文档文本内容
专题 03 二次根式的化简求值（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:21)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:43)(cid:40)(cid:7)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:34)(cid:35)(cid:21)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:24)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:21)....................................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:21)..........................................................................................................12
【题型1 运用二次根式的非负性求值】
(cid:15)(cid:56)1(cid:21)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:17)(cid:63)(cid:64)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:36)a(cid:73)(cid:74)|2025−a|+ a−2026=a(cid:75)(cid:76)(cid:77)a−20252(cid:30)(cid:35)(cid:78)
(cid:57) (cid:69)
A(cid:79)2023 B(cid:79)2024 C(cid:79)2025 D(cid:79)2026
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)D
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:24)(cid:94)(cid:90)(cid:95)(cid:25)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:98)(cid:53)(cid:99)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:75)(cid:102)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:89)(cid:30)(cid:104)(cid:105)a≥2026(cid:75)(cid:106)(cid:107)(cid:41)(cid:42)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:75)(cid:104)(cid:105) a−2026=2025(cid:75)(cid:95)(cid:25)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:98)(cid:53)(cid:99)(cid:108)(cid:109)(cid:104)(cid:105)(cid:80)(cid:81)(cid:75)
(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:24)(cid:94)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:78)(cid:98)(cid:113)(cid:114)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) a−2026(cid:117)a−2026≥0(cid:75)
a≥2026(cid:75)(cid:118)2∵025−a<0(cid:75)
∴|2025−a|+ a−2026=a(cid:75)
∵a−2025+ a−2026=a(cid:75)(cid:108) a−2026=2025(cid:75)
∴a−2026=20252(cid:75)(cid:118)a−20252=2026(cid:75)
∴(cid:119)(cid:120)(cid:10)D(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)1-1(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:41)(cid:42)(cid:10) (x+5)2 −( x+2) 2 = (cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)3(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:128)(cid:129)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:89)(cid:130)(cid:102)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:88)(cid:89)(cid:104)(cid:105)x+2≥0(cid:75)(cid:108)(cid:109)(cid:104)(cid:105)x
+5>0(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:128)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:39)(cid:134)(cid:98)(cid:22)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10)(cid:103)(cid:22)(cid:109)(cid:104)x+2≥0(cid:75)
x+5>0(cid:75)
∴ (x+5)2−( x+2) 2 =x+5−(x+2)=3(cid:75)
∴
(cid:119)(cid:80)(cid:81)(cid:135)(cid:10)3(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)1-2(cid:21)(cid:57)24-25(cid:136)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:123)(cid:124)(cid:137)(cid:138)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:139)a(cid:75)b(cid:135)(cid:72)(cid:36)(cid:75)(cid:140)(cid:73)(cid:74)|a−4|+ −b2=0(cid:75)(cid:118) 4a−b(cid:30)(cid:35)(cid:135) (cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)4
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:129)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:75)(cid:34)(cid:142)(cid:143)(cid:36)(cid:30)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:75)(cid:111)(cid:112)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:129)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:30)
(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
a−4=0
(cid:28)(cid:131)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:129)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:104)(cid:105)
−b2=0
(cid:75)(cid:34)(cid:144)a,b(cid:75)(cid:145)(cid:50)(cid:51)(cid:106)(cid:146)(cid:34)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) |a−4|+ −b2=0(cid:75)|a−4|≥0(cid:75) −b2≥0(cid:75)
a−4=0 ∵
(cid:75)
−b2=0
∴a=4,b=0(cid:75)
∴ 4a−b= 4×4−0=4(cid:75)
∴(cid:119)(cid:80)(cid:81)(cid:135)(cid:10)4(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)1-3(cid:21)(cid:70)(cid:71) ABC(cid:30)(cid:147)(cid:148)(cid:149)a(cid:90)b(cid:90)c(cid:73)(cid:74)a+b−2 a−1−4 b−2=3 c+3− 1 c−8(cid:75)(cid:34) ABC(cid:30)(cid:150)(cid:149)(cid:79)
2
△ △
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)14
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) a+b−2 a−1−4 b−2=3 c+3− 1 c−8(cid:75)
2
∵
( a−1−1) 2 +( b−2−2) 2 + 1 ( c+3−3) 2 =0(cid:75)
2
∴
a−1−1=0(cid:75) b−2−2=0(cid:75) c+3−3=0(cid:75)
∴a=2(cid:75)b=6(cid:75)c=6(cid:75)
∴a+b+c=14(cid:79)
∴ 【题型2 运用数形结合法化简】
(cid:15)(cid:56)2(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:55)(cid:151)(cid:58)(cid:152)(cid:153)·(cid:127)(cid:154)(cid:69)(cid:72)(cid:36)a(cid:75)b(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:36)(cid:157)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:156)(cid:75)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:10)
a2−2ab+b2+ 9a2−6a+1− b2+|a+b|(cid:75)(cid:163)(cid:117)a=1− 5(cid:75)b= 5−2(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)1−5a−b(cid:75)4 5−2
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:36)(cid:164)(cid:36)(cid:158)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:28)(cid:131)(cid:165)(cid:157)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:30)(cid:166)(cid:167)(cid:75)(cid:168)(cid:169)(cid:29)(cid:170)(cid:30)(cid:171)(cid:9)(cid:75)(cid:28)(cid:131)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:128)(cid:129)(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:30)(cid:86)(cid:87)(cid:75)(cid:41)(cid:42)(cid:133)(cid:75)(cid:145)(cid:50)(cid:35)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10)(cid:103)(cid:36)(cid:158)(cid:109)(cid:71)(cid:10)a<0<b(cid:75)|a|>b(cid:75)
a−b<0,a+b<0(cid:75)
∴a=1− 5(cid:75)b= 5−2(cid:75)
∵3a−1=3−3 5−1=2−3 5<0(cid:75)
∴ a2−2ab+b2+ 9a2−6a+1− b2+|a+b|
∴ = (a−b)2+ (3a−1)2− b2+|a+b|
=b−a+1−3a−b−a−b
=1−5a−b(cid:130)
a=1− 5(cid:75)b= 5−2(cid:173)(cid:75)(cid:174)(cid:29)=1−5(1− 5)−( 5−2)=1−5+5 5− 5+2=4 5−2(cid:79)
∴(cid:15)(cid:121)(cid:29)2-1(cid:21)(cid:57)23-24(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:159)·(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)·(cid:127)(cid:154)(cid:69)(cid:160)(cid:161)(cid:75)(cid:157)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:165)O(cid:90)B(cid:90)C(cid:162)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:72)(cid:36)(cid:44)(cid:179)(cid:135)0(cid:90)1(cid:90) 3(cid:75)
(cid:139)(cid:165)B(cid:105)(cid:165)C(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:164)(cid:165)O(cid:105)(cid:165)A(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:100)(cid:75)(cid:183)(cid:165)A(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:72)(cid:36)(cid:135)x(cid:79)
(1)(cid:184)(cid:144)(cid:72)(cid:36)x(cid:30)(cid:35)(cid:130)
2024
(2)(cid:34)(x− 3) (cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1) 3−1
(2)1
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:187)(cid:39)(cid:24)(cid:94)(cid:90)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:188)(cid:165)(cid:189)(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:90)(cid:142)(cid:190)(cid:142)(cid:27)(cid:53)(cid:99)(cid:30)(cid:191)(cid:25)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:165)(cid:75)(cid:192)
(cid:193)(cid:155)(cid:156)(cid:144)(cid:194)(cid:66)(cid:149)(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:57)1(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:165)B(cid:105)(cid:165)C(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:164)(cid:165)O(cid:105)(cid:165)A(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:100)(cid:75)(cid:134)(cid:38)(cid:39)A(cid:75)B(cid:75)C(cid:30)(cid:166)(cid:167)(cid:195)(cid:3)(cid:196)x(cid:30)(cid:142)(cid:190)(cid:142)(cid:27)(cid:53)(cid:99)(cid:34)
(cid:98)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:57)1(cid:69)(cid:162)(cid:104)x(cid:30)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:106)(cid:146)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10) (cid:165)O(cid:75)B(cid:75)C(cid:162)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:36)(cid:44)(cid:179)(cid:135)0(cid:75)1(cid:75) 3(cid:75)
BC= 3−1(cid:75) ∵
∴(cid:165)B(cid:105)(cid:165)C(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:164)(cid:165)O(cid:105)(cid:165)A(cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:100)(cid:75)
∵OA= 3−1(cid:75)(cid:108)x−0= 3−1(cid:75)
∴x= 3−1(cid:79)
2024 2024
∴(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10)(x− 3) =( 3−1− 3) =(−1)2024=1(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)2-2(cid:21)(cid:57)23-24(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:159)·(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:203)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:57)1(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:36)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:157)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:30)(cid:166)(cid:167)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:156)(cid:10)
(cid:41)(cid:42)(cid:10) b2−|a−b|+ (c−a)2−|c|
(cid:57)2(cid:69)(cid:70)(cid:71)x= 5−2(cid:75)(cid:34)(9+4 5)x2−( 5+2)x+4(cid:30)(cid:35)(cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)0
(cid:57)2(cid:69)4
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:72)(cid:36)(cid:164)(cid:36)(cid:158)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:128)(cid:90)(cid:41)(cid:42)(cid:164)(cid:187)(cid:39)(cid:24)(cid:94)(cid:75)(cid:204)(cid:193)(cid:41)(cid:42)(cid:205)(cid:29)(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:57)1(cid:69)(cid:102)(cid:41)(cid:42)(cid:205)(cid:29)(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:145)(cid:106)(cid:146)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:102)(cid:172)(cid:94)(cid:144)x2(cid:30)(cid:35)(cid:75)(cid:145)(cid:50)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10)(cid:57)1(cid:69)(cid:103)(cid:36)(cid:158)(cid:71)(cid:10)c<b<0<a(cid:75)
a−b>0(cid:75)c−a<0
∴
b2−|a−b|+ (c−a)2−|c|
∴
=−b−(a−b)−(c−a)−(−c)
=−b−a+b+a−c+c
=0(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:103)x= 5−2(cid:75)
2
x2=( 5−2) =5−4 5+4=9−4 5(cid:75)
∴(9+4 5)x2−( 5+2)x+4
∴=(9+4 5)(9−4 5)−( 5+2)( 5−2)+4
=81−80−(5−4)+4
=4(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)2-3(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:159)·(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:160)(cid:161)(cid:75)(cid:142)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:165)A(cid:214)(cid:36)(cid:158)(cid:215)(cid:216)(cid:217)2(cid:143)(cid:218)(cid:166)(cid:149)(cid:219)(cid:105)(cid:220)(cid:165)
B(cid:75)(cid:165)C(cid:164)(cid:165)B(cid:3)(cid:196)(cid:174)(cid:165)(cid:93)(cid:221)(cid:75)(cid:139)A(cid:90)B(cid:90)C(cid:147)(cid:165)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:36)(cid:44)(cid:179)(cid:135)a(cid:90)b(cid:90)c(cid:75)(cid:140)a=− 2(cid:79)(1)(cid:118)b=_____(cid:75)c= _____(cid:75)bc+6=_____(cid:130)
(2)(cid:41)(cid:42)(cid:10) a2+ b2+ c2(cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1)− 2+2(cid:130) 2−2(cid:130)4 2
(2)4− 2
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:72)(cid:36)(cid:164)(cid:36)(cid:158)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:187)(cid:39)(cid:172)(cid:94)(cid:75)(cid:41)(cid:42)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:10)
(cid:57)1(cid:69)(cid:28)(cid:131)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:188)(cid:165)(cid:180)(cid:181)(cid:172)(cid:94)(cid:7)(cid:29)(cid:109)(cid:104)b=a+2=− 2+2(cid:75)(cid:145)(cid:103)(cid:165)C(cid:164)(cid:165)B(cid:3)(cid:196)(cid:174)(cid:165)(cid:93)(cid:221)(cid:75)(cid:109)(cid:104)c=−b= 2−2(cid:75)
(cid:131)(cid:222)(cid:172)(cid:94)bc+6(cid:30)(cid:38)(cid:223)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:28)(cid:131)(cid:57)1(cid:69)(cid:162)(cid:34)(cid:75)(cid:102)(cid:41)(cid:42)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:75)(cid:145)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:224)(cid:225)(cid:172)(cid:94)(cid:40)(cid:118)(cid:34)(cid:98)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:130) (cid:142)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:165)A(cid:214)(cid:36)(cid:158)(cid:215)(cid:216)(cid:217)2(cid:143)(cid:218)(cid:166)(cid:149)(cid:219)(cid:105)(cid:220)(cid:165)B(cid:75)a=− 2(cid:75)
b=a+2=− 2+2(cid:130) ∵
∴(cid:165)C(cid:164)(cid:165)B(cid:3)(cid:196)(cid:174)(cid:165)(cid:93)(cid:221)(cid:75)
∵c=−b= 2−2(cid:75)
∴bc+6
∴=( 2−2)(− 2+2)+6
=−(2−4 2+4)+6
=−6+4 2+6
=4 2(cid:75)
(cid:119)(cid:80)(cid:81)(cid:135)(cid:10)− 2+2(cid:130) 2−2(cid:130)4 2(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10) a2+ b2+ c2
2 2 2
= (− 2) + (− 2+2) + ( 2−2)
= 2+2− 2+2− 2
=4− 2(cid:79)
【题型3 运用乘法公式求值】
(cid:15)(cid:56)3(cid:21)(cid:57)2024(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:226)(cid:206)·(cid:227)(cid:22)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)a= 5+2(cid:75)b= 5−2(cid:75)(cid:34)(cid:61)(cid:195)(cid:29)(cid:170)(cid:30)(cid:35)(cid:10)
(1)a2b+ab2(cid:130)
(2)a2−3ab+b2(cid:130)(3)(a−2)(b−2)(cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1)2 5
(2)78−30 5
(3)5−4 5
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:222)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:228)(cid:29)(cid:44)(cid:98)(cid:129)(cid:48)(cid:29)(cid:43)(cid:40)(cid:24)(cid:94)(cid:75)(cid:111)(cid:112)(cid:95)(cid:25)(cid:229)(cid:7)(cid:228)(cid:29)(cid:40)(cid:228)(cid:29)(cid:44)(cid:98)(cid:129)(cid:230)(cid:231)
(cid:29)(cid:43)(cid:230)(cid:231)(cid:29)(cid:40)(cid:118)(cid:78)(cid:98)(cid:113)(cid:222)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:57)1(cid:69)(cid:102)(cid:34)(cid:144)ab(cid:129)a+b(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:232)(cid:174)(cid:29)(cid:228)(cid:29)(cid:44)(cid:98)(cid:50)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:121)(cid:37)(cid:104)(cid:144)(cid:80)(cid:81)(cid:130)
(cid:57)3(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:230)(cid:231)(cid:29)(cid:43)(cid:230)(cid:231)(cid:29)(cid:40)(cid:118)(cid:232)(cid:174)(cid:29)(cid:235)(cid:236)(cid:75)(cid:50)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10) a= 5+2,b= 5−2(cid:75)
ab=( 5+2)( 5−2)=∵1(cid:75)a+b=( 5+2)+( 5−2)=2 5(cid:75)
∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×2 5=2 5(cid:130)
∴(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10)a2−30b+b2
=(a+b)2−2ab−30b
2
=(2 5) −2×1−30×( 5−2)
=20−2−30 5+60
=78−30 5(cid:130)
(cid:57)3(cid:69)(cid:98)(cid:10)(a−2)(b−2)
=ab−2(a+b)+4
=1−2×2 5+4
=5−4 5(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)3-1(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:17)(cid:62)(cid:178)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:70)(cid:71)a= 11+4(cid:75)b= 11−4(cid:75)(cid:34)a2+b2+ab(cid:30)(cid:35)(cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)49
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:187)(cid:39)(cid:24)(cid:94)(cid:75)(cid:102)(cid:34)(cid:144)a+b(cid:75)ab(cid:30)(cid:35)(cid:75)(cid:145)(cid:28)(cid:131)a2+b2+ab=(a+b)2−ab(cid:50)(cid:35)(cid:172)(cid:94)
(cid:108)(cid:109)(cid:104)(cid:105)(cid:80)(cid:81)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) a= 11+4(cid:75)b= 11−4(cid:75)
a+b= 11+4+∵11−4=2 11(cid:75)ab=( 11+4)×( 11−4)=11−16=−5(cid:75)
∴a2+b2+ab
∴=(a2+b2+2ab)−ab=(a+b)2−ab
2
=(2 11) −(−5)
=44+5
=49(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)3-2(cid:21)(cid:57)23-24(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:17)(cid:237)(cid:238)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:70)(cid:71)x= 5−2(cid:75)y= 5+2(cid:79)
(1)(cid:34)x2+2xy+y2(cid:30)(cid:35)(cid:79)
y x
(2)(cid:34) − (cid:30)(cid:35)(cid:79)
x y
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1)20
(2)8 5
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据二次根式的减法法则求出x−y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据分式的减法法则把原式变形，
代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)解： x= 5−2，y= 5+2，
x+y=( 5−2)+( 5+2)=∵2 5，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(2 5)2=20；
∴(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10) x= 5−2，y= 5+2，
x−y=( 5−∵2)−( 5+2)=−4，
∴xy=( 5−2)( 5+2)=5−4=1，
∴ y − x = y2−x2 = (y x)(y−x)2 5×4=8 5．
x y xy xy 1
+
∴
2
(cid:15)(cid:121)(cid:29)3-3(cid:21)(cid:57)22-23(cid:136)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:239)(cid:152)(cid:206)(cid:19)(cid:151)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:70)(cid:71)x = (cid:75) x = 5+ 3(cid:75)(cid:34)x 2+x 2(cid:30)(cid:35)
1 2 1 2
5 3
+
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)16
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:95)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21) x = 2 = 5− 3(cid:75)x = 5+ 3(cid:75)
1 2
5 3
∵ +
x +x =2 5(cid:75)x x =2
1 2 1 2
2
∴x 2+x 2=(x +x )2−2x x =(2 5) −2×2=16(cid:79)
1 2 1 2 1 2
∴(cid:15)(cid:165)(cid:240)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:187)(cid:39)(cid:24)(cid:94)(cid:75)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:121)(cid:37)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:78)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:187)(cid:39)
(cid:24)(cid:94)(cid:40)(cid:118)(cid:79)【题型4 运用分母有理化求值】
(cid:15)(cid:56)4(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:200)(cid:201)(cid:220)(cid:178)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:139)x2−x−2=0(cid:75)(cid:118) x2−x 2 3 (cid:30)(cid:35)(cid:135)(cid:57) (cid:69)
(x2−x)2−1 3
+
+
1 2 3 3
A(cid:79)1 B(cid:79) C(cid:79) D(cid:79) 3(cid:241)
3 3 3
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)C
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:44)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:75)(cid:28)(cid:131)(cid:22)(cid:86)(cid:104)(cid:105)x2−x=2(cid:75)(cid:145)(cid:199)x2−x=2(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:162)(cid:34)(cid:29)
(cid:170)(cid:117)(cid:172)(cid:94)(cid:34)(cid:98)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) x2−x−2=0(cid:75)
x2−x=2(cid:75) ∵
∴ x2−x 2 3
(x2−x)2−1 3
+
∴ 2+2 3+
=
22 −1+ 3
2+2 3
=
3+ 3
(2+2 3)(3− 3)
=
(3+ 3)(3− 3)
6+6 3−2 3−6
=
9−3
2 3
= (cid:75)
3
(cid:119)(cid:120)(cid:10)C(cid:79)
x 1
(cid:15)(cid:121)(cid:29)4-1(cid:21)(cid:57)23-24(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:159)·(cid:242)(cid:17)(cid:243)(cid:244)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)x= 2+1(cid:75)(cid:118)(cid:50)(cid:36)(cid:29) (cid:30)(cid:35)(cid:135)(cid:57) (cid:69)
x−1
+
A(cid:79) 2+1 B(cid:79) 2+2 C(cid:79)3 D(cid:79) 2−1
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)A
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:232)x(cid:30)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:50)(cid:36)(cid:29)(cid:117)(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:145)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10)(cid:174)(cid:29)= 2 2=1+ 2(cid:130)
2
+
(cid:119)(cid:120)(cid:10)A(cid:79)
(cid:15)(cid:165)(cid:240)(cid:21)(cid:222)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:30)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)4-2(cid:21)(cid:57)22-23(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:159)·(cid:159)(cid:238)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:245)(cid:246)a b=
a−b
(cid:75)(cid:118) 5 2(cid:30)(cid:35)(cid:78)(cid:57) (cid:69)
a b
⊗ + ⊗
A(cid:79)5+4 5 B(cid:79)5−4 5 C(cid:79)9−4 5 D(cid:79)9+4 5
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)Ca−b
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:28)(cid:131)(cid:247)(cid:246)(cid:87)a b= (cid:75)(cid:197)(cid:198)(cid:232)a= 5,b=2(cid:50)(cid:51)(cid:133)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:108)(cid:109)(cid:104)(cid:105)(cid:80)(cid:81)(cid:79)
a b
⊗ +
a−b
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) a b= (cid:75)
a b
∵ ⊗ +
5 2= 5−2
5 2
∴ ( 5 ⊗ −2)( 5+−2)
=
( 5−2)( 5+2)
5−4 5+4
=
5−4
=9−4 5(cid:75)
(cid:119)(cid:120)(cid:10)C(cid:79)
(cid:15)(cid:165)(cid:240)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:247)(cid:246)(cid:87)(cid:24)(cid:94)(cid:75)(cid:248)(cid:249)(cid:50)(cid:36)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:90)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:75)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:24)(cid:94)(cid:40)(cid:118)(cid:78)(cid:98)(cid:113)(cid:114)(cid:22)(cid:30)
(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)4-3(cid:21)(cid:139)x=
5 1
(cid:75)(cid:118)
x2−x 1 2 3
(cid:30)(cid:35)(cid:100)(cid:196)(cid:57)(cid:250)(cid:250)(cid:69)
2 (x2−x)2 2 3
+ + +
+ +
A(cid:79)
2 3
B(cid:79)
3
C(cid:79) 3 D(cid:79)
3
(cid:241) 3
3 3 3
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)A
5 1
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:251)(cid:22)(cid:98)(cid:82)(cid:10) x(cid:252) (cid:75)
2
+
x2-x ∵
∴=x(cid:57)x-1(cid:69)(cid:75)
=
5 1
×
5−1(cid:75)
2 2
+
=1(cid:75)
x2−x 1 2 3
(cid:75)
(x2−x)2 2 3
+ +
∴ + +
1 1 2 3
= (cid:75)
1 2 3
+ +
+ +
2 3
= (cid:75)
3
(cid:119)(cid:120)A(cid:79)
【题型5 运用整体代入法化简求值】
b a
(cid:15)(cid:56)5(cid:21)(cid:70)(cid:71)a+b=−8(cid:75)ab=12(cid:79)(cid:34) + (cid:30)(cid:35)
a b
4
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21) 3
3(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:53)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:75)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:253)(cid:254)(cid:36)(cid:11)(cid:255)(cid:256)(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)(cid:28)
(cid:131)(cid:34)(cid:50)(cid:36)(cid:29)(cid:35)(cid:117)(cid:30)(cid:48)(cid:49)(cid:257)(cid:258)(cid:75)(cid:108)(cid:109)(cid:98)(cid:80)(cid:79)
2
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) b + a = b + a +2= b2+a2+2ab = (a+b)2 = 64 (cid:130)
a b a b ab ab 12
∵
(cid:174)(cid:29)= 64 = 4 3(cid:79)
12 3
∴
(cid:15)(cid:121)(cid:29)5-1(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:259)(cid:260)(cid:152)(cid:261)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:70)(cid:71)a+b= 3+ 2(cid:75)ab= 6(cid:75)(cid:44)(cid:179)(cid:34)(cid:61)(cid:195)(cid:50)(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:10)
1
(1)
a b
+
(2)a2+b2
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1) 3− 2
(2)5
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:187)(cid:39)(cid:24)(cid:94)(cid:90)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:75)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:182)(cid:3)(cid:24)(cid:94)(cid:40)(cid:118)(cid:134)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:98)(cid:78)(cid:98)(cid:80)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:57)1(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:30)(cid:34)(cid:98)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:98)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:95)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:129)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:94)(cid:40)(cid:118)(cid:34)(cid:98)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10) a+b= 3+ 2(cid:75)
1 = 1 (cid:130) ∵
a b 3 2
∴ + +3− 2
=
( 3+ 2)( 3− 2)
= 3− 2(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10) a+b= 3+ 2(cid:75)ab= 6(cid:75)
a2+b2=(a+∵b)2−2ab
2
∴=( 3+ 2) −2 6
=3+2 6+2−2 6
=5(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)5-2(cid:21)(cid:57)23-24(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)x−y=−2 3(cid:75)xy=1(cid:75)(cid:34)(cid:61)(cid:195)(cid:50)(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:10)
(1)x2−xy+y2(cid:130)
y x
(2) + (cid:79)
x y
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1)13
(2)14
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:232)(cid:174)(cid:29)(cid:48)(cid:47)(cid:135)(x−y)2+xy(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:50)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:108)(cid:109)(cid:130)(x−y)2 2xy
(cid:57)2(cid:69)(cid:232)(cid:174)(cid:29)(cid:48)(cid:47)(cid:135) (cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:50)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
xy
+
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10)x2−xy+y2
2
= x−y +xy
2
=(−2 3) +1
=12+1
=13(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10) y + x
x y
x2+y2
=
xy
2
x−y +2xy
=
xy
2
(−2 3) +2
=
1
=12+2
=14(cid:79)
(cid:15)(cid:165)(cid:240)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:187)(cid:39)(cid:24)(cid:94)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:106)(cid:146)(cid:24)(cid:94)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:75)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:182)(cid:3)(cid:24)(cid:94)(cid:40)(cid:118)
(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)5-3(cid:21)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:61)(cid:195)(cid:269)(cid:270)(cid:10)
(cid:114)(cid:22)(cid:10)(cid:70)(cid:71)x= 5+2(cid:75)(cid:34)(cid:50)(cid:36)(cid:29)x2−4x−7(cid:30)(cid:35)(cid:79)(cid:271)(cid:272)(cid:30)(cid:273)(cid:40)(cid:78)(cid:10)(cid:28)(cid:131)x= 5+2(cid:104)(x−2)2(cid:252)5(cid:75) x2−4x+4=5(cid:75)(cid:104)x2−4
x=1(cid:79)(cid:199)x2−4x(cid:126)(cid:135)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:104)x2−4x−7=1−7=−6(cid:79)(cid:108)(cid:10)(cid:199)(cid:70)(cid:71)(cid:88)(cid:89)(cid:274)(cid:275)(cid:121)(cid:37)(cid:75)(cid:145)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)∴(cid:98)(cid:113)(cid:114)(cid:22)(cid:79)(cid:266)(cid:276)(cid:25)
(cid:159)(cid:277)(cid:53)(cid:40)(cid:98)(cid:113)(cid:61)(cid:278)(cid:114)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:70)(cid:71)x= 5−2(cid:75)(cid:34)(cid:50)(cid:36)(cid:29)x2+4x−10(cid:30)(cid:35)(cid:130)
(2)(cid:70)(cid:71) x=
5−1(cid:75)(cid:34)(cid:50)(cid:36)(cid:29)x3+x2+1(cid:30)(cid:35)(cid:79)
2
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1)−9
5 1
(2)
2
+
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:30)(cid:191)(cid:25)(cid:90)(cid:48)(cid:49)(cid:257)(cid:258)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:165)(cid:75)(cid:28)(cid:131)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:34)(cid:144)x2+4x=1(cid:75)
(cid:132)(cid:133)(cid:50)(cid:51)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:130)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:257)(cid:258)(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:83)(cid:22)(cid:185)(cid:186)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:40)(cid:90)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:165)(cid:28)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:40)(cid:40)(cid:118)(cid:90)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:172)
(cid:94)(cid:109)(cid:104)x2=3− 5 (cid:75)x3= 5−2(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:130)(cid:279)(cid:280)(cid:24)(cid:25)(cid:182)(cid:3)(cid:24)(cid:94)(cid:40)(cid:118)(cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
2(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10) x= 5−2(cid:75)
(x+2)2=5(cid:75) ∵
∴x2+4x+4=5(cid:75)
∴x2+4x=1(cid:75)
∴x2+4x−10=1−10=−9(cid:79)
(cid:57)
∴
2(cid:69)(cid:98)(cid:10) x=
5−1(cid:75)
2
∵2
x2= 5−1 =3− 5 (cid:75)
2 2
∴
x3=x·x2= 5−1×3− 5= 5−2(cid:75)
2 2
∴
x3+x2+1= 5−2+3− 5= 5 1 (cid:79)
2 2
+
∴
【题型6 运用配方法化简双重二次根式】
(cid:15)(cid:56)6(cid:21)(cid:57)24-25(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:242)(cid:207)(cid:281)(cid:282)·(cid:127)(cid:117)(cid:69)(cid:267)(cid:268)(cid:164)(cid:257)(cid:84)
2
(cid:37)(cid:160) m±2 n(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:210)(cid:186)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:105)(cid:188)(cid:143)(cid:36)a(cid:75)b(cid:286)a+b=m(cid:75)ab=n(cid:75)(cid:253)(cid:287)( a)2+( b) =m(cid:75) a b= n(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:288)
⋅
2
(cid:46) m±2 n= ( a± b) = a± b(cid:57)a>b(cid:69)(cid:79)
(cid:56)(cid:160)(cid:10)(cid:41)(cid:42) 7+4 3(cid:79)
(cid:98)(cid:10)(cid:289)(cid:102)(cid:199) 7+4 3(cid:41)(cid:135) 7+2 12(cid:75)(cid:253)(cid:290)m=7(cid:75)n=12(cid:79)
2 2
(cid:103)(cid:196)4+3=7(cid:75)4×3=12(cid:75)( 4) +( 3) =7(cid:75) 4 3= 12(cid:75)
2 ⋅
7+4 3= 7+2 12= ( 4+ 3) =2+ 3(cid:79)
∴
(cid:291)(cid:292)(cid:159)(cid:278)(cid:56)(cid:22)(cid:75)(cid:98)(cid:113)(cid:61)(cid:195)(cid:114)(cid:22)(cid:79)
(1) 8+2 15(cid:79)
(2) 11−2 30(cid:79)
(3) 7+ 40(cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1) 5+ 3
(2) 6− 5
(3) 5+ 2(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:293)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:293)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:42)(cid:30)(cid:53)(cid:40)(cid:78)(cid:98)(cid:80)(cid:83)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:79)
(cid:57)1(cid:69)(cid:291)(cid:292)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:117)(cid:30)(cid:53)(cid:40)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:291)(cid:292)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:117)(cid:30)(cid:53)(cid:40)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)3(cid:69)(cid:291)(cid:292)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:117)(cid:30)(cid:53)(cid:40)(cid:172)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
2
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10) 8+2 15= ( 5+ 3) = 5+ 3(cid:130)
2
(cid:57)2(cid:69)(cid:98)(cid:10) 11−2 30= ( 6− 5) = 6− 5(cid:130)
2
(cid:57)3(cid:69)(cid:98)(cid:10) 7+ 40= 7+2 10= ( 5+ 2) = 5+ 2(cid:79)
(cid:15)(cid:121)(cid:29)6-1(cid:21)(cid:57)22-23(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:209)(cid:294)(cid:295)(cid:262)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:172)(cid:94) 2025− 2024(cid:30)(cid:38)(cid:223)(cid:78) (cid:79)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21) 23− 22
2
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:4)(cid:86)(cid:105) 2025=45(cid:75)(cid:119)(cid:109)(cid:232)(cid:174)(cid:29)(cid:41)(cid:135) 45−2 506(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:296)(cid:297)45−2 506=( 23− 22) (cid:75)(cid:106)(cid:107)(cid:104)(cid:98)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:98)(cid:10) 2025− 2024
= 45−2 506
2
= ( 23− 22)
= 23− 22(cid:130)
(cid:119)(cid:80)(cid:81)(cid:135)(cid:10) 23− 22(cid:79)
2
(cid:15)(cid:165)(cid:240)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:36)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:19)(cid:75)(cid:192)(cid:193)(cid:285)(cid:105)45−2 506=( 23− 22) (cid:78)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115).
(cid:15)(cid:121)(cid:29)6-2(cid:21)(cid:57)23-24(cid:122)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:301)(cid:302)(cid:19)(cid:303)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:304)(cid:305)(cid:90)(cid:257)(cid:84)(cid:90)(cid:98)(cid:80)(cid:10)
2 2
( 2−1) =( 2) −2×1× 2+12=2−2 2+1=3−2 2
2
(cid:306)(cid:307)3−2 2=2−2 2+1=( 2−1)
2
3−2 2=( 2−1)
∴
3−2 2= 2−1
∴
(1)(cid:291)(cid:159)(cid:56)(cid:75)(cid:41)(cid:42)(cid:10) 6−2 5=______(cid:75) 7− 48=______(cid:79)
(2)(cid:139) a+2 b= m+ n(cid:75)(cid:118)m(cid:90)n(cid:164)a(cid:90)b(cid:30)(cid:3)(cid:308)(cid:78)(cid:309)(cid:77)(cid:310)(cid:134)(cid:311)(cid:312)(cid:47)(cid:103)(cid:130)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21)(1) 5−1(cid:75)2− 3
(2)m+n=a(cid:75)mn=b(cid:130)(cid:47)(cid:103)(cid:313)(cid:98)(cid:82)(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:293)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:30)(cid:191)(cid:25)(cid:130)
(cid:57)1(cid:69)(cid:291)(cid:292)(cid:56)(cid:170)(cid:75)(cid:28)(cid:131)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:30)(cid:314)(cid:165)(cid:41)(cid:42)(cid:108)(cid:109)(cid:130)
(cid:57)2(cid:69)(cid:103)(cid:22)(cid:86)(cid:71)(cid:75)a+2 b=( m+ n)2(cid:75)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:75)(cid:145)(cid:106)(cid:146)(cid:299)(cid:300)(cid:108)(cid:109)(cid:193)(cid:246)m(cid:90)n(cid:164)a(cid:90)b(cid:30)(cid:3)(cid:308)(cid:79)
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21)(cid:57)1(cid:69)(cid:98)(cid:10) 6−2 5= ( 5)2−2× 5×1+12= ( 5−1)2= 5−1(cid:130)
2 2
7− 48= 22−2×2× 3+( 3) = (2− 3) =2− 3(cid:130)
(cid:119)(cid:80)(cid:81)(cid:135)(cid:10) 5−1(cid:75)2− 3(cid:130)
(cid:57)2(cid:69) a+2 b= m+ n(cid:75)
a+2 ∵ b=( m+ n)2
∴(cid:108)a+2 b=m+n+2 mn(cid:75)
m+n=a(cid:75)mn=b
∴ 1 1
(cid:15)(cid:121)(cid:29)6-3(cid:21)(cid:139)a(cid:135) 6−2 5(cid:30)(cid:271)(cid:36)(cid:315)(cid:44)(cid:75)b(cid:135) 7−4 3(cid:30)(cid:271)(cid:36)(cid:315)(cid:44)(cid:75)(cid:118) − (cid:30)(cid:35)(cid:135) (cid:79)
a b
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:21) 5− 3/− 3+ 5
1 1
(cid:15)(cid:44)(cid:82)(cid:21)(cid:232)(cid:188)(cid:143)(cid:28)(cid:29)(cid:44)(cid:179)(cid:25)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:106)(cid:146)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:145)(cid:50)(cid:51) − (cid:75)(cid:108)(cid:109)(cid:34)(cid:98)(cid:75)(cid:83)(cid:22)(cid:84)(cid:85)(cid:141)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:53)(cid:7)(cid:29)(cid:75)(cid:28)
a b
(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:41)(cid:316)(cid:98)(cid:22)(cid:30)(cid:3)(cid:115)(cid:78)(cid:10)(cid:110)(cid:67)(cid:111)(cid:112)(cid:52)(cid:53)(cid:40)(cid:75)(cid:41)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:79)
2 2
(cid:15)(cid:116)(cid:98)(cid:21) 6−2 5= ( 5) −2 5+12= ( 5−1) = 5−1(cid:75)
2< 5<3(cid:75)
∵1< 5−1<2(cid:75)(cid:48)(cid:36)(cid:315)(cid:44)(cid:135)1(cid:75)
∴a= 5−1−1= 5−2(cid:75)
∴ 2 2
7−4 3= 22−4 3+( 3) = (2− 3) =2− 3(cid:75)
1< 3<2(cid:75)
∵0<2− 3<1(cid:75)(cid:48)(cid:36)(cid:315)(cid:44)(cid:135)0(cid:75)
∴b=2− 3−0=2− 3(cid:75)
∴1 − 1 = 1 − 1 = 5 2 − 2 3 = 5− 3(cid:75)
a b 5−2 2− 3 ( 5−2)( 5 2) (2− 3)(2 3)
+ +
∴ + +
(cid:119)(cid:80)(cid:81)(cid:135)(cid:10) 5− 3(cid:79)
