文档文本内容
专题 21.1 二次根式（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
题型归纳
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:21)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 =| |(cid:21)...............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 ( 2) = ( 0)(cid:21)..................................................................................................................................3
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:41)(cid:42)(cid:43)2 (cid:44)(cid:21)................................................................................................................................................4
𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:21)................................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:27)(cid:21)................................................................................................................................................5
举一反三
知识点1 二次根式的概念
1.(cid:53)(cid:33)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:63) (cid:64)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)“ ”(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:9)(cid:57)a(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)
𝑎 𝒂≥𝟎
2.(cid:73)(cid:74)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:63)1(cid:64)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:9)“ ”(cid:83)(cid:63)2(cid:64)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:71)(cid:85)(cid:86)(cid:84)(cid:71)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:86)(cid:84)(cid:50)(cid:31)(cid:87)(cid:89)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:64)(cid:72)
知识点2 二次根式有无意义的条件
当 0时，二次根式 有意义；
当 <0(cid:78)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 无意义．
𝑎≥ 𝑎
(cid:90)(cid:62)𝑎(cid:10)(cid:91)(cid:92) + +1=𝑎( +1) 0(cid:57)(cid:93)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) + +1(cid:94)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:72)
2 2 2
知识点3 二 𝑥 次根 2𝑥 式的性质 𝑥 ≥ 𝑥 2𝑥
被开方数 0(cid:57)
1.(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:95)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:10)
二次根式 0．
𝑎≥
𝑎
2.( ) = （ 0）(cid:57)(cid:96)(cid:54)(cid:82)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:97)(cid:98) 𝑎 (cid:99) ≥ (cid:70)(cid:26)(cid:28)(cid:99)(cid:70)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:57)(cid:62)( 5) =5(cid:72)
2
2
𝑎 𝑎 𝑎≥ 0)(cid:57)
3. =| |= <0)(cid:57) (cid:96)(cid:54)(cid:82)(cid:105)(cid:32)(cid:106)(cid:71)(cid:28)(cid:99)(cid:70)(cid:28)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:70)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:28)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:72)
2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 −𝑎(𝑎(cid:62) (±11) =|±11|=11(cid:72)
2
(cid:73)(cid:74)(cid:10)( ) ( 0)(cid:109) (cid:28)(cid:110)(cid:111)
2 2
𝑎 𝑎≥ 𝑎
0)
运算结果 ( ) = =
<0)
2 2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 𝑎
−𝑎(𝑎
a的取值 0 任意实数
𝑎≥ (cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:26)(cid:9)(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
用来去根号，化简二次根式；
(cid:115)(cid:26)(cid:9)(cid:116)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:91)(cid:27)(cid:99)(cid:70)(cid:117)(cid:118)(cid:119)
作用 可用 =( ) 将任意一个非负实数 ①
① (cid:26)(cid:9)(cid:120). (cid:90)(cid:62)(cid:10)(cid:121) 0,(cid:122) 2 =
写成一个数的平方2 的形式 ②
② 𝑎 𝑎
2𝑎≥ 𝑎
2
【题型1 二次根式的概念】 𝑎
(cid:15)(cid:90)1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:131)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:135)(cid:27)(cid:54)(cid:53)(cid:136)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
A(cid:72) B(cid:72) C(cid:72) | |+1 D(cid:72)
2
(cid:15)(cid:137)(cid:27)1-−14(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)𝑥 ·(cid:138)(cid:17)(cid:139)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:126)(cid:134) 𝑥 (cid:135)(cid:27)(cid:54)(cid:53)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑥(cid:84)−(cid:63)1 (cid:64)
A(cid:72)3 5 B(cid:72) C(cid:72) 6 D(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:27)1-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)−3·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:54)(cid:53)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑎(cid:28)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
A(cid:72) +1 B(cid:72) C(cid:72) 3 D(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:27)1-𝑥3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)3−·(cid:138)π (cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:131)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:135)(cid:27)(cid:142)(cid:57)(cid:149)(cid:150)(cid:84)(cid:24)−(cid:25)1 (cid:26)(cid:27)(cid:151)(cid:149)(cid:150)(cid:152)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:151)(cid:153)
(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:72)
(cid:63)1(cid:64) 8 (cid:83)(cid:63)2(cid:64) (cid:83)(cid:63)3(cid:64) +1 (cid:83)(cid:63)4(cid:64)3 (cid:83)(cid:63)5(cid:64) + +4 (cid:83)
2 2
−15 𝑎 1 −8 𝑥 4𝑥
(cid:63)6(cid:64) 3 | | (cid:83)(cid:63)7(cid:64) 1+ < (cid:72)
4
𝑚 4𝑥 𝑥 −
【题型2 二次根式有意义的条件】
(cid:15)(cid:90)2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:158)(cid:124)(cid:125)(cid:159)·(cid:160)(cid:161)(cid:144)(cid:162)(cid:163)(cid:144)·(cid:69)(cid:11)(cid:164)(cid:165)(cid:64)(cid:121)(cid:27)(cid:65) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:122)(cid:106)(cid:71)(cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:84) (cid:72)
| |
𝑥−1
𝑥−2
(cid:15)(cid:137)(cid:27)2-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:169)(cid:17)(cid:170)(cid:171)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 2025+ (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:122)(cid:106)(cid:71)x(cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:84) (cid:72)
𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:27)2-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:138)(cid:17)(cid:144)(cid:172)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:142)(cid:87)(cid:89)x(cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:84) (cid:72)
𝑥−1
2 𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:27)2-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:159)·(cid:159)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:178) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:57) (cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:84) (cid:72)
3
𝑥− 𝑥【题型3 二次根式的双重非负性】
(cid:15)(cid:90)3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:143)(cid:144)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)(cid:180)(cid:108)(cid:93)(cid:31)(cid:106)(cid:71) (cid:57)(cid:79)(cid:80) | +1|+ 3 = | | (cid:57)(cid:122)
2
(cid:28)(cid:181)(cid:182)(cid:48)(cid:92) (cid:72) 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑚− 𝑥−2 𝑚
(cid:15)(cid:137)(cid:27)3-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)(cid:180)(cid:106)(cid:71)x(cid:57)y(cid:79)(cid:80) = + +2 (cid:57)(cid:122)( )
2025
(cid:28)(cid:48)(cid:92) (cid:72) 𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑦−𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:27)3-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:159)·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)·(cid:141)(cid:191)(cid:64)(cid:121)a(cid:57)b(cid:92)(cid:106)(cid:71)(cid:57)(cid:192)(cid:79)(cid:80) + +3) =0(cid:57)(cid:122) (cid:99)
2
(cid:70)(cid:26)(cid:84) (cid:72) |𝑎−5| (𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:137)(cid:27)3-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)(cid:180)(cid:106)(cid:71)x(cid:79)(cid:80) 2012 + + = (cid:57)
2 2
(cid:122) 2012 = (cid:72) −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥
2
【 𝑥 题 − 型4 =| |】
𝟐
𝒂 𝒂
(cid:15)(cid:90)4(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:188)(cid:195)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:121)(cid:45)(cid:46)| | + +16(cid:28)(cid:196)(cid:197)(cid:92) (cid:57)(cid:122) (cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)
2
(cid:84)(cid:63)(cid:198)(cid:198)(cid:64) 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3 𝑥
A(cid:72) =0 B(cid:72) 1 C(cid:72) 1 D(cid:72) 4
(cid:15)(cid:137)(cid:27)𝑥4-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)𝑥(cid:159)≤·(cid:187)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:141)(cid:191)(cid:64)(cid:179)𝑥(cid:180)≥1< <2(cid:57)(cid:45)(cid:46) 𝑥≤ +1+ +4 = (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:27)4-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:159)·(cid:144)(cid:146)(cid:202)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:203)(cid:112)𝑥(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:28)(cid:70)𝑥(cid:208)−(cid:57)2(cid:153)𝑥 (cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:126)𝑥(cid:134)−4(cid:212)𝑥(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:178)3 7(cid:78)(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:10) ( ) + ( ) =______(cid:83)
2 2
≤𝑎≤ 𝑎−3 7−𝑎
(2)(cid:121)(cid:100)(cid:27) ( ) ( +9) =14(cid:129)(cid:213)(cid:57)(cid:122)a(cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:84)______(cid:83)
2 2
𝑎−5 − 𝑎
(3)(cid:121) ( +1) + ( ) =8(cid:57)(cid:47)a(cid:28)(cid:48)(cid:72)
2 2
𝑎 𝑎−5
(cid:15)(cid:137)(cid:27)4-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:214) = 2021 ×2022(cid:57) =
2
2021 ×2022+2022 (cid:57)(cid:122) (cid:215) (cid:28)(cid:3)(cid:216)(cid:92)(cid:63) 𝑀 (cid:64) −2020 𝑁
2 2
A(cid:72)−4>042 B(cid:72) < 𝑀 𝑁 C(cid:72) = D(cid:72) =±
【题型
𝑀5
(
𝑁
) = (
𝑀
)】
𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁
𝟐
𝐚 𝒂 𝒂≥𝟎
(cid:15)(cid:90)5(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:143)(cid:144)(cid:217)(cid:16)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)(cid:180) (cid:28)(cid:218)(cid:219)(cid:220) (cid:221) (cid:221)(cid:79)(cid:80) + =3
+3 1 (cid:57)(cid:47) (cid:28)(cid:222)(cid:220)(cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2
2
𝑐 − 𝑐−8 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:27)5-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:223)(cid:224)(cid:109)(cid:99)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:121)1(cid:57) (cid:57)3(cid:84)(cid:218)(cid:225)(cid:61)(cid:28)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:57)(cid:45)(cid:46)( ) +16
2
2
= (cid:72) 𝑎 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎(cid:15)(cid:137)(cid:27)5-2(cid:21) （24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:230)(cid:231)(cid:212)(cid:22)(cid:142)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:210)(cid:211)(cid:126)(cid:134)(cid:212)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:179)(cid:180) ( ) = (cid:57)(cid:47) (cid:28)(cid:48)(cid:83)
2
2
(2)(cid:179)(cid:180)a(cid:57) (𝑥− b 3 (cid:84) ) (cid:106)−(cid:71)(cid:57)2−(cid:192)𝑥 > 2𝑥 𝑥 +1(cid:57)(cid:45)(cid:46) + (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:27)5-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)𝑏(cid:125)(cid:126)·𝑎(cid:127)−2(cid:128)−(cid:232)2(cid:140)2·−(cid:141)𝑎(cid:142)(cid:64)(cid:179)(cid:180) +1−2+𝑏 =𝑏2− 𝑎 +4 +6 +3 (cid:57)(cid:47)a(cid:221)b(cid:221)
c(cid:28)(cid:48)(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2 𝑏−1 𝑐 −14
【题型6 规律探究】
(cid:15)(cid:90)6(cid:21)(cid:63)24-25(cid:233)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:234)(cid:188)(cid:235)(cid:236)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:62)(cid:237)(cid:84)(cid:54)(cid:82)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:41)(cid:42)(cid:241)(cid:134)(cid:28)(cid:71)(cid:242)(cid:10)(cid:26)(cid:243)(cid:71)(cid:242)(cid:241)(cid:134)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:57)
(cid:244) (cid:63) (cid:84)(cid:245)(cid:71)(cid:57)(cid:192) 4(cid:64)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:71)(cid:244)( )(cid:82)(cid:71)(cid:84)(cid:63)(cid:112)(cid:50) (cid:28)(cid:251)(cid:71)(cid:27)(cid:252)(cid:253)(cid:64)(cid:63) (cid:64)
𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛−4 𝑛
A(cid:72) B(cid:72) C(cid:72) D(cid:72)
2 2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:27)6-𝑛1(cid:21)−(cid:63)4 2025·(cid:234)(cid:188)(cid:254)(cid:255)𝑛·(cid:24)−2(cid:256)(cid:64)(cid:257)(cid:54)(cid:25)(cid:258)(cid:259)(cid:74)𝑛(cid:260)−(cid:261)3(cid:159)(cid:57)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:112)(cid:266)𝑛(cid:267)−(cid:74)4 (cid:253)(cid:268)(cid:54)(cid:269)(cid:238)(cid:41)(cid:42)(cid:241)(cid:134)(cid:28)(cid:270)(cid:271)
(cid:27)(cid:61)(cid:27)(cid:6)(cid:9)(cid:251)(cid:272)(cid:57)(cid:273)(cid:270)(cid:271) (cid:27)(cid:274)(cid:25)(cid:92)(cid:10) (cid:57)4 2 (cid:57)6 3 (cid:57)8 4 (cid:57)10 5 ……(cid:57)(cid:122)(cid:244)n (cid:82)(cid:270)(cid:271)(cid:27)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
2 3 4 5
A(cid:72) 2𝑎 B𝑎(cid:72) 𝑎+1 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
C(cid:72)22(𝑛 +𝑛𝑎1) D(cid:72)22𝑛( 𝑛 ) 𝑎
𝑛 𝑛−1
𝑛 𝑛𝑎 𝑛−1 𝑛𝑎 1 1 2 2 3
(cid:15)(cid:137)(cid:27)6-2(cid:21)(cid:63)2025·(cid:275)(cid:199)(cid:276)(cid:53)·(cid:54)(cid:256)(cid:64)(cid:182)(cid:155)(cid:67)(cid:71)(cid:11)(cid:22)(cid:78)(cid:57)(cid:277)(cid:278)(cid:41)(cid:42)(cid:10) = (cid:83) =2 (cid:83) =3
2 2 5 5 10
1− 2− 3−
3 4 4
(cid:83) =4 (cid:83)…
10 17 17
4−
(cid:63)1(cid:64)(cid:244)5(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:92) (cid:83)
8 8
(cid:63)2(cid:64)(cid:121) = (cid:63)a(cid:57)b(cid:92)(cid:279)(cid:245)(cid:71)(cid:64)(cid:57)(cid:122) = (cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:27)6-3 𝑎 (cid:21) − (cid:63)𝑏 24𝑎-25𝑏(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:280)(cid:281)·(cid:141)(cid:142)𝑎(cid:64)⋅𝑏(cid:282)(cid:283)(cid:126)(cid:134)(cid:100)(cid:27)(cid:57)(cid:284)(cid:285)(cid:211)(cid:212)(cid:22)(cid:10)
3 = 1 = 1 (cid:83) 5 = 4 = 2 (cid:83) 7 = 9 = 3 (cid:83)…
4 4 2 9 9 3 16 16 4
① (1)(cid:26)1(cid:243)−(cid:159)(cid:286)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:287)②(cid:288)(cid:244)1
5
−(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:10)_____ ③ ___(cid:72)1−
(2)(cid:153)(cid:287)(cid:288)(cid:244) (cid:82)(cid:63) (cid:92)(cid:279)(cid:245)(cid:71)(cid:64)(cid:100)(cid:27)(cid:10)________(cid:57)(cid:284)(cid:289)(cid:155)(cid:209)(cid:28)(cid:196)(cid:207)(cid:72)
𝑛 𝑛 3 5 7 89
(3)(cid:203)(cid:112)(cid:159)(cid:286)(cid:196)(cid:207)(cid:57)(cid:290)(cid:97)(cid:10) … (cid:72)
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−【题型7 化简求值】
(cid:15)(cid:90)7(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)(cid:180)(cid:106)(cid:71)a(cid:79)(cid:80)6< <20(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:10) ( ) + ( ) (cid:72)
2 2
2𝑎−2 𝑎−4 𝑎−11
(cid:15)(cid:137)(cid:27)7-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:159)·(cid:144)(cid:193)(cid:193)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:179)(cid:180) =3 ( )+2 ( )+2(cid:57)(cid:47) ( )+ (cid:28)(cid:48)(cid:72)
2
(cid:15)(cid:137)(cid:27)7-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:188)(cid:195)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)𝑦 (cid:180)(cid:218)(cid:225)2(cid:61)𝑥−(cid:28)1(cid:81)(cid:219)(cid:220)(cid:204)1−(cid:111)2𝑥(cid:92)3(cid:109)5(cid:57)(cid:244) 𝑥 (cid:218) 𝑦 (cid:219)(cid:220)𝑥(cid:92)c(cid:57)(cid:45)
1
(cid:46) + +16(cid:72)
4
2 2
𝑐 4−4𝑐− 𝑐 −4𝑐
(cid:15)(cid:137)(cid:27)7-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:158)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:188)(cid:195)·(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:64)(cid:179)(cid:180) = =3(cid:57) = = 3(cid:57) = (cid:57) =
2 22 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏
2 𝑀 𝑁 𝑎𝑏 𝑃 𝑄
(cid:72)(cid:47)P(cid:221)Q(cid:28)(cid:48)(cid:72)
1 1
𝑎+𝑏
【题型8 隐含条件】
(cid:15)(cid:90)8(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:159)·(cid:144)(cid:193)(cid:295)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:121) (cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:216)(cid:27) + + + =
𝑚 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚 1−𝑥−𝑦⋅
+ (cid:57)(cid:122) = (cid:72)
𝑥−1 𝑦 𝑚
(cid:15)(cid:137)(cid:27)8-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:233)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:187)(cid:199)(cid:228)(cid:296)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:179)(cid:180) (cid:84)(cid:81)(cid:81)(cid:152)(cid:297)(cid:100)(cid:28)(cid:106)(cid:71)(cid:57)(cid:192)(cid:79)(cid:80) ( )+ ( )
𝑚,𝑥,𝑦 𝑚 𝑥−𝑚 𝑚 𝑦−𝑚
3
= (cid:57)(cid:122) (cid:28)(cid:48)(cid:92) (cid:72)
2 5 2
𝑥 +𝑥𝑦−𝑦
2 2
𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦 𝑥 −𝑥𝑦+ 𝑦
(cid:15)(cid:137)(cid:27)8-2(cid:21)(cid:121) (cid:221) (cid:221) (cid:92)(cid:106)(cid:71)(cid:57)(cid:192)(cid:79)(cid:80) + + =2 +1+4 +1+6 (cid:57)(cid:47) + + +3
(cid:28)(cid:48)(cid:92) (cid:72)𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐−2−14 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:27)8-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:233)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:223)(cid:224)(cid:109)(cid:99)·(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:121)(cid:106)(cid:71)a(cid:57)b(cid:57)c(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:216)(cid:27) + = +
+ (cid:57)(cid:122)c(cid:298) (cid:72) 𝑎−199 199−𝑎 2𝑎 𝑏−𝑐
【题
𝑏
型
−69
复合根式】
(cid:15)(cid:90)9(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:179)(cid:180)(cid:279)(cid:245)(cid:71) (cid:221) (cid:221)(cid:79)(cid:80) 5= (cid:72)(cid:122)(cid:299)(cid:300)(cid:28)
2
(cid:221) (cid:221)(cid:28)(cid:166)(cid:48)(cid:63) (cid:64)(cid:72) 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 −4 𝑚− 𝑛
𝑎 A𝑚(cid:72)(cid:31)𝑛(cid:54)(cid:269) B(cid:72)(cid:31)(cid:24)(cid:269) C(cid:72)(cid:301)(cid:101)(cid:24)(cid:269) D(cid:72)(cid:152)(cid:302)(cid:257)
(cid:15)(cid:137)(cid:27)9-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:187)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:290)(cid:97) 2025 2024(cid:28)(cid:196)(cid:197)(cid:84) (cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:27)9-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:275)(cid:188)(cid:306)(cid:307)·(cid:141)(cid:191)(cid:64)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:47)(cid:48)(cid:72) −
(cid:257)(cid:290)(cid:97) 10(cid:28)(cid:312)(cid:267)(cid:142)(cid:57)(cid:182)(cid:155)(cid:109)(cid:182)(cid:313)(cid:28)(cid:290)(cid:97)(cid:196)(cid:197)(cid:152)(cid:54)(cid:300)(cid:72)
7−2(cid:182)(cid:155)(cid:28)(cid:290)(cid:97)(cid:312)(cid:267)(cid:62)(cid:126)(cid:10) (cid:182)(cid:313)(cid:28)(cid:290)(cid:97)(cid:312)(cid:267)(cid:62)(cid:126)(cid:10)
10 10
7−2 7−2
(cid:298) 2×5+5 (cid:298) 2×5+5
(cid:298) 2−2 (cid:298) 2−2
( 2) 2× 5+ 5 ( 2) 2× 5+ 5
2 2 2 2
−2 −2
(cid:298) 2 5 (cid:298) 2 5
2 2
(cid:298) 2 −5 (cid:298) 5 −2
− −
(1)(cid:153)(cid:314)(cid:315)(cid:182)(cid:155)(cid:215)(cid:182)(cid:313)(cid:316)(cid:28)(cid:290)(cid:97)(cid:196)(cid:197)(cid:279)(cid:317)(cid:57)(cid:284)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:83)
(2)(cid:290)(cid:97)(cid:10) 5(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:27)9-3(cid:21)6−(cid:63)224-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:169)(cid:17)(cid:194)(cid:303)·(cid:173)(cid:174)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:15)(cid:309)(cid:310)(cid:318)(cid:319)(cid:21)(cid:182)(cid:155)(cid:257)(cid:11)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:57)(cid:277)(cid:278)(cid:54)(cid:150)(cid:50)(cid:26)(cid:9)
(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:85)(cid:86)(cid:45)(cid:129)(cid:320)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:65)(cid:28)(cid:99)(cid:70)(cid:57)(cid:62)(cid:10)5+2 6=(2+3)+2 2×3=( 2) +( 3) +2 2× 3=
2 2
( 2+ 3) (cid:83)
2
8+2 7=(1+7)+2 1×7=1 +( 7) +2×1× 7=(1+ 7) (cid:72)
2 2
2
(cid:15)(cid:205)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:21)
(1)(cid:182)(cid:16)(cid:324)(cid:325)(cid:182)(cid:155)(cid:28)(cid:70)(cid:208)(cid:115)4+2 3(cid:45)(cid:129)(cid:268)(1+ ) (cid:57)(cid:122) =__________(cid:57) 4+2 3=__________(cid:72)
2
𝑥 𝑥
(2)(cid:153)(cid:203)(cid:112)(cid:182)(cid:155)(cid:28)(cid:70)(cid:208)(cid:45)(cid:46) 3(cid:72)
7−4
