文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 09 切线的有关计算与证明题型总结
题型解读｜模型构建｜通关试 练
切线的有关计算与证明是中考考查的热点，通常出现在选择题中．考查的重点是切线的性质和判定，题型
多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查．
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 O
2、切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
3. 切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹
角。
B
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
O
P
A
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4、三角形的内切圆与内心
（1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
3.内切圆及有关计算。
①三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
2
②△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
1
r(a+b+c)
2
③S = ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
△ABC
模型01 切线的有关证明问题（直接用判定定理证明）
考｜向｜预｜测
切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为
解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的
计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的
性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。
答｜题｜技｜巧
在应用判定定理时注意：
（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆
的切线．
（2）切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个
结论直接得出来的．
（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，⊙O与△ABC的AC边相交于点C，与AB相切于点D、与
BC边交于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BD=2，AC=3，求⊙O的半径长．
1．（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且
OP∥BC，∠P=∠BAC．
(1)求证：PA为⊙O的切线；
(2)若OB=5，OP=7，求AC的长．
2．（2025·贵州·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，B´C=B´D，DE⊥AC于点E
，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD=2∠F，连接BD．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)判断△DGB的形状，并说明理由；
(3)当BD=2时，求FG的长．
3．（2025·湖北恩施·一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O直径，∠BAC的角平分线交BC雨点
E，交⊙O于点D，交过点B的一条直线于点F，DF=DE．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AC=6，求CE的长．
模型02 切线的有关证明问题（连半径证垂直）
考｜向｜预｜测
切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为
解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的
计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的
性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。
答｜题｜技｜巧
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连
接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证
垂直”．直线与圆有公共点，连半径，证垂直；
若图中有90°角时，常用的方法有
（1）利用等角代换证明：通过互余的两个角之间的等量代换得证；
（2）利用平行线性质证明：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明
半径与这条直线平行即可；
（3）利用三角形全等或相似证明：通过证明切线所在的三角形与含 90°角的三角
形全等或相似；
若图中无90°角时；
用等腰三角形的性质证明：通过圆心与切点的连线为所在等腰三角形的中线或角平
分线，根据“三线合一”的性质得证.
（2022·江苏宿迁·二模）如图：四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C平分D´B，过点C的直
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
线分别交AB、AD的延长线于点F、E，且∠ABC+∠DCE=90°．
(1)求证：CE为⊙O的切线；
3
(2)若CE=4，tanF= ，求△CBF的面积．
4
4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形ABCD，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，且
DE平分∠AEC，作△ABE的外接圆⊙O，点D在⊙O上．
(1)求证：DC是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为6，CE=2，求DE的长．
5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，
∠EAC=∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE．
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)当AC=4，CE=2时，求DE的长．
6．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，A´C=B´C，E是OB的中点，连接CE
并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若OB=4，求BD的长．
模型03 切线的有关证明问题（作垂直证半径）
考｜向｜预｜测
切线的有关计算与证明是中考考查的高频考点问题，难度中等，主要考查的题型为
解答题，分值在10分左右，常考查的方向有切线的判定、利用切线的性质进行角和线段的
计算、证明线段或角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的
性质与证明、等腰三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。
答｜题｜技｜巧
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点
时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作
垂线段，证半径”，直线与圆不确定有无公共点时，作垂线，证相等.
常用的方法是自圆心向这条直线作垂线，通过角平分线的性质，三角形全等等方法证明垂
线段等于半径.
（23-24九年级·全国·假期作业）如图，在ΔABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与
BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
12
（2）若BC=10，tan∠ABC= ，求AD的长．
5
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连
接CO交⊙O于点E， ⊙O与AC相切于点D．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC=4√2，求FG的长．
8．（2024·广西梧州·二模）如图，AO是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，以点为圆心，OC为半径
画圆，过点作AO的垂线，交AO的延长线于点D
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AC=6，求BD的长．
9．（2024·上海·模拟预测）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与
AD相切于点E，与AC相交于点F．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)若正方形ABCD的边长为√2+1，点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交C´E于点N．当
CM:FM=1:4时，求CN的长
模型04 有关切线的性质的计算与证明
考｜向｜预｜测
有关切线的计算与证明是中考考查的热点问题，难度中等，主要考查的题型为解答
题，分值在10分左右，常考查的方向有利用切线的性质进行角和线段的计算、证明线段或
角之间的关系、求一个角的三角函数值，常用的知识点有全等三角形的性质与证明、等腰
三角形、相似三角形的性质与证明、锐角三角函数。
答｜题｜技｜巧
解决与切线有关的线段问题时，常需构造直角三角形（切线垂直
于过切点的半径或直径所对的圆周角为直角)，利用勾股定理或锐角三角函数求解，有时
也会根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决；
(2)解决与切线有关的角度问题时，往住与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作
出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解，特别注意一些特殊
角，如直径所对的圆周角等于90°、和圆的半径相等的弦所对的圆心角等于60°，切线与
过切
点的半径或直径所构成的角等于90°，
（2025·山东济南·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长
线于点F，过点A作AD⊥CF，交直线CF于点D，交⊙O于点E．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)若CD=2,AD=4，求线段AF的长．
10．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，
交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数；
(2)若OB=2，BD=1，求CE的长．
11．（2025·安徽·模拟预测）如图，AD是⨀O的直径，P是⨀O外一点，连接PO交⨀O于点C，PB，PD
分别切⨀O于点B，D，连接AB，AC．
(1)求证：AB∥OP；
(2)连接PA，若PA=2√2，tan∠BAD=2，求PC长．
12．（2025·山西朔州·一模）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，连接AC，OE⊥BC于
E，OE的延长线交直线l于点D．
(1)试判断∠ABC和∠EDC的大小关系，并说明理由；
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若⊙O的半径为2，AC=1，求DC的长．
模型05 切线长定理的有关计算与证明
考｜向｜预｜测
切线长定理是圆的考点之一，通常以选择、填空的形式出现，也可以以解答题的形式进行
考查，分值在3-8分左右，常见的考向有利用切线长定理求线段、周长问题，证明垂直关
系，与弧长和扇形结合求弧长和面积
答｜题｜技｜巧
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量．
切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，AM，BN是⊙O的切线，切点为A、B，AM∥BN，点D，C
分别是AM，BN上的点，OD平分∠ADC，⊙O的半径是6，设AD=x，BC= y．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)梯形ABCD的面积为78cm2，求AD的长．
13．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，AB为圆O直径，∠DAB=∠ABC=90°，CD与圆O相切
于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD=2，BC=6．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求CD的长度．
(2)求EG的长度．
(3)求FB的长度．
14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是
切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
(1)求证：AC∥PO；
AE
(2)设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求 的值．
BE
15．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和PB，切点分
别是点A和点B，连接AB，直线PO与⊙O交于点C和点E，交AB于点D，连接AE，BE．
(1)求证：△AEB是等腰三角形；
1
(2)若tan∠AEP= ，BE=√5，求CD的长．
2
模型06 切线的作图及计算问题
考｜向｜预｜测
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
切线的有关作图问题，是中考考点之一，考查的频率不是很高，考向主要是作出圆的切
线、根据条件作图圆，然后利用切线的性质进行有关的计算与证明，如果在试题中出现，
分值在3-7分左右。
答｜题｜技｜巧
解答切线的有关作图问题主要是掌握切线的性质和判定方法、常见的基本作图，如做一条
等于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的角平分线、作线段的垂直平分线等.
（24-25九年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD．
(1)根据下列要求作出⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
①圆心O在BC边上；
②⊙O与边BD,DC相切；
(2)在（1）的条件下，连接AO交BD于点E，若AO⊥BD，猜想线段AE和BO的数量关系，并证明．
16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作Rt△ABC的内切圆⊙O，并分别标出⊙O和AB、BC、CA相切的切点D,E,F；（要求：
保留作图痕迹，不写做法，不需证明）
(2)连接OE、OF，四边形OECF是正方形吗？为什么？
(3)若AD=6，BD=4，求⊙O的半径r的长．
18．（2023·河南洛阳·二模）如图，在△ABC中，AC=BC，以AC中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，
交AB于点D，交BC于点E．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)①请用无刻度的直尺和圆规过点A作⊙O的切线l，连接OD并延长交l于点F；（要求：不写作法，保
留作图痕迹）
②证明：∠ACB=2∠BAF．
(2)若CE=4，AC=6，求AF的长．
模型07 内切圆与外接圆的综合应用
考｜向｜预｜测
圆的内切圆和外接圆问题，是中考的考向之一，通常考查内切圆和外接圆的性质，常
与角平分线、线段的垂直平分线、相似三角形、三角函数等内容结合在一起.
答｜题｜技｜巧
解决内切圆和外接圆问题，主要是掌握并区别其性质。三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内
角；三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形
的外心，它到三角形三个顶点的距离相等
（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点
D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
(1)求证：DG∥CA；
(2)求证：AD=ID；
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)若DE=4，BE=5，求BI的长．
19．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC>AC，
点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．
(1)求证：BD=PD；
(2)已知⊙O的半径是3√2，CD=8，求BC的长．
20．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)求证：BD=ID；
(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．
一、解答题
1．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分
∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
(2)若⊙O的半径为5，sinD= ，求BD的长．
5
2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，
且与边BC相切于点D，连结DE．
(1)若BA=BD，求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD=4，CE=2，求⊙O的半径．
3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得
∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
8
(2)若CD= CG，BE=3CE=3．
3
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，
AB=20，CD=12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD=2∠B．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)求EF的长．
5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交
⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：DE是⊙O的切线；
1
(2)若CE=1，sin∠BAD= ，求⊙O的直径．
3
6．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，
AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG=DC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE=8，求DF的长．
7．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点
E，延长AB交直线l于点C．
(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．
10．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与
△ABC的外接圆相交于点D．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：S :S =AB:AC；
△ABF △ACF
(2)求证：AB:AC=BF:CF；
(3)求证：AF2=AB⋅AC−BF⋅CF；
(4)猜想：线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
11．（2024·四川自贡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，
E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF，AF=________，BD=________；若AC=3，BC=4，则⊙O
半径长为________；
(2)如图2，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N．
求证：MN是⊙O的切线．
12．（2023·山东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点
C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．
(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段
MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
一、解答题
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2025·四川成都·一模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，
AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG=DC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE=8，求DF的长．
2．（2025·四川泸州·一模）如图，点C在以AB为直径的⊙ O上，点D在BA的延长线上，
∠DCA=∠CBA．
(1)求证：DC是⊙ O的切线；
EG 4
(2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若 = ，
ED 5
DA=FG=2， 求CE的长．
3．（2025·浙江金华·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作
AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若CD=BF，AE=3，求DF的长．
4．（2025·四川泸州·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：AD2=AE⋅AB；
(3)连接AD，交CO于点P，若ED=12，CE=6，求AP的长度．
5．（2025·陕西西安·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，
连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
4
(2)若⊙O的半径为5，sinB= ，求FD的长．
5
6．（24-25九年级下·河北廊坊·开学考试）如图1，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为
半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)求证：△CAB∽△CED；
(2)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(3)如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD=6，求⊙O的半径．
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长
交⊙O于点D．点E是△ABC的内心，连接BE并延长交⊙O于点F，过点F作直线l，延长BC交l于点G，
连接AF，过点A作BC的平行线交l于点H．已知∠BFG=∠BAF．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：直线l与⊙O相切；
(2)若AB=4√2，DE=2，求⊙O的半径；
(3)求证：BF2=HG⋅BC+HG⋅AH．
8．（2025·湖北黄石·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E，且
DE=DC．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
(2)如果OA=2√3，OE=2，求图中阴影部分的面积．
9．（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC边为直径作⊙O交
AB于点D，连接DO并延长交BC的延长线于点E，点P为BC的中点，连接DP．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠B=30°，求PE的长．
10．（2025·陕西西安·一模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，延长BO，AO与PA，PB延长
线交于点D，点E．
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：PD=PE；
(2)过点O作OF∥PD交PB于点F．若PD=6，∠P=45°．求OF的长．
12．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作
DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
CF 2
(2)已知AG=6， = ，点I为△ABC的内心，求GI的长．
GE 3
13．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，点I是△ABC的内心，连接
BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD=∠CAD．试证明：
(1)OA所在的直线经过点I；
(2)点D是IE的中点．
21
