文档内容
24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时）导学案
学习目标
1 了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理，并会用其解决有关问题．
2 经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想和方程思想．
重点难点突破
★知识点1： 切线长概念：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
★知识点2： 切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
★知识点3： 三角形内切圆的概念：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
核心知识
一、 切线长概念：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的__________，叫做这点到圆的切线长．
二、 切线长定理：
从圆外一点可以引圆的___________切线，它们的___________相等，这一点和圆心的连线_______两条切
线的__________.
三、三角形内切圆的概念：
与三角形各边都_______________的圆叫做三角形的内切圆.
新知探究
【问题一】在同一个平面内，有一点P和⊙O，则点P和⊙O有几种位置关系？
【问题二】过点P能否作⊙O的切线？如果能，说明作法？如果不能，说明理由？【提问】简述切线与切线长的区别？
【问题四】 若PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，你发现有哪些等量关系？
【问题五】已知：线段PA，PB切⨀O于点A，B，连接OP，AO，BO
证明：问题四发现内容？
典例分析
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连结OP
1）图中有哪些相等关系？
A
2）若连结AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？
3）OP和AB有怎样的位置关系？
C
O P
4）连结OA、OB，则图中和∠OAC相等的角有哪些？
5）图中和∠ABP相等的角有哪些？
B
【针对训练】
1 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°2 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．
则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．如图，PA,PB切⊙O于A,B两点，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D．若
ΔPCD的周长为3，则PA的值为（ ）
3 2 1 3
A． B． C． D．
2 3 2 4
4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若
⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
新知探究
【提问一】一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切？
1）按要求截出圆的圆心应满足什么条件吗？
2）如何画出这个圆呢？
【问题】填空【思考】直角三角形内切圆半径与三角形三边有什么关系？
已知Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点E、F、D,∠B=90°，若⊙O的半径为r
求证：⊙O的半径r与AB,BC,AC的关系？
【提问二】你发现了什么？
典例分析
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求
AE、BD、CE的长.
【针对训练】1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则△ABC内切圆半径为__________．
2.如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则
△ADE的周长为_______.
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
4．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C．❑√3 D．2❑√3
能力提升
1.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=
a+b+c
❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出了
2证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
a+b+c
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p= =6∴S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√6×3×2×1=6
2
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
感受中考
1．（2022·山东淄博中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD
于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，
BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2.简述圆的切线和切线长的区别？
3.什么是三角形的内切圆和内心？
【参考答案】
新知探究
【问题一】在同一个平面内，有一点P和⊙O，则点P和⊙O有几种位置关系？
点在圆内、点在圆外、点在圆上
【问题二】过点P能否作⊙O的切线？如果能，说明作法？如果不能，说明理由？
过圆外一点可以作圆的2条切线；过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆内一点可以作圆的0条切线
1）作法：①连接OP；②过P点作已知线段OP的垂线l，直线l即为⊙O的切线.
2）作法：连接OP
①作线段OP的中点M；
②作以M为圆心，OM长为半径的⊙M ，与⊙O交于A,B两点；
③作直线PA,PB，则直线PA,PB即为⊙O的两条切线.
【提问】简述切线与切线长的区别？
1）切线是直线，无法度量.
2）切线长是圆外一点与切点之间的距离，可以度量．
【问题四】 若PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，你发现有哪些等量关系？
PA = PB，∠APO=∠BPO
【问题五】已知：线段PA，PB切⨀O于点A，B，连接OP，AO，BO
证明：问题四发现内容？
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA,PB⊥OB
即：∠OAP=∠OBP=90°
又∵ AO=BO，OP=OP
∴ Rt△APO≌Rt△BPO（HL）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
典例分析
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连结OP
1）图中有哪些相等关系？PA=PB，AO=BO
A
2）若连结AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？相等
3）OP和AB有怎样的位置关系？OP垂直平分AB
C
O P
4）连结OA、OB，则图中和∠OAC相等的角有哪些？
∠APO，∠BPO，∠OBA
B
5）图中和∠ABP相等的角有哪些？
∠BAP，∠AOP，∠BOP
【针对训练】
1 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ C ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
2 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、
PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ C ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．如图，PA,PB切⊙O于A,B两点，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D．若
ΔPCD的周长为3，则PA的值为（ A ）
3 2 1 3
A． B． C． D．
2 3 2 4
4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 ___ __．
4❑√3
新知探究
【提问一】一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切？
1）按要求截出圆的圆心应满足什么条件吗？圆心到三角形三条边的距离都等于半径.
2）如何画出这个圆呢？
作法：
A
1)作∠B和∠C的平分线BM和CN交于点O，
N
2)过点O作OD⊥BC于点D， M
O
3)以O为圆心，OD为半径作圆.
则⊙O为所求的圆.
B D C
【问题】填空
【思考】直角三角形内切圆半径与三角形三边有什么关系？
已知Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 点
E、F、D,∠B=90°，若⊙O的半径为r
求证：⊙O的半径r与AB,BC,AC的关系？
（方法一）证明：连接DO,OE,OF∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴EC=FC,AF=AD,BD=BE
∵∠ODB=∠OEB=∠B=90°,DO=OE
∴四边形DOEB是正方形
∴BD=BE=r
1
则AC=(AB- r)+(BC- r)，r= (AB+BC-AC)
2
（方法二）证明：分别连接 AO,BO,CO,DO,OE,OF，显然DO⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC设AB=a，BC=b，
AC=c
S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
1 1 1
= ar+ br+ cr
2 2 2
1 1
= r(a+b+c) 而S△ABC= ab
2 2
1 1
∴ r(a+b+c)= ab，化简得r(a+b+c)=ab
2 2
ab
∴r=
a+b+c
（方法三）
证明：设AB=a，BC=b，AC=c
在Rt△ABC中，a2+b2=c2
+2ab= +2ab
a2+b2 c2
- = 2ab
(a+b) 2 c2
(a+b+c)(a+b-c)= 2ab
ab
(a+b-c)=2ab,
r
1
∴r= (a+b-c)
2
【提问二】你发现了什么？
2S
1）三角形内切圆半径公式：r=
C
其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.a+b−c ab
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r= 或r= .
2 a+b+c
其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.
典例分析
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求
AE、BD、CE的长.
【针对训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则△ABC内切圆半径为_____2_____．
2.如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则
△ADE的周长为__11_____.
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
解：连接OE，OF，
∵ ∠B＝60°，∠C＝70°∴∠A=50°
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AB⊥OF，AC⊥OE，则∠AFO=∠AEO=90°
在四边形AFOE中，∠EOF= 360°－(∠A+∠AFO+∠AEO)= 360°－(50°+90°+90°)
= 130°
1
∴∠EDF= ∠EOF=65°
2
4．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ D ）
A．2 B．3 C．❑√3 D．2❑√3
能力提升
1.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=
a+b+c
❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面积），并给出了
2
证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
a+b+c
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p= =6∴S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√6×3×2×1=6
2
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
BC+AC+AB 5+6+9
∴p= = =10，
2 2
∴S 10 ；
=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√10×5×4×1= ❑√2
故△ABC的面积10❑√2；
1
（2）∵S= r（AC+BC+AB），
21
∴10❑√2= r（5+6+9），解得：r=❑√2，
2
故△ABC的内切圆半径r为❑√2．
感受中考
1．（2022·山东淄博中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD
于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ B ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，
BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
