文档文本内容
专题 03 配方法的十大应用（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:19)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:45)(cid:30)(cid:46)(cid:39)(cid:45)(cid:33)(cid:47)(cid:29)(cid:19)........................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:43)(cid:49)(cid:20)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:49)(cid:20)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:37)(cid:64)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:19)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:66)(cid:37)(cid:64)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:19)....................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:49)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................8
【题型1 利用配方法求参数（范围）】
(cid:15)(cid:72)1(cid:19)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:67)(cid:29) (cid:75) (cid:75) (cid:76)(cid:77) +
1
=0(cid:75) =12 + +
1
(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:80)(cid:30) (cid:33)
4 4
2 2 2
7 𝑚 𝑛 𝑐 7 𝑚 −𝑚 𝑐 𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑛
A(cid:81) B(cid:81) > C(cid:81) D(cid:81) >
4 4
(cid:15)(cid:82)(cid:37) 𝑛1-≥1(cid:19) − (cid:30)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85) 𝑛 (cid:86)· − (cid:87)(cid:16)(cid:88)(cid:89)·(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:73) 𝑛 (cid:74) ≥−2 (cid:76)(cid:77)( + +7𝑛)( −2 +11)=6(cid:75)(cid:78) + =
2 2
(cid:30)(cid:33) 𝑎,𝑏 𝑎 4𝑎 𝑏 −6𝑏 2𝑎 𝑏
A(cid:81) B(cid:81) C(cid:81)2 D(cid:81)3
−6 −1 1
(cid:15)(cid:82)(cid:37)1-2(cid:19)(cid:92)(cid:93)x(cid:94)(cid:59)(cid:43)(cid:75)(cid:3)(cid:45)x(cid:42)(cid:95)(cid:96)(cid:37)﹣ x2+3x+m(cid:42)(cid:43)(cid:97)(cid:94)(cid:98)(cid:29)(cid:75)(cid:78)(cid:99)(cid:29)m(cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:80)(cid:30)(cid:100)(cid:100)(cid:33)
2
9 9
A(cid:81)m(cid:101)﹣9 B(cid:81)m(cid:101)﹣ C(cid:81)m(cid:101)9 D(cid:81)m(cid:101)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)1-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:16)(cid:102)(cid:103)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:73)(cid:74) + = + 20(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:43)(cid:94) (cid:81)
2
【题型2 利用配方法比较代数式大小】 𝑚 𝑛 4,𝑚𝑛−𝑝 8𝑝≥ 𝑚𝑛𝑝
(cid:15)(cid:72)2(cid:19)(cid:30)2025·(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:104)·(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:73)(cid:74) (cid:75) (cid:75) (cid:94)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:109) + = +3 (cid:75) = + (cid:75)(cid:78) (cid:75) (cid:75)
2 2
(cid:110)(cid:111)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:112)(cid:80)(cid:30) (cid:33) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧 A(cid:81) < B(cid:81) < C(cid:81) < D(cid:81) <
𝑥 𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦(cid:15)(cid:82)(cid:37)2-1(cid:19)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:10)
(cid:22)(cid:23)(cid:119)(cid:120)(cid:11)(cid:121)(cid:42)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:37)(cid:74)(cid:128)(cid:129)(cid:56)(cid:57)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:107)(cid:130)(cid:49)(cid:20)(cid:75)(cid:131) + = + + =
2 2
( +1) 𝑎 2𝑎−4 𝑎 2𝑎 1−1−4
2
𝑎( +1)−5 0(cid:75)
2
∵ 𝑎 + ≥=( +1) (cid:75)
2 2
∴(cid:69)𝑎(cid:132)(cid:75)2(cid:36)𝑎−(cid:29)4(cid:37) 𝑎+ −(cid:133)5(cid:48)≥(cid:39)−5(cid:43)
2
(cid:63)(cid:134)(cid:115)(cid:86)(cid:117)(cid:118)𝑎(cid:75)(cid:56)(cid:57)2𝑎(cid:116)−4(cid:135)(cid:49)(cid:20)(cid:10) −5
(1)(cid:36)(cid:29)(cid:37) +2(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:94)(cid:100) (cid:100)(cid:136)
2
(2)(cid:137)(cid:34)(cid:35)𝑎 −+2𝑎 +11(cid:138) (cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:112)(cid:75)(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:141)(cid:142)(cid:136)
2 2
(3)(cid:73)(cid:74)(cid:10)𝑎 =𝑏 2(cid:75) +6𝑎−2𝑏 +5=0(cid:75)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + + (cid:42)(cid:43)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)2-2𝑎
(cid:19)
−𝑏
(cid:30)24-25
𝑎
(cid:83)
𝑏
(cid:84)(cid:85)
𝑐
(cid:86)
−4
·(cid:123)
𝑐
(cid:143)·(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:137)(cid:33)(cid:73)(cid:74)
𝑎
=
𝑏17 𝑐
(cid:75) =
13
(cid:75)(cid:147) (cid:79)(cid:148)(cid:149)(cid:67)(cid:29)(cid:150)(cid:75)(cid:78) (cid:151)
15 15
2
(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:112)(cid:94)(cid:30)(cid:100)(cid:100)(cid:33) 𝑃 𝑚−2 𝑄 𝑚 − 𝑚 𝑚 𝑃 𝑄
A(cid:81)(cid:152)(cid:133) B(cid:81)(cid:153)(cid:129) = C(cid:81)(cid:152)(cid:133) < D(cid:81)(cid:126)(cid:50)(cid:51)
(cid:15)(cid:82)(cid:37)2-3(cid:19)𝑃(cid:30)≥2𝑄023·(cid:154)(cid:87)(cid:155)(cid:156)·(cid:107)𝑃(cid:108)(cid:33)𝑄(cid:157)x(cid:75)y(cid:97)(cid:80)(cid:67)(cid:29)𝑃(cid:75)(cid:158)𝑄(cid:159)(cid:160)(cid:116)(cid:135)(cid:49)(cid:20)(cid:75)
(1)(cid:161)(cid:137)(cid:10)①(cid:147) = (cid:75) =1(cid:150)(cid:75) + =5(cid:75) = (cid:75) + > (cid:81)
2 2 2 2
②(cid:147) =1(cid:75) 𝑥=2(cid:150)−2(cid:75) 𝑦 + =∵5𝑥(cid:75) 𝑦 =4(cid:75) 2𝑥 𝑦 +−4 >∴𝑥 (cid:81)𝑦 2𝑥𝑦
2 2 2 2
③(cid:147)𝑥=2(cid:75)𝑦=2.5(cid:150)(cid:75)∵𝑥 𝑦+ =120𝑥.2𝑦5(cid:75) ∴=𝑥10(cid:75)𝑦 +2𝑥𝑦 > (cid:81)
2 2 2 2
④(cid:147)𝑥=3(cid:75)𝑦=3(cid:150)(cid:75) ∵ 𝑥+ 𝑦=18(cid:75) =2𝑥1𝑦8(cid:75) +∴𝑥 ___𝑦____2_𝑥2𝑦xy(cid:81)
2 2 2 2
(2)(cid:162)(cid:163)𝑥(cid:10) +𝑦 (cid:138) (cid:133)∵(cid:164)𝑥(cid:165)(cid:42)𝑦(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:112)(cid:166)2𝑥(cid:137)𝑦(cid:140)(cid:41)(cid:141)(cid:142)∴(cid:81)𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 4
(3)(cid:167)(cid:23)(cid:10)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
2
𝑥 𝑥
【题型3 利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】
(cid:15)(cid:72)3(cid:19)(cid:30)22-23(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:103)·(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:7)(cid:37)(cid:26)(cid:75)(cid:153)(cid:115)(cid:172)(cid:107)(cid:130)(cid:54)(cid:131) + + 0)
2
(cid:42)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:82)(cid:54)(cid:94) + + (cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:75)(cid:119)(cid:120)(cid:173)(cid:174)(cid:165)(cid:42)(cid:82)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:175)(cid:176)(cid:95)(cid:96)(cid:37) + + 𝑎𝑥 0)𝑏(cid:42)𝑥(cid:24)(cid:25)𝑐((cid:26)𝑎≠(cid:75)(cid:167)
2 2
(cid:23)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:42)(cid:24)(cid:25)𝑎(cid:26)(𝑥(cid:125)(cid:124)𝑚(cid:25))(cid:177)(cid:7)𝑛(cid:37)(cid:129)(cid:178)(cid:107)(cid:130)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:179)(cid:180)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:46)(cid:133)(cid:3)(cid:167)(cid:181)𝑎(cid:81)𝑥 𝑏𝑥 𝑐(𝑎≠
(cid:72)(cid:131)(cid:10)(cid:178)(cid:45) + +8(cid:81)(cid:30)1(cid:33)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:136)(cid:30)2(cid:33)(cid:147) (cid:79)(cid:59)(cid:43)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + +8(cid:133)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:166)(cid:48)(cid:39)(cid:43)
2 2
(cid:80)(cid:95)(cid:182)(cid:166) 𝑎 6𝑎 𝑎 𝑎 6𝑎
(cid:56)(cid:10)(cid:30)1(cid:33)(cid:183)(cid:37)= + +8+
2
= + + 𝑎 6𝑎 1−1
2
𝑎 6𝑎 9−1= +3)
2
=(𝑎 +3)−+1 +
=[(𝑎+ +1]2[()𝑎(cid:81) 3)−1]
(cid:30)2((cid:33)𝑎(cid:142)4(cid:30))(1𝑎(cid:33)(cid:184)(cid:10) + +8= +3) (cid:75)
2 2
+3) 0(cid:75)𝑎 6𝑎 (𝑎 −1
2
∵ (𝑎+3) ≥ (cid:75)
2
∴((cid:147)𝑎 = −(cid:150)1(cid:75)≥(cid:36)−1(cid:29)(cid:37) + +8(cid:133)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:80) (cid:81)
2
(cid:15)∴(cid:49)(cid:20)𝑎 (cid:56)−(cid:57)3(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑎(cid:56)(cid:57)6𝑎(cid:116)(cid:135)(cid:49)(cid:20)(cid:10) −1
(1)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10) + (cid:136)
2
(2)(cid:137)(cid:140)(cid:41)(cid:126)(cid:93) (cid:94)(cid:59)(cid:43)(cid:75)𝑥 (cid:36)(cid:29)2𝑥(cid:37)−8 + (cid:44)(cid:94)(cid:98)(cid:29)(cid:136)
2
𝑚 1 −𝑚 4𝑚−5
(3)(cid:185)(cid:73)(cid:74) + = + (cid:109) 0(cid:75)(cid:27) (cid:42)(cid:43)(cid:81)
4
2 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:82)(cid:37)3-1(𝑎(cid:19)(cid:30)𝑐2)4(𝑏-2−5𝑎(cid:83)) (cid:84)(cid:85) (𝑏 (cid:86)·(cid:186) 𝑐) (cid:187)·(cid:90)𝑎(cid:64)≠(cid:33)(cid:23)(cid:24)(cid:25) 𝑎 (cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:10)(cid:36)(cid:29)(cid:37)4 +9(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:188)(cid:29)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)3-2(cid:19)(cid:30)22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:189)(cid:103)(cid:190)(cid:191)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:126)(cid:93)x(cid:75)y(cid:79)(cid:59)(cid:43)(cid:75)(cid:36)𝑥(cid:29)−(cid:37)89𝑥 +4 + +2(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:100)(cid:100)(cid:33)
2 2
A(cid:81)(cid:152)(cid:126)(cid:39)(cid:45) B(cid:81)(cid:152)(cid:126)(cid:38)(cid:45) C(cid:81)(cid:152)(cid:38)(cid:45)2 D(cid:81)(cid:152)𝑥(cid:39)(cid:45)𝑦2 6𝑥−8𝑦
(cid:15)(cid:82)(cid:37)3-3(cid:19)(cid:30)24−-235(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:169)(cid:170)(cid:192)−3(cid:103)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:119)(cid:120)(cid:173)(cid:95)(cid:96)(cid:37) + + (cid:125) + (cid:175)(cid:176)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)
2 2 2 2
(cid:131)(cid:193)(cid:107)(cid:194)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:126)(cid:80)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:119)(cid:120)(cid:99)(cid:176)(cid:131)(cid:116)(cid:82)(cid:54)(cid:10)(cid:195)(cid:196)(cid:197)𝑎(cid:107)(cid:194)2(cid:198)𝑎𝑏(cid:147)(cid:42)𝑏(cid:96)(cid:75)𝑎(cid:199)−(cid:37)2𝑎(cid:200)𝑏(cid:64)(cid:201)𝑏 (cid:202)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)
(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:174)(cid:194)(cid:96)(cid:75)(cid:199)(cid:206)(cid:194)(cid:37)(cid:200)(cid:42)(cid:43)(cid:126)(cid:82)(cid:75)(cid:174)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:175)(cid:176)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:107)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:42)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:20)(cid:42)(cid:29)(cid:11)(cid:25)(cid:26)(cid:75)
(cid:126)(cid:210)(cid:153)(cid:115)(cid:172)(cid:107)(cid:194)(cid:211)(cid:212)(cid:126)(cid:129)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:75)(cid:213)(cid:129)(cid:56)(cid:57)(cid:107)(cid:130)(cid:138)(cid:214)(cid:98)(cid:29)(cid:133)(cid:3)(cid:42)(cid:49)(cid:20)(cid:46)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)
(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:127)
(cid:72)(cid:131)(cid:10)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10) =( +1) =( ) 2 =( +2)( )=( +1)( )
2 2 2 2
(1)(cid:158)(cid:23)(cid:86)(cid:215)(cid:25)(cid:26)(cid:173)𝑥 −+2𝑥−+33(cid:66)𝑥(cid:56)−(cid:69)2(cid:37)𝑥(cid:136) −4 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥−1−2 𝑥 𝑥−3
2
(2)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:37) + 𝑥 +246𝑥(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:136)
2
(3)(cid:137)(cid:140)(cid:41)(cid:10)(cid:92)𝑥 (cid:93)1(cid:151)0𝑥 (cid:79)(cid:148)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:150)(cid:75)(cid:95)(cid:96)(cid:37) + + +6(cid:42)(cid:43)(cid:152)(cid:94)(cid:188)(cid:29)(cid:81)
2 2
【题型4 利用配 𝑥 方 𝑦 法求最值问题】 𝑥 𝑦 −4𝑥 2𝑦
(cid:15)(cid:72)4(cid:19)(cid:30)22-23(cid:216)(cid:84)(cid:85)(cid:116)·(cid:87)(cid:16)(cid:16)(cid:103)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:217)(cid:17)(cid:218)(cid:64)(cid:174)(cid:165)(cid:219)(cid:220)(cid:10)“(cid:119)(cid:120)(cid:173)(cid:95)(cid:96)(cid:37) + + (cid:125) +
2 2 2 2
(cid:175)(cid:176)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)”(cid:75)(cid:131)(cid:193)(cid:107)(cid:194)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:126)(cid:80)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:119)(cid:120)(cid:99)(cid:176)(cid:131)(cid:116)(cid:82)(cid:54)(cid:10)(cid:195)(cid:196)𝑎(cid:197)(cid:107)2(cid:194)𝑎𝑏(cid:198)(cid:147)𝑏(cid:42)(cid:96)𝑎(cid:75)−(cid:199)2(cid:37)𝑎𝑏(cid:200)(cid:64)𝑏
(cid:201)(cid:202)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:174)(cid:194)(cid:96)(cid:75)(cid:199)(cid:206)(cid:194)(cid:37)(cid:200)(cid:42)(cid:43)(cid:126)(cid:82)(cid:75)(cid:174)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:175)(cid:176)(cid:24)(cid:25)(cid:26).(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:107)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:42)(cid:56)(cid:57)(cid:49)
(cid:20)(cid:42)(cid:29)(cid:11)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:126)(cid:210)(cid:153)(cid:115)(cid:172)(cid:107)(cid:194)(cid:211)(cid:212)(cid:126)(cid:129)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:75)(cid:213)(cid:129)(cid:56)(cid:57)(cid:107)(cid:130)(cid:138)(cid:214)(cid:98)(cid:29)(cid:133)(cid:3)(cid:42)(cid:49)(cid:20)(cid:46)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:127)(cid:81)
(cid:72)(cid:131)(cid:10)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)
+ = + + =( + +1) =( +1) =( +1+2)( + )=( +3)( )(cid:136)
2 2 2 2
𝑥(cid:72)(cid:131)(cid:10)2𝑥(cid:27)−3(cid:36)(cid:29)𝑥(cid:37)22𝑥+ 1−1−(cid:42)3(cid:48)(cid:39)𝑥(cid:43)(cid:94)22𝑥 + −4 =2𝑥( + −4) =𝑥 2( + 𝑥+ 1−2) =𝑥2( +𝑥1−)1
2 2 2 2 2
(cid:81)(cid:153)(cid:74)(cid:147) = 1𝑥(cid:150)(cid:75)42𝑥−6+ (cid:133)(cid:48)(cid:39)𝑥(cid:43)(cid:75)4(cid:48)𝑥−(cid:39)6(cid:43)(cid:80) 𝑥8(cid:75)(cid:63)2𝑥(cid:134)−(cid:113)6(cid:114)(cid:117)(cid:118)𝑥(cid:23)(cid:24)2(cid:25)𝑥 (cid:26)1(cid:56)−(cid:57)1(cid:116)−6(cid:135)(cid:49)(cid:20)𝑥(cid:10)
2
−(18)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10)𝑥 − 𝑥=_4_𝑥_−__6_(cid:136) −
2
(2)(cid:147)a(cid:94)(cid:59)(cid:43)(cid:150)𝑚(cid:75)−(cid:95)4𝑚(cid:96)−(cid:37)5 + +18(cid:133)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)(cid:139)(cid:27)(cid:201)(cid:174)(cid:194)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:136)
2
(3)(cid:147)a(cid:75)b(cid:94)(cid:59)(cid:43)(cid:150)(cid:75)(cid:95)(cid:96)−(cid:37)𝑎 4+𝑎3 + +27(cid:133)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:139)(cid:27)(cid:201)(cid:174)(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)4-1(cid:19)(cid:30)2024·(cid:87)(cid:16)(cid:102)(cid:103)𝑎·(cid:61)(cid:108)(cid:33)𝑏 (cid:185)4𝑎=−6𝑏 +4 + +3(cid:75)(cid:78)M(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:94) (cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)4-2(cid:19)(cid:30)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:16)(cid:221)(cid:87)𝑀·(cid:222)(cid:223)𝑥(cid:224)−(cid:225)4𝑥(cid:33)𝑦(cid:24)(cid:25)𝑦(cid:26)(cid:80)2(cid:29)𝑥−(cid:11)4(cid:64)𝑦(cid:208)(cid:209)(cid:42)(cid:107)(cid:207)(cid:226)(cid:227)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:228)(cid:80)(cid:229)(cid:172)(cid:107)(cid:194)(cid:37)
(cid:200)(cid:42)(cid:47)(cid:107)(cid:230)(cid:66)(cid:231)(cid:121)(cid:44)(cid:127)(cid:82)(cid:54)(cid:232)(cid:94)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:58)(cid:194)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:42)(cid:233)(cid:42)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:174)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:99)(cid:234)(cid:23)(cid:235)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:42)(cid:82)
7
(cid:54)(cid:64)(cid:75)(cid:139)(cid:236)(cid:237)(cid:214)(cid:98)(cid:29)(cid:42)(cid:149)(cid:71)(cid:238)(cid:56)(cid:57)(cid:107)(cid:130)(cid:49)(cid:20)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:67)(cid:29) (cid:151) (cid:76)(cid:77) + + =0(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)
2
2
(cid:94) (cid:81) 𝑥 𝑦 −𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:82)(cid:37)4-3(cid:19)(cid:157)(cid:67)(cid:29) (cid:75) (cid:75) (cid:76)(cid:77) + + =1(cid:75)(cid:78) = + + (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:94) (cid:81)
【题型5 利用配方 𝑥 法确 𝑦 定 𝑧 三角形 𝑥 的形 𝑦 状 𝑧 】 𝑀 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 3𝑧𝑥
(cid:15)(cid:72)5(cid:19)(cid:30)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:189)(cid:103)(cid:190)(cid:191)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:116)(cid:135)(cid:117)(cid:118)(cid:10)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:239)(cid:64)(cid:29)(cid:11)(cid:64)(cid:240)(cid:99)(cid:23)(cid:235)(cid:42)(cid:107)(cid:194)(cid:208)(cid:209)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:241)(cid:242)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:178)(cid:119)(cid:120)(cid:11)(cid:225)(cid:29)(cid:11)(cid:133)(cid:243)(cid:38)(cid:42)(cid:244)(cid:245)(cid:81)(cid:246)(cid:247)(cid:24)(cid:25)(cid:75)(cid:248)
(cid:80)(cid:172)(cid:47)(cid:107)(cid:194)(cid:95)(cid:96)(cid:37)(cid:82)(cid:54)(cid:94)(cid:107)(cid:194)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:82)(cid:54)(cid:107)(cid:51)(cid:209)(cid:80)(cid:44)(cid:127)(cid:42)(cid:81)(cid:72)(cid:131)(cid:10)(cid:56)(cid:25)(cid:249) +3=0(cid:75)(cid:78)(cid:133)
2 2
+ +3=0(cid:75) =1(cid:75)(cid:56)(cid:184) =3(cid:75) =1(cid:81)(cid:73)(cid:74) + + 𝑥+−54𝑥=0(cid:75)(cid:27)x(cid:75)y(cid:42)(cid:43)𝑥 (cid:75)
2 2 2
−(cid:78)4(cid:133)𝑥( 4−4 +1)+( ∴+(𝑥−2+)4)=0(cid:75) 𝑥1 +𝑥2 +2) =0(cid:75)𝑥 (cid:56)−2(cid:184)𝑥 =𝑦1(cid:75)4𝑦= (cid:81)
2 2 2 2
(cid:63)(cid:134)(cid:115)𝑥(cid:86)−(cid:117)2𝑥(cid:118)(cid:56)(cid:250)(cid:116)(cid:135)𝑦 (cid:251)(cid:20)4𝑦(cid:10) ∴(𝑥−1) (𝑦 𝑥 𝑦 −2
(1)(cid:185) + + +25=0(cid:75)(cid:27) + (cid:42)(cid:43)(cid:136)
2 2 2024
(2)(cid:185)𝑥 (cid:66)6𝑥(cid:252)(cid:253)𝑦(cid:254)−8𝑦 (cid:42)(cid:52)(cid:255)(cid:256)(cid:75)(𝑥(cid:109)(cid:76)𝑦(cid:77)) +8 + =0(cid:75)(cid:137)(cid:257)(cid:258) (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:75)(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:141)
2 2 2
(cid:142)(cid:81)𝑎,𝑏,𝑐 △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 −4𝑎𝑏−4𝑏𝑐 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:82)(cid:37)5-1(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:255)(cid:256)(cid:94)a(cid:151)b(cid:151)c(cid:75)(cid:109)(cid:76)(cid:77) =7(cid:75) = (cid:75) = (cid:75)(cid:78)(cid:132)(cid:52)(cid:53)
2 2 2
(cid:54)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:80)(cid:30) (cid:33) 𝑎 −4𝑏 𝑏 −4𝑐 −6 𝑐 −6𝑎 −18
A(cid:81)(cid:127)(cid:259)(cid:52)(cid:53)(cid:54) B(cid:81)(cid:127)(cid:255)(cid:52)(cid:53)(cid:54) C(cid:81)(cid:260)(cid:53)(cid:52)(cid:53)(cid:54) D(cid:81)(cid:92)(cid:26)(cid:50)(cid:51)
(cid:15)(cid:82)(cid:37)5-2(cid:19)(cid:73)(cid:74)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:80) ABC(cid:42)(cid:52)(cid:255)(cid:75)(cid:185)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:76)(cid:77)a2(cid:261)6a(cid:262)b2(cid:261)8b(cid:262) (cid:262)25(cid:263)0(cid:75)(cid:78) ABC(cid:80)
△ 𝑐−5 △(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:136)(cid:185)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:76)(cid:77)a2(cid:262)b2(cid:262)c2(cid:261)ab(cid:261)bc(cid:261)ac(cid:263)0(cid:75)(cid:78) ABC(cid:80) (cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:37)5-3(cid:19)(cid:30)23-24(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:264)(cid:265)(cid:68)(cid:87)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:173)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:231)△(cid:121)(cid:24)(cid:266)(cid:127)(cid:267)(cid:223)(cid:75)(cid:184)(cid:235)(cid:268)(cid:230)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:203)(cid:179)(cid:180)(cid:133)
(cid:3)(cid:167)(cid:181)(cid:233)(cid:56)(cid:20)(cid:75)(cid:174)(cid:207)(cid:56)(cid:20)(cid:25)(cid:26)(cid:175)(cid:176)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:131)(cid:10)①(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10) + +8(cid:81)
2
(cid:56)(cid:183)(cid:37)= + +8+ = + + = +3) 1 𝑎 6𝑎
2 2 2 2
= +3𝑎)+ 6𝑎 + 1−1= 𝑎 + 6𝑎 +9−2)1(cid:81) (𝑎 −
②[(𝑎= 1][(𝑎(cid:75)(cid:22)3(cid:23))−(cid:24)1](cid:25)(cid:26)((cid:27)𝑎 M4)(cid:42)(𝑎(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
(cid:56)(cid:10)𝑀 𝑎 −2𝑎−=1 + = (cid:81)
2 2 2
𝑎 −2𝑎−0(cid:75)1 𝑎 −2𝑎 1−2 (𝑎−1) −2
2
∵(cid:147)(𝑎−1=)1(cid:150)≥(cid:75)M(cid:133)(cid:48)(cid:39)(cid:43) (cid:81)
(cid:158)∴ (cid:63)𝑎(cid:134)(cid:115)(cid:86)(cid:117)(cid:118)(cid:56)(cid:57)(cid:116)(cid:135)(cid:49)−2(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10) + (cid:136)
2
(2)(cid:185) =2 (cid:75)(cid:27)M𝑥 (cid:42)(cid:48)2𝑥(cid:39)−3(cid:43)(cid:136)
2
𝑀 𝑥 −8𝑥 1
(3)(cid:73)(cid:74)a(cid:151)b(cid:151)c(cid:80) (cid:42)(cid:52)(cid:269)(cid:255)(cid:256)(cid:81)(cid:185)a(cid:151)b(cid:151)c(cid:76)(cid:77) + +5= + | |(cid:75)(cid:137)(cid:257)(cid:258) (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:75)
4
2 2
(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:270)(cid:42)(cid:141)(cid:142)(cid:136)△𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏− 𝑐−2 △𝐴𝐵𝐶
【题型6 利用配方法解决几何问题】
(cid:15)(cid:72)6(cid:19)(cid:30)2024·(cid:87)(cid:16)(cid:88)(cid:89)·(cid:52)(cid:108)(cid:33)(cid:60) (cid:64)(cid:75) = = =4(cid:75)P(cid:80) (cid:246)(cid:60)(cid:124)(cid:271)(cid:68)(cid:107)(cid:272)(cid:75)(cid:78)
+ + (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:80) △𝐴(cid:81)𝐵𝐶 ∠𝐴 90°,𝐴𝐵 3,𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
2 2 2
𝑃(cid:15)𝐴(cid:82)(cid:37)𝑃6𝐵-1(cid:19)𝑃(cid:30)𝐶24-25(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:116)·(cid:104)(cid:105)(cid:273)(cid:274)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:119)(cid:120)(cid:73)(cid:240)(cid:11)(cid:225)(cid:275)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:107)(cid:145)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:249)(cid:75)(cid:276)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:213)
(cid:133)(cid:276)(cid:277)(cid:208)(cid:209)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:72)(cid:131)(cid:10)(cid:137)(cid:27)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:96)(cid:37) + +5(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
(cid:56)(cid:10) + +5= + +4+1=( +𝑥2) +4𝑥1(cid:75)
2 2 2
( 𝑥+2)4𝑥 0,( +𝑥2) 4+𝑥1 1(cid:75) 𝑥
2 2
∵ 𝑥 + +≥5 𝑥1(cid:75)(cid:278) + ≥+5(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:80)1(cid:81)
2 2
(cid:137)∴(cid:22)𝑥 (cid:23)“4(cid:24)𝑥 (cid:25)(cid:26)≥”(cid:56)(cid:57)(cid:116)𝑥(cid:135)(cid:49)4(cid:20)𝑥(cid:10)
(1)(cid:73)(cid:74)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + (cid:75)(cid:27)(cid:228)(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:81)
2
(2)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:29)(cid:37)−22𝑥+ 4𝑥−(cid:138)53 +1(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:75)(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:141)(cid:142)(cid:81)
2 2
(3)(cid:74)(cid:128)(cid:89)(cid:279)(cid:10) 𝑥 3𝑥−5 𝑥 −𝑥
(cid:131)(cid:280)(cid:75)(cid:60)Rt (cid:64)(cid:75) = =8cm =6cm(cid:75)(cid:272)P(cid:60) (cid:255)(cid:86)(cid:115)2cm/s(cid:42)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:272)A(cid:284)C(cid:279)(cid:285)(cid:75)
(cid:272)Q(cid:60) (cid:255)△(cid:86)𝐴(cid:115)𝐵1𝐶cm/s∠(cid:42)𝐶(cid:281)(cid:282)9(cid:283)0°,(cid:272)𝐴𝐶C(cid:284)(cid:272)B,𝐵(cid:279)𝐶 (cid:285)(cid:81)(cid:185)(cid:272) (cid:286)(cid:150)𝐴(cid:201)𝐶 (cid:287)(cid:75)(cid:109)(cid:147)(cid:107)(cid:272)(cid:279)(cid:285)(cid:235)(cid:288)(cid:272)(cid:150)(cid:75)(cid:289)(cid:107)(cid:272)(cid:290)
𝐶𝐵 𝑃,𝑄(cid:291)(cid:110)(cid:292)(cid:293)(cid:75)(cid:157)(cid:264)(cid:255)(cid:54) (cid:42)(cid:271)(cid:294)(cid:94) cm (cid:75)(cid:167)(cid:285)(cid:150)(cid:111)(cid:94)t(cid:295)(cid:75)(cid:27)S(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
𝐴𝑃𝑄𝐵 𝑆
(cid:15)(cid:82)(cid:37)6-2(cid:19)(cid:30)2023·(cid:87)(cid:16)(cid:92)(cid:296)·(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:131)(cid:280)(cid:75)(cid:188)(cid:25)(cid:54) (cid:42)(cid:255)(cid:256)(cid:94)2(cid:75)(cid:272) (cid:80)(cid:255) (cid:86)(cid:42)(cid:285)(cid:272)(cid:75)(cid:297)(cid:298) (cid:151) (cid:75)
(cid:172) (cid:299)(cid:272) (cid:300)(cid:150)(cid:301)(cid:302)(cid:303)90°(cid:184)(cid:235) (cid:75)(cid:172) (cid:299)(cid:272) (cid:304)(cid:150)𝐴(cid:301)𝐵𝐶(cid:302)𝐷(cid:303)90°(cid:184)(cid:235) (cid:75)(cid:297)𝐸 (cid:298) 𝐴𝐵(cid:75)(cid:78)(cid:305)(cid:223) (cid:42)(cid:79)𝐸(cid:43)𝐷(cid:31)(cid:32)𝐸𝐶(cid:94)
𝐸 𝐷(cid:81) 𝐸 𝐸𝑁 𝐸𝐶 𝐸 𝐸𝑀 𝑀𝑁 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:82)(cid:37)6-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:116)·(cid:87)(cid:16)(cid:191)(cid:306)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:131)(cid:280)(cid:75)(cid:73)(cid:74) =10(cid:75) (cid:94)(cid:305)(cid:223) (cid:86)(cid:42)(cid:107)(cid:194)(cid:285)(cid:272)(cid:75)(cid:66)(cid:252)(cid:115)
(cid:94)(cid:255)(cid:60) (cid:42)(cid:286)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:54) (cid:233)(cid:309)(cid:54) (cid:75)(cid:272) (cid:60)(cid:107)(cid:269)𝐴𝐵(cid:260)(cid:305)(cid:86)(cid:75)𝑃 =𝐴6𝐵0°(cid:75) (cid:66)(cid:252)(cid:80)(cid:178)(cid:53)(cid:305)𝐴𝑃,𝑃𝐵
(cid:42)(cid:64)(cid:272)𝐴(cid:81)𝐵(cid:147)(cid:272) (cid:60)(cid:305)(cid:223) 𝐴(cid:86)𝑃𝐶(cid:279)𝐷(cid:285)(cid:150)(cid:75)𝑃(cid:272)𝐵𝐹𝐸(cid:110)(cid:111)𝑃(cid:42),𝐶(cid:310),𝐸(cid:311)(cid:48)(cid:312)(cid:94) (cid:81)∠𝐷𝐴𝑃 𝑀,𝑁 𝐴𝐶,𝐵𝐸
𝑃 𝐴𝐵 𝑀𝑁
【题型7 配方法在二次根式中的应用】
(cid:15)(cid:72)7(cid:19)(cid:30)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:104)(cid:105)(cid:313)(cid:314)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:33)(cid:92)(cid:93) (cid:79)(cid:148)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37) +3(cid:97)(cid:133)(cid:149)(cid:71)(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:48)
2
(cid:38)(cid:43)(cid:94) (cid:81) 𝑥 𝑥 −𝑘𝑥 𝑘
(cid:15)(cid:82)(cid:37)7-1(cid:19)(cid:30)2022·(cid:315)(cid:316)(cid:191)(cid:317)·(cid:107)(cid:108)(cid:33)(cid:119)(cid:143)(cid:191)(cid:318)(cid:150)(cid:90)(cid:29)(cid:11)(cid:319)(cid:320)(cid:83)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:201)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:52)(cid:255)(cid:27)(cid:271)(cid:294)(cid:42)(cid:7)(cid:37)(cid:75)(cid:132)(cid:7)(cid:37)(cid:138)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:58)(cid:59)(cid:11)(cid:319)(cid:327)(cid:328)(cid:323)(cid:201)(cid:42)(cid:7)(cid:37)(cid:131)(cid:201)(cid:107)(cid:329)(cid:75)(cid:278)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:52)(cid:255)(cid:256)(cid:66)(cid:252)(cid:94) (cid:75) (cid:75) (cid:75)(cid:330) = (cid:75)(cid:78)(cid:276)
2
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑝
(cid:271)(cid:294) = ( )( )( )(cid:81)(cid:174)(cid:194)(cid:7)(cid:37)(cid:290)(cid:234)(cid:331)(cid:94)(cid:327)(cid:328)—(cid:320)(cid:83)(cid:321)(cid:7)(cid:37)(cid:81)(cid:185) =3(cid:75) =2(cid:75)(cid:78)(cid:132)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:271)(cid:294)(cid:42)
(cid:48)(cid:38)𝑆(cid:43)(cid:80) 𝑝 𝑝 −𝑎(cid:81)𝑝−𝑏 𝑝−𝑐 𝑝 𝑐
(cid:15)(cid:82)(cid:37)7-2(cid:19)(cid:185)(cid:332)(cid:29) = + (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:94)M(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:94)m(cid:75)(cid:78) =(cid:42)(cid:94) (cid:81)
𝑚
(cid:15)(cid:82)(cid:37)7-3(cid:19)(cid:30)22-23 𝑦(cid:168)(cid:84)2(cid:85)0(cid:116)23 · −(cid:169)𝑥(cid:170)(cid:171)(cid:103)𝑥− ·(cid:90)20(cid:91)21(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:272) ( )(cid:75)(cid:109)(cid:67)(cid:29) 𝑀 (cid:76)(cid:77) +8=0(cid:75)(cid:78)(cid:272)
2 2
(cid:235)(cid:183)(cid:272)(cid:42)(cid:48)(cid:312)(cid:310)(cid:311)(cid:94) (cid:81) 𝑃 𝑎,3𝑏 −3 𝑎,𝑏 𝑎−4𝑏 𝑃
【题型8 配方法在分式中的应用】
6 10
(cid:15)(cid:72)8(cid:19)(cid:30)2023·(cid:154)(cid:87)(cid:317)(cid:333)·(cid:108)(cid:334)(cid:335)(cid:146)(cid:33)(cid:66)(cid:37) (cid:153)(cid:79)(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:94)(cid:30)(cid:100)(cid:100)(cid:33)
2 2
𝑥 +12𝑥+
2
A(cid:81)4 B(cid:81)5 𝑥 +C2(cid:81)𝑥+6 D(cid:81)(cid:126)(cid:336)(cid:60)
10105
(cid:15)(cid:82)(cid:37)8-1(cid:19)(cid:36)(cid:29)(cid:37) (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:80) (cid:81)
4 10 14
2 2
𝑥 −12𝑥𝑦+ 𝑦 +6𝑦+
1
(cid:15)(cid:82)(cid:37)8-2(cid:19)(cid:185)(cid:66)(cid:37) (cid:126)(cid:93)x(cid:79)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:152)(cid:133)(cid:149)(cid:71)(cid:81)(cid:27)m(cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)8-3(cid:19)(cid:30)24-25𝑥(cid:168)−2(cid:84)𝑥+(cid:85)𝑚(cid:86)·(cid:208)(cid:337)(cid:338)(cid:314)·(cid:90)(cid:91)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:116)(cid:135)(cid:117)(cid:118)(cid:10)
8 6 2
(cid:231)(cid:121)(cid:39)(cid:11)(cid:42)(cid:11)(cid:225)(cid:119)(cid:120)(cid:74)(cid:220)(cid:75)(cid:66)(cid:29)(cid:153)(cid:66)(cid:94)“(cid:339)(cid:66)(cid:29)”(cid:233)“(cid:340)(cid:66)(cid:29)”(cid:75)(cid:341)(cid:340)(cid:66)(cid:29)(cid:97)(cid:153)(cid:232)(cid:94)(cid:342)(cid:66)(cid:29)(cid:75)(cid:131)(cid:10) = =2+
3 3
+
2 2
=2 (cid:81)
3 3
(cid:119)(cid:120)(cid:51)(cid:71)(cid:10)(cid:60)(cid:66)(cid:37)(cid:64)(cid:75)(cid:178)(cid:45)(cid:343)(cid:344)(cid:133)(cid:107)(cid:194)(cid:345)(cid:346)(cid:42)(cid:66)(cid:37)(cid:75)(cid:147)(cid:66)(cid:200)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:38)(cid:45)(cid:46)(cid:127)(cid:45)(cid:66)(cid:346)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:150)(cid:75)(cid:119)(cid:120)(cid:331)(cid:110)(cid:94)“(cid:340)
(cid:66)(cid:37)”(cid:136)(cid:147)(cid:66)(cid:200)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:39)(cid:45)(cid:66)(cid:346)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:150)(cid:75)(cid:119)(cid:120)(cid:331)(cid:110)(cid:94)“(cid:339)(cid:66)(cid:37)”(cid:81)
1
(cid:131)(cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:174)(cid:165)(cid:42)(cid:66)(cid:37)(cid:248)(cid:80)(cid:340)(cid:66)(cid:37)(cid:136)
1 22 2
𝑥−1 𝑥+ 𝑥 𝑥
𝑥+ 3 𝑥−21 𝑥+ 𝑥−1
(cid:203)(cid:131)(cid:10) (cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:174)(cid:165)(cid:42)(cid:66)(cid:37)(cid:248)(cid:80)(cid:339)(cid:66)(cid:37)(cid:81)
1 1
𝑥 2𝑥
2 2
(cid:347)(cid:212)(cid:42) 𝑥 (cid:75) + (cid:340)(cid:66)𝑥−(cid:37)2(cid:290)𝑥(cid:153)−(cid:115)1 (cid:232)𝑥(cid:94)+(cid:342)(cid:66)(cid:37)(cid:30)(cid:278)(cid:10)(cid:206)(cid:37)(cid:138)(cid:339)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:233)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:33)(cid:81)
( 1) 2 1 ( ) 3 3
(cid:131)(cid:10) = = (cid:136) = =1+ (cid:75)
1 1 1
𝑥−1 𝑥+ −2 𝑥+ 𝑥−2 +
(cid:56)(cid:250)(cid:116) 𝑥+ (cid:135)(cid:49)(cid:20)𝑥+(cid:10) 1−𝑥+ 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
2
(1)(cid:66)(cid:37) (cid:80) (cid:66)(cid:37)(cid:30)(cid:348)“(cid:339)”(cid:46)“(cid:340)”(cid:33)(cid:136)
𝑥
(2)(cid:172)(cid:340)(cid:66)(cid:37) (cid:219)(cid:349)(cid:339)(cid:66)(cid:37)(cid:342)(cid:233)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:136)
2
2𝑥−6
𝑥+
9 2
(3)(cid:185)(cid:66)(cid:37) (cid:42)(cid:43)(cid:94)(cid:188)(cid:29)(cid:75)(cid:27) (cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:81)
2
𝑥 −5𝑥+
3𝑥−2 𝑥【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:72)9(cid:19)(cid:30)23-24(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:86)(cid:327)(cid:350)(cid:351)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10)2 +1= (cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)9-1(cid:19)(cid:30)23-24(cid:168)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:86)(cid:327)(cid:352)(cid:353)·(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)𝑥(cid:10)−6𝑥+ = (cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:37)9-2(cid:19)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)2 +5 (cid:127)(cid:45)(cid:30)(cid:33) 𝑥 6𝑥−5
2 2
4 6 6 𝑥 −8𝑥𝑦 𝑦
A(cid:81)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑥−
4 6 6
B(cid:81)
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
4 6 6
C(cid:81)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
D(cid:81) 6 + 6
(cid:15)(cid:82)(cid:37)9-23𝑥 (cid:19) − (cid:30) 4𝑦 2 − 4-25 𝑦 (cid:83)(cid:84)2𝑥(cid:85)−4(cid:86)𝑦 ·(cid:86)(cid:327)· 𝑦(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:33)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10)2 = (cid:81)
2 2
【题型10 利用配方法解决新定义问题】 𝑥 −3𝑥𝑦−4𝑦
(cid:15)(cid:72)10(cid:19)(cid:30)2025·(cid:104)(cid:105)(cid:352)(cid:354)·(cid:108)(cid:334)(cid:335)(cid:146)(cid:33)(cid:3)(cid:45) (cid:42)(cid:107)(cid:145)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:249)(cid:42)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:10)(cid:185)(cid:3)(cid:45) (cid:42)(cid:107)(cid:145)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:249)(cid:10)
2
+ =0(cid:138) + =0(cid:75)(cid:331)(cid:94)“(cid:286)(cid:355)(cid:61)(cid:62)𝑥 (cid:25)(cid:249)”(cid:81)(cid:131)2 +4=0(cid:138)3 𝑥 +4=0(cid:248)(cid:80)“(cid:286)𝑎(cid:355) 1 ((cid:61)𝑥−(cid:62)𝑚(cid:25))
2 2 2
(cid:249)𝑛”(cid:81)(cid:202)(cid:133)𝑎(cid:3) 2 (cid:45)(𝑥−(cid:42)𝑚(cid:107)) (cid:145)𝑛(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:249)(cid:10)2 +1=0(cid:138)( +(𝑥2−)3) +( ) +(8𝑥−=30)(cid:80)“(cid:286)(cid:355)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:249)”(cid:81)(cid:356)(cid:357)
2 2
(cid:36)(cid:29)(cid:37) + 𝑥+2031(cid:129)(cid:79)(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(𝑥(cid:80)−(cid:30)1) (cid:33) 𝑎 𝑥 𝑏−4 𝑥
2
A(cid:81)𝑎2𝑥026 𝑏𝑥 B(cid:81)2023 C(cid:81)2028 D(cid:81)2025
(cid:15)(cid:82)(cid:37)10-1(cid:19)(cid:30)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:264)(cid:265)(cid:68)(cid:87)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:33)(cid:178)(cid:45)(cid:133)(cid:141)(cid:29)a(cid:75)b(cid:75)(cid:51)(cid:71) (cid:42)(cid:344)(cid:71)(cid:94)(cid:10)(cid:147) (cid:150)(cid:75)
= (cid:136)(cid:147) (cid:150)(cid:75) = (cid:81)(cid:185)min{40, }=4𝑚0(cid:75)𝑖𝑛(cid:78){𝑎,𝑏}(cid:42)(cid:43)(cid:127)(cid:45) 𝑎 ≥(cid:81)𝑏
2 2 𝑛
𝑚(cid:15)𝑖(cid:82)𝑛{(cid:37)𝑎,𝑏1}0-2(cid:19)𝑏 (cid:30)23𝑎-2≤4𝑏(cid:83)(cid:84)(cid:85)𝑚(cid:116)𝑖𝑛·{(cid:104)𝑎,(cid:105)𝑏}(cid:273)(cid:274)𝑎·(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:33)1(cid:51)2(cid:71)𝑚−(cid:10)4(cid:178)𝑛−(cid:45)𝑚(cid:332)−(cid:29)𝑛 =lg ( >0𝑚)(cid:75) (cid:291) (cid:42)(cid:362)(cid:38)(cid:341)(cid:362)(cid:38)(cid:75)
(cid:109)lg10=1(cid:75)lg =lg lg (cid:75)lg =lg +lg (cid:81)(cid:185)
1
+
5
=5(cid:75)(cid:78)lg +
𝑦
lg (cid:42)
𝑥
(cid:48)
𝑥
(cid:38)(cid:43)(cid:94)
𝑦 𝑥
(cid:81)
2 4
𝑥
(cid:15)(cid:82)(cid:37)10-3(cid:19)(cid:30) 𝑦 24-25 𝑥−(cid:168)(cid:84)𝑦(cid:85)(cid:116)𝑥 ·(cid:154)𝑦 (cid:87)(cid:363)𝑥(cid:103)·(cid:90)𝑦(cid:64)(cid:33)(cid:131)𝑎(cid:193)(cid:3)(cid:45)𝑏 x(cid:42)(cid:107)(cid:145)(cid:61)𝑎(cid:62)(cid:25)𝑏(cid:249) + + =0(cid:30) 0(cid:33)(cid:133)(cid:364)
2
(cid:194)(cid:67)(cid:29)(cid:63)(cid:75)(cid:109)(cid:276)(cid:64)(cid:107)(cid:194)(cid:63)(cid:34)(cid:289)(cid:107)(cid:194)(cid:63)(cid:38) 1(cid:75)(cid:356)(cid:357)(cid:331)(cid:174)(cid:165)(cid:42)(cid:25)(cid:249)(cid:94)“(cid:365)(cid:63)(cid:25)(cid:249)”(cid:81)𝑎(cid:72)𝑥(cid:131)(cid:75)𝑏(cid:107)𝑥 (cid:145)𝑐(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:249)𝑎≠ + =0
2
(cid:42)(cid:364)(cid:194)(cid:63)(cid:80) =0(cid:75) = (cid:75)(cid:78)(cid:25)(cid:249) + =0 (cid:80)“(cid:365)(cid:63)(cid:25)(cid:249)”(cid:81) 𝑥 𝑥
2
(1)(cid:231)(cid:121)(cid:366)(cid:181)(cid:75)𝑥1(cid:257)(cid:258)(cid:25)(cid:249)𝑥2 −1 =0(cid:80)(cid:367)𝑥(cid:80)“𝑥(cid:365)(cid:63)(cid:25)(cid:249)”(cid:136)
2
(2)(cid:73)(cid:74)(cid:3)(cid:45) x (cid:42)(cid:25)(cid:249) 𝑥 (−𝑥−6) =0(cid:30)m (cid:80)(cid:99)(cid:29)(cid:33)(cid:80)“(cid:365)(cid:63)(cid:25)(cid:249)”(cid:75)(cid:27) m (cid:42)(cid:43)(cid:136)
2
(3)(cid:185)(cid:3)(cid:45) x (cid:42)(cid:25)(cid:249) 𝑥 +− 𝑚+−11=𝑥−0𝑚(cid:30)a(cid:151)b (cid:80)(cid:99)(cid:29)(cid:75) >0(cid:33)(cid:80)“(cid:365)(cid:63)(cid:25)(cid:249)”(cid:75)(cid:368) = (cid:75)(cid:137)(cid:27)t(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:81)
2 2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎 𝑡 8𝑎−𝑏
