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专题24.26 切线长定理（知识梳理与考点分类讲解）
【要点一】切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点注意：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点注意：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
【要点二】三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
要点注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相
切圆的圆心) 的交点 等；(2)OA、OB、OC分别平
分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
【考点一】切线长定理➼➻求解【例1】已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．
（1）若PA＝6，求 PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，△求∠DOC．
【答案】（1）△PCD的周长为12；（2）∠DOC＝65°.
【分析】（1） ）连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋
PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得 PCD的周长；（2）根据已知条件易求
∠AOB＝130°；再证明Rt AOC≌Rt EOC，由全等三角形的性质可得△∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝
△ △
∠BOD，由此可得∠DOC＝ ∠AOB＝65°.
解：（1）连接OE，
∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.
同理可得：AC＝CE，BD＝DE.
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.
（2）∵PA，PB与⊙O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.
在Rt AOC和Rt EOC中，
△ △
∴Rt AOC≌Rt EOC（HL）．
∴∠A△OC＝∠C△OE.
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOC＝ ∠AOB＝65°.【点拨】本题考查了切线的性质定理及切线长定理，熟练运用切线的性质定理及切线长定理是解决问
题的关键.
【举一返三】
【变式】如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，
C．若PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周长．
【答案】（1） ；（2）2
【分析】（1）根据切线长定理可得 ，则一元二次方程的判别式为0，进而即可求得 的值；
（2）根据（1）的结论求得 的长，CD与⊙O相切于点E，则 ,根据△PCD的周长
即可求解．
解： PA，PB与⊙O相切，
PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根
解得
（2）
PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E，
△PCD的周长
【点拨】本题考查了切线长定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握切线长定理是解题的关键．
【考点二】切线长定理➼➻证明
【例2】如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于
点D，连接AD．
（1）求证：BC＝CD；
（2）若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得 是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角
形的性质，勾股定理求解即可．
解：（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是 的切线，
CD是 的切线，
（2）连接 ， ，是 的切线， ， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径
【点拨】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的
性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作
半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】对于（1），连接OC，根据切线的性质得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根据全等三
角形的性质得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
对于（2），先根据平行线的性质得∠B＝∠EOA，进而说明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出
BC＝AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．解：（1）证明：连接OC，如图所示，
∵DA、DC是半圆O的切线，
∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，
又OA＝OC，OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
即DO是∠ADC的平分线，
∴DO⊥AC，
又BC⊥AC，
∴OE∥BC；
（2）证明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC，
∴∠B＝∠EOA，AE＝EC，
又DA⊥AO，
∴∠EOA＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠B.
∵AC＝2BC，
∴BC＝AE，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴AB＝AD．
【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造
全等三角形是解题的关键．
【变式2】如图1所示， 为 的外接圆， 为直径， 、 分别与 相切于点D、C（
）.E在线段 上，连接 并延长与直线 相交于点P，B为 中点.（1）证明： 是 的切线.
（2）如图2，连接 ， ，求证： .
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连接 ，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出 ，
进而根据 为切线， ， ，得出 ，即可得证；
（2）根据 、 、 分别与 相切于点D、E、C，根据切线长定理得出 ， ，
则 ， ， ， ，即可得出 ，进而
即可得证．
解：（1）证明：连接 ，
∵ 为 直径，
∴ .
在 中，B为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为切线，∴ ，
∴
∴ .
即 ，
∴ 是 的切线.
（2）证明：∵ 、 、 分别与 相切于点D、E、C，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．
【考点三】切线长定理➼➻三角形的周长、面积与内切半径关系
【例3】如图，以Rt ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线
于点D，点F为BC的中点△，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．【答案】（1）见分析；（2）AD＝ ．
【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角
是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过
Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
解：
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°．
∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE＝60°，
∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝ ．∴AD＝ ＝ ．
【点拨】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置关系 ．
【举一返三】
【变式】如图， 中， ， 是 的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果 ， ，求内切圆 的半径．
【答案】（1）见分析；（2）1
【分析】（1）根据切线判定定理可得 ，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方
形的判定即可求证；
（2）设 的半径为r，根据正方形的性质可得 ，从而得到 ， ，
再由切线长定理可得 ， ，然后根据 ，即可求解．
解：（1）证明：∵BC，AC分别切 于点D，E，
∴ ， ，
又∵ ，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵ ，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）解：设 的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴ ，
在 中， ，∴ ， ，
∵ 与 各边相切于点D，E，F，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，解得
∴内切圆的半径是1．
【点拨】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线
长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【考点四】切线长定理➼➻圆的外切四边形
【例4】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）r=3cm. （2） r= （a+b-c）．
【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据
切线长定理可得： CD=CF= （AC+BC-AB），由此可求出r的长．
解：（1）如图,连接OD，OF；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB= =15cm；
四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF= （AC+BC-AB）；
即：r= （12+9-15）=3cm．（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得： CD=CF= （AC+BC-AB）；
即：r= （a+b-c）．则⊙O的半径r为： （a+b-c）．
【点拨】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是
正方形是解题关键．
【举一返三】
【变式1】如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表
示梯形的周长．
【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见分析；（2）4m.
【分析】（1）由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
（2）AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2
（AD+BC）=2×2m=4m
解：（1）AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
（2）AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2（AD+BC）=2×2m=4m【点拨】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
【变式2】如图所示，已知 的外切等腰梯形 ， ，梯形中位线为 ，求
证： .
【答案】见分析.
【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得
EF=AB.
解：∵等腰梯形ABCD是 的外切等腰梯形，
∴AD+BC=AB+CD=2AB，
∵梯形中位线为EF，
∴AD+BC=2EF，
∴EF=AB.
【点拨】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点
和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键.
【考点五】切线长定理➼➻三角形的内切圆与外接圆综合
【例5】如图，O是 ABC的外心，I是 ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
（1）求证：EB=EI；△ △
（2）若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【答案】（1）见分析；（2）AI=4
【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；
（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明 AEM≌ AEN和
△ △BME≌ CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．
△ 解：△（1）证明：∵I是 ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，B△I平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴ = ，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE（HL），
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM= = ．
∴AE= =8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE−EI=4．【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的
关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【举一返三】
【变式1】如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）根据三角形内心的定义得 ，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接 ，证出 即可得证；
（3）连接 ， ， ，证出 即可得证．
解：（1）证明： 点I是 的内心，
平分 ，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接 ，
点I是 的内心，平分 ， 平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
．
（3）证明：如图，连接 ， ， ，
，
．
，
∴点D是 的外心．
【点拨】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，
掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
【变式2】如图，⊙ 是 的内切圆，D，E，F为切点，且 ，求
， ， 的长．
【答案】
【分析】设 ，根据切线长定理列出方程即可．
解：设 ，
根据切线长定理得：，
解得： ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线长定理，三元一次方程组的应用，根据切线长定理列出方程组是解本题的关
键．
【考点六】圆的综合题
【例6】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝DC；
（3）若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）AE＝2
【分析】（1）连接OC．证∠D＝∠COB．由OD⊥AB，得∠COB＋∠COD＝90°．可证∠D＋∠COD
＝90°．即∠DCO＝90°；
（2）由∠DCE＋∠ACO＝90°，∠AEO＋∠A＝90°和∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，可得∠DEC＝
∠DCE ，即DE＝DC．
（3）先求得OC＝4，AB＝2OC＝8， OE＝OD－DE＝2，再证△AOE∽△ACB，得 ．
解：（1）证明：连接OC，如图，∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
又∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COB．
又∵OD⊥AB，
∴∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO＝90°，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠AEO+∠A＝90°，
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，
∴OC＝ ＝ ＝4，
∴OA＝OC＝4，
又DE＝DC＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝2，
在Rt AEO中，由勾股定理得： ，
△∴AE＝2 ．
【点拨】此题考查了切线判定，等腰三角形判定，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是根据所
求分析出必要条件，根据相关判定和性质求出有关的角和边的长度．
【举一返三】
【变式1】如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得
BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝ ，求线段AB的长．
【答案】（1）见分析；（2） ．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明
∠OAB＝90°，即可证明结论；
（2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可．
解：（1）证明：∵BA＝BP，
∴∠BPA＝∠BAP．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°．
∴∠OPC＋∠OCP＝90°．
∵∠APB＝∠OPC，
∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为半径，
∴AB为⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝ ，
∴OP＝ 2．
设AB＝x，则OB＝x＋2．
在Rt△AOB中， ，
∴x＝3,即AB＝3．
【点拨】本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成
为解答本题的关键．
【变式2】如图1，已知 为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 平分 ， 于点D，
并与⊙O交于点E．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求⊙O的半径；
（3）如图2，F为 中点，连接 ，在（2）的条件下，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）13；（3）
【分析】（1）连接 ，利用角平分线的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定
与性质和圆的切线的判定定理解得即可．
（2）连接 ，过点 作 与点 ，利用切割线定理，垂径定理和矩形的判定与性质解
答即可；
（3）连接 ， ， ，过 作 与点H，利用（2）的结论，等腰直角三角形的判定
与性质，圆周角定理，勾股定理解答即可．
解：（1）证明：连接 ，如图平方
与点D
为的⊙O半径
是⊙O切线
（2）解：连接 ，过点O作 于点F，如图，
则
由（1）知， 是⊙O的切线
，由（1）知，
四边形 是矩形
（3）解：连接 ， ， ，过 作 与点H，如图，
由（2）知：⊙O的半径为13，
为的⊙O直径
为 中点
为等腰直角三角形【点拨】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理，切割线定理，圆的切线定理以及平行线的
判定，熟练掌握这些定理和性质并且画对辅助线是解题的关键．
