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专题 24.7 直线与圆的位置关系
1. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用。
教学目标 2. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目。
3. 掌握弦切角的定义以及弦切角定理，并能够在题目中熟练应用。
1. 重点
（1）切线长与切线长定理；
（2）三角形的内切圆与内心；
教学重难点 （3）弦切角与弦切角定理。
2. 难点
（1）切线长定理与弦切角定理的应用；
（2）内切圆性质的应用。知识点01 切线长及切线长定理
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长
度是切线长。
2. 切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作 2 条，它们的长度 相等 。圆心
和这一点的连线 平分 两
条切线的夹角。
即PA ＝ PB，∠APO ＝ ∠BPO。
推广：由切线长定理的结论可得：
⌒ ⌒
①△APO ≌ △BPO⇒∠AOP ＝ ∠BOP⇒AM ＝ AM⇒AB ⊥ OP。
【即学即练1】
1．如图，AB、AC、BD 是⊙O 的切线，切点分别是 P、C、D．若 AB＝10，AC＝6，则 BD 的长是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点
M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（ ）A．12 B．13 C．16 D．24
【答案】D
【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA＝PB＝12，
同理，可得MC＝MA，NC＝NB，
∴△PMN的周长
＝PM+CM+CN+PN
＝PM+AM+PN+BN
＝PA+PB
＝2PA
＝24．
故选：D．
知识点02 三角形的内切圆与内心
1. 三角形内切圆的定义：
如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。
2. 三角形的内心：
三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形
三个内角 角平分线 的交点，到三角形三边的距离 相等 。
特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为
a+b-c ab
或 。
2 a+b+c
4. 三角形的面积与内切圆半径的关系：
r
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： (a+b+c)
2
。
【即学即练1】
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数
为（ ）A．120° B．135° C．145° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵⊙D是△ABC的内切圆，
∴AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
1 1
∴∠DAB＝∠DAC= CAB，∠DBA＝∠DBC= ∠CBA，
2 2
1 1
∴∠DAB+∠DBA= （∠CAB+∠CBA）= ×90°＝45°，
2 2
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
【即学即练2】
4．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝34°，则∠OBC的
度数为（ ）
A．27° B．24° C．22° D．20°
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝34°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝68°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝136°，
∵OB＝OC，
1 1
∴∠OBC＝∠OCB= ×(180°-∠BOC)= ×(180°-136°)=22°，
2 2
故选：C．
【即学即练3】
5．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：
“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5
步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，
则该直角三角形内切圆的半径为（ ）
A．1步 B．2步 C．3步 D．2.5步
【答案】B
【解答】解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、
F，
△
连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，
∵AC、BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
∴四边形ODCE为矩形，
而CD＝CE，
∴矩形ODCE为正方形，
∴CD＝CE＝OD＝r，
∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r，
∵BD＝BF，AF＝AE，
∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r，
在直角三角形ABC中，则勾股定理得：AB=❑√52+122=13，∴5﹣r+12﹣r＝13，
解得r＝2，
∴⊙O的半径为2步．
故选：B．
【即学即练4】
6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为r，AB＝6，
AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（ ）
A．6❑√3r B．12r C．13r D．26r
【答案】C
【解答】解：连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵OD＝OE＝OF＝r，AB＝6，AC＝8，BC＝12，
1 1 1
∴S ＝S +S +S = ×6r + ×12r + ×8r＝13r，
ABC AOB BOC AOC 2 2 2
△ △ △ △
故选：C．
知识点03 弦切角及弦切角定理
1. 弦切角的定义：
如图，像∠ACP这样顶点在 圆上 ，一边与圆 相交 ，一边与圆 相切 的角叫弦切
角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。
2. 弦切角定理：
弦切角的度数与弦所对的圆周角度数 相等 。等于弦所对的圆心
角度数的 一半 。
【即学即练1】
7．如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分
∠BAD，则∠ABD的度数是（ ）A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AC是⊙O切线，
∴∠DAE＝∠B，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠B＝∠BAE，
∵BD⊥AC，
∴∠DAE＝∠B＝∠BAE＝30°．
故选：A．
题型01 切线长定理的应用
【典例1】如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA
＝12．则AF的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：设AF＝a，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，
∵AB＝6，BC＝10，CA＝12，
∴BD＝BF＝6﹣a，CD＝CE＝12﹣a，
∵BD+CD＝BC＝10，
∴（6﹣a）+（12﹣a）＝10，
解得：a＝4，即AF＝4，
故选：B．
【变式1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点
G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（ ）
A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【解答】解：PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，
若PA＝5cm，
由题意可得；AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝5（cm），
∴△PFG的周长＝PF+FG+GP
＝PF+FE+EG+GP
＝PF+FA+GB+GP
＝PA+PB
＝10（cm）．
故选：D．
【变式2】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的
切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B，
∴PA＝PB，
∵C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，
∴CD＝AD，CE＝BE，
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DC+CE+PE＝PD+AD＝BE+PE＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6，
故选：B．【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，⊙O的半径r＝5，则四边形
ABCD的面积为（ ）
A．44 B．88 C．100 D．110
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
∵⊙O的半径r＝5，
1 1
∴四边形ABCD的面积= ×四边形ABCD的周长×r= ×44×5=110．
2 2
故选：D．
题型02 内切圆的性质求角度
【典例1】如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC＝160°，则∠BIC的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝160°，
∴∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC+∠ICB＝50°，
∴∠BIC＝130°，故选：C．
【变式1】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则
∠CAI的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣2×20°＝140°，
1
∴∠BAC= ∠BOC＝70°，
2
∵点I是△ABC的内心，
1 1
∴∠CAI= ∠BAC= ×70°=35°，
2 2
故选：B．
【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线
交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】C
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°，
2
∴∠CAD＝∠CBD＝25°，
故选：C．
【变式3】如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是^EF上一
点，则∠DPE的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．69°
【答案】D
【解答】解：连接OD、OE，
∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，
∴∠ODB＝∠OEB＝90°，
∵∠B＝42°，
∴∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°，
1
∴∠DPE= ∠DOE＝69°，
2
故选：D．
题型03 内切圆的性质求线段
【典例1】如图，在一张Rt ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪
刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
△A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，
∴四边形OHCG是正方形，
由切线长定理可知：AF＝AG，
∵DE是⊙O的切线，
∴MD＝MF，EM＝EG，
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
1
∴内切圆的半径= （AC+BC﹣AB）＝1，
2
∴CG＝1，
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6．
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、
AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（ ）
A．2❑√2 B．3 C．❑√10 D．2❑√3
【答案】C【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，，
∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE＝CD＝OD＝r，
∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，
∵AF+BF＝AB＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
∴r＝1．
∴OD＝CD＝1，
∴AD＝3．
∴AO=❑√AD2+OD2=❑√10，
故选：C．
【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交
⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，CE=❑√10，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2❑√5
【答案】B
【解答】解：⊙O 是△ABC 的外接圆，点 E 为△ABC 的内心，如图，连接 OF 交 AC 于点 G，作
FH⊥BC于点H，1 1
∴∠CBF＝∠ABF= ∠ABC，∠ACE＝∠BCF= ∠ACB，
2 2
∴^AF=C^F，
1
∴OG⊥AC，AG＝CG= AC，
2
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF，
∴∠CEF＝∠ECF，
❑√2
∴△CEF是等腰直角三角形，CF=EF= CE=❑√5，
2
在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF=❑√BC2-CF2=❑√52-(❑√5) 2=2❑√5，
1 1
∵S = BF•CF = BC•FH，
BCF 2 2
△
BF⋅CF 2❑√5⋅❑√5
∴FH= = =2，
BC 5
1 1
∵S = OC•FH = OF•CG，OC＝OF，
OCF 2 2
△
∴FH＝CG＝2，
∴AC＝2CG＝4，
故选：B．
【变式3】已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，
则OI的值为（ ）
1 5 7 5
A． B． C． D．
2 8 8 2
【答案】B
【解答】如图，连接AI并延长交BC于D，连接BI，BO．∵点I为△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD与△CAD中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAD，
AD=AD
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴BD＝CD，∠ADC＝∠ADB＝90°，
即AD垂直平分BC，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
∴AD=❑√52-32=4，
设AO＝BO＝R，
由勾股定理得（4﹣R）2+32＝R2，
25
解得R= ，
8
7
∴OD= ．
8
作HI⊥AB交AB于H，JI⊥AB交AC于J，
∵点I为△ABC的内心，
∴HI＝JI＝DI，
设ID＝a，
1 1 1 1
∴S = a×AB+ a×AC+ a×BC= ×BC×AD，
△ABC 2 2 2 2
即16a＝24，3
解得a= ，
2
3
即ID= ，
2
5
∴OI=ID-OD= ．
8
故选：B．
题型04 线切角的应用
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点
D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BCD＝∠A＝25°，
∵∠OBC＝∠BCD+∠D，
∴∠D＝65°﹣25°＝40°．
故选：C．
【变式1】如图，已知半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A
的坐标为（❑√3，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 3 0 度．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB＝2，OA=❑√3，
OA ❑√3
∴cos∠BAO= = ，
AB 2
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC＝∠BAO＝30°，
∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．
故答案为：30．
【变式2】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD
于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
【答案】C
【解答】解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
【变式3】如图，五边形ABCDE为⊙O的内接五边形，对角线AC为⊙O的直径，∠DAC＝30°，FA，
GC，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则∠BCG+∠BAF+∠CDK＝ 120 ° ．【答案】120°．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB+∠ADB＝90°，
∵FA，GC，KD为⊙O的切线，∠DAC＝30°，
∴∠BCG＝∠CDB，∠BAF＝∠ADB，∠CDK＝∠DAC＝30°，
∴∠BCG+∠BAF+∠CDK＝∠CDB+∠ADB+∠DAC＝90°+30°＝120°．
故答案为：120°．
1．6．三角形的内心是（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【答案】D
【解答】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，
故选：D．
2．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，
则△ABC的周长是（ ）A．6 B．12 C．8 D．16
【答案】B
【解答】解：∵AD，AE分别是⊙O的切线，
∴AE＝AD，
∵BD、BC分别为⊙O的切线，
∴BD＝BF，
∵CF、CE分别为⊙O的切线，
∴CE＝CF，
∴三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BD+AC+CE＝AD+AE＝2AD＝12．
故选：B．
3．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切线，
∴AP＝AC＝3，
∵AB＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是⊙O的切线，
∴BD＝BP＝1，
故选：D．
4．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，
连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（ ）A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
【答案】D
【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°，
1
∴∠AFB= ∠AOB=70°；
2
PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10，
故选：D．
△
5．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O为Rt ABC的内切圆，切点为D、E、
F，则⊙O的半径为（ ）
△ △
1 3
A． cm B．1cm C． cm D．2cm
2 2
【答案】B
【解答】解：连接OE、OF，
∵在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，
∴AB=❑√ △BC2+AC2=❑√32+42=5（cm），
∵⊙O为Rt ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AE＝AD，BF＝BD，CE＝CF，AC⊥OE，BC⊥OF，
△∴CE+CF＝2CF＝AC+BC﹣AE﹣BF＝AC+BC﹣（AD+BD）＝AC+BC﹣AB＝4+3﹣5＝2（cm），
∴CF＝1cm，
∵∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴OF＝CF＝1cm，
∴⊙O的半径为1cm，
故选：B．
6．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的
周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AD＝AF＝3，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5，
∴AB+AC+BC＝AD+AF+BD+CF+BC＝3+3+5+5＝16，
∴△ABC的周长为16，
故选：A．
7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于
F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（ ）8 16 1 2
A． ❑√5 B． ❑√5 C． ❑√97 D． ❑√97
5 5 5 5
【答案】A
【解答】解：连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如
图，
∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG＝AD＝3，CG＝BC﹣BG＝6﹣3＝3，
∵点E、F、H是切点，
∴DF＝DH，CF＝CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，
∴EM＝FM，
设圆O半径为R，则BE＝R，DG＝2R，
∴CE＝CF＝6﹣R，DF＝DH＝3﹣R，
∵DG2+CG2＝CD2，
∴（2R）2+32＝[（3﹣R）+（6﹣R）]2，
解得：R＝2，
∴CE＝6﹣2＝4，
∴OC=❑√OE2+CE2=❑√22+42=2❑√5，
1 1
∵S = OE⋅CE= OC⋅EM，
△OEC 2 2
OE⋅CE 2×4 4❑√5
∴EM= = = ，
OC 2❑√5 5
4❑√5 8❑√5
∴EF=2EM=2× = ，
5 5
故选：A．8．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝10，AC＝24，设△ABD与△ACD的内切圆半
r
△ 1
径分别为r ，r ，则 的值是（ ）
1 2 r
2
37 12 37 25
A． B． C． D．
23 5 33 18
【答案】D
【解答】解：设△ABD与△ACD的内切圆的圆心分别为点I、J，⊙I与△ABD的三边分别相切于点E、
F、L，⊙J与△ACD的三边分别相切于点P、Q、R，
∵∠BAC＝90°，AB＝10，AC＝24，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√102+242=26，
∵AD为△ABC的中线，
1
∴AD＝BD＝CD= BC＝13，S ＝S ，
2 ABD ACD
△ △
连接IE、IF、IL、IA、IB、ED，则IE⊥BD、IF⊥AB、IL⊥AD，IE＝IF＝IL＝r ，
1
1 1 1
∴S = ×13r + ×10r + ×13r ，
ABD 2 1 2 1 2 1
△
连接JP、JQ、JR、JA、JC、JD，则JP⊥AD、JQ⊥AC、JR⊥CD，JP＝JQ＝JR＝r ，
2
1 1 1
∴S = ×13r + ×24r + ×13r ，
ACD 2 2 2 2 2 2
△
1 1 1 1 1 1
∴ ×13r + ×10r + ×13r = ×13r + ×24r + ×13r ，
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
r 25
∴
1=
，
r 18
2
故选：D．
9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（
）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．
故选：C．
10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝2❑√2，则△ABE的
面积为（ ）
A．2❑√2 B．2 C．❑√2 D．1
【答案】B
【解答】解：如图，延长BE交⊙O于点F，连接AF，OF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵E是△ABC的内心，
1 1
∴∠EAB= ∠CAB，∠EBA= ∠CBA，
2 2
1
∴∠EAB+∠EBA= （∠CAB+∠CBA）＝45°，
2∴∠FEA＝45°，
∴△FEA是等腰直角三角形，
∴AE=❑√2AF=❑√2EF，
∵AE＝2❑√2，
∴AF＝EF＝2，
∵OE⊥EB，
∴EF＝BE＝2，
1 1
∴△ABE的面积为： BE•AF= ×2×2＝2．
2 2
故选：B．
11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数
是 72 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，
{DO=DO
在Rt DEO和Rt DFO中 ，
DE=DF
△ △
∴Rt DEO≌Rt DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
△ △
同理可得：Rt AFO≌Rt AMO，Rt BMO≌Rt BNO，Rt CEO≌Rt CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
△ △ △ △ △ △
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．
故答案为：72°．
12．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交于AB点D，交⊙O于点C，CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径长为 2. 5 ．
【答案】2.5．
【解答】解：由题意可得：PA＝PB，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OA＝OB，
∴AD＝DB＝2，OP⊥AB，
设⊙O的半径长为r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣1，
AO2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝2.5，
故答案为：2.5．
13．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝3，
AF＝10，则△ABC的面积是 3 0 ．
△
【答案】30．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，
∴AB＝AF+BF＝13，
∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设EC＝CD＝x，
在Rt ABC中，BC2+AC2＝AB2，
故（x△+3）2+（x+10）2＝132，
解得：x ＝2，x ＝﹣15（舍去），
1 2∴BC＝5，AC＝12，
1
∴S = ×5×12＝30，
ABC 2
△
故答案为：30．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则△ABC的内切圆半径r＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
由勾股定理得：AC=❑√AB2-BC2=❑√52-42=3，
如图：连接OA，OB，OC，
∵S ＝S +S +S ，
ABC AOC BOC AOB
1△ △1 △ 1 △ 1
∴ AC•BC = AC•r + BC•r + AB•r，
2 2 2 2
∴3×4＝3r+4r+5r，
解得：r＝1．
故答案为：1．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边AB上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，
△BCD的内切圆，连结EF，则EF的长是 ❑√2 ．
【答案】❑√2．
【解答】解：设⊙E与AC、AD、CD分别相切于点M、N、I，⊙F与BC、BC、CD分别相切于点P、
Q、L，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5，
∵CD是边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
1 1
∵S = ×5CD = ×3×4，
ABC 2 2
△
12
∴CD= ，
5
√ 12 9
∴AD=❑√AC2-CD2=❑32-( ) 2= ，
5 5
9 16
∴BD＝AB﹣AD＝5- = ，
5 5
∵AN＝AM，CI＝CM，DN＝DI，
∴DN＝DI＝2DN＝AD+CD﹣AC，
1 1 9 12 3
∴DN= （AD+CD﹣AC）= ×（ + -3）= ，
2 2 5 5 5
1 1 16 12 4
同理DP= （BD+CD﹣BC）= ×（ + -4）= ，
2 2 5 5 5
连接EF、DE、DF、EN、EI、FP、FL，则AD⊥EN，CD⊥EI，BD⊥FP，CD⊥FL，
∵∠END＝∠NDI＝∠EID＝90°，DN＝DI，
∴四边形DNEI是正方形，
3
∴EN＝DN= ，
5
3 18
∴DE2＝EN2+DN2＝2DN2＝2×( ) 2= ，
5 25
4 32
同理DF2＝2DP2＝2×( ) 2= ，
5 25
1 1
∵∠EDC＝∠EDA= ∠ADC，∠FDC＝∠FDB= ∠BDC，
2 2
1 1
∴∠EDF＝∠EDC+∠FDC= （∠ADC+∠BDC）= ×180°＝90°，
2 2
√18 32
∴EF=❑√DE2+DF2=❑ + =❑√2，
25 25
故答案为：❑√2．16．定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
问题情景：已知如图所示，直线AB是⊙O的切线，切点为C，CD为⊙O的一条弦，∠P为弧CD所对
的圆周角．
（1）猜想：弦切角∠DCB与∠P之间的关系．试用转化的思想：即连接CO并延长交⊙O于点E，连接
DE，来论证你的猜想．
（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）∠DCB＝∠P；
证明：∵CE是⊙O的直径，
∴∠DCE+∠E＝∠EDC＝90°；
又∵AB是⊙O的切线，
∴∠DCE+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝∠E；
又∵∠E＝∠P，
∴∠DCB＝∠P．
（2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角．
（或弦切角的度数等于其两边所夹弧度数的一半．）
17．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝
150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC．【答案】（1）∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）见解答
【解答】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，
∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，
∴∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC，
∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC，
∴2AF＝AB+AC﹣BC，
∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OD＝AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d＝2OD＝2AF，
∴d＝AB+AC﹣BC．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、
EF．
（1）求证：AE是∠BAC的平分线；
（2）若∠ABD＝60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接BE；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．∵CD切圆于E，
∴∠AEC＝∠ABE，又AC⊥CD．
∴∠CAE＝∠BAE．
即AE是∠BAC的平分线．
（2）解：AB∥EF．理由如下：
∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，
∴AC∥BD．
∴∠BAC＝180°﹣∠B＝120°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝60°．
∴∠DFE＝∠BAE＝60°（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），
∴∠DFE＝∠ABF．
∴AB∥EF．
19．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O
于点D，连接BP．
（1）求证：BD＝PD；
（2）已知⊙O的半径是3❑√2，CD＝8，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP，
∴∠DPB＝∠DBP，
∴BD＝DP；（2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示：
∵AB是直径，∠ABD＝45°，
∴AB＝6❑√2，△ABD是等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴BD= AB= ×6❑√2=6，
2 2
∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，
∴∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BC=❑√2BH，
∵BD2＝DH2+BH2，
∴36＝（8﹣BH）2+BH2，
∴BH＝4±❑√2，
∵BC＞AC，
∴BC＝4❑√2+2．
20．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E
是^BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI=4❑√2，DI=13❑√2，求△ABC的周长．
【答案】（1）115°；
（2）见解答
（3）60．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，证明如下：
如图所示，连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
1
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI=∠BCI= ∠ACB=45°，
2
∴^AD=^BD，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵CI=4❑√2，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI•cos45°＝4＝CP，
∵DI＝AD＝BD，DI=13❑√2，∠ADB＝90°，
∴AB=❑√AD2+BD2=26，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×26+2×4
＝60．
