专题 03 配方法的十大应用（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:19)(cid:40)(cid:21)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19)(cid:46)(cid:32)(cid:47)(cid:40)(cid:46)(cid:35)(cid:48)(cid:31)(cid:21)........................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:44)(cid:50)(cid:22)(cid:21)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:21)..........................................................................................................13
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:50)(cid:22)(cid:21)..................................................................................................................16
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:39)(cid:65)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:21)..............................................................................................................22
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:67)(cid:39)(cid:65)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:21)......................................................................................................................25
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:21)..................................................................................................27
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:58)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:50)(cid:22)(cid:21)..............................................................................................................29
【题型1 利用配方法求参数（范围）】
1 1
(cid:15)(cid:73)1(cid:21)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:68)(cid:31) (cid:76) (cid:76) (cid:77)(cid:78) + =0(cid:76) =12 + + (cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:81)(cid:32) (cid:35)
4 4
2 2 2
7 𝑚 𝑛 𝑐 7 𝑚 −𝑚 𝑐 𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑛
A(cid:82) B(cid:82) > C(cid:82) D(cid:82) >
4 4
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)𝑛≥A − 𝑛 − 𝑛≥−2 𝑛 −2
1 1 1 1
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:86) + =0(cid:87)(cid:55)(cid:88) = (cid:76)(cid:38)(cid:89) =12 + + (cid:65)(cid:88)(cid:90) = + (cid:76)(cid:91)(cid:92)
4 4 4 4
2 2 2 2 2
(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:64) 𝑚 (cid:94)(cid:95)−𝑚(cid:96)(cid:31)(cid:43)𝑐(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:88) 𝑚 (cid:90)(cid:83)−𝑚(cid:84)(cid:82)− 𝑐 𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑛 𝑐 −3𝑐
1
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21) + =0
4
2
∵𝑚 −𝑚 𝑐
1
=
4
2
∴ 𝑚 −𝑚 − 𝑐
1 1 1
= )
2 4 4
2
2
∴ 𝑚 1− 𝑚 (𝑚− − ≥−
∴𝑐≤ 1 1 1 1 1
=12 + + =12( + + =12× + + = +
4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
∴𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑚 −𝑚) 𝑐 (− 𝑐) 𝑐 𝑐 −3𝑐
3
= )
2
2
∴𝑛 (𝑐− −23 1
)
2 2 4
∵(𝑐− 7 ≥
4
(cid:102)∴(cid:103)𝑛≥(cid:10)−A(cid:82)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:112)(cid:113)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:114)(cid:115)(cid:63)(cid:27)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:25)(cid:119)(cid:120)(cid:75)(cid:121)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)1-1(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:74)(cid:75) (cid:77)(cid:78)( + +7)( +11)=6(cid:76)(cid:79) + =
2 2
(cid:32)(cid:35) 𝑎,𝑏 𝑎 4𝑎 𝑏 −6𝑏 2𝑎 𝑏
A(cid:82) B(cid:82) C(cid:82)2 D(cid:82)3
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)−6B −1
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:29)(cid:44)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:132)( + +7)( +11)=6(cid:87)(cid:55)(cid:76)
2 2
(cid:133)(cid:134)(cid:64)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:135)(cid:39)(cid:136)(cid:43)(cid:137)(cid:138)(cid:76)(cid:100)(cid:139)(cid:29)(cid:140) (cid:114)(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:91)(cid:38)(cid:89)(cid:29)(cid:57)𝑎(cid:99)(cid:100)4(cid:76)𝑎(cid:141)(cid:142)(cid:143)𝑏(cid:3)−(cid:75)6𝑏(cid:121)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) ( + +7)( +11)=6(cid:76)𝑎 𝑏
2 2
[( +2) +3∵][(𝑎 )4𝑎+2]=𝑏6−(cid:76)6𝑏
2 2
∴( 𝑎+2) 0(cid:76)(𝑏−3) 0(cid:76)
2 2
∵(cid:144)𝑎 +2=≥ 𝑏=−03(cid:145)(cid:76)≥[( +2) +3][( ) +2]=6(cid:76)
2 2
∴(cid:57)(cid:88)𝑎(cid:10) = 0,𝑏−=3 3(cid:76) 𝑎 𝑏−3
+𝑎 −2,𝑏
∴=22𝑎×(𝑏 )+3
= +−32
=−4(cid:76)
(cid:102)(cid:103)−(cid:10)1 B(cid:82)
1
(cid:15)(cid:87)(cid:39)1-2(cid:21)(cid:146)(cid:147)x(cid:148)(cid:60)(cid:44)(cid:76)(cid:3)(cid:46)x(cid:43)(cid:149)(cid:150)(cid:39)﹣ x2+3x+m(cid:43)(cid:44)(cid:151)(cid:148)(cid:96)(cid:31)(cid:76)(cid:79)(cid:152)(cid:31)m(cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:81)(cid:32)(cid:153)(cid:153)(cid:35)
2
9 9
A(cid:82)m(cid:154)﹣9 B(cid:82)m(cid:154)﹣ C(cid:82)m(cid:154)9 D(cid:82)m(cid:154)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)B
1 1 9 1
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:140)(cid:10)﹣ x2+3x+m(cid:159)﹣ (cid:32)x﹣3(cid:35)2+m+ (cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:64)(cid:94)(cid:115)(cid:63)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:100)(cid:88)- (cid:32)x﹣3(cid:35)2+m+
2 2 2 2
9 9 1 9
≤m+ (cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:146)(cid:147)x(cid:148)(cid:60)(cid:44)(cid:76)﹣ x2+3x+m(cid:154)0(cid:76)(cid:160)(cid:88)m+ (cid:154)0(cid:76)(cid:94)(cid:161)(cid:157)(cid:158)(cid:140)(cid:152)(cid:31)m(cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:99)(cid:100)(cid:82)
2 2 2 2
1 1 9 1 9
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) ﹣ x2+3x+m(cid:159)﹣ (cid:32)x2﹣6x+9(cid:35)+m+ (cid:159)﹣ (cid:32)x﹣3(cid:35)2+m+
2 2 2 2 2
∵1
﹣ (cid:32)x﹣3(cid:35)2≤0(cid:76)
2
∵ 1 9 9
﹣ (cid:32)x﹣3(cid:35)2+m+ ≤m+ (cid:76)
2 2 2
∴ 1
(cid:146)(cid:147)x(cid:148)(cid:60)(cid:44)(cid:76)﹣ x2+3x+m(cid:154)0(cid:76)
2
∵ 9
m+ (cid:154)0(cid:76)
2
∴ 9
(cid:57)(cid:88)m(cid:154)﹣ (cid:82)
2
(cid:102)(cid:103)(cid:10)B(cid:82)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:43)(cid:75)(cid:121)(cid:104)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:57)(cid:161)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)1-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:126)(cid:127)(cid:162)(cid:163)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:74)(cid:75) + = + 20(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:44)(cid:148) (cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)16 𝑚 𝑛 4,𝑚𝑛−𝑝 8𝑝≥ 𝑚𝑛𝑝
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:156)(cid:86) + =4(cid:88) = (cid:76)(cid:132)(cid:164)(cid:38)(cid:89) + 20
2
(cid:134)(cid:76)(cid:132)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:26)(cid:27)(cid:88)( ) +( ) 0(cid:76)(cid:64)(cid:94)(cid:95)𝑚(cid:96)(cid:31)𝑛(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:100)𝑚(cid:88)4−=𝑛2(cid:76) =4(cid:76)(cid:92)𝑚(cid:170)𝑛−(cid:100)𝑝(cid:88) 8𝑝=≥2(cid:76)
2 2
(cid:91)(cid:132)m(cid:114)n(cid:114)p(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:89) (cid:99)𝑛−(cid:100)2(cid:88)(cid:83)(cid:84)𝑝(cid:82)−4 ≤ 𝑛 𝑝 𝑚
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) + =𝑚4(cid:76)𝑛𝑝
= (cid:76) ∵𝑚 𝑛
∴(cid:132)𝑚 =4−𝑛 (cid:38)(cid:89) + 20(cid:88)(cid:10)( ) + 20(cid:76)
2 2
(cid:167)𝑚(cid:168)(cid:134)(cid:26)4−(cid:27)𝑛(cid:100)(cid:88)(cid:10)𝑚𝑛(−𝑝 ) 8+𝑝(≥ ) 04(cid:76)−𝑛 𝑛−𝑝 8𝑝≥
2 2
=0(cid:76) =𝑛0−(cid:76)2 𝑝−4 ≤
∴𝑛−=22(cid:76) =𝑝−4(cid:76)4
∴𝑛 = 𝑝 =2(cid:76)
∴𝑚 4=−22×2×4=16(cid:76)
(cid:102)∴𝑚(cid:83)𝑛𝑝(cid:84)(cid:148)(cid:10)16(cid:82)
【题型2 利用配方法比较代数式大小】
(cid:15)(cid:73)2(cid:21)(cid:32)2025·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:171)·(cid:174)(cid:175)(cid:35)(cid:74)(cid:75) (cid:76) (cid:76) (cid:148)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:176) + = +3 (cid:76) = + (cid:76)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
2 2
(cid:177)(cid:178)(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:179)(cid:81)(cid:32) (cid:35) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧 A(cid:82) < B(cid:82) < C(cid:82) < D(cid:82) <
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)𝑥 A𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:82)(cid:156)(cid:64)(cid:94)(cid:74)(cid:75)(cid:166)(cid:39)(cid:29)(cid:140) = +2(cid:76) =2
2 2
𝑦 𝑥 −𝑥 𝑧 𝑥+3(cid:76)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:157)(cid:158)(cid:140) > (cid:76) (cid:76)(cid:86)(cid:161)(cid:99)(cid:100)(cid:88)(cid:140)(cid:83)(cid:84)(cid:82)
−(cid:15)3(cid:101)𝑥(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) + = +3 (cid:76) 𝑦 =𝑥 𝑧≥𝑦+ (cid:76)
2 2
(cid:57)(cid:88) = ∵+𝑦2(cid:76)𝑧 =5−24𝑥 𝑥+3(cid:76)𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥
2 2
𝑦= 𝑥 −𝑥+ 𝑧= 𝑥 −3+𝑥2=( ) +1>0(cid:76)
2 2 2
∴𝑦−>𝑥 (cid:183)𝑥 −𝑥 2−𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥−1
∴𝑦 𝑥= + =( ) 0(cid:76)
2 2
∵𝑧−𝑦 (cid:76)1−2𝑥 𝑥 𝑥−1 ≥
∴𝑧≥<𝑦 (cid:76)
∴(cid:102)𝑥(cid:103)(cid:10)𝑦A≤(cid:82)𝑧
(cid:15)(cid:87)(cid:39)2-1(cid:21)(cid:184)(cid:185)(cid:139)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:10)
(cid:24)(cid:25)(cid:189)(cid:190)(cid:11)(cid:191)(cid:43)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:113)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:75)(cid:121)(cid:192)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:174)(cid:193)(cid:50)(cid:22)(cid:76)(cid:194) + = + + =
2 2
( +1) 𝑎 2𝑎−4 𝑎 2𝑎 1−1−4
2
𝑎( +1)−5 0(cid:76)
2
∵ 𝑎 + ≥=( +1) (cid:76)
2 2
∴(cid:70)𝑎(cid:161)(cid:76)2(cid:38)𝑎−(cid:31)4(cid:39) 𝑎+ −(cid:195)5(cid:49)≥(cid:40)−5(cid:44)
2
(cid:64)(cid:94)(cid:139)(cid:119)(cid:187)(cid:188)𝑎(cid:76)(cid:57)(cid:58)2𝑎(cid:186)−4(cid:196)(cid:50)(cid:22)(cid:10) −5
(1)(cid:38)(cid:31)(cid:39) +2(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)(cid:153) (cid:153)(cid:183)
2
(2)(cid:197)(cid:36)(cid:37)𝑎 −+2𝑎 +11(cid:198) (cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:179)(cid:76)(cid:169)(cid:199)(cid:42)(cid:168)(cid:86)(cid:183)
2 2
(3)(cid:74)(cid:75)(cid:10)𝑎 =𝑏 2(cid:76) +6𝑎−2𝑏 +5=0(cid:76)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + + (cid:43)(cid:44)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(𝑎1−)1𝑏 𝑎𝑏 𝑐 −4𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(2) + +11> ，见解析
2 2
(3)2𝑎 𝑏 6𝑎−2𝑏
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)（1）将代数式 +2配方可得最值；
2
（2）作差并配方，可进𝑎行大−2小𝑎比较；
（3）变形后得： = +2(cid:76)代入 + +5=0中，再利用配方法即可解决问题．
2
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)解𝑎： 𝑏 +2=𝑎(𝑏 𝑐 −+4𝑐1)+1=( ) +1，
2 2 2
( ) 0， 𝑎 −2𝑎 𝑎 −2𝑎 𝑎−1
2
∵(𝑎−1) +≥1 1，
2
即∴ 𝑎代−数1式 ≥ +2的最小值为1；
2
𝑎 −2𝑎故答案为：1；
(cid:32)2(cid:35) + +11> ，理由如下：
2 2
+ 𝑎 + 𝑏 ( 6)𝑎−2𝑏
2 2
𝑎= +𝑏 +11− 6𝑎−+2𝑏
2 2
=𝑎( 𝑏 +191)−+6(𝑎 +2𝑏 +1)+1，
2 2
(𝑎 −)6𝑎 0(cid:76)( +𝑏 1) 2𝑏 0，
2 2
∵ 𝑎−+3 ≥+11>𝑏 ；≥
2 2
∴(cid:32)𝑎3(cid:35) 𝑏 =2，6𝑎−2𝑏
= ∵𝑎+−2𝑏，
∴𝑎 +𝑏 +5=0，
2
∵𝑎(𝑏 +𝑐2)−+4𝑐 +5=0，
2
∴𝑏( 𝑏+1) +(𝑐 −4)𝑐 =0，
2 2
∴ 𝑏+1=0(cid:76)𝑐−2=0，
∴𝑏= (cid:76) =𝑐−22，
∴𝑏 =−1+𝑐2=1，
∴𝑎+ −+1 = +2=2．
【∴𝑎点睛𝑏】本𝑐 题1考−查1 非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最
值问题，属于中考常考题型．
17 13
(cid:15)(cid:87)(cid:39)2-2(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:181)(cid:200)·(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:197)(cid:35)(cid:74)(cid:75) = (cid:76) = (cid:76)(cid:144) (cid:80)(cid:204)(cid:205)(cid:68)(cid:31)(cid:145)(cid:76)(cid:79) (cid:114)
15 15
2
(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:179)(cid:148)(cid:32)(cid:153)(cid:153)(cid:35) 𝑃 𝑚−2 𝑄 𝑚 − 𝑚 𝑚 𝑃 𝑄
A(cid:82)(cid:206)(cid:195) B(cid:82)(cid:100)(cid:192) = C(cid:82)(cid:206)(cid:195) < D(cid:82)(cid:165)(cid:51)(cid:52)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)C 𝑃≥𝑄 𝑃 𝑄 𝑃 𝑄
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:88)(cid:90) =( ) +1(cid:76)(cid:94)(cid:161)(cid:100)(cid:88)(cid:137)(cid:147)(cid:82)
2
17 13 𝑄−𝑃 𝑚−1
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) = (cid:76) = (cid:76)
15 15
2
∵𝑃 𝑚−2 𝑄 𝑚 − 𝑚
13 17
= +2= +2=( ) +1(cid:76)
15 15
2 2 2
∴𝑄
(
−𝑃
)
𝑚 − 0(cid:76)𝑚− 𝑚 𝑚 −2𝑚 𝑚−1
2
∵(𝑚−1) +≥1 1(cid:76)
2
∴ 𝑚−1 1>0≥(cid:76)
∴𝑄−𝑃≥(cid:206)(cid:195) < (cid:76)
∴(cid:102)(cid:103)(cid:10)𝑃C(cid:82)𝑄
(cid:15)(cid:87)(cid:39)2-3(cid:21)(cid:32)2023·(cid:209)(cid:126)(cid:210)(cid:211)·(cid:174)(cid:175)(cid:35)(cid:212)x(cid:76)y(cid:151)(cid:81)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:186)(cid:196)(cid:50)(cid:22)(cid:76)
(1)(cid:216)(cid:197)(cid:10)①(cid:144) = (cid:76) =1(cid:145)(cid:76) + =5(cid:76) = (cid:76) + > (cid:82)
2 2 2 2
②(cid:144) =1(cid:76) 𝑥=2(cid:145)−2(cid:76) 𝑦 + =∵5𝑥(cid:76) 𝑦 =4(cid:76) 2𝑥 𝑦 +−4 >∴𝑥 (cid:82)𝑦 2𝑥𝑦
2 2 2 2
③(cid:144)𝑥=2(cid:76)𝑦=2.5(cid:145)(cid:76)∵𝑥 𝑦+ =120𝑥.2𝑦5(cid:76) ∴=𝑥10(cid:76)𝑦 +2𝑥𝑦 > (cid:82)
2 2 2 2
④(cid:144)𝑥=3(cid:76)𝑦=3(cid:145)(cid:76) ∵ 𝑥+ 𝑦=18(cid:76) =2𝑥1𝑦8(cid:76) +∴𝑥 ___𝑦____2_𝑥2𝑦xy(cid:82)
2 2 2 2
(2)(cid:217)(cid:218)𝑥(cid:10) +𝑦 (cid:198) (cid:195)∵(cid:219)𝑥(cid:220)(cid:43)𝑦(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:179)(cid:221)2𝑥(cid:197)𝑦(cid:199)(cid:42)(cid:168)(cid:86)∴(cid:82)𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 4
(3)(cid:118)(cid:25)(cid:10)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)= 𝑥 𝑥
(2) + (cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:222)(cid:57)(cid:85)(cid:183)
2 2
𝑥 𝑦 ≥2𝑥4𝑦
(3)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)8(cid:82)
2
2
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:29)(cid:88) + =18(cid:76) =18(cid:76)(cid:88)(cid:90) + = (cid:183)
2 2 2 2
(cid:32)2(cid:35)(cid:137)(cid:223)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)𝑥(cid:43)(cid:95)(cid:96)𝑦(cid:97)(cid:99)(cid:100)(cid:57)2(cid:83)𝑥𝑦(cid:183) 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦
(cid:32)3(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:217)(cid:218)(cid:43)(cid:137)(cid:147)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:57)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10)(cid:144) =3(cid:76) =3(cid:145)(cid:76) + =18(cid:76) =18(cid:76)
2 2
+ = (cid:76) 𝑥 𝑦 ∵ 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦
2 2
(cid:102)∴(cid:83)𝑥 (cid:84)(cid:148)𝑦(cid:10)=2𝑥(cid:183)𝑦
(cid:32)2(cid:35)(cid:57)(cid:10) + (cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:194)(cid:186)(cid:76)
2 2
+𝑥 =𝑦 ≥2𝑥𝑦 0(cid:76)
2 2 2
∵𝑥 −+2𝑥𝑦 𝑦 (cid:183)(𝑥−𝑦) ≥
2 2
∴(cid:32)𝑥3(cid:35)(cid:57)𝑦(cid:10)≥2𝑥𝑦+ (cid:76)
2 2
4 ∵𝑥 𝑦4 ≥2𝑥𝑦
+ 2 =8(cid:76)
2 2
2 2
∴𝑥 𝑥 ≥ 𝑥 4 ⋅𝑥
(cid:38)(cid:31)(cid:39) + (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)8(cid:82)
2
2
(cid:15)∴ (cid:104)(cid:105)(cid:21) 𝑥 (cid:106)(cid:22)𝑥(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
【题型3 利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】
(cid:15)(cid:73)3(cid:21)(cid:32)22-23(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:163)·(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:187)(cid:188)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:39)(cid:28)(cid:76)(cid:100)(cid:139)(cid:132)(cid:174)(cid:193)(cid:55)(cid:194) + + 0)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐(𝑎≠(cid:43)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:148) + + (cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:76)(cid:189)(cid:190)(cid:228)(cid:229)(cid:220)(cid:43)(cid:87)(cid:55)(cid:27)(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + + 0)(cid:43)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:118)
2 2
(cid:25)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:43)(cid:26)(cid:27)𝑎(cid:28)(𝑥(cid:113)(cid:182)𝑚(cid:27))(cid:208)(cid:7)𝑛(cid:39)(cid:192)(cid:232)(cid:174)(cid:193)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:47)(cid:195)(cid:3)(cid:118)(cid:233)𝑎(cid:82)𝑥 𝑏𝑥 𝑐(𝑎≠
(cid:73)(cid:194)(cid:10)(cid:232)(cid:46) + +8(cid:82)(cid:32)1(cid:35)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:183)(cid:32)2(cid:35)(cid:144) (cid:80)(cid:60)(cid:44)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + +8(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:221)(cid:49)(cid:40)(cid:44)
2 2
(cid:81)(cid:149)(cid:234)(cid:221) 𝑎 6𝑎 𝑎 𝑎 6𝑎
(cid:57)(cid:10)(cid:32)1(cid:35)(cid:235)(cid:39)= + +8+
2
= + + 𝑎 6𝑎 1−1
2
=𝑎 +36)𝑎 9−1
2
=(𝑎 +3)−+1 +
=[(𝑎+ +1]2[()𝑎(cid:82) 3)−1]
(cid:32)2((cid:35)𝑎(cid:86)4(cid:32))(1𝑎(cid:35)(cid:88)(cid:10) + +8= +3) (cid:76)
2 2
+3) 0(cid:76)𝑎 6𝑎 (𝑎 −1
2
∵ (𝑎+3) ≥ (cid:76)
2
∴((cid:144)𝑎 = −(cid:145)1(cid:76)≥(cid:38)−1(cid:31)(cid:39) + +8(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
2
(cid:15)∴(cid:50)(cid:22)𝑎 (cid:57)−(cid:58)3(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:57)(cid:58)6𝑎(cid:186)(cid:196)(cid:50)(cid:22)(cid:10) −1
(1)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10) + (cid:183)
2
(2)(cid:197)(cid:199)(cid:42)(cid:165)(cid:147) (cid:148)(cid:60)(cid:44)(cid:76)𝑥 (cid:38)(cid:31)2𝑥(cid:39)−8 + (cid:45)(cid:148)(cid:96)(cid:31)(cid:183)
2
𝑚 1 −𝑚 4𝑚−5
(3)(cid:236)(cid:74)(cid:75) + = + (cid:176) 0(cid:76)(cid:29) (cid:43)(cid:44)(cid:82)
4
2 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)((1𝑎) 𝑐+)(𝑏−𝑎) (𝑏 𝑐) 𝑎≠ 𝑎
(2)(cid:222)(cid:57)(cid:85) (𝑥 4)(𝑥−2)
(3)2
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:64)(cid:94)(cid:22)(cid:237)(cid:6)(cid:238)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:99)(cid:100)(cid:183)
(cid:32)2(cid:35)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:132) + (cid:87)(cid:55)(cid:148) (cid:76)(cid:64)(cid:94)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:29)(cid:140) + (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:148)
2 2 2
(cid:96)(cid:31)(cid:183) −𝑚 4𝑚−5 −(𝑚−2) −1 −𝑚 4𝑚−5
1
(cid:32)3(cid:35)(cid:156)(cid:132) + = + (cid:87)(cid:55)(cid:148) + =0(cid:76)(cid:88)(cid:140) + =0(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:140) =2(cid:82)
4
2 2 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)(𝑎1(cid:35)(cid:57)𝑐)(cid:10)(𝑏−𝑎
+
) (𝑏 𝑐) (2𝑎−𝑏 𝑐) 2𝑎−𝑏 𝑐 𝑎
2
= + + 𝑥 2𝑥−8
2
=𝑥 +12)𝑥 1−9
2
=(𝑥+1+−9 +
(𝑥 3)(𝑥 1−3)= + (cid:82)
(cid:32)2((cid:35)𝑥(cid:57)4(cid:10))(𝑥−2) +
2
= ∵−+𝑚 4𝑚−5
2
=−(𝑚 −4𝑚 (cid:76)4)−1
2
(−(𝑚−)2) −01(cid:76)
2
∵ 𝑚(−2 )≥ 0(cid:76)
2
∴−(𝑚−2) ≤ <0
2
∴−(cid:165)𝑚(cid:147)−2(cid:148)(cid:60)−1(cid:44)≤(cid:76)−(cid:38)1(cid:31)(cid:39) + (cid:45)(cid:148)(cid:96)(cid:31)(cid:82)
2
∴ 𝑚 −𝑚1 4𝑚−5
(cid:32)3(cid:35)(cid:57)(cid:10) + = + (cid:76)
4
2
∵(𝑎 𝑐)(𝑏−𝑎) (𝑏 𝑐)
1
+ = ( + + )(cid:76)
4
2 2 2
∴𝑎𝑏−𝑎 𝑏𝑐−𝑎𝑐 𝑏 2𝑏𝑐 𝑐
+ = + + (cid:76)
2 2 2
∴4(4𝑎𝑏−4𝑎 +4𝑏𝑐−)4+𝑎𝑐 𝑏 2+𝑏𝑐 𝑐=0(cid:76)
2 2 2
∴ 𝑎 −4𝑎𝑏+ 𝑏 2(+2𝑎−𝑏=)𝑐0(cid:76)𝑐
2 2
∴( 2𝑎−𝑏) + 2(2=𝑎−0𝑏(cid:76))𝑐 𝑐
2
∴ (2𝑎−𝑏+ 𝑐=) 0(cid:76)
∴ 2𝑎−=𝑏 𝑐(cid:76)
∴ 2𝑎0(cid:76)𝑏−𝑐
∵𝑎≠
=2(cid:82)
𝑏−𝑐
(cid:15) ∴ (cid:104) 𝑎 (cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:76)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:81)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39) ± + =( ± ) (cid:82)
2 2 2
(cid:15)(cid:87)(cid:39)3-1(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:239)(cid:240)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:10)(cid:38)(cid:31)(cid:39)4 +9(cid:43)(cid:44)𝑎 (cid:45)(cid:148)2𝑎(cid:241)𝑏(cid:31)(cid:82)𝑏 𝑎 𝑏
2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(cid:222)(cid:57)(cid:85) 𝑥 −8𝑥
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:88)(cid:90)4 +9=4( ) +5(cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:115)(cid:63)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)
2 2
(cid:97)(cid:88)(cid:90)4( ) +5 5(cid:76)(cid:94)(cid:161)(cid:100)(cid:41)(cid:42)(cid:137)(cid:147)(cid:82) 𝑥 −8𝑥 𝑥−1
2
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)𝑥(cid:41)−(cid:42)1(cid:10)4 ≥ +9
2
= (4 +4)+𝑥5−8𝑥
2
=4(𝑥 −8𝑥+1)+5
2
=4(𝑥 −2)𝑥 +5(cid:76)
2
( 𝑥−) 1 0(cid:76)
2
∵ 𝑥−1 ≥4( ) 0(cid:76)
2
∴4(𝑥−1) +≥5 5(cid:76)
2
∴(cid:38)𝑥(cid:31)−(cid:39)14 ≥ +9(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:148)(cid:241)(cid:31)(cid:82)
2
(cid:15)∴ (cid:87)(cid:39)3-2𝑥(cid:21)−(cid:32)82𝑥2-23(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:242)(cid:163)(cid:243)(cid:244)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:165)(cid:147)x(cid:76)y(cid:80)(cid:60)(cid:44)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39)9 +4 + +2(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:153)(cid:153)(cid:35)
2 2
A(cid:82)(cid:206)(cid:165)(cid:40)(cid:46) B(cid:82)(cid:206)(cid:165)(cid:19)(cid:46) C(cid:82)(cid:206)(cid:19)(cid:46)2 D(cid:82)(cid:206)𝑥(cid:40)(cid:46)𝑦2 6𝑥−8𝑦
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)A −3 −3
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:245)(cid:191)(cid:26)(cid:27)(cid:100)(cid:228)(cid:38)(cid:31)(cid:39)9 +4 + +2(cid:87)(cid:55)(cid:148) +1) +4 (cid:76)(cid:86)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:75)(cid:121)(cid:100)(cid:75)(cid:246)
2 2 2 2
(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:206)(cid:165)(cid:40)(cid:46) (cid:82) 𝑥 𝑦 6𝑥−8𝑦 (3𝑥 (𝑦−1) −3
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) 9 +−43 + +2
2 2
=9 + +1∵+4𝑥 𝑦 +6𝑥−8𝑦
2 2
= 𝑥 +16)𝑥 +4 𝑦 −8𝑦 4−3
2 2
(cid:247)(3𝑥 +1) (𝑦0−(cid:76)1) −3 0(cid:76)
2 2
9∵(3+𝑥4 +≥ (𝑦+−21) ≥ (cid:76)
2 2
∴(cid:99)(cid:38)𝑥 (cid:31)(cid:39)𝑦9 6+𝑥4−8𝑦+ ≥−+32(cid:43)(cid:44)(cid:206)(cid:165)(cid:40)(cid:46) (cid:82)
2 2
(cid:102)(cid:103)(cid:10)A(cid:82)𝑥 𝑦 6𝑥−8𝑦 −3
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:248)(cid:249)(cid:118)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:135)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:250)(cid:251)(cid:76)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:252)(cid:233)(cid:114)(cid:160)(cid:168)(cid:192)(cid:253)(cid:135)(cid:31)(cid:11)(cid:167)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)3-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:225)(cid:226)(cid:257)(cid:163)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:189)(cid:190)(cid:228)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + + (cid:113) + (cid:230)(cid:231)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)
2 2 2 2
(cid:194)(cid:138)(cid:174)(cid:258)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:165)(cid:81)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:189)(cid:190)(cid:152)(cid:231)(cid:194)(cid:186)(cid:87)(cid:55)(cid:10)(cid:156)(cid:259)(cid:260)𝑎(cid:174)(cid:258)2(cid:261)𝑎𝑏(cid:144)(cid:43)𝑏(cid:150)(cid:76)𝑎(cid:262)−(cid:39)2𝑎(cid:136)𝑏(cid:65)(cid:140)𝑏 (cid:263)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)
(cid:91)(cid:264)(cid:265)(cid:229)(cid:258)(cid:150)(cid:76)(cid:262)(cid:167)(cid:258)(cid:39)(cid:136)(cid:43)(cid:44)(cid:165)(cid:87)(cid:76)(cid:229)(cid:266)(cid:27)(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:174)(cid:266)(cid:267)(cid:108)(cid:43)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:22)(cid:43)(cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:76)
(cid:165)(cid:268)(cid:100)(cid:139)(cid:132)(cid:174)(cid:258)(cid:269)(cid:270)(cid:165)(cid:192)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:76)(cid:271)(cid:192)(cid:57)(cid:58)(cid:174)(cid:193)(cid:198)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:195)(cid:3)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)
(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:166)
(cid:73)(cid:194)(cid:10)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10) =( +1) =( ) 2 =( +2)( )=( +1)( )
2 2 2 2
(1)(cid:213)(cid:25)(cid:119)(cid:120)(cid:27)(cid:28)(cid:228)𝑥 −+2𝑥−+33(cid:67)𝑥(cid:57)−(cid:70)2(cid:39)𝑥(cid:183) −4 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥−1−2 𝑥 𝑥−3
2
(2)(cid:29)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + 𝑥 +246𝑥(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:183)
2
(3)(cid:197)(cid:199)(cid:42)(cid:10)(cid:146)𝑥 (cid:147)1(cid:114)0𝑥 (cid:80)(cid:204)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:145)(cid:76)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + + +6(cid:43)(cid:44)(cid:206)(cid:148)(cid:241)(cid:31)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)( +𝑥3)(𝑦+1) 𝑥 𝑦 −4𝑥 2𝑦
(2)1 𝑥 𝑥
(3)(cid:222)(cid:57)(cid:85)
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:174)(cid:266)(cid:267)(cid:108)(cid:43)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:22)(cid:43)(cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:165)(cid:268)(cid:100)(cid:139)(cid:132)(cid:174)(cid:258)(cid:269)(cid:270)(cid:165)(cid:192)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:76)(cid:271)(cid:192)(cid:57)(cid:58)(cid:174)(cid:193)(cid:198)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:195)(cid:3)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:29)(cid:38)
(cid:31)(cid:39)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:166)(cid:82)
(cid:32)1(cid:35)(cid:272)(cid:273)(cid:22)(cid:237)(cid:65)(cid:274)(cid:275)(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:183)
(cid:32)2(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:148)( +5) +1(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:140)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + +26
2 2
(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:183) 𝑥 𝑥 10𝑥
(cid:32)3(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:148)( ) +( +1) +1(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:100)(cid:88)(cid:140)(cid:137)(cid:147)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10) + +3 𝑥−2 𝑦
2
= + + 𝑥 4𝑥
2
=𝑥( +24)𝑥 4−1
2
= (𝑥 +2+−11)( + )
=(𝑥 +3)( +𝑥1)(cid:183)2−1
(cid:32)2(cid:35)𝑥(cid:57)(cid:10) 𝑥 + +26
2
= + 𝑥+2150+𝑥1
2
=𝑥( +150)𝑥+1(cid:76)
2
( 𝑥+5) 0(cid:76)
2
∵(𝑥+5) +≥1 1(cid:76)
2
∴(cid:149)𝑥(cid:150)(cid:39) + ≥ +26(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)1(cid:183)
2
∴(cid:32)3(cid:35)(cid:57)(cid:10)𝑥 10+𝑥 + +6
2 2
= +∵4𝑥+ 𝑦+−4𝑥+12𝑦+1
2 2
=𝑥( −4𝑥) +( 𝑦+1) 2+𝑦1(cid:76)
2 2
(cid:247) (𝑥−2) 0𝑦(cid:76)( +1) 0(cid:76)
2 2
(∵ 𝑥−)2+(≥ +1)𝑦+1 1≥>0(cid:76)
2 2
∴(cid:146)𝑥−(cid:147)2(cid:114) (cid:80)𝑦(cid:204)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:145)≥(cid:76)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + + +6(cid:43)(cid:44)(cid:206)(cid:148)(cid:241)(cid:31)(cid:82)
2 2
∴
【题型
𝑥4 𝑦
利用配方法求最值问题
𝑥
】
𝑦 −4𝑥 2𝑦
(cid:15)(cid:73)4(cid:21)(cid:32)22-23(cid:276)(cid:124)(cid:125)(cid:186)·(cid:126)(cid:127)(cid:127)(cid:163)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:65)(cid:229)(cid:220)(cid:280)(cid:281)(cid:10)“(cid:189)(cid:190)(cid:228)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + + (cid:113) +
2 2 2 2
(cid:230)(cid:231)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)”(cid:76)(cid:194)(cid:138)(cid:174)(cid:258)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:165)(cid:81)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:189)(cid:190)(cid:152)(cid:231)(cid:194)(cid:186)(cid:87)(cid:55)(cid:10)(cid:156)(cid:259)𝑎(cid:260)(cid:174)2(cid:258)𝑎𝑏(cid:261)(cid:144)𝑏(cid:43)(cid:150)𝑎(cid:76)−(cid:262)2(cid:39)𝑎𝑏(cid:136)(cid:65)𝑏
(cid:140)(cid:263)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:91)(cid:264)(cid:265)(cid:229)(cid:258)(cid:150)(cid:76)(cid:262)(cid:167)(cid:258)(cid:39)(cid:136)(cid:43)(cid:44)(cid:165)(cid:87)(cid:76)(cid:229)(cid:266)(cid:27)(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:26)(cid:27)(cid:28).(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:174)(cid:266)(cid:267)(cid:108)(cid:43)(cid:57)(cid:58)(cid:50)
(cid:22)(cid:43)(cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:165)(cid:268)(cid:100)(cid:139)(cid:132)(cid:174)(cid:258)(cid:269)(cid:270)(cid:165)(cid:192)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:76)(cid:271)(cid:192)(cid:57)(cid:58)(cid:174)(cid:193)(cid:198)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:195)(cid:3)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:47)(cid:29)
(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:166)(cid:82)(cid:73)(cid:194)(cid:10)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)
+ = + + =( + +1) =( +1) =( +1+2)( + )=( +3)( )(cid:183)
2 2 2 2
𝑥(cid:73)(cid:194)(cid:10)2𝑥(cid:29)−3(cid:38)(cid:31)𝑥(cid:39)22𝑥+ 1−1−(cid:43)3(cid:49)(cid:40)𝑥(cid:44)(cid:148)22𝑥 + −4 =2𝑥( + −4) =𝑥 2( + 𝑥+ 1−2) =𝑥2( +𝑥1−)1
2 2 2 2 2
(cid:82)(cid:100)(cid:75)(cid:144) = 1𝑥(cid:145)(cid:76)42𝑥−6+ (cid:195)(cid:49)(cid:40)𝑥(cid:44)(cid:76)4(cid:49)𝑥−(cid:40)6(cid:44)(cid:81) 𝑥8(cid:76)(cid:64)2𝑥(cid:94)−(cid:184)6(cid:185)(cid:187)(cid:188)𝑥(cid:25)(cid:26)2(cid:27)𝑥 (cid:28)1(cid:57)−(cid:58)1(cid:186)−6(cid:196)(cid:50)(cid:22)𝑥(cid:10)
2
−(18)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10)𝑥 − 𝑥=_4_𝑥_−__6_(cid:183) −
2
(2)(cid:144)a(cid:148)(cid:60)(cid:44)(cid:145)𝑚(cid:76)−(cid:149)4𝑚(cid:150)−(cid:39)5 + +18(cid:195)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)(cid:169)(cid:29)(cid:140)(cid:229)(cid:258)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:183)
2
(3)(cid:144)a(cid:76)b(cid:148)(cid:60)(cid:44)(cid:145)(cid:76)(cid:149)(cid:150)−(cid:39)𝑎 4+𝑎3 + +27(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:169)(cid:29)(cid:140)(cid:229)(cid:258)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)( +1)( )(cid:183)𝑎 𝑏 4𝑎−6𝑏
(2)2(cid:76)22(cid:183) 𝑚 𝑚−5
(3) = (cid:76) =1(cid:76)20(cid:82)
(cid:15)(cid:67)𝑎 (cid:85)−(cid:21)2(cid:32)1𝑏(cid:35)(cid:64)(cid:94)(cid:184)(cid:185)(cid:187)(cid:188)(cid:76)(cid:156)(cid:132) (cid:87)(cid:55)(cid:148) + (cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:280)(cid:282)( )
2 2 2
(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:182)(cid:27)(cid:208)(cid:7)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:57)𝑚(cid:83)−(cid:183)4𝑚−5 𝑚 −4𝑚 4−9 𝑚−2
−(cid:32)92(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:39) + +18(cid:283)(cid:284)(cid:148) ( ) +22(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:57)(cid:83)(cid:183)
2 2
(cid:32)3(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:39)−𝑎+34𝑎+ +2−7(cid:283)𝑎(cid:284)−2(cid:148)( +2) +3( ) +20(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)
2 2 2 2
(cid:99)(cid:100)(cid:57)(cid:83)(cid:82) 𝑎 𝑏 4𝑎−6𝑏 𝑎 𝑏−1
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10) = + =( ) =( +1)( )(cid:82)
2 2 2
(cid:32)2(cid:35)(cid:57)(cid:10) + 𝑚+1−84=𝑚−5( 𝑚 −+4𝑚4)+44−+918=𝑚−(2 −)9 +22𝑚(cid:76) 𝑚−5
2 2 2
(cid:144) =2(cid:145)∵(cid:76)−𝑎(cid:149)(cid:150)4(cid:39)𝑎 + −+𝑎18−(cid:195)4𝑎(cid:49)(cid:19)(cid:44)22(cid:82) − 𝑎−2
2
(cid:32)∴ 3(cid:35)𝑎 (cid:32)3(cid:35) +3 −+𝑎 4𝑎 +27= + +4+3( +1)+20=( +2) +3( ) +20(cid:76)
2 2 2 2 2 2
(cid:144) = (cid:76)∵𝑎 =1(cid:145)𝑏 (cid:76)(cid:149)4𝑎(cid:150)−6(cid:39)𝑏 +3 𝑎+ 4𝑎 +27(cid:195)𝑏(cid:49)−(cid:40)2(cid:44)𝑏 20(cid:82) 𝑎 𝑏−1
2 2
(cid:15)∴ (cid:104)𝑎(cid:105)(cid:21)−(cid:106)2(cid:22)𝑏(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:70)(cid:39)(cid:67)𝑎 (cid:57)(cid:43)𝑏(cid:66)(cid:25)4(cid:114)𝑎−(cid:95)6(cid:96)𝑏 (cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:114)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:166)(cid:75)(cid:121)(cid:104)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:114)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)
(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:57)(cid:106)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)4-1(cid:21)(cid:32)2024·(cid:126)(cid:127)(cid:162)(cid:163)·(cid:62)(cid:175)(cid:35)(cid:236) = +4 + +3(cid:76)(cid:79)M(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148) (cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)2 𝑀 𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦 2𝑥−4𝑦
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:135)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:132)(cid:235)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:282)(cid:182)(cid:27)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:57)(cid:83)(cid:76)(cid:116)(cid:75)(cid:25)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:92)(cid:93)(cid:92)
(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) = +4 + +3(cid:76)
2 2
=( ) +2𝑀( 𝑥 −)4+𝑥3𝑦(cid:76) 𝑦 2𝑥−4𝑦
2
=(𝑥−2𝑦+1) 𝑥+−22(cid:76)𝑦
2
𝑥−2𝑦(cid:144) +1=0(cid:145)(cid:76)(cid:235)(cid:39)(cid:80)(cid:49)(cid:40)(cid:44)2(cid:76)
(cid:102)𝑥(cid:83)−(cid:84)2𝑦(cid:148)(cid:10)2(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)4-2(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:126)(cid:127)(cid:285)(cid:126)·(cid:286)(cid:287)(cid:117)(cid:288)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:31)(cid:11)(cid:65)(cid:267)(cid:108)(cid:43)(cid:174)(cid:266)(cid:255)(cid:256)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:289)(cid:81)(cid:290)(cid:132)(cid:174)(cid:258)(cid:39)
(cid:136)(cid:43)(cid:48)(cid:174)(cid:291)(cid:67)(cid:245)(cid:191)(cid:45)(cid:166)(cid:87)(cid:55)(cid:284)(cid:148)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:47)(cid:59)(cid:258)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:43)(cid:135)(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:229)(cid:266)(cid:27)(cid:28)(cid:152)(cid:292)(cid:25)(cid:90)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:43)(cid:87)
7
(cid:55)(cid:65)(cid:76)(cid:169)(cid:137)(cid:223)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:205)(cid:72)(cid:293)(cid:57)(cid:58)(cid:174)(cid:193)(cid:50)(cid:22)(cid:82)(cid:74)(cid:75)(cid:68)(cid:31) (cid:114) (cid:77)(cid:78) + + =0(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)
2
2
(cid:148) (cid:82) 𝑥 𝑦 −𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)2
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:86)(cid:74)(cid:75)(cid:39)(cid:136)(cid:294)(cid:295)(cid:140)y(cid:76)(cid:38)(cid:89) (cid:65)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:134)(cid:91)(cid:24)
(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:139)(cid:113)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:29)(cid:140)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:99)(cid:100)(cid:82) 𝑥−2𝑦
7
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) + + =0
2
2
7 −𝑥 𝑥 𝑦−3
= +3
2
2
𝑦 𝑥 − 𝑥 7
= +3
2
2
𝑥=−2𝑦 𝑥+−2 𝑥 − 𝑥
2
=𝑥−2𝑥+ 7𝑥−6
2
=−2𝑥( 8)𝑥−+62
2
(−2 𝑥)−2 0(cid:76)
2
∵ 𝑥−(2 ≥) 0
2
∴−2(𝑥−2) +≤2 2(cid:76)
2
∴(cid:144)−2 𝑥=−22(cid:145)(cid:76) ≤ (cid:195)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148)(cid:10)2(cid:82)
∴(cid:102)(cid:83)𝑥(cid:84)(cid:148)(cid:10)2(cid:82)𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:87)(cid:39)4-3(cid:21)(cid:212)(cid:68)(cid:31) (cid:76) (cid:76) (cid:77)(cid:78) + + =1(cid:76)(cid:79) = + + (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148) (cid:82)
3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 3𝑧𝑥
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
4
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:156)(cid:132)(cid:74)(cid:75)(cid:166)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:100)(cid:88) = (cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:38)(cid:89)M(cid:65)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:132)(cid:296)(cid:297)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:49)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:182)(cid:27)(cid:43)(cid:95)
(cid:96)(cid:97)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:140)(cid:137)(cid:147)(cid:82) 𝑧 1−𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) + + =1
= ∵𝑥 𝑦 𝑧
∴𝑧 =1−𝑥+−𝑦 +
∴𝑀 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 3𝑧𝑥= + ( )+ ( )
=𝑥𝑦+2𝑦 1−𝑥−𝑦 3+𝑥 1−𝑥−𝑦
2 2
=𝑥𝑦 2𝑦−2𝑥𝑦−2𝑦+ 3+𝑥−3𝑥 −3𝑥𝑦
2 2
=−( 3𝑥 −4𝑥𝑦−2𝑦 )2𝑦 +3𝑥 +
2 2 2
= −2(𝑥+−4)𝑥𝑦+−2𝑦+ −𝑥 +2𝑦 3𝑥
2 2
−2 𝑥 𝑦 2𝑥 2𝑦−𝑥1 1𝑥 1 1
= ( + ) ( + )+ +
4 4 4 4
2 2
−2 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 − − 𝑥 −𝑥 −
1 1 1 1
= + + +
2 2 2 2 2 4
−2 𝑥 𝑦− − 𝑥−
1 1 3
= + +
2 2 2 2 4
−2 𝑥 𝑦− − 𝑥−
1 1
+ 0
2 2 2 2
∵−2 𝑥 𝑦− 1 − 𝑥− 1 ≤ 3 3
+ + ≤
2 2 2 2 4 4
∴−2 𝑥 𝑦− − 𝑥− 3
= + + (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148)
4
∴𝑀 𝑥𝑦 32𝑦𝑧 3𝑧𝑥
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10) (cid:82)
4
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:161)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:43)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:135)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:135)(cid:182)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:81)(cid:57)(cid:58)(cid:161)(cid:22)(cid:43)(cid:3)
(cid:122)(cid:82)
【题型5 利用配方法确定三角形的形状】
(cid:15)(cid:73)5(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:242)(cid:163)(cid:243)(cid:244)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:196)(cid:187)(cid:188)(cid:10)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:298)(cid:65)(cid:31)(cid:11)(cid:65)(cid:299)(cid:152)(cid:25)(cid:90)(cid:43)(cid:174)(cid:258)(cid:267)(cid:108)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:141)(cid:300)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:232)(cid:189)(cid:190)(cid:11)(cid:288)(cid:31)(cid:11)(cid:195)(cid:301)(cid:19)(cid:43)(cid:302)(cid:303)(cid:82)(cid:274)(cid:304)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:305)
(cid:81)(cid:132)(cid:48)(cid:174)(cid:258)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:148)(cid:174)(cid:258)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:87)(cid:55)(cid:174)(cid:52)(cid:108)(cid:81)(cid:45)(cid:166)(cid:43)(cid:82)(cid:73)(cid:194)(cid:10)(cid:57)(cid:27)(cid:306) +3=0(cid:76)(cid:79)(cid:195)
2 2
+ +3=0(cid:76) =1(cid:76)(cid:57)(cid:88) =3(cid:76) =1(cid:82)(cid:74)(cid:75) + + 𝑥+−54𝑥=0(cid:76)(cid:29)x(cid:76)y(cid:43)(cid:44)𝑥 (cid:76)
2 2 2
−(cid:79)4(cid:195)𝑥( 4−4 +1)+( ∴+(𝑥−2+)4)=0(cid:76) 𝑥1 +𝑥2 +2) =0(cid:76)𝑥 (cid:57)−2(cid:88)𝑥 =𝑦1(cid:76)4𝑦= (cid:82)
2 2 2 2
(cid:64)(cid:94)(cid:139)𝑥(cid:119)−(cid:187)2𝑥(cid:188)(cid:57)(cid:83)(cid:186)(cid:196)𝑦 (cid:307)(cid:22)4𝑦(cid:10) ∴(𝑥−1) (𝑦 𝑥 𝑦 −2
(1)(cid:236) + + +25=0(cid:76)(cid:29) + (cid:43)(cid:44)(cid:183)
2 2 2024
(2)(cid:236)𝑥 (cid:67)6𝑥(cid:308)(cid:294)𝑦(cid:295)−8𝑦 (cid:43)(cid:53)(cid:309)(cid:310)(cid:76)(𝑥(cid:176)(cid:77)𝑦(cid:78)) +8 + =0(cid:76)(cid:197)(cid:157)(cid:158) (cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:76)(cid:169)(cid:199)(cid:42)(cid:168)
2 2 2
(cid:86)(cid:82)𝑎,𝑏,𝑐 △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 −4𝑎𝑏−4𝑏𝑐 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)1
(2) (cid:148)(cid:166)(cid:311)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:222)(cid:57)(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:29)(cid:44)(cid:76)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:148)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)
(cid:39)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:32)1(cid:35)(cid:66)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:132)(cid:27)(cid:306)(cid:87)(cid:55)(cid:148) +3) + =0(cid:76)(cid:57)(cid:27)(cid:306)(cid:88)(cid:90) = (cid:76) =4(cid:76)(cid:38)(cid:89) + (cid:252)(cid:233)(cid:99)
2 2 2024
(cid:100)(cid:183) (𝑥 (𝑦−4) 𝑥 −3 𝑦 (𝑥 𝑦)
(cid:32)2(cid:35) (cid:148)(cid:166)(cid:311)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:10)(cid:156)(cid:132)(cid:27)(cid:306)(cid:87)(cid:55)(cid:148) + =0(cid:76)(cid:57)(cid:27)(cid:306)(cid:88)(cid:90) = (cid:76) = (cid:76)
2 2
(cid:92)(cid:170)(cid:88)△(cid:140)𝐴𝐵=𝐶 (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:88)(cid:90)(cid:137)(cid:147)(cid:82) (𝑎−2𝑏) (𝑐−2𝑏) 𝑎 2𝑏 𝑐 2𝑏
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)𝑎(cid:32)1(cid:35)𝑐(cid:57)(cid:10) + + +25=0(cid:76)
2 2
( + +9)+( ∵𝑥 +6𝑥16)𝑦=−08(cid:76)𝑦
2 2
∴ 𝑥+36)𝑥 + 𝑦 =−80𝑦(cid:76)
2 2
∴(𝑥= (cid:76) (=𝑦−44(cid:76))
∴𝑥 +−3 𝑦 = +4) =1 =1.
2024 2024 2024
(cid:32)∴2(𝑥(cid:35)(cid:57)𝑦(cid:10)) (−(cid:148)3(cid:166)(cid:311)(cid:53)(cid:54)(cid:55).
(cid:168)(cid:86)(cid:10) △+𝐴8𝐵𝐶+ =0(cid:76)
2 2 2
( ∵𝑎 +4𝑏 )+𝑐(−4𝑎𝑏−4+𝑏𝑐4 )=0(cid:76)
2 2 2 2
∴ 𝑎 −4𝑎𝑏+ 𝑏 𝑐=−04(cid:76)𝑏𝑐 𝑏
2 2
∴(𝑎−2𝑏=) 0(cid:76)(𝑐−2𝑏)=0(cid:76)
∴𝑎−=2𝑏 (cid:76) =𝑐−2(cid:76)𝑏
∴𝑎=2.𝑏 𝑐 2𝑏
∴𝑎AB𝑐C(cid:148)(cid:166)(cid:311)(cid:53)(cid:54)(cid:55).
(cid:15)∴△(cid:87)(cid:39)5-1(cid:21)(cid:74)(cid:75)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:309)(cid:310)(cid:148)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:76)(cid:176)(cid:77)(cid:78) =7(cid:76) = (cid:76) = (cid:76)(cid:79)(cid:161)(cid:53)(cid:54)
2 2 2
(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:81)(cid:32) (cid:35) 𝑎 −4𝑏 𝑏 −4𝑐 −6 𝑐 −6𝑎 −18
A(cid:82)(cid:166)(cid:311)(cid:53)(cid:54)(cid:55) B(cid:82)(cid:166)(cid:309)(cid:53)(cid:54)(cid:55) C(cid:82)(cid:312)(cid:54)(cid:53)(cid:54)(cid:55) D(cid:82)(cid:146)(cid:28)(cid:51)(cid:52)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)A
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) a2﹣4b=7(cid:76)b2﹣4c=﹣6(cid:76)c2﹣6a=﹣18(cid:76)
a2﹣4b+b2﹣4∵c+c2﹣6a=7﹣6﹣18(cid:76)
(cid:167)∴ (cid:168)(cid:88)(cid:10)a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0(cid:76)
(cid:99)(cid:32)a﹣3(cid:35)2+(cid:32)b﹣2(cid:35)2+(cid:32)c﹣2(cid:35)2=0(cid:76)
a=3(cid:76)b=2(cid:76)c=2(cid:76)
∴(cid:161)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:148)(cid:166)(cid:311)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:82)(cid:102)(cid:103)A(cid:82)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:10)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:81)(cid:241)(cid:51)(cid:43)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)5-2(cid:21)(cid:74)(cid:75)a(cid:76)b(cid:76)c(cid:81) ABC(cid:43)(cid:53)(cid:309)(cid:76)(cid:236)a(cid:76)b(cid:76)c(cid:77)(cid:78)a2(cid:313)6a(cid:314)b2(cid:313)8b(cid:314) (cid:314)25(cid:159)0(cid:76)(cid:79) ABC(cid:81)
(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:183)(cid:236)a(cid:76)b(cid:76)c(cid:77)(cid:78)a2(cid:314)△b2(cid:314)c2(cid:313)ab(cid:313)bc(cid:313)ac(cid:159)0(cid:76)(cid:79) ABC(cid:81) (cid:53)(cid:54)(cid:55)𝑐−(cid:82)5 △
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21) (cid:312)(cid:54); (cid:166)(cid:309). △
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:228)25(cid:67)(cid:282)9(cid:114)16(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:228)a2(cid:313)6a(cid:314)b2(cid:313)8b(cid:314) c (cid:314)25(cid:159)0(cid:315)(cid:280)(cid:148)(a-3)2+(b-4)2+ c =0(cid:76)(cid:24)
(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:29)(cid:140)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:64)(cid:94)(cid:316)(cid:317)(cid:52)(cid:168)(cid:318)(cid:52)(cid:168)(cid:157)(cid:158)(cid:99)−(cid:100)5 (cid:183)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:228)a2(cid:314)b2(cid:314)c2(cid:313)a−b(cid:313)5 bc(cid:313)ac
(cid:159)0(cid:315)(cid:280)(cid:148)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98),(cid:100)(cid:67)(cid:308)(cid:29)(cid:140)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:43)(cid:3)(cid:179).
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21) a2(cid:313)6a(cid:314)b2(cid:313)8b(cid:314) c (cid:314)25(cid:159)0(cid:76)
(a-3)2+(b∵-4)2+ c =0(cid:76) −5
∴a=3(cid:76)b=4(cid:76)c=5(cid:76)−5
∴32+42=52(cid:76)
∵ ABC(cid:81)(cid:312)(cid:54)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:183)
∴a△2(cid:314)b2(cid:314)c2(cid:313)ab(cid:313)bc(cid:313)ac(cid:159)0(cid:76)
∵(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a=b(cid:76)b=c(cid:76)a=c(cid:76)
∴a=b=c(cid:76)
∴ ABC(cid:81)(cid:166)(cid:309)(cid:53)(cid:54)(cid:55).
(cid:102)∴△(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:312)(cid:54)(cid:183)(cid:166)(cid:309).
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:161)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:114)(cid:316)(cid:317)(cid:52)(cid:168)(cid:318)(cid:52)(cid:168)(cid:114)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98),(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:81)(cid:4)(cid:205)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:319)(cid:320),(cid:61)(cid:87)
(cid:55)(cid:43)(cid:191)(cid:306)(cid:65)(cid:165)(cid:108)(cid:315)(cid:87)(cid:39)(cid:136)(cid:43)(cid:44).
(cid:15)(cid:87)(cid:39)5-3(cid:21)(cid:32)23-24(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:321)(cid:322)(cid:69)(cid:126)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:228)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:245)(cid:191)(cid:26)(cid:323)(cid:166)(cid:324)(cid:287)(cid:76)(cid:88)(cid:90)(cid:325)(cid:291)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:195)
(cid:3)(cid:118)(cid:233)(cid:135)(cid:57)(cid:22)(cid:76)(cid:229)(cid:266)(cid:57)(cid:22)(cid:27)(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)(cid:194)(cid:10)①(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10) + +8(cid:82)
2
(cid:57)(cid:235)(cid:39)= + +8+ = + + = +3) 1 𝑎 6𝑎
2 2 2 2
= +3𝑎)+ 6𝑎 + 1−1= 𝑎 + 6𝑎 +9−2)1(cid:82) (𝑎 −
②[(𝑎= 1][(𝑎(cid:76)(cid:24)3(cid:25))−(cid:26)1](cid:27)(cid:28)((cid:29)𝑎 M4)(cid:43)(𝑎(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
(cid:57)(cid:10)𝑀 𝑎 −2𝑎−=1 + = (cid:82)
2 2 2
𝑎 −2𝑎−0(cid:76)1 𝑎 −2𝑎 1−2 (𝑎−1) −2
2
∵(cid:144)(𝑎−1=)1(cid:145)≥(cid:76)M(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44) (cid:82)
(cid:213)∴ (cid:64)𝑎(cid:94)(cid:139)(cid:119)(cid:187)(cid:188)(cid:57)(cid:58)(cid:186)(cid:196)(cid:50)−2(cid:22)(cid:10)(1)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10) + (cid:183)
2
(2)(cid:236) =2 (cid:76)(cid:29)M𝑥 (cid:43)(cid:49)2𝑥(cid:40)−3(cid:44)(cid:183)
2
𝑀 𝑥 −8𝑥 1
(3)(cid:74)(cid:75)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:81) (cid:43)(cid:53)(cid:326)(cid:309)(cid:310)(cid:82)(cid:236)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:77)(cid:78) + +5= + | |(cid:76)(cid:197)(cid:157)(cid:158) (cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:76)
4
2 2
(cid:169)(cid:199)(cid:42)(cid:327)(cid:43)(cid:168)(cid:86)(cid:183)△𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏− 𝑐−2 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)( +3)( )
(2) 8 𝑥 𝑥−1
(3)(cid:166)−(cid:309)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:222)(cid:57)(cid:85)
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:114)(cid:115)(cid:63)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:114)(cid:166)(cid:309)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:157)(cid:52)(cid:76)(cid:185)(cid:328)(cid:22)(cid:205)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:32)1(cid:35)(cid:64)(cid:94)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:26)(cid:323)(cid:140)(cid:174)(cid:258)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:76)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:39)(cid:28)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:183)
(cid:32)2(cid:35)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:26)(cid:323)(cid:140)(cid:174)(cid:258)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:115)(cid:63)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:183)
(cid:32)3(cid:35)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:76)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:115)(cid:63)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:140) (cid:114)(cid:114)(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:157)(cid:158)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:99)(cid:100)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10) + = + + = +1) =𝑎 𝑏+1𝑐+ + = + (cid:183)
2 2 2
(cid:32)2(cid:35)(cid:57)(cid:10) (cid:159)2 𝑥 =2𝑥2−( 3 𝑥 =22𝑥( 1−4 +(𝑥 =−24 (𝑥 (cid:76) 2)(𝑥 1−2) (𝑥 3)(𝑥−1)
2 2 2 2
𝑀0(cid:76) 𝑥 −8𝑥 𝑥 −4𝑥) 𝑥 −4𝑥 4)−8 (𝑥−2) −8
2
∵(𝑥−2) ≥(cid:76)
∴(cid:79)𝑀M≥(cid:43)−(cid:49)8 (cid:40)(cid:44)(cid:148) (cid:183)
(cid:32)3(cid:35)(cid:57)(cid:10) ABC−(cid:81)8(cid:166)(cid:309)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:194)(cid:186)(cid:10)
1 △
+ +5= + | |(cid:76)
4
2 2
∵𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏− 𝑐−2
1
( +4)+ +1 +| |=0(cid:76)
4
2 2
∴ 𝑎 −4𝑎 𝑏 −𝑏 𝑐−2
1
(cid:99)( ) + +| |=0(cid:76)
2 2
2
𝑎−2 1 𝑏−1 𝑐−2
=0(cid:76) =0(cid:76) =0(cid:76)
2
∴(cid:57)𝑎(cid:88)−2
=2(cid:76)
𝑏
=
−1
2(cid:76) =
𝑐
2
−(cid:76)2
=𝑎 = (cid:76)𝑏 𝑐
∴(cid:99)𝑎 𝑏 (cid:81)𝑐 (cid:166)(cid:309)(cid:53)(cid:54)(cid:55).
【题
△
型
𝐴𝐵6𝐶
利用配方法解决几何问题】
(cid:15)(cid:73)6(cid:21)(cid:32)2024·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:53)(cid:175)(cid:35)(cid:61) (cid:65)(cid:76) = = =4(cid:76)P(cid:81) (cid:274)(cid:61)(cid:182)(cid:329)(cid:69)(cid:174)(cid:104)(cid:76)(cid:79)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 90°,𝐴𝐵 3,𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶+ + (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
2 2 2
𝑃𝐴 𝑃𝐵50 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
3
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:312)(cid:54)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:65)(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:316)(cid:317)(cid:52)(cid:168)(cid:114)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:166)(cid:75)(cid:121)(cid:76)(cid:191) (cid:207) (cid:46)D(cid:76)(cid:191) (cid:207)
(cid:46) (cid:76)(cid:330)(cid:310) (cid:331) (cid:46) (cid:76)(cid:330)(cid:310) (cid:331) (cid:46) (cid:76)(cid:212) = = = = (cid:76)(cid:88)𝑃(cid:140)𝑃𝐷⊥+𝐴𝐶 + 𝑃=3
2 2 2
𝑃𝐸⊥4𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝑃50𝐴𝐵 𝑀 𝐵𝑃 𝐴𝐶 𝑁 𝐴𝐷 𝑃𝐸 𝑥,𝐴𝐸 𝐷𝑃 𝑦 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐵𝑃
+3( ) + (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:88)(cid:140)(cid:83)(cid:84)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:3)(cid:75)(cid:121)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
3 2 3
2
(cid:15)𝑥(cid:101)−(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10)𝑦−(cid:194)1(cid:332)(cid:76)(cid:191) (cid:207) (cid:46)D(cid:76)(cid:191) (cid:207) (cid:46) (cid:76)(cid:330)(cid:310) (cid:331) (cid:46) (cid:76)(cid:330)(cid:310) (cid:331) (cid:46) (cid:76)
𝑃 𝑃𝐷⊥𝐴𝐶 𝑃 𝑃𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝑃 𝐴𝐵 𝑀 𝐵𝑃 𝐴𝐶 𝑁
=90°(cid:76) (cid:76) (cid:76)
∵(cid:321)∠𝐴(cid:309)(cid:55) 𝑃(cid:81)𝐷(cid:333)⊥𝐴(cid:55)𝐶(cid:76)𝑃𝐸⊥𝐴𝐵
∴(cid:212) =𝐴𝐸𝑃=𝐷 = = (cid:76)
(cid:61)𝐴Rt𝐷 𝑃𝐸(cid:65)(cid:76)𝑥,𝐴𝐸 =𝐷𝑃 +𝑦 (cid:76)
2 2 2
(cid:61)Rt△𝐴𝐸𝑃(cid:65)(cid:76)𝐴𝑃 =(𝑥 𝑦) + (cid:76)
2 2 2
(cid:61)Rt△𝐶𝐷𝑃(cid:65)(cid:76)𝐶𝑃 = 4−+𝑥( 𝑦) (cid:76)
2 2 2
△𝐵𝐸𝑃 𝐵𝑃 𝑥 3−𝑦 4
+ + = + +( ) + + +( ) =3 +3 +25=3 +3
3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝑃 𝐶𝑃50 𝐵𝑃 𝑥 𝑦 4−𝑥 𝑦 𝑥 3−𝑦 𝑥 −8𝑥 𝑦 −6𝑦 𝑥−
( ) + (cid:76)
3
2
𝑦−14 50
= (cid:76) =1(cid:145)(cid:76) + + (cid:43)(cid:44)(cid:49)(cid:40)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148) (cid:82)
3 3
2 2 2
∴(cid:15)𝑥(cid:87)(cid:39)6-𝑦1(cid:21)(cid:32)24-2𝐴5𝑃(cid:224)(cid:124)𝐶(cid:125)𝑃(cid:186)·(cid:171)𝐵𝑃(cid:172)(cid:334)(cid:335)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:189)(cid:190)(cid:74)(cid:299)(cid:11)(cid:288)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:174)(cid:202)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)(cid:76)(cid:164)(cid:68)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:271)
(cid:195)(cid:164)(cid:336)(cid:267)(cid:108)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:73)(cid:194)(cid:10)(cid:197)(cid:29)(cid:62)(cid:63)(cid:53)(cid:150)(cid:39) + +5(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
(cid:57)(cid:10) + +5= + +4+1=( +𝑥2) +4𝑥1(cid:76)
2 2 2
( 𝑥+2)4𝑥 0,( +𝑥2) 4+𝑥1 1(cid:76) 𝑥
2 2
∵ 𝑥 + +≥5 𝑥1(cid:76)(cid:99) + ≥+5(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:81)1(cid:82)
2 2
(cid:197)∴(cid:24)𝑥 (cid:25)“4(cid:26)𝑥 (cid:27)(cid:28)≥”(cid:57)(cid:58)(cid:186)𝑥(cid:196)(cid:50)4(cid:22)𝑥(cid:10)
(1)(cid:74)(cid:75)(cid:38)(cid:31)(cid:39) + (cid:76)(cid:29)(cid:289)(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:82)
2
(2)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)−22𝑥+ 4𝑥−(cid:198)53 +1(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:76)(cid:169)(cid:199)(cid:42)(cid:168)(cid:86)(cid:82)
2 2
𝑥 3𝑥−5 𝑥 −𝑥(3)(cid:75)(cid:121)(cid:129)(cid:337)(cid:10)
(cid:194)(cid:332)(cid:76)(cid:61)Rt (cid:65)(cid:76) = =8cm =6cm(cid:76)(cid:104)P(cid:61) (cid:309)(cid:119)(cid:139)2cm/s(cid:43)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:104)A(cid:341)C(cid:337)(cid:342)(cid:76)
(cid:104)Q(cid:61) (cid:309)△(cid:119)𝐴(cid:139)𝐵1𝐶cm/s∠(cid:43)𝐶(cid:338)(cid:339)9(cid:340)0°,(cid:104)𝐴𝐶C(cid:341)(cid:104)B,𝐵(cid:337)𝐶 (cid:342)(cid:82)(cid:236)(cid:104) (cid:343)(cid:145)𝐴(cid:140)𝐶 (cid:344)(cid:76)(cid:176)(cid:144)(cid:174)(cid:104)(cid:337)(cid:342)(cid:90)(cid:345)(cid:104)(cid:145)(cid:76)(cid:346)(cid:174)(cid:104)(cid:347)
(cid:348)(cid:177)(cid:349)(cid:350)𝐶𝐵(cid:76)(cid:212)(cid:321)(cid:309)(cid:55) (cid:43)(cid:329)(cid:351)(cid:148) cm (cid:76)(cid:118)(cid:342)(cid:145)(cid:178)(cid:148)t𝑃(cid:352),𝑄(cid:76)(cid:29)S(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
2
𝐴𝑃𝑄𝐵 𝑆
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)
(2)3 +−13>2 + (cid:76)(cid:168)(cid:86)(cid:222)(cid:57)(cid:85)
2 2
(3)20𝑥 −𝑥 𝑥 3𝑥−5
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:329)(cid:351)(cid:76)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:81)(cid:141)(cid:142)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:82)
(cid:32)1(cid:35)(cid:24)(cid:25)“(cid:26)(cid:27)(cid:28)”(cid:252)(cid:233)(cid:99)(cid:100)(cid:183)
(cid:32)2(cid:35)(cid:353)(cid:39)(cid:143)(cid:264)(cid:76)(cid:208)(cid:135)0(cid:36)(cid:37)(cid:76)(cid:51)(cid:52)(cid:19)(cid:40)(cid:183)
(cid:32)3(cid:35) =(cid:19)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:329)(cid:351)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:329)(cid:351)(cid:76)(cid:91)(cid:228)(cid:354)(cid:195)t(cid:43)(cid:39)(cid:136)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:29)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)𝑆(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10) + = ( + ) = ( ) (cid:76)
2 2 2
0(cid:76)−2𝑥 4𝑥−5 −2 𝑥 −2𝑥 1−1 −5 −2 𝑥−1 −3
2
∵−2((𝑥−1)) ≤ (cid:76)
2
∴−2 𝑥−+1 −3(cid:43)≤(cid:49)−(cid:19)3 (cid:44)(cid:148) (cid:183)
2
(cid:32)∴2−(cid:35)2𝑥(3 4𝑥−+51) (2 +−3 )= +6=( ) +2 0
2 2 2 2
( )𝑥 −𝑥0(cid:76) − 𝑥 3𝑥−5 𝑥 −4𝑥 𝑥−2 ≥
2
∵(𝑥−2) +≥2 2(cid:76)
2
∴(𝑥−2) +2>≥0
2
∴ 𝑥3−2 +1>2 + (cid:183)
2 2
(cid:32)∴3(cid:35)𝑥 − 𝑥 =8cm𝑥 3=𝑥−6c5m(cid:76)(cid:104)P(cid:61) (cid:309)(cid:119)(cid:139)2cm/s(cid:43)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:104)A(cid:341)C(cid:337)(cid:342)(cid:76)(cid:104)Q(cid:61) (cid:309)(cid:119)(cid:139)1cm/s(cid:43)
(cid:338)(cid:339)(cid:340)∵(cid:104)𝐴C𝐶(cid:341)(cid:104)B(cid:337),𝐵𝐶(cid:342) 𝐴𝐶 𝐶𝐵
(cid:104) (cid:340) (cid:104)(cid:118)(cid:342)(cid:90) (cid:104)(cid:274)(cid:355)(cid:145)(cid:178)(cid:148)8÷2=4s(cid:76)(cid:104) (cid:340) (cid:104)(cid:118)(cid:342)(cid:90) (cid:104)(cid:274)(cid:355)(cid:145)(cid:178)(cid:148)6÷1=6s(cid:76)
∴0 𝑃 𝐴 4(cid:76) 𝐶 𝑄 𝐶 𝐵
∴ ≤𝑡≤ 1 1
= = × × × × (cid:76)
2 2
𝑆 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝑄 𝐴𝐶 𝐵𝐶− 𝑃𝐶 𝑄𝐶1 1
= ×8× ( ) (cid:76)
2 2
𝑆 = + 6 2 − 4= 8− ( 2𝑡 𝑡) +20 20(cid:76)
2 2
𝑆 S(cid:43)𝑡 −(cid:49)4(cid:40)𝑡 (cid:44)(cid:148)20(cid:82)𝑡−2 ≥
(cid:15)∴(cid:87)(cid:39)6-2(cid:21)(cid:32)2023·(cid:126)(cid:127)(cid:146)(cid:356)·(cid:174)(cid:175)(cid:35)(cid:194)(cid:332)(cid:76)(cid:241)(cid:27)(cid:55) (cid:43)(cid:309)(cid:310)(cid:148)2(cid:76)(cid:104) (cid:81)(cid:309) (cid:119)(cid:43)(cid:342)(cid:104)(cid:76)(cid:357)(cid:358) (cid:114) (cid:76)
(cid:132) (cid:359)(cid:104) (cid:360)(cid:145)(cid:361)(cid:362)(cid:283)90°(cid:88)(cid:90) (cid:76)(cid:132) (cid:359)(cid:104) (cid:318)(cid:145)𝐴(cid:361)𝐵𝐶(cid:362)𝐷(cid:283)90°(cid:88)(cid:90) (cid:76)𝐸(cid:357)(cid:358) 𝐴𝐵(cid:76)(cid:79)(cid:363)(cid:287) (cid:43)(cid:80)𝐸(cid:44)𝐷(cid:33)𝐸(cid:34)𝐶(cid:148)
𝐸 𝐷(cid:82) 𝐸 𝐸𝑁 𝐸𝐶 𝐸 𝐸𝑀 𝑀𝑁 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)4 2 5/2 5 4
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)≤(cid:22)𝑀(cid:81)𝑁(cid:241)≤(cid:27)(cid:55)(cid:364)(cid:223)(cid:22)≥(cid:76)𝑀(cid:109)𝑁(cid:110)≥(cid:111)(cid:241)(cid:27)(cid:55)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:362)(cid:283)(cid:87)(cid:365)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:333)(cid:55)(cid:43)(cid:157)(cid:52)(cid:135)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:181)(cid:166)(cid:53)(cid:54)(cid:55)
(cid:43)(cid:157)(cid:52)(cid:135)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:316)(cid:317)(cid:52)(cid:168)(cid:76)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:166)(cid:76)(cid:259)(cid:260)(cid:366)(cid:303)(cid:363)(cid:367)(cid:368)(cid:181)(cid:166)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:3)(cid:122)(cid:82)(cid:191)(cid:104) (cid:207) (cid:76)
(cid:331) (cid:43)(cid:330)(cid:310)(cid:363)(cid:46)(cid:104) (cid:76)(cid:191)(cid:104) (cid:207) (cid:76)(cid:331) (cid:43)(cid:330)(cid:310)(cid:363)(cid:46)(cid:104) (cid:76)(cid:207) (cid:46)(cid:104) (cid:76)(cid:100)(cid:41)(cid:88)𝑀 𝑀𝐹⊥𝐴𝐵
𝐵𝐴 A𝐹AS)(cid:76)(cid:88)(cid:140)𝑁 𝑁𝐺=⊥𝐴𝐵= 𝐴𝐵(cid:76) = =2𝐺(cid:76)(cid:343)(cid:168)𝑁(cid:10)𝐻⊥𝐹=𝑀 =𝐻 (cid:76) = =2(cid:76)(cid:88)(cid:140)
△𝑀=𝐸𝐹≌+△𝐸𝐶=𝐵(2+2=4(cid:76)(cid:91)𝑀𝐹(cid:41)(cid:88)𝐵(cid:321)𝐸(cid:309)(cid:55)2−𝑥 𝐸(cid:81)𝐹(cid:333)(cid:55)𝐵𝐶(cid:76)(cid:88)(cid:140) = 𝑁𝐺=4(cid:76)𝐴𝐸 =𝑥 𝐸𝐺= 𝐴(cid:76)𝐷
𝐹𝐺 =𝐸𝐹 𝐸𝐺 = = (cid:76)(cid:91)(cid:118)(cid:25)(cid:316)𝐹𝐺(cid:317)𝑁(cid:52)𝐻(cid:168)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:88)(cid:83)𝐻(cid:84)𝑁(cid:82) 𝐹𝐺 𝐹𝐻 𝑁𝐺 𝑥
𝑀(cid:15)𝐻(cid:101)(cid:57)𝑀(cid:21)𝐹(cid:57)−(cid:10)𝐹𝐻(cid:194)(cid:332)2(cid:76)−(cid:191)𝑥−(cid:104)𝑥 (cid:207)2−2𝑥 (cid:76)(cid:331) (cid:43)(cid:330)(cid:310)(cid:363)(cid:46)(cid:104) (cid:76)(cid:191)(cid:104) (cid:207) (cid:76)(cid:331) (cid:43)(cid:330)(cid:310)(cid:363)(cid:46)(cid:104) (cid:76)
(cid:207) (cid:46)(cid:104) (cid:76) 𝑀 𝑀𝐹⊥𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐹 𝑁 𝑁𝐺⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐺
(cid:79)𝑁𝐻⊥𝐹=𝑀 𝐻= = =90°(cid:76)
∠𝐸𝐹𝑀 ∠𝐸𝐺𝑁 ∠𝐹𝐻𝑁 ∠𝑁𝐻𝑀(cid:86)(cid:362)(cid:283)(cid:88)(cid:10) = (cid:76) = (cid:76) = =90°(cid:76)
+𝐸𝑀 =𝐸𝐶90°𝐸(cid:76)𝑁 𝐸𝐷+∠𝐶𝐸𝑀=9∠0𝐷°𝐸(cid:76)𝑁
∴∠𝑀𝐸𝐹+∠𝐶𝐸𝐵 =90°(cid:76)∠𝐷𝐸𝐴 +∠𝑁𝐸𝐺 =90°(cid:76)
∵∠𝑀𝐸𝐹= ∠𝐸𝑀𝐹(cid:76) ∠=𝐷𝐸𝐴 (cid:76)∠𝐸𝐷𝐴
∴∠(cid:241)𝐶(cid:27)𝐸𝐵(cid:55) ∠𝐸𝑀(cid:43)𝐹(cid:309)(cid:310)∠𝑁(cid:148)𝐸𝐺2(cid:76)(cid:104)∠𝐸𝐷(cid:81)𝐴(cid:309) (cid:119)(cid:43)(cid:342)(cid:104)(cid:76)
(cid:212)∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷 2)(cid:76)(cid:79) =𝐸 (cid:76)𝐴𝐵
𝐴𝐸 =𝑥(0=≤𝑥≤=2(cid:76) 𝐵𝐸 =2−𝑥 =90°(cid:76)
(cid:61)∴𝐴𝐵 𝐴𝐷(cid:135) 𝐵𝐶 (cid:65)(cid:76)∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐶𝐵𝐸
△𝑀𝐸=𝐹 △𝐸=𝐶9𝐵0°
= (cid:76)
∠𝐸𝐹𝑀 𝐶=𝐵𝐸
∠𝐸𝑀𝐹 ∠𝐶𝐸𝐵
𝐸𝑀 𝐸𝐶 AAS)(cid:76)
∴△𝑀𝐸=𝐹≌△=𝐸𝐶𝐵((cid:76) = =2(cid:76)
(cid:343)∴(cid:168)𝑀𝐹(cid:10) 𝐵𝐸= 2−=𝑥 (cid:76)𝐸𝐹 =𝐵𝐶 =2(cid:76)
=𝑁𝐺 +𝐴𝐸 =𝑥2+𝐸2𝐺=4𝐴(cid:76)𝐷
∴𝐹𝐺 𝐸=𝐹 𝐸𝐺 = =90°(cid:76)
∵∠(cid:321)𝑀(cid:309)𝐹(cid:55)𝐸 ∠𝑁𝐺(cid:81)𝐸(cid:333)(cid:55)∠𝐹(cid:76)𝐻𝑁
∴ = 𝐹𝐺𝑁=𝐻4(cid:76) = = (cid:76)
∴𝐻𝑁 =𝐹𝐺 =𝐹𝐻 𝑁𝐺= 𝑥 (cid:76)
(cid:61)∴R𝑀t𝐻 𝑀𝐹−(cid:65)𝐹(cid:76)𝐻 2−=𝑥−𝑥 2+−2𝑥 = +4 =4 +16(cid:76)
2 2 2 2 2 2
0 △𝑀𝑁2𝐻(cid:76) 𝑀𝑁 𝑀𝐻 𝐻𝑁 (2−2𝑥) (𝑥−1)
∵0≤𝑥≤ 1(cid:76)
2
∴ ≤(𝑥−1) ≤16 4 +16 20(cid:76)
2
(cid:99)∴16 ≤ (𝑥−1)20(cid:76) ≤
2
≤>𝑀0𝑁(cid:76) ≤
∵𝑀(cid:363)𝑁(cid:287) (cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:148)4 2 5(cid:82)
(cid:102)∴(cid:83)(cid:84)(cid:148)𝑀𝑁(cid:10)4 2 5≤(cid:82)𝑀𝑁≤
(cid:15)(cid:87)(cid:39)6-3(cid:21)(cid:32)≤2𝑀4-𝑁25≤(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:186)·(cid:126)(cid:127)(cid:244)(cid:369)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:194)(cid:332)(cid:76)(cid:74)(cid:75) =10(cid:76) (cid:148)(cid:363)(cid:287) (cid:119)(cid:43)(cid:174)(cid:258)(cid:342)(cid:104)(cid:76)(cid:67)(cid:308)(cid:139)
(cid:148)(cid:309)(cid:61) (cid:43)(cid:343)(cid:297)(cid:207)(cid:370)(cid:55) (cid:135)(cid:370)(cid:55) (cid:76)(cid:104) (cid:61)(cid:174)(cid:326)𝐴(cid:312)𝐵(cid:363)(cid:119)(cid:76) 𝑃 =6𝐴0𝐵°(cid:76) (cid:67)(cid:308)(cid:81)(cid:232)(cid:54)(cid:363) 𝐴𝑃,𝑃𝐵
(cid:43)(cid:65)(cid:104)𝐴(cid:82)𝐵(cid:144)(cid:104) (cid:61)(cid:363)(cid:287) 𝐴(cid:119)𝑃𝐶(cid:337)𝐷(cid:342)(cid:145)(cid:76)𝑃(cid:104)𝐵𝐹𝐸(cid:177)(cid:178)𝑃(cid:43),𝐶(cid:371),𝐸(cid:372)(cid:49)(cid:373)(cid:148) (cid:82)∠𝐷𝐴𝑃 𝑀,𝑁 𝐴𝐶,𝐵𝐸
𝑃 𝐴𝐵 𝑀𝑁
5 3
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
2
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:357)(cid:358) (cid:114) (cid:82)(cid:155)(cid:156)(cid:41)(cid:42) =90°(cid:76)(cid:212) = (cid:76)(cid:79) = (cid:76) = (cid:76) = 3 (cid:76)
(cid:367)(cid:226)(cid:62)(cid:63)(cid:374)(cid:31)𝑃(cid:76)𝑀(cid:24)(cid:25)𝑃(cid:62)𝑁(cid:63)(cid:374)(cid:31)(cid:43)(cid:97)∠(cid:98)𝑀(cid:99)𝑃𝑁(cid:100)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:22)(cid:82)𝑃(cid:106)𝐴(cid:22)(cid:109)2𝑎(cid:110)(cid:370)(cid:55)𝑃𝐵(cid:43)(cid:97)1(cid:98)0−(cid:114)2(cid:316)𝑎 (cid:317)𝑃(cid:52)𝑀(cid:168)(cid:114)𝑎(cid:26)(cid:27)𝑃𝑁(cid:28)(cid:43)(cid:66)((cid:25)5−(cid:166)𝑎(cid:75))
(cid:121)(cid:76)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:81)(cid:11)(cid:375)(cid:259)(cid:260)(cid:152)(cid:25)(cid:366)(cid:303)(cid:363)(cid:76)(cid:248)(cid:249)(cid:118)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:58)(cid:49)(cid:44)(cid:50)(cid:22)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10)(cid:357)(cid:358) (cid:114) (cid:82)
𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:321)(cid:309)(cid:55) (cid:76)(cid:321)(cid:309)(cid:55) (cid:81)(cid:370)(cid:55)(cid:76) =60°(cid:76)
∵ =𝐴𝑃1𝐶2𝐷0°(cid:76) 𝑃=𝐵6𝐹0𝐸°(cid:76) ∠𝐷𝐴𝑃
∴∠𝐴(cid:76)𝑃𝐶(cid:67)(cid:308)(cid:81)(cid:232)(cid:54)∠𝐸(cid:363)𝑃𝐵 (cid:76) (cid:43)(cid:65)(cid:104)(cid:76)
∵𝑀 𝑁 1 𝐴𝐶 𝐵𝐸 1
= =60°(cid:76) = =30°(cid:76)
2 2
∴∠𝐶𝑃𝑀 =6∠0𝐴°𝑃+𝐶30°=90°∠(cid:76)𝐸𝑃𝑁 ∠𝐸𝑃𝐵
(cid:212)∴∠𝑀𝑃=𝑁 (cid:76)
𝑃𝐴 2𝑎1
(cid:79) = (cid:76) = (cid:76) = =
2
𝑃𝐵 10−2𝑎 𝑃𝑀 𝑎 𝐵𝑁 𝐵𝑃 5−𝑎
= = 3 (cid:76)
2 2
𝑃𝑁 𝐵𝑃 −𝐵𝑁 (5−𝑎)
15 75
= +[ 3 = 4 +75= 4 ) + (cid:76)
2 4
2 2
2 2
∴𝑀𝑁15 𝑎 (51−5𝑎)] 75 7𝑎5 −30𝑎 (𝑎−
(cid:144) = (cid:145)(cid:76)(cid:79)4 ) + = (cid:76)(cid:161)(cid:145)(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)
2 2 4 4
2
𝑎 (𝑎−
15 75 75 5 3
(cid:99) =3(cid:145)(cid:76) = 4 ) + = = (cid:76)
2 4 4 2
2
𝑎 𝑀𝑁 (𝑎−5 3
(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148) (cid:76)
2
∴𝑀𝑁 5 3
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10) (cid:82)
2
【题型7 配方法在二次根式中的应用】
(cid:15)(cid:73)7(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:171)(cid:172)(cid:376)(cid:377)·(cid:286)(cid:287)(cid:117)(cid:288)(cid:35)(cid:146)(cid:147) (cid:80)(cid:204)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39) +3(cid:151)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:76)(cid:79) (cid:43)(cid:49)
2
(cid:19)(cid:44)(cid:148) (cid:82) 𝑥 𝑥 −𝑘𝑥 𝑘
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)2 3
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:62)(cid:63)(cid:374)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:39)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:43)(cid:326)(cid:378)(cid:76)(cid:64)(cid:43)(cid:157)(cid:308)(cid:39)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:326)(cid:378)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:379) = +3(cid:76)(cid:64)(cid:94)(cid:22)(cid:205)(cid:76)(cid:88) =( ) ×1×3 0(cid:76)(cid:57)(cid:83)(cid:99)(cid:100)(cid:82)
2 2
(cid:15)𝑦(cid:101)(cid:57)𝑥(cid:21)−(cid:57)𝑘(cid:10)𝑥(cid:379) = +3(cid:76)Δ −𝑘 −4 ≤
2
𝑦 𝑥 −𝑘𝑥
(cid:146)(cid:147) (cid:80)(cid:204)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:38)(cid:31)(cid:39) +3(cid:151)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:76)
2
∵ 0𝑥(cid:76) 𝑥 −𝑘𝑥
∴𝑦≥ +3=0(cid:43)(cid:157)(cid:308)(cid:39) =( ) ×1×3 0
2 2
∴(cid:57)𝑥(cid:88)−𝑘𝑥 3 2 3(cid:76) Δ −𝑘 −4 ≤
(cid:43)−(cid:49)2(cid:19)(cid:44)≤(cid:148)𝑘2≤3(cid:82)
(cid:102)∴𝑘(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)2 3(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)7-1(cid:21)(cid:32)2022·(cid:380)(cid:381)(cid:244)(cid:382)·(cid:174)(cid:175)(cid:35)(cid:189)(cid:200)(cid:244)(cid:383)(cid:145)(cid:130)(cid:31)(cid:11)(cid:384)(cid:385)(cid:123)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:140)(cid:24)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:53)(cid:309)(cid:29)(cid:329)(cid:351)(cid:43)(cid:7)(cid:39)(cid:76)(cid:161)(cid:7)(cid:39)(cid:198)(cid:389)(cid:390)(cid:391)(cid:59)(cid:60)(cid:11)(cid:384)(cid:392)(cid:393)(cid:388)(cid:140)(cid:43)(cid:7)(cid:39)(cid:194)(cid:140)(cid:174)(cid:394)(cid:76)(cid:99)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:43)(cid:53)(cid:309)(cid:310)(cid:67)(cid:308)(cid:148) (cid:76) (cid:76) (cid:76)(cid:395) = (cid:76)(cid:79)(cid:164)
2
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑝
(cid:329)(cid:351) = ( )( )( )(cid:82)(cid:229)(cid:258)(cid:7)(cid:39)(cid:347)(cid:292)(cid:396)(cid:148)(cid:392)(cid:393)—(cid:385)(cid:123)(cid:386)(cid:7)(cid:39)(cid:82)(cid:236) =3(cid:76) =2(cid:76)(cid:79)(cid:161)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:329)(cid:351)(cid:43)
(cid:49)(cid:19)𝑆(cid:44)(cid:81) 𝑝 𝑝 −𝑎(cid:82)𝑝−𝑏 𝑝−𝑐 𝑝 𝑐
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21) 3
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:64)(cid:94)(cid:7)(cid:39)(cid:233)(cid:140)a+b(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:38)(cid:89)(cid:7)(cid:39)(cid:76)(cid:64)(cid:94)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:43)(cid:87)(cid:55)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:140)(cid:57)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) = (cid:76)p=3(cid:76)c=2(cid:76)
2
𝑎+𝑏+𝑐
∵𝑝
2
3= (cid:76)
2
𝑎+𝑏+
∴
a+b=4(cid:76)
∴
a b(cid:76)
=4−
∴
=
∴𝑆 𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
= ( )
3(3−𝑎)(3−𝑏) 3−2
=
3(3−𝑎)(3−𝑏)
= 3[ + +9]
𝑎𝑏−3(𝑎 𝑏)
=
3(𝑎𝑏−3)
= 3[ ( ) ]
𝑏 4−𝑏 −3
= 3[ ( ) +1]
2
− 𝑏−2
(cid:144)b=2(cid:145)(cid:76)S(cid:195)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148) 3(cid:82)
∴
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:39)(cid:198)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:57)(cid:83)(cid:106)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:81)(cid:42)(cid:51)(cid:22)(cid:205)(cid:76)(cid:294)(cid:295)(cid:140)(cid:143)(cid:66)(cid:43)(cid:53)(cid:54)(cid:55)
(cid:43)(cid:329)(cid:351)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)7-2(cid:21)(cid:236)(cid:374)(cid:31) = + (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148)M(cid:76)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)m(cid:76)(cid:79) =(cid:43)(cid:148) (cid:82)
𝑚
𝑦 2023−𝑥 𝑥−2021 𝑀
2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
2
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:146)(cid:168)(cid:374)(cid:31)(cid:43)(cid:49)(cid:44)(cid:76)(cid:156)(cid:29) (cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:76)(cid:29) =2+2 +1(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:135)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)
2 2
(cid:340)(cid:170)(cid:29)(cid:140) (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:135)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:99)(cid:100)(cid:82) 𝑥 𝑦 −(𝑥−2022)
𝑦(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21) = + (cid:65)(cid:76)
𝑦 0(cid:76)2023−𝑥 𝑥0−(cid:76)2021
∴22002213−𝑥≥ 20𝑥2−3(cid:76)2021≥
∴ ≤𝑥≤
=2+2 =2+2 +1(cid:76)
2 2
(cid:144)∵𝑦=2022(cid:145)(cid:76)(202(cid:195)3−(cid:49)𝑥(cid:19))((cid:44)𝑥−42(cid:76)021) −(𝑥−2022)
2
(cid:144)𝑥=2021(cid:145)(cid:76)𝑦 (cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)2(cid:76)
2
𝑥 =2(cid:76) = 𝑦2(cid:76)
∴𝑀 2 𝑚
= (cid:76)
2
𝑚
∴ 𝑀
2
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10) (cid:82)
2
(cid:15)(cid:87)(cid:39)7-3(cid:21)(cid:32)22-23(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:186)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:163)·(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:104) ( )(cid:76)(cid:176)(cid:68)(cid:31) (cid:77)(cid:78) +8=0(cid:76)(cid:79)(cid:104)
2 2
(cid:90)(cid:235)(cid:104)(cid:43)(cid:49)(cid:373)(cid:371)(cid:372)(cid:148) (cid:82) 𝑃 𝑎,3𝑏 −3 𝑎,𝑏 𝑎−4𝑏 𝑃
12
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
5
3 3 25
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:86)(cid:74)(cid:75)(cid:88)(cid:90)(cid:104)P(cid:43)(cid:397)(cid:398)(cid:148) +3 (cid:76)(cid:29)(cid:88) = + +3 = + +9(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
4 2 4 2 16 2 9 2 𝑎
(cid:28)(cid:29)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:82) 𝑃 𝑎, 𝑎 𝑃𝑂 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) +8=0(cid:76)
2
∵𝑎−4𝑏 3
= +2(cid:76)(cid:79)3 = +3(cid:76)
4 4
2 𝑎 2
∴𝑏 𝑏 −3 𝑎
3
+3 (cid:76)
4
∴𝑃 𝑎, 𝑎
3 25
= + +3 = + +9
4 2 16 2
2 2 9𝑎
∴𝑃𝑂 𝑎 𝑎 𝑎
5 72 144
= + +
4 25 25
2
𝑎 𝑎
5 36 2304
= + + (cid:76)
4 25 2 625
𝑎 36
(cid:144) = (cid:145)(cid:76)(cid:195)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)
25
∴ 𝑎 −5 48 12
(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148) × = (cid:76)
4 25 5
144 12
(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148) = (cid:82)
25 5
∴𝑃𝑂12
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10) (cid:82)
5
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:104)(cid:43)(cid:397)(cid:398)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:29)(cid:57)(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:57)(cid:58)(cid:106)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
【题型8 配方法在分式中的应用】
6 10
(cid:15)(cid:73)8(cid:21)(cid:32)2023·(cid:209)(cid:126)(cid:382)(cid:399)·(cid:175)(cid:400)(cid:401)(cid:203)(cid:35)(cid:67)(cid:39) (cid:100)(cid:80)(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)(cid:32)(cid:153)(cid:153)(cid:35)
2 2
𝑥 +12𝑥+
2
A(cid:82)4 B(cid:82)5 𝑥 +C2(cid:82)𝑥+6 D(cid:82)(cid:165)(cid:402)(cid:61)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)A
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:113)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:113)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:183)
6 10 2
(cid:86)(cid:22)(cid:205)(cid:100)(cid:87)(cid:55)(cid:148) = (cid:76)(cid:133)(cid:134)(cid:64)(cid:94)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:113)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:100)(cid:92)(cid:93)(cid:29)(cid:57)(cid:82)
2 2 ( 1) 1
𝑥 +12𝑥+
2 2
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10)(cid:86)(cid:22)𝑥(cid:205)+2(cid:88)𝑥+(cid:10) 6− 𝑥+ +
6 10 6( 2) 2 2
= = = (cid:76)
2 2 2 2 2 ( 1) 1
𝑥 +12𝑥+ 𝑥 +2𝑥+ −2
2 2 2 2
𝑥 +2𝑥+ 6 𝑥 +102𝑥+ 6−𝑥 +2𝑥+ 6− 𝑥+ +
(cid:236)(cid:108)(cid:29)(cid:88) (cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:76)(cid:79)(cid:355)(cid:88)(cid:140) + +2(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:99)(cid:100)(cid:76)
2 2
𝑥 +12𝑥+ 2
2
+ +𝑥2+=2𝑥(+ +1) +1 1(cid:76) 𝑥 2𝑥
2 2
∵𝑥 +2𝑥+2(cid:43)(cid:49)𝑥(cid:40)(cid:44)(cid:148)1(cid:76)≥
2
∴𝑥6x2 122x𝑥10
(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(cid:148)4(cid:183)
x2 2x 2
+ +
∴(cid:102)(cid:103)+
A
+
10105
(cid:15)(cid:87)(cid:39)8-1(cid:21)(cid:38)(cid:31)(cid:39) (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
4 10 14
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)2021 𝑥 −12𝑥𝑦+ 𝑦 +6𝑦+
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:132)(cid:67)(cid:403)(cid:323)(cid:282)2(cid:258)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:135)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:88)(cid:49)(cid:19)(cid:44)
10105 10105 10105
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) = =2021
4 10 14 ( ) ( 3) 5 5
2 2 2 2
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)202 𝑥 1 −12𝑥𝑦+ 𝑦 +6𝑦+ 2𝑥−3𝑦 + 𝑦+ + ≤
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:27)(cid:7)(cid:39)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
1
(cid:15)(cid:87)(cid:39)8-2(cid:21)(cid:236)(cid:67)(cid:39) (cid:165)(cid:147)x(cid:80)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:206)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:82)(cid:29)m(cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:82)
2
𝑥 −2𝑥+𝑚
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)m(cid:404)1
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:67)(cid:403)(cid:45)(cid:19)(cid:46)0(cid:79)(cid:67)(cid:39)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:229)(cid:174)(cid:326)(cid:378)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:57).
(cid:57)(cid:10) x2(cid:313)2x(cid:314)m(cid:159)x2(cid:313)2x(cid:314)1(cid:313)1(cid:314)m(cid:159)(x(cid:313)1)2(cid:314)m(cid:313)1(cid:76)
∵(x(cid:313)1)2≥0.
∵ 1
(cid:144)m(cid:313)1(cid:404)0(cid:145)(cid:76)(cid:99)m(cid:404)1(cid:145)(cid:76)(cid:165)(cid:147)x(cid:80)(cid:60)(cid:68)(cid:31)(cid:76)(cid:67)(cid:39) (cid:151)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:82)
2
∴(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:67)(cid:39)(cid:195)(cid:205)(cid:72)(cid:43)(cid:326)(cid:378).(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:232)𝑥 (cid:67)−2(cid:403)𝑥+𝑚(cid:92)(cid:93)(cid:45)(cid:166)(cid:87)(cid:55)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122).
(cid:15)(cid:87)(cid:39)8-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:267)(cid:405)(cid:406)(cid:377)·(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:196)(cid:187)(cid:188)(cid:10)
8 6 2 2
(cid:245)(cid:191)(cid:40)(cid:11)(cid:43)(cid:11)(cid:288)(cid:189)(cid:190)(cid:75)(cid:281)(cid:76)(cid:67)(cid:31)(cid:100)(cid:67)(cid:148)“(cid:407)(cid:67)(cid:31)”(cid:135)“(cid:408)(cid:67)(cid:31)”(cid:76)(cid:170)(cid:408)(cid:67)(cid:31)(cid:151)(cid:100)(cid:284)(cid:148)(cid:409)(cid:67)(cid:31)(cid:76)(cid:194)(cid:10) = =2+
3 3 3
+
2
=2 (cid:82)
3
(cid:189)(cid:190)(cid:52)(cid:72)(cid:10)(cid:61)(cid:67)(cid:39)(cid:65)(cid:76)(cid:232)(cid:46)(cid:410)(cid:354)(cid:195)(cid:174)(cid:258)(cid:411)(cid:403)(cid:43)(cid:67)(cid:39)(cid:76)(cid:144)(cid:67)(cid:136)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:19)(cid:46)(cid:47)(cid:166)(cid:46)(cid:67)(cid:403)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:145)(cid:76)(cid:189)(cid:190)(cid:396)(cid:177)(cid:148)“(cid:408)
(cid:67)(cid:39)”(cid:183)(cid:144)(cid:67)(cid:136)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:40)(cid:46)(cid:67)(cid:403)(cid:43)(cid:63)(cid:31)(cid:145)(cid:76)(cid:189)(cid:190)(cid:396)(cid:177)(cid:148)“(cid:407)(cid:67)(cid:39)”(cid:82)
1
(cid:194)(cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:229)(cid:220)(cid:43)(cid:67)(cid:39)(cid:305)(cid:81)(cid:408)(cid:67)(cid:39)(cid:183)
1 22 2
𝑥−1 𝑥+ 𝑥 𝑥
𝑥+ 3 𝑥−21 𝑥+ 𝑥−1
(cid:91)(cid:194)(cid:10) (cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:229)(cid:220)(cid:43)(cid:67)(cid:39)(cid:305)(cid:81)(cid:407)(cid:67)(cid:39)(cid:82)
1 1
𝑥 2𝑥
2 2
(cid:412)(cid:270)(cid:43) 𝑥 (cid:76) + (cid:408)(cid:67)𝑥−(cid:39)2(cid:347)𝑥(cid:100)−(cid:139)1 (cid:284)𝑥(cid:148)+(cid:409)(cid:67)(cid:39)(cid:32)(cid:99)(cid:10)(cid:167)(cid:39)(cid:198)(cid:407)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:135)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:35)(cid:82)
( 1) 2 1 ( ) 3 3
(cid:194)(cid:10) = = (cid:183) = =1+ (cid:76)
1 1 1
𝑥−1 𝑥+ −2 𝑥+ 𝑥−2 +
(cid:57)(cid:83)(cid:186) 𝑥+ (cid:196)(cid:50)(cid:22)𝑥+(cid:10) 1−𝑥+ 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
2
(1)(cid:67)(cid:39) (cid:81) (cid:67)(cid:39)(cid:32)(cid:413)“(cid:407)”(cid:47)“(cid:408)”(cid:35)(cid:183)
𝑥
(2)(cid:132)(cid:408)(cid:67)(cid:39) (cid:280)(cid:282)(cid:407)(cid:67)(cid:39)(cid:409)(cid:135)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:183)
2
2𝑥−6
𝑥+
9 2
(3)(cid:236)(cid:67)(cid:39) (cid:43)(cid:44)(cid:148)(cid:241)(cid:31)(cid:76)(cid:29) (cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:82)
2
𝑥 −5𝑥+
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)3(cid:407)𝑥−2 𝑥
10
(2)
2
2−𝑥+
2
(3) >
3
(cid:15)(cid:67)𝑥 (cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:52)(cid:72)(cid:113)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:76)(cid:168)(cid:57)(cid:22)(cid:205)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:32)1(cid:35)(cid:64)(cid:94)“(cid:407)(cid:67)(cid:39)”(cid:43)(cid:52)(cid:72)(cid:99)(cid:100)(cid:157)(cid:158)(cid:183)
(cid:32)2(cid:35)(cid:64)(cid:94)(cid:295)(cid:73)(cid:57)(cid:83)(cid:99)(cid:100)(cid:183)
(cid:32)3(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:100)(cid:88)(cid:67)(cid:136)(cid:81)(cid:241)(cid:31)(cid:76)(cid:92)(cid:170)(cid:88)(cid:90)(cid:67)(cid:403)(cid:148)(cid:241)(cid:31)(cid:76)(cid:94)(cid:161)(cid:57)(cid:83)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:57)(cid:183)
2
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10)(cid:67)(cid:39) (cid:81)(cid:407)(cid:67)(cid:39)(cid:76)
𝑥
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)(cid:407)(cid:183)2( 2) 10
(cid:32)2(cid:35)(cid:57)(cid:10) = = (cid:183)
2 2 2
2𝑥−6 𝑥+ −10
𝑥+ 𝑥+ 5 24−7 𝑥+
9 2 9
(cid:32)3(cid:35)(cid:57)(cid:10) = 18 2 36(cid:76)
2
𝑥 −5𝑥+ 𝑥− +
5 3𝑥4−72 3𝑥−2
9 + >0(cid:76)(cid:176)(cid:67)(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:148)(cid:241)(cid:31)(cid:76)
18 2 36
∵ 𝑥− >0(cid:76)
∴3𝑥−22
> (cid:76)
3
∴𝑥 x(cid:43)(cid:80)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:148)x>2
(cid:82)
3
∴
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:73)9(cid:21)(cid:32)23-24(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:119)(cid:392)(cid:414)(cid:415)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10)2 +1= (cid:82)
2
7 3 7 𝑥 −6𝑥
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)2
2 2
3− +
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:64)(cid:94)𝑥−(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:284)𝑥−(cid:148)(cid:182)(cid:27)(cid:208)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:76)(cid:92)(cid:170)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:57)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10)2 +1
2
=2( )+1𝑥 −6𝑥
2
𝑥 −3𝑥 9 7
=2 +
4 4
2
𝑥 −3𝑥 −
3 7
=2 2
2 2 2
𝑥− −
7 3 7
=2 (cid:76)
2 2
3− +
𝑥− 𝑥−
7 3 7
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)2 (cid:82)
2 2
3− +
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)𝑥−(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:31)𝑥−(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:141)(cid:142)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)9-1(cid:21)(cid:32)23-24(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:119)(cid:392)(cid:416)(cid:417)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:10) + = (cid:82)
2
𝑥 6𝑥−5
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)( +3+ 14)( + 14)
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:156) 𝑥 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:92)𝑥(cid:93)(cid:167)3−(cid:168)(cid:76)(cid:91)(cid:64)(cid:94)(cid:182)(cid:27)(cid:208)(cid:7)(cid:39)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:418)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) + = + + =( +3) (cid:76)
2 2 2
𝑥 6𝑥−5 𝑥 6𝑥 9−9−5 𝑥 −14
(cid:64)(cid:94)(cid:182)(cid:27)(cid:208)(cid:7)(cid:39)(cid:100)(cid:88)( +3) =( +3+ 14)( + 14)(cid:76)
2
𝑥 −14 𝑥 𝑥 3−
(cid:102) + =( +3+ 14)( + 14)(cid:76)
2
𝑥 6𝑥−5 𝑥 𝑥 3−(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)( +3+ 14)( + 14)(cid:82)
𝑥 𝑥 3−
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:43)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:76)(cid:4)(cid:205)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:43)(cid:39)(cid:136)(cid:43)(cid:137)(cid:138)(cid:174)(cid:419)(cid:108)(cid:67)(cid:90)(cid:140)(cid:263)
(cid:146)(cid:168)(cid:31)(cid:148)(cid:350)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)9-2(cid:21)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)2 +5 (cid:166)(cid:46)(cid:32)(cid:35)
2 2
4 6 6 𝑥 −8𝑥𝑦 𝑦
A(cid:82)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑥−
4 6 6
B(cid:82)
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
4 6 6
C(cid:82)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
D(cid:82) 6 + 6
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21) 2 C 𝑥−4𝑦− 𝑦 2𝑥−4𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:99)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:67)(cid:57)(cid:70)(cid:39)(cid:81)(cid:290)(cid:100)(cid:139)(cid:228)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:90)(cid:68)(cid:31)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:32)(cid:100)(cid:25)(cid:146)
5
(cid:168)(cid:31)(cid:43)(cid:55)(cid:39)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:35)(cid:76)(cid:4)(cid:205)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:156)(cid:388)(cid:7)(cid:70)(cid:39)(cid:88)2 + (cid:76)(cid:91)(cid:118)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:55)(cid:88)2
2
2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦
3
( ) (cid:76)(cid:49)(cid:134)(cid:118)(cid:25)(cid:182)(cid:27)(cid:208)(cid:7)(cid:39)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:82)
2
2 2
(cid:15)𝑥(cid:101)−(cid:57)2𝑦(cid:21)(cid:57)−(cid:10)𝑦
2 +5
2 2
𝑥5 −8𝑥𝑦 𝑦
=2 +
2
2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦 3
=2 +4
2
2 2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 3𝑦 − 𝑦
=2 ( )
2
2 2
𝑥−2𝑦 − 𝑦
6
=2 ( ) 2
2
2
𝑥−2𝑦 − 𝑦
4+ 6 6
=2
2 2
4−
(cid:102)(cid:103)(cid:10)𝑥−C 𝑦 𝑥− 𝑦
(cid:15)(cid:87)(cid:39)9-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:119)(cid:392)·(cid:286)(cid:287)(cid:117)(cid:288)(cid:35)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:10)2 = (cid:82)
2 2
41 41 3 𝑥 −3𝑥𝑦−4𝑦
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)2 +
4 4
−3 +
𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
3 41
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:61)(cid:68)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:132)(cid:235)(cid:39)(cid:87)(cid:55)(cid:148)2 (cid:76)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:182)(cid:27)(cid:208)(cid:7)
4 2 16
2
(cid:39)(cid:92)(cid:93)(cid:70)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:99)(cid:100)(cid:82) 𝑥− 𝑦 − 𝑦
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10)2
2 2
𝑥 −3𝑥𝑦−4𝑦3
=2
2
2 2
𝑥 −3𝑥𝑦−2𝑦9 9
=2 +
2 16 16
2 2 2 2
𝑥 −3 𝑥𝑦 41𝑦 − 𝑦 −2𝑦
=2
4 2 16
2
𝑥−3 𝑦 −41 𝑦 3 41
=2 +
4 4 4 4
𝑥− 𝑦 𝑦 𝑥− 𝑦− 𝑦
41 41 3
=2 + (cid:82)
4 4
−3 +
𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
41 41 3
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)2 + (cid:82)
4 4
−3 +
𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
【题型10 利用配方法解决新定义问题】
(cid:15)(cid:73)10(cid:21)(cid:32)2025·(cid:171)(cid:172)(cid:416)(cid:420)·(cid:175)(cid:400)(cid:401)(cid:203)(cid:35)(cid:3)(cid:46) (cid:43)(cid:174)(cid:202)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)(cid:43)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:10)(cid:236)(cid:3)(cid:46) (cid:43)(cid:174)(cid:202)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)(cid:10)
2
+ =0(cid:198) + =0(cid:76)(cid:396)(cid:148)“(cid:343)(cid:421)(cid:62)(cid:63)𝑥 (cid:27)(cid:306)”(cid:82)(cid:194)2 +4=0(cid:198)3 𝑥 +4=0(cid:305)(cid:81)“(cid:343)𝑎(cid:421) 1 ((cid:62)𝑥−(cid:63)𝑚(cid:27))
2 2 2
(cid:306)𝑛”(cid:82)(cid:263)(cid:195)𝑎(cid:3) 2 (cid:46)(𝑥−(cid:43)𝑚(cid:174)) (cid:202)𝑛(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)(cid:10)2 +1=0(cid:198)( +(𝑥2−)3) +( ) +(8𝑥−=30)(cid:81)“(cid:343)(cid:421)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)”(cid:82)(cid:422)(cid:423)
2 2
(cid:38)(cid:31)(cid:39) + 𝑥+2031(cid:192)(cid:80)(cid:43)(cid:49)(cid:40)(cid:44)(𝑥(cid:81)−(cid:32)1) (cid:35) 𝑎 𝑥 𝑏−4 𝑥
2
A(cid:82)𝑎2𝑥026 𝑏𝑥 B(cid:82)2023 C(cid:82)2028 D(cid:82)2025
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)A
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:139)(cid:113)(cid:174)(cid:202)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)(cid:43)(cid:52)(cid:72)(cid:76)(cid:24)(cid:25)“(cid:343)(cid:421)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)”(cid:52)(cid:72)(cid:196)(cid:140)(cid:3)(cid:179)(cid:39)(cid:76)(cid:91)(cid:24)(cid:25)
(cid:149)(cid:150)(cid:39)(cid:143)(cid:166)(cid:43)(cid:326)(cid:378)(cid:196)(cid:140)(cid:3)(cid:46)a(cid:198)b(cid:43)(cid:27)(cid:306)(cid:424)(cid:76)(cid:29)(cid:140)(cid:27)(cid:306)(cid:424)(cid:43)(cid:57)(cid:88)(cid:90)a(cid:198)b(cid:43)(cid:44)(cid:76)(cid:92)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:51)
(cid:52)(cid:140)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:99)(cid:100)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) 2( ) +1=0(cid:198)( +2) +( ) +8=0(cid:81)“(cid:343)(cid:421)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)”(cid:76)
2 2
( +2) +∵( 𝑥−)1+8=( +2)𝑎( )𝑥 +1=𝑏−(4+𝑥2) ( +2) + +3(cid:76)
2 2 2
∴ 𝑎 =𝑥 ( 𝑏+−24)𝑥 𝑎 =5𝑥−1 𝑎 𝑥 −2 𝑎 𝑥 𝑎
+3=8 (cid:76)(cid:57)(cid:88)(cid:10) = (cid:76)
𝑏−4 −2 𝑎 𝑎
∴ +𝑎 +2031=5 +𝑏 20−3110=5( ) +2026(cid:76)
2 2 2
∴𝑎(cid:38)𝑥(cid:31)(cid:39)𝑏𝑥 + +20𝑥31−(cid:80)1(cid:43)0𝑥(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:81)2026𝑥(cid:76)−1
2
(cid:102)∴(cid:103)(cid:10)A(cid:82)𝑎𝑥 𝑏𝑥
(cid:15)(cid:87)(cid:39)10-1(cid:21)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)·(cid:321)(cid:322)(cid:69)(cid:126)·(cid:286)(cid:287)(cid:117)(cid:288)(cid:35)(cid:232)(cid:46)(cid:195)(cid:168)(cid:31)a(cid:76)b(cid:76)(cid:52)(cid:72) (cid:43)(cid:354)(cid:72)(cid:148)(cid:10)(cid:144) (cid:145)(cid:76)
= (cid:183)(cid:144) (cid:145)(cid:76) = (cid:82)(cid:236)min{40, }=4𝑚0(cid:76)𝑖𝑛(cid:79){𝑎,𝑏}(cid:43)(cid:44)(cid:166)(cid:46) 𝑎 ≥(cid:82)𝑏
2 2 𝑛
𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} 1 𝑏 𝑎≤𝑏 𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} 𝑎 12𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛 𝑚
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)
36
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:66)(cid:25)(cid:135)(cid:95)(cid:96)(cid:31)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:82)(cid:64)(cid:94)(cid:22)(cid:205)(cid:168)(cid:57)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:43)(cid:252)(cid:233)(cid:7)(cid:39)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)(cid:64)(cid:94)min{40, }=40(cid:76)(cid:88)(cid:140) (cid:198)40(cid:43)(cid:19)(cid:40)(cid:3)(cid:179)(cid:76)(cid:340)(cid:170)(cid:51)(cid:52)m(cid:76)n(cid:43)(cid:44)(cid:99)(cid:100)(cid:88)
2 2 2 2
(cid:140) (cid:43)(cid:44)(cid:82)12𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛 12𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛
𝑛
(cid:15)𝑚(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10) min{40, }=40(cid:76)
2 2
40 ∵ 12(cid:183)𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛
2 2
∴ ≤+12𝑚+−4𝑛−𝑚 −+𝑛40 0
2 2
∴𝑚( 𝑛) +4(𝑛−+122)𝑚 0(cid:76)≤
2 2
∴(𝑚−6) +(𝑛+2) ≤0(cid:76)
2 2
∵ 𝑚−6= +𝑛 2=0(cid:76)≥
∴𝑚−=6 0=,𝑛 (cid:76)
∴𝑚 6,𝑛 −21
=6 =
36
𝑛 −2
∴𝑚
1
(cid:102)(cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10) (cid:82)
36
(cid:15)(cid:87)(cid:39)10-2(cid:21)(cid:32)23-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:186)·(cid:171)(cid:172)(cid:334)(cid:335)·(cid:425)(cid:107)(cid:426)(cid:427)(cid:35)(cid:52)(cid:72)(cid:10)(cid:232)(cid:46)(cid:374)(cid:31) =lg ( >0)(cid:76) (cid:348) (cid:43)(cid:428)(cid:19)(cid:170)(cid:428)(cid:19)(cid:76)
1 5 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:176)lg10=1(cid:76)lg =lg lg (cid:76)lg =lg +lg (cid:82)(cid:236) + =5(cid:76)(cid:79)lg +lg (cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148) (cid:82)
2 4
𝑥
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)1 𝑦 𝑥− 𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:76)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:44)(cid:43)(cid:252)(cid:233)(cid:76)(cid:168)(cid:57)(cid:71)(cid:52)(cid:72)(cid:118)(cid:233)(cid:76)(cid:141)(cid:142)(cid:165)(cid:166)(cid:39)(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:76)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:44)(cid:43)(cid:252)(cid:233)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
5 5 5
(cid:64)(cid:94)(cid:22)(cid:205)(cid:88)(cid:90) = = (cid:76)lg +lg =lg (cid:76) > >0(cid:76)(cid:79)0< <4(cid:76) = =
2 2 2 2
20−5𝑏 2
5 𝑎 510− 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 0,𝑏 𝑏 𝑎𝑏 10− 𝑏 𝑏 − 𝑏
+ = ( )= ( ) +10(cid:76)(cid:86)(cid:161)(cid:88)(cid:90)(cid:144) =2(cid:145)(cid:76) (cid:195)(cid:49)(cid:19)(cid:44)10(cid:76)(cid:38)(cid:89)(cid:252)(cid:233)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:57)(cid:82)
2 2
2 2
10𝑏 − 𝑏 −4𝑏1 −
5
𝑏−2 𝑏 𝑎𝑏
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:57)(cid:10)(cid:74)(cid:75) + =5(cid:76)
2 4
+ =20(cid:76) 𝑎 𝑏
∴2𝑎 5𝑏 5
= = (cid:76)
2 2
20−5𝑏
∴𝑎lg =lg +1lg0−(cid:76)𝑏
∵lg𝑥𝑦+lg 𝑥=lg 𝑦(cid:76) > >0(cid:76)
∴ 𝑎 5 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 0,𝑏
>0(cid:76)
2
∴(cid:57)1(cid:88)0−(cid:76)𝑏 <4(cid:76)
0< 𝑏<4(cid:76)
∴ 𝑏5 5 5 5
= = + = ( )= ( ) +10(cid:76)
2 2 2 2
2 2 2
∴𝑎𝑏5 10− 𝑏 𝑏 − 𝑏 10𝑏 − 𝑏 −4𝑏 − 𝑏−2
<0(cid:76)
2
∵(cid:144)− =2(cid:145)(cid:76) (cid:195)(cid:49)(cid:19)(cid:44)10(cid:76)
∴lga𝑏b=lg10=𝑎𝑏1(cid:76)
(cid:102)∴ (cid:83)(cid:84)(cid:148)(cid:10)1 (cid:82)
(cid:15)(cid:87)(cid:39)10-3(cid:21)(cid:32)24-25(cid:224)(cid:124)(cid:125)(cid:186)·(cid:209)(cid:126)(cid:429)(cid:163)·(cid:130)(cid:65)(cid:35)(cid:194)(cid:138)(cid:3)(cid:46)x(cid:43)(cid:174)(cid:202)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306) + + =0(cid:32) 0(cid:35)(cid:195)(cid:353)
2
(cid:258)(cid:68)(cid:31)(cid:64)(cid:76)(cid:176)(cid:164)(cid:65)(cid:174)(cid:258)(cid:64)(cid:36)(cid:346)(cid:174)(cid:258)(cid:64)(cid:19) 1(cid:76)(cid:422)(cid:423)(cid:396)(cid:229)(cid:220)(cid:43)(cid:27)(cid:306)(cid:148)“(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)”(cid:82)𝑎(cid:73)𝑥(cid:194)(cid:76)𝑏(cid:174)𝑥 (cid:202)𝑐(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)𝑎≠ + =0
2
(cid:43)(cid:353)(cid:258)(cid:64)(cid:81) =0(cid:76) = (cid:76)(cid:79)(cid:27)(cid:306) + =0 (cid:81)“(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)”(cid:82) 𝑥 𝑥
2
(1)(cid:245)(cid:191)(cid:252)(cid:233)(cid:76)𝑥1(cid:157)(cid:158)(cid:27)(cid:306)𝑥2 −1 =0(cid:81)(cid:431)𝑥(cid:81)“𝑥(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)”(cid:183)
2
(2)(cid:74)(cid:75)(cid:3)(cid:46) x (cid:43)(cid:27)(cid:306) 𝑥 (−𝑥−6) =0(cid:32)m (cid:81)(cid:152)(cid:31)(cid:35)(cid:81)“(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)”(cid:76)(cid:29) m (cid:43)(cid:44)(cid:183)
2
(3)(cid:236)(cid:3)(cid:46) x (cid:43)(cid:27)(cid:306) 𝑥 +− 𝑚+−11=𝑥−0𝑚(cid:32)a(cid:114)b (cid:81)(cid:152)(cid:31)(cid:76) >0(cid:35)(cid:81)“(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)”(cid:76)(cid:379) = (cid:76)(cid:197)(cid:29)t(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:82)
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:21)(1)(cid:64)(cid:148)2(cid:76)𝑎𝑥 (cid:76)𝑏(cid:165)𝑥(cid:81)(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306) 𝑎 𝑡 8𝑎−𝑏
(2)m=0(cid:47)m=−2 −3
(3)t =4
最大值
(cid:15)(cid:67)(cid:85)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:67)(cid:308)(cid:57)(cid:140)(cid:27)(cid:306)(cid:43)(cid:64)(cid:76)(cid:64)(cid:94)(cid:353)(cid:64)(cid:208)(cid:44)(cid:81)(cid:431)(cid:148)1(cid:92)(cid:93)(cid:157)(cid:158)(cid:183)
(cid:32)2(cid:35)(cid:57)(cid:140)(cid:27)(cid:306)(cid:43)(cid:64)(cid:76)(cid:379)(cid:353)(cid:64)(cid:208)(cid:43)(cid:432)(cid:232)(cid:44)(cid:148)1(cid:76)(cid:340)(cid:170)(cid:88)(cid:90)(cid:3)(cid:46)m(cid:43)(cid:27)(cid:306)(cid:183)
(cid:32)3(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:198)(cid:179)(cid:31)(cid:43)(cid:3)(cid:179)(cid:294)(cid:295)(cid:140)|x −x |=
b2−4a
=1(cid:76)(cid:92)(cid:174)(cid:319)(cid:284)(cid:433)(cid:88)b2 =a2+4a(cid:76)(cid:167)(cid:254)(cid:38)(cid:89)t=8a−b2(cid:76)(cid:245)
1 2 a2
(cid:191)(cid:26)(cid:27)(cid:100)(cid:29)(cid:140)t(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:183)
(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:110)(cid:174)(cid:202)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:306)(cid:114)(cid:64)(cid:198)(cid:179)(cid:31)(cid:43)(cid:3)(cid:179)(cid:114)(cid:57)(cid:354)(cid:432)(cid:232)(cid:44)(cid:27)(cid:306)(cid:114)(cid:167)(cid:254)(cid:38)(cid:89)(cid:28)(cid:114)(cid:26)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:44)(cid:166)(cid:75)(cid:121)(cid:104)(cid:76)(cid:116)(cid:117)
(cid:141)(cid:142)(cid:307)(cid:266)(cid:27)(cid:28)(cid:81)(cid:57)(cid:22)(cid:43)(cid:3)(cid:122)(cid:82)
(cid:15)(cid:101)(cid:57)(cid:21)(cid:32)1(cid:35)(cid:57)(cid:10)x2−x−6=0(cid:76)
(x−3)(x+2)=0(cid:76)
x =3,x =−2(cid:76)
1 2
x −x =5 1(cid:76)
1 2
∵(cid:165)(cid:434)(cid:223)(cid:430)(cid:64)(cid:27)≠(cid:306)(cid:43)(cid:52)(cid:72)(cid:76)
x2−x−6=0(cid:165)(cid:81)(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)(cid:183)
∴(cid:32)2(cid:35)(cid:57)(cid:10) x2−(m−1)x−m=0(cid:76)
(x−m)(x+∵1)=0(cid:76)
∴x =m,x =−1(cid:76)
1 2
∴(cid:3)(cid:46)x(cid:43)(cid:27)(cid:306)x2−(m−1)x−m=0(cid:81)(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)(cid:76)
∵|x −x |=|m−(−1)|=|m+1|=1(cid:76)
1 2
∴m =0,m =−2(cid:76)
1 2
∴(cid:102)m=0(cid:47)m=−2(cid:183)
(cid:32)3(cid:35)(cid:57)(cid:10) (cid:3)(cid:46) x (cid:43)(cid:27)(cid:306)ax2+bx+1=0(cid:32)a(cid:114)b (cid:81)(cid:152)(cid:31)(cid:76)a>0(cid:35)(cid:81)“(cid:430)(cid:64)(cid:27)(cid:306)”(cid:76)(cid:212)(cid:353)(cid:258)(cid:64)(cid:67)(cid:308)(cid:148)x (cid:114)x (cid:76)
1 2
|x −x |=∵1(cid:76)
1 2
∴ (cid:86)(cid:64)(cid:198)(cid:179)(cid:31)(cid:43)(cid:3)(cid:179)(cid:10)x +x =− b ,x x = 1 (cid:76)
1 2 a 1 2 a
⋅
|x −x |= (x +x )2−4x x = b2−4a =1(cid:76)
1 2 1 2 1 2 a2
∴ b2 =a2+4a(cid:76)
∴t=8a−b2 =8a−(a2+4a)=−a2+4a=−(a−2)2+4(cid:76)
∴(cid:144)a=2(cid:145)(cid:76)t =4(cid:183)
最大值
∴(cid:83)(cid:10)t(cid:43)(cid:49)(cid:19)(cid:44)(cid:148)4(cid:82)
