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专题 24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求周长】.......................................................................................................................1
【题型2 三角形内切圆中求角度】.......................................................................................................................5
【题型3 三角形内切圆中求面积】.......................................................................................................................9
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】.............................................................................................................13
【题型5 三角形内切圆中求半径】.....................................................................................................................16
【题型6 三角形内切圆中求最值】.....................................................................................................................20
【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】.............................................................................................................25
【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】
（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
（2）三角形内切圆
内切圆的圆心是
A
与三角形各边都 三角形三个内角 三角形的内心到
相切的圆叫做三 的角平分线的交 三角形三边的距
三角形内切圆 角形的内切圆 点，叫做三角形 离相等
的内心 I
B C
【题型1 利用切线长定理求周长】
【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其
中的一个切点，
已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则
剪下的△AMN的周长为 2 0 cm ．【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝
10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故答案是：20cm．
【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、
PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．
【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由
PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得 PA与
PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．
【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，
∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
m
∴PA＝PB= ，
2
m m
即 • = m﹣1，
2 2
即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，
∴PA＝PB＝1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD＝ED，BC＝EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．
【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于
点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．30
【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，
BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
∵⊙O的半径为2，BC＝5，
∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，
∴在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，
解得x＝10，
∴△ABC的周长为12+5+13＝30．
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧^AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点
M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两
根．
（1）求∠P的度数；
（2）求△PDE的周长；
（3）求四边形DEMN的周长．
【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；
（2）利用切线长定理即可解决问题；
（3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决
问题；
【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．
∴PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，
∵∠DOE＝65°，
∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
（2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．
（3）∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．∴DN+EM＝10，
∴PN，PM，MN是⊙O的切线，
∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，
∴四边形EMND的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．
【题型2 三角形内切圆中求角度】
【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别
切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝ 130 ° ．
【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四
边形内角和为360°，即可求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，
故答案为：130°．
【变式2-1】（2022秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝
40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝ 11 0 °，∠DEF＝ 7 0 °．
【分析】连接OD和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和
定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数．
【解答】解：如图，连接OD和OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，
∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
1
＝180°- （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°- ×140°
2
＝110°，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
1
∴∠DEF= ∠DOF＝70°．
2
故答案为：110，70．
【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连
接BI，CI，再连接FD，ED，
（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．1
【分析】（1）根据圆 I 是△ABC 的内切圆求出∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB），求出
2
∠ABC+∠ACB的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；
（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理
1
求出∠BIC＝90°+ ∠A，代入即可求出答案．
2
【解答】解：（1）∵圆I是△ABC的内切圆，
1 1
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB），
2
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠IBC+∠ICB＝70°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝110°，
如图，连接IF、IE，
∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA＝∠IEA＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠FIE＝360°﹣∠IFA﹣∠IEA﹣∠A＝140°，
1
∴∠EDF= ∠EIF＝70°，
2
答：∠BIC＝110°，∠FDE＝70°；
（2）解：α＝180°﹣β，
证明：由圆周角定理得：∠FIE＝2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE＝180°﹣∠A，
即∠A＝180°﹣2∠FDE，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，由（1）知：2∠FDE＝180°﹣∠A，
∴∠A＝180°﹣2∠FDE＝180°﹣2β，
∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
1
＝180°- （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°- （180°﹣∠A）
2
1
＝90°+ ∠A，
2
1
∴∠BIC＝α＝90°+ （180°﹣2β），
2
即α＝180°﹣β．
【变式2-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一
点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（ ）
A．36° B．48° C．60° D．72°
【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，
证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分
线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝
{ y-x=18°
2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组 ，求解即可得结论．
2y+x=72°
【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，
∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠NBD＝∠NCD，
∵ME⊥AD，AD⊥BC，
∴ME∥BC，
∴∠NME＝∠NBD，
∵点M是△CAN的内心，
∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，
∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，
设∠NAM＝x，∠NBD＝y，
∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，
∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，
∵∠AMB＝108°，
∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，
在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，
∴x+108°﹣y＝90°，
∴y﹣x＝18°，
在△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，
∴x+2y＝72°，
{ y-x=18°
，
2y+x=72°
{x=12°
解得 ，
y=30°
∴∠BAC＝4x＝48°．
故选：B．
【题型3 三角形内切圆中求面积】
【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，
E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用
勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．
【解答】解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
1
解得x= ，
4
3
∴DF＝1﹣x= ，
4
1 3 3
∴S = ×1× = ．
△CDF 2 4 8【变式 3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 是△ABC 的内心，
OE⊥EB．若AE＝2❑√2，则△ABE的面积为（ ）
A．2❑√2 B．2 C．❑√2 D．1
【分析】延长BE交⊙O于点F，连接AF，OF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB＝∠C＝90°，证明
△FEA是等腰直角三角形，可得AF＝EF＝2，根据垂径定理可得EF＝BE＝2，进而可得△ABE的面积．
【解答】解：如图，延长BE交⊙O于点F，连接AF，OF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵E是△ABC的内心，
1 1
∴∠EAB= ∠CAB，∠EBA= ∠CBA，
2 2
1
∴∠EAB+∠EBA= （∠CAB+∠CBA）＝45°，
2
∴∠FEA＝45°，
∴△FEA是等腰直角三角形，∴AE=❑√2AF=❑√2EF，
∵AE＝2❑√2，
∴AF＝EF＝2，
∵OE⊥EB，
∴EF＝BE＝2，
1 1
∴△ABE的面积为： BE•AF= ×2×2＝2．
2 2
故选：B．
【变式3-2】（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为 1cm．如果这条花边带
有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（ ）
A．150π B．150❑√3 C．300❑√3 D．200
【分析】画出图形，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD＝30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，
同法求出CD，求出BC的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．
【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切
AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线
上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
1
∴∠OBC= ∠ABC＝30°，
2
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB＝90°，
∵OD＝1，
∴OB＝2，
由勾股定理得：BD=❑√22-12=❑√3，
∴BC＝2❑√3，1 1
∴S = BC•AD= ×2❑√3×3＝3❑√3．
△ABC 2 2
∴这条花边的面积＝100S ＝300❑√3，
△ABC
故选：C．
【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方
形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（
）cm2
A．12 B．24 C．8 D．6
【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则
DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的
面积．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
∴DE＝4﹣1＝3cm，
∴S ＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．
△ADE故选：D．
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】
【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB
＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
【分析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AD的长，然后表示出BD、
CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝7，可求出AD的长进而求出BE、CF的长．
【解答】解：假设AD＝x，
∵⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F；
∴根据切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∴AF＝x，
∵AB＝5，AC＝6，BC＝7，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，FC＝EC＝AC﹣AF＝6﹣x，
∴BC＝BE+EC＝5﹣x+6﹣x＝7，
解得：x＝2，
∴AD＝2，BE＝BD＝5﹣2＝3，CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．
【变式4-1】（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A＝
60°，CB＝6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出 BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，进而得出△ADF
是等边三角形，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，CB＝6cm，△ABC的周长为16cm，
∴BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF，∵BE+EC＝BD+FC＝6，
1 1
∴AD＝AF= （AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）= （16﹣6﹣6）＝2，
2 2
∵∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴DF＝2．
故选：A．
【变式4-2】（2022秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O是△ABC的
❑√5
内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是 ．
2
【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC的内切圆，
得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣
r+4﹣r＝5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长
【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，
由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=5，
∵⊙O是三角形ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，
∴四边形CFOE是正方形，
∴CE＝CF＝OF＝OE，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，
∵D是AB的中点，
5
∴AD= ，
21
∴DQ＝AD﹣AQ= ，
2
∴OD2＝OQ2+DQ2，
❑√5
∴OD=❑√OQ2+DQ2= ，
2
❑√5
故答案为： ．
2
【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O 和⊙O 分别是
1 2
△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是 4 cm．
【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O 和⊙O 的半径相等．如图，过O 作
1 2 1
AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O 作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、
2
H，由∠B＝90°，推出四边形ONBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解
1
得r＝4，过O 作OM⊥FO 于M，则OM＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣
1 1 2 1
AE﹣CF计算即可．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，
∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O 和⊙O 的半径相等．
1 2
如图，过O 作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，
1
过O 作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，
2
∵∠B＝90°，
∴四边形ONBP是正方形，
1
设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，
∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，
∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4
故答案为：4．
【题型5 三角形内切圆中求半径】
【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半
径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为
r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，
根据勾股定理，得
AC=❑√AB2+BC2=❑√122+92=15，
设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，
如图，连接OE，OF，OG，
得四边形DFOG是正方形，
∴DF＝DG＝r，
∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，
∵AE+CE＝AC，
∴9﹣r+12﹣r＝15，
解得r＝3．
∴△ACD内切圆的半径是3．
故选：C．
【变式5-1】（2022秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC
的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．2❑√3
【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC=❑√AB2-BC2=4，
如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD＝OE＝OF，
1 1 1 1
∴S ＝S +S +S = BC•DO+ AC•OE+ AB•FO= （BC+AC+AB）•OD，
△ABC △BOC △AOC △AOB 2 2 2 2∵∠C＝90°，
1 1
∴ ×AC•BC= （BC+AC+AB）•OD，
2 2
3×4
∴OD= =1．
3+4+5
故选：A．
【变式5-2】（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积
为S，各边长分别为a，b，c，d，则该圆的直径为（ ）
a+b+c+d S c-d 2S
A． B． C． D．
S a+c S(a+b) a+b+c+d
1 1
【分析】连接OA、OB、OC、OD．由S ＝S +S +S S ，由S = AB•r+
四边形ABCD △OAB △OBC △OCD+ △AOD 四边形ABCD 2 2
1 1 1 2S
BC•r+ CD•r+ AD•r= （a+b+c+d）•r＝S，即可推出r= ．
2 2 2 a+b+c+d
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD．
∵S ＝S +S +S +S
四边形ABCD △OAB △OBC △OCD △AOD
1 1 1 1
又∵S = AB•r，S = BC•r，S = CD•r，S = AD•r，
△OAB 2 △OBC 2 △OCD 2 △AOD 2
1 1 1 1 1
∴S = AB•r+ BC•r+ CD•r+ AD•r= （a+b+c+d）•r＝S，
四边形ABCD 2 2 2 2 2
2S
∴r= ．
a+b+c+d
故选：D．
【变式5-3】（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，
F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 2 ．【分析】连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，根据勾股定理可得AB＝10，证明四边形OECF是正方
形，可得CF＝CE＝OF＝r，然后根据切线长定理可得AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝
8﹣r，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，F，E，
∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OF＝r，
∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，
∵AD+BD＝AB＝10，
∴6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
∴⊙O的半径等于2．
故答案为：2．
【题型6 三角形内切圆中求最值】
【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形 ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是
△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ❑√13+ 1 ．【分析】由矩形性质和勾股定理可得 AC＝10，设△ADC内切圆半径为r，由面积法可得r＝2，连接
1
BQ，易证PM为△BCQ的中位线，得出PM= BQ，当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，
2
作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，由勾
股定理可得BO=2❑√13，则BQ＝BO+OQ＝2❑√13+2，从而可得PM的结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√62+82=10，
设△ADC的内切圆半径为r，
1 1
则有 r(AC+AD+DC)= ×6×8，
2 2
1
即 r(10+6+8)= 24，解得：r＝2．
2
连接BQ，
∵P为BC中点，M为CQ中点，
∴PM为△BQC的中位线，
1
∴PM= BQ，
2
当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，
作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，
则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，
OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，
∴BO=❑√BF2+OF2=❑√62+42=2❑√13，
∴BQ＝BO+OQ＝2❑√13+2，
1
∴PM= BQ=❑√13+1．
2
故答案为：❑√13+1．【变式6-1】（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将
余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 4 π cm 2 ． ．
1
【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为 r，则该三角形面积可表示为： r
2
1
（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为 •BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角
2
形ABC的面积，可得r，求得圆的面积．
【解答】解：如图1所示，
1 1
S = •r•（AB+BC+AC）= r×42＝21r，
△ABC 2 2
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD＝x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，解得：x＝9，
∴AD＝12，
1 1
∴S = BC×AD= ×7×12＝42，
△ABC 2 2
∴21r＝42，
∴r＝2，
该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2），
故答案为：4πcm2．
【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC的内切圆半径为2，圆心为I．若点P满足PI＝1，则
△ABC与△APC的面积之比的最大值为 6 ．
【分析】P满足PI＝1，则P在以I为圆心，以1位半径的圆上，当P是⊙O和BE的交点时，△ACP的
面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC与△APC的面积的比值
是BE与PE的比值，据此即可求解．
【解答】解：点P满足PI＝1，则P在以I为圆心，以1位半径的圆上．
作BE⊥AC，则BE一定过点I，连接AI．
1 1
∵在直角△AIE中，∠IAE= ∠BAC= ×60°＝30°，IE＝2，
2 2
∴AI＝2IE＝4，
∴BE＝IE+BI＝IE+AI＝2+4＝6．
当P是⊙I和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝
1，
BE 6
则△ABC与△APC的面积的比值是 = =6．
PE 1
故答案是：6．
【变式6-3】（2022秋•滨湖区期末）已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；
（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．
【分析】（1）在CD上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角
定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，
于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；
（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于
F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30
❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3
度的直角三角形三边的关系得到CF= PF= r，CH= PH= r，然后根据切线长定理得到AF
3 3 3 3
❑√3 ❑√3 ❑√3
＝AQ＝AC﹣CF＝AC- r，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC- r，而 AB＝AQ+BQ，所以 AC- r+BC
3 3 3
❑√3 2❑√3
- r＝6，整理得AC+BC＝6+ r；
3 3
2❑√3
②由于AC+BC＝CD得到CD＝6+ r，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理
3
1 ❑√3
的推论得CD⊥AB，AM＝BM= AB＝3，AC＝BC，可计算出CD= AM=❑√3，AC＝2CD＝2❑√3，所
2 3
2❑√3
以2❑√3+2❑√3=6+ r，可解得r＝6﹣3❑√3．
3
【解答】（1）证明：在CD上截取CE＝BC，如图1，
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴△BCE为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，
∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，
∴∠1＝∠2，在△ACB和△DEB中
{∠A=∠D
∠1=∠2 ，
BC=BE
∴△ACB≌△DEB，
∴AC＝DE，
∴CD＝CE+DE＝BC+AC；
（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC
于F，如图，
则PF＝PQ＝PH＝r，
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴∠CPF＝∠CPH＝30°，
❑√3 ❑√3 ❑√3 ❑√3
∴CF= PF= r，CH= PH= r，
3 3 3 3
❑√3 ❑√3
∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC- r，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC- r，
3 3
而AB＝AQ+BQ，
❑√3 ❑√3
∴AC- r+BC- r＝6，
3 3
2❑√3
∴AC+BC＝6+ r；
3
②∵AC+BC＝CD，
2❑√3
∴CD＝6+ r，
3
∴当CD为直径时，r最大，
如图3，当CD为直径，
∴CD⊥AB，垂足为M，
1
∴AM＝BM= AB＝3，AC＝BC，
2
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAM＝30°，
❑√3
∴CD= AM=❑√3，
3∴AC＝2CD＝2❑√3，
2❑√3
∴2❑√3+2❑√3=6+ r，
3
∴r＝6﹣3❑√3，
即r的最大值为6﹣3❑√3．
【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】
【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为
R和r，则R﹣r＝ 1. 5 ．
【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．
【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，
1
所以R= ❑√32+42=2.5；
2
如图，
若Rt△ABC的边AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB=❑√AC2+BC2=5，
其内切圆⊙O分别切AB、BC、AC于D、E、F．
设OE＝OF＝OD＝r，∴S ＝S +S +S ，
△ABC △AOB △BOC △AOC
1 1 1 1
即 AC•BC= AB•OD+ BC•OE+ AC•OF，
2 2 2 2
1 1 1 1
×3×4= ×5×r+ ×4×r+ ×3×r，
2 2 2 2
1
6= r（5+4+3），
2
6＝6r，
∴r＝1，
则R﹣r＝2.5﹣1＝1.5．
故答案为：1.5．
【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知
∠AOC＝120°，则∠OAC＝ 15 °，∠B＝ 60 °．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC的外接圆的
5
半径为 cm，内切圆的半径为 1 cm．
2
1
【分析】由三角形内心的性质得到OC平分∠ACB，求得∠ACO= ∠ACB＝45°，根据三角形的内角和
2
得到结论；根据勾股定理得到AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5，于是得到结论．
【解答】解：∵⊙O内切于Rt△ABC，∠C＝90°，
∴OC平分∠ACB，
1
∴∠ACO= ∠ACB＝45°，
2
∵∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝180°﹣45°﹣120°＝15°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠OAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°；∵AC＝4cm，BC＝3cm，∠C＝90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5，
5
∴△ABC的外接圆的半径为 ；
2
设内切圆的半径为r，
3+4-5
∴r= =1，
2
5
故答案为：15，60， ，1．
2
【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，
14❑√3
其半径为❑√3，则△BIC的外接圆直径为 ．
3
【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，
1 1
FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得 S = lr= ×20
△ABC 2 2
1
×❑√3= AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分
2
∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾
股定理即可求出OB的长．
【解答】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，
在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
1
∴AD= b，
2
❑√3
CD= b，
2
1
∴BD＝AB﹣AD＝c- b，
2
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r=❑√3，
1 1 1
∴S = lr= ×20×❑√3= AB•CD，
△ABC 2 2 2
❑√3
∴20❑√3= b•c，
2
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
1 ❑√3
即a2＝（c- b）2+（ b）2，
2 2
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，
解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
7
∴BE＝CE= ，∠BOE＝60°，
2
7 ❑√3 7❑√3
∴OB= ÷ = ．
2 2 3
14❑√3
∴外接圆直径为 ．
3
14❑√3
故答案为： ．
3
【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切
AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理得
1
到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO= AB＝5，连接OI，设⊙I的半
2
径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形
IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝
6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，
在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO=❑√5．
【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=❑√AC2+BC2=10，
∴外心O为AB的中点，
1
∴BO= AB＝5，
2
连接OI，如图，
设⊙I的半径为r，
∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，
∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，
而∠C＝90°，
∴四边形IDCE为正方形，
∴DC＝CE＝r，
∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，
∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，
而AF+BF＝AB，
∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，
∴BF＝6﹣r＝4，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，
在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1，
∴IO=❑√OF2+I F2=❑√5，
即Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为❑√5．
