文档内容
24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章
“圆”24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时），内容包括：圆的切线长定理和三角形的内切圆.
2.内容解析
圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研
究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知
识解决问题，渗透转化思想和方程思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线长定理及应用.
二、目标和目标解析
1.目标
1)了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理，并会用其解决有关问题．
2)经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想和方程思想．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：理解切线长，三角形的内切圆、内心的概念，掌握切线长定理及三角形内切
圆半径与三边的关系，并会用其解决有关问题．
达成目标2）的标志是：经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化
思想和方程思想．
三、教学问题诊断分析
学习本节课时，学生已经具备了切线、三角形全等、等腰三角形等知识，并会利用它们证明线段等和
角等．但对于切线长的概念，学生往往容易和切线混淆．另外，学生已经习惯于利用全等三角形和等腰三
角形证明线段相等，还不习惯于应用切线长定理证明线段等角等．在学习三角形内切圆和内心时，容易和
三角形外切圆和外心概念混淆，注意：
三角形内心是：三角形三条角平分线的交点.
三角形外心是：三角形三条中垂线的交点.
本节课的教学难点是：切线长定理及三角形内切圆半径与三边的关系的应用．
四、教学过程设计
（一）探究新知
【问题一】在同一个平面内，有一点P和⊙O，则点P和⊙O有几种位置关系？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
【设计意图】通过回顾点与圆的相关知识，为本节课探究切线长定理打好基础.
【问题二】过点P能否作⊙O的切线？如果能，说明作法？如果不能，说明理由？
师生活动：教师提出问题，学生需分情况讨论（点在圆内、点在圆外、点在圆上）， 根据不同的情
况给出结论与作法.教师通过多媒体展示具体作法，加深学生理解与记忆，从而得出：过圆外一点可以作
圆的2条切线；过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆内一点可以作圆的0条切线 .进而引出切线长的概
念：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
【提问】简述切线与切线长的区别？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
【设计意图】加深理解切线与切线长的概念
【问题四】 若PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，通过几何画板演示，你发现了什么？
师生活动：教师通过多媒体展示动态过程，简化学生理解过程，学生通过观察，得出：PA = PB，
∠APO=∠BPO.
师：和同桌一起交流，你能用学过的知识证明这两个结论吗？
【问题五】已知：线段PA，PB切⨀O于点A，B，连接OP，AO，BO
证明：1）PA=PB 2）∠APO =∠BPO
师生活动：教师提出问题，学生板演.教师通过多媒体展示具体证明
过程，从而得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切
线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【设计意图】让学生在“实践—验证—归纳”的过程中发展探究意识和体会并实践“实验几何—论证
几何”的探究方法．通过教师引导学生了解基本图形为后面应用切线长定理和分析定理的其他作用作铺垫．
（二）典例分析与针对训练
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连结OP
1）图中有哪些相等关系？
A
2）若连结AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？
3）OP和AB有怎样的位置关系？
C
O P
4）连结OA、OB，则图中和∠OAC相等的角有哪些？
5）图中和∠ABP相等的角有哪些？
B
【针对训练】
1 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°2 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交
PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．如图，PA,PB切⊙O于A,B两点，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D．
若ΔPCD的周长为3，则PA的值为（ ）
3 2 1 3
A． B． C． D．
2 3 2 4
4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，
D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
【设计意图】切线长定理的应用.
（三）探究新知
【提问一】一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切？
1）按要求截出圆的圆心应满足什么条件吗？
2）如何画出这个圆呢？
师生活动：学生通过小组合作探究得到，三角形的三条角平分线交于一点，并且圆心到三角形三条边
的距离都等于半径.
师生活动：学生通过小组合作探究得到，做两个角的角平分线并交于一点，过这个点作某一条边的垂
线，以这个点为圆心，以垂线段为半径，画出的圆即为所求.教师通过多媒体展示具体作法．从而引出角
形内切圆和三角形内心的概念．
【设计意图】学生解决问题的过程中应用定理加深对定理作用的体会，学习三角形内切圆和三角形内
心的概念．
师：回顾三角形外接圆的知识，回答下面问题？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体引导学生归纳与总结，最后得出：【设计意图】理解内心和外心的概念及性质.
【思考】直角三角形内切圆半径与三角形三边有什么关系？
已知Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点E、F、D,∠B=90°，若⊙O的半径为r
求证：⊙O的半径r与AB,BC,AC的关系？
师生活动：教师板演，从而得出直角三角形内切圆半径与三角形三边的关系.
【提问二】你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生通过回顾刚才的证明过程，得出以下结论：
2S
1）三角形内切圆半径公式：r=
C
其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
a+b−c ab
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r= 或r= .
2 a+b+c
其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.
【设计意图】理解直角三角形内切圆半径与三角形三边的关系.
（四）典例分析与针对训练
例 2 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB=9cm，BC=14cm，
CA=13cm，求AE、BD、CE的长.【针对训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则△ABC内切圆半径为__________．
2.如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，
则△ADE的周长为_______.
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
4．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C．❑√3 D．2❑√3【设计意图】考查三角形内切圆半径与三角形三边的关系.
（五）能力提升
1.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=
a+b+c
❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出了
2
证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
a+b+c
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p= =6∴S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√6×3×2×1=6
2
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【设计意图】体会应用内切圆相关知识体会把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思
想和方程思想，增强应用意识．
（六）直击中考
1．（2022·山东淄博中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作
IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝
5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（七）归纳小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.简述圆的切线和切线长的区别？
3.什么是三角形的内切圆和内心？
（八）布置作业
P101：习题24.2 第6题，第14题
