文档文本内容
专题 2.7 三角形的内切圆、切线长定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:19)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:39)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:42)(cid:39)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:19)........................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:24)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:46)(cid:47)(cid:19)......................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:26)(cid:51)(cid:52)(cid:19)......................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)11 (cid:29)(cid:48)(cid:29)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:3)(cid:55)(cid:19)..............................................................................................................................14
知识点1 三角形的内切圆
1. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:10)(cid:48)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:28)(cid:26)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:26)(cid:49)(cid:28)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:65)
2. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:67)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:65)
3. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:26)(cid:72)(cid:73)
(cid:27)(cid:34) (cid:49)(cid:34)
(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77) (cid:49)(cid:34)(cid:74)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:78)(cid:71)(cid:26)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:77)
(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:71)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:26)(cid:81)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24) (cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:57)(cid:30)(cid:71)(cid:80)(cid:49)(cid:34)(cid:26)(cid:82)(cid:38)(cid:83)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:57)
(cid:84)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:85)(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:87) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:88)(cid:89)(cid:40)(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:87)
知识点2 切线长及切线长定理
1. (cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:10)(cid:90)(cid:79)(cid:29)(cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:26)(cid:29)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:91)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:80)(cid:28)(cid:71)(cid:92)(cid:93)(cid:38)(cid:94)(cid:26)(cid:39)(cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:71)(cid:74)(cid:29)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:65)
2. (cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:95)(cid:29)(cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:29)(cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:100)(cid:101)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:59)(cid:77)(cid:62)(cid:63)(cid:89)(cid:71)(cid:80)(cid:29)(cid:34)(cid:26)(cid:102)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)
(cid:26)(cid:103)(cid:24)(cid:65)知识点3 圆和圆的位置关系
(cid:99)(cid:29)(cid:49)(cid:76) d>R+r(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:49)(cid:28)⇔d=R+r(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:59)(cid:70) R-r<d<R+r(R≥r)(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:27)(cid:28)⇔d=R-r(R>r)(cid:104)
(cid:99)(cid:29)(cid:27)(cid:105)⇔d<R-r(R>r)(cid:65)
【题型1 ⇔ 作三角形的内切圆】
(cid:15)(cid:106)1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) ABC(cid:30)(cid:61)(cid:89)(cid:64)(cid:29)(cid:62)(cid:122)(cid:100)(cid:48)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:57)(cid:58)(cid:59)
(cid:28)(cid:65) △
(cid:15)(cid:123)(cid:124)1-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:11)(cid:128)(cid:129)(cid:119)(cid:130)(cid:131)(cid:111)(cid:121)(cid:30)(cid:29)(cid:132)(cid:26)(cid:22)(cid:121)(cid:133)(cid:134)(cid:62)(cid:135)(cid:37)(cid:82)(cid:136)(cid:137)(cid:96)(cid:138)(cid:40) (cid:27)(cid:34)
(cid:26)(cid:66)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶
A(cid:65) B(cid:65)
C(cid:65) D(cid:65)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)1-2(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:112)(cid:113)(cid:139)(cid:140)·(cid:141)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:142) (cid:143)(cid:144)(cid:62)(cid:122) (cid:57)(cid:145)(cid:86) (cid:57)(cid:91)(cid:62)(cid:146)(cid:127)(cid:147)(cid:148)(cid:74)(cid:143)
(cid:133) (cid:65)(cid:149)(cid:142) (cid:143)(cid:144)(cid:62)(cid:122) (cid:57)(cid:145)(cid:86) (cid:57)(cid:91)(cid:62)(cid:146)(cid:127)(cid:147)(cid:148)(cid:74)△(cid:143)𝐴𝐵(cid:133)𝐶 (cid:65)(cid:150) 𝐴(cid:48)𝐶 (cid:26)(cid:70)𝐴(cid:71)𝐵(cid:151) (cid:62)(cid:152)(cid:71) (cid:66)(cid:107) (cid:119)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝑂 𝑂A(cid:65) (cid:26)(cid:49)(cid:34) B(cid:65) (cid:26)(cid:27)(cid:34) C(cid:65) (cid:26)(cid:153)(cid:34) D(cid:65) (cid:26)(cid:30)(cid:34)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)△1-3𝐴(cid:19)𝐵𝐶(cid:154)(cid:20)(cid:48)(cid:155)(cid:156)(cid:65)△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:120)(cid:121)(cid:62)Rt ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:157)(cid:57)AB(cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71)D(cid:62)AD(cid:159)4(cid:62)BD(cid:159)5(cid:65)(cid:31)Rt ABC(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:10)△(cid:63)(cid:163)(cid:20)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:43)(cid:44)(cid:167)(cid:168)(cid:66)20(cid:62)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:167)(cid:168)(cid:66)4×5(cid:159)20(cid:62)(cid:35)△(cid:174)(cid:175)(cid:164)(cid:26)(cid:176)(cid:177)…
(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:10)(cid:181)(cid:182)4(cid:80)5(cid:183)(cid:184)m(cid:185)n(cid:149)(cid:164)(cid:89)(cid:186)(cid:62) ABC(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:187)(cid:66)m•n!(cid:138)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)…
(cid:33)(cid:11)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:10)(cid:196)(cid:197)(cid:156)(cid:89)(cid:156)(cid:62)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:120)(cid:202)(cid:203)△(cid:204)(cid:74)(cid:205)(cid:206)(cid:62)(cid:88)(cid:207)(cid:164)(cid:208)(cid:88)(cid:208)(cid:148)(cid:74)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:120)(cid:62)(cid:212)(cid:121)(cid:210)
(cid:213)(cid:214)(cid:10)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:62)(cid:181)(cid:86)(cid:156)(cid:215)(cid:89)(cid:64)(cid:113)(cid:216)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:121)(cid:208)(cid:88)(cid:208)(cid:136)(cid:132)(cid:217)(cid:165)(cid:166)(cid:218)(cid:176)(cid:177)(cid:121)(cid:58)(cid:40)(cid:172)(cid:65)(cid:181)(cid:219)(cid:220)(cid:156)(cid:88)(cid:165)(cid:166)(cid:209)(cid:210)
(cid:207)(cid:164)(cid:221)(cid:45)
(cid:107)1(cid:119)(cid:222)(cid:79)(cid:207)(cid:164)(cid:31)(cid:165)Rt ABC(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
(cid:212)(cid:121)(cid:223)(cid:224) △
(cid:107)2(cid:119)(cid:142)Rt ABC(cid:69)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:25)(cid:30)(cid:107)(cid:229)(cid:121)(cid:119)(cid:62)(cid:222)(cid:79)(cid:212)(cid:121)(cid:208)(cid:82)(cid:50)“(cid:230)”(cid:165)“20”(cid:231)(cid:86)(cid:121)(cid:30)(cid:217)(cid:165)(cid:212)(cid:121)(cid:147)(cid:26)4(cid:64)(cid:82)(cid:24)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:232)(cid:185)(cid:233)△(cid:185)(cid:234)(cid:185)(cid:235)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:62)(cid:22)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:4)(cid:239)(cid:203)(cid:237)(cid:240)(cid:162)(cid:65)
(cid:136)(cid:132)(cid:22)(cid:121)(cid:107)3(cid:119)(cid:136)(cid:132)(cid:22)(cid:121)(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)D(cid:86)(cid:38)(cid:94)AB(cid:91)(cid:62)(cid:97)AB(cid:151)(cid:157)(cid:57)(cid:31)(cid:22)(cid:89)(cid:64)Rt ABC(cid:62)(cid:122)(cid:100)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:157)(cid:57)AB(cid:59)(cid:28)
(cid:158)(cid:71)D(cid:65)(cid:107)(cid:241)(cid:242)(cid:22)(cid:121)(cid:26)(cid:133)(cid:134)(cid:62)(cid:243)(cid:165)(cid:236)(cid:237)(cid:26)(cid:244)(cid:245)(cid:240)(cid:162)(cid:119) △
【题型2 三角形内切圆中求角的度数】
(cid:15)(cid:106)2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62) ABC(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:151)D(cid:62)E(cid:62)F(cid:62) A(cid:159)75°(cid:62) B(cid:159)45°(cid:62)(cid:152)(cid:29)(cid:34)(cid:24) EOF(cid:159) (cid:32)(cid:65)
△ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:123)(cid:124)2-1(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62)(cid:71) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:150) =50°(cid:62)(cid:152) = (cid:65)
△𝐴𝐵𝐶 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)2-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =90 (cid:62) =70 (cid:62) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:29) (cid:48)(cid:57) (cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71) (cid:185)
∘ ∘
(cid:185) (cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:32)(cid:33)𝑅(cid:151)𝑡𝛥 𝐴 𝐵 𝐶 ∠(cid:65)𝐶 ∠𝐵 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴 𝐷
∘
𝐸 𝐹 ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:123)(cid:124)2-3(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =70°(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)M(cid:62)N(cid:62)K(cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:65)(cid:70)
(cid:158)E(cid:62)D(cid:99)(cid:71)(cid:65)(cid:71)△F𝐴(cid:66)𝐵𝐶 (cid:91)(cid:26)∠𝐵(cid:89)(cid:71)(cid:62)(cid:102)(cid:50)⊙𝑂(cid:62)△(cid:62)𝐴𝐵(cid:152)𝐶 (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:66) (cid:65) 𝑂𝐴 𝑂𝐶
⊙𝑂 𝑀𝑁 𝐷𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐸𝐹𝐷【题型3 三角形内心有关的应用】
(cid:15)(cid:106)3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:91)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:182) (cid:249)(cid:184)(cid:23)(cid:87)(cid:69)(cid:62)(cid:57) (cid:62) (cid:62) (cid:226)(cid:86)(cid:250)(cid:89)(cid:82)(cid:38)
(cid:91)(cid:62)(cid:71) (cid:58)(cid:145)(cid:86)(cid:82)(cid:38) (cid:91)(cid:62)(cid:82)(cid:38) (cid:65)(cid:86) (cid:30)(cid:62)(cid:150)△𝐴𝐵𝐶=124°(cid:62)(cid:152) 𝐴(cid:26)𝐵 (cid:32)𝐵(cid:33)𝐶(cid:151)𝐴(cid:107)𝐶 (cid:119)
𝑙 𝑂 𝑀𝑁 𝑀𝑁∥𝑙 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
A(cid:65)72° B(cid:65)70° C(cid:65)68° D(cid:65)54°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)3-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)·(cid:141)(cid:255)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:151) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:35)(cid:89)(cid:82)(cid:38)(cid:222)(cid:79) (cid:71)(cid:256)(cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:185)
(cid:59)(cid:70)(cid:158) (cid:71)(cid:185) (cid:71)(cid:65)(cid:150) = =5(cid:62) =6(cid:62)(cid:152) (cid:71)(cid:74)𝐼 (cid:26)△(cid:75)𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:66)(cid:107) (cid:119) 𝐼 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐷 𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐼 𝐵𝐶
30 24
A(cid:65)3 B(cid:65)2 C(cid:65) D(cid:65)
11 11
(cid:15)(cid:123)(cid:124)3-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:257)(cid:125)(cid:258)(cid:197)(cid:259)·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =10(cid:62) =12(cid:62)I(cid:151) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
(cid:79)(cid:71)I(cid:22)(cid:82)(cid:38) (cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:62) (cid:158)(cid:71)M(cid:62)N(cid:62)(cid:256) △=𝐴𝐵𝐶 (cid:62)𝐴(cid:152)𝐵 (cid:26)𝐴𝐶(cid:42)(cid:39)(cid:151)(cid:107) (cid:119)△𝐴𝐵𝐶
𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑀𝑁 ∠𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝑀𝑁
A(cid:65)11 B(cid:65)16 C(cid:65)18 D(cid:65)22(cid:15)(cid:123)(cid:124)3-3(cid:19)(cid:107)2025·(cid:257)(cid:125)(cid:258)(cid:197)(cid:259)·(cid:23)(cid:260)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)I(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:71)O(cid:66) (cid:26)(cid:49)(cid:34)(cid:62)(cid:150)
=160°(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:66)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
∠𝐵𝑂𝐴 ∠𝐵𝐼𝐴
A(cid:65)120° B(cid:65)125° C(cid:65)130° D(cid:65)135°
【题型4 应用切线长定理求长度】
(cid:15)(cid:106)4(cid:19)(cid:107)2025·(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:252)·(cid:89)(cid:260)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) =3(cid:62) =5(cid:62) (cid:66)Rt (cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:267)(cid:268)(cid:151)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶
⊙𝑂
A(cid:65)1 B(cid:65) 3 C(cid:65)2 D(cid:65)2 3
(cid:15)(cid:123)(cid:124)4-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:269)(cid:16)(cid:270)(cid:126)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:185) (cid:185) (cid:66)(cid:29)O(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:151)P(cid:185)C(cid:185)
D(cid:62)(cid:150) =5(cid:62) =3(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:39)(cid:66) (cid:65) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:124)4-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:264)(cid:265)(cid:270)(cid:271)·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:79) (cid:49)(cid:89)(cid:71)P(cid:22) (cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38) (cid:62) (cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:151)
A(cid:62)B(cid:62) (cid:48) (cid:70)(cid:158)(cid:71)D(cid:62)(cid:48) (cid:272)(cid:70)(cid:158)(cid:71)E(cid:62) (cid:151)⊙𝑂(cid:26)(cid:82)(cid:268)(cid:65)(cid:150) ⊙𝑂= (cid:62) =𝑃6𝐴(cid:62)(cid:152)𝑃𝐵 (cid:26)(cid:39)(cid:151)(cid:107) (cid:119)
𝑃𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸
3
A(cid:65)2 B(cid:65)3 C(cid:65) 3 D(cid:65)
2(cid:15)(cid:123)(cid:124)4-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:112)(cid:113)(cid:273)(cid:274)·(cid:141)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) =5(cid:62) =4(cid:62)(cid:275)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:69)(cid:73)(cid:158) (cid:185) (cid:185) (cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71) (cid:185) (cid:185) (cid:62)(cid:152)(cid:276) (cid:26)(cid:39)(cid:151)△(cid:107)𝐴 𝐵(cid:119)𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐸𝐹
A(cid:65)1 B(cid:65)2 C(cid:65) 2 D(cid:65) 3
【题型5 应用切线长定理求周长】
(cid:15)(cid:106)5(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:277)(cid:140)(cid:278)(cid:279)·(cid:141)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71) (cid:151) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) =6(cid:62) =4(cid:62) =3(cid:62)(cid:142)
(cid:68)(cid:280)(cid:122)(cid:275)(cid:78)(cid:71)(cid:48) (cid:153)(cid:52)(cid:62)(cid:152)(cid:121)(cid:30)(cid:281)(cid:282)(cid:87)(cid:69)(cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:151)(cid:107) 𝐼 (cid:119)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐼
A(cid:65)7 B(cid:65)6 C(cid:65)9 D(cid:65)6.5
(cid:15)(cid:123)(cid:124)5-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:257)(cid:125)(cid:258)(cid:197)(cid:259)·(cid:141)(cid:255)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)P(cid:151) (cid:49)(cid:89)(cid:71)(cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:28) (cid:158)A(cid:62)
B(cid:62)C(cid:23)(cid:71)(cid:62)(cid:256)(cid:28)(cid:38) (cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:62) (cid:158)(cid:71)M(cid:62)N(cid:65)(cid:150) =12⊙(cid:62)𝑂(cid:152) (cid:26)𝑃𝐴(cid:42)(cid:39)𝑃𝐵(cid:151)(cid:107)𝑀 𝑁 (cid:119) ⊙𝑂
𝑀𝑁 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 △𝑃𝑀𝑁
A(cid:65)12 B(cid:65)13 C(cid:65)16 D(cid:65)24
(cid:15)(cid:123)(cid:124)5-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:264)(cid:265)(cid:283)(cid:284)·(cid:89)(cid:260)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)Rt (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:48)(cid:99)(cid:82)(cid:24)(cid:57) (cid:62) (cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71) (cid:62) (cid:62)
(cid:79)(cid:285)(cid:272) (cid:107)(cid:88)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:71) (cid:62) (cid:119)(cid:91)(cid:289)(cid:89)(cid:71) (cid:22) △𝐴(cid:26)𝐵(cid:28)𝐶(cid:38) (cid:48) ⊙(cid:62)𝑂 (cid:69)(cid:73)(cid:70)(cid:158)𝐴(cid:71)𝐵 (cid:62)𝐵𝐶 (cid:62)(cid:150) (cid:26)(cid:267)𝐷(cid:268)(cid:151)𝐸
2(cid:62)(cid:152)R𝐷t𝐸 (cid:26)(cid:42)(cid:39)(cid:151)𝐷 𝐸 (cid:65) 𝑃 ⊙𝑂 𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑀 𝑁 ⊙𝑂
△𝑀𝐵𝑁(cid:15)(cid:123)(cid:124)5-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:290)(cid:270)(cid:39)(cid:291)·(cid:141)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:26)(cid:267)(cid:268)(cid:151)1(cid:62) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:99)(cid:67)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)
(cid:69)(cid:73)(cid:151)A(cid:62)B(cid:65)(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:150) =60°⊙(cid:62)(cid:152)𝑂 (cid:26)(cid:42)(cid:39)𝑃𝐴(cid:151)(cid:107)𝑃 𝐵 (cid:119)⊙𝑂
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝑃𝑂 ∠𝐴𝑃𝐵 △𝑃𝐴𝐵
A(cid:65)6 3 B(cid:65)3 3 C(cid:65)6 D(cid:65)3
【题型6 应用切线长定理求面积】
(cid:15)(cid:106)6(cid:19)(cid:107)2025(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:292)(cid:293)·(cid:294)(cid:20)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71) (cid:151) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) =60°(cid:62) =2(cid:62) =4(cid:62)(cid:152)
(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:66)(cid:107) (cid:119) 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 △𝑂𝐵𝐶
A(cid:65)4 3 B(cid:65)2 3 C(cid:65)2 D(cid:65)4
(cid:15)(cid:123)(cid:124)6-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:269)(cid:216)(cid:295)(cid:296)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:151)Rt (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:71) (cid:185)(cid:185) (cid:151)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
(cid:150) =9(cid:62) =6(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:151) (cid:65) ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
𝐴𝐷 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)6-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:297)(cid:269)·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86)Rt (cid:30)(cid:62) =90°(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:150)
=3.3(cid:62) =4.4(cid:62)(cid:152)(cid:121)(cid:30) (cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:151)(cid:107) △ (cid:119)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝑂A(cid:65)5.5 B(cid:65)2.75 C(cid:65)6.05 D(cid:65)3.025
(cid:15)(cid:123)(cid:124)6-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:290)(cid:125)(cid:298)(cid:299)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:82)(cid:24)(cid:300)(cid:25) (cid:30)(cid:62) = =90°(cid:62) =2(cid:62)
=6(cid:62)(cid:97) (cid:151)(cid:82)(cid:268)(cid:26) (cid:28) (cid:158)(cid:71)E(cid:62)(cid:102) (cid:70) (cid:158)(cid:71)M(cid:62)𝐴𝐵(cid:102)𝐶𝐷 (cid:70) ∠𝐴(cid:158)𝐵(cid:71)𝐶 N(cid:62)∠𝐵(cid:152)𝐴(cid:264)𝐷(cid:57)(cid:25) 𝐴𝐷(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:151)
𝐵(cid:107)𝐶 (cid:119) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐷𝐶 𝐴𝐸 𝑂𝐷 𝐵𝐸 𝑂𝐶 𝑂𝑀𝐸𝑁
A(cid:65)2 3 B(cid:65)3 3 C(cid:65)2 2 D(cid:65)3 2
【题型7 应用切线长定理求角度】
(cid:15)(cid:106)7(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:185) (cid:185) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:71)A(cid:185)B(cid:185)E(cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:62)
(cid:69)(cid:73)(cid:70) (cid:185) B(cid:158)C(cid:185)D(cid:99)(cid:71)(cid:62)(cid:150) =70°(cid:62)(cid:152) 𝑃𝐴(cid:26)𝑃(cid:32)𝐵(cid:33)(cid:151)𝐶𝐷(cid:107) ⊙ (cid:119)𝑂 𝐶𝐷
𝑃𝐴 𝑃𝐵 ∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷
A(cid:65)55° B(cid:65)50° C(cid:65)60° D(cid:65)70°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)7-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:257)(cid:270)(cid:42)(cid:305)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121) (cid:185) (cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:151) (cid:62) (cid:62)(cid:150)
=16°(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:151)(cid:107) (cid:119) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 𝐴 𝐵
∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝐴𝑃𝐵
A(cid:65)28° B(cid:65)32° C(cid:65)36° D(cid:65)44°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)7-2(cid:19)(cid:107)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:306)(cid:307)·(cid:308)(cid:260)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62) (cid:62) (cid:66)(cid:28)(cid:71)(cid:65)(cid:150) =130°(cid:62)(cid:152)
= °(cid:65) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 𝐴 𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵
∠𝐴𝑃𝑂(cid:15)(cid:123)(cid:124)7-3(cid:19)(cid:107)2025·(cid:264)(cid:265)(cid:309)(cid:112)·(cid:89)(cid:260)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:185) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:151)A(cid:185)D(cid:62)(cid:71)B(cid:185)C(cid:86) (cid:91)(cid:62)(cid:150)
=68°(cid:62)(cid:152) + (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:151)(cid:107) (cid:119)𝐸𝐴 𝐸𝐷 ⊙𝑂 ⊙𝑂
∠𝐸 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
A(cid:65)202° B(cid:65)236° C(cid:65)240° D(cid:65)248°
【题型8 应用切线长定理求证】
(cid:15)(cid:106)8(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:264)(cid:265)(cid:310)(cid:311)·(cid:141)(cid:30)(cid:119)(cid:120)(cid:121)1(cid:62)(cid:312)(cid:313) (cid:27)(cid:28)(cid:158)(cid:264)(cid:57)(cid:25) (cid:62)(cid:48) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:69)
(cid:73)(cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:65) ⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
(1)(cid:31)(cid:45)(cid:10) + = + (cid:104)
(2)(cid:120)(cid:121)2(cid:62)𝐴𝐷(cid:102)(cid:50)𝐵𝐶 (cid:62)𝐴(cid:48)𝐵 (cid:70)𝐶𝐷(cid:158)(cid:71) (cid:62)(cid:150) (cid:62)(cid:31)(cid:45)(cid:10) + =180°(cid:65)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)8-1(cid:19)(cid:120)(cid:121)𝐻𝐹1(cid:84)(cid:314)𝐸(cid:62)𝐺 (cid:151)𝑃 𝐻𝐹(cid:26)⊥(cid:49)𝐸(cid:50)𝐺(cid:29)(cid:62) (cid:151)∠(cid:82)𝐴(cid:268)(cid:62)∠𝐶 (cid:185) (cid:69)(cid:73)(cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71)D(cid:185)C
(cid:107) > (cid:119).E(cid:86)(cid:38)(cid:94) (cid:91)⊙(cid:62)𝑂(cid:102)(cid:50)△𝐶𝐷(cid:239)𝐸(cid:315)(cid:39)(cid:48)(cid:82)(cid:38)𝐶𝐷(cid:59)(cid:70)(cid:158)(cid:71)P𝐴(cid:62)𝐷B𝐵(cid:151)𝐶 (cid:30)(cid:71).⊙𝑂
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝑃𝐶(1)(cid:45)(cid:162)(cid:10) (cid:66) (cid:26)(cid:28)(cid:38).
(2)(cid:120)(cid:121)2(cid:62)𝐴𝐵(cid:102)(cid:50)⊙𝑂(cid:62) (cid:62)(cid:31)(cid:45)(cid:10) .
(cid:15)(cid:123)(cid:124)8-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)𝑂𝐴(cid:62) 𝑂(cid:62)𝐵 (cid:66) 𝑂𝐴(cid:26)⊥(cid:28)𝑂(cid:38)𝐵(cid:62) (cid:62) (cid:151)(cid:28)(cid:71)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:65)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 ⊙𝑂 𝐶 𝐷 𝐴𝐵
(1)(cid:150) (cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:158)(cid:71) (cid:62)(cid:31)(cid:45) + = (cid:104)
(2)(cid:150)𝐴𝐵+ ⊙𝑂= (cid:62)(cid:31)(cid:45)𝐸 (cid:48) 𝐴𝐶 (cid:59)𝐵(cid:28)𝐷(cid:65) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:123)(cid:124)𝐴𝐶8-3𝐵(cid:19)𝐷(cid:120)(cid:121)𝐴(cid:62)𝐵P(cid:151) 𝐴𝐵(cid:49)(cid:89)⊙(cid:71)𝑂(cid:62) (cid:185) (cid:151) (cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:62)(cid:28)(cid:71)(cid:69)(cid:73)(cid:151)A(cid:185)B(cid:62)(cid:82)(cid:38) (cid:70) (cid:158)(cid:71)D(cid:185)
E(cid:62)(cid:70) (cid:158)(cid:71)C(cid:65) ⊙𝑂 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 𝑃𝑂 ⊙𝑂
𝐴𝐵
(1)(cid:31)(cid:45) = (cid:65)
(2)(cid:150) ∶∠𝐴𝐷=𝐸30°∠(cid:62)𝑃(cid:102)𝐴𝐸(cid:50) (cid:62)(cid:31)(cid:45)(cid:10)(cid:264)(cid:57)(cid:25) (cid:66)(cid:316)(cid:25)(cid:65)
【题型
∠𝐴9𝐷 𝐸
三角形内切圆
𝐵
中
𝐷
求最值】
𝐴𝐷𝐵𝑃
(cid:15)(cid:106)9(cid:19)(cid:107)2025·(cid:297)(cid:269)(cid:140)(cid:317)·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)A(cid:26)(cid:318)(cid:238)(cid:151)(0,4)(cid:62)(cid:97)O(cid:71)(cid:151)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:97) (cid:151)(cid:267)(cid:268)(cid:26)(cid:29)(cid:70)x(cid:319)
(cid:158)(cid:71)B(cid:62)(cid:71)C(cid:151)(cid:320)(cid:89)(cid:321)(cid:322)(cid:29)(cid:91)(cid:89)(cid:323)(cid:71)(cid:62) (cid:319)(cid:158)D(cid:71)(cid:62)(cid:71)I(cid:151) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:152) 𝑂(cid:26)𝐴(cid:46)(cid:161)(cid:47)(cid:151) (cid:65)
𝐶𝐷⊥𝑥 △𝑂𝐶𝐷 𝐴𝐼(cid:15)(cid:123)(cid:124)9-1(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:228)(cid:25)ABCD(cid:62)AD(cid:159)6(cid:62)AB(cid:159)8(cid:62)(cid:71)P(cid:151)BC(cid:57)(cid:91)(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:62)(cid:71)Q(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:29)O(cid:91)
(cid:26)(cid:89)(cid:64)(cid:323)(cid:71)(cid:62)(cid:71)M(cid:66)CQ(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:62)(cid:152)PM(cid:26)(cid:46)(cid:196)(cid:47)(cid:66) (cid:65) △𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:124)9-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =5(cid:62) =4(cid:62) =3(cid:62)(cid:90)(cid:79)(cid:71)C(cid:256)(cid:48)(cid:57)AB(cid:59)(cid:28)(cid:26)(cid:323)(cid:29)(cid:48)CA(cid:62)CB
(cid:69)(cid:73)(cid:59)(cid:70)(cid:158)(cid:71)P(cid:62)Q(cid:62)(cid:152)△𝐴𝐵𝐶 (cid:26)𝐴(cid:27)𝐵(cid:28)(cid:29)(cid:267)(cid:268)𝐴𝐶(cid:151) 𝐵 𝐶 (cid:62)(cid:38)(cid:94)PQ(cid:39)(cid:32)(cid:26)(cid:46)(cid:161)(cid:47)(cid:151) (cid:65)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:124)9-3(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:26)(cid:82)(cid:268) (cid:26)(cid:39)(cid:151)8(cid:62)P(cid:66) (cid:91)(cid:89)(cid:323)(cid:71)(cid:62) (cid:26)(cid:24)(cid:68)(cid:69)(cid:38)(cid:70) (cid:158)(cid:71)Q(cid:62)(cid:71)I(cid:151)
(cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:62)⊙(cid:111)𝑂(cid:324)(cid:200)(cid:325)(cid:10)𝐴①𝐵 (cid:71)Q(cid:66)(cid:40)(cid:71)(cid:104)𝐴②𝐵 (cid:26)(cid:46)(cid:196)∠(cid:47)𝐴𝑃(cid:151)𝐵8(cid:104)③ (cid:26)(cid:39)(cid:151)⊙(cid:40)𝑂(cid:47)(cid:104)④ (cid:26)△(cid:46)𝐴𝑃(cid:196)𝐵
(cid:47)(cid:151)16(cid:65)(cid:275)(cid:30)𝑄(cid:326)𝐴(cid:138)(cid:26)(cid:200)(cid:325)(cid:66) (cid:107)(cid:182)(cid:326)(cid:138)𝑃(cid:200)𝑄(cid:325)(cid:26)(cid:327)(cid:9)(cid:58)(cid:328)(cid:91)(cid:119)𝑄(cid:65)𝐼 𝐴𝑃⋅𝐵𝑃
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
(cid:15)(cid:106)10(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:270)·(cid:141)(cid:255)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71) (cid:66) (cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:71) (cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)(cid:102)(cid:50)
𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐼 △𝐴𝐵𝐶(cid:62) (cid:65)(cid:150) =35°(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:151)(cid:107) (cid:119)
𝑂𝐵 𝐼𝐴 ∠𝐶𝐴𝐼 ∠𝑂𝐵𝐶
A(cid:65)15° B(cid:65)17.5° C(cid:65)20° D(cid:65)25°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)10-1(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:112)(cid:113)(cid:332)(cid:252)·(cid:141)(cid:255)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:71)O(cid:66) (cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:26)(cid:29)(cid:34)(cid:62)(cid:71)I(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62)
(cid:102)(cid:50) (cid:62) (cid:65)(cid:150) =20°(cid:62)(cid:152) (cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:151)(cid:107) (cid:119) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
𝑂𝐵 𝐼𝐴 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐼
A(cid:65)25° B(cid:65)35° C(cid:65)40° D(cid:65)45°
(cid:15)(cid:123)(cid:124)10-2(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:290)(cid:125)(cid:298)(cid:299)·(cid:141)(cid:255)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:312)(cid:313)(cid:71)M(cid:66) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) (cid:185) (cid:185) (cid:69)(cid:73)(cid:66)(cid:71)M
(cid:3)(cid:158) (cid:185) (cid:185) (cid:26)(cid:333)(cid:334)(cid:71)(cid:62)(cid:71)B(cid:86) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:91)(cid:62)(cid:256)(cid:71)A△(cid:86)𝐴𝐵𝐶 (cid:57)(cid:91)(cid:62)(cid:150)𝐴1 𝐵1 𝐶1 (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:267)
(cid:268)(cid:151)𝐵2𝐶(cid:62)(cid:152)𝐶𝐴 (cid:39)𝐴(cid:151)𝐵(cid:107) (cid:119) △𝐴1𝐵1𝐶1 𝐵1𝐶1 △𝐴1𝐵1𝐶1
𝐵𝐶
A(cid:65)2 3 B(cid:65) 3+2 C(cid:65)4 3 D(cid:65)2 3+2
(cid:15)(cid:123)(cid:124)10-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:91)·(cid:290)(cid:125)(cid:298)(cid:299)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:66) (cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:29)(cid:62)(cid:256) (cid:151) (cid:26)(cid:82)(cid:268)(cid:62)
(cid:71)E(cid:151) (cid:26)(cid:27)(cid:34)(cid:62) (cid:26)(cid:315)(cid:39)(cid:38)(cid:70) (cid:158)(cid:71)F(cid:62)(cid:102)(cid:50) (cid:65)⊙(cid:150)𝑂 =△5𝐴(cid:62)𝐵𝐶 = 10(cid:62)(cid:152) 𝐵𝐶(cid:26)(cid:39)⊙(cid:151)𝑂(cid:107) (cid:119)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 ⊙𝑂 𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐶
A(cid:65)3 B(cid:65)4 C(cid:65)5 D(cid:65)2 5【题型11 圆与圆的位置关系】
(cid:15)(cid:106)11(cid:19)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =3(cid:62) =4(cid:62) =5(cid:62)(cid:71) (cid:86) (cid:27)(cid:62)(cid:69)(cid:73)(cid:97) (cid:185) (cid:185) (cid:151)(cid:29)(cid:34)(cid:217)(cid:62)(cid:29) (cid:267)(cid:268)
(cid:151)1(cid:62)(cid:29) (cid:267)(cid:268)△(cid:151)𝐴𝐵2𝐶(cid:62)(cid:29)𝐴(cid:267)𝐶(cid:268)(cid:151)3𝐵(cid:62)𝐶(cid:29) (cid:48)(cid:29)𝐴𝐵(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:29)𝑃(cid:48)(cid:29)△𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:3)(cid:55)(cid:66)(cid:107) (cid:119)𝐴 𝐵 𝑃 𝐴
A(cid:65)(cid:27)𝐵(cid:105) B𝑃(cid:65)(cid:59)(cid:70) 𝐴 𝑃C(cid:65)(cid:49)(cid:28) 𝑃 𝐵 D(cid:65)(cid:59)(cid:76)
(cid:15)(cid:123)(cid:124)11-1(cid:19)(cid:107)2025·(cid:91)(cid:246)(cid:335)(cid:269)·(cid:308)(cid:260)(cid:119)(cid:312)(cid:313) (cid:26)(cid:267)(cid:268)(cid:66)5(cid:62) (cid:26)(cid:267)(cid:268)(cid:66)6(cid:65)(cid:29)(cid:34) (cid:86) (cid:91)(cid:65)(cid:336)(cid:220)
(cid:99)(cid:29)(cid:26)(cid:7)(cid:337)(cid:276)(cid:39)(cid:66)(cid:107) (cid:119) ⊙𝑂1 ⊙𝑂2 𝑂2 ⊙𝑂1
24 48
A(cid:65) B(cid:65) C(cid:65)10 D(cid:65)12
5 5
4
(cid:15)(cid:123)(cid:124)11-2(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:62)(cid:86) (cid:30)(cid:62) =7(cid:62) =8(cid:62)sin = (cid:65)(cid:71) (cid:86)(cid:57) (cid:91)(cid:62) =2(cid:62)(cid:97)(cid:71) (cid:151)(cid:29)(cid:34)(cid:62)
5
(cid:151)(cid:267)(cid:268)(cid:22) (cid:65)(cid:71) (cid:86)(cid:57)▱𝐴𝐵(cid:91)𝐶𝐷(cid:62)(cid:97)(cid:71)𝐴𝐵(cid:151)(cid:29)(cid:34)𝐵(cid:62)𝐶 (cid:151)(cid:267)(cid:268)𝐵(cid:22) (cid:65)𝑃(cid:120)(cid:201) 𝐴𝐵 (cid:80) 𝐴𝑃 (cid:49)(cid:28)(cid:62)(cid:336)(cid:220)𝑃 (cid:26)(cid:39) 𝐴𝑃
(cid:151) (cid:65)⊙𝑃 𝑄 𝐵𝐶 𝑄 𝐶𝑄 ⊙𝑄 ⊙𝑃 ⊙𝑄 𝐶𝑄
(cid:15)(cid:123)(cid:124)11-3(cid:19)(cid:107)24-25(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:91)(cid:246)·(cid:116)(cid:94)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:62) (cid:26)(cid:49)(cid:50) (cid:26)(cid:267)(cid:268)(cid:151)5(cid:62) =8(cid:62)(cid:71)P(cid:151)BC
(cid:26)(cid:30)(cid:71)(cid:62)(cid:97)(cid:71)P(cid:151)(cid:29)(cid:34)(cid:22) (cid:62)(cid:150) (cid:48) (cid:59)(cid:28)(cid:62)(cid:152)△𝐴𝐵(cid:26)𝐶 (cid:267)(cid:268)(cid:151)⊙ 𝑂 (cid:65) 𝐵𝐶
⊙𝑃 ⊙𝑃 ⊙𝑂 ⊙𝑃
