (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵ (cid:128)△𝐴𝐵𝐶(cid:26)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:62) (cid:128) (cid:26)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:62)
∴𝐵𝐼 ∠=𝐴𝐵𝐶 (cid:62) =𝐶𝐼 ∠𝐴(cid:65)𝐶𝐵
∴(cid:332)∠𝐷𝐵𝐼 ∠(cid:62)𝐼𝐵𝐶 ∠𝐸𝐶𝐼 ∠𝐼𝐶𝐵
∵𝐷𝐸∥=𝐵𝐶 (cid:62) = (cid:65)
∴∠𝐼𝐵𝐶 =∠𝐷𝐼𝐵(cid:62)∠𝐼𝐶𝐵 =∠𝐸𝐼𝐶(cid:62)
∴∠𝐷𝐼=𝐵 ∠(cid:62)𝐷𝐵𝐼 ∠𝐸𝐼𝐶 ∠𝐸𝐶𝐼
∴(cid:310)𝐷(cid:41)𝐼 (cid:62)𝐷𝐵= (cid:62)
𝐸𝐶(cid:26)(cid:42)𝐸(cid:39)𝐼(cid:128) + + = + + +
=∴△𝐴𝐷+𝐸 + 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐼 𝐸𝐼 𝐴𝐸
=(𝐴𝐷+ 𝐷𝐵=) 10(𝐸+𝐶12𝐴=𝐸)22(cid:62)
(cid:133) 𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:128)22(cid:65)
(cid:169)(cid:167)△(cid:10)𝐴𝑀D(cid:65)𝑁
(cid:15)(cid:145)(cid:146)3-3(cid:19)(cid:107)2025·(cid:324)(cid:147)(cid:325)(cid:231)(cid:326)·(cid:23)(cid:327)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)I(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:71)O(cid:66) (cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:62)(cid:180)
=160°(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:66)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
∠𝐵𝑂𝐴 ∠𝐵𝐼𝐴
A(cid:65)120° B(cid:65)125° C(cid:65)130° D(cid:65)135°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)C
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:80)(cid:49)(cid:34)(cid:186)(cid:187)(cid:97)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:31)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:179)(cid:74) (cid:26)
(cid:32)(cid:33)(cid:66)(cid:126)(cid:313)(cid:134)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65) ∠𝐶
(cid:151)(cid:152)(cid:71)O(cid:66) (cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:62)(cid:96)(cid:31) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:189)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:96)(cid:179)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:31)(cid:126)
(cid:133)(cid:96)(cid:65) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:333)(cid:128)(cid:71)O(cid:66) (cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:62)(cid:319) =160°(cid:62)
1 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝑂𝐴
(cid:84)(cid:97) = =80°(cid:62)
2
(cid:86) ∠𝐶 (cid:30)∠(cid:35)𝐵(cid:62)𝑂𝐴 + = =100°(cid:62)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 180°−80°(cid:332)(cid:333)(cid:128)(cid:71)I(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
(cid:84)(cid:97) (cid:128) △(cid:26)𝐴(cid:24)𝐵𝐶(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:62) (cid:128) (cid:26)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:62)
𝐴𝐼 ∠𝐶𝐴1𝐵 𝐵𝐼1 ∠𝐶𝐵𝐴
(cid:84)(cid:97) = (cid:62) = (cid:62)
2 2
∠𝐼𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐼𝐵𝐴 ∠𝐶𝐵𝐴
1 1 1
(cid:84)(cid:97) + = + = ( + )=50°(cid:62)
2 2 2
(cid:84)(cid:97)∠𝐼𝐴𝐵=∠𝐼𝐵𝐴 ( ∠𝐶𝐴+𝐵 ∠𝐶)𝐵=𝐴 ∠𝐶𝐴𝐵 =1 ∠ 3 𝐶 0 𝐵 ° 𝐴(cid:65)
(cid:169)(cid:167)∠(cid:10)𝐵𝐼C𝐴(cid:65) 180°− ∠𝐼𝐴𝐵 ∠𝐼𝐵𝐴 180°−50°
【题型4 应用切线长定理求长度】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:107)2025·(cid:166)(cid:334)(cid:335)(cid:316)·(cid:89)(cid:327)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) =3(cid:62) =5(cid:62) (cid:66)Rt (cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶
⊙𝑂
A(cid:65)1 B(cid:65) 3 C(cid:65)2 D(cid:65)2 3
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)A
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:146)(cid:62)(cid:137)(cid:291)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:146)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)
(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:279) (cid:23)(cid:57)(cid:27)(cid:28) (cid:194)(cid:71) (cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:201) =4(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:43)
(cid:44)(cid:7)△(cid:146)𝐴𝐵(cid:241)𝐶(cid:200)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:74)⊙(cid:123)𝑂(cid:124)(cid:65)𝐷,𝐸,𝐹 𝑂𝐷,𝑂𝐸,𝑂𝐹, 𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:279) (cid:23)(cid:57)(cid:27)(cid:28) (cid:194)(cid:71) (cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)
△𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐷,𝐸,𝐹 𝑂𝐷,𝑂𝐸,𝑂𝐹, 𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶
(cid:279) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128) (cid:62)
⊙𝑂= = 𝑟=
∴𝑂 𝐷 =𝑂9𝐸0°(cid:62)𝑂𝐹 =𝑟3(cid:62) =5(cid:62)
∵ ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵= =4(cid:62)
2 2
∴𝐵𝐶 =𝐴𝐵 −𝐴𝐶+ + (cid:62)
∵𝑆1△𝐴𝐵𝐶 𝑆△1𝐴𝐵𝑂 𝑆△𝐴1𝐶𝑂 𝑆△𝐵 1 𝐶𝑂
= + + (cid:62)
2 2 2 2
∴ 3 𝐴 × 𝐶 4 ⋅𝐵 = 𝐶 ( 𝐴+𝐵⋅𝑟 + 𝐴𝐶)⋅(cid:62)𝑟 𝐵𝐶⋅𝑟
∴12= (3𝑟+𝐴4𝐵+5𝐴)𝐶(cid:62) 𝐵𝐶
∴ =1(cid:62)𝑟
(cid:169)∴(cid:167)𝑟 (cid:10)A (cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)4-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:336)(cid:16)(cid:337)(cid:148)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:219) (cid:219) (cid:66)(cid:29)O(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)P(cid:219)C(cid:219)
D(cid:62)(cid:180) =5(cid:62) =3(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:39)(cid:66) (cid:65) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)2
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:189) (cid:219) (cid:219) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:181)
= (cid:62) = (cid:62)(cid:31)(cid:201) (cid:26)(cid:39)(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:201) (cid:26)(cid:39)(cid:65) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 ⊙𝑂
𝐴(cid:15)𝐶(cid:143)(cid:126)𝐴(cid:19)𝑃(cid:126)𝐵(cid:10)𝑃 𝐵(cid:219)𝐷 (cid:128) 𝐵𝑃(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62) =𝐵𝐷3(cid:62)
= =3∵(cid:104)𝐴𝐶 𝐴𝑃 ⊙𝑂 𝐴𝐶
∴𝐴𝐶(cid:219)𝐴𝑃(cid:128) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)
∵𝐵𝑃=𝐵𝐷 (cid:104)⊙𝑂
∴𝐵𝑃 =𝐵5(cid:62)𝐷
∵𝐴𝐵 = = = =2(cid:65)
∴(cid:169)𝐵(cid:123)𝐷(cid:124)(cid:128)𝑃𝐵(cid:10)2(cid:65)𝐴𝐵−𝐴𝑃 5−3
(cid:15)(cid:145)(cid:146)4-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:166)(cid:334)(cid:337)(cid:338)·(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:79) (cid:49)(cid:89)(cid:71)P(cid:22) (cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38) (cid:62) (cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)
A(cid:62)B(cid:62) (cid:48) (cid:70)(cid:194)(cid:71)D(cid:62)(cid:48) (cid:339)(cid:70)(cid:194)(cid:71)E(cid:62) (cid:128)⊙𝑂(cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:65)(cid:180) ⊙𝑂= (cid:62) =𝑃6𝐴(cid:62)(cid:181)𝑃𝐵 (cid:26)(cid:39)(cid:128)(cid:107) (cid:119)
𝑃𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸3
A(cid:65)2 B(cid:65)3 C(cid:65) 3 D(cid:65)
2
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:189)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179) = = (cid:62)(cid:181) = (cid:62)(cid:189) (cid:128) (cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:62)
𝐴𝐸 𝑃𝐴 𝑃𝐵1,∠𝑂𝑃𝐴 ∠𝑂𝑃𝐵 𝑃𝑂⊥𝐴𝐵,𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶 ⊙𝑂
(cid:179) = (cid:62)(cid:181) = = =3(cid:62)(cid:129)(cid:45)(cid:198) (cid:66)(cid:77)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:179) =60°(cid:62)(cid:31)(cid:179)
2
𝑃𝐴⊥=𝐴3𝐶0,𝐴°(cid:62)𝑂(cid:181)𝐶𝑂 =∠6𝑂0𝐴°𝑃(cid:62)(cid:96)9(cid:45)0°(cid:198),𝐷𝑂 𝐵(cid:66)𝐶 (cid:77)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)△(cid:181)𝑃𝐴𝐵= =3(cid:62)(cid:194)(cid:66)(cid:179)∠(cid:74)𝐴(cid:314)𝑃𝐵(cid:20)(cid:26)(cid:123)(cid:124)(cid:65)
∠(cid:15)𝑂(cid:143)𝑃𝐴(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50)∠𝐴𝑂(cid:62)𝐸 △𝐴𝑂𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝑂
𝐴𝐸
(cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:62)
∵𝑃𝐴,𝑃=𝐵 ⊙=𝑂 (cid:62) 𝐴,𝐵
∴𝑃𝐴 𝑃𝐵,∠𝑂𝑃=𝐴 (cid:62)∠𝑂𝑃𝐵
∴𝑃𝑂(cid:128)⊥𝐴𝐵,𝐴(cid:26)𝐷(cid:82)(cid:132)𝐵𝐷(cid:62) =6(cid:62)
∵𝐴𝐶 ⊙𝑂 = (cid:62)𝐵𝐶
∴𝑃𝐴⊥𝐴𝐶,𝐴𝑂 𝐶𝑂 1
= = =3(cid:62)
2
∴∠𝑂𝐴=𝑃 9=0°,𝐷𝑂(cid:62) 𝐵𝐶
∵𝑃𝐴 𝑃(cid:66)𝐵(cid:77)(cid:57)𝐴(cid:23)𝐵 (cid:24)(cid:25)(cid:62)
∴△𝑃𝐴𝐵=60°(cid:62)
∴∠𝐴𝑃𝐵 1
= =30°(cid:62)
2
∴∠𝑂𝑃=𝐴 ∠𝐴𝑃𝐵= =60°(cid:62)
∵𝑂𝐴 𝑂(cid:66)𝐸(cid:77),∠(cid:57)𝐴𝑂(cid:23)𝐸(cid:24)(cid:25)90(cid:62)°−∠𝑂𝑃𝐴
∴△𝐴𝑂𝐸= =3(cid:62)
(cid:169)∴(cid:167)𝐷𝐸(cid:10)B(cid:65)𝐷𝑂
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:236)(cid:20)(cid:182)(cid:71)(cid:135)(cid:136)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)“(cid:23)(cid:38)(cid:52)(cid:89)”(cid:219)(cid:82)(cid:132)(cid:84)(cid:289)(cid:26)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:66)(cid:82)(cid:24)(cid:219)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:53)(cid:38)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:77)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:48)(cid:186)(cid:187)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:62)(cid:340)(cid:159)(cid:341)(cid:22)(cid:201)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)4-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:112)(cid:113)(cid:342)(cid:343)·(cid:172)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) =5(cid:62) =4(cid:62)(cid:303)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:69)(cid:73)(cid:194) (cid:219) (cid:219) (cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:219) (cid:219) (cid:62)(cid:181)(cid:288) (cid:26)(cid:39)(cid:128)△(cid:107)𝐴 𝐵(cid:119)𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐸𝐹
A(cid:65)1 B(cid:65)2 C(cid:65) 2 D(cid:65) 3
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)C
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:179)(cid:74) = = =90°(cid:62)(cid:331)(cid:201)(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)(cid:179)(cid:74)
= = 𝑂=𝐸 𝑂(cid:62)𝐹 (cid:151)(cid:152)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:74) =∠𝑂3𝐹(cid:62)𝐶(cid:164)(cid:282)∠(cid:151)𝑂𝐸(cid:152)𝐶(cid:28)(cid:38)∠𝐶(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:179) =1(cid:62)(cid:164)𝑂𝐸(cid:282)𝐶(cid:151)𝐹 (cid:152)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)
𝐶(cid:133)𝐸(cid:96)(cid:31)𝐶(cid:126)𝐹(cid:65)𝑂𝐹 𝑂𝐸 𝐴𝐶 𝑂𝐹
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62)
𝑂𝐸 𝑂𝐹
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:73)(cid:194) (cid:219) (cid:219) (cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:219) (cid:219) (cid:62)
∵ = 𝐴𝐵= 𝐵𝐶=9𝐴0𝐶°(cid:62) 𝐷 𝐸 𝐹
∴∠(cid:166)𝑂𝐹(cid:57)𝐶(cid:25) ∠𝑂𝐸𝐶(cid:66)(cid:262)∠(cid:25)𝐶(cid:62)
∴ = 𝑂𝐸(cid:62)𝐶𝐹
∵𝑂(cid:166)𝐸(cid:57)(cid:25)𝑂𝐹 (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)
∴ = 𝑂𝐸=𝐶𝐹 = (cid:62)
∴𝐶𝐸 =𝐶5𝐹(cid:62) 𝑂=𝐹 4(cid:62)𝑂𝐸
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) =5(cid:62) =4(cid:62)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
= =3(cid:62)
2 2
∴𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 −=𝐵𝐶 = (cid:62) = + = + = + = +
∵𝐴𝐹 𝐴𝐷,𝐵𝐸 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐶−𝐶𝐹 𝐵𝐶−𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐶−2𝐶𝐹
= = =1(cid:62)
2
𝐴𝐶+𝐵𝐶−𝐴𝐵
∴𝑂𝐹 𝐶𝐹
(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62) = + = 2
2 2
(cid:169)(cid:167)(cid:10)△C𝐶(cid:65)𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐶 𝐹𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:62)
(cid:340)(cid:159)(cid:341)(cid:22)(cid:201)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型5 应用切线长定理求周长】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:344)(cid:171)(cid:345)(cid:346)·(cid:172)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71) (cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) =6(cid:62) =4(cid:62) =3(cid:62)(cid:173)
(cid:68)(cid:347)(cid:122)(cid:303)(cid:78)(cid:71)(cid:48) (cid:182)(cid:52)(cid:62)(cid:181)(cid:121)(cid:30)(cid:348)(cid:349)(cid:87)(cid:69)(cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:128)(cid:107) 𝐼 (cid:119)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐼
A(cid:65)7 B(cid:65)6 C(cid:65)9 D(cid:65)6.5
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:219)(cid:68)(cid:347)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:185)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:66)
(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:66)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:62)(cid:96)(cid:179) (cid:68)(cid:69) (cid:62)(cid:62)(cid:189)(cid:68)(cid:165)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:80)(cid:77)(cid:24)(cid:289)(cid:77)(cid:57)(cid:96)(cid:179)
=𝐴𝐼 (cid:62)𝐵𝐼(cid:310)(cid:41) = (cid:62)(cid:96)(cid:179)(cid:74)(cid:121)(cid:30)(cid:348)(cid:349)(cid:87)(cid:69)(cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:158)(cid:66)𝐴(cid:57)𝐼 (cid:26)∠(cid:39)𝐶𝐴(cid:65)𝐵
𝐴(cid:15)𝐷(cid:143)(cid:126)𝐷(cid:19)𝐼 (cid:126)(cid:10)(cid:120)𝐵(cid:121)𝐸(cid:62)(cid:102)𝐸𝐼(cid:50) (cid:219) (cid:62) 𝐴𝐵
𝐴𝐼 𝐵𝐼
(cid:71)I(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵ (cid:68)(cid:69)△𝐴𝐵𝐶(cid:62)
∴𝐴𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵= (cid:62)
∴(cid:189)∠(cid:68)𝐶𝐴(cid:347)𝐼(cid:179)(cid:10)∠𝐵𝐴𝐼 (cid:62)
= 𝐴𝐶∥(cid:62)𝐷𝐼
∴∠𝐶𝐴𝐼 =∠𝐴𝐼𝐷(cid:62)
∴∠𝐵𝐴=𝐼 ∠(cid:62)𝐴𝐼𝐷
∴(cid:310)𝐴(cid:41)𝐷 𝐷=𝐼 (cid:62)
𝐵𝐸(cid:26)(cid:42)𝐸𝐼(cid:39)= + + = + + = =6(cid:62)
(cid:133)∴△(cid:121)𝐷(cid:30)𝐼𝐸(cid:348)(cid:349)(cid:87)(cid:69)(cid:26)𝐷(cid:42)𝐸(cid:39)(cid:128)𝐷𝐼6(cid:62)𝐸𝐼 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐵
(cid:169)(cid:167)(cid:350)(cid:10)B(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)5-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:324)(cid:147)(cid:325)(cid:231)(cid:326)·(cid:172)(cid:318)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)P(cid:128) (cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:28) (cid:194)A(cid:62)
B(cid:62)C(cid:23)(cid:71)(cid:62)(cid:319)(cid:28)(cid:38) (cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:62) (cid:194)(cid:71)M(cid:62)N(cid:65)(cid:180) =12⊙(cid:62)𝑂(cid:181) (cid:26)𝑃𝐴(cid:42)(cid:39)𝑃𝐵(cid:128)(cid:107)𝑀 𝑁 (cid:119) ⊙𝑂
𝑀𝑁 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 △𝑃𝑀𝑁
A(cid:65)12 B(cid:65)13 C(cid:65)16 D(cid:65)24
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)D
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:74) = =12(cid:62) = (cid:62) = ,(cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)
(cid:39)(cid:7)(cid:146)(cid:241)(cid:200)(cid:62)(cid:179)(cid:74)(cid:123)(cid:124)(cid:65) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑀𝐶 𝑀𝐴 𝑁𝐶 𝑁𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10) (cid:62) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:28) (cid:194)A(cid:62)B(cid:62)
= =1∵2(cid:65)𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂
(cid:310)∴𝑃(cid:41)𝐴(cid:62)(cid:96)𝑃𝐵(cid:179) = (cid:62) = (cid:62)
(cid:26)𝑀(cid:42)𝐶(cid:39) 𝑀𝐴 𝑁𝐶 𝑁𝐵
∴=△𝑃𝑀+𝑁 + +
=𝑃𝑀+𝐶𝑀+𝐶𝑁+𝑃𝑁
=𝑃𝑀+ 𝐴𝑀 𝑃𝑁 𝐵𝑁
=𝑃𝐴 𝑃𝐵
=22𝑃4𝐴(cid:65)
(cid:169)(cid:167)(cid:10)D(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)5-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:166)(cid:334)(cid:351)(cid:352)·(cid:89)(cid:327)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)Rt (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:48)(cid:99)(cid:82)(cid:24)(cid:57) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:62) (cid:62)
△𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷 𝐸(cid:79)(cid:353)(cid:339) (cid:107)(cid:88)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:71) (cid:62) (cid:119)(cid:91)(cid:357)(cid:89)(cid:71) (cid:22) (cid:26)(cid:28)(cid:38) (cid:48) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:70)(cid:194)(cid:71) (cid:62) (cid:62)(cid:180) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)
2(cid:62)(cid:181)R𝐷t𝐸 (cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:128)𝐷 𝐸 (cid:65) 𝑃 ⊙𝑂 𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑀 𝑁 ⊙𝑂
△𝑀𝐵𝑁
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)4
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:80)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:45)(cid:198)Rt (cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:77)(cid:194) + (cid:66)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:45)(cid:198)(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)(cid:233)(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:198)R△t 𝑀𝐵𝑁 (cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:77)(cid:194)𝐵𝐷 +𝐵𝐸 (cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:126)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)𝐷(cid:10)𝐵(cid:102)𝐸𝑂(cid:50) (cid:219) (cid:65) △𝑀𝐵𝑁 𝐵𝐷 𝐵𝐸
𝑂𝐷 𝑂𝐸
(cid:80) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)
(cid:62) (cid:62)∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶(cid:62) ⊙𝑂
(cid:181)∴(cid:166)𝑂𝐷(cid:57)⊥(cid:25)𝐴𝐵 𝑂𝐸(cid:66)⊥(cid:340)𝐵(cid:140)𝐶(cid:25)𝐵(cid:65)𝐷 𝐵𝐸
= 𝐷𝐵=𝐸𝑂2(cid:62)
(cid:332)∴𝐵𝐷 (cid:66)𝐵𝐸(cid:28)(cid:38)(cid:62)
∵𝑀=𝑁 (cid:62) = (cid:62)
∴𝑀Rt𝑃 𝑀𝐷(cid:26)𝑁(cid:42)𝑃(cid:39)=𝑁𝐸 + +
=∴ △+𝑀𝐵𝑁+ + 𝐵𝑀 𝐵𝑁 𝑀𝑁
=𝐵𝑀 +𝐵𝑁 +𝑀𝑃 +𝑁𝑃 = + =4(cid:65)
(cid:169)(cid:123)𝐵𝑀(cid:124)(cid:66)(cid:10)𝐵𝑁4(cid:65)𝐷𝑀 𝑁𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:145)(cid:146)5-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:358)(cid:337)(cid:39)(cid:359)·(cid:172)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)1(cid:62) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)
(cid:69)(cid:73)(cid:128)A(cid:62)B(cid:65)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:180) =60°⊙(cid:62)(cid:181)𝑂 (cid:26)(cid:42)(cid:39)𝑃𝐴(cid:128)(cid:107)𝑃 𝐵 (cid:119)⊙𝑂
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝑃𝑂 ∠𝐴𝑃𝐵 △𝑃𝐴𝐵A(cid:65)6 3 B(cid:65)3 3 C(cid:65)6 D(cid:65)3
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:189)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:96)(cid:179)(cid:201) = =90°(cid:62)(cid:189)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:96)(cid:179)(cid:201) = (cid:62)(cid:95)(cid:282)(cid:96)(cid:297)(cid:360) (cid:128)
(cid:77)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:332)(cid:361)(cid:45) ∠𝑃𝐴𝑂 H∠L𝑃)𝐵(cid:62)𝑂(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:201) = =30°𝑃(cid:62)𝐴(cid:95)(cid:282)𝑃𝐵(cid:96)(cid:31)(cid:201) = △=𝐴𝑃2𝐵(cid:62)(cid:164)
(cid:282)(cid:96)(cid:31)(cid:201) = 3(cid:62)(cid:46)△(cid:178)𝑃(cid:189)𝐴𝑂(cid:23)≌(cid:24)△(cid:25)𝑃(cid:42)𝐵𝑂(cid:39)((cid:7)(cid:146)(cid:31)(cid:126)(cid:133)(cid:96)(cid:65)∠𝐴𝑃𝑂 ∠𝐵𝑃𝑂 𝑃𝑂 2𝐴𝑂
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)𝑃𝐴(cid:10) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)A(cid:62)B(cid:62)
= (cid:62) ∵𝑃𝐴 =𝑃𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:65)
∴𝑃𝐴 𝑃=𝐵60∠°(cid:62)𝑃𝐴𝑂 ∠𝑃𝐵𝑂
∵∠𝐴𝑃𝐵 (cid:128)(cid:77)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)
∴△𝐴=𝑃𝐵 = (cid:65)
∴𝑃𝐴 =𝑃𝐵(cid:62)𝐴𝐵
∵𝑃𝑂 𝑃𝑂 HL)(cid:62)
∴△𝑃𝐴𝑂≌△𝑃𝐵𝑂(1
= = =30°(cid:62)
2
∴∠𝐴𝑃=𝑂 ∠𝐵=𝑃2𝑂(cid:62) ∠𝐴𝑃𝐵
∴𝑃𝑂 2𝐴𝑂
= = 2 1 = 3(cid:62)
2 2 2 2
∴𝑃𝐴 (cid:26)𝑃𝑂(cid:42)−(cid:39)𝐴(cid:128)𝑂 + −+ =3 3(cid:65)
∴(cid:169)△(cid:167)𝑃(cid:10)𝐴B𝐵(cid:65) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:77)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:283)(cid:77)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:65)(cid:138)(cid:139)
(cid:95)(cid:29)(cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:98)(cid:29)(cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:100)(cid:101)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:59)(cid:77)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型6 应用切线长定理求面积】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:107)2025(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:283)(cid:362)·(cid:363)(cid:20)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71) (cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) =60°(cid:62) =2(cid:62) =4(cid:62)(cid:181)
(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:66)(cid:107) (cid:119) 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 △𝑂𝐵𝐶A(cid:65)4 3 B(cid:65)2 3 C(cid:65)2 D(cid:65)4
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:126)(cid:313)(cid:134)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:66)(cid:138)(cid:139)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:40)(cid:163)(cid:65)
(cid:79)(cid:71) (cid:22) (cid:26)(cid:295)(cid:39)(cid:38)(cid:194)(cid:71) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:71) (cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) =60°(cid:62)(cid:96)(cid:179)
𝐶=𝐶𝐻⊥𝐵𝑂 =𝐻120°(cid:62)(cid:84)(cid:97)𝑂 △𝐴𝐵=𝐶60°(cid:62)(cid:302)(cid:37)∠(cid:105)𝐴30°(cid:24)(cid:26)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:96)(cid:179) (cid:26)(cid:39)(cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:96)
∠(cid:179)𝐵𝑂𝐶 1(cid:26)80(cid:43)°−(cid:44)∠(cid:65)𝑂𝐵𝐶−∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝐶𝑂𝐻 𝐶𝐻
(cid:15)(cid:143)△(cid:126)𝑂𝐵(cid:19)𝐶(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:79)(cid:71) (cid:22) (cid:26)(cid:295)(cid:39)(cid:38)(cid:194)(cid:71) (cid:62)
𝐶 𝐶𝐻⊥𝐵𝑂 𝐻
(cid:71) (cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵ 𝑂 △1𝐴𝐵𝐶 1
= (cid:62) = (cid:62)
2 2
∴∠ 𝑂𝐵𝐶=60°∠(cid:62)𝐴𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
∵ ∠𝐴 + = =120°(cid:62)
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵 =16800°(cid:62)°−∠𝐴
∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵 =120°(cid:62)
∴∠𝐵𝑂𝐶 =16800°(cid:62)°−∠𝑂𝐵𝐶−∠𝑂𝐶𝐵
∴∠𝐶𝑂𝐻= =30°(cid:62)
∴∠𝑂𝐶=𝐻4(cid:62)90°−∠𝐶𝑂𝐻
∵𝑂𝐶 =2(cid:62)
∴𝑂𝐻
= =2 3(cid:62)
2 2
∴𝐶𝐻 =2(cid:62)𝑂𝐶 −𝑂𝐻
∵𝑂𝐵1 1
= × = ×2×2 3=2 3(cid:65)
2 2
(cid:169)∴(cid:167)𝑆△ (cid:10) 𝑂𝐵 B 𝐶 (cid:65) 𝑂𝐵⋅𝐶𝐻
(cid:15)(cid:145)(cid:146)6-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:336)(cid:250)(cid:364)(cid:365)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:128)Rt (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:71) (cid:219)(cid:219) (cid:128)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
(cid:180) =9(cid:62) =6(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:128) (cid:65) ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
𝐴𝐷 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)54
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:65)(cid:151)(cid:152)(cid:20)(cid:190)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:96)(cid:179)(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)(cid:181) = = = (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:96)(cid:179) =𝑂𝐸,𝑂=𝐹9(cid:62)
= =6(cid:62)(cid:279)𝐶𝐸𝑂(cid:26)𝐹 (cid:131)(cid:132)(cid:128) (cid:62)(cid:181)𝐶𝐸= 𝐸𝑂= 𝑂(cid:62)𝐹(cid:300)(cid:37)𝐹𝐶(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:96)(cid:179)(9+ ) +𝐴(6𝐸+ 𝐴)𝐷=(9+6) (cid:62)(cid:152)
2 2 2
(cid:236)𝐵𝐹(cid:241)(cid:200)𝐵(cid:133)𝐷(cid:96)(cid:31)(cid:126)(cid:65)⊙𝑂 𝑟 𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝑟 𝑟 𝑟
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)
𝑂𝐸,𝑂𝐹
(cid:66)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:71) (cid:219)(cid:219) (cid:128)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
∵⊙𝑂= = 𝐴𝐵=𝐶90°(cid:62) 𝐷 𝐸 𝐹
∴(cid:166)∠𝐶(cid:57)(cid:25)∠𝐶𝐸𝑂 (cid:66)∠(cid:262)𝐶(cid:25)𝐹𝑂(cid:62)
∴ = 𝐶𝐸(cid:62)𝑂𝐹
∵(cid:262)𝐶𝐸(cid:25) 𝐶𝐹 (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)
∴ =𝐶𝐸𝑂𝐹= = (cid:62)
∴(cid:71)𝐶𝐸 (cid:219)𝐸𝑂(cid:219) (cid:128)𝑂𝐹(cid:28)(cid:71)𝐹(cid:62)𝐶
∵ 𝐷= 𝐸 =𝐹9(cid:62) = =6(cid:62)
∴(cid:279)𝐴𝐸 (cid:26)𝐴𝐷(cid:131)(cid:132)(cid:128)𝐵(cid:62)𝐹(cid:181) 𝐵𝐷= = (cid:62)
⊙𝑂 𝑟 𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝑟(9+ ) +(6+ ) =(9+6) (cid:62)
2 2 2
∴ =3𝑟(cid:366) (cid:107)(cid:367)𝑟(cid:368)(cid:119)(cid:62)
∴𝑟 =9+−138=12(cid:62) =6+3=9(cid:62)
∴𝐴𝐶 1 𝐵𝐶
(cid:26)(cid:43)(cid:44)= ×12×9=54(cid:62)
2
∴(cid:169)△(cid:123)𝐴(cid:124)𝐵(cid:128)𝐶(cid:10)54(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)6-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:369)(cid:336)·(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:180)
=3.3(cid:62) =4.4(cid:62)(cid:181)(cid:121)(cid:30) (cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:128)(cid:107) △ (cid:119)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝑂
A(cid:65)5.5 B(cid:65)2.75 C(cid:65)6.05 D(cid:65)3.025
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)D
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:48)(cid:29)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:29)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:297)(cid:40)(cid:80)
(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:146)(cid:62)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:279) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)r(cid:62)(cid:69)(cid:73)(cid:28) (cid:26)(cid:23)(cid:57)(cid:194)D(cid:219)E(cid:219)F(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:62) (cid:62)(cid:45)(cid:198)(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)(cid:179)
⊙=𝑂 = (cid:62)(cid:179) = =△𝐴𝐵𝐶 (cid:62) = = (cid:62)(cid:189)𝑂𝐷=𝑂5𝐸.5(cid:62)𝑂(cid:179)𝐹( )+( 𝑂𝐸𝐶)𝐹=5.5(cid:62)(cid:126)(cid:179)
𝐶𝐸=1.𝐶1(cid:62)𝐹 (cid:133)𝑟(cid:179) 𝐴𝐷=3𝐴.𝐹025(cid:65)3.3−𝑟 𝐵𝐸 𝐵𝐷 4.4−𝑟 𝐴𝐵 3.3−𝑟 4.4−𝑟
𝑟(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:279)𝑆△𝐴𝑂𝐵 (cid:69)(cid:73)(cid:28) (cid:26)(cid:23)(cid:57)(cid:194)D(cid:219)E(cid:219)F(cid:62)(cid:131)(cid:132)(cid:128)r(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:62) (cid:62)
(cid:181) = = ⊙=𝑂(cid:62) △=𝐴𝐵𝐶 =90°(cid:62) 𝑂𝐷 𝑂𝐸 𝑂𝐹
𝑂𝐷 =𝑂𝐸90°(cid:62)𝑂𝐹 𝑟 ∠𝑂𝐸𝐶 ∠𝑂𝐹𝐶
∵(cid:166)∠𝐴(cid:57)𝐶𝐵(cid:25) (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)
∴ = 𝑂𝐸=𝐶𝐹 = (cid:62)
∴𝐶𝐸 =𝐶3.𝐹3(cid:62)𝑂𝐸=4𝑟.4(cid:62)
∵𝐴𝐶 = =𝐵𝐶 (cid:62) = = (cid:62)
∴𝐴𝐷 𝐴𝐹 3.3−𝑟 𝐵𝐸 𝐵𝐷 4.4−𝑟
= + =5.5(cid:62)
2 2
∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶=5.5𝐵(cid:62)𝐶
∴𝐴(𝐷 𝐵)𝐷+( )=5.5(cid:62)
∴ 3.3−𝑟 4.4−𝑟(cid:126)(cid:179)(cid:10) =1.1(cid:62)
𝑟 1
= =3.025(cid:65)
2
(cid:169)∴𝑆(cid:167) △𝐴 (cid:10) 𝑂𝐵 D(cid:65) 𝐴𝐵⋅𝑂𝐷
(cid:15)(cid:145)(cid:146)6-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:358)(cid:147)(cid:370)(cid:371)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:82)(cid:24)(cid:372)(cid:25) (cid:30)(cid:62) = =90°(cid:62) =2(cid:62)
=6(cid:62)(cid:97) (cid:128)(cid:82)(cid:132)(cid:26) (cid:28) (cid:194)(cid:71)E(cid:62)(cid:102) (cid:70) (cid:194)(cid:71)M(cid:62)𝐴𝐵(cid:102)𝐶𝐷 (cid:70) ∠𝐴(cid:194)𝐵(cid:71)𝐶 N(cid:62)∠𝐵(cid:181)𝐴(cid:166)𝐷(cid:57)(cid:25) 𝐴𝐷(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:128)
𝐵(cid:107)𝐶 (cid:119) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐷𝐶 𝐴𝐸 𝑂𝐷 𝐵𝐸 𝑂𝐶 𝑂𝑀𝐸𝑁
A(cid:65)2 3 B(cid:65)3 3 C(cid:65)2 2 D(cid:65)3 2
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:45)(cid:198) =90°(cid:62) (cid:128) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:104)(cid:96)(cid:179) = =2(cid:62) = =6(cid:62)
=2+6=8(cid:62)(cid:79)𝑂(cid:22)𝐸 ∠𝐴(cid:194)𝐸𝐵(cid:62)(cid:45)(cid:198)(cid:166)𝐴(cid:57)𝐷(cid:25),𝐵𝐶 ⊙(cid:128)𝑂(cid:262)(cid:25)(cid:62)(cid:96)(cid:179) 𝐴𝐷=4 𝐷3𝐸(cid:62) =𝐶𝐸 =𝐶𝐵 =2 3(cid:62)
𝐶𝐷 𝐷 𝐷𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻 𝐴𝐵𝐻𝐷 𝐴𝐵 𝑂𝐸 𝑂𝐴 𝑂𝐵
= 2 +(2 3) =4(cid:62) = (2 3) +6 =4 3(cid:62)(cid:31)(cid:126) = = =3(cid:62)(cid:310)(cid:41)(cid:96)(cid:179)(cid:10) (cid:62)
2 2 2 2 𝑂𝐵⋅𝐵𝐶
𝑂𝐷 = = 3(cid:62)(cid:45)(cid:198)(cid:166)(cid:57)𝑂(cid:25)𝐶 (cid:128)(cid:262)(cid:25)(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:74)(cid:123)(cid:124)(cid:65)𝐸𝑁 𝐵𝑁 𝑂𝐶 𝐴𝐸⊥𝑂𝐷
𝐴(cid:15)𝑀(cid:143)(cid:126)𝑀(cid:19)𝐸(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)𝑂𝑀𝐸𝑁
𝑂𝐸
= =90°(cid:62)(cid:97) (cid:128)(cid:82)(cid:132)(cid:26) (cid:28) (cid:194)(cid:71)E(cid:62)
∵∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐷𝐶=90°(cid:62) (cid:128) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:104)
∴∠𝐴𝐸=𝐵 =2(cid:62)𝐴𝐷,𝐵=𝐶 ⊙=𝑂6(cid:62)
∴𝐴𝐷=2𝐷𝐸+6=8(cid:62)𝐶𝐸 𝐶𝐵
∴(cid:79)𝐶𝐷(cid:22) (cid:194) (cid:62)
(cid:166)𝐷(cid:57)(cid:25)𝐷𝐻⊥𝐵𝐶(cid:128)(cid:262)𝐻(cid:25)(cid:62)
∴ = 𝐴𝐵𝐻=𝐷2(cid:62) = (cid:62)
∴𝐴𝐷 𝐵𝐻 𝐴𝐵 𝐷𝐻
= =4(cid:62) = 8 4 =4 3(cid:62)
2 2
∴𝐶𝐻=46−32(cid:62) =𝐷𝐻 = −=2 3(cid:62)
∴𝐴𝐵 𝑂𝐸 𝑂𝐴 𝑂𝐵
= 2 +(2 3) =4(cid:62) = (2 3) +6 =4 3(cid:62)
2 2
2 2
∴𝑂𝐷= = (cid:62) 𝑂𝐶
∵𝑂𝐸 𝑂𝐵(cid:62),𝐶𝐵 =𝐶𝐸 (cid:62)
∴𝑂𝐶⊥𝐵𝐸 𝐵𝑁 𝐸𝑁
= = =3(cid:62)
𝑂𝐵⋅𝐵𝐶
∴(cid:310)𝐸(cid:41)𝑁(cid:96)(cid:179)𝐵𝑁(cid:10) 𝑂𝐶 (cid:62) = = 3(cid:62)
= 𝐴𝐸⊥𝑂=𝐷90𝐴°𝑀= 𝑀𝐸(cid:62)
∴(cid:166)∠𝑂(cid:57)𝑀(cid:25)𝐸 ∠𝑂𝑁(cid:128)𝐸(cid:262)(cid:25)(cid:62) ∠𝐴𝐸𝐵
∴(cid:166)(cid:57)(cid:25)𝑂𝑀𝐸𝑁(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:128) 3×3=3 3(cid:62)
(cid:169)∴ (cid:167)(cid:10)B𝑂𝑀𝐸𝑁
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:26)(cid:66)(cid:262)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:48)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:38)(cid:94)(cid:26)(cid:83)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:163)(cid:26)(cid:36)
(cid:37)(cid:62)(cid:22)(cid:201)(cid:52)(cid:373)(cid:26)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:66)(cid:126)(cid:134)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型7 应用切线长定理求角度】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:377)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:219) (cid:219) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:71)A(cid:219)B(cid:219)E(cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
(cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:219) B(cid:194)C(cid:219)D(cid:99)(cid:71)(cid:62)(cid:180) =70°(cid:62)(cid:181) 𝑃𝐴(cid:26)𝑃(cid:32)𝐵(cid:33)(cid:128)𝐶𝐷(cid:107) ⊙ (cid:119)𝑂 𝐶𝐷
𝑃𝐴 𝑃𝐵 ∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷
A(cid:65)55° B(cid:65)50° C(cid:65)60° D(cid:65)70°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)A(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:283)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:65)
(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:219) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:186)(cid:187)(cid:80)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:96)(cid:179) = = = =90°(cid:62) = (cid:62)
𝑂𝐴 𝑂𝐸 𝑂𝐵 ∠𝑂𝐴𝐶 ∠𝑂𝐸𝐶 ∠𝑂𝐸𝐷 ∠𝑂𝐵𝐷 1 𝐷𝐵 𝐷𝐸
= (cid:62) (cid:164)(cid:282)(cid:96)(cid:179) (SAS)(cid:62) (SAS)(cid:62)(cid:133)(cid:179) = = (cid:62)
2
𝐶𝐴 𝐶𝐸 △𝐴𝑂𝐶≌△𝐸𝑂𝐶 △𝐸𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐷 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐸𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐸
1 1 1 1
= = (cid:62)(cid:179)(cid:74) = + = (cid:62)(cid:129)(cid:302)(cid:37)(cid:166)(cid:57)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:31)(cid:201) (cid:133)
2 2 2 2
∠(cid:96)𝐸(cid:31)𝑂𝐷(cid:126)(cid:62)∠(cid:340)𝐵(cid:159)𝑂𝐷(cid:22)(cid:201)(cid:304)∠(cid:305)𝐵𝑂(cid:38)𝐸(cid:66)(cid:126)(cid:20)∠(cid:26)𝐶(cid:3)𝑂𝐷(cid:142)(cid:65) ∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:219) (cid:62)
𝑂𝐴 𝑂𝐸 𝑂𝐵
(cid:219) (cid:219) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:71) (cid:219) (cid:219) (cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
∵𝑃𝐴 𝑃𝐵(cid:62)𝐶𝐷 ⊙𝑂(cid:62) (cid:62)𝐴 𝐵= 𝐸(cid:62) = (cid:62)
∴𝑂𝐴⊥𝑃=𝐴 𝑂𝐵⊥=𝑃𝐵 𝑂𝐸=⊥𝐶𝐷 𝐷=𝐵90𝐷°(cid:62)𝐸 𝐶𝐴 𝐶𝐸
∴ (cid:332)∠𝑂𝐴𝐶 =∠𝑂𝐸=𝐶 ∠(cid:62)𝑂𝐸𝐷 ∠𝑂𝐵𝐷
∵𝐴𝑂 𝑂𝐸 𝑂(𝐵SAS)(cid:62) (SAS)(cid:62)
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐸𝑂𝐶 1 △𝐸𝑂𝐷≌△𝐵𝑂𝐷 1
= = (cid:62) = = (cid:62)
2 2
∴∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐸𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐸𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐸
1 1 1 1
= + = ( + )= (cid:62)
2 2 2 2
∴∠𝐶𝑂𝐷=7∠0°𝐴(cid:62)𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸 ∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸 ∠𝐴𝑂𝐵
∵∠𝐴𝑃𝐵 = = =110°(cid:62)
∴∠𝐴𝑂𝐵 1360°−∠𝑃𝐴𝑂−∠𝑃𝐵𝑂−∠𝐴𝑃𝐵 360°−90°−90°−70°
= ×110°=55°(cid:62)
2
∴ (cid:169)∠𝐶(cid:167)𝑂(cid:10)𝐷 A(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)7-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:324)(cid:337)(cid:42)(cid:378)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121) (cid:219) (cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128) (cid:62) (cid:62)(cid:180)
=16°(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:128)(cid:107) (cid:119) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 𝐴 𝐵
∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝐴𝑃𝐵A(cid:65)28° B(cid:65)32° C(cid:65)36° D(cid:65)44°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:71)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:28)(cid:38)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:66)(cid:126)(cid:313)(cid:236)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)(cid:189)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:74) = (cid:219) =90°(cid:62)(cid:189)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:179)
= (cid:62)(cid:129)(cid:189)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:133)(cid:96)(cid:179)𝑃(cid:126)𝐴(cid:65)𝑃𝐵 ∠𝑂𝐵𝑃
(cid:15)∠𝑃(cid:143)𝐵𝐴(cid:126)(cid:19)∠(cid:126)𝑃(cid:10)𝐴𝐵 (cid:219) (cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:62)
= (cid:219)𝑃𝐴 𝑃=𝐵90°(cid:62) ⊙𝑂
∴𝑃𝐴 𝑃=𝐵 ∠𝑂𝐵(cid:62)𝑃
∴∠𝑃𝐵𝐴 =∠16𝑃°𝐴(cid:62)𝐵
∵∠𝑂𝐵𝐴= = =74°= (cid:62)
∴∠𝑃𝐵=𝐴 ∠𝑃𝐵𝑂−∠𝐴𝐵𝑂 9=0°−16° ∠=𝑃𝐴3𝐵2°(cid:62)
(cid:169)∴(cid:167)∠𝑃(cid:10)B 1(cid:65)80°−∠𝑃𝐵𝐴−∠𝑃𝐴𝐵 180°−74°−74°
(cid:15)(cid:145)(cid:146)7-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:147)(cid:148)(cid:379)(cid:380)·(cid:381)(cid:327)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62) (cid:62) (cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:65)(cid:180) =130°(cid:62)(cid:181)
= °(cid:65) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 𝐴 𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵
∠𝐴𝑃𝑂
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)25
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:283)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:80)(cid:297)(cid:40)(cid:62)
(cid:287)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:185)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179) = =90°(cid:62)(cid:129)(cid:45)(cid:198)Rt t (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:283)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:186)(cid:187)(cid:179) = = ∠𝑂(cid:62)𝐴𝑃(cid:233)(cid:178)∠(cid:234)𝑂(cid:52)𝐵𝑃(cid:382)(cid:188)(cid:67)(cid:383)(cid:123)(cid:124)(cid:96)(cid:179)(cid:65)△𝐴𝑂𝑃≌𝑅 △𝐵𝑂𝑃
(cid:15)(cid:143)(cid:126)∠(cid:19)𝐴(cid:126)𝑂𝑃(cid:10) ∠𝐵𝑂𝑃(cid:66),∠𝐴𝑃𝑂(cid:26)(cid:28)∠𝐵(cid:38)𝑃(cid:62)𝑂
= ∵𝑃𝐴=,𝑃9𝐵0°(cid:65)⊙𝑂
∴∠𝑂𝐴=𝑃 ∠𝑂𝐵=𝑃 (cid:62)
∵𝑂Rt𝑃 𝑂𝑃.𝐴𝑂t 𝐵𝑂 (cid:62)
∴ △𝐴=𝑂𝑃≌𝑅 △(cid:65)𝐵𝑂𝑃
∴∠𝐴𝑂𝑃 =∠13𝐵0𝑂°𝑃(cid:62)
∵∠𝐴𝑂𝐵 130°
= = =65°(cid:62)
2
∴∠𝐴𝑂𝑃 ∠𝐵𝑂𝑃= =25°(cid:65)
∴(cid:169)∠(cid:123)𝐴𝑃(cid:124)𝑂(cid:128)(cid:10)9205°−(cid:65)65°
(cid:15)(cid:145)(cid:146)7-3(cid:19)(cid:107)2025·(cid:166)(cid:334)(cid:384)(cid:112)·(cid:89)(cid:327)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:219) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:128)A(cid:219)D(cid:62)(cid:71)B(cid:219)C(cid:86) (cid:91)(cid:62)(cid:180)
=68°(cid:62)(cid:181) + (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:128)(cid:107) (cid:119)𝐸𝐴 𝐸𝐷 ⊙𝑂 ⊙𝑂
∠𝐸 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
A(cid:65)202° B(cid:65)236° C(cid:65)240° D(cid:65)248°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:50)(cid:166)(cid:57)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:71)(cid:62)(cid:340)(cid:159)(cid:22)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:66)
(cid:126)(cid:20)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50) (cid:62)
𝐴𝐷
(cid:219) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:128)A(cid:219)D(cid:62)(cid:71)B(cid:219)C(cid:86) (cid:91)(cid:62)
∵𝐸(cid:166)𝐴(cid:57)(cid:25)𝐸𝐷 ⊙(cid:66)𝑂 (cid:26)(cid:27)(cid:50)(cid:166)(cid:57)(cid:25)(cid:62) ⊙𝑂
∴ +𝐴𝐵𝐶𝐷 =⊙1𝑂80°(cid:62)
∴∠𝐵(cid:219)𝐴𝐷 (cid:66)∠𝐵𝐶𝐷(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:128)A(cid:219)D(cid:62)
(cid:151)∵(cid:152)𝐸𝐴(cid:28)(cid:38)𝐸𝐷(cid:40)(cid:41)⊙(cid:179)(cid:201)𝑂 (cid:10) = (cid:62)
=68°(cid:62) 𝐴𝐸 𝐷𝐸
∵∠𝐸 = =56°(cid:62)
∴∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴= + + =180°+56°=236°(cid:62)
(cid:169)∴(cid:167)∠𝐵(cid:10)𝐴𝐸B(cid:65)∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷【题型8 应用切线长定理求证】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:166)(cid:334)(cid:385)(cid:386)·(cid:172)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)1(cid:62)(cid:382)(cid:188) (cid:27)(cid:28)(cid:194)(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:62)(cid:48) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:69)
(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:65) ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
(1)(cid:31)(cid:45)(cid:10) + = + (cid:104)
(2)(cid:120)(cid:121)2(cid:62)𝐴𝐷(cid:102)(cid:50)𝐵𝐶 (cid:62)𝐴(cid:48)𝐵 (cid:70)𝐶𝐷(cid:194)(cid:71) (cid:62)(cid:180) (cid:62)(cid:31)(cid:45)(cid:10) + =180°(cid:65)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)(1)(cid:125)(cid:126)𝐻(cid:127)𝐹 𝐸𝐺 𝑃 𝐻𝐹⊥𝐸𝐺 ∠𝐴 ∠𝐶
(2)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:96)(cid:179)(cid:10) = (cid:62) = (cid:62) = (cid:62) = (cid:62)(cid:314)(cid:20)(cid:387)(cid:92)(cid:179)(cid:126)(cid:104)
(cid:107)2(cid:119)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:96)𝐴𝐻(cid:179)(cid:201)𝐴𝐸 𝐵+𝐸 𝐵=𝐹 18𝐶0𝐹°(cid:62)𝐶𝐺 𝐷+𝐻 𝐷=𝐺180°(cid:62)(cid:302)(cid:37)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)
(cid:179) =𝑂𝐸 𝑂𝐹(cid:62)𝑂𝐻 𝑂=𝐺 𝐺𝐻 (cid:62)(cid:164)(cid:89)∠(cid:293)𝐸(cid:241)𝑂𝐻(cid:200)(cid:179)∠(cid:201)𝐴(cid:234)(cid:388)(cid:65) ∠𝐹𝑂𝐺 ∠𝐶
(cid:15)∠(cid:143)𝐸(cid:126)𝑂𝐻(cid:19)(cid:107)21(cid:119)∠𝐸(cid:45)𝐺𝐻(cid:198)(cid:10)∠(cid:151)𝐹𝑂(cid:152)𝐺(cid:28)(cid:38)2(cid:39)∠𝐹(cid:40)𝐻(cid:41)𝐺(cid:96)(cid:179)(cid:10) = (cid:62) = (cid:62) = (cid:62) = (cid:62)
+ = + (cid:62) + = + (cid:62)𝐴𝐻 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐺 𝐷𝐻 𝐷𝐺
∴𝐴𝐻=𝐻𝐷+ 𝐴𝐸(cid:62) 𝐷𝐺= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐹(cid:62) 𝐵𝐸 𝐶𝐺
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸+𝐷𝐺(cid:62)𝐵𝐶= 𝐵𝐸+𝐶𝐺(cid:62)
∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐸=𝐵𝐸+𝐶𝐷 +𝐷𝐺+𝐶𝐺 = + (cid:104)
∴(cid:107)𝐴2𝐷(cid:119)(cid:45)𝐵(cid:198)𝐶(cid:10)(cid:120)𝐵𝐸(cid:121)(cid:62)𝐶(cid:102)𝐺(cid:50)𝐴𝐸(cid:62)𝐷𝐺(cid:62) 𝐴𝐵(cid:62) 𝐶𝐷(cid:62) (cid:62)
𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝑂𝐻 𝑂𝐺 𝐺𝐻
(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:48)(cid:57) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71)E(cid:62)F(cid:62)G(cid:62)H(cid:62)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 = ⊙=𝑂 𝐴𝐵=9𝐵0𝐶°(cid:62)𝐶𝐷 𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐸𝑂 +∠𝐶𝐹=𝑂180∠°𝐴(cid:62)𝐻𝑂 ∠+𝐶𝐺𝑂 =180°(cid:62)
∴∠𝐸𝑂𝐻 ∠𝐴 ∠𝐹𝑂𝐺 ∠𝐶(cid:62)
∵𝐻𝐹⊥𝐸+𝐺 =90°(cid:62)
∴∠𝐸𝐺𝐻 =∠𝐹𝐻𝐺 (cid:62) = (cid:62)
∵∠𝐸𝑂𝐻+ 2∠𝐸𝐺𝐻=1∠8𝐹0°𝑂(cid:62)𝐺 2∠𝐹𝐻𝐺
∴∠𝐸𝑂+𝐻 ∠=𝐹1𝑂8𝐺0°(cid:65)
∴(cid:15)∠(cid:71)𝐴(cid:296)(cid:19)∠𝐶(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:339)(cid:219)(cid:288)(cid:219)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:3)(cid:55)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:62)(cid:126)(cid:313)(cid:314)(cid:20)(cid:26)(cid:3)
(cid:142)(cid:66)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:35)(cid:3)(cid:389)(cid:390)(cid:188)(cid:298)(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)8-1(cid:19)(cid:120)(cid:121)1(cid:84)(cid:144)(cid:62) (cid:128) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:62) (cid:128)(cid:82)(cid:132)(cid:62) (cid:219) (cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71)D(cid:219)C
(cid:107) > (cid:119).E(cid:86)(cid:38)(cid:94) (cid:91)⊙(cid:62)𝑂(cid:102)(cid:50)△𝐶𝐷(cid:272)𝐸(cid:295)(cid:39)(cid:48)(cid:82)(cid:38)𝐶𝐷(cid:59)(cid:70)(cid:194)(cid:71)P𝐴(cid:62)𝐷B𝐵(cid:128)𝐶 (cid:30)(cid:71).⊙𝑂
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝑃𝐶
(1)(cid:45)(cid:198)(cid:10) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38).
(2)(cid:120)(cid:121)2(cid:62)𝐴𝐵(cid:102)(cid:50)⊙𝑂(cid:62) (cid:62)(cid:31)(cid:45)(cid:10) .
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)(1)(cid:125)(cid:126)𝑂(cid:127)𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐴⊥𝑂𝐵
(2)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:193)(cid:57)(cid:91)(cid:26)(cid:30)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:97)(cid:185)(cid:77)(cid:57)(cid:289)(cid:77)(cid:24)(cid:179)(cid:201) = (cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:151)
(cid:152) (cid:128)(cid:28)(cid:38)(cid:62) 𝑂=𝐸 90°(cid:62) + = + =90°(cid:62)(cid:179)(cid:201) =∠𝑂9𝐸0𝐶°(cid:62)(cid:133)∠(cid:96)𝑂𝐶(cid:179)𝐸(cid:45)(cid:104)
(cid:107)𝐵2(cid:119)𝐶(cid:151)(cid:152) (cid:219)∠𝑂𝐶(cid:219)𝐵 (cid:69)(cid:73)(cid:48)∠𝑂𝐸𝐶(cid:59)(cid:28)∠(cid:194)𝐵𝐸(cid:71)𝐶 D(cid:219)∠𝑂E𝐶(cid:219)𝐸C(cid:62)∠(cid:151)𝐵(cid:152)𝐶𝐸(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:201)∠𝑂𝐸𝐵 (cid:62) (cid:62)(cid:181)
𝐴𝐷 1𝐴𝐵 𝐵𝐶 ⊙1𝑂 𝐴𝐷⊥𝐶𝐷 𝐵𝐶⊥𝐶𝐷 𝐴𝐷∥
(cid:62) = (cid:62) = (cid:62) + (cid:195)180°(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:201) =90°(cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:45)(cid:65)
2 2
𝐵(cid:15)𝐶(cid:143)(cid:126)∠𝑂(cid:19)𝐴(cid:107)𝐸1(cid:119)(cid:45)∠𝐷(cid:198)𝐴(cid:10)𝐸 (cid:102)∠(cid:50)𝑂𝐵𝐸(cid:62) 𝐶𝐵𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐴𝑂𝐵
𝑂𝐸(cid:128) (cid:82)(cid:132)(cid:62)
∵𝐶𝐷 ⊙=𝑂90°.
(cid:86)∴∠R𝐶T𝐸𝑃 (cid:30)(cid:62)B(cid:128) (cid:30)(cid:71)(cid:62)
△𝐶𝐸𝑃 1 𝑃𝐶
= = (cid:62)
2
∴𝐸𝐵 𝐵
=
𝐶 𝐶𝑃(cid:62)
∴∠𝐵𝐶=𝐸 ∠(cid:62)𝐵𝐸𝐶
∵𝑂𝐸 𝑂=𝐶 (cid:62)
(cid:332)∴∠𝑂𝐸𝐶(cid:128)(cid:28)∠(cid:38)𝑂𝐶(cid:62)𝐸
∵𝐵𝐶 =90°(cid:62)
∴∠𝑂𝐶𝐵+ = + =90°
∴∠𝑂𝐸𝐶 =∠9𝐵0°𝐸. 𝐶 ∠𝑂𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸
∴(cid:133)∠𝑂𝐸𝐵 (cid:62)
𝑂𝐸(cid:66)⊥𝐴𝐵(cid:26)(cid:28)(cid:38).
∴(cid:107)𝐴2𝐵(cid:119)(cid:45)⊙(cid:198)𝑂(cid:10) (cid:219) (cid:219) (cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71)D(cid:219)E(cid:219)C(cid:62)
∵𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ⊙𝑂
1 1
(cid:62) (cid:62) = (cid:62) = (cid:62)
2 2
∴𝐴𝐷⊥𝐶𝐷(cid:62) 𝐵𝐶⊥𝐶𝐷 ∠𝑂𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝑂𝐵𝐸 𝐶𝐵𝐸
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶+ (cid:195)180°(cid:62)
∴∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸 1 1
+ = × + = ×180°=90°(cid:62)
2 2
∴∠𝑂𝐴𝐸
=
∠
9
𝑂
0°
𝐵(cid:62)𝐸 (∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸)
∴∠𝐴𝑂𝐵 (cid:104)
∴(cid:15)𝑂(cid:71)𝐴(cid:296)⊥𝑂(cid:19)𝐵(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:48)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:138)(cid:139)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:140)(cid:141)(cid:97)(cid:185)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)8-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62) (cid:62) (cid:128)(cid:28)(cid:71)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:65)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 ⊙𝑂 𝐶 𝐷 𝐴𝐵(1)(cid:180) (cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:62)(cid:31)(cid:45) + = (cid:104)
(2)(cid:180)𝐴𝐵+ ⊙𝑂= (cid:62)(cid:31)(cid:45)𝐸 (cid:48) 𝐴𝐶 (cid:59)𝐵(cid:28)𝐷(cid:65) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:123)(cid:124)𝐴𝐶(cid:19)(1𝐵)(cid:45)𝐷(cid:198)(cid:125)𝐴𝐵(cid:126)(cid:127)(cid:104) 𝐴𝐵 ⊙𝑂
(2)(cid:45)(cid:198)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:65)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)(cid:302)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:198) = (cid:62) = (cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:45)(cid:104)
(cid:107)2(cid:119)(cid:295)(cid:39) (cid:74)(cid:71) (cid:62)(cid:122)(cid:179) = (cid:62)𝐴𝐸(cid:102) 𝐴(cid:62)𝐶(cid:79)𝐵(cid:71)𝐸 (cid:22)𝐵𝐷 (cid:62)(cid:83)(cid:130)(cid:128)G(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:45)(cid:198)
= (cid:62)𝐴(cid:129)𝐶(cid:189)SA𝐹S(cid:45)(cid:198) 𝐶𝐹 𝐵𝐷 𝐴(cid:62)𝑂(cid:151)(cid:152)(cid:186)𝑂(cid:187)(cid:129)𝑂(cid:45)𝐺(cid:198)⊥𝐴𝐵 (SSS)𝑂(cid:62)𝐵(cid:46)(cid:178)𝑂𝐷(cid:189)(cid:186)𝑂(cid:187)𝐶(cid:133)𝑂(cid:96)𝐹(cid:31)(cid:45)(cid:104)
𝐴(cid:236)𝐵(cid:20)(cid:135)𝐴(cid:136)𝐹(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:80)△(cid:28)𝐵(cid:38)𝐷(cid:26)𝑂≌(cid:297)△(cid:40)𝐹(cid:48)𝐶𝑂(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:283)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)△(cid:186)𝐴(cid:187)𝐵(cid:80)𝑂≌(cid:297)△(cid:40)𝐴(cid:62)𝐹(cid:137)𝑂(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:97)(cid:91)(cid:188)(cid:298)(cid:71)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:185)(cid:340)
(cid:159)(cid:391)(cid:392)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)(cid:45)(cid:198)(cid:10) (cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:128) (cid:62)(cid:319) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62) (cid:62) (cid:128)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
= (cid:62) = ∵(cid:62)𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐷 ⊙𝑂 𝐶 𝐷
∴ 𝐴𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐵𝐸(cid:62) 𝐵𝐷
∵𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐵𝐸(cid:104)
(cid:107)∴𝐴2𝐵(cid:119)(cid:45)𝐴(cid:198)𝐶(cid:10)(cid:295)𝐵𝐷(cid:39) (cid:74)(cid:71) (cid:62)(cid:122)(cid:179) = (cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:79)(cid:71) (cid:22) (cid:62)(cid:83)(cid:130)(cid:128)G(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)
𝐴𝐶 𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝐷 𝐴𝑂 𝑂 𝑂𝐺⊥𝐴𝐵 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝑂𝐹
= (cid:62) + = (cid:62)
∵ 𝐶𝐹 =𝐵𝐷 +𝐴𝐶 =𝐵𝐷 (cid:62)𝐴𝐵
∴ 𝐴𝐵(cid:62) 𝐴(cid:66)𝐶 𝐶𝐹(cid:26)(cid:28)𝐴𝐹(cid:38)(cid:62) (cid:62) (cid:128)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
∵𝐴𝐶 𝐵𝐷= ⊙𝑂=90°(cid:62) 𝐶 =𝐷 (cid:62)
∴∠𝐵𝐷=𝑂 (cid:62)∠𝐹𝐶𝑂 = 𝑂𝐶=9𝑂0𝐷°(cid:62) = (cid:62)
∵𝐶𝐹 𝐵𝐷 ∠𝐵𝐷𝑂(SAS∠)𝐹(cid:62)𝐶𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷
∴△𝐵𝐷𝑂≌△𝐹𝐶𝑂= (cid:62)
∴(cid:332)𝑂𝐵 =𝑂𝐹 (cid:62) = (cid:62)
∵𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝑂(SS𝐴S)𝑂(cid:62)
∴△𝐴𝐵𝑂=≌△𝐴𝐹𝑂(cid:62)
∴∠𝐵(cid:68)𝐴𝑂(cid:69) ∠𝐹𝐴𝑂(cid:62)
∴(cid:332)𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴(cid:62)𝐶 (cid:62)
∵𝑂=𝐺⊥𝐴(cid:62)𝐵 𝑂𝐶⊥𝐴𝐶
∴𝑂𝐺(cid:48) 𝑂𝐶 (cid:59)(cid:28)(cid:65)
(cid:15)∴𝐴(cid:145)𝐵(cid:146)⊙8-3𝑂(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)P(cid:128) (cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:62) (cid:219) (cid:128) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:128)A(cid:219)B(cid:62)(cid:82)(cid:38) (cid:70) (cid:194)(cid:71)D(cid:219)
E(cid:62)(cid:70) (cid:194)(cid:71)C(cid:65) ⊙𝑂 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 𝑃𝑂 ⊙𝑂
𝐴𝐵
(1)(cid:31)(cid:45) = (cid:65)
(2)(cid:180) ∶∠𝐴𝐷=𝐸30°∠(cid:62)𝑃(cid:102)𝐴𝐸(cid:50) (cid:62)(cid:31)(cid:45)(cid:10)(cid:166)(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:393)(cid:25)(cid:65)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)∠𝐴(cid:19)𝐷(𝐸1)(cid:125)(cid:126)(cid:127) 𝐵𝐷 𝐴𝐷𝐵𝑃
(2)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:107)1(cid:119)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:189) = =90°,(cid:45)(cid:198) = (cid:62) = (cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:179)(cid:45)(cid:104)
(cid:107)2(cid:119)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:102)(cid:50)𝑂𝐴 (cid:62)(cid:45)∠(cid:198)𝑃𝐴𝑂 ∠=𝐷𝐴𝐸 =3∠0𝐷°(cid:62)𝐴𝑂(cid:179)(cid:74)∠𝑃𝐴𝐸= ∠𝐷(cid:62)𝐴(cid:189)𝑂 (cid:219)∠𝐴𝐷𝐸(cid:128) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:179)(cid:74)
= =𝐵𝐷 (cid:62) 𝑂𝐵= ∠𝐴=𝑃𝑂90°(cid:62)90(cid:45)°−(cid:198)∠R𝐴t𝑂𝐸 Rt 𝐴𝐷(cid:62)(cid:179)𝐴(cid:74)𝑃 𝑃𝐴= 𝑃𝐵 ⊙=𝑂30°(cid:62)(cid:181)
𝑃𝐴 𝑃=𝐵 𝐴𝐷(cid:62)∠(cid:179)𝑃(cid:74)𝐴𝑂 ∠𝑃𝐵(cid:62)𝑂(cid:332)(cid:189) = =△𝐴(cid:62)𝑃𝑂(cid:133)≌(cid:96)(cid:45)△(cid:198)𝐵(cid:166)𝑃𝑂(cid:57)(cid:25) ∠𝐴(cid:66)𝑃𝑂(cid:393)(cid:25)∠(cid:65)𝐵𝑃𝑂
∠(cid:15)𝐴(cid:143)𝐷𝐸(cid:126)(cid:19)∠(cid:107)𝐵1𝑃(cid:119)𝑂(cid:45)(cid:198)(cid:10)(cid:120)𝐴𝐷(cid:121)∥(cid:62)𝐵𝑃(cid:102)(cid:50) (cid:62)𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐷𝐵𝑃
𝑂𝐴
(cid:66)(cid:82)(cid:132)(cid:62)
∵𝐷𝐸 =90°
∴∠𝐷𝐴𝐸(cid:133) + =90°
∠𝐷(cid:128)𝐴𝑂 ∠(cid:26)𝑂(cid:28)𝐴𝐸(cid:38)(cid:62)
∵𝑃𝐴 ⊙=𝑂90°(cid:62)
(cid:133)∴∠𝑃𝐴𝑂 + =90°(cid:65)
∠𝑃𝐴𝐸= ∠𝑂𝐴𝐸(cid:62)
∴∠𝐷𝐴=𝑂 ∠𝑃𝐴𝐸
∵𝐴𝑂 𝐷=𝑂 (cid:62)
∴∠𝐷𝐴𝑂= ∠𝐴𝐷𝐸(cid:65)
∴(cid:107)∠2𝐴(cid:119)𝐷(cid:102)𝐸 (cid:50)∠𝑃𝐴(cid:62)𝐸(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:62)
𝐵𝐷 𝑂𝐵
=30°(cid:62)
∵∠𝐴𝐷𝐸=60°(cid:62)
∴∠𝐴(cid:128)𝑂𝐸 (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)
∵𝑃𝐴 ⊙=𝑂90°(cid:62)
∴∠𝑃𝐴𝑂= =30°(cid:62)
∴∠𝐴𝑃=𝑂 90°−∠𝐴𝑂𝐸
∴𝐴𝐷(cid:219)𝐴𝑃(cid:128) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)
∵𝑃𝐴=𝑃𝐵 =⊙𝑂(cid:62) = =90°(cid:62)
∴𝑃𝐴 =𝑃𝐵 𝐴𝐷 ∠𝑃𝐴𝑂 ∠𝑃𝐵𝑂
∵𝑃R𝑂t 𝑃𝑂 Rt (HL)(cid:62)
∴ △𝐴=𝑃𝑂≌ △=𝐵𝑃30𝑂°
∴∠𝐴𝑃𝑂 =∠𝐵𝑃𝑂
∴∠𝐴𝐷𝐸 (cid:62)∠𝐵𝑃𝑂
∴𝐴𝐷=∥𝐵𝑃 = (cid:62)
∵(cid:166)𝑃𝐴(cid:57)(cid:25)𝑃𝐵 𝐴(cid:66)𝐷(cid:393)(cid:25)(cid:65)
∴(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)𝐴(cid:236)𝐷𝐵(cid:20)𝑃(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:219)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:283)(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)(cid:186)(cid:187)(cid:219)(cid:393)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:62)(cid:391)(cid:392)(cid:373)(cid:394)(cid:26)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:66)(cid:45)(cid:198)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型9 三角形内切圆中求最值】
(cid:15)(cid:106)9(cid:19)(cid:107)2025·(cid:369)(cid:336)(cid:171)(cid:395)·(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)A(cid:26)(cid:396)(cid:271)(cid:128)(0,4)(cid:62)(cid:97)O(cid:71)(cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:97) (cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:26)(cid:29)(cid:70)x(cid:397)
(cid:194)(cid:71)B(cid:62)(cid:71)C(cid:128)(cid:398)(cid:89)(cid:399)(cid:400)(cid:29)(cid:91)(cid:89)(cid:401)(cid:71)(cid:62) (cid:397)(cid:194)D(cid:71)(cid:62)(cid:71)I(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:181) 𝑂(cid:26)𝐴(cid:46)(cid:197)(cid:47)(cid:128) (cid:65)
𝐶𝐷⊥𝑥 △𝑂𝐶𝐷 𝐴𝐼
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)2 10 2/ 2+2 10
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)−(cid:136)2 (cid:162)(cid:23)−2(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:396)(cid:271)(cid:48)(cid:121)(cid:25)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:83)(cid:132)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:22) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:62)
(cid:29)(cid:34)(cid:128)P(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:27)(cid:34)(cid:40)(cid:163)(cid:45)(cid:198) (SA𝑂S𝐼)(cid:62)𝐼(cid:96)𝐵 (cid:179) △𝑂𝐼𝐵
= =𝑃1𝑂35°𝑃(cid:62)𝐵(cid:394)𝐼A𝐶(cid:62)I(cid:62)𝑂𝑁P(cid:23)𝐵(cid:71)𝑁(cid:402)(cid:38)(cid:403)(cid:62) (cid:404)(cid:179)(cid:46)(cid:197)(cid:47)△(cid:62)𝐼𝑂(cid:236)𝐶≌(cid:403)△𝐼=𝑂𝐵 (cid:62)(cid:233)(cid:178)(cid:151)(cid:152)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:133)(cid:96)
∠(cid:126)𝑂(cid:313)𝐼𝐶(cid:314)(cid:20)∠(cid:65)𝑂𝐼𝐵 𝐴𝐼 𝐴𝐼 𝐴𝑃−𝑃𝐼
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:22) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:62)(cid:29)(cid:34)(cid:128)P(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)
𝑂𝐼 𝐼𝐵 △𝑂𝐼𝐵 𝑃𝑂 𝑃𝐵 𝐼𝐶 𝑂𝑁 𝐵𝑁
(cid:71)I(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵ =△𝑂𝐶𝐷(cid:62)
(cid:86)∴∠𝐼𝑂𝐶 (cid:80)∠𝐼𝑂𝐵 (cid:30)(cid:62)
△𝐼𝑂=𝐶 △𝐼𝑂𝐵
= (cid:62)
𝑂𝐼= 𝑂𝐼
∠𝐼𝑂𝐶 ∠𝐼𝑂𝐵
𝑂𝐶 𝑂𝐵 (SAS)(cid:62)
∴△𝐼𝑂𝐶=≌△𝐼𝑂(cid:62)𝐵
∴∠𝑂𝐼𝐶 (cid:62)∠𝑂𝐼𝐵
∵𝐶𝐷⊥𝑥=90°(cid:62)
∴∠𝑂𝐷𝐶+ =90°(cid:62)
∴∠1𝐶𝑂𝐷 ∠1𝑂𝐶𝐷
+ =45°(cid:62)
2 2
∴ ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝑂𝐶=𝐷45°(cid:62)
∴∠𝐼𝑂𝐶=∠1𝐼3𝐶5𝑂°(cid:62)
∴∠𝑂𝐼𝐶= =135°(cid:62)
∴∠𝑂𝐼𝐶 =∠4𝑂5𝐼°𝐵(cid:62)
∴∠𝑂𝑁𝐵=90°(cid:62)
∴(cid:71)∠𝑂A𝑃𝐵(cid:26)(cid:396)(cid:271)(cid:128)(0,4)(cid:62)
∵(cid:71)B(cid:26)(cid:396)(cid:271)(cid:128)(4,0)(cid:62)
∴ =4(cid:62)
∴𝑂𝐵 2
= = =2 2(cid:62)
2
∴𝑂(𝑃 𝐵)𝑃(cid:62) 𝑂𝐵
∴(cid:394)𝑃A2(cid:62),−I2(cid:62)P(cid:23)(cid:71)(cid:402)(cid:38)(cid:403)(cid:62) (cid:404)(cid:179)(cid:46)(cid:197)(cid:47)(cid:62)
𝐴𝐼
(cid:236)(cid:403) = = ( ) +(4+2) 2=2 10 2(cid:65)
2 2
(cid:169)(cid:123)𝐴(cid:124)𝐼(cid:128)(cid:10)𝐴𝑃2−1𝑃0𝐼 2 0(cid:65)−2 −2 −2
(cid:15)(cid:145)(cid:146)9-1(cid:19)(cid:120)(cid:121)−(cid:62)2(cid:262)(cid:25)ABCD(cid:62)AD(cid:195)6(cid:62)AB(cid:195)8(cid:62)(cid:71)P(cid:128)BC(cid:57)(cid:91)(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:62)(cid:71)Q(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:29)O(cid:91)
(cid:26)(cid:89)(cid:64)(cid:401)(cid:71)(cid:62)(cid:71)M(cid:66)CQ(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:62)(cid:181)PM(cid:26)(cid:46)(cid:230)(cid:47)(cid:66) (cid:65) △𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19) 13+1
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)由矩形的性质得出 =90°， = =8，由勾股定理得出 = + =10，设△ 的内切圆
2 2
1 1 ∠𝐷1 1𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 1
的半径为 ，则 ×10 + ×8 + ×6 = ×8×6，解得 =2，连接 ，易证 是 的中位线，得出 =
2 2 2 2 2
𝑂 ，当 经𝑟 过圆心 时𝑟 ， 𝑟最长，𝑟则此时 最长，𝑟作 𝐵于𝑄 ， 𝑃𝑀 于Δ𝐵，𝐶𝑄则 = =6，𝑃𝑀 =
𝐵𝑄 𝐵𝑄 𝑂 𝐵𝑄 𝑃𝑀 𝑂𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸 𝑂𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵−𝐴𝐹 𝑂𝐹= =4，由勾股定理得出 = + =2 13，则 = + =2 13+2，即可得出结果．
2 2
𝐴(cid:15)𝐸(cid:143)(cid:126)𝐴𝐷(cid:19)−解𝐷𝐸： 四边形 是矩形𝐵，𝑂 𝐵𝐹 𝑂𝐹 𝐵𝑄 𝐵𝑂 𝑂𝑄
=90°， ∵= =8𝐴，𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
= + = 6 +8 =10，
2 2 2 2
∴设𝐴△𝐶 𝐴的𝐷内切𝐶圆𝐷 的半径为 ，
1 𝐴𝐷 1 𝑂1 1 𝑟
则 ×10 + ×8 + ×6 = ×8×6，
2 2 2 2
解得：𝑟=2， 𝑟 𝑟
连接 𝑟，
𝐵𝑄
是 边上的中点，点 是 的中点，
∵𝑃 是𝐵𝐶 的中位线，𝑀 𝐶𝑄
∴𝑃𝑀 1Δ𝐵𝐶𝑄
= ，
2
∴当𝑃𝑀 经𝐵过𝑄圆心 时， 最长，则此时 最长，
作𝐵𝑄 于 ，𝑂 𝐵𝑄于 ， 𝑃𝑀
则𝑂𝐸=⊥𝐴𝐷 𝐸 =𝑂𝐹⊥𝐴=𝐵6，𝐹 = = = =4，
𝐵𝐹 𝐴𝐵−𝐴𝐹 8−2 𝑂𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐷−𝐷𝐸 6−2
= + = 6 +4 =2 13，
2 2 2 2
∴𝐵𝑂 = 𝐵 + 𝐹 𝑂 = 𝐹 2 13+2，
∴𝐵𝑄 𝐵1𝑂 𝑂𝑄
= = 13+1；
2
∴故𝑃答𝑀案为𝐵𝑄： 13+1．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；
熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
(cid:15)(cid:145)(cid:146)9-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =5(cid:62) =4(cid:62) =3(cid:62)(cid:90)(cid:79)(cid:71)C(cid:319)(cid:48)(cid:57)AB(cid:59)(cid:28)(cid:26)(cid:401)(cid:29)(cid:48)CA(cid:62)CB
(cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:70)(cid:194)(cid:71)P(cid:62)Q(cid:62)(cid:181)△𝐴𝐵𝐶 (cid:26)𝐴(cid:27)𝐵(cid:28)(cid:29)(cid:131)(cid:132)𝐴𝐶(cid:128) 𝐵 𝐶 (cid:62)(cid:38)(cid:94)PQ(cid:39)(cid:32)(cid:26)(cid:46)(cid:197)(cid:47)(cid:128) (cid:65)
△𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19) 1 2.4
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:151)(cid:152)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:48)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:55)(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:201) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:104)(cid:279)(cid:90)(cid:79)(cid:71)C
(cid:26)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:128)F(cid:62)(cid:29)F(cid:48) (cid:26)(cid:28)(cid:71)(cid:128)D(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:219) (cid:62)(cid:181)(cid:35) △𝐴(cid:104)𝐵𝐶(cid:189)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:405)(cid:40)(cid:41)(cid:188)(cid:62)
(cid:66)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:82)(cid:132) =𝐴𝐵 + (cid:62)(cid:189)(cid:38)(cid:94)(cid:46)𝐹(cid:406)𝐷(cid:188)𝐶𝐹+𝐶𝐷 (cid:62)𝐹(cid:133)𝐷⊥𝐴𝐵 (cid:62)(cid:156)(cid:35)(cid:394)(cid:71)F(cid:86) (cid:91)(cid:62)(cid:319)△𝐴𝐵𝐶
(cid:66)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:193)𝑃𝑄(cid:57) 𝐹(cid:26)𝐶 (cid:322)𝐹(cid:403)𝐷(cid:62) (cid:35)(cid:46)(cid:197)(cid:47)(cid:128)𝐶𝐹(cid:26)𝐹(cid:39)𝐷(cid:62)≥(cid:189)𝐶(cid:82)𝐷(cid:24)(cid:23)𝑃(cid:24)𝑄(cid:25)≥(cid:26)𝐶(cid:43)𝐷(cid:44)(cid:7)(cid:146)(cid:188)(cid:62)(cid:236)(cid:403)𝐶𝐷 𝐶𝐷
= 𝐴÷𝐵𝐶 =2.4𝐴(cid:65)𝐵 𝑃𝑄 𝐶𝐷
𝐶(cid:15)𝐷(cid:143)(cid:126)𝐵(cid:19)𝐶(cid:126)⋅𝐴(cid:10)𝐶 𝐴𝐵 =5(cid:62) =4(cid:62) =3(cid:62)
= +∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 =𝐴𝐶90° 𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐵
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:131)(cid:132)= =1
2
𝐴𝐶+𝐵𝐶−𝐴𝐵
∴(cid:279)△(cid:79)𝐴(cid:71)𝐵𝐶C(cid:26)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:128)F(cid:62) (cid:48) (cid:26)(cid:28)(cid:71)(cid:128) (cid:62)
=90°(cid:62) ⊙𝐹 𝐴𝐵 𝐷
∵∠𝑃𝐶(cid:66)𝑄 (cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:62)
(cid:102)∴(cid:50)𝑃𝑄 (cid:62)⊙(cid:102)𝐹(cid:50) (cid:62) (cid:62)
𝐹𝐷 𝐶𝐹 𝐶𝐷
(cid:71) (cid:219) (cid:86) (cid:91)(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:62)
∵ 𝐶 =𝐷 +⊙𝐹 (cid:62) 𝑃𝑄 ⊙𝐹
(cid:332)∴𝑃𝑄 +𝐹𝐶 𝐹𝐷
∵𝐶𝐹 𝐹(cid:62)𝐷≥𝐶𝐷
∴𝑃𝑄(cid:48)≥𝐶𝐷 (cid:28)(cid:194)(cid:71) (cid:62)
∵𝐴𝐵 ⊙(cid:104)𝐹 𝐷
∴(cid:394)𝐹𝐷(cid:71)⊥𝐴(cid:66)𝐵Rt (cid:26)(cid:193)(cid:57) (cid:26)(cid:322)(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:403)(cid:62) (cid:219)(cid:219) (cid:23)(cid:71)(cid:402)(cid:38)(cid:62)(cid:319) (cid:128)Rt (cid:26)(cid:193)(cid:57) (cid:26)(cid:322)(cid:62)(cid:236)(cid:403)
∴ 𝐹 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐹 𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝐹(cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:77)(cid:194) = ÷ =2.4
(cid:332) 𝐶(cid:62)𝐷 𝐵𝐶⋅𝐴𝐶 𝐴𝐵
∵𝑃(cid:242)𝑄(cid:404)≥(cid:74)𝐶𝐷(cid:46)(cid:197)(cid:47)2.4(cid:65)
(cid:169)∴𝑃(cid:123)𝑄(cid:124)(cid:128)(cid:10)1(cid:62)2.4(cid:65)
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:405)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:83)(cid:38)(cid:94)(cid:46)(cid:406)(cid:62)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:146)(cid:62)(cid:82)(cid:24)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:3)(cid:55)(cid:62)(cid:340)(cid:159)(cid:22)(cid:201)(cid:304)(cid:305)(cid:38)(cid:407)(cid:408)(cid:314)(cid:20)(cid:66)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:145)(cid:146)9-3(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:26)(cid:82)(cid:132) (cid:26)(cid:39)(cid:128)8(cid:62)P(cid:66) (cid:91)(cid:89)(cid:401)(cid:71)(cid:62) (cid:26)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:70) (cid:194)(cid:71)Q(cid:62)(cid:71)I(cid:128)
(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)⊙(cid:111)𝑂(cid:409)(cid:234)(cid:388)(cid:10)𝐴①𝐵 (cid:71)Q(cid:66)(cid:40)(cid:71)(cid:104)𝐴②𝐵 (cid:26)(cid:46)(cid:230)∠(cid:47)𝐴𝑃(cid:128)𝐵8(cid:104)③ (cid:26)(cid:39)(cid:128)⊙(cid:40)𝑂(cid:47)(cid:104)④ (cid:26)△(cid:46)𝐴𝑃(cid:230)𝐵
(cid:47)(cid:128)16(cid:65)(cid:303)(cid:30)𝑄(cid:340)𝐴(cid:159)(cid:26)(cid:234)(cid:388)(cid:66) (cid:107)(cid:217)(cid:340)(cid:159)𝑃(cid:234)𝑄(cid:388)(cid:26)(cid:410)(cid:9)(cid:58)(cid:411)(cid:91)(cid:119)𝑄(cid:65)𝐼 𝐴𝑃⋅𝐵𝑃
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)①②③
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:189)(cid:20)(cid:190)(cid:361)(cid:179) = (cid:62)(cid:233)(cid:178)(cid:96)(cid:179)①(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:29)(cid:30)(cid:82)(cid:132)(cid:46)(cid:230)(cid:96)(cid:297)(cid:40)②(cid:62)(cid:189)(cid:27)(cid:34)(cid:96)(cid:188)
= (cid:62)𝐵𝑄(cid:233),𝐴(cid:178)𝐼 (cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:49)𝐴(cid:24)𝑄(cid:26)(cid:40)𝐵𝑄(cid:163)(cid:185)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:96)(cid:164)(cid:165)(cid:412)(cid:413)③(cid:62)(cid:79)(cid:71)P(cid:22) (cid:194)(cid:71)D(cid:62)(cid:164)(cid:282)
(cid:96)∠𝑃(cid:179)𝐴𝐼 ∠𝐵𝐴=𝐼 (cid:62)(cid:46)(cid:178)(cid:96)(cid:179)(cid:201)(cid:167)(cid:168)(cid:65) 𝑃𝐷⊥𝐴𝐵
(cid:15)(cid:143)𝐴(cid:126)𝑃(cid:19)⋅𝐵(cid:126)𝑃(cid:10)(cid:102)𝐴(cid:50)𝐵⋅𝑃𝐷 (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:10)
𝐵𝑄,𝐴𝐼
(cid:128) (cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:62)
∵𝐴𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:62)
∴∠𝐴𝑃𝐵(cid:26)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:70) (cid:194)(cid:71)Q(cid:62)(cid:71)I(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵∠𝐴𝑃𝐵 = = ⊙𝑂 = (cid:62) △𝐴𝑃𝐵
∴∠𝐴𝑃𝑄 ∠𝐵𝑃𝑄 45°,∠𝑃𝐴𝐼 ∠𝐵𝐴𝐼= (cid:62)(cid:319) (cid:66)(cid:77)(cid:320)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)
∴𝐴𝑄 𝐵𝑄 2△𝐴𝑄𝐵
= = =4 2(cid:62)(cid:133)(cid:71)Q(cid:66)(cid:40)(cid:71)(cid:62)(cid:169)①(cid:340)(cid:159)(cid:104)
2
∴(cid:189)𝐴(cid:29)𝑄(cid:30)(cid:46)𝐵𝑄(cid:39)(cid:26)(cid:288)𝐴(cid:66)𝐵(cid:82)(cid:132)(cid:96)(cid:188) (cid:26)(cid:46)(cid:230)(cid:47)(cid:128)8(cid:62)(cid:169)②(cid:340)(cid:159)(cid:104)
= + 𝑃𝑄= + (cid:62)(cid:319) = =45°(cid:62)
∵∠𝑄𝐼𝐴=∠𝑃𝐴𝐼(cid:62)∠𝐴𝑃𝑄,∠𝑄𝐴𝐼 ∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝑄𝐴𝐵 ∠𝑄𝐴𝐵 ∠𝐴𝑃𝑄
∴∠𝑄𝐼=𝐴 ∠=𝑄4𝐴𝐼2(cid:62)(cid:133) (cid:26)(cid:39)(cid:128)(cid:40)(cid:47)(cid:62)(cid:169)③(cid:340)(cid:159)(cid:104)
∴(cid:79)𝐴(cid:71)𝑄 P(cid:22)𝑄𝐼 (cid:194)(cid:71)𝑄𝐼D(cid:62)
𝑃1𝐷⊥𝐴𝐵 1
= = (cid:62)
2 2
∴(cid:394)𝑆△𝐴𝑃𝐵 (cid:26)𝐴(cid:47)𝑃(cid:128)⋅𝐵(cid:46)𝑃(cid:230)(cid:62)𝐴(cid:181)𝐵⋅𝑃𝐷 (cid:26)(cid:47)(cid:128)(cid:46)(cid:230)(cid:62)(cid:133) (cid:26)(cid:47)(cid:128)(cid:46)(cid:230)(cid:62)
(cid:394)𝐴𝑃⋅(cid:66)𝐵𝑃(cid:131)(cid:132)(cid:403)(cid:62)(cid:133)(cid:128) 𝐴=𝐵4⋅(cid:62)𝑃𝐷 𝑃𝐷
∴ 𝑃𝐷 (cid:26)(cid:46)(cid:230)(cid:47)(cid:128) 𝑃𝐷 =8×4=32(cid:104)(cid:169)④(cid:414)(cid:415)(cid:104)
∴(cid:51)𝐴(cid:91)𝑃(cid:84)⋅𝐵(cid:416)𝑃(cid:10)(cid:340)(cid:159)(cid:26)(cid:35)𝐴①𝑃⋅②𝐵𝑃③(cid:104)
(cid:169)(cid:123)(cid:124)(cid:128)①②③(cid:65)
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:219)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:185)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:48)(cid:297)(cid:40)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:219)
(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:185)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:48)(cid:297)(cid:40)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
(cid:15)(cid:106)10(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:417)(cid:418)(cid:419)(cid:337)·(cid:172)(cid:318)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71) (cid:66) (cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:71) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:102)(cid:50)
(cid:62) (cid:65)(cid:180) =35°(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:128)(cid:107) (cid:119) 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐼 △𝐴𝐵𝐶
𝑂𝐵 𝐼𝐴 ∠𝐶𝐴𝐼 ∠𝑂𝐵𝐶
A(cid:65)15° B(cid:65)17.5° C(cid:65)20° D(cid:65)25°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)C
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:80)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:65)
(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:96)(cid:179) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:233)(cid:178)(cid:189)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:201) (cid:62)(cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:97)(cid:185)(cid:77)
(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:179)(cid:201)(cid:123)(cid:124)(cid:65)∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50) (cid:62)
𝑂𝐶(cid:71)I(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) =35°(cid:62)
∵ =△𝐴𝐵𝐶 =70°(cid:62)∠𝐶𝐴𝐼
∴∠𝐵𝐴𝐶 =2∠𝐶𝐴𝐼 =140°(cid:62)
∴∠𝐵𝑂=𝐶 2(cid:62)∠𝐵𝐴𝐶
∵𝑂𝐵 𝑂𝐶
= = = =20°(cid:62)
2 2
180°−∠𝐵𝑂𝐶 180°−140°
∴(cid:169)∠(cid:167)𝑂𝐵(cid:10)𝐶C(cid:65)∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:145)(cid:146)10-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:112)(cid:113)(cid:420)(cid:316)·(cid:172)(cid:318)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)O(cid:66) (cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:71)I(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:65)(cid:180) =20°(cid:62)(cid:181) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:128)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
𝑂𝐵 𝐼𝐴 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐼
A(cid:65)25° B(cid:65)35° C(cid:65)40° D(cid:65)45°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:71)(cid:62)(cid:138)(cid:139)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)
(cid:3)(cid:142)(cid:65)
1
(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:189)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:24)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:179) =140°(cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:189)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:179) =
2
𝑂𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
1
=70°(cid:62)(cid:129)(cid:151)(cid:152)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:40)(cid:163)(cid:96)(cid:179) = (cid:62)(cid:152)(cid:236)(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:126)(cid:65)
2
∠(cid:15)𝐵(cid:143)𝑂𝐶(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50) (cid:62) ∠𝐶𝐴𝐼 ∠𝐵𝐴𝐶
𝑂𝐶= (cid:62)
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 =20°(cid:62)
∴∠𝑂𝐶𝐵=∠𝑂𝐵𝐶 ×20°=140°(cid:62)
∴∠𝐵𝑂𝐶 1180°−2
= =70°(cid:62)
2
∴(cid:71)∠𝐵(cid:66)𝐴𝐶 ∠𝐵(cid:26)𝑂(cid:27)𝐶(cid:34)(cid:62)
∵ 𝐼 △𝐴1𝐵𝐶 1
= = ×70°=35°(cid:62)
2 2
(cid:169)∴(cid:167)∠𝐶(cid:10)𝐴𝐼B(cid:65) ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:145)(cid:146)10-2(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:358)(cid:147)(cid:370)(cid:371)·(cid:172)(cid:318)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:382)(cid:188)(cid:71)M(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) (cid:219) (cid:219) (cid:69)(cid:73)(cid:66)(cid:71)M
(cid:3)(cid:194) (cid:219) (cid:219) (cid:26)(cid:289)(cid:421)(cid:71)(cid:62)(cid:71)B(cid:86) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:91)(cid:62)(cid:319)(cid:71)A(cid:86)△𝐴𝐵𝐶(cid:57)(cid:91)(cid:62)(cid:180)𝐴1 𝐵1 𝐶(cid:26) 1 (cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:131)
(cid:132)(cid:128)𝐵2𝐶(cid:62)(cid:181)𝐶𝐴 (cid:39)𝐴(cid:128)𝐵(cid:107) (cid:119) △𝐴1𝐵1𝐶1 𝐵1𝐶1 △𝐴1𝐵1𝐶1
𝐵𝐶
A(cid:65)2 3 B(cid:65) 3+2 C(cid:65)4 3 D(cid:65)2 3+2
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)D
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:219)(cid:49)(cid:34)(cid:219)(cid:397)(cid:289)(cid:421)(cid:219)(cid:422)(cid:423)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:77)(cid:27)(cid:424)(cid:65)(cid:102)(cid:50) (cid:219) (cid:62)(cid:361)(cid:179)(cid:166)
(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62)(cid:129)(cid:45) =60°(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:126)(cid:65) 𝐵𝑀 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:143)𝑀(cid:126)𝐾(cid:19)𝐴(cid:126)𝐻(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:102)(cid:50) ∠(cid:219)𝐴𝐵𝐶 (cid:62)(cid:279) (cid:48) (cid:70)(cid:194)(cid:71)G(cid:62) (cid:48) (cid:70)(cid:194)(cid:71)H(cid:62) (cid:48) (cid:70)(cid:194)(cid:71)K(cid:62)
𝐵𝑀 𝐴𝑀
𝑀𝐴1
𝐶𝐵
𝑀𝐵1
𝐴𝐶
𝑀𝐶1
𝐴𝐵(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:128)2(cid:62)(cid:319)(cid:71)B(cid:425)(cid:86) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:91)(cid:62)
∵△𝐴1=𝐵1𝐶1 = = =2(cid:62) △𝐴1𝐵1𝐶1
∴𝑀𝐴(cid:219) 1 (cid:219)𝑀𝐵1(cid:69)(cid:73)𝑀(cid:66)𝐶1(cid:71)M𝑀𝐵(cid:3)(cid:194) (cid:219) (cid:219) (cid:26)(cid:289)(cid:421)(cid:71)(cid:62)
∵𝐴1 =𝐵1 𝐶1 =1(cid:62) = =𝐵𝐶1(cid:62)𝐶𝐴 =𝐴𝐵 =1(cid:62) = (cid:62) = (cid:62)
∴𝑀𝐾= 𝐾𝐶1= 𝑀(cid:62)𝐺 𝐺𝐴1 𝑀𝐻 𝐻𝐵1 𝑀𝐴 𝐴𝐵1 𝑀𝐴 𝐴𝐶1
∴𝑀𝐴 𝐴𝐵=1 𝐴𝐶1 = = (cid:62)
∴∠𝑀𝐵1𝐴 +∠𝐴𝑀𝐵1 +∠𝐴𝐶1𝑀 =∠𝐴18𝑀0𝐶°(cid:62)1
∵∠𝑀𝐶1𝐵1= ∠𝑀𝐵1𝐶1= ∠𝐶1𝑀𝐵1= =45°(cid:62)
∴∠𝑀𝐵1𝐴(cid:219)∠𝐴𝑀𝐵1 (cid:219)∠𝐴𝐶1𝑀(cid:219)∠𝐴𝑀𝐶1 (cid:58)(cid:66)(cid:77)(cid:320)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)
∴△𝑀𝐾𝐴 =△45𝐶°1+𝐾𝐴45°△=𝑀90𝐻°(cid:62)𝐴 △𝐵1𝐻𝐴
∴∠𝐵1𝑀𝐶=1 =90°(cid:62)(cid:319) = (cid:62)
∵(cid:166)∠𝑀(cid:57)𝐾(cid:25)𝐴 ∠𝑀𝐻(cid:66)𝐴(cid:340)(cid:140)(cid:25)(cid:62) 𝑀𝐾 𝑀𝐻
∴ =𝑀𝐾90𝐴°𝐻(cid:62) =1(cid:62)
(cid:86)∴∠R𝐵t𝐴𝐶 (cid:30)(cid:62)𝐴𝐾 = (cid:62)
△𝐵𝑀𝐾 1 𝐵𝑀 2𝑀𝐾
sin = (cid:62)
2
∴ ∠𝑀𝐵𝐾
=30°(cid:62) = = 3(cid:62)
2 2
∴(cid:310)∠(cid:41)𝑀𝐵𝐾 =30°𝐵(cid:62)𝐾 𝐵𝑀 −𝑀𝐾
∠𝑀=𝐵𝐺60°(cid:62)
∴∠𝐴𝐵=𝐶30°(cid:62)
∴∠𝐶 = + = 3+1(cid:62)
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐾 =𝐴2𝐾 3+2(cid:104)
∴(cid:169)𝐵(cid:167)𝐶(cid:10)D2(cid:65)𝐴𝐵
(cid:15)(cid:145)(cid:146)10-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:358)(cid:147)(cid:370)(cid:371)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:62)(cid:319) (cid:128) (cid:26)(cid:82)(cid:132)(cid:62)
(cid:71)E(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) (cid:26)(cid:295)(cid:39)(cid:38)(cid:70) (cid:194)(cid:71)F(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:65)⊙(cid:180)𝑂 =△5𝐴(cid:62)𝐵𝐶 = 10(cid:62)(cid:181) 𝐵𝐶(cid:26)(cid:39)⊙(cid:128)𝑂(cid:107) (cid:119)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 ⊙𝑂 𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐶A(cid:65)3 B(cid:65)4 C(cid:65)5 D(cid:65)2 5
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
1
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:102)(cid:50) (cid:70) (cid:194)(cid:71)G(cid:62)(cid:22) (cid:194)(cid:71)H(cid:62)(cid:45)(cid:198) = (cid:62)(cid:179)(cid:74) = = (cid:62)
2
𝑂𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐻⊥𝐵𝐶 𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝑂𝐺⊥𝐴𝐶,𝐴𝐺 𝐶𝐺 𝐴𝐶
2
=90°(cid:62)(cid:45)(cid:198) (cid:66)(cid:77)(cid:320)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:179)(cid:74) = = = 5(cid:62)(cid:181) = =
2
2 2
∠𝐵𝐹𝐶 △𝐶𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐸 𝐵𝐹 𝐵𝐶 −𝐶𝐹
5 ( 5) =2 5(cid:62)(cid:302)(cid:37)(cid:77)(cid:44)(cid:141)(cid:179)(cid:74) = =2(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:74)(cid:123)(cid:124)(cid:65)
2
2
(cid:15)(cid:143)−(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50) (cid:70) (cid:194)(cid:71)G(cid:62)(cid:22)𝐹𝐻 𝐶𝐺(cid:194)(cid:71)H(cid:62)
𝑂𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐻⊥𝐵𝐶
(cid:71)E(cid:128) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
∵ △𝐴𝐵𝐶 1 1
= = (cid:62) = = (cid:62)
2 2
∴∠𝐶𝐵
=
𝐹 (cid:62)∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐵
∴𝐴𝐹 𝐶𝐹 1
= = (cid:62)
2
∴𝑂𝐺(cid:128)⊥𝐴𝐶,𝐴(cid:26)𝐺(cid:82)(cid:132)𝐶𝐺(cid:62) 𝐴𝐶
∵𝐵𝐶 ⊙=𝑂90°(cid:62)
∴∠𝐵𝐹𝐶= + = + (cid:62) = =
∵∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐶𝐵𝐹(cid:62)∠𝐵𝐶𝐸,∠𝐸𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐶𝐹
∴∠𝐶𝐸𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹 2
(cid:66)(cid:77)(cid:320)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62) = = = 5(cid:62)
2
∴△𝐶𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐸
= = 5 ( 5) =2 5
2
2 2 2
∴𝐵𝐹 𝐵1𝐶 −𝐶𝐹 1 −
= =
2 2
△𝐵𝐶𝐹
∵𝑆 𝐵𝐹⋅𝐶𝐹 𝐵𝐶⋅𝐹𝐻
2 5 5
= = =2(cid:62)
5
𝐵𝐹⋅𝐶𝐹 ⋅
∴𝐹𝐻 𝐵𝐶1 1
= = (cid:62) = (cid:62)
2 2
△𝑂𝐶𝐹
∵𝑆 = 𝑂=𝐶2⋅(cid:62)𝐹𝐻 𝑂𝐹⋅𝐶𝐺 𝑂𝐶 𝑂𝐹
∴𝐹𝐻= 𝐶𝐺 =4
∴(cid:169)𝐴(cid:167)𝐶(cid:10)B2𝐶𝐺
(cid:15)(cid:71)(cid:296)(cid:19)(cid:236)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:219)(cid:83)(cid:132)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:331)(cid:388)(cid:219)(cid:77)(cid:320)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:297)(cid:40)(cid:80)
(cid:186)(cid:187)(cid:77)(cid:188)(cid:298)(cid:62)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:29)(cid:42)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:219)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:219)(cid:83)(cid:132)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:331)(cid:388)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
【题型11 圆与圆的位置关系】
(cid:15)(cid:106)11(cid:19)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =3(cid:62) =4(cid:62) =5(cid:62)(cid:71) (cid:86) (cid:27)(cid:62)(cid:69)(cid:73)(cid:97) (cid:219) (cid:219) (cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:251)(cid:62)(cid:29) (cid:131)(cid:132)
(cid:128)1(cid:62)(cid:29) (cid:131)(cid:132)△(cid:128)𝐴𝐵2𝐶(cid:62)(cid:29)𝐴(cid:131)𝐶(cid:132)(cid:128)3𝐵(cid:62)𝐶(cid:29) (cid:48)(cid:29)𝐴𝐵(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:29)𝑃(cid:48)(cid:29)△𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:3)(cid:55)(cid:66)(cid:107) (cid:119)𝐴 𝐵 𝑃 𝐴
A(cid:65)(cid:27)𝐵(cid:105) B𝑃(cid:65)(cid:59)(cid:70) 𝐴 𝑃C(cid:65)(cid:49)(cid:28) 𝑃 𝐵 D(cid:65)(cid:59)(cid:76)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:29)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:62)(cid:426)(cid:185)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:20)(cid:190)(cid:62)(cid:22)(cid:201)(cid:121)(cid:25)(cid:62)(cid:33)(cid:25)(cid:234)(cid:52)(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:74)(cid:123)(cid:124)(cid:62)(cid:137)(cid:291)
(cid:29)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:66)(cid:126)(cid:313)(cid:314)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10) (cid:29) (cid:131)(cid:132)(cid:128)1(cid:62)(cid:29) (cid:131)(cid:132)(cid:128)3(cid:62)(cid:29) (cid:48)(cid:29) (cid:27)(cid:28)(cid:62)
(cid:29) (cid:105)(cid:86)(cid:29) ∵(cid:27)(cid:62)𝐴(cid:133) = =𝑃2(cid:62) 𝐴 𝑃
∴ (cid:86)𝐴(cid:97) (cid:128)(cid:29)𝑃(cid:34)(cid:219)2(cid:128)𝑃(cid:131)𝐴 (cid:132)(cid:26)3−(cid:29)1(cid:48) (cid:57)(cid:59)(cid:70)(cid:25)(cid:218)(cid:26)(cid:339)(cid:91)(cid:300)(cid:401)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:10)
∴𝑃 𝐴 △𝐴𝐵𝐶
(cid:394)(cid:74) (cid:53)(cid:54)(cid:403)(cid:62)(cid:29) (cid:48)(cid:29) (cid:29)(cid:34)(cid:75)(cid:76) (cid:46)(cid:230)(cid:62)(cid:128) 1 +4 = 17(cid:62)
′ 2 2
∴
17
𝑃 <3+2=5(cid:62)𝑃 𝐵 𝑃𝐵
∵(cid:29) (cid:48)(cid:29) (cid:59)(cid:70)(cid:62)
(cid:169)∴(cid:167)(cid:10)𝑃 B(cid:65)𝐵
(cid:15)(cid:145)(cid:146)11-1(cid:19)(cid:107)2025·(cid:91)(cid:306)(cid:427)(cid:336)·(cid:381)(cid:327)(cid:119)(cid:382)(cid:188) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:66)5(cid:62) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:66)6(cid:65)(cid:29)(cid:34) (cid:86) (cid:91)(cid:65)(cid:428)(cid:254)
(cid:99)(cid:29)(cid:26)(cid:7)(cid:402)(cid:288)(cid:39)(cid:66)(cid:107) (cid:119) ⊙𝑂1 ⊙𝑂2 𝑂2 ⊙𝑂124 48
A(cid:65) B(cid:65) C(cid:65)10 D(cid:65)12
5 5
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)B
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:160)(cid:161)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:59)(cid:70)(cid:99)(cid:29)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:287)(cid:151)(cid:152)(cid:20)(cid:190)(cid:251)(cid:201)(cid:121)(cid:25)(cid:62)(cid:279) (cid:80) (cid:59)(cid:70)(cid:194)A(cid:62)B(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)
(cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:279) (cid:48) (cid:59)(cid:70)(cid:194)(cid:71)C(cid:62)(cid:279) =
(cid:62)(cid:181)⊙𝑂1
=
⊙𝑂2
=5(cid:62) =6(cid:62) 𝐴𝐵
𝑂1𝑂=2 𝑂(cid:62)1𝐴 𝑂2𝐵 𝑂(cid:62)1𝑂2 =𝐴𝐵 (cid:62)𝑂1𝑂2 = (cid:62)(cid:86)Rt 𝑂1 𝐶 (cid:80)𝑎Rt 𝑂1 𝐴 (cid:30)𝑂(cid:62)1(cid:189)𝑂2(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)𝑂2 (cid:179)𝐴 =
2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵⊥𝑂1𝑂2 𝑂2 𝐶 5−𝑎 𝐴𝐵 2𝐴𝐶 △𝑂1𝐴𝐶7 △𝑂2𝐴2𝐶4 𝐴𝐶 𝑂1𝐴 −
= (cid:62)(cid:181)5 =6 ( ) (cid:62)(cid:189)(cid:236)(cid:126)(cid:201) = (cid:62)(cid:181) = (cid:62)(cid:164)(cid:282)(cid:133)(cid:96)(cid:179)(cid:201)(cid:7)(cid:402)(cid:288)AB(cid:26)(cid:39)(cid:65)
5 5
2 2 2 2 2 2 2
(cid:15)𝑂1 (cid:143)𝐶(cid:126)(cid:19)𝑂(cid:126) 2𝐴(cid:10)−(cid:279)𝑂2𝐶 (cid:80) −𝑎(cid:59)(cid:70)(cid:194)−(cid:71) 5− (cid:62) 𝑎 (cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)𝑎 (cid:62) 𝐴𝐶(cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:279) (cid:48) (cid:59)(cid:70)(cid:194)(cid:71)
(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:144)(cid:10) ⊙𝑂1 ⊙𝑂2 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝑂1𝑂2 𝑂1 𝐴 𝑂2 𝐵 𝑂1𝑂2 𝐴𝐵 𝑂1𝑂2
𝐶
(cid:279) = (cid:62)
𝑂1
𝐶 (cid:26)𝑎(cid:131)(cid:132)(cid:66)5(cid:62) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:66)6(cid:65)(cid:29)(cid:34) (cid:86) (cid:91)(cid:62)
∵⊙𝑂1 = =5(cid:62)⊙𝑂2 =6(cid:62) = (cid:62) 𝑂2 ⊙𝑂(cid:62) 1
∴𝑂1𝐴= 𝑂1𝑂2 =𝑂2 𝐴 (cid:62) 𝐴𝐶= 𝐵𝐶(cid:62) 𝐴𝐵⊥𝑂1𝑂2
(cid:86)∴R𝑂t 2𝐶 𝑂1 (cid:80)𝑂2 R−t𝑂1𝐶 5(cid:30)−(cid:62)𝑎 (cid:189)𝐴(cid:280)𝐵(cid:281)(cid:40)2𝐴(cid:41)𝐶(cid:179)(cid:10) = = (cid:62)
2 2 2 2 2
5 △𝑂1𝐴=𝐶6 △𝑂2𝐴𝐶(cid:62) 𝐴𝐶 𝑂1𝐴 −𝑂1𝐶 𝑂2𝐴 −𝑂2𝐶
2 2 2 2
∴ −𝑎 7 −(5−𝑎)
(cid:126)(cid:179)(cid:10) = (cid:62)
5
𝑎 7
= (cid:62)
5
∴𝑂1𝐶
7 24
= = 5 ( ) = (cid:62)
5 5
2
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝑂1𝐴 −𝑂24 1𝐶 48 −
= =2× = (cid:65)
5 5
𝐴(cid:169)𝐵(cid:167)(cid:10)2B𝐴𝐶
4
(cid:15)(cid:145)(cid:146)11-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =7(cid:62) =8(cid:62)sin = (cid:65)(cid:71) (cid:86)(cid:57) (cid:91)(cid:62) =2(cid:62)(cid:97)(cid:71) (cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:62)
5
(cid:128)(cid:131)(cid:132)(cid:22) (cid:65)(cid:71) (cid:86)(cid:57)▱𝐴𝐵(cid:91)𝐶𝐷(cid:62)(cid:97)(cid:71)𝐴𝐵(cid:128)(cid:29)(cid:34)𝐵(cid:62)𝐶 (cid:128)(cid:131)(cid:132)𝐵(cid:22) (cid:65)𝑃(cid:120)(cid:235) 𝐴𝐵 (cid:80) 𝐴𝑃 (cid:49)(cid:28)(cid:62)(cid:428)(cid:254)𝑃 (cid:26)(cid:39) 𝐴𝑃
(cid:128) (cid:65)⊙𝑃 𝑄 𝐵𝐶 𝑄 𝐶𝑄 ⊙𝑄 ⊙𝑃 ⊙𝑄 𝐶𝑄37 9
(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19) /2
14 14
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:26)(cid:66)(cid:29)(cid:80)(cid:29)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:219)(cid:126)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:188)(cid:298)(cid:62)(cid:22) (cid:194)(cid:71)H(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)(cid:287)(cid:31)(cid:201)
=4(cid:62) =3(cid:62)(cid:279) = (cid:62)(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:409)(cid:140)(cid:429)(cid:133)𝑃𝐻(cid:96)⊥(cid:126)𝐵(cid:313)𝐶(cid:65) 𝑃𝑄
𝑃(cid:15)𝐻(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)𝐵𝐻(cid:10)(cid:22) 𝐶𝑄(cid:194)(cid:71)𝑎 H(cid:62)(cid:102)(cid:50)△𝑄𝑃(cid:62)𝐻
𝑃𝐻⊥𝐵𝐶 𝑃𝑄
=7(cid:62) =2(cid:62)
∵𝐴𝐵= 𝐴=𝑃5(cid:62)
∴𝐵𝑃 7−2 4
(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62)sin = (cid:62)
5
△𝐵4𝑃𝐻 𝐵
= (cid:62)
5 5
𝑃𝐻
∴
=4(cid:62) = 5 4 =3(cid:62)
2 2
(cid:279)∴𝑃𝐻= (cid:62)𝐵𝐻 −
𝐶𝑄 (cid:80)𝑎 (cid:49)(cid:28)(cid:62) (cid:131)(cid:132)(cid:128)2(cid:62)
∵⊙𝑃= ⊙+𝑄2(cid:62) ⊙𝑃
(cid:86)∴R𝑃t𝑄 𝑎 (cid:30)(cid:62) = = = (cid:62)
4 △+𝑄(𝑃𝐻) =𝑃(𝐻 +24),𝐻(cid:62)𝑄 8−3−𝑎 5−𝑎
2 2 2
∴ 5−3𝑎7 𝑎
(cid:126)(cid:179)(cid:10) = (cid:62)
14
𝑎 37
(cid:169)(cid:123)(cid:124)(cid:128)(cid:10) (cid:65)
14
(cid:15)(cid:145)(cid:146)11-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:91)(cid:306)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:26)(cid:49)(cid:50) (cid:26)(cid:131)(cid:132)(cid:128)5(cid:62) =8(cid:62)(cid:71)P(cid:128)BC
(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:62)(cid:97)(cid:71)P(cid:128)(cid:29)(cid:34)(cid:22) (cid:62)(cid:180) (cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:62)(cid:181)△𝐴𝐵(cid:26)𝐶 (cid:131)(cid:132)(cid:128)⊙ 𝑂 (cid:65) 𝐵𝐶
⊙𝑃 ⊙𝑃 ⊙𝑂 ⊙𝑃(cid:15)(cid:123)(cid:124)(cid:19)8(cid:366)2/2(cid:366)8
(cid:15)(cid:69)(cid:127)(cid:19)(cid:134)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:162)(cid:59)(cid:28)(cid:99)(cid:29)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:69)(cid:99)(cid:209)(cid:430)(cid:431)(cid:62)(cid:189)(cid:59)(cid:28)(cid:99)(cid:29)(cid:26)(cid:186)(cid:187)(cid:62)(cid:120)(cid:235)(cid:99)(cid:29)(cid:59)(cid:28)(cid:62)(cid:428)(cid:254)
(cid:102)(cid:34)(cid:38)(cid:270)(cid:90)(cid:79)(cid:28)(cid:71)(cid:62)(cid:133)(cid:96)(cid:31)(cid:126)(cid:62)(cid:138)(cid:139)(cid:188)(cid:298)(cid:71)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:66)(cid:126)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:142)(cid:65)
(cid:15)(cid:143)(cid:126)(cid:19)(cid:126)(cid:10)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62)
= (cid:62) =𝑂𝐶(cid:62)𝑂𝐵 𝑃𝑂
∵𝑂𝐶 𝑂𝐵(cid:62)𝑃𝐶 𝑃𝐵
∴𝑂𝑃⊥𝐵𝐶 1 1
=5(cid:62) = = ×8=4(cid:62)
2 2
∵𝑂𝐶 𝑃𝐶 𝐵𝐶
(cid:86)(cid:82)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:30)(cid:62)(cid:189)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:41)(cid:179)(cid:10) = = 5 4 =3(cid:62)
2 2 2 2
(cid:394) (cid:86) 𝑂(cid:27)𝑃(cid:87)𝐶(cid:403)(cid:62)(cid:99)(cid:29)(cid:59)(cid:28)(cid:194) (cid:62)𝑂(cid:120)𝑃(cid:121)(cid:62)𝑂𝐶 −𝑃𝐶 −
⊙𝑃 ⊙𝑂 𝑀
= = =2(cid:62)
∴(cid:236)𝑃𝑀(cid:403) 𝑂𝑀(cid:26)−𝑂(cid:131)𝑃(cid:132)(cid:128)5−2(cid:104)3
∴(cid:394) ⊙(cid:86)𝑃 (cid:49)(cid:87)(cid:403)(cid:62)(cid:99)(cid:29)(cid:59)(cid:28)(cid:194) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:62)
⊙𝑃 ⊙𝑂 𝑁= + =5+3=8(cid:62)
∴(cid:236)𝑃𝑁(cid:403) 𝑂𝑁(cid:26)(cid:131)𝑂𝑃(cid:132)(cid:128)8(cid:62)
∴ P(cid:26)⊙(cid:131)𝑃(cid:132)(cid:128)8(cid:366)2(cid:62)
∴(cid:169)⊙(cid:123)(cid:124)(cid:128)(cid:10)8(cid:366)2(cid:65)