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第 07 讲 直线与圆的位置关系（2）
课程标准 学习目标
1. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用。
①切线长及切线长定理
2. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其
②三角形的内切圆与内心
解决相关题目。
③弦切角与弦切角定理
3. 掌握弦切角的定义以及弦切角定理，并能够在题目中熟练应用。
知识点01 切线长及切线长定理
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是 A与B，则PA与PB的
长度是切线长。
2. 切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的长度 。圆心和
这一点的连线 两
条切线的夹角。
即PA PB，∠APO ∠BPO。
推广：由切线长定理的结论可得：⌒ ⌒
①△APO △BPO ∠AOP ∠BOP AM AM AB OP。
【即学即练1】
1．如图，AB、AC、BD 是 O 的切线，切点分别是 P、C、D．若 AB＝10，AC＝6，则 BD 的长是
（ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【即学即练2】
2．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、
D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
知识点02 三角形的内切圆与内心
1. 三角形内切圆的定义：
如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。
2. 三角形的内心：
三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形
三个内角 角平分线 的交点，到三角形三边的距离 相等 。
特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为
或 。
4. 三角形的面积与内切圆半径的关系：
若三角形的三边长分别是 a、b、c，内切圆半径为 r，则此三角形的面积可表示为：
。
【即学即练1】3．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【即学即练2】
4．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点O为△ABC内心，连接BO并延长交AC于点
D，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则CF＝（ ）
A． B．1 C． D．
【即学即练3】
5．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，
则 O的面积为（ ）（结果保留 ）
⊙
⊙ π
A． B．2 C．3 D．4
π π π π
知识点03 弦切角及弦切角定理
1. 弦切角的定义：
如图，像∠ACP这样顶点在 ，一边与圆 ，一边与圆 的角叫弦切角。
即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。
2. 弦切角定理：
弦切角的度数与弦所对的圆周角度数 。等于弦所对的圆心角
度数的 。
【即学即练1】
6．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长线于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．25° B．30° C．40° D．50°
题型01 利用切线长定理求线段长度或图形周长
【典例1】如图所示，P是 O外一点，PA，PB分别和 O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作
O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．12 B．6 C．8 D．4
【变式1】如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝
1，那么BC的长为 ．
⊙
【变式1】 【变式2】
【变式2】如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长
等于10cm，则PA＝ cm．
【典例2】如图，四边形ABCD外切于 O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（ ）
⊙
A．60 B．55 C．45 D．50
【变式1】如图，PA、PB分别切 O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过
点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为 cm．
⊙【变式2】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若
△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
题型02 利用内切圆性质求角度
【典例1】如图， O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，
DE，DF，那么∠EDF等于（ ）
⊙
A．40° B．55° C．65° D．70°
【变式1】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
【变式1】 【变式3】
【变式2】在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，I是△ABC的内心，则∠AIB＝ ，∠BIC＝
，∠CIA＝ ．
【变式3】已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则
∠BPC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．62.5° D．65°
【变式4】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（ ）A．120° B．125° C．135° D．140°
题型03 利用内切圆性质求线段
【典例1】已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1】如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径
为2，则线段DB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【变式2】如图，△ABC的内切圆 O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则
△ABC的周长为 ．
⊙
【变式3】已知：如图， O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求 O的半径
r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求 O的半径r．
⊙ ⊙
⊙
【变式4】如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°． I分别切AC，
BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
⊙题型04 利用弦切角定理求角度
【典例1】如图，已知AB是 O的直径，PC切 O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
⊙ ⊙
【变式1】如图，AB为 O的直径，C、D为 O上的点，直线MN切 O于C点，图中与∠BCN互余的
角有（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（
）
⊙ ⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式3】如图四边形ABCD内接于 O，AB为直径，PD切 O于D，与BA延长线交于P点，已知
∠BCD＝130°，则∠ADP＝ ．
⊙ ⊙【变式4】如图，在 O中，AB是弦，AC是 O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交 O于E点，若AE
平分∠BAD，则∠ABD的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．30° B．45° C．50° D．60°
1．如图， O是△ABC的内切圆，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（ ）
⊙A．40° B．150° C．130° D．100°
2．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．如图，△ABC是一张三角形的纸片， O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小
π π π π
明准备用剪刀沿着与 O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周
⊙
长为（ ）
⊙
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
4．如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
⊙
A．44 B．42 C．46 D．47
5．如图，PA，PB为 O的两条切线，C，D切 O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为 O上的点，
连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70°
6．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接
CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（ ）A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半
径分别为r 、r ，则 的值为（ ）
1 2
A． B． C． D．
8．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点
若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
9．已知：如图，E是相交两圆 M和 N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连
接AE，BE，则∠AEB的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．145° B．140° C．135° D．130°
10．抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶
点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点
C 到 x 轴的距离大时，求 a 的取值范围．甲求得 ；乙求得 ．下列说法正确的是
（ ）
A．甲对乙错
B．甲错乙对
C．二人答案合在一起才正确D．二人答案合在一起也不正确
11．如图所示，过半径为6cm的 O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交 O于F，过F作 O的切
线，交PA，PB分别于D，E，如果PO＝10cm，∠APB＝40°，则△PED的周长＝ ；∠DOE的度
⊙ ⊙ ⊙
数 ．
第11题 第12题 第13题
12．如图， O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若
CM+CN＝10，则 O的面积为 ．
⊙
13．如图，已知半径为1的 M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标
⊙
为（ ，0）， M的切⊙线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝ 度．
14．如图，在△ABC中，∠B＝70°， O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交 O于
⊙
E，D两点．点F是 上的一点，⊙连接DF，EF，则∠EFD的度数是 ． ⊙
第14题 第15题
15．如图，△ABC的内切圆 O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，
若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 ．
⊙
16．如图，AB为 O直径，PA、PC分别与 O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
⊙ ⊙
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
17．如图，等腰三角形ABC内接于 O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交 O于点D，
点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明：
⊙ ⊙
（1）OA所在的直线经过点I；（2）点D是IE的中点．
18．如图，直线AB、BC、CD分别与 O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
⊙
（2）BE+CG的长；
（3） O的半径．
⊙
19．如图，PA、PB、CD是 O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
⊙
（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．
20．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆 O 相交于点 D、过 D 作直线
DG∥BC．
⊙
（1）求证：DG是 O的切线；
（2）求证：DE＝CD；
⊙（3）若DE＝2 ，BC＝8，求 O的半径．
⊙
