文档文本内容
专题 10.3 实数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:21)....................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:25)(cid:31)(cid:21)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:21)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:21)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:21)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:21)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:21)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:21)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:55)(cid:3)(cid:47)(cid:33)(cid:21)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)11 (cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:21)............................................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)12 (cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:59)(cid:3)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:22)(cid:21)..................................................................................................................10
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
知识点1 无理数 教
(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:55)(cid:73)(cid:51)(cid:74)(cid:75)(cid:10)
(cid:76)1(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:78)(cid:63)(cid:80)(cid:28)(cid:26)(cid:28)(cid:59)(cid:57)(cid:79)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:84) 2(cid:83)3 5(cid:85)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:87)(cid:88)(cid:89) (cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:55) (cid:28)(cid:26),(cid:84)2 (cid:83) (cid:85)(cid:86)
2
π
π π π
(cid:76)3(cid:77)(cid:73)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:71)(cid:72)(cid:94)(cid:95)(cid:28)(cid:26),(cid:84)0.101 001 000 1…(cid:76)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:91)(cid:97)0)(cid:85)(cid:68)(cid:4)(cid:103)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:38)
(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:104)(cid:26)(cid:24)(cid:62)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:63)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:54)(cid:26)(cid:28)(cid:71)(cid:72)(cid:68)
知识点2 实数的概念及分类
1. (cid:29)(cid:30)(cid:10)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:27)(cid:26)(cid:68)
2. (cid:54)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:55)(cid:96)(cid:75)(cid:54)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:10)
(cid:76)1(cid:77)(cid:116)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:117)(cid:54)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
(cid:119)(cid:52)(cid:26)
(cid:119)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:119)(cid:54)(cid:26)
(cid:55)(cid:25)(cid:26) 0
(cid:55)(cid:62)(cid:38)(cid:26)(cid:121)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)
(cid:120) (cid:52) (cid:26)
(cid:120)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:26)
(cid:120)(cid:54)(cid:26)
(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)
(cid:120)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:76)2(cid:77)(cid:116)(cid:119)(cid:120)(cid:34)(cid:54)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:117)(cid:54)(cid:112)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:122)0(cid:122)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:68)
(cid:119)(cid:52)(cid:26)
(cid:119)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:119)(cid:54)(cid:26)
(cid:119)(cid:27)(cid:26)
(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:26) 0
(cid:120)(cid:52)(cid:26)
(cid:120)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:120)(cid:27)(cid:26) (cid:120)(cid:54)(cid:26)
(cid:120)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
知识点3 实数与数轴的关系
科AA+
全
号★
众
公
(cid:123)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:124)(cid:117)(cid:73)(cid:58)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:91)(cid:97)(cid:126)(cid:127)(cid:106)(cid:107)(cid:86)关(cid:128)注(cid:129)(cid:127)(cid:83)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:123)(cid:91)(cid:97)(cid:126)(cid:124)(cid:106)(cid:107)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:125)
，
源
资
辅
教
(cid:28)(cid:126)(cid:91)(cid:91)(cid:130)(cid:57).
知识点4 实数范围内的有关概念
(cid:131)(cid:111) (cid:34)(cid:35) (cid:132)(cid:133)
(cid:59)(cid:128)(cid:26) (cid:134)a(cid:36)b(cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:136) + =0 3(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 3
(cid:137)(cid:26) (cid:134)a(cid:36)b(cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:26)(cid:83)(cid:136) 𝑎 =1 𝑏 2(cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82) 1 −
2
𝑎𝑏
>0)
(cid:138)(cid:139)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:124)(cid:82)(cid:142)(cid:120)(cid:26)(cid:83)(cid:143)| | 0 | | =0)
(cid:140)(cid:130)(cid:141) 𝑎(𝑎 <0)
𝑎 ≥ 𝑎 0(𝑎
(cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:59)(cid:85)(cid:83)(cid:143)| |=| | | 2 |− = 𝑎|(𝑎 2 | = 2
𝑎 −𝑎 −
知识点5 实数的运算
(cid:144)(cid:27)(cid:26)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:83)(cid:63)(cid:148)(cid:117)(cid:73)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:122)(cid:152)(cid:122)(cid:153)(cid:122)(cid:154)(cid:76)(cid:154)(cid:26)(cid:63)(cid:112)(cid:155)(cid:77)(cid:122)(cid:153)(cid:79)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:156)(cid:157)(cid:117)(cid:73)(cid:149)(cid:150)(cid:78)(cid:158)(cid:79)(cid:43)(cid:33)(cid:73)(cid:90)
(cid:142)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:78)(cid:159)(cid:79)(cid:43)(cid:33)(cid:68)
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:109)(cid:43)(cid:33)(cid:61)(cid:144)(cid:27)(cid:26)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:58)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:36)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:59)(cid:164)(cid:83)
(cid:165)(cid:153)(cid:79)(cid:122)(cid:78)(cid:79)(cid:83)(cid:166)(cid:153)(cid:154)(cid:83)(cid:167)(cid:168)(cid:151)(cid:152)(cid:68)(cid:164)(cid:169)(cid:43)(cid:33)(cid:116)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:83)(cid:55)(cid:174)(cid:9)(cid:28)(cid:165)(cid:33)(cid:174)(cid:9)(cid:175)(cid:176)(cid:28)(cid:68)知识点6 实数的大小比较
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:28)(cid:79)(cid:177)(cid:144)(cid:27)(cid:26)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:58)(cid:68)
(cid:96)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:3)(cid:178)(cid:84)(cid:51)(cid:10)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:124)(cid:19)(cid:179)0(cid:83)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:124)(cid:38)(cid:179)0(cid:83)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:179)(cid:91)(cid:180)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:86)(cid:96)(cid:97)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)
(cid:19)(cid:28)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:86)(cid:96)(cid:97)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:19)(cid:28)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:38)(cid:86)(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:173)(cid:181)(cid:28)(cid:26)(cid:182)(cid:39)(cid:171)(cid:181)(cid:28)(cid:26)
(cid:19)(cid:68)(cid:183)(cid:184)(cid:83)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:185)(cid:55)(cid:84)(cid:51)(cid:79)(cid:177)(cid:10)
(cid:76)1(cid:77)(cid:186)(cid:129)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:149)(cid:156)(cid:187)(cid:49)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:3)(cid:178)(cid:68)(cid:84)(cid:39)(cid:40) 10(cid:36)3(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:188)(cid:179)( 10) =10
2
，3 =9，10>9(cid:83)(cid:189) 10>3(cid:68)
2
(cid:76)2(cid:77)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:79)(cid:177)(cid:190)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:191)(cid:192)(cid:141)(cid:168)(cid:83)(cid:166)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:68)
(cid:76)3(cid:77)(cid:193)(cid:96)(cid:97)(cid:194)(cid:81)(cid:9)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:38)(cid:195)(cid:83)(cid:117)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:10)
> 0 > (cid:68)
① 𝑎>𝑏≥3 ⇔>𝑎3 (cid:68)𝑏
②
【题
𝑎 型1𝑏 ⇔
无
𝑎
理数】
𝑏
(cid:15)(cid:133)1(cid:21)(cid:76)2025·(cid:198)(cid:199)·(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:22)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:204)(cid:26)(cid:200)(cid:83)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77) 科AA+
全
号★
公 众 2
A(cid:68)0 B(cid:68) 2 C(cid:68)注3.14 D(cid:68)
关
， 3
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:205)(cid:72)1-1(cid:21)(cid:76)2025·(cid:206)(cid:207)·(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:77)(cid:7)(cid:212)(cid:213)500(cid:214)(cid:83)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:11)(cid:223)(cid:28)(cid:224)(cid:225)(cid:216)(cid:226)(cid:227)(cid:222)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:181)(cid:231)(cid:112)1
(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:130)(cid:232)(cid:233)(cid:231)(cid:63)(cid:105)(cid:58)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:106)(cid:107)(cid:68)(cid:112)(cid:230)(cid:234)(cid:30)(cid:235)(cid:83)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:92)(cid:26)(cid:240)(cid:131)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:241)(cid:242)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:97)(cid:19)(cid:179)3
(cid:157)(cid:38)(cid:179)4(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)1-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:3)(cid:179) 5(cid:250)(cid:251)(cid:119)(cid:187)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) 5(cid:106)(cid:107)5(cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:81) B(cid:68) 5(cid:63)(cid:117)(cid:73)(cid:58)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:126)(cid:127)(cid:106)(cid:107)
C(cid:68) 5(cid:82)(cid:91)(cid:97)(cid:39) (cid:19)(cid:28)(cid:26) D(cid:68) 5(cid:82)(cid:91)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
π 21
(cid:15)(cid:205)(cid:72)1-3(cid:21)(cid:76)2025·(cid:252)(cid:199)(cid:199)(cid:253)·(cid:254)(cid:208)(cid:77)(cid:144)(cid:27)(cid:26)1.414(cid:83) 5(cid:83)0(cid:83)3 9(cid:83) (cid:83) (cid:83)3.1415926(cid:83)1.010010001…((cid:59)
2 7
𝜋
(cid:255)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)0(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:256)(cid:101)(cid:151)1)(cid:200)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:82) (cid:97)(cid:68) −
【题型2 实数的概念理解及其性质】
(cid:15)(cid:133)2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:238)(cid:51)(cid:203)(cid:204)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)(cid:9)(cid:261)(cid:144)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:19)(cid:174)(cid:9)(cid:147)(cid:68)
25(cid:83) (cid:83) 0.31(cid:83) (cid:76)(cid:59)(cid:255)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:262)(cid:151)(cid:91)(cid:97)1(cid:77)(cid:83) 3 9(cid:83)
① ②−5𝜋 ③22 ④2.181881888⋯ ⑤
(cid:83) (cid:83) 0(cid:68)
7
⑥(cid:52)(cid:26)−3(cid:10).1 { 4 1 5 9 2 6 ⑦ … ⑧ }(cid:86)(cid:142)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:10){ …}(cid:86)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10){ …}(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)2-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:206)(cid:207)(cid:263)(cid:264)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:265)(cid:177)(cid:119)(cid:187)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:54)(cid:112)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:109)(cid:120)(cid:27)(cid:26) B(cid:68)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:109)(cid:185)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
C(cid:68) (cid:82)(cid:167)(cid:19)(cid:28)(cid:120)(cid:26) D(cid:68)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:27)(cid:26)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)−2-12(cid:21)(cid:51)(cid:203)(cid:265)(cid:177)(cid:119)(cid:187)(cid:28)(cid:55) (cid:68)
(cid:27)(cid:26)(cid:63)(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:266)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86) 2(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) (cid:63)(cid:194)(cid:81)(cid:9)(cid:28)(cid:26)(cid:124)(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) (cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) (cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:138)
①(cid:91)(cid:126)(cid:124)(cid:130)(cid:57)(cid:91)(cid:97)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) 3②(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 3(cid:68)③ ④π ⑤
(cid:15)(cid:205)(cid:72)2-3(cid:21)(cid:76)2025(cid:243)(cid:214)(cid:169)⑥(cid:51)−·(cid:267)(cid:268)·(cid:269)(cid:22)(cid:270)(cid:271)(cid:77)(cid:238)(cid:51)(cid:203)(cid:204)(cid:26)(cid:261)(cid:172)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:272)(cid:233)(cid:125)(cid:76)(cid:261)(cid:45)(cid:9)(cid:77)(cid:10)
1
2 3(cid:86) (cid:86) 3 (cid:86) 0.54(cid:86) 0.13(cid:86) (cid:86) 0(cid:86) (cid:86) ( 7) (cid:86) (cid:76)(cid:59)(cid:255)(cid:96)
3 9
π 2
(cid:97)① 2(cid:98)(cid:99)② 0(cid:28)−(cid:97)(cid:26)③(cid:256)(cid:101)−6(cid:151)4(cid:91)(cid:77)④(cid:68) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧−23 ⑨ ⑩0.3020020002⋯
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:86)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:86)
(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:10) (cid:86)
科AA+
全
号★
众
公
(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:10) (cid:68) 关 注
，
源
资
辅
教
【题型3 无理数的估算】
(cid:15)(cid:133)3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:257)(cid:258)(cid:88)(cid:273)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:274)(cid:275) 2<| |< 17(cid:83)(cid:157) (cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:136)(cid:276)(cid:55) (cid:141)(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:112)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68)5 B(cid:68)6 C(cid:68)7 𝑥 D𝑥(cid:68)8 𝑥
(cid:15)(cid:205)(cid:72)3-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:253)(cid:277)(cid:278)(cid:253)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:27)(cid:26) (cid:83) (cid:83) (cid:83) (cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:104)(cid:279)(cid:84)(cid:280)(cid:276)(cid:107)(cid:83)(cid:136)(cid:105)(cid:106)(cid:107) 3
(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1−
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)𝑑3-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:281)(cid:214)(cid:169)𝑐(cid:51)·(cid:282)(cid:17)(cid:283)(cid:284)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:51)𝑏(cid:203)(cid:52)(cid:26)(cid:36)3 (cid:167)(cid:285)(cid:191)(cid:28)𝑎 (cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) −67 D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)−3-53(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)−(cid:51)4·(cid:257)(cid:258)(cid:88)(cid:273)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:144)−(cid:26)3(cid:11)(cid:200)(cid:83)(cid:286)(cid:237)(cid:117)(cid:73)(cid:186)(cid:129)−(cid:287)2(cid:99)(cid:32)(cid:47)(cid:177)(cid:32)(cid:33)(cid:91)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:191)(cid:192)
(cid:141)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:10)
4< 6< 9(cid:83)(cid:143)2< 6<3(cid:83)
∵ 6(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)2(cid:83)
∴6(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) 6 (cid:68)
(∴1)(cid:190) 17(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:109)−(cid:38)2(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:68)
(2)(cid:274)(cid:275) +2(cid:28)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:82)3(cid:83) + (cid:28)(cid:33)(cid:288)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:82)4(cid:83) (cid:82) 12(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:83)(cid:190) + (cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:68)
【题型
54𝑎
实数的性质】
3𝑎 𝑏−1 𝑐 3𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:133)4(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:125)·(cid:289)(cid:290)(cid:198)(cid:291)(cid:292)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:27)(cid:26) (cid:83) (cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83) (cid:83) (cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:26)(cid:83)x(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:112) 3(cid:83)(cid:72)
(cid:225) +( + + ) + + +3 (cid:28)(cid:141)(cid:82) (cid:68)𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
2
(cid:15)𝑥(cid:205)(cid:72)4 𝑎 -1(cid:21)𝑏(cid:76)1(cid:77)𝑐𝑑3𝑥(cid:28)(cid:137)𝑎(cid:26)(cid:82)𝑏 _____ 𝑐 _ 𝑑 _(cid:86)
7
(cid:76)2(cid:77)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:124)(cid:112) 5(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:82)_______(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)3 27 (cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82)_____ 3 _ − _(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:82)_______(cid:83)(cid:137)(cid:26)(cid:82)_______(cid:68)
8
1
(cid:15)(cid:205)(cid:72)4-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:281)(cid:214)(cid:169)(cid:125)·(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:296)·(cid:297)(cid:298)(cid:270)(cid:271)(cid:77) 6(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) (cid:83)(cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82) (cid:83)| 3 |= (cid:68)
− π −π
(cid:15)(cid:205)(cid:72)4-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:299)(cid:300)(cid:258)(cid:78)·(cid:248)(cid:200)(cid:77) 15(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:36) 15(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:109)(cid:85)(cid:179) (cid:68)
【题型5 实数与数轴】 5− 5−
科AA+
全
(cid:15)(cid:133)5(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:301)(cid:258)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:169)(cid:306)(cid:104)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:280)号(cid:83)★(cid:27)(cid:26)a(cid:122)b(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:130)(cid:57)(cid:126)(cid:28)(cid:104)(cid:279)(cid:84)(cid:280)(cid:276)(cid:107)(cid:83)
众
公
注
关
，
源
(cid:292)(cid:307) (cid:28)(cid:196)(cid:308)(cid:82)(cid:76) 辅 (cid:77)资
教
2
(𝑎−𝑏) −|𝑎|
A(cid:68)a B(cid:68)b C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)5-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:281)(cid:214)(cid:169)(cid:125)·(cid:207)(cid:309)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:84)(cid:280)(cid:83)2(cid:119)𝑎−(cid:79)𝑏(cid:71) (cid:28)(cid:176)(cid:310)(cid:112)𝑏3−(cid:83)2(cid:311)𝑎 (cid:126) (cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:83)(cid:157)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)
(cid:26)(cid:112)2(cid:83)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:55)(cid:91)(cid:126) (cid:144)(cid:126) (cid:28)(cid:171)(cid:312)(cid:83)(cid:134) = (cid:83)(cid:136)(cid:126)𝐴𝐵(cid:106)𝐶(cid:107)𝐷(cid:28)(cid:26)(cid:112)(cid:76) (cid:77) 𝐴 𝐴
𝐸 𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐸
A(cid:68) 3 B(cid:68) 3 C(cid:68) 3 D(cid:68) 3
(cid:15)(cid:205)(cid:72)5-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)2−(cid:51)·(cid:206)(cid:258)(cid:313)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:84)−(cid:280)(cid:83)(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:106)(cid:107)2(cid:83) 5(cid:28)−2(cid:130)(cid:57)(cid:126)(cid:54)(cid:315)(cid:112) (cid:122) (cid:83)(cid:126) (cid:82)
(cid:28)(cid:200)(cid:126)(cid:83)(cid:136)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82)(cid:76) (cid:77) 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵
𝐴A(cid:68) 5 B(cid:68) 5 C(cid:68) 5 D(cid:68) 5
(cid:15)(cid:205)(cid:72)5-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)2−(cid:51)·(cid:282)(cid:17)(cid:316)(cid:317)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:84)4(cid:280)−(cid:83)(cid:274)(cid:275)(cid:126) (cid:83) (cid:82)(cid:26)(cid:37)5−(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:83) =2(cid:83)(cid:126) (cid:144)(cid:126) (cid:28)(cid:173)
(cid:312)(cid:83)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:112) 2(cid:83)(cid:46)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:112) (cid:68) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴
𝐴 − 𝐵 𝑚
(1)(cid:27)(cid:26) (cid:28)(cid:141)(cid:82)___________(cid:86)
(2)(cid:190)| 𝑚 | | |(cid:28)(cid:141)(cid:86)
(3)(cid:144)(cid:26)𝑚(cid:37)−2(cid:125)−(cid:55)1−(cid:83)𝑚 (cid:96)(cid:126)(cid:54)(cid:315)(cid:106)(cid:107)(cid:27)(cid:26) (cid:109) (cid:83)(cid:157)(cid:55)| +4|(cid:36) (cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:190) + (cid:28)(cid:33)(cid:288)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:68)
【题型6 实数 𝐶 的大 𝐷 小比较】 𝑐 𝑑 2𝑐 𝑑−4 2𝑐 5𝑑
(cid:15)(cid:133)6(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:282)(cid:17)(cid:246)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:134) =3 7(cid:83) = 5(cid:83) =2(cid:83)(cid:136)a(cid:83)b(cid:83)c(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:3)(cid:178)(cid:112)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) < B(cid:68) < < C𝑎(cid:68) < <𝑏 𝑐 D(cid:68) < <
(cid:15)(cid:205)(cid:72)6𝑏-1≤(cid:21)𝑐(cid:76)24𝑎-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)𝑏(cid:51)·𝑎(cid:252)(cid:199)𝑐(cid:199)(cid:253)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:238)𝑎(cid:51)(cid:203)𝑐(cid:27)(cid:26)𝑏(cid:106)(cid:107)(cid:144)(cid:84)(cid:280)(cid:276)𝑎(cid:107)(cid:28)𝑏(cid:26)(cid:37)𝑐(cid:125)(cid:122)(cid:318)(cid:39)(cid:40)(cid:319)(cid:237)(cid:28)(cid:19)(cid:38)
(cid:76)(cid:58)“<”(cid:320)(cid:285)(cid:77)(cid:68)
8
16
3
3 8 科AA+
全
号★
,− ,−1, 众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:205)(cid:72)6-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:321)(cid:199)(cid:127)(cid:322)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:10)4 3 25(cid:76)(cid:58)“>”(cid:121)“<”(cid:261)(cid:323)(cid:77)(cid:68)
1
(cid:15)(cid:205)(cid:72)6-3(cid:21)(cid:76)2025(cid:324)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:325)(cid:198)(cid:264)(cid:326)·(cid:11)(cid:327)(cid:201)(cid:328)(cid:77)(cid:134) < <0(cid:83)(cid:136) ,3 , (cid:91)(cid:49)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
3
−1 𝑎 𝑎,𝑎 𝑎𝑎
1 1 1
A(cid:68) (cid:167)(cid:38)(cid:83) (cid:167)(cid:19)B(cid:68)3 (cid:167)(cid:38)(cid:83)a(cid:167)(cid:19) C(cid:68) (cid:167)(cid:38)(cid:83)a(cid:167)(cid:19) D(cid:68) (cid:167)(cid:38)(cid:83)3 (cid:167)(cid:19)
3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
【题型7 实数的混合运算】
(cid:15)(cid:133)7(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:206)(cid:258)(cid:231)(cid:329)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:47)(cid:33)(cid:10)2 +| 6| ( ) (cid:68)
3 2
(cid:15)(cid:205)(cid:72)7-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:282)(cid:17)(cid:330)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:47)(cid:33)(cid:10)( 2− ) − | −3 2|+ 8= (cid:68)
2025
(cid:15)(cid:205)(cid:72)7-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:282)(cid:17)(cid:246)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77) 9+| −12|×(− 1)− 3 125= (cid:68)
2024
(cid:15)(cid:205)(cid:72)7-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:281)(cid:214)(cid:169)(cid:125)·(cid:257)(cid:258)(cid:88)(cid:273)·(cid:297)(cid:298)(cid:270)(cid:271)(cid:77)(cid:144)1(cid:91)−(cid:101)“(cid:331)(cid:332)−(cid:333)1(cid:334)”(cid:200)−(cid:83)(cid:335)(cid:336)(cid:38)(cid:337)(cid:109)(cid:38)(cid:338)(cid:119)(cid:144)(cid:339)(cid:164)(cid:340)(cid:227)(cid:341)
(cid:342)“(cid:343)(cid:344)”(cid:68)(cid:235)(cid:237)(cid:91)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:83)(cid:350)(cid:179)(cid:127)(cid:172)(cid:230)“(cid:343)(cid:344)”(cid:276)(cid:144)(cid:28)“(cid:341)(cid:342)(cid:351)(cid:352)”(cid:68)(cid:161)(cid:156)(cid:83)(cid:235)(cid:237)(cid:353)(cid:172)(cid:230)(cid:91)(cid:97)(cid:354)(cid:22)(cid:83)“(cid:343)(cid:344)”
(cid:28)(cid:104)(cid:279)(cid:188)(cid:27)(cid:26)x(cid:355)(cid:49)(cid:83)(cid:157)(cid:356)(cid:357)(cid:79)(cid:44)| |= 5(cid:68)
(cid:38)(cid:337)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:265)(cid:10)“(cid:286)(cid:361)(cid:362)x(cid:28)(cid:141)(cid:57)(cid:363)𝑥(cid:82)−33+ 5(cid:86)”
(cid:38)(cid:338)(cid:364)(cid:201)(cid:365)(cid:366)(cid:168)(cid:265)(cid:367)(cid:10)“(cid:63)(cid:130)(cid:83)(cid:286)(cid:361)(cid:362)(cid:185)(cid:55)(cid:117)(cid:105)(cid:82)(cid:368)(cid:91)(cid:97)(cid:141)(cid:68)”(cid:369)(cid:370)(cid:38)(cid:338)(cid:276)(cid:265)(cid:28)(cid:368)(cid:91)(cid:97)(cid:141)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) 5 B(cid:68) + 5
C(cid:68)3− 5 D(cid:68)−(cid:73)3(cid:125)(cid:124)(cid:63)(cid:130)
【题型
−8 3 −
程序设计与实数运算】
(cid:15)(cid:133)8(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:207)(cid:309)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:280)(cid:82)(cid:91)(cid:97)(cid:26)(cid:141)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:76)| |<25(cid:77)
𝑥
(1)(cid:193)(cid:374)(cid:375)(cid:28)x(cid:112) (cid:195)(cid:83)(cid:374)(cid:95)(cid:28)y(cid:141)(cid:82)______(cid:86)
(2)(cid:134)(cid:374)(cid:375)(cid:27)(cid:26)x−(cid:168)1(cid:83)4(cid:376)(cid:350)(cid:374)(cid:63)(cid:95)y(cid:141)(cid:83)(cid:136)(cid:276)(cid:55)(cid:356)(cid:357)(cid:377)(cid:190)(cid:28)x(cid:28)(cid:141)(cid:112)______(cid:86)
(3)(cid:134)(cid:374)(cid:95)(cid:28)y(cid:82) 5(cid:83)(cid:190)x(cid:28)(cid:120)(cid:52)(cid:26)(cid:141)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)8-1(cid:21)(cid:76)23-24(cid:281)(cid:214)(cid:169)(cid:125)·(cid:378)(cid:379)(cid:329)(cid:380)(cid:381)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:116)(cid:84)(cid:280)(cid:276)(cid:107)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:83)(cid:105)(cid:382)(cid:374)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:308)(cid:112)2(cid:28)(cid:82)(cid:76)(cid:383)(cid:383)(cid:77)
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
A(cid:68) =2(cid:83) =2 B(cid:68) = 5(cid:83) 资 源= C(cid:68) = 5(cid:83) =1 D(cid:68) = (cid:83) =
辅
教
(cid:15)(cid:205)(cid:72)𝑥8-2(cid:21)(cid:76)𝑦24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)𝑥(cid:51)·(cid:282)(cid:17)(cid:330)𝑦 (cid:314)−·(cid:297)1(cid:298)(cid:270)(cid:271)𝑥(cid:77)(cid:144)−(cid:84)(cid:280)(cid:276)𝑦(cid:107)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:44)𝑥(cid:45)(cid:200)−(cid:83)2(cid:374)𝑦(cid:375) (cid:28)−2(cid:141)(cid:82)64(cid:195)(cid:83)(cid:374)(cid:95)(cid:28)
(cid:141)(cid:82) (cid:68) 𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:205)(cid:72)8-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:321)(cid:17)(cid:321)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:55)(cid:91)(cid:97)(cid:26)(cid:141)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:83)(cid:46)(cid:49)(cid:28)(cid:374)(cid:375)(cid:141)(cid:112)0(cid:172)100(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:384)(cid:44)
(cid:84)(cid:280)(cid:86)(cid:193)(cid:374)(cid:95) (cid:141)(cid:112) 2(cid:195)(cid:83)(cid:374)(cid:375)(cid:28)x(cid:141)(cid:82) (cid:68)
𝑦【题型9 新定义下的实数运算】
1 1 1 1
(cid:15)(cid:133)9(cid:21)(cid:286)(cid:237)(cid:238) (cid:111)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26) ( 1)(cid:28)(cid:385)(cid:137)(cid:26)(cid:83)(cid:84)(cid:10)2(cid:28)(cid:385)(cid:137)(cid:26)(cid:82) = (cid:83)-2(cid:28)(cid:385)(cid:137)(cid:26)(cid:82) = (cid:68)(cid:84)
( ) 3
1−𝑎 𝑎 𝑎≠ 1−2 −1 1− −2
(cid:308) = (cid:83) (cid:82) (cid:28)(cid:385)(cid:137)(cid:26)(cid:83) (cid:82) (cid:28)(cid:385)(cid:137)(cid:26)(cid:83) (cid:82) (cid:28)(cid:385)(cid:137)(cid:26)(cid:83)…(cid:83)(cid:100)(cid:183)(cid:113)(cid:386)(cid:83)(cid:369)(cid:370) + + +
𝑎1 −3 +𝑎2 𝑎1(cid:28)(cid:141)(cid:82)(cid:76) (cid:77)𝑎3 𝑎2 𝑎4 𝑎3 𝑎1−𝑎2 𝑎3−𝑎4 ⋯⋯
𝑎202 A 3 (cid:68) −𝑎2 1 0 3 24 𝑎2025 B(cid:68) C(cid:68) 11 D(cid:68) 23
12 4 12
− −3 −
(cid:15)(cid:205)(cid:72)9-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:252)(cid:199)(cid:387)(cid:388)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:229)(cid:130)(cid:27)(cid:26) (cid:83) (cid:49)(cid:50)(cid:91)(cid:75)(cid:43)(cid:33)(cid:10) ※ = (cid:83)(cid:136) 4※3 (cid:85)
(cid:179)(cid:76) (cid:77) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏−𝑏 −8
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68)2 D(cid:68)6
(cid:15)(cid:205)(cid:72)−9-62(cid:21)(cid:76)23-24(cid:243)(cid:214)(cid:169)−(cid:51)2·(cid:389)(cid:258)(cid:390)(cid:337)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:58)“*”(cid:106)(cid:107)(cid:91)(cid:75)(cid:48)(cid:43)(cid:33)(cid:10)(cid:130)(cid:179)(cid:138)(cid:103)(cid:119)(cid:27)(cid:26)a(cid:83)b(cid:124)(cid:55) =
+ (cid:68)(cid:133)(cid:84)4 9= 9+4=7(cid:83)(cid:369)(cid:370)15 64= (cid:68) 𝑎∗𝑏 𝑏
(cid:15)𝑎(cid:205)(cid:72)9-3(cid:21)∗(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:206)(cid:207)(cid:302)(cid:303)∗(cid:304)(cid:305)(cid:169)(cid:306)(cid:104)·(cid:297)(cid:298)(cid:270)(cid:271)(cid:77)(cid:286)(cid:237)(cid:238) ={ }(cid:66)(cid:391)(cid:42)M(cid:83)(cid:392)(cid:200)1(cid:83)3(cid:83)x
(cid:66)(cid:67)(cid:391)(cid:42)M(cid:28)(cid:212)(cid:393)(cid:68)(cid:391)(cid:42)(cid:200)(cid:28)(cid:212)(cid:393)(cid:394)(cid:55)(cid:187)(cid:49)(cid:34)(cid:76)(cid:84)x(cid:395)(cid:161)(cid:396)(cid:144)(cid:77)(cid:83)(cid:135)(cid:397)𝑀(cid:34)(cid:76)(cid:84)1,3,𝑥 1(cid:83) 3(cid:77)(cid:83)(cid:24)(cid:45)(cid:34)(cid:76)(cid:143)
(cid:398)(cid:205)(cid:212)(cid:393)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:83)(cid:391)(cid:42)(cid:63)(cid:205)(cid:77)(cid:68)(cid:134)(cid:391)(cid:42) ={ }(cid:83)(cid:286)(cid:237)(cid:265) = (cid:68)
科
(cid:274)(cid:275)
A
(cid:391)A(cid:42)+𝑥=≠{0,| 𝑥| ≠}(cid:83)(cid:391)(cid:42) =
全
号★
(cid:83)(cid:134) = (cid:83)(cid:136) + (cid:28)(cid:141)(cid:82)𝑁(cid:76) (cid:77)𝑥,1,3 公 众𝑀 𝑁 𝐴 𝑥 ,𝑦 𝐵
注
关
，
源
资
𝑥,𝑥A𝑦(cid:68), 𝑥4−𝑦 𝐴 𝐵B(cid:68)2𝑥教 辅𝑦 C(cid:68)0 D(cid:68)
【题型10 无理数整数部分的有关计算】 −2
(cid:15)(cid:133)10(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:253)(cid:277)(cid:253)(cid:379)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:399)(cid:258)(cid:82)(cid:200)(cid:268)(cid:215)(cid:236)(cid:400)(cid:58)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:260)(cid:28)(cid:91)(cid:75)(cid:404)(cid:258)(cid:405)(cid:394)(cid:83)(cid:84)(cid:280)(cid:83)(cid:399)(cid:258)(cid:28)
(cid:71)(cid:406)(cid:407)(cid:91)(cid:238)(cid:408)(cid:409)(cid:83)(cid:319)(cid:28)(cid:231)(cid:410)(cid:36)(cid:167)(cid:19)(cid:411)(cid:410)(cid:98)(cid:39)(cid:112) 26 (cid:83)(cid:134) 26 (cid:412)(cid:179)(cid:96)(cid:97)(cid:320)(cid:413)(cid:52)(cid:26)n(cid:109) +1(cid:98)(cid:99)(cid:83)(cid:136)n(cid:28)
(cid:141)(cid:82) (cid:68) −1 −1 𝑛
(cid:15)(cid:205)(cid:72)10-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:257)(cid:207)(cid:414)(cid:282)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:280)(cid:83)(cid:415)(cid:231)(cid:112)8(cid:83)(cid:411)(cid:112)4(cid:28)(cid:231)(cid:79)(cid:71)(cid:416)(cid:365)(cid:54)(cid:417)(cid:108)3(cid:97)(cid:418)(cid:232)(cid:71)
(cid:168)(cid:83)(cid:419)(cid:420)(cid:421)(cid:108)(cid:91)(cid:97)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:136)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:231)(cid:167)(cid:285)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68)4 B(cid:68)5 C(cid:68)6 D(cid:68)7(cid:15)(cid:205)(cid:72)10-2(cid:21)(cid:76)23-24(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:257)(cid:207)(cid:422)(cid:284)·(cid:248)(cid:249)(cid:77)(cid:134) 6+ 5(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:82)m(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:82)n(cid:83)(cid:136)| |(cid:112)
(cid:76) (cid:77) 𝑛−𝑚
A(cid:68) 5 B(cid:68) 5 C(cid:68) 5 D(cid:68)8
(cid:15)(cid:205)(cid:72)10-−3(cid:21)10(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)1(cid:169)0(cid:51)−·(cid:253)(cid:277)(cid:423)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:424)(cid:425)−(cid:426)2 (cid:427)(cid:10)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)(cid:63)(cid:19)(cid:179)(cid:239)(cid:97)(cid:26)(cid:28)(cid:167)(cid:19)(cid:52)
(cid:26)(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)(cid:239)(cid:97)(cid:26)(cid:36)(cid:319)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:385)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:10)1.4(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)1(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)
=0.4(cid:86) 3(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)1(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) 3 (cid:86)(cid:166)(cid:84)(cid:83) (cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) (cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)
1|.4−1 ( )|=0.2(cid:68)(cid:188)(cid:183)(cid:362)(cid:172)(cid:10)(cid:134) 3= + (cid:83)(cid:392)−(cid:200)1 x(cid:82)(cid:52)(cid:26)−(cid:83)3(cid:157).80< <1(cid:83)(cid:136)−4=1(cid:83) = 3 (cid:68)(cid:81)(cid:428)
(cid:426)−(cid:427)3.8(cid:83)−(cid:429)−(cid:430)4(cid:51)(cid:203)(cid:431)(cid:22)(cid:10) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 −1
(1)(cid:134) 10= + (cid:83)(cid:392)(cid:200)m(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0< <1(cid:83)(cid:136) = (cid:83) = (cid:86)
(2)(cid:134) =𝑚+ 𝑛26(cid:83)(cid:392)(cid:200)a(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0<𝑛 <1(cid:83)(cid:190)𝑚| + | ( 𝑛 )(cid:28)(cid:141)(cid:86)
(3)(cid:134)8−𝑎17𝑏= + (cid:83)(cid:392)(cid:200)p(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0<𝑏<1(cid:83)(cid:190) 𝑎 (cid:28)𝑏(cid:141)−(cid:68)𝑏−1
【题型
4−11
实数
𝑝
运算
𝑞
的实际应用】
𝑞 𝑝−𝑞
(cid:15)(cid:133)11(cid:21)(cid:84)(cid:280)(cid:83)(cid:231)(cid:79)(cid:71) (cid:28)(cid:231)(cid:112)2cm(cid:83)(cid:411)(cid:112)1cm(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:76)1(cid:77)(cid:415)(cid:231)(cid:79)(cid:71) (cid:149)(cid:150)(cid:162)(cid:193)(cid:28)(cid:54)(cid:417)(cid:76)(cid:432)(cid:95)(cid:54)(cid:417)(cid:233)(cid:77)(cid:83)(cid:382)(cid:54)(cid:417)(cid:168)(cid:28)(cid:280)(cid:71)(cid:105)(cid:421)(cid:108)(cid:91)(cid:97)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:318)(cid:432)(cid:95)(cid:276)(cid:421)(cid:28)
(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:86)(cid:76)(cid:114)(cid:95)𝐴(cid:3)𝐵𝐶(cid:433)𝐷(cid:126)(cid:109)(cid:26)(cid:428)(cid:77)
(cid:76)2(cid:77)(cid:190)(cid:276)(cid:421)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:181)(cid:231)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)11-1(cid:21)(cid:212)(cid:434)(cid:248)(cid:99)(cid:435)(cid:436)(cid:437)(cid:386)(cid:95)“(cid:123)(cid:356)100(cid:212)(cid:152)50(cid:212)”(cid:28)(cid:333)(cid:334)((cid:39)(cid:84)(cid:10)(cid:435)(cid:438)(cid:439)(cid:440)(cid:441)230(cid:212)(cid:83)(cid:235)(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:445)130
(cid:212))(cid:83)(cid:436)(cid:437)(cid:446)(cid:447)(cid:136)(cid:448)(cid:449)“(cid:165)(cid:450)9(cid:451)(cid:83)(cid:166)(cid:123)(cid:356)100(cid:212)(cid:152)50(cid:212)”(cid:28)(cid:452)(cid:453)(cid:68)(cid:295)(cid:165)(cid:454)(cid:82)(cid:436)(cid:437)(cid:446)(cid:447)(cid:83)(cid:455)(cid:440)(cid:456)(cid:91)(cid:457)(cid:114)(cid:458)320
(cid:212)(cid:28)(cid:125)(cid:459)(cid:83)(cid:235)(cid:167)(cid:460)(cid:444)(cid:445) (cid:212)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:72)11-2(cid:21)(cid:200)(cid:268)(cid:461)(cid:462)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:466)(cid:200)(cid:467)(cid:468)(cid:83)(cid:469)(cid:215)(cid:195)(cid:248)(cid:83)(cid:236)(cid:237)(cid:186)(cid:129)(cid:144)(cid:470)(cid:225)(cid:125)(cid:450)(cid:196)(cid:127)(cid:47)(cid:26)(cid:83)(cid:143)“(cid:196)(cid:470)(cid:47)(cid:26)”(cid:68)(cid:84)(cid:280)(cid:83)
(cid:91)(cid:104)(cid:471)(cid:472)(cid:144)(cid:170)(cid:173)(cid:172)(cid:171)(cid:100)(cid:101)(cid:473)(cid:203)(cid:28)(cid:470)(cid:225)(cid:125)(cid:450)(cid:196)(cid:83)(cid:356)5(cid:149)1(cid:83)(cid:58)(cid:127)(cid:467)(cid:474)(cid:475)(cid:225)(cid:476)(cid:95)(cid:454)(cid:168)(cid:28)(cid:299)(cid:26)(cid:68)(cid:188)(cid:280)(cid:117)(cid:275)(cid:83)(cid:475)(cid:225)(cid:476)
(cid:95)(cid:454)(cid:168)(cid:28)(cid:299)(cid:26)(cid:82)(cid:76) (cid:77)A(cid:68)10 B(cid:68)89 C(cid:68)165 D(cid:68)294
(cid:15)(cid:205)(cid:72)11-3(cid:21)(cid:76)2023·(cid:206)(cid:258)(cid:231)(cid:329)·(cid:91)(cid:208)(cid:77)(cid:477)(cid:91)(cid:478)(cid:479)(cid:125)(cid:480)(cid:168)(cid:83)(cid:112)(cid:230)(cid:106)(cid:481)(cid:144)(cid:482)(cid:248)(cid:100)(cid:483)(cid:484)(cid:202)(cid:485)(cid:108)(cid:26)(cid:11)(cid:260)(cid:327)(cid:28)(cid:38)(cid:486)(cid:109)(cid:38)
(cid:487)(cid:164)(cid:11)(cid:83)(cid:26)(cid:11)(cid:488)(cid:18)(cid:355)(cid:49)(cid:144)(cid:435)(cid:184)(cid:489)(cid:159)(cid:490)(cid:125)(cid:126)2(cid:491)(cid:306)(cid:458)(cid:124)(cid:82)16(cid:212)(cid:28)(cid:492)(cid:493)(cid:494)(cid:495)(cid:235)(cid:237)(cid:68)(cid:170)(cid:492)(cid:493)(cid:496)(cid:172)(cid:11)(cid:479)(cid:28)(cid:123)(cid:497)(cid:498)(cid:306)
(cid:499)(cid:500)(cid:501)(cid:124)(cid:112)1.6(cid:212)(cid:83)(cid:188)(cid:179)(cid:26)(cid:11)(cid:488)(cid:18)(cid:82)(cid:363)(cid:159)(cid:490)(cid:28)(cid:446)(cid:447)(cid:83)(cid:502)(cid:183)(cid:123)(cid:306)(cid:124)(cid:117)(cid:73)(cid:382)(cid:58)(cid:91)(cid:97)(cid:159)(cid:490)(cid:503)(cid:500)(cid:28)5(cid:212)(cid:159)(cid:490)(cid:504)(cid:505)(cid:130)(cid:123)
(cid:497)(cid:498)(cid:306)(cid:28)(cid:182)(cid:458)(cid:152)(cid:506)5(cid:212)(cid:76)(cid:498)(cid:306)(cid:182)(cid:458)(cid:63)(cid:93)(cid:499)(cid:500)(cid:501)(cid:83)(cid:164)(cid:91)(cid:498)(cid:306)(cid:442)(cid:507)(cid:508)(cid:382)(cid:58)(cid:91)(cid:97)(cid:504)(cid:505)(cid:77)(cid:68)(cid:509)(cid:81)(cid:428)(cid:363)(cid:492)(cid:493)(cid:496)(cid:28)(cid:452)(cid:453)
(cid:333)(cid:334)(cid:83)(cid:193)(cid:498)(cid:306)(cid:182)(cid:458)(cid:76)(cid:63)(cid:93)(cid:499)(cid:500)(cid:501)(cid:77)(cid:356)30(cid:212)(cid:195)(cid:83)5(cid:212)(cid:28)(cid:159)(cid:490)(cid:504)(cid:505)(cid:117)(cid:510)(cid:372)(cid:112)(cid:91)(cid:97)7(cid:212)(cid:28)(cid:496)(cid:336)(cid:504)(cid:505)(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:73)(cid:511)(cid:498)
(cid:306)(cid:182)(cid:458)(cid:76)(cid:63)(cid:93)(cid:499)(cid:500)(cid:501)(cid:77)(cid:152)(cid:506)7(cid:212)(cid:193)(cid:26)(cid:11)(cid:488)(cid:18)(cid:164)(cid:195)(cid:126)(cid:230)2(cid:491)(cid:492)(cid:493)(cid:115)(cid:512)(cid:51)(cid:306)(cid:444)(cid:445)(cid:195)(cid:83)(cid:38)(cid:486)(cid:164)(cid:11)(cid:265)(cid:10)“(cid:488)(cid:18)(cid:83)(cid:286)(cid:237)
(cid:117)(cid:73)(cid:372)(cid:91)(cid:75)(cid:51)(cid:306)(cid:79)(cid:72)(cid:83)(cid:452)(cid:453)(cid:513)(cid:102)(cid:514)”(cid:241)(cid:164)(cid:11)(cid:237)(cid:54)(cid:515)(cid:38)(cid:486)(cid:164)(cid:11)(cid:28)(cid:51)(cid:306)(cid:79)(cid:72)(cid:83)(cid:318)(cid:47)(cid:33)(cid:95)(cid:516)(cid:101)(cid:184)(cid:489)(cid:182)(cid:501)(cid:58)(cid:76)(cid:505)(cid:93)(cid:499)
(cid:500)(cid:501)(cid:77)(cid:167)(cid:460)(cid:117)(cid:112) (cid:212)(cid:68)
【题型12 与实数运算相关的规律题】
(cid:15)(cid:133)12(cid:21)(cid:517)(cid:518)(cid:51)(cid:203)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:318)(cid:429)(cid:430)(cid:431)(cid:22)(cid:10)
| 2|= 2 (cid:86)
①|1−2 3|= −31 2(cid:86)
②| 3− 4|= 4− 3(cid:86) 全
科AA+
号★
众
公
注
③| 4− 5|= 5− 4(cid:86) 关
，
源
资
辅
教
④…… − −
(1)(cid:241)(cid:94)(cid:95)(cid:519) (cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:10)______(cid:83)(cid:292)(cid:307)(cid:10)| 35 |=______(cid:86)
(2)(cid:94)(cid:95)(cid:242)(cid:520)⑤(cid:455)(cid:28)(cid:519)n(cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:10)______(cid:86)(cid:76)(cid:58)(cid:93)−6n(cid:28)(cid:72)(cid:225)(cid:106)(cid:107)(cid:77)
24
(3)(cid:39)(cid:40) (cid:36)1(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:68)
4
−1
(cid:15)(cid:205)(cid:72)12-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)·(cid:521)(cid:522)(cid:523)(cid:314)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:286)(cid:237)(cid:60)(cid:49)(cid:91)(cid:97)(cid:48)(cid:26)“ ”(cid:83)(cid:91)(cid:180)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:117)(cid:73)(cid:36)(cid:48)(cid:26)(cid:149)(cid:150)(cid:244)(cid:136)(cid:43)
(cid:33)(cid:83)(cid:157)(cid:524)(cid:55)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:61)(cid:109)(cid:43)(cid:33)(cid:177)(cid:136)(cid:160)(cid:161)(cid:108)(cid:158)(cid:83) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:83)(cid:369)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:370) + + + + + = (cid:68)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:205)(cid:72)𝑖12-2𝑖(cid:21)(cid:76)⋯24-2𝑖5(cid:243)(cid:214)(cid:169)𝑖(cid:51)·(cid:206)(cid:207)(cid:525)(cid:526)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:280)(cid:83)(cid:186)(cid:129)(cid:432)(cid:181)(cid:231)(cid:112)1(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:266)(cid:105)(cid:115)(cid:187)(cid:28)(cid:238) 2(cid:106)(cid:107)(cid:144)
(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:126) (cid:527)(cid:83)(cid:467) (cid:173)(cid:312)(cid:167)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:126)(cid:112) (cid:83)(cid:73)(cid:126) (cid:112)(cid:87)(cid:528)(cid:83) (cid:529)(cid:530)(cid:432)(cid:529)(cid:87)(cid:83)(cid:531)(cid:26)(cid:37)(cid:179)(cid:126) (cid:83)(cid:467) (cid:173)(cid:312)
(cid:167)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)𝐴1(cid:126)(cid:112) 𝐴(cid:83)1(cid:73)(cid:126) (cid:112)(cid:87)(cid:528)(cid:83) 𝐵(cid:112)1(cid:529)(cid:530)(cid:432)(cid:529)𝐵1(cid:87)(cid:83)(cid:531)(cid:26)(cid:37)𝐴1(cid:179)𝐵1(cid:126) (cid:83)(cid:84)(cid:183)(cid:532)(cid:413)(cid:83)(cid:136) 𝐴(cid:28)2 (cid:231)(cid:112)𝐴(cid:76)2 (cid:77)
𝐵2 𝐵2 𝐴2𝐵2 𝐴3 𝐴11𝐵11A(cid:68) 2 B(cid:68) 2 C(cid:68) 2 D(cid:68) 2+1
(cid:15)(cid:205)(cid:72)21−2-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:243)(cid:214)(cid:169)(cid:51)−1·(cid:257)(cid:207)(cid:295)(cid:336)(cid:273)·(cid:248)(cid:200)(cid:77)(cid:130)(cid:179)(cid:27)(cid:26) (cid:83)(cid:286)(cid:237)(cid:60)(cid:49)(cid:10)(cid:58){ }(cid:106)(cid:107)(cid:63)(cid:38)(cid:179) (cid:28)(cid:167)(cid:38)(cid:52)
𝑝 (cid:519)1(cid:101) (cid:519)2𝑝(cid:101) (cid:519)3(cid:101)𝑝
(cid:26)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:10){ 4}=2(cid:83){ 3}=2(cid:68)(cid:229)(cid:144)(cid:130)72(cid:149)(cid:150)(cid:84)(cid:51)(cid:533)(cid:260)(cid:10)72 { 72}=9 { 9}=3 { 3}=2(cid:83)
(cid:143)(cid:130)72(cid:442)(cid:443)(cid:149)(cid:150)3(cid:101)(cid:533)(cid:260)(cid:266)(cid:205)(cid:112)2(cid:68)(cid:113)(cid:39)(cid:125)(cid:534)(cid:533)(cid:260)(cid:83)(cid:134)(cid:130)(cid:119)(cid:52)(cid:26)→(cid:442)(cid:443)(cid:149)(cid:150)3(cid:101)→(cid:533)(cid:260)(cid:266)(cid:205)(cid:112)2→(cid:83)(cid:136) (cid:28)(cid:167)(cid:19)
(cid:141)(cid:112) (cid:68) 𝑛 𝑛
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
