文档文本内容
专题 03 配方法的十大应用（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:19)(cid:40)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19)(cid:46)(cid:32)(cid:47)(cid:40)(cid:46)(cid:35)(cid:48)(cid:31)(cid:21)........................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:44)(cid:50)(cid:22)(cid:21)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:21)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:50)(cid:22)(cid:21)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:39)(cid:65)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:21)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:67)(cid:39)(cid:65)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:21)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:21)....................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:58)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:50)(cid:22)(cid:21)................................................................................................................8
【题型1 利用配方法求参数（范围）】
(cid:15)(cid:73)1(cid:21)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:68)(cid:31) (cid:76) (cid:76) (cid:77)(cid:78) +
1
=0(cid:76) =12 + +
1
(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:81)(cid:32) (cid:35)
4 4
2 2 2
7 𝑚 𝑛 𝑐 7 𝑚 −𝑚 𝑐 𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑛
A(cid:82) B(cid:82) > C(cid:82) D(cid:82) >
4 4
(cid:15)(cid:83)(cid:39) 𝑛1-≥1(cid:21) − (cid:32)24-25(cid:84)(cid:85)(cid:86) 𝑛 (cid:87)· − (cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)·(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:74) 𝑛 (cid:75) ≥−2 (cid:77)(cid:78)( + +7𝑛)( −2 +11)=6(cid:76)(cid:79) + =
2 2
(cid:32)(cid:35) 𝑎,𝑏 𝑎 4𝑎 𝑏 −6𝑏 2𝑎 𝑏
A(cid:82) B(cid:82) C(cid:82)2 D(cid:82)3
−6 −1 1
(cid:15)(cid:83)(cid:39)1-2(cid:21)(cid:94)(cid:95)x(cid:96)(cid:60)(cid:44)(cid:76)(cid:3)(cid:46)x(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:39)﹣ x2+3x+m(cid:43)(cid:44)(cid:99)(cid:96)(cid:100)(cid:31)(cid:76)(cid:79)(cid:101)(cid:31)m(cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:81)(cid:32)(cid:102)(cid:102)(cid:35)
2
9 9
A(cid:82)m(cid:103)﹣9 B(cid:82)m(cid:103)﹣ C(cid:82)m(cid:103)9 D(cid:82)m(cid:103)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)1-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:88)(cid:89)(cid:104)(cid:105)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:74)(cid:75) + = + 20(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:44)(cid:96) (cid:82)
2
【题型2 利用配方法比较代数式大小】 𝑚 𝑛 4,𝑚𝑛−𝑝 8𝑝≥ 𝑚𝑛𝑝
(cid:15)(cid:73)2(cid:21)(cid:32)2025·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:106)·(cid:109)(cid:110)(cid:35)(cid:74)(cid:75) (cid:76) (cid:76) (cid:96)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:111) + = +3 (cid:76) = + (cid:76)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
2 2
(cid:112)(cid:113)(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:114)(cid:81)(cid:32) (cid:35) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧 A(cid:82) < B(cid:82) < C(cid:82) < D(cid:82) <
𝑥 𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦(cid:15)(cid:83)(cid:39)2-1(cid:21)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:10)
(cid:24)(cid:25)(cid:121)(cid:122)(cid:11)(cid:123)(cid:43)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:39)(cid:75)(cid:130)(cid:131)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:109)(cid:132)(cid:50)(cid:22)(cid:76)(cid:133) + = + + =
2 2
( +1) 𝑎 2𝑎−4 𝑎 2𝑎 1−1−4
2
𝑎( +1)−5 0(cid:76)
2
∵ 𝑎 + ≥=( +1) (cid:76)
2 2
∴(cid:70)𝑎(cid:134)(cid:76)2(cid:38)𝑎−(cid:31)4(cid:39) 𝑎+ −(cid:135)5(cid:49)≥(cid:40)−5(cid:44)
2
(cid:64)(cid:136)(cid:117)(cid:87)(cid:119)(cid:120)𝑎(cid:76)(cid:57)(cid:58)2𝑎(cid:118)−4(cid:137)(cid:50)(cid:22)(cid:10) −5
(1)(cid:38)(cid:31)(cid:39) +2(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:96)(cid:102) (cid:102)(cid:138)
2
(2)(cid:139)(cid:36)(cid:37)𝑎 −+2𝑎 +11(cid:140) (cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:114)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:42)(cid:143)(cid:144)(cid:138)
2 2
(3)(cid:74)(cid:75)(cid:10)𝑎 =𝑏 2(cid:76) +6𝑎−2𝑏 +5=0(cid:76)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + + (cid:43)(cid:44)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)2-2𝑎
(cid:21)
−𝑏
(cid:32)24-25
𝑎
(cid:84)
𝑏
(cid:85)(cid:86)
𝑐
(cid:87)
−4
·(cid:125)
𝑐
(cid:145)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:139)(cid:35)(cid:74)(cid:75)
𝑎
=
𝑏17 𝑐
(cid:76) =
13
(cid:76)(cid:149) (cid:80)(cid:150)(cid:151)(cid:68)(cid:31)(cid:152)(cid:76)(cid:79) (cid:153)
15 15
2
(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:114)(cid:96)(cid:32)(cid:102)(cid:102)(cid:35) 𝑃 𝑚−2 𝑄 𝑚 − 𝑚 𝑚 𝑃 𝑄
A(cid:82)(cid:154)(cid:135) B(cid:82)(cid:155)(cid:131) = C(cid:82)(cid:154)(cid:135) < D(cid:82)(cid:128)(cid:51)(cid:52)
(cid:15)(cid:83)(cid:39)2-3(cid:21)𝑃(cid:32)≥2𝑄023·(cid:156)(cid:88)(cid:157)(cid:158)·(cid:109)𝑃(cid:110)(cid:35)𝑄(cid:159)x(cid:76)y(cid:99)(cid:81)(cid:68)(cid:31)𝑃(cid:76)(cid:160)𝑄(cid:161)(cid:162)(cid:118)(cid:137)(cid:50)(cid:22)(cid:76)
(1)(cid:163)(cid:139)(cid:10)①(cid:149) = (cid:76) =1(cid:152)(cid:76) + =5(cid:76) = (cid:76) + > (cid:82)
2 2 2 2
②(cid:149) =1(cid:76) 𝑥=2(cid:152)−2(cid:76) 𝑦 + =∵5𝑥(cid:76) 𝑦 =4(cid:76) 2𝑥 𝑦 +−4 >∴𝑥 (cid:82)𝑦 2𝑥𝑦
2 2 2 2
③(cid:149)𝑥=2(cid:76)𝑦=2.5(cid:152)(cid:76)∵𝑥 𝑦+ =120𝑥.2𝑦5(cid:76) ∴=𝑥10(cid:76)𝑦 +2𝑥𝑦 > (cid:82)
2 2 2 2
④(cid:149)𝑥=3(cid:76)𝑦=3(cid:152)(cid:76) ∵ 𝑥+ 𝑦=18(cid:76) =2𝑥1𝑦8(cid:76) +∴𝑥 ___𝑦____2_𝑥2𝑦xy(cid:82)
2 2 2 2
(2)(cid:164)(cid:165)𝑥(cid:10) +𝑦 (cid:140) (cid:135)∵(cid:166)𝑥(cid:167)(cid:43)𝑦(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:114)(cid:168)2𝑥(cid:139)𝑦(cid:142)(cid:42)(cid:143)(cid:144)∴(cid:82)𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 4
(3)(cid:169)(cid:25)(cid:10)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
2
𝑥 𝑥
【题型3 利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】
(cid:15)(cid:73)3(cid:21)(cid:32)22-23(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:105)·(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:15)(cid:115)(cid:116)(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:39)(cid:28)(cid:76)(cid:155)(cid:117)(cid:174)(cid:109)(cid:132)(cid:55)(cid:133) + + 0)
2
(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:83)(cid:55)(cid:96) + + (cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:175)(cid:176)(cid:167)(cid:43)(cid:83)(cid:55)(cid:27)(cid:28)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:98)(cid:39) + + 𝑎𝑥 0)𝑏(cid:43)𝑥(cid:26)(cid:27)𝑐((cid:28)𝑎≠(cid:76)(cid:169)
2 2
(cid:25)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:43)(cid:26)(cid:27)𝑎(cid:28)(𝑥(cid:127)(cid:126)𝑚(cid:27))(cid:179)(cid:7)𝑛(cid:39)(cid:131)(cid:180)(cid:109)(cid:132)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:181)(cid:182)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:47)(cid:135)(cid:3)(cid:169)(cid:183)𝑎(cid:82)𝑥 𝑏𝑥 𝑐(𝑎≠
(cid:73)(cid:133)(cid:10)(cid:180)(cid:46) + +8(cid:82)(cid:32)1(cid:35)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:138)(cid:32)2(cid:35)(cid:149) (cid:80)(cid:60)(cid:44)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + +8(cid:135)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:168)(cid:49)(cid:40)(cid:44)
2 2
(cid:81)(cid:97)(cid:184)(cid:168) 𝑎 6𝑎 𝑎 𝑎 6𝑎
(cid:57)(cid:10)(cid:32)1(cid:35)(cid:185)(cid:39)= + +8+
2
= + + 𝑎 6𝑎 1−1
2
𝑎 6𝑎 9−1= +3)
2
=(𝑎 +3)−+1 +
=[(𝑎+ +1]2[()𝑎(cid:82) 3)−1]
(cid:32)2((cid:35)𝑎(cid:144)4(cid:32))(1𝑎(cid:35)(cid:186)(cid:10) + +8= +3) (cid:76)
2 2
+3) 0(cid:76)𝑎 6𝑎 (𝑎 −1
2
∵ (𝑎+3) ≥ (cid:76)
2
∴((cid:149)𝑎 = −(cid:152)1(cid:76)≥(cid:38)−1(cid:31)(cid:39) + +8(cid:135)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
2
(cid:15)∴(cid:50)(cid:22)𝑎 (cid:57)−(cid:58)3(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:57)(cid:58)6𝑎(cid:118)(cid:137)(cid:50)(cid:22)(cid:10) −1
(1)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10) + (cid:138)
2
(2)(cid:139)(cid:142)(cid:42)(cid:128)(cid:95) (cid:96)(cid:60)(cid:44)(cid:76)𝑥 (cid:38)(cid:31)2𝑥(cid:39)−8 + (cid:45)(cid:96)(cid:100)(cid:31)(cid:138)
2
𝑚 1 −𝑚 4𝑚−5
(3)(cid:187)(cid:74)(cid:75) + = + (cid:111) 0(cid:76)(cid:29) (cid:43)(cid:44)(cid:82)
4
2 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:83)(cid:39)3-1(𝑎(cid:21)(cid:32)𝑐2)4(𝑏-2−5𝑎(cid:84)) (cid:85)(cid:86) (𝑏 (cid:87)·(cid:188) 𝑐) (cid:189)·(cid:92)𝑎(cid:65)≠(cid:35)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 𝑎 (cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:10)(cid:38)(cid:31)(cid:39)4 +9(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:96)(cid:190)(cid:31)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)3-2(cid:21)(cid:32)22-23(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:191)(cid:105)(cid:192)(cid:193)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:128)(cid:95)x(cid:76)y(cid:80)(cid:60)(cid:44)(cid:76)(cid:38)𝑥(cid:31)−(cid:39)89𝑥 +4 + +2(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:102)(cid:102)(cid:35)
2 2
A(cid:82)(cid:154)(cid:128)(cid:40)(cid:46) B(cid:82)(cid:154)(cid:128)(cid:19)(cid:46) C(cid:82)(cid:154)(cid:19)(cid:46)2 D(cid:82)(cid:154)𝑥(cid:40)(cid:46)𝑦2 6𝑥−8𝑦
(cid:15)(cid:83)(cid:39)3-3(cid:21)(cid:32)24−-235(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:171)(cid:172)(cid:194)−3(cid:105)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:121)(cid:122)(cid:175)(cid:97)(cid:98)(cid:39) + + (cid:127) + (cid:177)(cid:178)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)
2 2 2 2
(cid:133)(cid:195)(cid:109)(cid:196)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:128)(cid:81)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:101)(cid:178)(cid:133)(cid:118)(cid:83)(cid:55)(cid:10)(cid:197)(cid:198)(cid:199)𝑎(cid:109)(cid:196)2(cid:200)𝑎𝑏(cid:149)(cid:43)𝑏(cid:98)(cid:76)𝑎(cid:201)−(cid:39)2𝑎(cid:202)𝑏(cid:65)(cid:203)𝑏 (cid:204)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)
(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:176)(cid:196)(cid:98)(cid:76)(cid:201)(cid:208)(cid:196)(cid:39)(cid:202)(cid:43)(cid:44)(cid:128)(cid:83)(cid:76)(cid:176)(cid:209)(cid:27)(cid:28)(cid:177)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:109)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:43)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:22)(cid:43)(cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:76)
(cid:128)(cid:212)(cid:155)(cid:117)(cid:174)(cid:109)(cid:196)(cid:213)(cid:214)(cid:128)(cid:131)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:76)(cid:215)(cid:131)(cid:57)(cid:58)(cid:109)(cid:132)(cid:140)(cid:216)(cid:100)(cid:31)(cid:135)(cid:3)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)
(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:129)
(cid:73)(cid:133)(cid:10)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10) =( +1) =( ) 2 =( +2)( )=( +1)( )
2 2 2 2
(1)(cid:160)(cid:25)(cid:87)(cid:217)(cid:27)(cid:28)(cid:175)𝑥 −+2𝑥−+33(cid:67)𝑥(cid:57)−(cid:70)2(cid:39)𝑥(cid:138) −4 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥−1−2 𝑥 𝑥−3
2
(2)(cid:29)(cid:97)(cid:98)(cid:39) + 𝑥 +246𝑥(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:138)
2
(3)(cid:139)(cid:142)(cid:42)(cid:10)(cid:94)𝑥 (cid:95)1(cid:153)0𝑥 (cid:80)(cid:150)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:152)(cid:76)(cid:97)(cid:98)(cid:39) + + +6(cid:43)(cid:44)(cid:154)(cid:96)(cid:190)(cid:31)(cid:82)
2 2
【题型4 利用配 𝑥 方 𝑦 法求最值问题】 𝑥 𝑦 −4𝑥 2𝑦
(cid:15)(cid:73)4(cid:21)(cid:32)22-23(cid:218)(cid:85)(cid:86)(cid:118)·(cid:88)(cid:89)(cid:89)(cid:105)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:65)(cid:176)(cid:167)(cid:222)(cid:223)(cid:10)“(cid:121)(cid:122)(cid:175)(cid:97)(cid:98)(cid:39) + + (cid:127) +
2 2 2 2
(cid:177)(cid:178)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)”(cid:76)(cid:133)(cid:195)(cid:109)(cid:196)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:128)(cid:81)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:101)(cid:178)(cid:133)(cid:118)(cid:83)(cid:55)(cid:10)(cid:197)(cid:198)𝑎(cid:199)(cid:109)2(cid:196)𝑎𝑏(cid:200)(cid:149)𝑏(cid:43)(cid:98)𝑎(cid:76)−(cid:201)2(cid:39)𝑎𝑏(cid:202)(cid:65)𝑏
(cid:203)(cid:204)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:176)(cid:196)(cid:98)(cid:76)(cid:201)(cid:208)(cid:196)(cid:39)(cid:202)(cid:43)(cid:44)(cid:128)(cid:83)(cid:76)(cid:176)(cid:209)(cid:27)(cid:28)(cid:177)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28).(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:109)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:43)(cid:57)(cid:58)(cid:50)
(cid:22)(cid:43)(cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:128)(cid:212)(cid:155)(cid:117)(cid:174)(cid:109)(cid:196)(cid:213)(cid:214)(cid:128)(cid:131)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:76)(cid:215)(cid:131)(cid:57)(cid:58)(cid:109)(cid:132)(cid:140)(cid:216)(cid:100)(cid:31)(cid:135)(cid:3)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:129)(cid:82)
(cid:73)(cid:133)(cid:10)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)
+ = + + =( + +1) =( +1) =( +1+2)( + )=( +3)( )(cid:138)
2 2 2 2
𝑥(cid:73)(cid:133)(cid:10)2𝑥(cid:29)−3(cid:38)(cid:31)𝑥(cid:39)22𝑥+ 1−1−(cid:43)3(cid:49)(cid:40)𝑥(cid:44)(cid:96)22𝑥 + −4 =2𝑥( + −4) =𝑥 2( + 𝑥+ 1−2) =𝑥2( +𝑥1−)1
2 2 2 2 2
(cid:82)(cid:155)(cid:75)(cid:149) = 1𝑥(cid:152)(cid:76)42𝑥−6+ (cid:135)(cid:49)(cid:40)𝑥(cid:44)(cid:76)4(cid:49)𝑥−(cid:40)6(cid:44)(cid:81) 𝑥8(cid:76)(cid:64)2𝑥(cid:136)−(cid:115)6(cid:116)(cid:119)(cid:120)𝑥(cid:25)(cid:26)2(cid:27)𝑥 (cid:28)1(cid:57)−(cid:58)1(cid:118)−6(cid:137)(cid:50)(cid:22)𝑥(cid:10)
2
−(18)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10)𝑥 − 𝑥=_4_𝑥_−__6_(cid:138) −
2
(2)(cid:149)a(cid:96)(cid:60)(cid:44)(cid:152)𝑚(cid:76)−(cid:97)4𝑚(cid:98)−(cid:39)5 + +18(cid:135)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)(cid:141)(cid:29)(cid:203)(cid:176)(cid:196)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:138)
2
(3)(cid:149)a(cid:76)b(cid:96)(cid:60)(cid:44)(cid:152)(cid:76)(cid:97)(cid:98)−(cid:39)𝑎 4+𝑎3 + +27(cid:135)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:141)(cid:29)(cid:203)(cid:176)(cid:196)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)4-1(cid:21)(cid:32)2024·(cid:88)(cid:89)(cid:104)(cid:105)𝑎·(cid:62)(cid:110)(cid:35)𝑏 (cid:187)4𝑎=−6𝑏 +4 + +3(cid:76)(cid:79)M(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:96) (cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)4-2(cid:21)(cid:32)24-25(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:88)(cid:89)(cid:224)(cid:88)𝑀·(cid:225)(cid:226)𝑥(cid:227)−(cid:228)4𝑥(cid:35)𝑦(cid:26)(cid:27)𝑦(cid:28)(cid:81)2(cid:31)𝑥−(cid:11)4(cid:65)𝑦(cid:210)(cid:211)(cid:43)(cid:109)(cid:209)(cid:229)(cid:230)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:231)(cid:81)(cid:232)(cid:174)(cid:109)(cid:196)(cid:39)
(cid:202)(cid:43)(cid:48)(cid:109)(cid:233)(cid:67)(cid:234)(cid:123)(cid:45)(cid:129)(cid:83)(cid:55)(cid:235)(cid:96)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:47)(cid:59)(cid:196)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:43)(cid:236)(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:176)(cid:209)(cid:27)(cid:28)(cid:101)(cid:237)(cid:25)(cid:238)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:43)(cid:83)
7
(cid:55)(cid:65)(cid:76)(cid:141)(cid:239)(cid:240)(cid:216)(cid:100)(cid:31)(cid:43)(cid:151)(cid:72)(cid:241)(cid:57)(cid:58)(cid:109)(cid:132)(cid:50)(cid:22)(cid:82)(cid:74)(cid:75)(cid:68)(cid:31) (cid:153) (cid:77)(cid:78) + + =0(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)
2
2
(cid:96) (cid:82) 𝑥 𝑦 −𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:83)(cid:39)4-3(cid:21)(cid:159)(cid:68)(cid:31) (cid:76) (cid:76) (cid:77)(cid:78) + + =1(cid:76)(cid:79) = + + (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:96) (cid:82)
【题型5 利用配方 𝑥 法确 𝑦 定 𝑧 三角形 𝑥 的形 𝑦 状 𝑧 】 𝑀 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 3𝑧𝑥
(cid:15)(cid:73)5(cid:21)(cid:32)24-25(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:191)(cid:105)(cid:192)(cid:193)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:115)(cid:116)(cid:118)(cid:137)(cid:119)(cid:120)(cid:10)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:242)(cid:65)(cid:31)(cid:11)(cid:65)(cid:243)(cid:101)(cid:25)(cid:238)(cid:43)(cid:109)(cid:196)(cid:210)(cid:211)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:244)(cid:245)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:180)(cid:121)(cid:122)(cid:11)(cid:228)(cid:31)(cid:11)(cid:135)(cid:246)(cid:19)(cid:43)(cid:247)(cid:248)(cid:82)(cid:249)(cid:250)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:251)
(cid:81)(cid:174)(cid:48)(cid:109)(cid:196)(cid:97)(cid:98)(cid:39)(cid:83)(cid:55)(cid:96)(cid:109)(cid:196)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:83)(cid:55)(cid:109)(cid:52)(cid:211)(cid:81)(cid:45)(cid:129)(cid:43)(cid:82)(cid:73)(cid:133)(cid:10)(cid:57)(cid:27)(cid:252) +3=0(cid:76)(cid:79)(cid:135)
2 2
+ +3=0(cid:76) =1(cid:76)(cid:57)(cid:186) =3(cid:76) =1(cid:82)(cid:74)(cid:75) + + 𝑥+−54𝑥=0(cid:76)(cid:29)x(cid:76)y(cid:43)(cid:44)𝑥 (cid:76)
2 2 2
−(cid:79)4(cid:135)𝑥( 4−4 +1)+( ∴+(𝑥−2+)4)=0(cid:76) 𝑥1 +𝑥2 +2) =0(cid:76)𝑥 (cid:57)−2(cid:186)𝑥 =𝑦1(cid:76)4𝑦= (cid:82)
2 2 2 2
(cid:64)(cid:136)(cid:117)𝑥(cid:87)−(cid:119)2𝑥(cid:120)(cid:57)(cid:253)(cid:118)(cid:137)𝑦 (cid:254)(cid:22)4𝑦(cid:10) ∴(𝑥−1) (𝑦 𝑥 𝑦 −2
(1)(cid:187) + + +25=0(cid:76)(cid:29) + (cid:43)(cid:44)(cid:138)
2 2 2024
(2)(cid:187)𝑥 (cid:67)6𝑥(cid:255)(cid:256)𝑦(cid:257)−8𝑦 (cid:43)(cid:53)(cid:258)(cid:259)(cid:76)(𝑥(cid:111)(cid:77)𝑦(cid:78)) +8 + =0(cid:76)(cid:139)(cid:260)(cid:261) (cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:42)(cid:143)
2 2 2
(cid:144)(cid:82)𝑎,𝑏,𝑐 △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 −4𝑎𝑏−4𝑏𝑐 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:83)(cid:39)5-1(cid:21)(cid:74)(cid:75)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:258)(cid:259)(cid:96)a(cid:153)b(cid:153)c(cid:76)(cid:111)(cid:77)(cid:78) =7(cid:76) = (cid:76) = (cid:76)(cid:79)(cid:134)(cid:53)(cid:54)
2 2 2
(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:81)(cid:32) (cid:35) 𝑎 −4𝑏 𝑏 −4𝑐 −6 𝑐 −6𝑎 −18
A(cid:82)(cid:129)(cid:262)(cid:53)(cid:54)(cid:55) B(cid:82)(cid:129)(cid:258)(cid:53)(cid:54)(cid:55) C(cid:82)(cid:263)(cid:54)(cid:53)(cid:54)(cid:55) D(cid:82)(cid:94)(cid:28)(cid:51)(cid:52)
(cid:15)(cid:83)(cid:39)5-2(cid:21)(cid:74)(cid:75)a(cid:76)b(cid:76)c(cid:81) ABC(cid:43)(cid:53)(cid:258)(cid:76)(cid:187)a(cid:76)b(cid:76)c(cid:77)(cid:78)a2(cid:264)6a(cid:265)b2(cid:264)8b(cid:265) (cid:265)25(cid:266)0(cid:76)(cid:79) ABC(cid:81)
△ 𝑐−5 △(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:138)(cid:187)a(cid:76)b(cid:76)c(cid:77)(cid:78)a2(cid:265)b2(cid:265)c2(cid:264)ab(cid:264)bc(cid:264)ac(cid:266)0(cid:76)(cid:79) ABC(cid:81) (cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:39)5-3(cid:21)(cid:32)23-24(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:267)(cid:268)(cid:69)(cid:88)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:175)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:234)△(cid:123)(cid:26)(cid:269)(cid:129)(cid:270)(cid:226)(cid:76)(cid:186)(cid:238)(cid:271)(cid:233)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:205)(cid:181)(cid:182)(cid:135)
(cid:3)(cid:169)(cid:183)(cid:236)(cid:57)(cid:22)(cid:76)(cid:176)(cid:209)(cid:57)(cid:22)(cid:27)(cid:28)(cid:177)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:133)(cid:10)①(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10) + +8(cid:82)
2
(cid:57)(cid:185)(cid:39)= + +8+ = + + = +3) 1 𝑎 6𝑎
2 2 2 2
= +3𝑎)+ 6𝑎 + 1−1= 𝑎 + 6𝑎 +9−2)1(cid:82) (𝑎 −
②[(𝑎= 1][(𝑎(cid:76)(cid:24)3(cid:25))−(cid:26)1](cid:27)(cid:28)((cid:29)𝑎 M4)(cid:43)(𝑎(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
(cid:57)(cid:10)𝑀 𝑎 −2𝑎−=1 + = (cid:82)
2 2 2
𝑎 −2𝑎−0(cid:76)1 𝑎 −2𝑎 1−2 (𝑎−1) −2
2
∵(cid:149)(𝑎−1=)1(cid:152)≥(cid:76)M(cid:135)(cid:49)(cid:40)(cid:44) (cid:82)
(cid:160)∴ (cid:64)𝑎(cid:136)(cid:117)(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:57)(cid:58)(cid:118)(cid:137)(cid:50)−2(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10) + (cid:138)
2
(2)(cid:187) =2 (cid:76)(cid:29)M𝑥 (cid:43)(cid:49)2𝑥(cid:40)−3(cid:44)(cid:138)
2
𝑀 𝑥 −8𝑥 1
(3)(cid:74)(cid:75)a(cid:153)b(cid:153)c(cid:81) (cid:43)(cid:53)(cid:272)(cid:258)(cid:259)(cid:82)(cid:187)a(cid:153)b(cid:153)c(cid:77)(cid:78) + +5= + | |(cid:76)(cid:139)(cid:260)(cid:261) (cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:76)
4
2 2
(cid:141)(cid:142)(cid:42)(cid:273)(cid:43)(cid:143)(cid:144)(cid:138)△𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏− 𝑐−2 △𝐴𝐵𝐶
【题型6 利用配方法解决几何问题】
(cid:15)(cid:73)6(cid:21)(cid:32)2024·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)·(cid:53)(cid:110)(cid:35)(cid:61) (cid:65)(cid:76) = = =4(cid:76)P(cid:81) (cid:249)(cid:61)(cid:126)(cid:274)(cid:69)(cid:109)(cid:275)(cid:76)(cid:79)
+ + (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:81) △𝐴(cid:82)𝐵𝐶 ∠𝐴 90°,𝐴𝐵 3,𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
2 2 2
𝑃(cid:15)𝐴(cid:83)(cid:39)𝑃6𝐵-1(cid:21)𝑃(cid:32)𝐶24-25(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:118)·(cid:106)(cid:107)(cid:276)(cid:277)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:121)(cid:122)(cid:74)(cid:243)(cid:11)(cid:228)(cid:278)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:109)(cid:147)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:252)(cid:76)(cid:279)(cid:68)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:215)
(cid:135)(cid:279)(cid:280)(cid:210)(cid:211)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:73)(cid:133)(cid:10)(cid:139)(cid:29)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:98)(cid:39) + +5(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
(cid:57)(cid:10) + +5= + +4+1=( +𝑥2) +4𝑥1(cid:76)
2 2 2
( 𝑥+2)4𝑥 0,( +𝑥2) 4+𝑥1 1(cid:76) 𝑥
2 2
∵ 𝑥 + +≥5 𝑥1(cid:76)(cid:281) + ≥+5(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:81)1(cid:82)
2 2
(cid:139)∴(cid:24)𝑥 (cid:25)“4(cid:26)𝑥 (cid:27)(cid:28)≥”(cid:57)(cid:58)(cid:118)𝑥(cid:137)(cid:50)4(cid:22)𝑥(cid:10)
(1)(cid:74)(cid:75)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + (cid:76)(cid:29)(cid:231)(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:82)
2
(2)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)−22𝑥+ 4𝑥−(cid:140)53 +1(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:42)(cid:143)(cid:144)(cid:82)
2 2
(3)(cid:75)(cid:130)(cid:91)(cid:282)(cid:10) 𝑥 3𝑥−5 𝑥 −𝑥
(cid:133)(cid:283)(cid:76)(cid:61)Rt (cid:65)(cid:76) = =8cm =6cm(cid:76)(cid:275)P(cid:61) (cid:258)(cid:87)(cid:117)2cm/s(cid:43)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:275)A(cid:287)C(cid:282)(cid:288)(cid:76)
(cid:275)Q(cid:61) (cid:258)△(cid:87)𝐴(cid:117)𝐵1𝐶cm/s∠(cid:43)𝐶(cid:284)(cid:285)9(cid:286)0°,(cid:275)𝐴𝐶C(cid:287)(cid:275)B,𝐵(cid:282)𝐶 (cid:288)(cid:82)(cid:187)(cid:275) (cid:289)(cid:152)𝐴(cid:203)𝐶 (cid:290)(cid:76)(cid:111)(cid:149)(cid:109)(cid:275)(cid:282)(cid:288)(cid:238)(cid:291)(cid:275)(cid:152)(cid:76)(cid:292)(cid:109)(cid:275)(cid:293)
𝐶𝐵 𝑃,𝑄(cid:294)(cid:112)(cid:295)(cid:296)(cid:76)(cid:159)(cid:267)(cid:258)(cid:55) (cid:43)(cid:274)(cid:297)(cid:96) cm (cid:76)(cid:169)(cid:288)(cid:152)(cid:113)(cid:96)t(cid:298)(cid:76)(cid:29)S(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
𝐴𝑃𝑄𝐵 𝑆
(cid:15)(cid:83)(cid:39)6-2(cid:21)(cid:32)2023·(cid:88)(cid:89)(cid:94)(cid:299)·(cid:109)(cid:110)(cid:35)(cid:133)(cid:283)(cid:76)(cid:190)(cid:27)(cid:55) (cid:43)(cid:258)(cid:259)(cid:96)2(cid:76)(cid:275) (cid:81)(cid:258) (cid:87)(cid:43)(cid:288)(cid:275)(cid:76)(cid:300)(cid:301) (cid:153) (cid:76)
(cid:174) (cid:302)(cid:275) (cid:303)(cid:152)(cid:304)(cid:305)(cid:306)90°(cid:186)(cid:238) (cid:76)(cid:174) (cid:302)(cid:275) (cid:307)(cid:152)𝐴(cid:304)𝐵𝐶(cid:305)𝐷(cid:306)90°(cid:186)(cid:238) (cid:76)(cid:300)𝐸 (cid:301) 𝐴𝐵(cid:76)(cid:79)(cid:308)(cid:226) (cid:43)(cid:80)𝐸(cid:44)𝐷(cid:33)(cid:34)𝐸𝐶(cid:96)
𝐸 𝐷(cid:82) 𝐸 𝐸𝑁 𝐸𝐶 𝐸 𝐸𝑀 𝑀𝑁 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:83)(cid:39)6-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:118)·(cid:88)(cid:89)(cid:193)(cid:309)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:133)(cid:283)(cid:76)(cid:74)(cid:75) =10(cid:76) (cid:96)(cid:308)(cid:226) (cid:87)(cid:43)(cid:109)(cid:196)(cid:288)(cid:275)(cid:76)(cid:67)(cid:255)(cid:117)
(cid:96)(cid:258)(cid:61) (cid:43)(cid:289)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:55) (cid:236)(cid:312)(cid:55) (cid:76)(cid:275) (cid:61)(cid:109)(cid:272)𝐴𝐵(cid:263)(cid:308)(cid:87)(cid:76)𝑃 =𝐴6𝐵0°(cid:76) (cid:67)(cid:255)(cid:81)(cid:180)(cid:54)(cid:308)𝐴𝑃,𝑃𝐵
(cid:43)(cid:65)(cid:275)𝐴(cid:82)𝐵(cid:149)(cid:275) (cid:61)(cid:308)(cid:226) 𝐴(cid:87)𝑃𝐶(cid:282)𝐷(cid:288)(cid:152)(cid:76)𝑃(cid:275)𝐵𝐹𝐸(cid:112)(cid:113)𝑃(cid:43),𝐶(cid:313),𝐸(cid:314)(cid:49)(cid:315)(cid:96) (cid:82)∠𝐷𝐴𝑃 𝑀,𝑁 𝐴𝐶,𝐵𝐸
𝑃 𝐴𝐵 𝑀𝑁
【题型7 配方法在二次根式中的应用】
(cid:15)(cid:73)7(cid:21)(cid:32)24-25(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:106)(cid:107)(cid:316)(cid:317)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:35)(cid:94)(cid:95) (cid:80)(cid:150)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39) +3(cid:99)(cid:135)(cid:151)(cid:72)(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:49)
2
(cid:19)(cid:44)(cid:96) (cid:82) 𝑥 𝑥 −𝑘𝑥 𝑘
(cid:15)(cid:83)(cid:39)7-1(cid:21)(cid:32)2022·(cid:318)(cid:319)(cid:193)(cid:320)·(cid:109)(cid:110)(cid:35)(cid:121)(cid:145)(cid:193)(cid:321)(cid:152)(cid:92)(cid:31)(cid:11)(cid:322)(cid:323)(cid:84)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:203)(cid:24)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:53)(cid:258)(cid:29)(cid:274)(cid:297)(cid:43)(cid:7)(cid:39)(cid:76)(cid:134)(cid:7)(cid:39)(cid:140)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:59)(cid:60)(cid:11)(cid:322)(cid:330)(cid:331)(cid:326)(cid:203)(cid:43)(cid:7)(cid:39)(cid:133)(cid:203)(cid:109)(cid:332)(cid:76)(cid:281)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:53)(cid:258)(cid:259)(cid:67)(cid:255)(cid:96) (cid:76) (cid:76) (cid:76)(cid:333) = (cid:76)(cid:79)(cid:279)
2
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑝
(cid:274)(cid:297) = ( )( )( )(cid:82)(cid:176)(cid:196)(cid:7)(cid:39)(cid:293)(cid:237)(cid:334)(cid:96)(cid:330)(cid:331)—(cid:323)(cid:84)(cid:324)(cid:7)(cid:39)(cid:82)(cid:187) =3(cid:76) =2(cid:76)(cid:79)(cid:134)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:274)(cid:297)(cid:43)
(cid:49)(cid:19)𝑆(cid:44)(cid:81) 𝑝 𝑝 −𝑎(cid:82)𝑝−𝑏 𝑝−𝑐 𝑝 𝑐
(cid:15)(cid:83)(cid:39)7-2(cid:21)(cid:187)(cid:335)(cid:31) = + (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:96)M(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:96)m(cid:76)(cid:79) =(cid:43)(cid:96) (cid:82)
𝑚
(cid:15)(cid:83)(cid:39)7-3(cid:21)(cid:32)22-23 𝑦(cid:170)(cid:85)2(cid:86)0(cid:118)23 · −(cid:171)𝑥(cid:172)(cid:173)(cid:105)𝑥− ·(cid:92)20(cid:93)21(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:275) ( )(cid:76)(cid:111)(cid:68)(cid:31) 𝑀 (cid:77)(cid:78) +8=0(cid:76)(cid:79)(cid:275)
2 2
(cid:238)(cid:185)(cid:275)(cid:43)(cid:49)(cid:315)(cid:313)(cid:314)(cid:96) (cid:82) 𝑃 𝑎,3𝑏 −3 𝑎,𝑏 𝑎−4𝑏 𝑃
【题型8 配方法在分式中的应用】
6 10
(cid:15)(cid:73)8(cid:21)(cid:32)2023·(cid:156)(cid:88)(cid:320)(cid:336)·(cid:110)(cid:337)(cid:338)(cid:148)(cid:35)(cid:67)(cid:39) (cid:155)(cid:80)(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:96)(cid:32)(cid:102)(cid:102)(cid:35)
2 2
𝑥 +12𝑥+
2
A(cid:82)4 B(cid:82)5 𝑥 +C2(cid:82)𝑥+6 D(cid:82)(cid:128)(cid:339)(cid:61)
10105
(cid:15)(cid:83)(cid:39)8-1(cid:21)(cid:38)(cid:31)(cid:39) (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
4 10 14
2 2
𝑥 −12𝑥𝑦+ 𝑦 +6𝑦+
1
(cid:15)(cid:83)(cid:39)8-2(cid:21)(cid:187)(cid:67)(cid:39) (cid:128)(cid:95)x(cid:80)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:154)(cid:135)(cid:151)(cid:72)(cid:82)(cid:29)m(cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)8-3(cid:21)(cid:32)24-25𝑥(cid:170)−2(cid:85)𝑥+(cid:86)𝑚(cid:87)·(cid:210)(cid:340)(cid:341)(cid:317)·(cid:92)(cid:93)(cid:35)(cid:115)(cid:116)(cid:118)(cid:137)(cid:119)(cid:120)(cid:10)
8 6 2
(cid:234)(cid:123)(cid:40)(cid:11)(cid:43)(cid:11)(cid:228)(cid:121)(cid:122)(cid:75)(cid:223)(cid:76)(cid:67)(cid:31)(cid:155)(cid:67)(cid:96)“(cid:342)(cid:67)(cid:31)”(cid:236)“(cid:343)(cid:67)(cid:31)”(cid:76)(cid:344)(cid:343)(cid:67)(cid:31)(cid:99)(cid:155)(cid:235)(cid:96)(cid:345)(cid:67)(cid:31)(cid:76)(cid:133)(cid:10) = =2+
3 3
+
2 2
=2 (cid:82)
3 3
(cid:121)(cid:122)(cid:52)(cid:72)(cid:10)(cid:61)(cid:67)(cid:39)(cid:65)(cid:76)(cid:180)(cid:46)(cid:346)(cid:347)(cid:135)(cid:109)(cid:196)(cid:348)(cid:349)(cid:43)(cid:67)(cid:39)(cid:76)(cid:149)(cid:67)(cid:202)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:19)(cid:46)(cid:47)(cid:129)(cid:46)(cid:67)(cid:349)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:152)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:334)(cid:112)(cid:96)“(cid:343)
(cid:67)(cid:39)”(cid:138)(cid:149)(cid:67)(cid:202)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:40)(cid:46)(cid:67)(cid:349)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:152)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:334)(cid:112)(cid:96)“(cid:342)(cid:67)(cid:39)”(cid:82)
1
(cid:133)(cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:176)(cid:167)(cid:43)(cid:67)(cid:39)(cid:251)(cid:81)(cid:343)(cid:67)(cid:39)(cid:138)
1 22 2
𝑥−1 𝑥+ 𝑥 𝑥
𝑥+ 3 𝑥−21 𝑥+ 𝑥−1
(cid:205)(cid:133)(cid:10) (cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:176)(cid:167)(cid:43)(cid:67)(cid:39)(cid:251)(cid:81)(cid:342)(cid:67)(cid:39)(cid:82)
1 1
𝑥 2𝑥
2 2
(cid:350)(cid:214)(cid:43) 𝑥 (cid:76) + (cid:343)(cid:67)𝑥−(cid:39)2(cid:293)𝑥(cid:155)−(cid:117)1 (cid:235)𝑥(cid:96)+(cid:345)(cid:67)(cid:39)(cid:32)(cid:281)(cid:10)(cid:208)(cid:39)(cid:140)(cid:342)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:236)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:35)(cid:82)
( 1) 2 1 ( ) 3 3
(cid:133)(cid:10) = = (cid:138) = =1+ (cid:76)
1 1 1
𝑥−1 𝑥+ −2 𝑥+ 𝑥−2 +
(cid:57)(cid:253)(cid:118) 𝑥+ (cid:137)(cid:50)(cid:22)𝑥+(cid:10) 1−𝑥+ 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
2
(1)(cid:67)(cid:39) (cid:81) (cid:67)(cid:39)(cid:32)(cid:351)“(cid:342)”(cid:47)“(cid:343)”(cid:35)(cid:138)
𝑥
(2)(cid:174)(cid:343)(cid:67)(cid:39) (cid:222)(cid:352)(cid:342)(cid:67)(cid:39)(cid:345)(cid:236)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:138)
2
2𝑥−6
𝑥+
9 2
(3)(cid:187)(cid:67)(cid:39) (cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:190)(cid:31)(cid:76)(cid:29) (cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:82)
2
𝑥 −5𝑥+
3𝑥−2 𝑥【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:73)9(cid:21)(cid:32)23-24(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:87)(cid:330)(cid:353)(cid:354)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10)2 +1= (cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)9-1(cid:21)(cid:32)23-24(cid:170)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:87)(cid:330)(cid:355)(cid:356)·(cid:92)(cid:65)(cid:35)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)𝑥(cid:10)−6𝑥+ = (cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:39)9-2(cid:21)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)2 +5 (cid:129)(cid:46)(cid:32)(cid:35) 𝑥 6𝑥−5
2 2
4 6 6 𝑥 −8𝑥𝑦 𝑦
A(cid:82)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑥−
4 6 6
B(cid:82)
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
4 6 6
C(cid:82)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
D(cid:82) 6 + 6
(cid:15)(cid:83)(cid:39)9-23𝑥 (cid:21) − (cid:32) 4𝑦 2 − 4-25 𝑦 (cid:84)(cid:85)2𝑥(cid:86)−4(cid:87)𝑦 ·(cid:87)(cid:330)· 𝑦(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:35)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10)2 = (cid:82)
2 2
【题型10 利用配方法解决新定义问题】 𝑥 −3𝑥𝑦−4𝑦
(cid:15)(cid:73)10(cid:21)(cid:32)2025·(cid:106)(cid:107)(cid:355)(cid:357)·(cid:110)(cid:337)(cid:338)(cid:148)(cid:35)(cid:3)(cid:46) (cid:43)(cid:109)(cid:147)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:252)(cid:43)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:10)(cid:187)(cid:3)(cid:46) (cid:43)(cid:109)(cid:147)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:252)(cid:10)
2
+ =0(cid:140) + =0(cid:76)(cid:334)(cid:96)“(cid:289)(cid:358)(cid:62)(cid:63)𝑥 (cid:27)(cid:252)”(cid:82)(cid:133)2 +4=0(cid:140)3 𝑥 +4=0(cid:251)(cid:81)“(cid:289)𝑎(cid:358) 1 ((cid:62)𝑥−(cid:63)𝑚(cid:27))
2 2 2
(cid:252)𝑛”(cid:82)(cid:204)(cid:135)𝑎(cid:3) 2 (cid:46)(𝑥−(cid:43)𝑚(cid:109)) (cid:147)𝑛(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:252)(cid:10)2 +1=0(cid:140)( +(𝑥2−)3) +( ) +(8𝑥−=30)(cid:81)“(cid:289)(cid:358)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:252)”(cid:82)(cid:359)(cid:360)
2 2
(cid:38)(cid:31)(cid:39) + 𝑥+2031(cid:131)(cid:80)(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(𝑥(cid:81)−(cid:32)1) (cid:35) 𝑎 𝑥 𝑏−4 𝑥
2
A(cid:82)𝑎2𝑥026 𝑏𝑥 B(cid:82)2023 C(cid:82)2028 D(cid:82)2025
(cid:15)(cid:83)(cid:39)10-1(cid:21)(cid:32)24-25(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)·(cid:267)(cid:268)(cid:69)(cid:88)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:35)(cid:180)(cid:46)(cid:135)(cid:143)(cid:31)a(cid:76)b(cid:76)(cid:52)(cid:72) (cid:43)(cid:347)(cid:72)(cid:96)(cid:10)(cid:149) (cid:152)(cid:76)
= (cid:138)(cid:149) (cid:152)(cid:76) = (cid:82)(cid:187)min{40, }=4𝑚0(cid:76)𝑖𝑛(cid:79){𝑎,𝑏}(cid:43)(cid:44)(cid:129)(cid:46) 𝑎 ≥(cid:82)𝑏
2 2 𝑛
𝑚(cid:15)𝑖(cid:83)𝑛{(cid:39)𝑎,𝑏1}0-2(cid:21)𝑏 (cid:32)23𝑎-2≤4𝑏(cid:84)(cid:85)(cid:86)𝑚(cid:118)𝑖𝑛·{(cid:106)𝑎,(cid:107)𝑏}(cid:276)(cid:277)𝑎·(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:35)1(cid:52)2(cid:72)𝑚−(cid:10)4(cid:180)𝑛−(cid:46)𝑚(cid:335)−(cid:31)𝑛 =lg ( >0𝑚)(cid:76) (cid:294) (cid:43)(cid:365)(cid:19)(cid:344)(cid:365)(cid:19)(cid:76)
(cid:111)lg10=1(cid:76)lg =lg lg (cid:76)lg =lg +lg (cid:82)(cid:187)
1
+
5
=5(cid:76)(cid:79)lg +
𝑦
lg (cid:43)
𝑥
(cid:49)
𝑥
(cid:19)(cid:44)(cid:96)
𝑦 𝑥
(cid:82)
2 4
𝑥
(cid:15)(cid:83)(cid:39)10-3(cid:21)(cid:32) 𝑦 24-25 𝑥−(cid:170)(cid:85)𝑦(cid:86)(cid:118)𝑥 ·(cid:156)𝑦 (cid:88)(cid:366)𝑥(cid:105)·(cid:92)𝑦(cid:65)(cid:35)(cid:133)𝑎(cid:195)(cid:3)(cid:46)𝑏 x(cid:43)(cid:109)(cid:147)(cid:62)𝑎(cid:63)(cid:27)𝑏(cid:252) + + =0(cid:32) 0(cid:35)(cid:135)(cid:367)
2
(cid:196)(cid:68)(cid:31)(cid:64)(cid:76)(cid:111)(cid:279)(cid:65)(cid:109)(cid:196)(cid:64)(cid:36)(cid:292)(cid:109)(cid:196)(cid:64)(cid:19) 1(cid:76)(cid:359)(cid:360)(cid:334)(cid:176)(cid:167)(cid:43)(cid:27)(cid:252)(cid:96)“(cid:368)(cid:64)(cid:27)(cid:252)”(cid:82)𝑎(cid:73)𝑥(cid:133)(cid:76)𝑏(cid:109)𝑥 (cid:147)𝑐(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:252)𝑎≠ + =0
2
(cid:43)(cid:367)(cid:196)(cid:64)(cid:81) =0(cid:76) = (cid:76)(cid:79)(cid:27)(cid:252) + =0 (cid:81)“(cid:368)(cid:64)(cid:27)(cid:252)”(cid:82) 𝑥 𝑥
2
(1)(cid:234)(cid:123)(cid:369)(cid:183)(cid:76)𝑥1(cid:260)(cid:261)(cid:27)(cid:252)𝑥2 −1 =0(cid:81)(cid:370)𝑥(cid:81)“𝑥(cid:368)(cid:64)(cid:27)(cid:252)”(cid:138)
2
(2)(cid:74)(cid:75)(cid:3)(cid:46) x (cid:43)(cid:27)(cid:252) 𝑥 (−𝑥−6) =0(cid:32)m (cid:81)(cid:101)(cid:31)(cid:35)(cid:81)“(cid:368)(cid:64)(cid:27)(cid:252)”(cid:76)(cid:29) m (cid:43)(cid:44)(cid:138)
2
(3)(cid:187)(cid:3)(cid:46) x (cid:43)(cid:27)(cid:252) 𝑥 +− 𝑚+−11=𝑥−0𝑚(cid:32)a(cid:153)b (cid:81)(cid:101)(cid:31)(cid:76) >0(cid:35)(cid:81)“(cid:368)(cid:64)(cid:27)(cid:252)”(cid:76)(cid:371) = (cid:76)(cid:139)(cid:29)t(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:82)
2 2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎 𝑡 8𝑎−𝑏
