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专题 24.7 切线长定理与三角形的内切圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求线段长度】..................................................................................................................1
【题型2 利用切线长定理求周长】..........................................................................................................................3
【题型3 利用切线长定理求面积】..........................................................................................................................4
【题型4 利用切线长定理求角度】..........................................................................................................................5
【题型5 利用切线长定理进行证明】......................................................................................................................6
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】..............................................................................................................8
【题型7 作三角形的内切圆】..................................................................................................................................9
【题型8 三角形内切圆中求最值】........................................................................................................................10
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】...........................................................................................11
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】.......................................................................................................12
知识点1：切线长定理、三角形的内切圆与内心
切线长定理：
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条
切线的夹角。
注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是
一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
三角形的内切圆与内心：
（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三
角形。
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内
心的射线，必平分三角形的内角。
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
【例1】（23-24九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切
于点D，E、F，且AB=AC=13，BC=10，则DE的长是（ ）13❑√5 26❑√5 10❑√13 20❑√13
A． B． C． D．
5 5 13 13
【变式1-1】（23-24九年级·重庆北碚·期末）如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆
心O，若AD=BD=3，则AC的长度是（ ）
A．2❑√3 B．3❑√3 C．4❑√3 D．3❑√5
【变式1-2】（23-24九年级·河北承德·期末）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与
⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB=10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C．❑√30 D．6
【变式1-3】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，
C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD=PB=2❑√3，则BE长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 利用切线长定理求周长】
【例2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，AB，AC分别与⊙O相切于
D，E两点，已知AD=1，BC=7，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．10❑√2 C．16 D．18
【变式2-1】（23-24九年级·江西赣州·阶段练习）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半
径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分
别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△≝¿的周长是（ ）
A．4❑√2 B．6 C．❑√23 D．2❑√10
【变式2-2】（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，
连接BC．过B´C上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A=90°，△AEF的周长为4，则
BC的长为（ ）
A．2 B．2❑√2 C．4 D．4❑√2
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1,D是
BC上一动点，DM,DN分别切⊙A于点M,N,⊙A的另一条切线交DM,DN于点E,F，则△≝¿周长l的取值范围是（ ）
A．4❑√2≤l≤6 B．4≤l≤❑√23 C．❑√23≤l≤4❑√2 D．4❑√2≤l≤2❑√10
【题型3 利用切线长定理求面积】
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为20m的正方形空地ABCD，在AB边取一点M，以MB长为直径，在
这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点C划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形ABCD
位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A．180m2 B．110❑√3m2 C．250m2 D．200❑√2m2
【变式3-1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点
F，若AD=4，BD=5，则△ABC的面积为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·四川·期末）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且
AB∥CD，连接OB、OC、OE、OG，若OB=6,OC=8，则梯形BEGC的面积等于（ ）A．64 B．48 C．36 D．24
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以AC为直径的
⊙O与边AB交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
(1)求证：BE=CE．
(2)若以O，D，E，C四点为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积．
(3)若EC=4，BD=4❑√3，求⊙O的半径OC的长．
【题型4 利用切线长定理求角度】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·期末）四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB=78°，则
∠COD的度数是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·四川广安·期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接
OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP= °．【变式4-2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，PA,PB,CD是⊙O的切线，A,B,E是切点，CD
分别交PA,PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD= ．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，
C．P是BC上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．AO=8，BO=6，则
△AMN的周长是 ，若∠BAC=40°，则∠BPC= ．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
【例5】（23-24九年级·北京·期末）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为
B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．1
(1)求证：OE= AC；
2
(2)若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，AC，BD是⊙O的切线，C，D为切点，连接AB．
(1)若AB与⊙O相切于点E，求证AC+BD=AB；
(2)若AC+BD=AB，求证AB与⊙O相切．
【变式5-2】（23-24九年级·河南安阳·期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，
MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC，连接AD．
求证：①MD与⊙O相切；
②四边形ACMD是__________形；
③∠ADM=__________．
【变式5-3】（23-24九年级·广东云浮·期末）如图1所示，⊙O为△CDE的外接圆，CD为直径，AD、
BC分别与⊙O相切于点D、C（BC>AD）.E在线段AB上，连接DE并延长与直线BC相交于点P，B为
PC中点.(1)证明：AB是⊙O的切线.
(2)如图2，连接OA，OB，求证：OA⊥OB.
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
【例6】（23-24九年级·江苏南通·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的
内切圆半径r= ．
【变式6-1】（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，将刻度尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放
（无重叠部分），若三角板60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上
的读数是7cm，量角器与三角板的接触点为B．
（1）AB= cm．
（2）该量角器的直径长为 cm．（结果保留根号）
【变式6-2】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，AB为⊙O的直径．若BC=4cm，AD=3cm，则⊙O的半径为 cm．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北荆门·期末）如图， ⊙O 内切于正方形ABCD，边AD、DC上两点E，
9
F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为 时，则⊙O的半径r是 ．
4
【题型7 作三角形的内切圆】
【例7】（2024·浙江绍兴·一模）如图，在6×6的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点A，B，C在格
点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形ABC的外心P；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的内心Q．
【变式7-1】（23-24九年级·广东江门·期末）为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边△ABC空地内修
建一个圆形花坛．(1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作
法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，AB=30米，求圆形花坛的面积．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与
OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）
【变式7-3】（23-24九年级·江苏连云港·期中）按着要求画图．
(1)在图1中，利用直尺和圆规，作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O
经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出⊙O的圆心O．
②在图2中的BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；
③在图2备用图中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE=AC．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
【例8】（2024·四川内江·一模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为
(−4，3)，⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则PB+PN的最小值是．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的
中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，点B的坐标为(2，0)，以O点为圆心，以OB为
半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的
最小值为 ．
【变式8-3】（2024九年级·全国·竞赛）如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，I为△ABC的内心，
点P为⊙O上一个动点，N为IP的中点，若AB=10，AC=6，则AN的最大值为 ．【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
【例9】（23-24九年级·陕西西安·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的内切
圆，若OC=2❑√2，且△ABC的面积为24，则△ABC的周长为（ ）
A．48 B．24❑√2 C．24 D．6❑√2
【变式9-1】（2024·广西梧州·二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，
则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．❑√2 C．1.5 D．2
【变式9-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=5，
，设 与 的内切圆半径分别为 ， ，则r 的值为（ ）
AC=12 △ABD △ACD r r 1
1 2 r
2
37 12 25 37
A． B． C． D．
23 5 18 33
【变式9-3】（23-24九年级·浙江·期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线
上，且BE=EC=2CF，四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差为7❑√3，则CF的长是 ；连结
AD，若⊙O是△ADG的内切圆，则圆心O到BF的距离是 ．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
【例10】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，内心为I，连接AI
并延长交△ABC的外接圆于D，若∠ABD=45°，则AI= （ ）
A．❑√3−1 B．1 C．❑√6−2 D．❑√6−❑√3
【变式10-1】（23-24九年级·江苏扬州·期中）一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r
是其内切圆半径，则R﹣r＝ ．
【变式10-2】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆
于点D．
(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)求证：BD=ID；
(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．【变式10-3】（2024·山东潍坊·三模）如图，点I是 ABC的内心，BI的延长线与 ABC的外接圆⊙O交
于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F△，∠ADF的平分线交AF于点G△．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
