专题2.3实数(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(苏科)_专题2.3实数(讲义)

专题 2.3 实数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:19)....................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:19)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:19)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:19)..........................................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:19)..................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:26)(cid:54)(cid:3)(cid:46)(cid:31)(cid:19)..............................................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)11 (cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:19)..........................................................................................................................23
(cid:15)(cid:20)(cid:21)12 (cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:58)(cid:3)(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................26
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
知识点1 无理数 教 辅
(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:65)(cid:66)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:54)(cid:72)(cid:50)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
(cid:75)1(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:77)(cid:62)(cid:79)(cid:26)(cid:24)(cid:26)(cid:58)(cid:56)(cid:78)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:83) 2(cid:82)3 5(cid:84)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:88) (cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:54) (cid:26)(cid:24),(cid:83)2 (cid:82) (cid:84)(cid:85)
2
π
π π π
(cid:75)3(cid:76)(cid:72)(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:70)(cid:71)(cid:93)(cid:94)(cid:26)(cid:24),(cid:83)0.101 001 000 1…(cid:75)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:90)(cid:96)0)(cid:84)(cid:67)(cid:4)(cid:102)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:37)
(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:103)(cid:24)(cid:22)(cid:61)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:62)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:53)(cid:24)(cid:26)(cid:70)(cid:71)(cid:67)
知识点2 实数的概念及分类
1. (cid:27)(cid:28)(cid:10)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:24)(cid:67)
2. (cid:53)(cid:112)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:54)(cid:95)(cid:74)(cid:53)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:10)
(cid:75)1(cid:76)(cid:115)(cid:48)(cid:49)(cid:53)(cid:112)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:116)(cid:53)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)
(cid:118)(cid:51)(cid:24)
(cid:118)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:118)(cid:53)(cid:24)
(cid:54)(cid:23)(cid:24) 0
(cid:54)(cid:61)(cid:37)(cid:24)(cid:120)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)
(cid:119) (cid:51) (cid:24)
(cid:119)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:24)
(cid:119)(cid:53)(cid:24)
(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)
(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)2(cid:76)(cid:115)(cid:118)(cid:119)(cid:32)(cid:53)(cid:112)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:116)(cid:53)(cid:111)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:121)0(cid:121)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:67)
(cid:118)(cid:51)(cid:24)
(cid:118)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:118)(cid:53)(cid:24)
(cid:118)(cid:25)(cid:24)
(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:24) 0
(cid:119)(cid:51)(cid:24)
(cid:119)(cid:54)(cid:23)(cid:24)
(cid:119)(cid:25)(cid:24) (cid:119)(cid:53)(cid:24)
(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
+
A
A
知识点3 实数与数轴的关系 全 科
★
号
众
公
注
(cid:122)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:123)(cid:116)(cid:72)(cid:57)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:90)(cid:96)(cid:125)(cid:126)(cid:105)(cid:106)关(cid:85)(cid:127)(cid:128)(cid:126)(cid:82)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:122)(cid:90)(cid:96)(cid:125)(cid:123)(cid:105)(cid:106)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:67)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:124)
，
源
资
辅
(cid:26)(cid:125)(cid:90)(cid:90)(cid:129)(cid:56). 教
知识点4 实数范围内的有关概念
(cid:130)(cid:110) (cid:32)(cid:33) (cid:131)(cid:132)
(cid:58)(cid:127)(cid:24) (cid:133)a(cid:34)b(cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:135) + =0 3(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 3
(cid:136)(cid:24) (cid:133)a(cid:34)b(cid:134)(cid:111)(cid:136)(cid:24)(cid:82)(cid:135) 𝑎 =1 𝑏 2(cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81) 1 −
2
𝑎𝑏
>0)
(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:123)(cid:81)(cid:141)(cid:119)(cid:24)(cid:82)(cid:142)| | 0 | | =0)
(cid:139)(cid:129)(cid:140) 𝑎(𝑎 <0)
𝑎 ≥ 𝑎 0(𝑎
(cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:26)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:58)(cid:84)(cid:82)(cid:142)| |=| | | 2 |− = 𝑎|(𝑎 2 | = 2
𝑎 −𝑎 −
知识点5 实数的运算
(cid:143)(cid:25)(cid:24)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:82)(cid:62)(cid:147)(cid:116)(cid:72)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:121)(cid:151)(cid:121)(cid:152)(cid:121)(cid:153)(cid:75)(cid:153)(cid:24)(cid:62)(cid:111)(cid:154)(cid:76)(cid:121)(cid:152)(cid:78)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:155)(cid:156)(cid:116)(cid:72)(cid:148)(cid:149)(cid:77)(cid:157)(cid:78)(cid:42)(cid:31)(cid:72)(cid:89)
(cid:141)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:77)(cid:158)(cid:78)(cid:42)(cid:31)(cid:67)
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:108)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:143)(cid:25)(cid:24)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:57)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:34)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:58)(cid:163)(cid:82)
(cid:164)(cid:152)(cid:78)(cid:121)(cid:77)(cid:78)(cid:82)(cid:165)(cid:152)(cid:153)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:150)(cid:151)(cid:67)(cid:163)(cid:168)(cid:42)(cid:31)(cid:115)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:82)(cid:54)(cid:173)(cid:9)(cid:26)(cid:164)(cid:31)(cid:173)(cid:9)(cid:174)(cid:175)(cid:26)(cid:67)知识点6 实数的大小比较
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:26)(cid:78)(cid:176)(cid:143)(cid:25)(cid:24)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:57)(cid:67)
(cid:95)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:177)(cid:83)(cid:50)(cid:10)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:123)(cid:36)(cid:178)0(cid:82)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:123)(cid:37)(cid:178)0(cid:82)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:178)(cid:90)(cid:179)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)
(cid:36)(cid:26)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:36)(cid:26)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:37)(cid:85)(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:95)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:172)(cid:180)(cid:26)(cid:24)(cid:181)(cid:38)(cid:170)(cid:180)(cid:26)(cid:24)
(cid:36)(cid:67)(cid:182)(cid:183)(cid:82)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:184)(cid:54)(cid:83)(cid:50)(cid:78)(cid:176)(cid:10)
(cid:75)1(cid:76)(cid:185)(cid:128)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:148)(cid:155)(cid:186)(cid:48)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:177)(cid:67)(cid:83)(cid:38)(cid:39) 10(cid:34)3(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:187)(cid:178)( 10) =10
2
，3 =9，10>9(cid:82)(cid:188) 10>3(cid:67)
2
(cid:75)2(cid:76)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:26)(cid:78)(cid:176)(cid:189)(cid:94)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:190)(cid:191)(cid:140)(cid:167)(cid:82)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:67)
(cid:75)3(cid:76)(cid:192)(cid:95)(cid:96)(cid:193)(cid:80)(cid:9)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:194)(cid:82)(cid:116)(cid:56)(cid:57)(cid:83)(cid:50)(cid:195)(cid:196)(cid:10)
> 0 > (cid:67)
① 𝑎>𝑏≥3 ⇔>𝑎3 (cid:67)𝑏
②
【题
𝑎 型1𝑏 ⇔
无
𝑎
理数】
𝑏
+
A
(cid:15)(cid:132)1(cid:19)(cid:75)2025·(cid:197)(cid:198)·(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:20)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:203)(cid:24)(cid:199)(cid:82)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76) 科 A
全
★
号
众
公 2
A(cid:67)0 B(cid:67) 2 关 C注(cid:67)3.14 D(cid:67)
， 3
源
资
辅
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)B 教
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:210)(cid:74)(cid:70)(cid:71)(cid:10) (cid:77)(cid:78)(cid:77)(cid:62)(cid:79)(cid:26)(cid:24)(cid:82) (cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:82) (cid:92)
(cid:54)π(cid:26)(cid:24)(cid:67)(cid:195)(cid:41)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:214)(cid:215)(cid:142)(cid:116)(cid:67) ① ② ③
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)A(cid:121)0(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:217)(cid:178)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:207)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
B(cid:121) 2(cid:81)(cid:77)(cid:78)(cid:77)(cid:62)(cid:79)(cid:26)(cid:24)(cid:82)(cid:217)(cid:178)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:207)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
C(cid:121)3.14(cid:81)(cid:54)(cid:61)(cid:37)(cid:24)(cid:82)(cid:217)(cid:178)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:207)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
2
D(cid:121) (cid:81)(cid:53)(cid:24)(cid:82)(cid:217)(cid:178)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:207)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
3
(cid:188)(cid:211)(cid:10)B(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)1-1(cid:19)(cid:75)2025·(cid:220)(cid:221)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:7)(cid:226)(cid:227)500(cid:228)(cid:82)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:11)(cid:237)(cid:26)(cid:238)(cid:239)(cid:230)(cid:240)(cid:241)(cid:236)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:180)(cid:245)(cid:111)1
(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:129)(cid:246)(cid:247)(cid:245)(cid:62)(cid:104)(cid:57)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:67)(cid:111)(cid:244)(cid:248)(cid:28)(cid:249)(cid:82)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:91)(cid:24)(cid:254)(cid:130)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:255)(cid:256)(cid:93)(cid:94)(cid:90)(cid:96)(cid:36)(cid:178)3
(cid:156)(cid:37)(cid:178)4(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) (cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) (cid:75)(cid:204)(cid:205)(cid:62)(cid:257)(cid:90)(cid:76)
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)π(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:85)(cid:80)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:93)(cid:94)(cid:90)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:142)(cid:116)(cid:67)(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)3< <4(cid:85)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) (cid:75)(cid:204)π(cid:205)(cid:62)(cid:257)(cid:90)(cid:76)(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)1-2(cid:19)π(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:3)(cid:178) 5(cid:214)(cid:215)(cid:118)(cid:186)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) 5(cid:105)(cid:106)5(cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:80) B(cid:67) 5(cid:62)(cid:116)(cid:72)(cid:57)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:125)(cid:126)(cid:105)(cid:106)
C(cid:67) 5(cid:81)(cid:90)(cid:96)(cid:38) (cid:36)(cid:26)(cid:24) D(cid:67) 5(cid:81)(cid:90)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)D π
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:89)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:26)(cid:3)(cid:177)(cid:67)(cid:80)(cid:209)(cid:25)(cid:24)(cid:121)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:108)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)
(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:148)(cid:149)(cid:214)(cid:215)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)A(cid:10) 5(cid:105)(cid:106)5(cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:155)(cid:141)(cid:266)(cid:54)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:67)5(cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:111)± 5(cid:82)(cid:188)A(cid:267)(cid:268)(cid:67)
B(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:125)(cid:90)(cid:90)(cid:129)(cid:56)(cid:82) 5(cid:81)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:116)(cid:57)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:125)(cid:105)(cid:106)(cid:82)(cid:188)B(cid:267)(cid:268)(cid:67)
C(cid:10) 5 2.236(cid:82)(cid:155) 3.1416(cid:82)(cid:135) 5< (cid:82)(cid:188)C(cid:267)(cid:268)(cid:67)
D(cid:10) 5(cid:22)≈(cid:176)(cid:105)(cid:106)(cid:111)(cid:95)𝜋(cid:96)≈(cid:51)(cid:24)(cid:97)(cid:38)(cid:82)(cid:156)(cid:81)(cid:22)(cid:61)𝜋 (cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:82)(cid:217)(cid:178)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:188)D(cid:118)(cid:186)(cid:67)
(cid:188)(cid:211)(cid:10)D(cid:67)
+
A
(cid:15)(cid:219)(cid:71)1-3(cid:19)(cid:75)2025·(cid:269)(cid:198)(cid:198)(cid:270)·(cid:271)(cid:222)(cid:76)(cid:143)(cid:25)(cid:24)1.414(cid:82) 5(cid:82)0(cid:82)3 9(cid:82) 全(cid:82)
2科1
(cid:82)3
A
.1415926(cid:82)1.010010001…((cid:58)
号
★2 7
众 𝜋
公
(cid:272)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)0(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:213)(cid:100)(cid:150)1)(cid:199)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)关(cid:26)(cid:96) 注 (cid:24)(cid:81) (cid:96)(cid:67) −
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)4 教
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:275)(cid:276)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:89)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:81)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:82)(cid:68)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:54)(cid:10)(cid:92)(cid:54) (cid:26)(cid:166)(cid:278)(cid:71)(cid:239)(cid:85)(cid:77)(cid:62)(cid:79)(cid:78)(cid:26)(cid:24)(cid:85)(cid:279)(cid:280)(cid:195)(cid:281)(cid:26)(cid:24)(cid:75)(cid:83)
1.010010001…(cid:58)(cid:272)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)0(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:213)(cid:100)(cid:150)1π(cid:76)(cid:82)(cid:187)(cid:182)(cid:142)(cid:116)(cid:189)(cid:29)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 5(cid:82)3 9(cid:82) (cid:82)1.010010001…(cid:75)(cid:58)(cid:272)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)0(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:213)(cid:100)(cid:150)1(cid:76)(cid:81)(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:37)(cid:24)(cid:82)(cid:282)
2
𝜋
−
(cid:251)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:283)4(cid:96)(cid:82)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)4(cid:67)
【题型2 实数的概念理解及其性质】
(cid:15)(cid:132)2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:287)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:252)(cid:50)(cid:202)(cid:203)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:44)(cid:9)(cid:288)(cid:143)(cid:58)(cid:56)(cid:26)(cid:36)(cid:173)(cid:9)(cid:146)(cid:67)
25(cid:82) (cid:82) 0.31(cid:82) (cid:75)(cid:58)(cid:272)(cid:95)(cid:96)1(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:289)(cid:150)(cid:90)(cid:96)1(cid:76)(cid:82) 3 9(cid:82)
① ②−5𝜋 ③22 ④2.181881888⋯ ⑤
(cid:82) (cid:82) 0(cid:67)
7
⑥(cid:51)(cid:24)−3(cid:10).1 { 4 1 5 9 2 6 ⑦ … ⑧ }(cid:85)
(cid:141)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:10){ …}(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10){ …}(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) (cid:82) (cid:85) (cid:82) (cid:82) (cid:82) (cid:82) (cid:82) (cid:85) (cid:82) (cid:82)
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)①(cid:20)(cid:273)⑧(cid:274)(cid:200)①(cid:208)(cid:244)③(cid:25)(cid:24)④(cid:26)(cid:53)(cid:112)⑤(cid:82)(cid:22)⑦(cid:23)(cid:24)⑧(cid:26)(cid:27)②(cid:28)(cid:84)④(cid:290)(cid:291)(cid:125)⑤(cid:82)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:53)(cid:112)(cid:89)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)
(cid:80)(cid:209)(cid:51)(cid:24)(cid:121)(cid:141)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:53)(cid:112)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:51)(cid:24)(cid:10){ (cid:82) …}(cid:85)
(cid:141)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:10){ (cid:82) (cid:82)① (cid:82)⑧ (cid:82) (cid:82) …}(cid:85)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10){ ①(cid:82) ③(cid:82) ④…}(cid:67)⑤ ⑦ ⑧
(cid:15)(cid:219)(cid:71)2-1②(cid:19)(cid:75)2④4-25⑤(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:220)(cid:221)(cid:294)(cid:295)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:296)(cid:176)(cid:118)(cid:186)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67)(cid:25)(cid:24)(cid:53)(cid:111)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:108)(cid:119)(cid:25)(cid:24) B(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:108)(cid:184)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
C(cid:67) (cid:81)(cid:166)(cid:36)(cid:26)(cid:119)(cid:24) D(cid:67)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:24)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)−1D
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:53)(cid:112)(cid:72)(cid:89)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:53)(cid:112)(cid:72)(cid:89)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:213)(cid:90)(cid:53)(cid:206)(cid:214)(cid:215)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
+
A
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)A(cid:67)(cid:25)(cid:24)(cid:53)(cid:111)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:121)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:108)(cid:154)(cid:67)(cid:266)(cid:72)(cid:297)(cid:53)(cid:112)(cid:267)(cid:268)(cid:82)(cid:188)(cid:182)科(cid:211)(cid:212)A(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:67)
全
★
号
众
B(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:108)(cid:116)(cid:104)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:82) 2(cid:34)
注
公2(cid:26)(cid:108)(cid:111)0(cid:75)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:82)(cid:266)(cid:72)(cid:297)(cid:296)(cid:176)(cid:267)(cid:268)(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)
关
，
源
(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:67) 辅 资 −
教
C(cid:67)(cid:119)(cid:24)(cid:298)(cid:54)(cid:166)(cid:36)(cid:140)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:82) (cid:38) (cid:36)(cid:82)(cid:266)(cid:72)(cid:297)(cid:296)(cid:176)(cid:267)(cid:268)(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:67)
D(cid:67)(cid:80)(cid:209)(cid:25)(cid:24)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)−(cid:22)0(cid:23).5(cid:24)(cid:109)−1(cid:110)(cid:111)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:118)(cid:186)(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:67)
(cid:188)(cid:211)(cid:10)D(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)2-2(cid:19)(cid:50)(cid:202)(cid:296)(cid:176)(cid:118)(cid:186)(cid:26)(cid:54) (cid:67)
(cid:25)(cid:24)(cid:62)(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:299)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:85) 2(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) (cid:62)(cid:193)(cid:80)(cid:9)(cid:26)(cid:24)(cid:123)(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) (cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) (cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:137)
①(cid:90)(cid:125)(cid:123)(cid:129)(cid:56)(cid:90)(cid:96)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:85) 3②(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 3(cid:67)③ ④π ⑤
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) / ⑥−
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:80)①(cid:209)⑥(cid:25)⑥(cid:24)①(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:34)(cid:53)(cid:112)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:26)(cid:92)(cid:49)(cid:213)(cid:90)(cid:53)(cid:206)(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:171)(cid:204)(cid:205)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:25)(cid:24)(cid:62)(cid:81)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:299)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:301)(cid:302)(cid:118)(cid:186)(cid:82)(cid:188) (cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
2(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:188) (cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85) ①
(cid:62)(cid:193)(cid:80)(cid:9)(cid:26)(cid:24)(cid:123)(cid:81)②(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:301)(cid:302)(cid:267)(cid:268)(cid:82)(cid:83) (cid:82)(cid:188) (cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:85)(cid:188) (cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85) π ③
π(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:137)(cid:90)(cid:125)(cid:123)④(cid:129)(cid:56)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:188) (cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
⑤3(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 3(cid:82)(cid:188) (cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
−(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) (cid:67) ⑥
(cid:15)(cid:125)(cid:303)(cid:19)(cid:207)①(cid:20)(cid:200)⑥(cid:208)(cid:26)(cid:81)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:53)(cid:112)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:92)(cid:49)(cid:82)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:26)(cid:92)(cid:49)(cid:82)(cid:292)(cid:304)(cid:305)(cid:207)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:29)(cid:207)(cid:20)
(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)2-3(cid:19)(cid:75)2025(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:306)(cid:307)·(cid:308)(cid:20)(cid:293)(cid:309)(cid:76)(cid:252)(cid:50)(cid:202)(cid:203)(cid:24)(cid:288)(cid:171)(cid:58)(cid:56)(cid:26)(cid:310)(cid:247)(cid:124)(cid:75)(cid:288)(cid:44)(cid:9)(cid:76)(cid:10)
1
2 3(cid:85) (cid:85) 3 (cid:85) 0.54(cid:85) 0.13(cid:85) (cid:85) 0(cid:85) (cid:85) ( 7) (cid:85) (cid:75)(cid:58)(cid:272)(cid:95)
3 9
π 2
(cid:96)① 2(cid:97)(cid:98)② 0(cid:26)−(cid:96)(cid:24)③(cid:213)(cid:100)−6(cid:150)4(cid:90)(cid:76)④(cid:67) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧−23 ⑨ ⑩0.3020020002⋯
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:10) (cid:85)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) (cid:85)
(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:10) (cid:85)
(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:10) (cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)②(cid:208)③(cid:25)④(cid:24)(cid:82)⑤(cid:42)⑦(cid:57)⑧(cid:25)⑨(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)①(cid:148)⑥(cid:149)⑩(cid:213)(cid:90)(cid:53)(cid:112)①(cid:121)④(cid:311)⑤(cid:312)(cid:67)⑥(cid:20)⑨(cid:20)⑩(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)②(cid:275)③(cid:276)⑧(cid:10)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:109)(cid:110)
+
A
A
科
(cid:111)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:53)(cid:111)(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:108)(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:72)(cid:89)0(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:81)(cid:313)(cid:22)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
★
(cid:64)(cid:37)全(cid:24)(cid:85)(cid:51)(cid:24)(cid:108)(cid:53)(cid:24)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:67)
号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 3 = (cid:82)( 7) =，7(cid:82)
源
资
辅 2
教
(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:10) ∵ −64 −4 (cid:85)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) ②③④(cid:85)⑤⑦⑧⑨
(cid:118)(cid:25)(cid:24)(cid:10)①⑥⑩ (cid:85)
(cid:119)(cid:25)(cid:24)(cid:10)①④⑤⑥(cid:67)⑨⑩
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)②(cid:10)③⑧ (cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:67)
【题型3 无 ② 理 ③ 数 ④ 的 ⑤ 估算 ⑦ 】 ⑧⑨ ①⑥⑩ ①④⑤⑥⑨⑩ ②③⑧
(cid:15)(cid:132)3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:284)(cid:285)(cid:87)(cid:314)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:315)(cid:290) 2<| |< 17(cid:82)(cid:156) (cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:135)(cid:266)(cid:54) (cid:140)(cid:26)(cid:96)(cid:24)(cid:111)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67)5 B(cid:67)6 C(cid:67)7 𝑥 D𝑥(cid:67)8 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)B
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:26)(cid:81)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:187)(cid:316)(cid:317)(cid:116)(cid:300) 17< < 2(cid:120) 2< < 17(cid:82)(cid:195)(cid:41)
1< 2<2(cid:82)4< 17<5(cid:82) (cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:169)(cid:155)(cid:116)(cid:300)(cid:204)(cid:205). − 𝑥 − 𝑥
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 2<| |< 1𝑥7(cid:82)
17< <∵ 2(cid:120)𝑥2< < 17(cid:82)
∴− 𝑥 − 𝑥1< 2<2(cid:82)4< 17<5(cid:82) (cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)
∵ (cid:26)(cid:140)(cid:111) (cid:82) (cid:82) (cid:82)2(cid:82)3𝑥(cid:82)4(cid:85)
∴(cid:266)𝑥 (cid:54) (cid:140)−(cid:26)4(cid:96)(cid:24)−(cid:54)3 6(cid:96)−2(cid:82)
(cid:188)∴ (cid:211)(cid:10)𝑥B(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)3-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:270)(cid:318)(cid:319)(cid:270)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:25)(cid:24) (cid:82) (cid:82) (cid:82) (cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:103)(cid:320)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:82)(cid:135)(cid:104)(cid:105)(cid:106) 3
(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1−
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)𝑑C 𝑐 𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:82)(cid:164)(cid:30)(cid:31)(cid:94) < 3<0(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:24)(cid:35)(cid:300)(cid:171)
< <0= <1< (cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:171)(cid:204)(cid:205)(cid:67) −1 1−
(cid:15)−1(cid:216)(cid:29)𝑏(cid:19)(cid:29)(cid:10) 𝑐 1< 𝑑3< 4(cid:82)
1< 3<2∵(cid:82)
+
A
A
科
∴ < 3< (cid:82) ★ 全
号
众
公
注
∴ −2<− 3<−01(cid:82) 关
，
源
资
辅
(cid:80)∴(cid:209)−(cid:24)1(cid:35)(cid:116)1−(cid:290)(cid:82) <教<0= <1< (cid:82)
(cid:135)(cid:104)(cid:105)(cid:106) 3(cid:26)−(cid:81)1 (cid:82)𝑏 𝑐 𝑑
(cid:188)(cid:211)(cid:10)C(cid:67)1− 𝑏
(cid:15)(cid:219)(cid:71)3-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:322)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:50)(cid:202)(cid:51)(cid:24)(cid:34)3 (cid:166)(cid:327)(cid:190)(cid:26)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67) −67 D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)−5B −4 −3 −2
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:26)(cid:78)(cid:176)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:80)(cid:209)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 3 <3 <3 (cid:82)
<3 ∵ <−91(cid:82).125 −67 −64
∴(cid:34)−34.5 (cid:166)(cid:327)−6(cid:190)7(cid:26)(cid:51)−4(cid:24)(cid:81) (cid:82)
(cid:188)∴(cid:211)(cid:10)−B6(cid:67)7 −4
(cid:15)(cid:219)(cid:71)3-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:284)(cid:285)(cid:87)(cid:314)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:143)(cid:24)(cid:11)(cid:199)(cid:82)(cid:328)(cid:251)(cid:116)(cid:72)(cid:185)(cid:128)(cid:329)(cid:98)(cid:30)(cid:46)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:190)(cid:191)
(cid:140)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:10)4< 6< 9(cid:82)(cid:142)2< 6<3(cid:82)
∵ 6(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)2(cid:82)
∴ 6(cid:26)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) 6 (cid:67)
(∴1)(cid:189) 17(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:108)−(cid:37)2(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:67)
(2)(cid:315)(cid:290) +2(cid:26)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:81)3(cid:82) + (cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:81)4(cid:82) (cid:81) 12(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:82)(cid:189) + (cid:26)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)5𝑎(1) 17(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)3𝑎4(cid:82) 𝑏(cid:37)−1(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) 17 (cid:67) 𝑐 3𝑎−𝑏 𝑐
(2)±4 −4
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:108)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:72)(cid:89)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:330)(cid:331)(cid:20)(cid:102)(cid:275)(cid:276)(cid:58)(cid:3)(cid:27)(cid:28)
(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:75)1(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:78)(cid:176)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:108)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:189)(cid:94)a(cid:121)b(cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:165)(cid:332)(cid:333)(cid:20)(cid:102)(cid:189)(cid:94)c(cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:160)(cid:167)(cid:334)(cid:335) + (cid:189)
(cid:336)(cid:140)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:80)(cid:209)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:116)(cid:300)(cid:204)(cid:205)(cid:67) 3𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:29)(cid:10)(cid:75)1(cid:76) 16< 17< 25(cid:82)
+
A
4< 17<5(cid:82) ∵ 科 A
全
★
号
众
∴ 17(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)4(cid:82)
注
公
关
，
源
∴ 17(cid:26)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) 17 辅(cid:67) 资
教
(cid:75)∴ 2(cid:76)(cid:29)(cid:10) +2(cid:26)(cid:157)(cid:78)−4(cid:80)(cid:81)3(cid:82) + (cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:81)4(cid:82)c(cid:81) 12(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:82)
+2=∵35𝑎=27(cid:82) + =43𝑎=𝑏1−6(cid:82)1
3 2
∴5𝑎=5(cid:82) =2(cid:82) 3𝑎 𝑏−1
∴𝑎9< 1𝑏2< 16(cid:82)
∵3< 12<4(cid:82)
∴ 12(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:81)3(cid:82)
∴ =3(cid:82)
∴𝑐 + = +3=16(cid:82)
∴3𝑎−𝑏+𝑐(cid:26)(cid:158)15(cid:78)−(cid:80)2(cid:81)±4(cid:67)
∴
【
3
题
𝑎−
型
𝑏4 𝑐
实数的性质】
(cid:15)(cid:132)4(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:124)·(cid:337)(cid:338)(cid:197)(cid:339)(cid:340)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:25)(cid:24) (cid:82) (cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82) (cid:82) (cid:134)(cid:111)(cid:136)(cid:24)(cid:82)x(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:111) 3(cid:82)(cid:71)
(cid:239) +( + + ) + + +3 (cid:26)(cid:140)(cid:81) (cid:67)𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
2
(cid:15)𝑥(cid:204)(cid:205)(cid:19)𝑎4±𝑏 3𝑐𝑑 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐𝑑(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:136)(cid:24)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:102)(cid:49)(cid:82)(cid:300)(cid:171)
+ = = =± 3(cid:82)(cid:53) = 3(cid:108) = 3(cid:82)(cid:95)(cid:74)(cid:341)(cid:342)(cid:148)(cid:149)(cid:46)(cid:31)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
𝑎(cid:15)(cid:216)𝑏(cid:29)(cid:19)0(cid:29),𝑐𝑑(cid:10)(cid:187)1(cid:20),𝑥(cid:102)(cid:82)(cid:300)(cid:10) +𝑥 = 𝑥= − =± 3(cid:82)
=3(cid:82) 𝑎 𝑏 0,𝑐𝑑 1,𝑥
2
∴𝑥 +( + + ) + + +3 =3+(0+1)× 3+ 0+3 1=3+ 3+1=4+ 3
2
∴(cid:120)𝑥 +𝑎( +𝑏 +𝑐𝑑 𝑥) + 𝑎 +𝑏 +3𝑐𝑑 =3+(0+1)×( 3)+ 0+3 1= 3+1= 3(cid:85)
2
(cid:188)𝑥(cid:204)(cid:205)(cid:111)𝑎(cid:10)4𝑏± 𝑐3𝑑(cid:67)𝑥 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 − 3− 4−
3
(cid:15)(cid:219)(cid:71)4-1(cid:19)(cid:75)1(cid:76) (cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81)_______(cid:85)
7
(cid:75)2(cid:76)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:123)(cid:111) 5(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:81)_______(cid:85)
(cid:75)3(cid:76)3 27 (cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81)_____ 3 _ − _(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:81)_______(cid:82)(cid:136)(cid:24)(cid:81)_______(cid:67)
8
7 3 3 2
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(cid:75)1(cid:76) (cid:85)(cid:75)2(cid:76) 5 (cid:85)(cid:75)3(cid:76) (cid:82) (cid:82)
3 2 2 3
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:32)−3(cid:33)(cid:82)(cid:157)(cid:78)−(cid:80)(cid:82)(cid:189)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:89)(cid:136)(cid:24)(cid:82)(cid:118)(cid:186)(cid:23)(cid:29)(cid:203)(cid:48)(cid:49)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)
+
A
(cid:277)(cid:67) 科 A
全
★
号
众
(cid:75)1(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:136)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:85) 公
注
关
，
源
(cid:75)2(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)辅(cid:26)(cid:48)资(cid:49)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
教
(cid:75)3(cid:76)(cid:164)(cid:340)(cid:278)3 27 (cid:82)(cid:165)(cid:80)(cid:209)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:121)(cid:136)(cid:24)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
8
3 7
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:75)1(cid:76) (cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81) (cid:82)
7 3
7
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) (cid:85)
3
(cid:75)2(cid:76) 5 (cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 5(cid:82)
5 (cid:26)(cid:139)−3(cid:129)(cid:140)(cid:81) 53(cid:82)−
(cid:188)(cid:58)−3(cid:127)(cid:24)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)3(cid:123)−(cid:111) 5(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:81) 5 (cid:82)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) 5 (cid:85) 3− −3
(cid:75)3(cid:76)3 27 = 3 (cid:82) −3
8 2
(cid:188)3 27 (cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 3 (cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:81) 3 (cid:82)(cid:136)(cid:24)(cid:81) 2 (cid:82)
8 2 2 3
3 3−2
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) (cid:82) (cid:82) (cid:67)
2 2 3
−
1
(cid:15)(cid:219)(cid:71)4-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:322)(cid:228)(cid:168)(cid:124)·(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:346)·(cid:347)(cid:348)(cid:293)(cid:309)(cid:76) 6(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) (cid:82)(cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81) (cid:82)| 3 |= (cid:67)
− π −π(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) 6 3/ 3+
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)π(cid:26)(cid:32)(cid:33)π−(cid:82)(cid:22)(cid:23)−(cid:24)(cid:26)(cid:30)π(cid:31)(cid:85)(cid:80)(cid:209)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)“(cid:118)(cid:119)(cid:9)(cid:58)(cid:127)(cid:26)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)”(cid:186)(cid:48)
1
6(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:152)(cid:349)(cid:81)1(cid:26)(cid:24)(cid:134)(cid:111)(cid:136)(cid:24)(cid:82)(cid:209)(cid:182)(cid:46)(cid:31) (cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:85)(cid:350)(cid:164)(cid:38)(cid:39) 3(cid:34) (cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:160)(cid:167)(cid:340)(cid:278)(cid:139)(cid:129)(cid:140)
(cid:142)−(cid:116)(cid:67) π π
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 6(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:81) 6(cid:82)
1÷ 1 = (cid:82) −
∵ π π
1
(cid:26)(cid:136)(cid:24)(cid:81) (cid:82)
∴π 3< (cid:82) π
∵| 3 π|= 3(cid:67)
∴(cid:188)(cid:204)(cid:205)−π(cid:111)(cid:10) π6−(cid:82) (cid:82) 3(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)4-3(cid:19)(cid:75)24π-25π(cid:258)−(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:351)(cid:352)(cid:285)(cid:77)·(cid:263)(cid:199)(cid:76) 15(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:34) 15(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:108)(cid:84)(cid:178) (cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)0 5− 5−
+
A
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:26)(cid:81)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:92)(cid:49)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:164)(cid:189)科(cid:29) A15(cid:26)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:34) 15(cid:26)(cid:139)(cid:129)
全
★
号
众
(cid:140)(cid:82)(cid:165)(cid:202)(cid:71)(cid:189)(cid:108)(cid:142)(cid:116)(cid:67) 公 5− 5−
注
关
，
源
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 15(cid:26)(cid:58)辅(cid:127)(cid:24)资(cid:111) + 15(cid:82)
教
15(cid:26)(cid:139)(cid:129)5(cid:140)−(cid:81) 15(cid:82) −5
5− + 15+ 155−=0
(cid:188)∴−(cid:204)5(cid:205)(cid:111)(cid:10)0(cid:67)5−
【题型5 实数与数轴】
(cid:15)(cid:132)5(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:353)(cid:285)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:168)(cid:358)(cid:103)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:25)(cid:24)a(cid:121)b(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:129)(cid:56)(cid:125)(cid:26)(cid:103)(cid:320)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:82)
(cid:340)(cid:278) (cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
2
(𝑎−𝑏) −|𝑎|
A(cid:67)a B(cid:67)b C(cid:67) D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)B 2𝑎−𝑏 𝑏−2𝑎
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)(cid:275)(cid:276)(cid:271)(cid:100)(cid:80)(cid:71)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:108)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:67)
(cid:164)(cid:80)(cid:209)(cid:24)(cid:35)(cid:360)(cid:94) <0< (cid:82)(cid:148)(cid:155)(cid:300)(cid:171)| |> (cid:82)(cid:209)(cid:182)(cid:116)(cid:300) <0(cid:82)(cid:340)(cid:278)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:108)(cid:189)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:160)(cid:167)(cid:41)(cid:361)
(cid:163)(cid:112)(cid:212)(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:171)𝑎(cid:204)(cid:205)(cid:67) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:187)(cid:24)(cid:35)(cid:116)(cid:290) <0< (cid:82)| |> (cid:82) <0(cid:82)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
( ) | |=( ) ( )= (cid:67)
2
(cid:188)(cid:204) 𝑎− (cid:205) 𝑏 (cid:111)−(cid:10)𝑎 B(cid:67) 𝑏−𝑎 − −𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:219)(cid:71)5-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:322)(cid:228)(cid:168)(cid:124)·(cid:221)(cid:362)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:118)(cid:78)(cid:70) (cid:26)(cid:175)(cid:349)(cid:111)3(cid:82)(cid:363)(cid:125) (cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:82)(cid:156)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)
(cid:24)(cid:111)2(cid:82)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:54)(cid:90)(cid:125) (cid:143)(cid:125) (cid:26)(cid:170)(cid:364)(cid:82)(cid:133) = (cid:82)(cid:135)(cid:125)𝐴𝐵(cid:105)𝐶(cid:106)𝐷(cid:26)(cid:24)(cid:111)(cid:75) (cid:76) 𝐴 𝐴
𝐸 𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐸
A(cid:67) 3 B(cid:67) 3 C(cid:67) 3 D(cid:67) 3
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)B 2− − −2
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:82)(cid:189)(cid:90)(cid:96)(cid:24)(cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:175)(cid:349)(cid:46)(cid:31)(cid:7)(cid:71)(cid:116)(cid:300) = =
3(cid:82)(cid:165)(cid:80)(cid:209)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:95)(cid:125)(cid:365)(cid:366)(cid:46)(cid:31)(cid:7)(cid:71)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:67) 𝐴𝐸 𝐴𝐷
+
A
A
科
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) (cid:118)(cid:78)(cid:70) (cid:26)(cid:175)(cid:349)(cid:111)3(cid:82)
★
全
号
众
公
注
= 3(cid:82) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 关
，
源
资
辅
∴𝐴𝐷= = 3(cid:82) 教
∴(cid:125)𝐴𝐸 (cid:105)𝐴(cid:106)𝐷(cid:26)(cid:24)(cid:111)2(cid:82)
∵(cid:125)𝐴(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:111) 3(cid:82)
(cid:188)∴ (cid:211)𝐸(cid:10)B(cid:67) 2−
(cid:15)(cid:219)(cid:71)5-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:220)(cid:285)(cid:367)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:105)(cid:106)2(cid:82) 5(cid:26)(cid:129)(cid:56)(cid:125)(cid:53)(cid:312)(cid:111) (cid:121) (cid:82)(cid:125) (cid:81)
(cid:26)(cid:199)(cid:125)(cid:82)(cid:135)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81)(cid:75) (cid:76) 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵
𝐴
A(cid:67) 5 B(cid:67) 5 C(cid:67) 5 D(cid:67) 5
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)C 2− 4− 5−
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:24)(cid:35)(cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:82)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:95)(cid:125)(cid:98)(cid:26)(cid:365)(cid:366)(cid:82)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)(cid:369)(cid:57)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:26)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:95)(cid:125)(cid:98)(cid:26)(cid:365)(cid:366)(cid:67)
(cid:187)(cid:315)(cid:290)(cid:370)(cid:300)(cid:125) (cid:34)(cid:125) (cid:97)(cid:98)(cid:26)(cid:365)(cid:366) (cid:82)(cid:57)(cid:125) (cid:129)(cid:56)(cid:26)(cid:24)(cid:151)(cid:371) (cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)𝐵(cid:143)(cid:24)(cid:35)𝐶 (cid:124)(cid:105)(cid:106)2(cid:121)𝐶5𝐵(cid:26)(cid:129)(cid:56)(cid:125)𝐶(cid:53)(cid:312)(cid:111) (cid:121) (cid:82)𝐶𝐵
= 5 (cid:82)∵ 𝐶 𝐵
∴𝐶𝐵 −2(cid:125) (cid:81) (cid:26)(cid:199)(cid:125)(cid:82)
∵ 𝐶= 𝐴𝐵= 5 (cid:82)
∴(cid:125)𝐴𝐶 (cid:105)𝐶(cid:106)𝐵(cid:26)(cid:24)(cid:81)−22(cid:82)(cid:125) (cid:143)(cid:125) (cid:170)(cid:180)(cid:82)
∵(cid:125)𝐶(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81) 5𝐴 =𝐶 5(cid:82)
∴(cid:188)(cid:211)𝐴(cid:10)C(cid:67) 2− −2 4−
(cid:15)(cid:219)(cid:71)5-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:323)(cid:324)(cid:372)(cid:333)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:315)(cid:290)(cid:125) (cid:82) (cid:81)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:95)(cid:125)(cid:82) =2(cid:82)(cid:125) (cid:143)(cid:125) (cid:26)(cid:172)
(cid:364)(cid:82)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:111) 2(cid:82)(cid:45)(cid:125) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:111) (cid:67) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴
𝐴 − 𝐵 𝑚
(1)(cid:25)(cid:24) (cid:26)(cid:140)(cid:81)___________(cid:85)
(2)(cid:189)| 𝑚 | | |(cid:26)(cid:140)(cid:85)
(3)(cid:143)(cid:24)𝑚(cid:35)−2(cid:124)−(cid:54)1−(cid:82)𝑚 (cid:95)(cid:125)(cid:53)(cid:312)(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:24) (cid:108) (cid:82)(cid:156)(cid:54)| +4|(cid:34) (cid:134)(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)(cid:189) + (cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(1) 𝐶2+𝐷2 𝑐 𝑑 2𝑐 𝑑−4 2𝑐 5𝑑
(2)1 −
+
A
A
科
(3) + (cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:111)4 ★ 全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:53)2𝑐(cid:206)(cid:19)5𝑑(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:26)(cid:81)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:82)(cid:141)(cid:119)(cid:24)关(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:92)(cid:49)(cid:84)(cid:290)(cid:291)(cid:125)(cid:67)
，
源
资
辅
(cid:75)1(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:95)(cid:125)教(cid:97)(cid:98)(cid:26)(cid:365)(cid:366)(cid:116)(cid:300)(cid:204)(cid:205)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:187)(cid:24)(cid:35)(cid:116)(cid:290)(cid:10)0< <1(cid:82)(cid:165)(cid:80)(cid:209)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:102)(cid:49)(cid:340)(cid:278)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
(cid:75)3(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:141)(cid:119)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)𝑚(cid:189)(cid:29) = (cid:82) =4(cid:82)(cid:165)(cid:148)(cid:90)(cid:373)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:29)(cid:10) (cid:125)B(cid:143)(cid:24)𝑐(cid:35)(cid:124)−2(cid:125)A𝑑(cid:172)(cid:172)(cid:364)(cid:82)(cid:125)A(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:111) 2(cid:82) =2(cid:82)
= 2+2(cid:85) ∵ − 𝐴𝐵
(cid:75)∴𝑚2(cid:76)(cid:29)−(cid:10)(cid:187)(cid:24)(cid:35)(cid:116)(cid:290)(cid:10)0< <1(cid:82)
<0(cid:82) >0(cid:82) 𝑚
∴𝑚| −2 | | 1−|𝑚= ( )=1(cid:85)
(cid:75)∴ 𝑚3(cid:76)−2(cid:29)−(cid:10)1−| 𝑚+4|2(cid:34)−𝑚− 1(cid:134)−𝑚(cid:111)(cid:58)(cid:127)(cid:24)(cid:82)
| +4|+∵ 2𝑐 =0(cid:82)𝑑−4
∴(cid:374)2|𝑐 +4|(cid:82) 𝑑−4(cid:375)(cid:111)(cid:141)(cid:119)(cid:24)(cid:82)(cid:188) +4=0(cid:156) =0(cid:82)
(cid:142) 2=𝑐 (cid:82) =𝑑−44(cid:82) 2𝑐 𝑑−4
𝑐 +−2=𝑑2×( )+5×4= +20=16(cid:82)
∴2𝑐+5𝑑(cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)−(cid:78)2(cid:80)4(cid:67) −4
∴2𝑐 5𝑑【题型6 实数的大小比较】
(cid:15)(cid:132)6(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:323)(cid:324)(cid:261)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:133) =3 7(cid:82) = 5(cid:82) =2(cid:82)(cid:135)a(cid:82)b(cid:82)c(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:177)(cid:111)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) < B(cid:67) < < C𝑎(cid:67) < <𝑏 𝑐 D(cid:67) < <
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)𝑏C≤𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:82)(cid:164)(cid:376)(cid:57)(cid:377)(cid:378)(cid:176)(cid:30)(cid:31)a(cid:82)b(cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:165)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 1<7<8(cid:82)4<5<9(cid:82)
3 1<3 7<3∵8(cid:82) 4< 5< 9(cid:82)
∴(cid:142)1<3 7<2(cid:82)2< 5<3(cid:82)
1< <2(cid:82)2< <3(cid:82)
∴(cid:374) =𝑎2(cid:82) 𝑏
𝑐< < (cid:82)
∴(cid:188)𝑎(cid:211)(cid:10)𝑐C(cid:67)𝑏
(cid:15)(cid:219)(cid:71)6-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:269)(cid:198)(cid:198)(cid:270)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:252)(cid:50)(cid:202)(cid:25)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:143)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:121)(cid:361)(cid:38)(cid:39)(cid:282)(cid:251)(cid:26)(cid:36)(cid:37)
+
A
A
科
(cid:75)(cid:57)“<”(cid:379)(cid:327)(cid:76)(cid:67)
★
全
号
众
公
8 关 注
16 3 8 ，
3 资 源
辅
教
,− ,−1,
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(cid:69)(cid:29)(cid:206)(cid:82) 8 < <3 8< 16
3
− −1
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:121)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:82)(cid:114)(cid:186)(cid:292)(cid:293)(cid:380)(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:381)(cid:171)(cid:203)(cid:24)
(cid:129)(cid:56)(cid:26)(cid:125)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)(cid:164)(cid:143)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:381)(cid:171)(cid:203)(cid:24)(cid:129)(cid:56)(cid:26)(cid:125)(cid:82)(cid:382)(cid:383)(cid:24)(cid:35)(cid:142)(cid:116)(cid:38)(cid:39)(cid:282)(cid:251)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 16=4(cid:82)3 8=2(cid:82)
(cid:25)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:143)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:10)
(cid:187)(cid:24)(cid:35)(cid:116)(cid:300)(cid:82) 8 < <3 8< 16(cid:67)
3
∴ − −1
(cid:15)(cid:219)(cid:71)6-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:384)(cid:198)(cid:126)(cid:385)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:38)(cid:39)(cid:95)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:10)4 3 25(cid:75)(cid:57)“>”(cid:120)“<”(cid:288)(cid:386)(cid:76)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)>
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:38)(cid:39)(cid:82)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:80)(cid:209)4=3 64(cid:82)3 64>3 25(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:94)(cid:204)(cid:205)(cid:67)(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 4=3 64(cid:82)64>25(cid:82)
3 64>3 25(cid:82)∵
∴4>3 25(cid:82)
(cid:188)∴(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)>(cid:67)
1
(cid:15)(cid:219)(cid:71)6-3(cid:19)(cid:75)2025(cid:387)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:388)(cid:197)(cid:295)(cid:389)·(cid:11)(cid:390)(cid:200)(cid:391)(cid:76)(cid:133) < <0(cid:82)(cid:135) ,3 , (cid:90)(cid:48)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
3
−1 𝑎 𝑎,𝑎 𝑎𝑎
1 1 1
A(cid:67) (cid:166)(cid:37)(cid:82) (cid:166)(cid:36)B(cid:67)3 (cid:166)(cid:37)(cid:82)a(cid:166)(cid:36) C(cid:67) (cid:166)(cid:37)(cid:82)a(cid:166)(cid:36) D(cid:67) (cid:166)(cid:37)(cid:82)3 (cid:166)(cid:36)
3
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)𝑎
A
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:82)(cid:211)(cid:392)(cid:90)(cid:96)(cid:41)(cid:161)(cid:26)(cid:24)(cid:334)(cid:335)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:82)(cid:143)(cid:266)(cid:393)(cid:26)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:211)(cid:392)(cid:90)(cid:96)(cid:394)(cid:395)
(cid:26)(cid:24)(cid:334)(cid:335)(cid:167)(cid:38)(cid:39)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19) < <0,
(cid:116)(cid:254) ∵−1 (cid:82) 𝑎 (cid:396)(cid:397) = 3 = 1 =
3
∴𝑎 −0.001 𝑎 −0.000000001, 𝑎 −0.1,𝑎 −1000,
1
(cid:166)(cid:37)(cid:82) (cid:166)(cid:36)(cid:67)
+
3 A A
(cid:188)∴(cid:211)𝑎 (cid:10)A(cid:67)𝑎
★
全 科
号
众
公
注
【题型7 实数的混合运算】 ， 关
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:132)7(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:220)(cid:285)(cid:245)(cid:398)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:46)(cid:31)(cid:10)2 +| 6| ( ) (cid:67)
3 2
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)3+ 6 2− − −3
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:164)(cid:31)(cid:152)(cid:78)(cid:121)(cid:340)(cid:278)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:121)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:31)(cid:150)(cid:151)(cid:176)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)2 +| 6| ( )
3 2
2− − −3
=8+ 6
=3+ 6−(cid:67)2−3
(cid:15)(cid:219)(cid:71)7-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:323)(cid:324)(cid:399)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:46)(cid:31)(cid:10)( ) | 2|+ 8= (cid:67)
2025
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) 2 −1 − 1−
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:164)(cid:31)(cid:152)(cid:78)(cid:82)(cid:340)(cid:278)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:82)(cid:271)(cid:100)(cid:80)(cid:71)(cid:82)(cid:165)(cid:31)(cid:150)(cid:151)(cid:142)(cid:116)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:31)
(cid:176)(cid:135)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:297)(cid:71)= ( 2 )+2 2
= 2+1+2 2 −1− −1
=−12−(cid:67)(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) 2(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)7-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:323)(cid:324)(cid:261)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76) 9+| 2|×( ) 3 125= (cid:67)
2024
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) 2 / + 2 1− −1 −
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)−3(cid:273)−(cid:274)3(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:121)(cid:152)(cid:78)(cid:121)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:89)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:253)(cid:91)(cid:24)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:48)
(cid:49)(cid:108)(cid:32)(cid:33)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)(cid:207)(cid:20)(cid:400)(cid:274)(cid:53)(cid:312)(cid:80)(cid:209)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:121)(cid:152)(cid:78)(cid:121)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:213)(cid:373)(cid:340)(cid:278)(cid:71)(cid:239)(cid:199)
(cid:26)(cid:203)(cid:212)(cid:82)(cid:160)(cid:167)(cid:115)(cid:333)(cid:42)(cid:31)(cid:162)(cid:44)(cid:148)(cid:149)(cid:46)(cid:31)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:297)(cid:71)=3+( 2 ×
=3+ 2 −1) 1−5
= 2 −1−5
(cid:188)(cid:204)(cid:205)−3(cid:111)(cid:10) 2 (cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)7-3(cid:19)(cid:75)−234-25(cid:322)(cid:228)(cid:168)(cid:124)·(cid:284)(cid:285)(cid:87)(cid:314)·(cid:347)(cid:348)(cid:293)(cid:309)(cid:76)(cid:143)(cid:90)(cid:100)“(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)”(cid:199)(cid:82)(cid:405)(cid:406)(cid:37)(cid:407)(cid:108)(cid:37)(cid:408)(cid:118)(cid:143)(cid:283)(cid:163)(cid:409)(cid:241)(cid:410)
(cid:411)“(cid:412)(cid:413)”(cid:67)(cid:249)(cid:251)(cid:90)(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:418)(cid:82)(cid:419)(cid:178)(cid:126)(cid:171)(cid:244)“(cid:412)(cid:413)”(cid:266)(cid:143)(cid:26)“(cid:410)(cid:411)(cid:420)(cid:421)”(cid:67)(cid:160)(cid:155)(cid:82)(cid:249)(cid:251)(cid:422)(cid:171)(cid:244)(cid:90)(cid:96)(cid:423)(cid:20)(cid:82)“(cid:412)(cid:413)”
(cid:26)(cid:103)(cid:320)(cid:187)(cid:25)(cid:24)x(cid:424)(cid:48)(cid:82)(cid:156)(cid:425)(cid:426)(cid:78)(cid:43)| |= 5(cid:67)
+
A
(cid:37)(cid:407)(cid:427)(cid:428)(cid:380)(cid:296)(cid:10)“(cid:328)(cid:429)(cid:300)x(cid:26)(cid:140)(cid:56)(cid:430)𝑥(cid:81)−33+ 5(cid:85)” 科 A
全
★
号
众
(cid:37)(cid:408)(cid:431)(cid:200)(cid:432)(cid:433)(cid:167)(cid:296)(cid:434)(cid:10)“(cid:62)(cid:129)(cid:82)(cid:328)(cid:429)(cid:300)(cid:184)(cid:54)(cid:116)(cid:104)(cid:81)(cid:435)公(cid:90)(cid:96)(cid:140)(cid:67)”
注
关
，
源
(cid:396)(cid:397)(cid:37)(cid:408)(cid:266)(cid:296)(cid:26)(cid:435)(cid:90)(cid:96)(cid:140)辅(cid:81)(cid:75)资 (cid:76)
教
A(cid:67) 5 B(cid:67) + 5
C(cid:67)3− 5 D(cid:67)−(cid:72)3(cid:124)(cid:123)(cid:62)(cid:129)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)−3A−
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:340)(cid:278)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:189)(cid:29)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) | |= 5(cid:82)
=± 5(cid:82)∵ 𝑥−3
∴𝑥−=33+ 5(cid:120) = 5(cid:82)
∴(cid:37)𝑥 (cid:408)(cid:266)(cid:296)(cid:26)(cid:435)𝑥(cid:90)(cid:96)3(cid:140)−(cid:81) 5(cid:67)
(cid:188)∴ (cid:211)(cid:10)A(cid:67) 3−
【题型8 程序设计与实数运算】
(cid:15)(cid:132)8(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:221)(cid:362)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:81)(cid:90)(cid:96)(cid:24)(cid:140)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:75)| |<25(cid:76)
𝑥(1)(cid:192)(cid:439)(cid:335)(cid:26)x(cid:111) (cid:194)(cid:82)(cid:439)(cid:94)(cid:26)y(cid:140)(cid:81)______(cid:85)
(2)(cid:133)(cid:439)(cid:335)(cid:25)(cid:24)x−(cid:167)1(cid:82)4(cid:440)(cid:419)(cid:439)(cid:62)(cid:94)y(cid:140)(cid:82)(cid:135)(cid:266)(cid:54)(cid:425)(cid:426)(cid:274)(cid:189)(cid:26)x(cid:26)(cid:140)(cid:111)______(cid:85)
(3)(cid:133)(cid:439)(cid:94)(cid:26)y(cid:81) 5(cid:82)(cid:189)x(cid:26)(cid:119)(cid:51)(cid:24)(cid:140)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(1) 2(cid:85)
(2)1(cid:82)2(cid:82)3(cid:85)
(3) (cid:120) (cid:67)
(cid:15)(cid:53)−3(cid:206)(cid:19)−(cid:207)23(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:336)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:34)(cid:25)(cid:24)(cid:48)(cid:49)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:75)1(cid:76)(cid:187)(cid:20)(cid:102)(cid:376)(cid:57)(cid:441)(cid:321)(cid:199)(cid:26)(cid:31)(cid:176)(cid:82)(cid:355)(cid:327)(cid:46)(cid:31)(cid:189)(cid:140)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:80)(cid:209)0(cid:108)1(cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:81)(cid:282)(cid:207)(cid:442)(cid:82)(cid:186)(cid:48)| |(cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:148)(cid:155)(cid:189)(cid:300) (cid:26)(cid:140)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
(cid:75)3(cid:76)(cid:187) (cid:81) 5(cid:443)(cid:360)| |(cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:148)(cid:155)(cid:189)(cid:300) (cid:26)(cid:140)(cid:142)𝑥(cid:116)−2(cid:67) 𝑥
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)𝑦(cid:75)1(cid:76)(cid:29)(cid:10)(cid:192)𝑥−2= (cid:194)(cid:82)| |𝑥=| |=16(cid:82) 16=4(cid:82) 4=2(cid:82) 2(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)
(cid:192)(cid:439)(cid:335)(cid:26) (cid:111) (cid:194)(cid:82)𝑥 (cid:439)−(cid:94)1(cid:26)4 (cid:140)(cid:81)𝑥−22(cid:85) −14−2
∴(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)𝑥2(cid:85)−14 𝑦
+
A
(cid:75)2(cid:76) 0(cid:108)1(cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:81)(cid:282)(cid:207)(cid:442)(cid:82) 科 A
全
★
号
众
| ∵|=0(cid:82) 公
注
关
，
源
(cid:29)∴ 𝑥(cid:300)−2=2(cid:82) 辅 资
教
|𝑥 |=1(cid:82)
(cid:29)∵(cid:300)𝑥−=23(cid:120) =1(cid:82)
(cid:266)𝑥(cid:54)(cid:425)(cid:426)(cid:274)𝑥(cid:189)(cid:26) (cid:26)(cid:140)(cid:111)1(cid:82)2(cid:82)3(cid:85)
∴(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)1(cid:82)2(cid:82)3𝑥(cid:85)
(cid:75)3(cid:76)(cid:133)(cid:444)1(cid:100)(cid:42)(cid:31)(cid:81) 5(cid:82)
( 5) =5(cid:82)
2
∴| |=5(cid:82)
(cid:29)∴ 𝑥(cid:300)−2=7(cid:120) = (cid:82)
(cid:111)𝑥(cid:119)(cid:51)(cid:24)𝑥(cid:82) −3
∵ (cid:439)𝑥 (cid:335)(cid:26) (cid:140)(cid:111) (cid:85)
∴(cid:133)(cid:444)2(cid:100)(cid:42)𝑥 (cid:31)(cid:81)−35(cid:82)
( 5) =5(cid:82)5 =25(cid:82)
2
2
∴| |=25(cid:82)
∴(cid:29)𝑥(cid:300)−2=27(cid:120) = (cid:82)
(cid:111)𝑥(cid:119)(cid:51)(cid:24)(cid:82)𝑥 −23
∵ (cid:439)𝑥 (cid:335)(cid:26) (cid:140)(cid:111) (cid:82)
∴| |<25𝑥(cid:82) −23
∴ 𝑥(cid:26)(cid:119)(cid:51)(cid:24)(cid:140)(cid:375)(cid:111) (cid:120) (cid:67)
(cid:15)∴𝑥(cid:219)(cid:71)8-1(cid:19)(cid:75)23-2−43(cid:322)(cid:228)−(cid:168)23(cid:124)·(cid:445)(cid:446)(cid:398)(cid:447)(cid:448)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:115)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:82)(cid:104)(cid:449)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)2(cid:26)(cid:81)(cid:75)(cid:450)(cid:450)(cid:76)
A(cid:67) =2(cid:82) =2 B(cid:67) = 5(cid:82) = C(cid:67) = 5(cid:82) =1 D(cid:67) = (cid:82) =
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)𝑥 D 𝑦 𝑥 𝑦 −1 𝑥 − 𝑦 𝑥 −2 𝑦 −2
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:189)(cid:334)(cid:24)(cid:71)(cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:67)(cid:80)(cid:209)(cid:211)(cid:212)(cid:199) (cid:82) (cid:26)(cid:140)(cid:82)(cid:211)(cid:392)(cid:129)(cid:56)(cid:26)(cid:334)(cid:24)(cid:71)(cid:82)(cid:361)(cid:451)x(cid:82)y(cid:26)(cid:140)
+
A
A
科
(cid:334)(cid:335)(cid:334)(cid:24)(cid:71)(cid:148)(cid:149)(cid:189)(cid:140)(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:94)(cid:195)(cid:359)(cid:67)(cid:23)(cid:29)(cid:20)(cid:102)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:439)(cid:335)(cid:26)𝑥(cid:82)𝑦★ (cid:26)(cid:140)全(cid:211)(cid:392)(cid:129)(cid:56)(cid:26)(cid:334)(cid:24)(cid:71)(cid:81)(cid:29)(cid:424)(cid:452)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
号
众
公
注
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)A(cid:67)(cid:192) =2(cid:82) =2(cid:194)(cid:82)(cid:187)(cid:178)关= (cid:82)(cid:135)(cid:439)(cid:94)(cid:26)𝑥(cid:195)(cid:359)𝑦(cid:111)(cid:10) + =2 +2=6(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)
，
源
辅 资 2 2
(cid:20)(cid:102)(cid:85) 𝑥教 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
B(cid:67)(cid:192) = 5(cid:82) = (cid:194)(cid:82)(cid:187)(cid:178) > (cid:82)(cid:135)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:10) = 5 ( )=6(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
2
2
𝑥 𝑦 −1 𝑥 𝑦 𝑥 −𝑦 − −1
C(cid:67)(cid:192)(cid:439)(cid:335) = 5(cid:82) =1(cid:194)(cid:82)(cid:187)(cid:178) < (cid:82)(cid:135)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:10) + = 5 +1=6(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)
2
2
(cid:102)(cid:85) 𝑥 − 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 −
D(cid:67)(cid:192) = (cid:82) = (cid:194)(cid:82)(cid:187)(cid:178) = (cid:82)(cid:135)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:10) + =( ) +( )=2(cid:82)(cid:188)(cid:182)(cid:211)(cid:212)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:67)
2 2
(cid:188)(cid:211)(cid:10)𝑥D(cid:67)−2 𝑦 −2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 −2 −2
(cid:15)(cid:219)(cid:71)8-2(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:323)(cid:324)(cid:399)(cid:368)·(cid:347)(cid:348)(cid:293)(cid:309)(cid:76)(cid:143)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:199)(cid:82)(cid:439)(cid:335) (cid:26)(cid:140)(cid:81)64(cid:194)(cid:82)(cid:439)(cid:94)(cid:26)
(cid:140)(cid:81) (cid:67) 𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19) 2(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:121)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:334)(cid:24)(cid:71)(cid:189)(cid:140)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:43)(cid:44)(cid:441)(cid:321)(cid:46)(cid:31)(cid:82)(cid:355)(cid:453)(cid:195)(cid:359)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:142)
(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:439)(cid:335)x(cid:26)(cid:140)(cid:81)64(cid:194)(cid:82)
(cid:135) 64=8(cid:82)
(cid:396)(cid:397)3 8=2(cid:82)
(cid:454)(cid:182)2(cid:26)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:111) 2(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:439)(cid:94)y(cid:26)(cid:140)(cid:82)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10) 2(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)8-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:384)(cid:324)(cid:384)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:54)(cid:90)(cid:96)(cid:24)(cid:140)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:82)(cid:45)(cid:48)(cid:26)(cid:439)(cid:335)(cid:140)(cid:111)0(cid:171)100(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:455)(cid:43)
(cid:83)(cid:321)(cid:85)(cid:192)(cid:439)(cid:94) (cid:140)(cid:111) 2(cid:194)(cid:82)(cid:439)(cid:335)(cid:26)x(cid:140)(cid:81) (cid:67)
𝑦
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)2(cid:120)64
+
A
A
科
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:189)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:189)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)全(cid:80)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:116)(cid:300)(cid:456)(cid:54)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)
★
号
众
公
注
关
(cid:359)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:194)(cid:82)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:457)(cid:369)(cid:81) 2(cid:85)，(cid:192)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:167)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:194)(cid:82)(cid:135) =( 2) =2(cid:85)(cid:192)
源
资
辅 2
教
(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:167)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:194)(cid:82)(cid:396)(cid:397)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:133)(cid:444)(cid:271)(cid:100)(cid:254)(cid:31)𝑥(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)
(cid:111) 2(cid:194)(cid:82)(cid:135)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)( 2) =2(cid:82)(cid:135)(cid:116)(cid:360)(cid:94)x(cid:26)(cid:140)(cid:85)(cid:133)(cid:444)(cid:210)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111) 2(cid:194)(cid:82)(cid:116)(cid:360)(cid:94)
2
(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)8 =512(cid:82)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:82)(cid:209)(cid:182)(cid:116)(cid:300)(cid:204)(cid:205)(cid:67)
3
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) (cid:133)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:167)(cid:266)(cid:300)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:396)(cid:397)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:62)(cid:116)(cid:104)(cid:111) 2(cid:82)
(cid:456)(cid:54)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:194)(cid:82)(cid:439)(cid:94)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:457)(cid:369)(cid:81) 2(cid:85)
∴
(cid:192)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:167)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:194)(cid:82)(cid:135) =( 2) =2(cid:85)
2
(cid:192)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:167)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:194)(cid:82)(cid:396)(cid:397)𝑥 (cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:82)
(cid:133)(cid:444)(cid:271)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111) 2(cid:194)(cid:82)(cid:135)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)( 2) =2(cid:82)
2
(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)2 =8(cid:82)
3
∴ =8 =64(cid:85)
2
∴𝑥
(cid:133)(cid:444)(cid:210)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111) 2(cid:194)(cid:82)(cid:135)(cid:444)(cid:271)(cid:100)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)( 2) =2(cid:82)
2
(cid:444)(cid:271)(cid:100)(cid:254)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)2 =8(cid:82)(cid:135)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:254)(cid:157)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111)8 =512(cid:82)(cid:62)(cid:218)(cid:41)(cid:20)(cid:102)(cid:85)
3 3
∴(cid:458)(cid:124)(cid:266)(cid:302)(cid:82) =2(cid:120) =64(cid:82)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)𝑥2(cid:120)64(cid:67)𝑥
【题型9 新定义下的实数运算】
1 1 1 1
(cid:15)(cid:132)9(cid:19)(cid:328)(cid:251)(cid:252) (cid:110)(cid:111)(cid:54)(cid:23)(cid:24) ( 1)(cid:26)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:82)(cid:83)(cid:10)2(cid:26)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:81) = (cid:82)-2(cid:26)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:81) = (cid:67)(cid:83)
( ) 3
1−𝑎 𝑎 𝑎≠ 1−2 −1 1− −2
(cid:359) = (cid:82) (cid:81) (cid:26)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:82) (cid:81) (cid:26)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:82) (cid:81) (cid:26)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:82)…(cid:82)(cid:99)(cid:182)(cid:112)(cid:360)(cid:82)(cid:396)(cid:397) + + +
𝑎1 −3 +𝑎2 𝑎1(cid:26)(cid:140)(cid:81)(cid:75) (cid:76)𝑎3 𝑎2 𝑎4 𝑎3 𝑎1−𝑎2 𝑎3−𝑎4 ⋯⋯
𝑎202 A 3 (cid:67) −𝑎2 1 0 3 24 𝑎2025 B(cid:67) C(cid:67) 11 D(cid:67) 23
12 4 12
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)−
D
−3 −
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:80)(cid:209)(cid:459)(cid:136)(cid:24)(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:46)(cid:31)(cid:227)(cid:73)(cid:212)(cid:242)(cid:243)(cid:24)(cid:202)(cid:460)(cid:243)(cid:87)(cid:263)(cid:32)(cid:63)(cid:64)(cid:82)(cid:87)(cid:263)(cid:111)3(cid:461)(cid:148)(cid:90)(cid:373)(cid:53)(cid:206)(cid:218)(cid:9)(cid:462)(cid:463)(cid:59)(cid:60)(cid:82)
23 23
(cid:186)(cid:48)(cid:122)(cid:210)(cid:96)(cid:212)(cid:26)(cid:108)(cid:462)(cid:463)(cid:111) (cid:108) (cid:82)(cid:181)(cid:212)(cid:24)(cid:111)2025(cid:82)(cid:116)(cid:51)(cid:153)(cid:87)(cid:263)3(cid:82)(cid:300)(cid:171)(cid:181)(cid:108)(cid:26)(cid:105)(cid:233)(cid:71)(cid:67)
12 12
(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:54)(cid:23)(cid:24)−(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:46)(cid:31)(cid:82)(cid:63)(cid:64)(cid:464)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:48)(cid:49)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)1. (cid:46)(cid:31)(cid:24)(cid:202)(cid:227)(cid:73)(cid:212)(cid:10)
+
A
A
科
= (cid:82) = 1 = 1 (cid:82) = 1 = 4 (cid:82) = 1 = ★ 全
( ) 4 1 3 4 众 号
4 公3
注
𝑎1 −3 𝑎2 1− −3 𝑎3 1− ， 关𝑎4 1− −3
(cid:187)(cid:182)(cid:116)(cid:290)(cid:82)(cid:63)(cid:64)(cid:464)(cid:111)3(cid:10) 1 ,资 4 (cid:67) 源
教
辅43
2. (cid:53)(cid:206)(cid:218)(cid:9)(cid:462)(cid:463)(cid:59)(cid:60)(cid:10) −3,
(cid:105)(cid:233)(cid:71)(cid:111) + + + + (cid:82)(cid:218)(cid:9)(cid:115)+ + (cid:462)(cid:463)(cid:461)(cid:122)(cid:210)(cid:96)(cid:212)(cid:111)(cid:90)(cid:465)(cid:82)(cid:218)(cid:9)(cid:222)
(cid:71)(cid:99)(cid:100)(cid:111)𝑎+1−𝑎2+(cid:108)𝑎3−+𝑎4 (cid:82)⋯(cid:129)⋯(cid:56)(cid:26)𝑎2(cid:108)02(cid:53)3−(cid:312)𝑎2(cid:111)02(cid:10)4 𝑎2025 ,−, ,−,⋯
(cid:444)(cid:90)(cid:465)(cid:10) ,−, + −, = ,− 1 + 4 = 23 (cid:82)
4 3 12
𝑎1−𝑎2 𝑎3 −3− −
(cid:444)(cid:271)(cid:465)(cid:10) + =3+ 1 4 = 23 (cid:82)
4 3 12
−𝑎4 𝑎5−𝑎6 −
(cid:122)(cid:95)(cid:465)(cid:75)6(cid:212)(cid:76)(cid:26)(cid:108)(cid:111) 23 + 23 =0(cid:82)(cid:466)(cid:181)(cid:212)(cid:24)2025(cid:111)(cid:467)(cid:24)(cid:96)(cid:87)(cid:263)(cid:75)675(cid:465)(cid:76)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:90)(cid:465)(cid:111)(cid:467)(cid:24)(cid:465)(cid:82)(cid:108)(cid:111) 23 (cid:67)
12 12 12
3. (cid:46)(cid:31)(cid:181)(cid:108)(cid:10) − −
23 23
(cid:181)(cid:465)(cid:24)2025÷3=675(cid:465)(cid:82)(cid:467)(cid:24)(cid:465)(cid:75)338(cid:465)(cid:76)(cid:108)(cid:111) (cid:82)(cid:468)(cid:24)(cid:465)(cid:75)337(cid:465)(cid:76)(cid:108)(cid:111) (cid:82)(cid:181)(cid:108)(cid:111)(cid:10)
12 12
23 23 23 −
338× +337× =
12 12 12
(cid:188)(cid:211)(cid:10)D−(cid:67) −
(cid:15)(cid:219)(cid:71)9-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:269)(cid:198)(cid:469)(cid:470)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:243)(cid:129)(cid:25)(cid:24) (cid:82) (cid:48)(cid:49)(cid:90)(cid:74)(cid:42)(cid:31)(cid:10) ※ = (cid:82)(cid:135) 4※3 (cid:84)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏−𝑏 −8(cid:178)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67) B(cid:67) C(cid:67)2 D(cid:67)6
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)−6B −2
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:275)(cid:276)(cid:59)(cid:48)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:78)(cid:176)(cid:81)(cid:29)(cid:424)(cid:452)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)(cid:80)(cid:209)(cid:393)(cid:94)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:78)(cid:176)(cid:252)(cid:71)(cid:239)
(cid:436)(cid:340)(cid:111)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:148)(cid:90)(cid:373)(cid:46)(cid:31)(cid:300)(cid:94)(cid:204)(cid:205)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) ※ = (cid:82)
4※3 =∵2𝑎※(𝑏 )𝑎=𝑏2−𝑏×( ) ( )= (cid:67)
(cid:188)∴ (cid:211)B(cid:67)−8 −2 −2 − −2 −2
(cid:15)(cid:219)(cid:71)9-2(cid:19)(cid:75)23-24(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:471)(cid:285)(cid:472)(cid:407)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:57)“*”(cid:105)(cid:106)(cid:90)(cid:74)(cid:47)(cid:42)(cid:31)(cid:10)(cid:129)(cid:178)(cid:137)(cid:102)(cid:118)(cid:25)(cid:24)a(cid:82)b(cid:123)(cid:54) =
+ (cid:67)(cid:132)(cid:83)4 9= 9+4=7(cid:82)(cid:396)(cid:397)15 64= (cid:67) 𝑎∗𝑏 𝑏
(cid:15)𝑎(cid:204)(cid:205)(cid:19)23 ∗ ∗
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:275)(cid:276)(cid:315)(cid:290)(cid:47)(cid:42)(cid:31)(cid:176)(cid:135)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:3)(cid:277)(cid:67)(cid:80)(cid:209)(cid:315)(cid:290)(cid:47)(cid:42)(cid:31)(cid:82)
(cid:164)(cid:46)(cid:31)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:82)(cid:165)(cid:46)(cid:31)(cid:150)(cid:176)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
+
A
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)15 64= 64+15=8+15=23(cid:82) 科 A
全
★
号
众
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)23(cid:67) ∗ 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:219)(cid:71)9-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)辅(cid:168)(cid:50)资·(cid:220)(cid:221)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:168)(cid:358)(cid:103)·(cid:347)(cid:348)(cid:293)(cid:309)(cid:76)(cid:328)(cid:251)(cid:252) ={ }(cid:65)(cid:473)(cid:41)M(cid:82)(cid:336)(cid:199)1(cid:82)3(cid:82)x
教
(cid:65)(cid:66)(cid:473)(cid:41)M(cid:26)(cid:226)(cid:474)(cid:67)(cid:473)(cid:41)(cid:199)(cid:26)(cid:226)(cid:474)(cid:394)(cid:54)(cid:186)(cid:48)(cid:32)(cid:75)(cid:83)x(cid:475)(cid:160)(cid:476)(cid:143)(cid:76)(cid:82)(cid:134)(cid:477)𝑀(cid:32)(cid:75)(cid:83)1,3,𝑥 1(cid:82) 3(cid:76)(cid:82)(cid:22)(cid:44)(cid:32)(cid:75)(cid:142)
(cid:478)(cid:219)(cid:226)(cid:474)(cid:26)(cid:162)(cid:44)(cid:82)(cid:473)(cid:41)(cid:62)(cid:219)(cid:76)(cid:67)(cid:133)(cid:473)(cid:41) ={ }(cid:82)(cid:328)(cid:251)(cid:296) = (cid:67)(cid:315)(cid:290)(cid:473)(cid:41) 𝑥=≠{0,| 𝑥| ≠}(cid:82)(cid:473)(cid:41) =
(cid:82)(cid:133) = (cid:82)(cid:135) + (cid:26)(cid:140)(cid:81)𝑁(cid:75) (cid:76)𝑥,1,3 𝑀 𝑁 𝐴 𝑥 ,𝑦 𝐵
𝑥,𝑥A𝑦(cid:67), 𝑥4−𝑦 𝐴 𝐵B(cid:67)2𝑥 𝑦 C(cid:67)0 D(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)D −2
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:121)(cid:334)(cid:24)(cid:71)(cid:189)(cid:140)(cid:121)(cid:31)(cid:265)(cid:158)(cid:78)(cid:80)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:82)(cid:195)(cid:41)(cid:315)(cid:290)(cid:316)(cid:317)(cid:189)(cid:94) (cid:26)(cid:140)(cid:81)
(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)(cid:80)(cid:209)(cid:473)(cid:41)(cid:26)(cid:134)(cid:477)(cid:32)(cid:116)(cid:300)| | 0(cid:82) 0(cid:82)(cid:360)(cid:94) =0(cid:82)(cid:300)(cid:171) = (cid:82)(cid:165)(cid:80)(cid:209) = (cid:29)𝑥,𝑦(cid:94) (cid:26)(cid:140)
(cid:142)(cid:116)(cid:29)(cid:204)(cid:67) 𝑥 ≠ 𝑦≠ 𝑥−𝑦 𝑥 𝑦 𝐴 𝐵 𝑦
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:187)(cid:473)(cid:41) (cid:26)(cid:134)(cid:477)(cid:32)(cid:116)(cid:300)| | 0(cid:82) 0(cid:82)
0(cid:82) 0(cid:82) 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦≠
∴𝑥(cid:473)≠(cid:41) (cid:199)𝑥(cid:26)𝑦(cid:226)≠(cid:474) =0(cid:82)
∴ 𝐵=0(cid:82)(cid:142) =𝑥−(cid:82)𝑦
(cid:374)∴𝑥−𝑦= (cid:82) 𝑥 𝑦
∵𝐴 𝐵=| |>0(cid:82)
∴𝑥𝑦(cid:108) (cid:123)𝑥(cid:111)(cid:119)(cid:24)(cid:82)
∴𝑥 =𝑦 (cid:82)
(cid:374)∴𝑥𝑦 −0𝑥(cid:82)
∵=𝑥≠ (cid:82)
∴𝑦= −1= (cid:82)
∴𝑥+ 𝑦= −1+( )= (cid:67)
(cid:188)∴(cid:211)𝑥 (cid:10)𝑦D(cid:67)−1 −1 −2
【题型10 无理数整数部分的有关计算】
(cid:15)(cid:132)10(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:270)(cid:318)(cid:270)(cid:446)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:479)(cid:285)(cid:81)(cid:199)(cid:307)(cid:229)(cid:250)(cid:376)(cid:57)(cid:480)(cid:481)(cid:482)(cid:287)(cid:26)(cid:90)(cid:74)(cid:313)(cid:285)(cid:483)(cid:394)(cid:82)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:479)(cid:285)(cid:26)
(cid:70)(cid:484)(cid:485)(cid:90)(cid:252)(cid:486)(cid:487)(cid:82)(cid:282)(cid:26)(cid:245)(cid:488)(cid:34)(cid:166)(cid:36)(cid:489)(cid:488)(cid:97)(cid:38)(cid:111) 26 (cid:82)(cid:133) 26 (cid:490)(cid:178)(cid:95)(cid:96)(cid:379)(cid:491)(cid:51)(cid:24)n(cid:108) +1(cid:97)(cid:98)(cid:82)(cid:135)n(cid:26)
(cid:140)(cid:81) (cid:67) −1 −1 𝑛
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)4 辅 资
教
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:164)(cid:30)(cid:31)(cid:94)5< 26<6(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:171)4< 26 <5(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:29)(cid:204)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 25<26<36(cid:82) −1
25< 26<∵ 36(cid:82)(cid:142)5< 26<6(cid:82)
∴4< 26 <5(cid:82)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24) −261 (cid:26)(cid:140)(cid:490)(cid:178)(cid:95)(cid:96)(cid:379)(cid:491)(cid:51)(cid:24) (cid:108) +1(cid:97)(cid:98)(cid:82)
∵ =4(cid:82) −1 𝑛 𝑛
(cid:188)∴(cid:204)𝑛 (cid:205)(cid:111)4(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)10-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:284)(cid:221)(cid:492)(cid:323)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:451)(cid:245)(cid:111)8(cid:82)(cid:489)(cid:111)4(cid:26)(cid:245)(cid:78)(cid:70)(cid:493)(cid:432)(cid:53)(cid:494)(cid:107)3(cid:96)(cid:210)(cid:246)(cid:70)
(cid:167)(cid:82)(cid:495)(cid:496)(cid:497)(cid:107)(cid:90)(cid:96)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:135)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:245)(cid:166)(cid:327)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:81)(cid:75) (cid:76)
A(cid:67)4 B(cid:67)5 C(cid:67)6 D(cid:67)7(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)C
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:176)(cid:135)(cid:82)(cid:164)(cid:376)(cid:57)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:175)(cid:349)(cid:7)(cid:71)(cid:189)(cid:94)(cid:36)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:180)(cid:245)(cid:82)
(cid:165)(cid:376)(cid:57)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:176)(cid:135)(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:176)(cid:135)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)(cid:187)(cid:20)(cid:102)(cid:300)(cid:82)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:175)(cid:349)(cid:111)4×8=32(cid:82)
(cid:180)(cid:245)(cid:111) 32(cid:82)
∴ 5.5 < 32< 36(cid:82)
2
∵5.5< 32<6(cid:82)
∴(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:245)(cid:166)(cid:327)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:81)6(cid:82)
∴(cid:188)(cid:211)(cid:10)C(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)10-2(cid:19)(cid:75)23-24(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:284)(cid:221)(cid:498)(cid:326)·(cid:263)(cid:264)(cid:76)(cid:133) 6+ 5(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:81)m(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:81)n(cid:82)(cid:135)| |(cid:111)
(cid:75) (cid:76) 𝑛−𝑚
A(cid:67) 5 B(cid:67) 5 C(cid:67) 5 D(cid:67)8
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)B−10 10− −2
+
A
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:82)(cid:164)(cid:80)(cid:209)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:30)(cid:31)科(cid:189)(cid:94)A= =6+ 5 = 5 (cid:82)
全
★
号
众
(cid:165)(cid:340)(cid:278)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:142)(cid:116). 公 𝑚 8,𝑛 −8 −2
注
关
，
源
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10) 4<5<9辅 资
教
2< 5<3 ∵
∴8<6+ 5<9
∴ = =6+ 5 = 5 (cid:82)
∴𝑚| 8|,𝑛=| 5 −|8=| 5−2 |= 5(cid:82)
∴(cid:188)𝑛(cid:211)−(cid:10)𝑚B −2−8 −10 10−
(cid:15)(cid:219)(cid:71)10-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:270)(cid:318)(cid:499)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:503)(cid:10)(cid:90)(cid:96)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)(cid:62)(cid:36)(cid:178)(cid:253)(cid:96)(cid:24)(cid:26)(cid:166)(cid:36)(cid:51)
(cid:24)(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)(cid:253)(cid:96)(cid:24)(cid:34)(cid:282)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:26)(cid:459)(cid:26)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:10)1.4(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)1(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)
=0.4(cid:85) 3(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)1(cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) 3 (cid:85)(cid:165)(cid:83)(cid:82) (cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111) (cid:82)(cid:37)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:111)
1|.4−1 ( )|=0.2(cid:67)(cid:187)(cid:182)(cid:300)(cid:171)(cid:10)(cid:133) 3= + (cid:82)(cid:336)−(cid:199)1 x(cid:81)(cid:51)(cid:24)−(cid:82)3(cid:156).80< <1(cid:82)(cid:135)−4=1(cid:82) = 3 (cid:67)(cid:80)(cid:209)
(cid:502)−(cid:503)3.8(cid:82)−(cid:504)−(cid:204)4(cid:50)(cid:202)(cid:452)(cid:20)(cid:10) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 −1
(1)(cid:133) 10= + (cid:82)(cid:336)(cid:199)m(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0< <1(cid:82)(cid:135) = (cid:82) = (cid:85)
(2)(cid:133) =𝑚+ 𝑛26(cid:82)(cid:336)(cid:199)a(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0<𝑛 <1(cid:82)(cid:189)𝑚| + | ( 𝑛 )(cid:26)(cid:140)(cid:85)
(3)(cid:133)8−𝑎17𝑏= + (cid:82)(cid:336)(cid:199)p(cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0<𝑏<1(cid:82)(cid:189) 𝑎 (cid:26)𝑏(cid:140)−(cid:67)𝑏−1
4− 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝−𝑞(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(1)3, 10
(2)3 −3
(3) 17
(cid:15)(cid:53)(cid:206)−(cid:19)6(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:26)(cid:46)(cid:31)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:82)(cid:186)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:81)(cid:29)
(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:75)1(cid:76)(cid:80)(cid:209)2< 5<3(cid:142)(cid:116)(cid:300)(cid:94)(cid:195)(cid:196)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:164)(cid:300)(cid:94) + = 26(cid:82)(cid:148)(cid:155)(cid:189)(cid:94) =2(cid:82) = 26(cid:82)(cid:334)(cid:335)(cid:189)(cid:94)(cid:140)(cid:142)(cid:116)(cid:85)
(cid:75)3(cid:76)(cid:164)(cid:189)(cid:94)𝑎=𝑏 8−= 17 =𝑎 17𝑏(cid:82)(cid:334)6−(cid:335)(cid:189)(cid:140)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:75)1𝑝(cid:76)(cid:29)−(cid:10)1,𝑞3<4−10<−4((cid:82)−11)0=5− + (cid:82)(cid:336)(cid:199) (cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0< <1
(cid:135) = = 10 ∵(cid:85) 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛
(cid:75)𝑚2(cid:76)(cid:29)3(cid:10),𝑛 −=3 + 26(cid:82)
+ = ∵8−2𝑎6(cid:82)𝑏
∴a𝑎(cid:81)(cid:51)𝑏(cid:24)(cid:82)8−5< 26<6(cid:82)
+
A
∵ =2(cid:82) = 26(cid:82) 科 A
全
★
号
众
∴|𝑎+ | (𝑏 6)−= 26 26 = 注26 公+ 26=3(cid:67)
关
，
源
∴(cid:75)𝑎3(cid:76)𝑏4−<𝑏−117<58(cid:82)− 辅−(6资− −1) 8− −5
教
<∵ 17<0(cid:82)
∴−1 174−= + (cid:82)(cid:336)(cid:199) (cid:81)(cid:51)(cid:24)(cid:82)(cid:156)0< <1(cid:82)
∵(cid:80)4−(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:300)𝑝(cid:82)𝑞= 𝑝= 17 𝑞= 17 (cid:82)
∴ = 𝑝 17−)1=,𝑞 174− (cid:67) −(−1) 5−
𝑝
【
−
题
𝑞
型
−111 − (
实
5−
数运算的实际
−
应
6
用】
(cid:15)(cid:132)11(cid:19)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:245)(cid:78)(cid:70) (cid:26)(cid:245)(cid:111)2cm(cid:82)(cid:489)(cid:111)1cm(cid:67)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:75)1(cid:76)(cid:451)(cid:245)(cid:78)(cid:70) (cid:148)(cid:149)(cid:161)(cid:192)(cid:26)(cid:53)(cid:494)(cid:75)(cid:505)(cid:94)(cid:53)(cid:494)(cid:247)(cid:76)(cid:82)(cid:449)(cid:53)(cid:494)(cid:167)(cid:26)(cid:321)(cid:70)(cid:104)(cid:497)(cid:107)(cid:90)(cid:96)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:361)(cid:505)(cid:94)(cid:266)(cid:497)(cid:26)
(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:85)(cid:75)(cid:113)(cid:94)𝐴(cid:3)𝐵𝐶(cid:277)𝐷(cid:125)(cid:108)(cid:24)(cid:209)(cid:76)
(cid:75)2(cid:76)(cid:189)(cid:266)(cid:497)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:26)(cid:180)(cid:245)(cid:67)(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:53)(cid:494)(cid:78)(cid:176)(cid:62)(cid:257)(cid:90)(cid:82)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:69)(cid:29)(cid:206)(cid:85)(cid:75)2(cid:76)(cid:497)(cid:107)(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:245)(cid:111) 2cm.
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:80)(cid:209)AB=2AD(cid:82)(cid:116)(cid:381)(cid:171)CD(cid:26)(cid:199)(cid:125)(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:53)(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:165)(cid:506)(cid:129)(cid:246)(cid:247)(cid:53)(cid:494)(cid:90)(cid:100)(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:507)(cid:306)
(cid:107)(cid:90)(cid:96)(cid:47)(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:45)(cid:497)(cid:107)(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:245)(cid:111) cm(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:175)(cid:349)(cid:58)(cid:84)(cid:300)(cid:171)(cid:78)(cid:43)(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:189)(cid:29)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82) 𝑥
AB=2AD(cid:82)(cid:381)(cid:171)CD,AB(cid:26)(cid:199)(cid:125)(cid:82)(cid:83)(cid:321)(cid:266)(cid:106)(cid:82)(cid:116)(cid:252)(cid:508)(cid:70)(cid:53)(cid:494)(cid:107)4(cid:96)(cid:84)(cid:509)(cid:355)(cid:246)(cid:210)(cid:246)(cid:70)(cid:82)(cid:165)(cid:497)(cid:107)(cid:90)(cid:96)(cid:47)(cid:26)(cid:118)(cid:78)
∵(cid:70)(cid:85)
(cid:75)2(cid:76)(cid:45)(cid:497)(cid:107)(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:245)(cid:111) cm(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:300) =1×2=2(cid:82)
2
= 2(cid:75)(cid:119)(cid:140)(cid:510)(cid:371)(cid:76) 𝑥 𝑥
(cid:204)∴𝑥(cid:10)(cid:497)(cid:107)(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:70)(cid:180)(cid:245)(cid:111) 2cm(cid:67)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:125)(cid:303)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:82)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)(cid:80)(cid:209)(cid:321)(cid:70)(cid:26)(cid:279)全(cid:125)(cid:148)(cid:149)(cid:53)(cid:494)(cid:67)
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:219)(cid:71)11-1(cid:19)(cid:226)(cid:511)(cid:263)(cid:98)(cid:512)(cid:513)(cid:514)(cid:360)(cid:94)“(cid:122)(cid:425)10关0(cid:226)(cid:151)50(cid:226)”(cid:26)(cid:403)(cid:404)((cid:38)(cid:83)(cid:10)(cid:512)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:518)230(cid:226)(cid:82)(cid:249)(cid:456)(cid:400)(cid:519)(cid:520)130
，
源
资
辅
(cid:226))(cid:82)(cid:513)(cid:514)(cid:369)(cid:521)(cid:135)(cid:522)(cid:523)教“(cid:164)(cid:524)9(cid:525)(cid:82)(cid:165)(cid:122)(cid:425)100(cid:226)(cid:151)50(cid:226)”(cid:26)(cid:526)(cid:527)(cid:67)(cid:345)(cid:164)(cid:528)(cid:81)(cid:513)(cid:514)(cid:369)(cid:521)(cid:82)(cid:529)(cid:517)(cid:530)(cid:90)(cid:317)(cid:113)(cid:531)320
(cid:226)(cid:26)(cid:124)(cid:532)(cid:82)(cid:249)(cid:166)(cid:533)(cid:519)(cid:520) (cid:226)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)188
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:164)(cid:46)(cid:31)(cid:369)(cid:521)(cid:526)(cid:527)(cid:82)(cid:300)(cid:171)(cid:369)(cid:521)(cid:522)(cid:523)(cid:369)(cid:521)(cid:526)(cid:527)(cid:167)(cid:26)(cid:531)(cid:534)(cid:82)(cid:165)(cid:46)(cid:31)(cid:425)(cid:151)(cid:526)(cid:527)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)320×0.9=288(cid:75)(cid:226)(cid:76)
(cid:188)(cid:116)(cid:522)(cid:523)(cid:95)(cid:100)“(cid:122)(cid:425)100(cid:226)(cid:151)50(cid:226)”(cid:26)(cid:403)(cid:404)
=188(cid:75)(cid:226)(cid:76)
(cid:188)28(cid:204)8−(cid:205)10(cid:111)0(cid:10)188(cid:67)
(cid:15)(cid:125)(cid:303)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:535)(cid:536)(cid:531)(cid:534)(cid:26)(cid:452)(cid:20)(cid:82)(cid:275)(cid:276)(cid:20)(cid:102)(cid:26)(cid:526)(cid:527)(cid:78)(cid:205)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)11-2(cid:19)(cid:199)(cid:307)(cid:467)(cid:537)(cid:538)(cid:370)(cid:539)(cid:540)(cid:199)(cid:304)(cid:541)(cid:82)(cid:542)(cid:229)(cid:194)(cid:263)(cid:82)(cid:250)(cid:251)(cid:185)(cid:128)(cid:143)(cid:543)(cid:239)(cid:124)(cid:524)(cid:195)(cid:126)(cid:46)(cid:24)(cid:82)(cid:142)“(cid:195)(cid:543)(cid:46)(cid:24)”(cid:67)(cid:83)(cid:321)(cid:82)
(cid:90)(cid:103)(cid:544)(cid:545)(cid:143)(cid:169)(cid:172)(cid:171)(cid:170)(cid:99)(cid:100)(cid:546)(cid:202)(cid:26)(cid:543)(cid:239)(cid:124)(cid:524)(cid:195)(cid:82)(cid:425)5(cid:148)1(cid:82)(cid:57)(cid:126)(cid:304)(cid:547)(cid:548)(cid:239)(cid:549)(cid:94)(cid:528)(cid:167)(cid:26)(cid:351)(cid:24)(cid:67)(cid:187)(cid:321)(cid:116)(cid:290)(cid:82)(cid:548)(cid:239)(cid:549)
(cid:94)(cid:528)(cid:167)(cid:26)(cid:351)(cid:24)(cid:81)(cid:75) (cid:76)A(cid:67)10 B(cid:67)89 C(cid:67)165 D(cid:67)294
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)D
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:112)(cid:38)(cid:550)(cid:148)(cid:482)“(cid:425)(cid:550)(cid:148)(cid:90)”(cid:82)(cid:116)(cid:72)(cid:105)(cid:106)(cid:425)5(cid:148)1(cid:26)(cid:24)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:99)(cid:100)(cid:111)(cid:10)2×5×5×5(cid:82)1×5×5(cid:82)3×5(cid:82)4(cid:82)(cid:160)
(cid:167)(cid:252)(cid:282)(cid:251)(cid:58)(cid:150)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:99)(cid:20)(cid:102)(cid:82)(cid:184)(cid:143)(cid:549)(cid:94)(cid:528)(cid:167)(cid:26)(cid:351)(cid:24)(cid:81)(cid:10)
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294(cid:82)
(cid:188)(cid:211)(cid:10)D(cid:67)
(cid:15)(cid:125)(cid:303)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:82)(cid:29)(cid:204)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)(cid:42)(cid:57)(cid:112)(cid:38)(cid:26)(cid:78)(cid:176)(cid:381)(cid:94)(cid:425)5(cid:148)1(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:202)(cid:71)(cid:46)(cid:31)(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)11-3(cid:19)(cid:75)2023·(cid:220)(cid:285)(cid:245)(cid:398)·(cid:90)(cid:222)(cid:76)(cid:551)(cid:90)(cid:552)(cid:553)(cid:124)(cid:554)(cid:167)(cid:82)(cid:111)(cid:244)(cid:105)(cid:555)(cid:143)(cid:556)(cid:263)(cid:99)(cid:557)(cid:558)(cid:201)(cid:559)(cid:107)(cid:24)(cid:11)(cid:287)(cid:390)(cid:26)(cid:37)(cid:560)(cid:108)(cid:37)
(cid:561)(cid:163)(cid:11)(cid:82)(cid:24)(cid:11)(cid:562)(cid:563)(cid:424)(cid:48)(cid:143)(cid:512)(cid:183)(cid:564)(cid:158)(cid:565)(cid:124)(cid:125)2(cid:566)(cid:358)(cid:531)(cid:123)(cid:81)16(cid:226)(cid:26)(cid:567)(cid:568)(cid:569)(cid:570)(cid:249)(cid:251)(cid:67)(cid:169)(cid:567)(cid:568)(cid:571)(cid:171)(cid:11)(cid:553)(cid:26)(cid:122)(cid:572)(cid:573)(cid:358)
+
A
A
科
(cid:574)(cid:575)(cid:576)(cid:123)(cid:111)1.6(cid:226)(cid:82)(cid:187)(cid:178)(cid:24)(cid:11)(cid:562)(cid:563)(cid:81)(cid:430)(cid:158)(cid:565)(cid:26)(cid:369)(cid:521)(cid:82)(cid:454)(cid:182)(cid:122)(cid:358)(cid:123)
★
(cid:116)(cid:72)全(cid:449)(cid:57)(cid:90)(cid:96)(cid:158)(cid:565)(cid:577)(cid:575)(cid:26)5(cid:226)(cid:158)(cid:565)(cid:578)(cid:579)(cid:129)(cid:122)
号
众
公
注
(cid:572)(cid:573)(cid:358)(cid:26)(cid:181)(cid:531)(cid:151)(cid:580)5(cid:226)(cid:75)(cid:573)(cid:358)(cid:181)(cid:531)(cid:62)(cid:92)(cid:574)(cid:575)关(cid:576)(cid:82)(cid:163)(cid:90)(cid:573)(cid:358)(cid:456)(cid:581)(cid:582)(cid:449)(cid:57)(cid:90)(cid:96)(cid:578)(cid:579)(cid:76)(cid:67)(cid:466)(cid:80)(cid:209)(cid:430)(cid:567)(cid:568)(cid:571)(cid:26)(cid:526)(cid:527)
，
源
资
辅
(cid:403)(cid:404)(cid:82)(cid:192)(cid:573)(cid:358)(cid:181)(cid:531)(cid:75)(cid:62)教(cid:92)(cid:574)(cid:575)(cid:576)(cid:76)(cid:425)30(cid:226)(cid:194)(cid:82)5(cid:226)(cid:26)(cid:158)(cid:565)(cid:578)(cid:579)(cid:116)(cid:583)(cid:437)(cid:111)(cid:90)(cid:96)7(cid:226)(cid:26)(cid:571)(cid:406)(cid:578)(cid:579)(cid:82)(cid:142)(cid:116)(cid:72)(cid:393)(cid:573)
(cid:358)(cid:181)(cid:531)(cid:75)(cid:62)(cid:92)(cid:574)(cid:575)(cid:576)(cid:76)(cid:151)(cid:580)7(cid:226)(cid:192)(cid:24)(cid:11)(cid:562)(cid:563)(cid:163)(cid:194)(cid:125)(cid:244)2(cid:566)(cid:567)(cid:568)(cid:114)(cid:584)(cid:50)(cid:358)(cid:519)(cid:520)(cid:194)(cid:82)(cid:37)(cid:560)(cid:163)(cid:11)(cid:296)(cid:10)“(cid:562)(cid:563)(cid:82)(cid:328)(cid:251)
(cid:116)(cid:72)(cid:437)(cid:90)(cid:74)(cid:50)(cid:358)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:526)(cid:527)(cid:585)(cid:101)(cid:586)”(cid:255)(cid:163)(cid:11)(cid:251)(cid:53)(cid:206)(cid:37)(cid:560)(cid:163)(cid:11)(cid:26)(cid:50)(cid:358)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:361)(cid:46)(cid:31)(cid:94)(cid:207)(cid:100)(cid:183)(cid:564)(cid:181)(cid:576)(cid:57)(cid:75)(cid:579)(cid:92)(cid:574)
(cid:575)(cid:576)(cid:76)(cid:166)(cid:533)(cid:116)(cid:111) (cid:226)(cid:67)
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)25.2
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:53)(cid:312)(cid:46)(cid:31)(cid:95)(cid:74)(cid:50)(cid:358)(cid:26)(cid:78)(cid:71)(cid:82)(cid:38)(cid:39)(cid:587)(cid:90)(cid:74)(cid:181)(cid:576)(cid:57)(cid:585)(cid:533)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:444)(cid:90)(cid:74)(cid:50)(cid:358)(cid:78)(cid:71)(cid:111)(cid:355)(cid:327)(cid:517)(cid:530)(cid:95)(cid:566)(cid:567)(cid:568)
(cid:41)(cid:46)(cid:576)(cid:57)(cid:111)(cid:10)16+16+ =26.6(cid:226)
(cid:444)(cid:271)(cid:74)(cid:50)(cid:358)(cid:78)(cid:71)(cid:111)(cid:50)(cid:95)(cid:96)1(cid:573).6−(cid:358)7(cid:82)(cid:122)(cid:96)(cid:573)(cid:358)(cid:530)(cid:90)(cid:566)(cid:567)(cid:568)
(cid:41)(cid:46)(cid:576)(cid:57)(cid:111)(cid:10)(16+ )×2=25.2(cid:226)
(cid:188)(cid:211)(cid:392)(cid:444)(cid:271)(cid:74)(cid:585)(cid:588)(cid:31)1(cid:82).6(cid:166)−5(cid:533)(cid:576)(cid:57)(cid:111)25.2(cid:226)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)25.2(cid:67)
(cid:15)(cid:125)(cid:303)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:42)(cid:31)(cid:26)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:82)(cid:53)(cid:112)(cid:589)(cid:196)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)【题型12 与实数运算相关的规律题】
(cid:15)(cid:132)12(cid:19)(cid:382)(cid:383)(cid:50)(cid:202)(cid:84)(cid:71)(cid:82)(cid:361)(cid:504)(cid:204)(cid:452)(cid:20)(cid:10)
| 2|= 2 (cid:85)
①|1−2 3|= −31 2(cid:85)
②| 3− 4|= 4− 3(cid:85)
③| 4− 5|= 5− 4(cid:85)
④…… − −
(1)(cid:255)(cid:93)(cid:94)(cid:444) (cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:10)______(cid:82)(cid:340)(cid:278)(cid:10)| 35 |=______(cid:85)
(2)(cid:93)(cid:94)(cid:256)(cid:590)⑤(cid:529)(cid:26)(cid:444)n(cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:10)______(cid:85)(cid:75)(cid:57)(cid:92)−6n(cid:26)(cid:71)(cid:239)(cid:105)(cid:106)(cid:76)
24
(3)(cid:38)(cid:39) (cid:34)1(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:67)
4
−1
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)(1)| 5 6|= 6 5(cid:85) 35
(2)| +1|−= +1 − 6−
(3) 24𝑛− < 𝑛 1 𝑛 − 𝑛 A A +
4 全 科
−1 ★
号
众
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:80)(cid:209)(cid:315)(cid:290)(cid:84)(cid:71)(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:116)(cid:72)(cid:300)(cid:171)(cid:444) 注 (cid:96)公(cid:84)(cid:71)(cid:82)(cid:187)(cid:178)| 35 |=| 35 36|(cid:82)(cid:116)(cid:72)(cid:80)(cid:209)(cid:59)(cid:60)(cid:300)(cid:171)
关
，
源
(cid:195)(cid:359)(cid:85) 辅 资 ⑤ −6 −
教
(cid:75)2(cid:76)(cid:187)(cid:227)4(cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:116)(cid:72)(cid:590)(cid:529)(cid:444)n(cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:111)| +1|= +1 (cid:85)
(cid:75)3(cid:76)(cid:376)(cid:57)(cid:287)(cid:459)(cid:176)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:37)(cid:67) 𝑛− 𝑛 𝑛 − 𝑛
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:75)1(cid:76)(cid:29)(cid:10)(cid:80)(cid:209)(cid:227)4(cid:96)(cid:71)(cid:239)(cid:116)(cid:300)(cid:444) (cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:111)(cid:10)| 5 6|= 6 5(cid:82)
| 35 |=| 35 36|= 36 35= ⑤35(cid:82) − −
(cid:188)(cid:204)(cid:205)−6(cid:111)(cid:10)| 5 −6|= 6 5−(cid:85) 356(cid:67)−
(cid:75)2(cid:76)(cid:29)(cid:10)(cid:187)(cid:227)−4(cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:116)−(cid:72)(cid:590)(cid:529)6(cid:444)−n(cid:96)(cid:84)(cid:71)(cid:111)| +1|= +1 (cid:82)
(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)| +1|= +1 (cid:67) 𝑛− 𝑛 𝑛 − 𝑛
(cid:75)3(cid:76)(cid:29)(cid:10) 2𝑛4− 𝑛 = 24 𝑛4 = −24𝑛 = 24 25<0(cid:82)
4 4 4 4 4
−1 −1 −5 −
∵ −1 −
24 <1(cid:67)
4
−1
∴
(cid:15)(cid:125)(cid:303)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:217)(cid:178)(cid:409)(cid:591)(cid:59)(cid:60)(cid:112)(cid:391)(cid:20)(cid:82)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:139)(cid:129)(cid:140)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:82)(cid:292)(cid:293)(cid:275)(cid:276)(cid:58)(cid:3)(cid:290)(cid:291)(cid:361)(cid:592)(cid:403)(cid:42)
(cid:57)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)
(cid:15)(cid:219)(cid:71)12-1(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:593)(cid:594)(cid:595)(cid:368)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:328)(cid:251)(cid:59)(cid:48)(cid:90)(cid:96)(cid:47)(cid:24)“ ”(cid:82)(cid:90)(cid:179)(cid:54)(cid:23)(cid:24)(cid:116)(cid:72)(cid:34)(cid:47)(cid:24)(cid:148)(cid:149)(cid:259)(cid:135)(cid:42)
𝑖(cid:31)(cid:82)(cid:156)(cid:297)(cid:54)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:108)(cid:42)(cid:31)(cid:176)(cid:135)(cid:159)(cid:160)(cid:107)(cid:157)(cid:82) = = = = = = ×( )=1(cid:82)(cid:396)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:397) + + + + + = (cid:67)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:204)(cid:205)(cid:19)𝑖 𝑖 ⋯ 𝑖 𝑖
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)𝑖(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:82)(cid:24)(cid:596)(cid:219)(cid:340)(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:82)(cid:376)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:26)(cid:59)(cid:48)(cid:82)(cid:169)(cid:444)(cid:90)(cid:96)(cid:24)(cid:77)(cid:440)(cid:82)(cid:122)4(cid:96)(cid:24)
(cid:26)(cid:108)(cid:111)0(cid:82)(cid:135) + + + + =506×0=0(cid:82)(cid:165)(cid:376)(cid:57)(cid:597)(cid:26)(cid:152)(cid:78)(cid:34)(cid:349)(cid:26)(cid:152)(cid:78)(cid:176)(cid:135)(cid:42)(cid:31)(cid:142)(cid:116)(cid:67)
1 2 3 2024
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:29)(cid:10)𝑖 =𝑖 𝑖= ⋯ 𝑖= = = = ×( )=1(cid:82)
1 2 3 2 4 2 2
+ + +∵𝑖 =𝑖0,𝑖(cid:82) −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 4
∴𝑖 +𝑖 +𝑖 +𝑖 = ( + + + )=0(cid:82)
5 6 7 8 4 1 2 3 4
∴𝑖2024𝑖÷4𝑖=50𝑖6(cid:82)𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
∵ + + + + =506×0=0(cid:82)
1 2 3 2024
∴𝑖 𝑖= 𝑖 ⋯= 𝑖 ( ) = ×1 = (cid:82)
2025 2024 4 506 506
∵𝑖 + +𝑖⋅𝑖 + +𝑖⋅ 𝑖 + 𝑖=0+ =𝑖(cid:82)
1 2 3 2024 2025
∴(cid:188)𝑖(cid:204)(cid:205)𝑖(cid:111)(cid:10)𝑖 (cid:67)⋯ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
+
A
(cid:15)(cid:219)(cid:71)12-2𝑖(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:220)(cid:221)(cid:598)(cid:599)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:83)(cid:321)(cid:82)(cid:185)(cid:128)(cid:505)(cid:180)(cid:245)(cid:111)1科(cid:26)(cid:118)A(cid:78)(cid:70)(cid:82)(cid:299)(cid:104)(cid:114)(cid:186)(cid:26)(cid:252) 2(cid:105)(cid:106)(cid:143)
全
★
号
众
(cid:24)(cid:35)(cid:124)(cid:125) (cid:600)(cid:82)(cid:304) (cid:172)(cid:364)(cid:166)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:125)(cid:111) (cid:82)(cid:72)(cid:125)公(cid:111)(cid:86)(cid:601)(cid:82) (cid:602)(cid:603)(cid:505)(cid:602)(cid:86)(cid:82)(cid:462)(cid:24)(cid:35)(cid:178)(cid:125) (cid:82)(cid:304) (cid:172)(cid:364)
注
关
，
源
(cid:166)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)𝐴1(cid:125)(cid:111) 𝐴(cid:82)1(cid:72)(cid:125)辅(cid:111)资(cid:86)(cid:601)(cid:82) 𝐵(cid:111)1(cid:602)(cid:603)(cid:505)𝐵(cid:602)1(cid:86)(cid:82)(cid:462)(cid:24)𝐴(cid:35)1(cid:178)𝐵1(cid:125) (cid:82)(cid:83)(cid:182)(cid:604)(cid:491)(cid:82)(cid:135) 𝐴2(cid:26)(cid:245)(cid:111)𝐴2(cid:75) (cid:76)
教
𝐵2 𝐵2 𝐴2𝐵2 𝐴3 𝐴11𝐵11
A(cid:67) 2 B(cid:67) 2 C(cid:67) 2 D(cid:67) 2+1
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)2−A −1
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:273)(cid:274)(cid:200)(cid:208)(cid:244)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:89)(cid:409)(cid:241)(cid:59)(cid:60)(cid:82)(cid:185)(cid:128)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:82)(cid:381)(cid:171)(cid:321)
(cid:70)(cid:219)(cid:340)(cid:59)(cid:60)(cid:81)(cid:29)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:67)(cid:376)(cid:57) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:25)(cid:24)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:26)(cid:3)(cid:177)(cid:82)(cid:213)(cid:90)(cid:46)(cid:31)(cid:203)(cid:125)(cid:266)(cid:129)(cid:56)(cid:26)(cid:24)(cid:82)(cid:143)(cid:46)(cid:31)
(cid:121) (cid:82)(cid:300)(cid:94)(cid:59)(cid:60)(cid:142)(cid:116)𝐴(cid:29)1(cid:424)(cid:67)
1
(cid:15)𝐴1(cid:216)𝐵1(cid:29)(cid:19)𝐴(cid:29)2𝐵(cid:10)2(cid:187)⋯(cid:20)(cid:102)(cid:116)(cid:300) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81) 2(cid:82)
(cid:172)(cid:364)(cid:166)(cid:190)(cid:26)(cid:51)(cid:24)(cid:125)(cid:111) 𝐴1(cid:82)
∵𝐴1(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81)2(cid:82) 𝐵1
∴𝐵1 = 2(cid:82)
∴𝐴1𝐵(cid:105)1(cid:106)(cid:26)2−(cid:24)(cid:81)2+ 2= 2(cid:82) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81)3(cid:82)
∴𝐴2 2− 4− 𝐵2= ( 2)= 2 (cid:82)
(cid:163)∴𝐴(cid:23)2𝐵(cid:116)2(cid:300)3−(cid:105)4(cid:106)−(cid:26)(cid:24)(cid:81)3+−12 =2+ 2(cid:82) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)(cid:81)4(cid:82) = (2+ 2)= 2(cid:82)
(cid:105)(cid:106)(cid:26)𝐴(cid:24)3(cid:81)4+ 2= −21(cid:82) (cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:24)𝐵3(cid:81)5(cid:82) = 𝐴(3𝐵3 2)4=− 2 (cid:82) 2−
𝐴4 2− 6− 𝐵4 𝐴4𝐵4 5− 6− −1
⋯(cid:116)(cid:290) (cid:72) 2(cid:82) 2 (cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:90)(cid:64)(cid:94)(cid:243)(cid:82)
11÷𝐴𝑛2𝐵=𝑛 2−(cid:82) −1
∵A B =5⋯12(cid:82)
∴(cid:188)(cid:211)11(cid:10)1A1(cid:67)2−
(cid:15)(cid:219)(cid:71)12-3(cid:19)(cid:75)24-25(cid:258)(cid:228)(cid:168)(cid:50)·(cid:284)(cid:221)(cid:345)(cid:406)(cid:314)·(cid:263)(cid:199)(cid:76)(cid:129)(cid:178)(cid:25)(cid:24) (cid:82)(cid:328)(cid:251)(cid:59)(cid:48)(cid:10)(cid:57){ }(cid:105)(cid:106)(cid:62)(cid:37)(cid:178) (cid:26)(cid:166)(cid:37)(cid:51)
𝑝 (cid:444)1(cid:100) (cid:444)2𝑝(cid:100) (cid:444)3(cid:100)𝑝
(cid:24)(cid:67)(cid:132)(cid:83)(cid:10){ 4}=2(cid:82){ 3}=2(cid:67)(cid:243)(cid:143)(cid:129)72(cid:148)(cid:149)(cid:83)(cid:50)(cid:605)(cid:287)(cid:10)72 { 72}=9 { 9}=3 { 3}=2(cid:82)
(cid:142)(cid:129)72(cid:456)(cid:400)(cid:148)(cid:149)3(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:299)(cid:219)(cid:111)2(cid:67)(cid:112)(cid:38)(cid:124)(cid:302)(cid:605)(cid:287)(cid:82)(cid:133)(cid:129)(cid:118)(cid:51)(cid:24)→(cid:456)(cid:400)(cid:148)(cid:149)3(cid:100)→(cid:605)(cid:287)(cid:299)(cid:219)(cid:111)2→(cid:82)(cid:135) (cid:26)(cid:166)(cid:36)
(cid:140)(cid:111) (cid:67) 𝑛 𝑛
(cid:15)(cid:204)(cid:205)(cid:19)256
+
A
A
科
(cid:15)(cid:53)(cid:206)(cid:19)(cid:207)(cid:20)(cid:200)(cid:208)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:42)(cid:31)(cid:121)(cid:30)(cid:46)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:38)(cid:39)全(cid:82)(cid:29)(cid:204)(cid:207)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:277)(cid:81)(cid:407)(cid:186)(cid:20)(cid:102)(cid:82)(cid:381)(cid:94)
★
号
众
公
注
(cid:266)(cid:189)(cid:452)(cid:20)(cid:400)(cid:274)(cid:26)(cid:316)(cid:317)(cid:67) 关
，
源
资
辅
(cid:169)(cid:167)(cid:606)(cid:227)(cid:360)(cid:607)(cid:82)(cid:80)(cid:209){教}(cid:26)(cid:48)(cid:49)(cid:82)(cid:164)(cid:186)(cid:48)(cid:166)(cid:167)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:195)(cid:359)(cid:111)2(cid:194)(cid:227)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:195)(cid:359)(cid:26)(cid:166)(cid:36)(cid:140)(cid:82)(cid:165)(cid:99)(cid:100)(cid:112)(cid:360)(cid:82)
(cid:189)(cid:94)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:227) (cid:26)(cid:166)𝑝(cid:36)(cid:140)(cid:67)
(cid:15)(cid:216)(cid:29)(cid:19)(cid:80)(cid:209)(cid:132)(cid:20)𝑛(cid:605)(cid:287)(cid:116)(cid:290)(cid:10)
(cid:274)(cid:449) (cid:166)(cid:36)(cid:82)(cid:166)(cid:167)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287){ }=2(cid:82)(cid:253)(cid:174)p(cid:81)(cid:444)(cid:271)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:67)(cid:454)(cid:111){ }=2(cid:82)
(cid:80)(cid:209)𝑛(cid:48)(cid:49)(cid:116)(cid:290)1< 2(cid:82)(cid:95)𝑝(cid:180)(cid:163)(cid:194)(cid:158)(cid:78)(cid:116)(cid:300)1< 4(cid:82) 𝑝
(cid:266)(cid:72)p(cid:166)(cid:36)(cid:254)4(cid:67) 𝑝≤ 𝑝≤
(cid:129)(cid:178)(cid:444)(cid:271)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:82)(cid:45)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:26)(cid:195)(cid:359)(cid:111) (cid:82)(cid:182)(cid:194){ }= =4(cid:82)
(cid:80)(cid:209)(cid:48)(cid:49)3< 4(cid:82)(cid:95)(cid:180)(cid:163)(cid:194)(cid:158)(cid:78)(cid:300)(cid:171)9𝑘< 16𝑘(cid:82) 𝑝
(cid:266)(cid:72) (cid:166)(cid:36)(cid:254)16𝑘(cid:67)≤ 𝑘≤
(cid:129)(cid:178)𝑘(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:82)(cid:45) (cid:539)(cid:128)(cid:444)(cid:90)(cid:100)(cid:605)(cid:287)(cid:167)(cid:219)(cid:111) (cid:82)(cid:182)(cid:194){ }= =16(cid:82)(cid:80)(cid:209)(cid:48)(cid:49)15< 16(cid:82)(cid:95)(cid:180)(cid:163)(cid:194)(cid:158)
(cid:78)(cid:116)(cid:300)225< 256𝑛(cid:82) 𝑘 𝑛 𝑘 𝑛≤
(cid:266)(cid:72) (cid:166)(cid:36)(cid:111)2𝑛56≤(cid:67)
(cid:608)(cid:609)(cid:10)𝑛
(cid:129)256(cid:148)(cid:149)(cid:83)(cid:50)(cid:605)(cid:287)(cid:10)(cid:444)1(cid:100) (cid:444)2(cid:100) (cid:444)3(cid:100)
256 { 256}=16 { 16}=4 { 4}=2
(cid:83)(cid:359)→(cid:456)(cid:400)(cid:148)(cid:149)3(cid:100)(cid:605)(cid:287)→(cid:167)(cid:219)(cid:111)2(cid:26)(cid:266)→(cid:54)(cid:118)(cid:51)(cid:24)(cid:199)(cid:166)(cid:36)(cid:26)(cid:24)(cid:111)(cid:10)256(cid:85)
∴(cid:188)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:10)256(cid:67)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教