文档内容
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心
的性质.
重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.
难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
自 主 学
习
一、知识链接
1.切线的判定定理和性质定理是什么？
2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：切线长定理及应用
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆
的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
要点归纳：切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
问题2 PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB是⊙O的一条半径
吗？PB是⊙O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？
第 1 页 共 8 页要点归纳：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
推理验证 已知，如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
典例精析
例1 已知：如图，四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：
AB+CD=AD+BC.
变式训练
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切
且测得PA=5cm，求铁环的半径．
方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相
等以及垂直关系的重要依据.
练一练
PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
(1) 若AP=4，则OP= ； (2) 若∠BPA=60°，则OP= .
第 2 页 共 8 页探究点2：三角形的内切圆及作法
互动探究 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才
能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
做一做
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
要点归纳：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这
个三角形叫做这个圆的外切三角形.
探究点3：三角形的内心的性质
问题1 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？
问题2 如图，分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关
系？
第 3 页 共 8 页要点归纳：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.
例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
例4 (教材P100例2)△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，
求AF、BD、CE的长.
方法总结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
比一比：
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接
圆的圆心
内心：三角形内切
圆的圆心
三、课堂小结
切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆
切线长 定义
的切线长．
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长
定理
相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.
切线长定 作用 提供了证线段和角相等的新方法
理 ①分别连接圆心和切点；
辅助线作法 ②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点，叫
三角形内 有关概念
做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距
切圆
离相等.
应用 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边
第 4 页 共 8 页上，从而建立方程.
当堂检
测
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= ，PB=
.
第1题图 第2题图
2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，
则△CDE的周长为________.
3.如图，在△ABC中，点I是内心，
(1)若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC= .
(2)若∠A=80 °，则∠BIC = 度.
(3)若∠BIC=100 °，则∠A = 度.
(4)试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点
D.求证：DE∥OC.
5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.
第 5 页 共 8 页参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：切线长定理及应用
问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与☉O交于点A，B，连接PA，PB，直线PA，
PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.
问题2：OB是☉O的一条半径，PB是☉O的切线，PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证：证明：∵PA、PB是☉O的两条切线，∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想 解：OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.
典例精析
例1 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴
AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.
变式训练 50
例2 解：设铁环的圆心为O，AB与⊙O相切于点Q，连接OP、OA、OQ.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为
∠PAQ的平分线，即∠PAO=∠QAO.又∠PAQ＝180°－60°=120°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA
＝5，∠POA＝30°，∴OA=2PA=10，∴OP= 即铁环的半径为
练一练： （1） 5 （2） 6
探究点2：三角形的内切圆及作法
问题1 最大的圆与三角形三边都相切
第 6 页 共 8 页问题2 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆
心I.
做一做
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
探究点3：三角形的内心的性质
问题1 线段OA，OB，OC 分别是∠CAB，∠ABC，∠BCA的平分线.
问题2 OE=OF=OG
例3 解：连接IB，IC.∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线，在△IBC中，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （43°+61°）=128°.
例4 解：设AE=x，则AF=x.∴CD=CE =AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-
x)=14，解得x=4.∴ AF=4，BD=5，CE=9.
比一比：
名称 确定方法 图形 性质
1.OA=OB=OC
三角形三边
外心：三角形外 2.外心不一定在三角形的
中垂线的交
接圆的圆心 内部．
点
1.到三边的距离相等；
三角形三条
2.OA、OB、OC分别平分
内心：三角形内 角平分线的
∠BAC、∠ABC、∠ACB
切圆的圆心 交点
3.内心在三角形内部．
当堂检测
1.20° 4 2.11 3.（1）120 （2）130 （3）20 （4）∠BIC=90°+ ∠A
4.方法一 证明：连接BD，∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB．∴OC⊥BD．
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD．∴DE∥OC．
方法二 证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
第 7 页 共 8 页5.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．
第 8 页 共 8 页
