专题03配方法的十大应用(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(人教)

专题 03 配方法的十大应用（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:19)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:45)(cid:30)(cid:46)(cid:39)(cid:45)(cid:33)(cid:47)(cid:29)(cid:19)........................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:43)(cid:49)(cid:20)(cid:19)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:19)..........................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:37)(cid:64)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:19)..............................................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:66)(cid:37)(cid:64)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:19)......................................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:19)..................................................................................................27
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................29
【题型1 利用配方法求参数（范围）】
1 1
(cid:15)(cid:72)1(cid:19)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:67)(cid:29) (cid:75) (cid:75) (cid:76)(cid:77) + =0(cid:75) =12 + + (cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:80)(cid:30) (cid:33)
4 4
2 2 2
7 𝑚 𝑛 𝑐 7 𝑚 −𝑚 𝑐 𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑛
A(cid:81) B(cid:81) > C(cid:81) D(cid:81) >
4 4
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)𝑛≥A − 𝑛 − 𝑛≥−2 𝑛 −2
1 1 1 1
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:85) + =0(cid:86)(cid:54)(cid:87) = (cid:75)(cid:36)(cid:88) =12 + + (cid:64)(cid:87)(cid:89) = + (cid:75)(cid:90)(cid:91)
4 4 4 4
2 2 2 2 2
(cid:92)(cid:24)(cid:25)(cid:75)(cid:63) 𝑚 (cid:93)(cid:94)−𝑚(cid:95)(cid:29)(cid:42)𝑐(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:87) 𝑚 (cid:89)(cid:82)−𝑚(cid:83)(cid:81)− 𝑐 𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑛 𝑐 −3𝑐
1
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19) + =0
4
2
∵𝑚 −𝑚 𝑐
1
=
4
2
∴ 𝑚 −𝑚 − 𝑐
1 1 1
= )
2 4 4
2
2
∴ 𝑚 1− 𝑚 (𝑚− − ≥−
∴𝑐≤ 1 1 1 1 1
=12 + + =12( + + =12× + + = +
4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
∴𝑛 𝑚 −12𝑚 𝑐 𝑚 −𝑚) 𝑐 (− 𝑐) 𝑐 𝑐 −3𝑐
3
= )
2
2
∴𝑛 (𝑐− −23 1
)
2 2 4
∵(𝑐− 7 ≥
4
(cid:101)∴(cid:102)𝑛≥(cid:10)−A(cid:81)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:111)(cid:112)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:113)(cid:114)(cid:62)(cid:25)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:74)(cid:120)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)1-1(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:129)(cid:130)(cid:33)(cid:73)(cid:74) (cid:76)(cid:77)( + +7)( +11)=6(cid:75)(cid:78) + =
2 2
(cid:30)(cid:33) 𝑎,𝑏 𝑎 4𝑎 𝑏 −6𝑏 2𝑎 𝑏
A(cid:81) B(cid:81) C(cid:81)2 D(cid:81)3
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)−6B −1
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:27)(cid:43)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:131)( + +7)( +11)=6(cid:86)(cid:54)(cid:75)
2 2
(cid:132)(cid:133)(cid:63)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:134)(cid:37)(cid:135)(cid:42)(cid:136)(cid:137)(cid:75)(cid:99)(cid:138)(cid:27)(cid:139) (cid:113)(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:90)(cid:36)(cid:88)(cid:27)(cid:56)𝑎(cid:98)(cid:99)4(cid:75)𝑎(cid:140)(cid:141)(cid:142)𝑏(cid:3)−(cid:74)6𝑏(cid:120)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) ( + +7)( +11)=6(cid:75)𝑎 𝑏
2 2
[( +2) +3∵][(𝑎 )4𝑎+2]=𝑏6−(cid:75)6𝑏
2 2
∴( 𝑎+2) 0(cid:75)(𝑏−3) 0(cid:75)
2 2
∵(cid:143)𝑎 +2=≥ 𝑏=−03(cid:144)(cid:75)≥[( +2) +3][( ) +2]=6(cid:75)
2 2
∴(cid:56)(cid:87)𝑎(cid:10) = 0,𝑏−=3 3(cid:75) 𝑎 𝑏−3
+𝑎 −2,𝑏
∴=22𝑎×(𝑏 )+3
= +−32
=−4(cid:75)
(cid:101)(cid:102)−(cid:10)1 B(cid:81)
1
(cid:15)(cid:86)(cid:37)1-2(cid:19)(cid:145)(cid:146)x(cid:147)(cid:59)(cid:43)(cid:75)(cid:3)(cid:45)x(cid:42)(cid:148)(cid:149)(cid:37)﹣ x2+3x+m(cid:42)(cid:43)(cid:150)(cid:147)(cid:95)(cid:29)(cid:75)(cid:78)(cid:151)(cid:29)m(cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:80)(cid:30)(cid:152)(cid:152)(cid:33)
2
9 9
A(cid:81)m(cid:153)﹣9 B(cid:81)m(cid:153)﹣ C(cid:81)m(cid:153)9 D(cid:81)m(cid:153)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)B
1 1 9 1
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:139)(cid:10)﹣ x2+3x+m(cid:158)﹣ (cid:30)x﹣3(cid:33)2+m+ (cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:63)(cid:93)(cid:114)(cid:62)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:99)(cid:87)- (cid:30)x﹣3(cid:33)2+m+
2 2 2 2
9 9 1 9
≤m+ (cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:145)(cid:146)x(cid:147)(cid:59)(cid:43)(cid:75)﹣ x2+3x+m(cid:153)0(cid:75)(cid:159)(cid:87)m+ (cid:153)0(cid:75)(cid:93)(cid:160)(cid:156)(cid:157)(cid:139)(cid:151)(cid:29)m(cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:98)(cid:99)(cid:81)
2 2 2 2
1 1 9 1 9
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) ﹣ x2+3x+m(cid:158)﹣ (cid:30)x2﹣6x+9(cid:33)+m+ (cid:158)﹣ (cid:30)x﹣3(cid:33)2+m+
2 2 2 2 2
∵1
﹣ (cid:30)x﹣3(cid:33)2≤0(cid:75)
2
∵ 1 9 9
﹣ (cid:30)x﹣3(cid:33)2+m+ ≤m+ (cid:75)
2 2 2
∴ 1
(cid:145)(cid:146)x(cid:147)(cid:59)(cid:43)(cid:75)﹣ x2+3x+m(cid:153)0(cid:75)
2
∵ 9
m+ (cid:153)0(cid:75)
2
∴ 9
(cid:56)(cid:87)m(cid:153)﹣ (cid:81)
2
(cid:101)(cid:102)(cid:10)B(cid:81)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:74)(cid:120)(cid:103)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:91)(cid:92)(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:56)(cid:160)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)1-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:125)(cid:126)(cid:161)(cid:162)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:73)(cid:74) + = + 20(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:43)(cid:147) (cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)16 𝑚 𝑛 4,𝑚𝑛−𝑝 8𝑝≥ 𝑚𝑛𝑝
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:155)(cid:85) + =4(cid:87) = (cid:75)(cid:131)(cid:163)(cid:36)(cid:88) + 20
2
(cid:133)(cid:75)(cid:131)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:87)( ) +( ) 0(cid:75)(cid:63)(cid:93)(cid:94)𝑚(cid:95)(cid:29)𝑛(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:99)𝑚(cid:87)4−=𝑛2(cid:75) =4(cid:75)(cid:91)𝑚(cid:169)𝑛−(cid:99)𝑝(cid:87) 8𝑝=≥2(cid:75)
2 2
(cid:90)(cid:131)m(cid:113)n(cid:113)p(cid:42)(cid:43)(cid:36)(cid:88) (cid:98)𝑛−(cid:99)2(cid:87)(cid:82)(cid:83)𝑝(cid:81)−4 ≤ 𝑛 𝑝 𝑚
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) + =𝑚4(cid:75)𝑛𝑝
= (cid:75) ∵𝑚 𝑛
∴(cid:131)𝑚 =4−𝑛 (cid:36)(cid:88) + 20(cid:87)(cid:10)( ) + 20(cid:75)
2 2
(cid:166)𝑚(cid:167)(cid:133)(cid:24)4−(cid:25)𝑛(cid:99)(cid:87)(cid:10)𝑚𝑛(−𝑝 ) 8+𝑝(≥ ) 04(cid:75)−𝑛 𝑛−𝑝 8𝑝≥
2 2
=0(cid:75) =𝑛0−(cid:75)2 𝑝−4 ≤
∴𝑛−=22(cid:75) =𝑝−4(cid:75)4
∴𝑛 = 𝑝 =2(cid:75)
∴𝑚 4=−22×2×4=16(cid:75)
(cid:101)∴𝑚(cid:82)𝑛𝑝(cid:83)(cid:147)(cid:10)16(cid:81)
【题型2 利用配方法比较代数式大小】
(cid:15)(cid:72)2(cid:19)(cid:30)2025·(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:170)·(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:73)(cid:74) (cid:75) (cid:75) (cid:147)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:175) + = +3 (cid:75) = + (cid:75)(cid:78) (cid:75) (cid:75)
2 2
(cid:176)(cid:177)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:178)(cid:80)(cid:30) (cid:33) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧 A(cid:81) < B(cid:81) < C(cid:81) < D(cid:81) <
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)𝑥 A𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:81)(cid:155)(cid:63)(cid:93)(cid:73)(cid:74)(cid:165)(cid:37)(cid:27)(cid:139) = +2(cid:75) =2
2 2
𝑦 𝑥 −𝑥 𝑧 𝑥+3(cid:75)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:156)(cid:157)(cid:139) > (cid:75) (cid:75)(cid:85)(cid:160)(cid:98)(cid:99)(cid:87)(cid:139)(cid:82)(cid:83)(cid:81)
−(cid:15)3(cid:100)𝑥(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) + = +3 (cid:75) 𝑦 =𝑥 𝑧≥𝑦+ (cid:75)
2 2
(cid:56)(cid:87) = ∵+𝑦2(cid:75)𝑧 =5−24𝑥 𝑥+3(cid:75)𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥
2 2
𝑦= 𝑥 −𝑥+ 𝑧= 𝑥 −3+𝑥2=( ) +1>0(cid:75)
2 2 2
∴𝑦−>𝑥 (cid:182)𝑥 −𝑥 2−𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥−1
∴𝑦 𝑥= + =( ) 0(cid:75)
2 2
∵𝑧−𝑦 (cid:75)1−2𝑥 𝑥 𝑥−1 ≥
∴𝑧≥<𝑦 (cid:75)
∴(cid:101)𝑥(cid:102)(cid:10)𝑦A≤(cid:81)𝑧
(cid:15)(cid:86)(cid:37)2-1(cid:19)(cid:183)(cid:184)(cid:138)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:10)
(cid:22)(cid:23)(cid:188)(cid:189)(cid:11)(cid:190)(cid:42)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:112)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:74)(cid:120)(cid:191)(cid:56)(cid:57)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:173)(cid:192)(cid:49)(cid:20)(cid:75)(cid:193) + = + + =
2 2
( +1) 𝑎 2𝑎−4 𝑎 2𝑎 1−1−4
2
𝑎( +1)−5 0(cid:75)
2
∵ 𝑎 + ≥=( +1) (cid:75)
2 2
∴(cid:69)𝑎(cid:160)(cid:75)2(cid:36)𝑎−(cid:29)4(cid:37) 𝑎+ −(cid:194)5(cid:48)≥(cid:39)−5(cid:43)
2
(cid:63)(cid:93)(cid:138)(cid:118)(cid:186)(cid:187)𝑎(cid:75)(cid:56)(cid:57)2𝑎(cid:185)−4(cid:195)(cid:49)(cid:20)(cid:10) −5
(1)(cid:36)(cid:29)(cid:37) +2(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)(cid:152) (cid:152)(cid:182)
2
(2)(cid:196)(cid:34)(cid:35)𝑎 −+2𝑎 +11(cid:197) (cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:178)(cid:75)(cid:168)(cid:198)(cid:41)(cid:167)(cid:85)(cid:182)
2 2
(3)(cid:73)(cid:74)(cid:10)𝑎 =𝑏 2(cid:75) +6𝑎−2𝑏 +5=0(cid:75)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + + (cid:42)(cid:43)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(𝑎1−)1𝑏 𝑎𝑏 𝑐 −4𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(2) + +11> ，见解析
2 2
(3)2𝑎 𝑏 6𝑎−2𝑏
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)（1）将代数式 +2配方可得最值；
2
（2）作差并配方，可进𝑎行大−2小𝑎比较；
（3）变形后得： = +2(cid:75)代入 + +5=0中，再利用配方法即可解决问题．
2
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)解𝑎： 𝑏 +2=𝑎(𝑏 𝑐 −+4𝑐1)+1=( ) +1，
2 2 2
( ) 0， 𝑎 −2𝑎 𝑎 −2𝑎 𝑎−1
2
∵(𝑎−1) +≥1 1，
2
即∴ 𝑎代−数1式 ≥ +2的最小值为1；
2
𝑎 −2𝑎故答案为：1；
(cid:30)2(cid:33) + +11> ，理由如下：
2 2
+ 𝑎 + 𝑏 ( 6)𝑎−2𝑏
2 2
𝑎= +𝑏 +11− 6𝑎−+2𝑏
2 2
=𝑎( 𝑏 +191)−+6(𝑎 +2𝑏 +1)+1，
2 2
(𝑎 −)6𝑎 0(cid:75)( +𝑏 1) 2𝑏 0，
2 2
∵ 𝑎−+3 ≥+11>𝑏 ；≥
2 2
∴(cid:30)𝑎3(cid:33) 𝑏 =2，6𝑎−2𝑏
= ∵𝑎+−2𝑏，
∴𝑎 +𝑏 +5=0，
2
∵𝑎(𝑏 +𝑐2)−+4𝑐 +5=0，
2
∴𝑏( 𝑏+1) +(𝑐 −4)𝑐 =0，
2 2
∴ 𝑏+1=0(cid:75)𝑐−2=0，
∴𝑏= (cid:75) =𝑐−22，
∴𝑏 =−1+𝑐2=1，
∴𝑎+ −+1 = +2=2．
【∴𝑎点睛𝑏】本𝑐 题1考−查1 非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最
值问题，属于中考常考题型．
17 13
(cid:15)(cid:86)(cid:37)2-2(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:180)(cid:199)·(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:196)(cid:33)(cid:73)(cid:74) = (cid:75) = (cid:75)(cid:143) (cid:79)(cid:203)(cid:204)(cid:67)(cid:29)(cid:144)(cid:75)(cid:78) (cid:113)
15 15
2
(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:178)(cid:147)(cid:30)(cid:152)(cid:152)(cid:33) 𝑃 𝑚−2 𝑄 𝑚 − 𝑚 𝑚 𝑃 𝑄
A(cid:81)(cid:205)(cid:194) B(cid:81)(cid:99)(cid:191) = C(cid:81)(cid:205)(cid:194) < D(cid:81)(cid:164)(cid:50)(cid:51)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)C 𝑃≥𝑄 𝑃 𝑄 𝑃 𝑄
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:206)(cid:207)(cid:26)(cid:87)(cid:89) =( ) +1(cid:75)(cid:93)(cid:160)(cid:99)(cid:87)(cid:136)(cid:146)(cid:81)
2
17 13 𝑄−𝑃 𝑚−1
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) = (cid:75) = (cid:75)
15 15
2
∵𝑃 𝑚−2 𝑄 𝑚 − 𝑚
13 17
= +2= +2=( ) +1(cid:75)
15 15
2 2 2
∴𝑄
(
−𝑃
)
𝑚 − 0(cid:75)𝑚− 𝑚 𝑚 −2𝑚 𝑚−1
2
∵(𝑚−1) +≥1 1(cid:75)
2
∴ 𝑚−1 1>0≥(cid:75)
∴𝑄−𝑃≥(cid:205)(cid:194) < (cid:75)
∴(cid:101)(cid:102)(cid:10)𝑃C(cid:81)𝑄
(cid:15)(cid:86)(cid:37)2-3(cid:19)(cid:30)2023·(cid:208)(cid:125)(cid:209)(cid:210)·(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:211)x(cid:75)y(cid:150)(cid:80)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:185)(cid:195)(cid:49)(cid:20)(cid:75)
(1)(cid:215)(cid:196)(cid:10)①(cid:143) = (cid:75) =1(cid:144)(cid:75) + =5(cid:75) = (cid:75) + > (cid:81)
2 2 2 2
②(cid:143) =1(cid:75) 𝑥=2(cid:144)−2(cid:75) 𝑦 + =∵5𝑥(cid:75) 𝑦 =4(cid:75) 2𝑥 𝑦 +−4 >∴𝑥 (cid:81)𝑦 2𝑥𝑦
2 2 2 2
③(cid:143)𝑥=2(cid:75)𝑦=2.5(cid:144)(cid:75)∵𝑥 𝑦+ =120𝑥.2𝑦5(cid:75) ∴=𝑥10(cid:75)𝑦 +2𝑥𝑦 > (cid:81)
2 2 2 2
④(cid:143)𝑥=3(cid:75)𝑦=3(cid:144)(cid:75) ∵ 𝑥+ 𝑦=18(cid:75) =2𝑥1𝑦8(cid:75) +∴𝑥 ___𝑦____2_𝑥2𝑦xy(cid:81)
2 2 2 2
(2)(cid:216)(cid:217)𝑥(cid:10) +𝑦 (cid:197) (cid:194)∵(cid:218)𝑥(cid:219)(cid:42)𝑦(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:178)(cid:220)2𝑥(cid:196)𝑦(cid:198)(cid:41)(cid:167)(cid:85)∴(cid:81)𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 4
(3)(cid:117)(cid:23)(cid:10)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)= 𝑥 𝑥
(2) + (cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:221)(cid:56)(cid:84)(cid:182)
2 2
𝑥 𝑦 ≥2𝑥4𝑦
(3)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)8(cid:81)
2
2
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:27)(cid:87) + =18(cid:75) =18(cid:75)(cid:87)(cid:89) + = (cid:182)
2 2 2 2
(cid:30)2(cid:33)(cid:136)(cid:222)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)𝑥(cid:42)(cid:94)(cid:95)𝑦(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:56)2(cid:82)𝑥𝑦(cid:182) 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦
(cid:30)3(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:42)(cid:136)(cid:146)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:56)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10)(cid:143) =3(cid:75) =3(cid:144)(cid:75) + =18(cid:75) =18(cid:75)
2 2
+ = (cid:75) 𝑥 𝑦 ∵ 𝑥 𝑦 2𝑥𝑦
2 2
(cid:101)∴(cid:82)𝑥 (cid:83)(cid:147)𝑦(cid:10)=2𝑥(cid:182)𝑦
(cid:30)2(cid:33)(cid:56)(cid:10) + (cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:193)(cid:185)(cid:75)
2 2
+𝑥 =𝑦 ≥2𝑥𝑦 0(cid:75)
2 2 2
∵𝑥 −+2𝑥𝑦 𝑦 (cid:182)(𝑥−𝑦) ≥
2 2
∴(cid:30)𝑥3(cid:33)(cid:56)𝑦(cid:10)≥2𝑥𝑦+ (cid:75)
2 2
4 ∵𝑥 𝑦4 ≥2𝑥𝑦
+ 2 =8(cid:75)
2 2
2 2
∴𝑥 𝑥 ≥ 𝑥 4 ⋅𝑥
(cid:36)(cid:29)(cid:37) + (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)8(cid:81)
2
2
(cid:15)∴ (cid:103)(cid:104)(cid:19) 𝑥 (cid:105)(cid:20)𝑥(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
【题型3 利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】
(cid:15)(cid:72)3(cid:19)(cid:30)22-23(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:162)·(cid:129)(cid:130)(cid:33)(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:186)(cid:187)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:7)(cid:37)(cid:26)(cid:75)(cid:99)(cid:138)(cid:131)(cid:173)(cid:192)(cid:54)(cid:193) + + 0)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐(𝑎≠(cid:42)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:147) + + (cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:75)(cid:188)(cid:189)(cid:227)(cid:228)(cid:219)(cid:42)(cid:86)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:229)(cid:230)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + + 0)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:117)
2 2
(cid:23)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:42)(cid:24)(cid:25)𝑎(cid:26)(𝑥(cid:112)(cid:181)𝑚(cid:25))(cid:207)(cid:7)𝑛(cid:37)(cid:191)(cid:231)(cid:173)(cid:192)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:46)(cid:194)(cid:3)(cid:117)(cid:232)𝑎(cid:81)𝑥 𝑏𝑥 𝑐(𝑎≠
(cid:72)(cid:193)(cid:10)(cid:231)(cid:45) + +8(cid:81)(cid:30)1(cid:33)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:182)(cid:30)2(cid:33)(cid:143) (cid:79)(cid:59)(cid:43)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + +8(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:220)(cid:48)(cid:39)(cid:43)
2 2
(cid:80)(cid:148)(cid:233)(cid:220) 𝑎 6𝑎 𝑎 𝑎 6𝑎
(cid:56)(cid:10)(cid:30)1(cid:33)(cid:234)(cid:37)= + +8+
2
= + + 𝑎 6𝑎 1−1
2
=𝑎 +36)𝑎 9−1
2
=(𝑎 +3)−+1 +
=[(𝑎+ +1]2[()𝑎(cid:81) 3)−1]
(cid:30)2((cid:33)𝑎(cid:85)4(cid:30))(1𝑎(cid:33)(cid:87)(cid:10) + +8= +3) (cid:75)
2 2
+3) 0(cid:75)𝑎 6𝑎 (𝑎 −1
2
∵ (𝑎+3) ≥ (cid:75)
2
∴((cid:143)𝑎 = −(cid:144)1(cid:75)≥(cid:36)−1(cid:29)(cid:37) + +8(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:80) (cid:81)
2
(cid:15)∴(cid:49)(cid:20)𝑎 (cid:56)−(cid:57)3(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑎(cid:56)(cid:57)6𝑎(cid:185)(cid:195)(cid:49)(cid:20)(cid:10) −1
(1)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10) + (cid:182)
2
(2)(cid:196)(cid:198)(cid:41)(cid:164)(cid:146) (cid:147)(cid:59)(cid:43)(cid:75)𝑥 (cid:36)(cid:29)2𝑥(cid:37)−8 + (cid:44)(cid:147)(cid:95)(cid:29)(cid:182)
2
𝑚 1 −𝑚 4𝑚−5
(3)(cid:235)(cid:73)(cid:74) + = + (cid:175) 0(cid:75)(cid:27) (cid:42)(cid:43)(cid:81)
4
2 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)((1𝑎) 𝑐+)(𝑏−𝑎) (𝑏 𝑐) 𝑎≠ 𝑎
(2)(cid:221)(cid:56)(cid:84) (𝑥 4)(𝑥−2)
(3)2
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:63)(cid:93)(cid:20)(cid:236)(cid:6)(cid:237)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:182)
(cid:30)2(cid:33)(cid:155)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:131) + (cid:86)(cid:54)(cid:147) (cid:75)(cid:63)(cid:93)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:75)(cid:27)(cid:139) + (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:147)
2 2 2
(cid:95)(cid:29)(cid:182) −𝑚 4𝑚−5 −(𝑚−2) −1 −𝑚 4𝑚−5
1
(cid:30)3(cid:33)(cid:155)(cid:131) + = + (cid:86)(cid:54)(cid:147) + =0(cid:75)(cid:87)(cid:139) + =0(cid:75)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:139) =2(cid:81)
4
2 2 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)(𝑎1(cid:33)(cid:56)𝑐)(cid:10)(𝑏−𝑎
+
) (𝑏 𝑐) (2𝑎−𝑏 𝑐) 2𝑎−𝑏 𝑐 𝑎
2
= + + 𝑥 2𝑥−8
2
=𝑥 +12)𝑥 1−9
2
=(𝑥+1+−9 +
(𝑥 3)(𝑥 1−3)= + (cid:81)
(cid:30)2((cid:33)𝑥(cid:56)4(cid:10))(𝑥−2) +
2
= ∵−+𝑚 4𝑚−5
2
=−(𝑚 −4𝑚 (cid:75)4)−1
2
(−(𝑚−)2) −01(cid:75)
2
∵ 𝑚(−2 )≥ 0(cid:75)
2
∴−(𝑚−2) ≤ <0
2
∴−(cid:164)𝑚(cid:146)−2(cid:147)(cid:59)−1(cid:43)≤(cid:75)−(cid:36)1(cid:29)(cid:37) + (cid:44)(cid:147)(cid:95)(cid:29)(cid:81)
2
∴ 𝑚 −𝑚1 4𝑚−5
(cid:30)3(cid:33)(cid:56)(cid:10) + = + (cid:75)
4
2
∵(𝑎 𝑐)(𝑏−𝑎) (𝑏 𝑐)
1
+ = ( + + )(cid:75)
4
2 2 2
∴𝑎𝑏−𝑎 𝑏𝑐−𝑎𝑐 𝑏 2𝑏𝑐 𝑐
+ = + + (cid:75)
2 2 2
∴4(4𝑎𝑏−4𝑎 +4𝑏𝑐−)4+𝑎𝑐 𝑏 2+𝑏𝑐 𝑐=0(cid:75)
2 2 2
∴ 𝑎 −4𝑎𝑏+ 𝑏 2(+2𝑎−𝑏=)𝑐0(cid:75)𝑐
2 2
∴( 2𝑎−𝑏) + 2(2=𝑎−0𝑏(cid:75))𝑐 𝑐
2
∴ (2𝑎−𝑏+ 𝑐=) 0(cid:75)
∴ 2𝑎−=𝑏 𝑐(cid:75)
∴ 2𝑎0(cid:75)𝑏−𝑐
∵𝑎≠
=2(cid:81)
𝑏−𝑐
(cid:15) ∴ (cid:103) 𝑎 (cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:75)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:80)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37) ± + =( ± ) (cid:81)
2 2 2
(cid:15)(cid:86)(cid:37)3-1(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:238)(cid:239)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:10)(cid:36)(cid:29)(cid:37)4 +9(cid:42)(cid:43)𝑎 (cid:44)(cid:147)2𝑎(cid:240)𝑏(cid:29)(cid:81)𝑏 𝑎 𝑏
2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(cid:221)(cid:56)(cid:84) 𝑥 −8𝑥
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:87)(cid:89)4 +9=4( ) +5(cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:114)(cid:62)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)
2 2
(cid:96)(cid:87)(cid:89)4( ) +5 5(cid:75)(cid:93)(cid:160)(cid:99)(cid:40)(cid:41)(cid:136)(cid:146)(cid:81) 𝑥 −8𝑥 𝑥−1
2
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)𝑥(cid:40)−(cid:41)1(cid:10)4 ≥ +9
2
= (4 +4)+𝑥5−8𝑥
2
=4(𝑥 −8𝑥+1)+5
2
=4(𝑥 −2)𝑥 +5(cid:75)
2
( 𝑥−) 1 0(cid:75)
2
∵ 𝑥−1 ≥4( ) 0(cid:75)
2
∴4(𝑥−1) +≥5 5(cid:75)
2
∴(cid:36)𝑥(cid:29)−(cid:37)14 ≥ +9(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:147)(cid:240)(cid:29)(cid:81)
2
(cid:15)∴ (cid:86)(cid:37)3-2𝑥(cid:19)−(cid:30)82𝑥2-23(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:241)(cid:162)(cid:242)(cid:243)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:164)(cid:146)x(cid:75)y(cid:79)(cid:59)(cid:43)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37)9 +4 + +2(cid:42)(cid:43)(cid:30)(cid:152)(cid:152)(cid:33)
2 2
A(cid:81)(cid:205)(cid:164)(cid:39)(cid:45) B(cid:81)(cid:205)(cid:164)(cid:38)(cid:45) C(cid:81)(cid:205)(cid:38)(cid:45)2 D(cid:81)(cid:205)𝑥(cid:39)(cid:45)𝑦2 6𝑥−8𝑦
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)A −3 −3
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:244)(cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:99)(cid:227)(cid:36)(cid:29)(cid:37)9 +4 + +2(cid:86)(cid:54)(cid:147) +1) +4 (cid:75)(cid:85)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:74)(cid:120)(cid:99)(cid:74)(cid:245)
2 2 2 2
(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:205)(cid:164)(cid:39)(cid:45) (cid:81) 𝑥 𝑦 6𝑥−8𝑦 (3𝑥 (𝑦−1) −3
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) 9 +−43 + +2
2 2
=9 + +1∵+4𝑥 𝑦 +6𝑥−8𝑦
2 2
= 𝑥 +16)𝑥 +4 𝑦 −8𝑦 4−3
2 2
(cid:246)(3𝑥 +1) (𝑦0−(cid:75)1) −3 0(cid:75)
2 2
9∵(3+𝑥4 +≥ (𝑦+−21) ≥ (cid:75)
2 2
∴(cid:98)(cid:36)𝑥 (cid:29)(cid:37)𝑦9 6+𝑥4−8𝑦+ ≥−+32(cid:42)(cid:43)(cid:205)(cid:164)(cid:39)(cid:45) (cid:81)
2 2
(cid:101)(cid:102)(cid:10)A(cid:81)𝑥 𝑦 6𝑥−8𝑦 −3
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:247)(cid:248)(cid:117)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:249)(cid:250)(cid:75)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:251)(cid:232)(cid:113)(cid:159)(cid:167)(cid:191)(cid:252)(cid:134)(cid:29)(cid:11)(cid:166)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)3-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:224)(cid:225)(cid:256)(cid:162)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:188)(cid:189)(cid:227)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + + (cid:112) + (cid:229)(cid:230)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)
2 2 2 2
(cid:193)(cid:137)(cid:173)(cid:257)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:164)(cid:80)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:188)(cid:189)(cid:151)(cid:230)(cid:193)(cid:185)(cid:86)(cid:54)(cid:10)(cid:155)(cid:258)(cid:259)𝑎(cid:173)(cid:257)2(cid:260)𝑎𝑏(cid:143)(cid:42)𝑏(cid:149)(cid:75)𝑎(cid:261)−(cid:37)2𝑎(cid:135)𝑏(cid:64)(cid:139)𝑏 (cid:262)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)
(cid:90)(cid:263)(cid:264)(cid:228)(cid:257)(cid:149)(cid:75)(cid:261)(cid:166)(cid:257)(cid:37)(cid:135)(cid:42)(cid:43)(cid:164)(cid:86)(cid:75)(cid:228)(cid:265)(cid:25)(cid:26)(cid:229)(cid:230)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:173)(cid:265)(cid:266)(cid:107)(cid:42)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:20)(cid:42)(cid:29)(cid:11)(cid:25)(cid:26)(cid:75)
(cid:164)(cid:267)(cid:99)(cid:138)(cid:131)(cid:173)(cid:257)(cid:268)(cid:269)(cid:164)(cid:191)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:75)(cid:270)(cid:191)(cid:56)(cid:57)(cid:173)(cid:192)(cid:197)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:194)(cid:3)(cid:42)(cid:49)(cid:20)(cid:46)(cid:27)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)
(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:165)
(cid:72)(cid:193)(cid:10)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10) =( +1) =( ) 2 =( +2)( )=( +1)( )
2 2 2 2
(1)(cid:212)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:26)(cid:227)𝑥 −+2𝑥−+33(cid:66)𝑥(cid:56)−(cid:69)2(cid:37)𝑥(cid:182) −4 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥−1−2 𝑥 𝑥−3
2
(2)(cid:27)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + 𝑥 +246𝑥(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:182)
2
(3)(cid:196)(cid:198)(cid:41)(cid:10)(cid:145)𝑥 (cid:146)1(cid:113)0𝑥 (cid:79)(cid:203)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:144)(cid:75)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + + +6(cid:42)(cid:43)(cid:205)(cid:147)(cid:240)(cid:29)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)( +𝑥3)(𝑦+1) 𝑥 𝑦 −4𝑥 2𝑦
(2)1 𝑥 𝑥
(3)(cid:221)(cid:56)(cid:84)
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:173)(cid:265)(cid:266)(cid:107)(cid:42)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:20)(cid:42)(cid:29)(cid:11)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:164)(cid:267)(cid:99)(cid:138)(cid:131)(cid:173)(cid:257)(cid:268)(cid:269)(cid:164)(cid:191)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:75)(cid:270)(cid:191)(cid:56)(cid:57)(cid:173)(cid:192)(cid:197)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:194)(cid:3)(cid:42)(cid:49)(cid:20)(cid:46)(cid:27)(cid:36)
(cid:29)(cid:37)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:165)(cid:81)
(cid:30)1(cid:33)(cid:271)(cid:272)(cid:20)(cid:236)(cid:64)(cid:273)(cid:274)(cid:42)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:182)
(cid:30)2(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:147)( +5) +1(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:139)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + +26
2 2
(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:182) 𝑥 𝑥 10𝑥
(cid:30)3(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:147)( ) +( +1) +1(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:87)(cid:139)(cid:136)(cid:146)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10) + +3 𝑥−2 𝑦
2
= + + 𝑥 4𝑥
2
=𝑥( +24)𝑥 4−1
2
= (𝑥 +2+−11)( + )
=(𝑥 +3)( +𝑥1)(cid:182)2−1
(cid:30)2(cid:33)𝑥(cid:56)(cid:10) 𝑥 + +26
2
= + 𝑥+2150+𝑥1
2
=𝑥( +150)𝑥+1(cid:75)
2
( 𝑥+5) 0(cid:75)
2
∵(𝑥+5) +≥1 1(cid:75)
2
∴(cid:148)𝑥(cid:149)(cid:37) + ≥ +26(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)1(cid:182)
2
∴(cid:30)3(cid:33)(cid:56)(cid:10)𝑥 10+𝑥 + +6
2 2
= +∵4𝑥+ 𝑦+−4𝑥+12𝑦+1
2 2
=𝑥( −4𝑥) +( 𝑦+1) 2+𝑦1(cid:75)
2 2
(cid:246) (𝑥−2) 0𝑦(cid:75)( +1) 0(cid:75)
2 2
(∵ 𝑥−)2+(≥ +1)𝑦+1 1≥>0(cid:75)
2 2
∴(cid:145)𝑥−(cid:146)2(cid:113) (cid:79)𝑦(cid:203)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:144)≥(cid:75)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + + +6(cid:42)(cid:43)(cid:205)(cid:147)(cid:240)(cid:29)(cid:81)
2 2
∴
【题型
𝑥4 𝑦
利用配方法求最值问题
𝑥
】
𝑦 −4𝑥 2𝑦
(cid:15)(cid:72)4(cid:19)(cid:30)22-23(cid:275)(cid:123)(cid:124)(cid:185)·(cid:125)(cid:126)(cid:126)(cid:162)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:17)(cid:276)(cid:277)(cid:64)(cid:228)(cid:219)(cid:278)(cid:279)(cid:10)“(cid:188)(cid:189)(cid:227)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + + (cid:112) +
2 2 2 2
(cid:229)(cid:230)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)”(cid:75)(cid:193)(cid:137)(cid:173)(cid:257)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:164)(cid:80)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:188)(cid:189)(cid:151)(cid:230)(cid:193)(cid:185)(cid:86)(cid:54)(cid:10)(cid:155)(cid:258)𝑎(cid:259)(cid:173)2(cid:257)𝑎𝑏(cid:260)(cid:143)𝑏(cid:42)(cid:149)𝑎(cid:75)−(cid:261)2(cid:37)𝑎𝑏(cid:135)(cid:64)𝑏
(cid:139)(cid:262)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:90)(cid:263)(cid:264)(cid:228)(cid:257)(cid:149)(cid:75)(cid:261)(cid:166)(cid:257)(cid:37)(cid:135)(cid:42)(cid:43)(cid:164)(cid:86)(cid:75)(cid:228)(cid:265)(cid:25)(cid:26)(cid:229)(cid:230)(cid:24)(cid:25)(cid:26).(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:173)(cid:265)(cid:266)(cid:107)(cid:42)(cid:56)(cid:57)(cid:49)
(cid:20)(cid:42)(cid:29)(cid:11)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:164)(cid:267)(cid:99)(cid:138)(cid:131)(cid:173)(cid:257)(cid:268)(cid:269)(cid:164)(cid:191)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:75)(cid:270)(cid:191)(cid:56)(cid:57)(cid:173)(cid:192)(cid:197)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:194)(cid:3)(cid:42)(cid:49)(cid:20)(cid:46)(cid:27)
(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:165)(cid:81)(cid:72)(cid:193)(cid:10)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)
+ = + + =( + +1) =( +1) =( +1+2)( + )=( +3)( )(cid:182)
2 2 2 2
𝑥(cid:72)(cid:193)(cid:10)2𝑥(cid:27)−3(cid:36)(cid:29)𝑥(cid:37)22𝑥+ 1−1−(cid:42)3(cid:48)(cid:39)𝑥(cid:43)(cid:147)22𝑥 + −4 =2𝑥( + −4) =𝑥 2( + 𝑥+ 1−2) =𝑥2( +𝑥1−)1
2 2 2 2 2
(cid:81)(cid:99)(cid:74)(cid:143) = 1𝑥(cid:144)(cid:75)42𝑥−6+ (cid:194)(cid:48)(cid:39)𝑥(cid:43)(cid:75)4(cid:48)𝑥−(cid:39)6(cid:43)(cid:80) 𝑥8(cid:75)(cid:63)2𝑥(cid:93)−(cid:183)6(cid:184)(cid:186)(cid:187)𝑥(cid:23)(cid:24)2(cid:25)𝑥 (cid:26)1(cid:56)−(cid:57)1(cid:185)−6(cid:195)(cid:49)(cid:20)𝑥(cid:10)
2
−(18)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10)𝑥 − 𝑥=_4_𝑥_−__6_(cid:182) −
2
(2)(cid:143)a(cid:147)(cid:59)(cid:43)(cid:144)𝑚(cid:75)−(cid:148)4𝑚(cid:149)−(cid:37)5 + +18(cid:194)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)(cid:168)(cid:27)(cid:139)(cid:228)(cid:257)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:182)
2
(3)(cid:143)a(cid:75)b(cid:147)(cid:59)(cid:43)(cid:144)(cid:75)(cid:148)(cid:149)−(cid:37)𝑎 4+𝑎3 + +27(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:168)(cid:27)(cid:139)(cid:228)(cid:257)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)( +1)( )(cid:182)𝑎 𝑏 4𝑎−6𝑏
(2)2(cid:75)22(cid:182) 𝑚 𝑚−5
(3) = (cid:75) =1(cid:75)20(cid:81)
(cid:15)(cid:66)𝑎 (cid:84)−(cid:19)2(cid:30)1𝑏(cid:33)(cid:63)(cid:93)(cid:183)(cid:184)(cid:186)(cid:187)(cid:75)(cid:155)(cid:131) (cid:86)(cid:54)(cid:147) + (cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:278)(cid:280)( )
2 2 2
(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:181)(cid:25)(cid:207)(cid:7)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:56)𝑚(cid:82)−(cid:182)4𝑚−5 𝑚 −4𝑚 4−9 𝑚−2
−(cid:30)92(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:37) + +18(cid:281)(cid:282)(cid:147) ( ) +22(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:56)(cid:82)(cid:182)
2 2
(cid:30)3(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:37)−𝑎+34𝑎+ +2−7(cid:281)𝑎(cid:282)−2(cid:147)( +2) +3( ) +20(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)
2 2 2 2
(cid:98)(cid:99)(cid:56)(cid:82)(cid:81) 𝑎 𝑏 4𝑎−6𝑏 𝑎 𝑏−1
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10) = + =( ) =( +1)( )(cid:81)
2 2 2
(cid:30)2(cid:33)(cid:56)(cid:10) + 𝑚+1−84=𝑚−5( 𝑚 −+4𝑚4)+44−+918=𝑚−(2 −)9 +22𝑚(cid:75) 𝑚−5
2 2 2
(cid:143) =2(cid:144)∵(cid:75)−𝑎(cid:148)(cid:149)4(cid:37)𝑎 + −+𝑎18−(cid:194)4𝑎(cid:48)(cid:38)(cid:43)22(cid:81) − 𝑎−2
2
(cid:30)∴ 3(cid:33)𝑎 (cid:30)3(cid:33) +3 −+𝑎 4𝑎 +27= + +4+3( +1)+20=( +2) +3( ) +20(cid:75)
2 2 2 2 2 2
(cid:143) = (cid:75)∵𝑎 =1(cid:144)𝑏 (cid:75)(cid:148)4𝑎(cid:149)−6(cid:37)𝑏 +3 𝑎+ 4𝑎 +27(cid:194)𝑏(cid:48)−(cid:39)2(cid:43)𝑏 20(cid:81) 𝑎 𝑏−1
2 2
(cid:15)∴ (cid:103)𝑎(cid:104)(cid:19)−(cid:105)2(cid:20)𝑏(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:69)(cid:37)(cid:66)𝑎 (cid:56)(cid:42)𝑏(cid:65)(cid:23)4(cid:113)𝑎−(cid:94)6(cid:95)𝑏 (cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:165)(cid:74)(cid:120)(cid:103)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:113)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)
(cid:42)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:56)(cid:105)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)4-1(cid:19)(cid:30)2024·(cid:125)(cid:126)(cid:161)(cid:162)·(cid:61)(cid:174)(cid:33)(cid:235) = +4 + +3(cid:75)(cid:78)M(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147) (cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)2 𝑀 𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦 2𝑥−4𝑦
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:134)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:131)(cid:234)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:280)(cid:181)(cid:25)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:75)(cid:98)(cid:99)(cid:56)(cid:82)(cid:75)(cid:115)(cid:74)(cid:23)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:91)(cid:92)(cid:91)
(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) = +4 + +3(cid:75)
2 2
=( ) +2𝑀( 𝑥 −)4+𝑥3𝑦(cid:75) 𝑦 2𝑥−4𝑦
2
=(𝑥−2𝑦+1) 𝑥+−22(cid:75)𝑦
2
𝑥−2𝑦(cid:143) +1=0(cid:144)(cid:75)(cid:234)(cid:37)(cid:79)(cid:48)(cid:39)(cid:43)2(cid:75)
(cid:101)𝑥(cid:82)−(cid:83)2𝑦(cid:147)(cid:10)2(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)4-2(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:125)(cid:126)(cid:283)(cid:125)·(cid:284)(cid:285)(cid:116)(cid:286)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:29)(cid:11)(cid:64)(cid:266)(cid:107)(cid:42)(cid:173)(cid:265)(cid:254)(cid:255)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:287)(cid:80)(cid:288)(cid:131)(cid:173)(cid:257)(cid:37)
(cid:135)(cid:42)(cid:47)(cid:173)(cid:289)(cid:66)(cid:244)(cid:190)(cid:44)(cid:165)(cid:86)(cid:54)(cid:282)(cid:147)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:46)(cid:58)(cid:257)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:42)(cid:134)(cid:42)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:228)(cid:265)(cid:25)(cid:26)(cid:151)(cid:290)(cid:23)(cid:89)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:42)(cid:86)
7
(cid:54)(cid:64)(cid:75)(cid:168)(cid:136)(cid:222)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:204)(cid:71)(cid:291)(cid:56)(cid:57)(cid:173)(cid:192)(cid:49)(cid:20)(cid:81)(cid:73)(cid:74)(cid:67)(cid:29) (cid:113) (cid:76)(cid:77) + + =0(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)
2
2
(cid:147) (cid:81) 𝑥 𝑦 −𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)2
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:85)(cid:73)(cid:74)(cid:37)(cid:135)(cid:292)(cid:293)(cid:139)y(cid:75)(cid:36)(cid:88) (cid:64)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:133)(cid:90)(cid:22)
(cid:23)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:138)(cid:112)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:139)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:98)(cid:99)(cid:81) 𝑥−2𝑦
7
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) + + =0
2
2
7 −𝑥 𝑥 𝑦−3
= +3
2
2
𝑦 𝑥 − 𝑥 7
= +3
2
2
𝑥=−2𝑦 𝑥+−2 𝑥 − 𝑥
2
=𝑥−2𝑥+ 7𝑥−6
2
=−2𝑥( 8)𝑥−+62
2
(−2 𝑥)−2 0(cid:75)
2
∵ 𝑥−(2 ≥) 0
2
∴−2(𝑥−2) +≤2 2(cid:75)
2
∴(cid:143)−2 𝑥=−22(cid:144)(cid:75) ≤ (cid:194)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147)(cid:10)2(cid:81)
∴(cid:101)(cid:82)𝑥(cid:83)(cid:147)(cid:10)2(cid:81)𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:86)(cid:37)4-3(cid:19)(cid:211)(cid:67)(cid:29) (cid:75) (cid:75) (cid:76)(cid:77) + + =1(cid:75)(cid:78) = + + (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147) (cid:81)
3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 3𝑧𝑥
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)
4
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:155)(cid:131)(cid:73)(cid:74)(cid:165)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:99)(cid:87) = (cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:36)(cid:88)M(cid:64)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:131)(cid:294)(cid:295)(cid:24)(cid:25)(cid:75)(cid:48)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:181)(cid:25)(cid:42)(cid:94)
(cid:95)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:139)(cid:136)(cid:146)(cid:81) 𝑧 1−𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) + + =1
= ∵𝑥 𝑦 𝑧
∴𝑧 =1−𝑥+−𝑦 +
∴𝑀 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 3𝑧𝑥= + ( )+ ( )
=𝑥𝑦+2𝑦 1−𝑥−𝑦 3+𝑥 1−𝑥−𝑦
2 2
=𝑥𝑦 2𝑦−2𝑥𝑦−2𝑦+ 3+𝑥−3𝑥 −3𝑥𝑦
2 2
=−( 3𝑥 −4𝑥𝑦−2𝑦 )2𝑦 +3𝑥 +
2 2 2
= −2(𝑥+−4)𝑥𝑦+−2𝑦+ −𝑥 +2𝑦 3𝑥
2 2
−2 𝑥 𝑦 2𝑥 2𝑦−𝑥1 1𝑥 1 1
= ( + ) ( + )+ +
4 4 4 4
2 2
−2 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 − − 𝑥 −𝑥 −
1 1 1 1
= + + +
2 2 2 2 2 4
−2 𝑥 𝑦− − 𝑥−
1 1 3
= + +
2 2 2 2 4
−2 𝑥 𝑦− − 𝑥−
1 1
+ 0
2 2 2 2
∵−2 𝑥 𝑦− 1 − 𝑥− 1 ≤ 3 3
+ + ≤
2 2 2 2 4 4
∴−2 𝑥 𝑦− − 𝑥− 3
= + + (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147)
4
∴𝑀 𝑥𝑦 32𝑦𝑧 3𝑧𝑥
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10) (cid:81)
4
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:160)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:134)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:140)(cid:141)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:134)(cid:181)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:80)(cid:56)(cid:57)(cid:160)(cid:20)(cid:42)(cid:3)
(cid:121)(cid:81)
【题型5 利用配方法确定三角形的形状】
(cid:15)(cid:72)5(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:241)(cid:162)(cid:242)(cid:243)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:195)(cid:186)(cid:187)(cid:10)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:296)(cid:64)(cid:29)(cid:11)(cid:64)(cid:297)(cid:151)(cid:23)(cid:89)(cid:42)(cid:173)(cid:257)(cid:266)(cid:107)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:140)(cid:298)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:231)(cid:188)(cid:189)(cid:11)(cid:286)(cid:29)(cid:11)(cid:194)(cid:299)(cid:38)(cid:42)(cid:300)(cid:301)(cid:81)(cid:273)(cid:302)(cid:24)(cid:25)(cid:75)(cid:303)
(cid:80)(cid:131)(cid:47)(cid:173)(cid:257)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:147)(cid:173)(cid:257)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:86)(cid:54)(cid:173)(cid:51)(cid:107)(cid:80)(cid:44)(cid:165)(cid:42)(cid:81)(cid:72)(cid:193)(cid:10)(cid:56)(cid:25)(cid:304) +3=0(cid:75)(cid:78)(cid:194)
2 2
+ +3=0(cid:75) =1(cid:75)(cid:56)(cid:87) =3(cid:75) =1(cid:81)(cid:73)(cid:74) + + 𝑥+−54𝑥=0(cid:75)(cid:27)x(cid:75)y(cid:42)(cid:43)𝑥 (cid:75)
2 2 2
−(cid:78)4(cid:194)𝑥( 4−4 +1)+( ∴+(𝑥−2+)4)=0(cid:75) 𝑥1 +𝑥2 +2) =0(cid:75)𝑥 (cid:56)−2(cid:87)𝑥 =𝑦1(cid:75)4𝑦= (cid:81)
2 2 2 2
(cid:63)(cid:93)(cid:138)𝑥(cid:118)−(cid:186)2𝑥(cid:187)(cid:56)(cid:82)(cid:185)(cid:195)𝑦 (cid:305)(cid:20)4𝑦(cid:10) ∴(𝑥−1) (𝑦 𝑥 𝑦 −2
(1)(cid:235) + + +25=0(cid:75)(cid:27) + (cid:42)(cid:43)(cid:182)
2 2 2024
(2)(cid:235)𝑥 (cid:66)6𝑥(cid:306)(cid:292)𝑦(cid:293)−8𝑦 (cid:42)(cid:52)(cid:307)(cid:308)(cid:75)(𝑥(cid:175)(cid:76)𝑦(cid:77)) +8 + =0(cid:75)(cid:196)(cid:156)(cid:157) (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:75)(cid:168)(cid:198)(cid:41)(cid:167)
2 2 2
(cid:85)(cid:81)𝑎,𝑏,𝑐 △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 −4𝑎𝑏−4𝑏𝑐 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)1
(2) (cid:147)(cid:165)(cid:309)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:221)(cid:56)(cid:84)
△𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:27)(cid:43)(cid:75)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:147)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)
(cid:37)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:30)1(cid:33)(cid:65)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:131)(cid:25)(cid:304)(cid:86)(cid:54)(cid:147) +3) + =0(cid:75)(cid:56)(cid:25)(cid:304)(cid:87)(cid:89) = (cid:75) =4(cid:75)(cid:36)(cid:88) + (cid:251)(cid:232)(cid:98)
2 2 2024
(cid:99)(cid:182) (𝑥 (𝑦−4) 𝑥 −3 𝑦 (𝑥 𝑦)
(cid:30)2(cid:33) (cid:147)(cid:165)(cid:309)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:10)(cid:155)(cid:131)(cid:25)(cid:304)(cid:86)(cid:54)(cid:147) + =0(cid:75)(cid:56)(cid:25)(cid:304)(cid:87)(cid:89) = (cid:75) = (cid:75)
2 2
(cid:91)(cid:169)(cid:87)△(cid:139)𝐴𝐵=𝐶 (cid:75)(cid:98)(cid:99)(cid:87)(cid:89)(cid:136)(cid:146)(cid:81) (𝑎−2𝑏) (𝑐−2𝑏) 𝑎 2𝑏 𝑐 2𝑏
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)𝑎(cid:30)1(cid:33)𝑐(cid:56)(cid:10) + + +25=0(cid:75)
2 2
( + +9)+( ∵𝑥 +6𝑥16)𝑦=−08(cid:75)𝑦
2 2
∴ 𝑥+36)𝑥 + 𝑦 =−80𝑦(cid:75)
2 2
∴(𝑥= (cid:75) (=𝑦−44(cid:75))
∴𝑥 +−3 𝑦 = +4) =1 =1.
2024 2024 2024
(cid:30)∴2(𝑥(cid:33)(cid:56)𝑦(cid:10)) (−(cid:147)3(cid:165)(cid:309)(cid:52)(cid:53)(cid:54).
(cid:167)(cid:85)(cid:10) △+𝐴8𝐵𝐶+ =0(cid:75)
2 2 2
( ∵𝑎 +4𝑏 )+𝑐(−4𝑎𝑏−4+𝑏𝑐4 )=0(cid:75)
2 2 2 2
∴ 𝑎 −4𝑎𝑏+ 𝑏 𝑐=−04(cid:75)𝑏𝑐 𝑏
2 2
∴(𝑎−2𝑏=) 0(cid:75)(𝑐−2𝑏)=0(cid:75)
∴𝑎−=2𝑏 (cid:75) =𝑐−2(cid:75)𝑏
∴𝑎=2.𝑏 𝑐 2𝑏
∴𝑎AB𝑐C(cid:147)(cid:165)(cid:309)(cid:52)(cid:53)(cid:54).
(cid:15)∴△(cid:86)(cid:37)5-1(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:52)(cid:307)(cid:308)(cid:147)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:75)(cid:175)(cid:76)(cid:77) =7(cid:75) = (cid:75) = (cid:75)(cid:78)(cid:160)(cid:52)(cid:53)
2 2 2
(cid:54)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:80)(cid:30) (cid:33) 𝑎 −4𝑏 𝑏 −4𝑐 −6 𝑐 −6𝑎 −18
A(cid:81)(cid:165)(cid:309)(cid:52)(cid:53)(cid:54) B(cid:81)(cid:165)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:54) C(cid:81)(cid:310)(cid:53)(cid:52)(cid:53)(cid:54) D(cid:81)(cid:145)(cid:26)(cid:50)(cid:51)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)A
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) a2﹣4b=7(cid:75)b2﹣4c=﹣6(cid:75)c2﹣6a=﹣18(cid:75)
a2﹣4b+b2﹣4∵c+c2﹣6a=7﹣6﹣18(cid:75)
(cid:166)∴ (cid:167)(cid:87)(cid:10)a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0(cid:75)
(cid:98)(cid:30)a﹣3(cid:33)2+(cid:30)b﹣2(cid:33)2+(cid:30)c﹣2(cid:33)2=0(cid:75)
a=3(cid:75)b=2(cid:75)c=2(cid:75)
∴(cid:160)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:147)(cid:165)(cid:309)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:81)(cid:101)(cid:102)A(cid:81)
∴(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:80)(cid:240)(cid:50)(cid:42)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)5-2(cid:19)(cid:73)(cid:74)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:80) ABC(cid:42)(cid:52)(cid:307)(cid:75)(cid:235)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:76)(cid:77)a2(cid:311)6a(cid:312)b2(cid:311)8b(cid:312) (cid:312)25(cid:158)0(cid:75)(cid:78) ABC(cid:80)
(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:182)(cid:235)a(cid:75)b(cid:75)c(cid:76)(cid:77)a2(cid:312)△b2(cid:312)c2(cid:311)ab(cid:311)bc(cid:311)ac(cid:158)0(cid:75)(cid:78) ABC(cid:80) (cid:52)(cid:53)(cid:54)𝑐−(cid:81)5 △
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19) (cid:310)(cid:53); (cid:165)(cid:307). △
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:227)25(cid:66)(cid:280)9(cid:113)16(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:227)a2(cid:311)6a(cid:312)b2(cid:311)8b(cid:312) c (cid:312)25(cid:158)0(cid:313)(cid:278)(cid:147)(a-3)2+(b-4)2+ c =0(cid:75)(cid:22)
(cid:23)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:139)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:63)(cid:93)(cid:314)(cid:315)(cid:51)(cid:167)(cid:316)(cid:51)(cid:167)(cid:156)(cid:157)(cid:98)−(cid:99)5 (cid:182)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:227)a2(cid:312)b2(cid:312)c2(cid:311)a−b(cid:311)5 bc(cid:311)ac
(cid:158)0(cid:313)(cid:278)(cid:147)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97),(cid:99)(cid:66)(cid:306)(cid:27)(cid:139)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:42)(cid:3)(cid:178).
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19) a2(cid:311)6a(cid:312)b2(cid:311)8b(cid:312) c (cid:312)25(cid:158)0(cid:75)
(a-3)2+(b∵-4)2+ c =0(cid:75) −5
∴a=3(cid:75)b=4(cid:75)c=5(cid:75)−5
∴32+42=52(cid:75)
∵ ABC(cid:80)(cid:310)(cid:53)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:182)
∴a△2(cid:312)b2(cid:312)c2(cid:311)ab(cid:311)bc(cid:311)ac(cid:158)0(cid:75)
∵(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a=b(cid:75)b=c(cid:75)a=c(cid:75)
∴a=b=c(cid:75)
∴ ABC(cid:80)(cid:165)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:54).
(cid:101)∴△(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:310)(cid:53)(cid:182)(cid:165)(cid:307).
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:160)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:113)(cid:314)(cid:315)(cid:51)(cid:167)(cid:316)(cid:51)(cid:167)(cid:113)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97),(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:80)(cid:4)(cid:204)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:317)(cid:318),(cid:60)(cid:86)
(cid:54)(cid:42)(cid:190)(cid:304)(cid:64)(cid:164)(cid:107)(cid:313)(cid:86)(cid:37)(cid:135)(cid:42)(cid:43).
(cid:15)(cid:86)(cid:37)5-3(cid:19)(cid:30)23-24(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:319)(cid:320)(cid:68)(cid:125)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:227)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:244)(cid:190)(cid:24)(cid:321)(cid:165)(cid:322)(cid:285)(cid:75)(cid:87)(cid:89)(cid:323)(cid:289)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:194)
(cid:3)(cid:117)(cid:232)(cid:134)(cid:56)(cid:20)(cid:75)(cid:228)(cid:265)(cid:56)(cid:20)(cid:25)(cid:26)(cid:229)(cid:230)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:193)(cid:10)①(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10) + +8(cid:81)
2
(cid:56)(cid:234)(cid:37)= + +8+ = + + = +3) 1 𝑎 6𝑎
2 2 2 2
= +3𝑎)+ 6𝑎 + 1−1= 𝑎 + 6𝑎 +9−2)1(cid:81) (𝑎 −
②[(𝑎= 1][(𝑎(cid:75)(cid:22)3(cid:23))−(cid:24)1](cid:25)(cid:26)((cid:27)𝑎 M4)(cid:42)(𝑎(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
(cid:56)(cid:10)𝑀 𝑎 −2𝑎−=1 + = (cid:81)
2 2 2
𝑎 −2𝑎−0(cid:75)1 𝑎 −2𝑎 1−2 (𝑎−1) −2
2
∵(cid:143)(𝑎−1=)1(cid:144)≥(cid:75)M(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43) (cid:81)
(cid:212)∴ (cid:63)𝑎(cid:93)(cid:138)(cid:118)(cid:186)(cid:187)(cid:56)(cid:57)(cid:185)(cid:195)(cid:49)−2(cid:20)(cid:10)(1)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10) + (cid:182)
2
(2)(cid:235) =2 (cid:75)(cid:27)M𝑥 (cid:42)(cid:48)2𝑥(cid:39)−3(cid:43)(cid:182)
2
𝑀 𝑥 −8𝑥 1
(3)(cid:73)(cid:74)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:80) (cid:42)(cid:52)(cid:324)(cid:307)(cid:308)(cid:81)(cid:235)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:76)(cid:77) + +5= + | |(cid:75)(cid:196)(cid:156)(cid:157) (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:75)
4
2 2
(cid:168)(cid:198)(cid:41)(cid:325)(cid:42)(cid:167)(cid:85)(cid:182)△𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏− 𝑐−2 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)( +3)( )
(2) 8 𝑥 𝑥−1
(3)(cid:165)−(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:221)(cid:56)(cid:84)
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:113)(cid:114)(cid:62)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:113)(cid:165)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:156)(cid:51)(cid:75)(cid:184)(cid:326)(cid:20)(cid:204)(cid:75)(cid:140)(cid:141)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:30)1(cid:33)(cid:63)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:24)(cid:321)(cid:139)(cid:173)(cid:257)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:75)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:7)(cid:37)(cid:26)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:182)
(cid:30)2(cid:33)(cid:155)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:24)(cid:321)(cid:139)(cid:173)(cid:257)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:114)(cid:62)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:27)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:182)
(cid:30)3(cid:33)(cid:155)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:75)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:114)(cid:62)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:27)(cid:139) (cid:113)(cid:113)(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:156)(cid:157)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:98)(cid:99)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10) + = + + = +1) =𝑎 𝑏+1𝑐+ + = + (cid:182)
2 2 2
(cid:30)2(cid:33)(cid:56)(cid:10) (cid:158)2 𝑥 =2𝑥2−( 3 𝑥 =22𝑥( 1−4 +(𝑥 =−24 (𝑥 (cid:75) 2)(𝑥 1−2) (𝑥 3)(𝑥−1)
2 2 2 2
𝑀0(cid:75) 𝑥 −8𝑥 𝑥 −4𝑥) 𝑥 −4𝑥 4)−8 (𝑥−2) −8
2
∵(𝑥−2) ≥(cid:75)
∴(cid:78)𝑀M≥(cid:42)−(cid:48)8 (cid:39)(cid:43)(cid:147) (cid:182)
(cid:30)3(cid:33)(cid:56)(cid:10) ABC−(cid:80)8(cid:165)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:193)(cid:185)(cid:10)
1 △
+ +5= + | |(cid:75)
4
2 2
∵𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏− 𝑐−2
1
( +4)+ +1 +| |=0(cid:75)
4
2 2
∴ 𝑎 −4𝑎 𝑏 −𝑏 𝑐−2
1
(cid:98)( ) + +| |=0(cid:75)
2 2
2
𝑎−2 1 𝑏−1 𝑐−2
=0(cid:75) =0(cid:75) =0(cid:75)
2
∴(cid:56)𝑎(cid:87)−2
=2(cid:75)
𝑏
=
−1
2(cid:75) =
𝑐
2
−(cid:75)2
=𝑎 = (cid:75)𝑏 𝑐
∴(cid:98)𝑎 𝑏 (cid:80)𝑐 (cid:165)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:54).
【题
△
型
𝐴𝐵6𝐶
利用配方法解决几何问题】
(cid:15)(cid:72)6(cid:19)(cid:30)2024·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:52)(cid:174)(cid:33)(cid:60) (cid:64)(cid:75) = = =4(cid:75)P(cid:80) (cid:273)(cid:60)(cid:181)(cid:327)(cid:68)(cid:173)(cid:103)(cid:75)(cid:78)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 90°,𝐴𝐵 3,𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶+ + (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:80) (cid:81)
2 2 2
𝑃𝐴 𝑃𝐵50 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:310)(cid:53)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:314)(cid:315)(cid:51)(cid:167)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:165)(cid:74)(cid:120)(cid:75)(cid:190) (cid:206) (cid:45)D(cid:75)(cid:190) (cid:206)
(cid:45) (cid:75)(cid:328)(cid:308) (cid:329) (cid:45) (cid:75)(cid:328)(cid:308) (cid:329) (cid:45) (cid:75)(cid:211) = = = = (cid:75)(cid:87)𝑃(cid:139)𝑃𝐷⊥+𝐴𝐶 + 𝑃=3
2 2 2
𝑃𝐸⊥4𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝑃50𝐴𝐵 𝑀 𝐵𝑃 𝐴𝐶 𝑁 𝐴𝐷 𝑃𝐸 𝑥,𝐴𝐸 𝐷𝑃 𝑦 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐵𝑃
+3( ) + (cid:75)(cid:98)(cid:99)(cid:87)(cid:139)(cid:82)(cid:83)(cid:75)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:3)(cid:74)(cid:120)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
3 2 3
2
(cid:15)𝑥(cid:100)−(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10)𝑦−(cid:193)1(cid:330)(cid:75)(cid:190) (cid:206) (cid:45)D(cid:75)(cid:190) (cid:206) (cid:45) (cid:75)(cid:328)(cid:308) (cid:329) (cid:45) (cid:75)(cid:328)(cid:308) (cid:329) (cid:45) (cid:75)
𝑃 𝑃𝐷⊥𝐴𝐶 𝑃 𝑃𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐶𝑃 𝐴𝐵 𝑀 𝐵𝑃 𝐴𝐶 𝑁
=90°(cid:75) (cid:75) (cid:75)
∵(cid:319)∠𝐴(cid:307)(cid:54) 𝑃(cid:80)𝐷(cid:331)⊥𝐴(cid:54)𝐶(cid:75)𝑃𝐸⊥𝐴𝐵
∴(cid:211) =𝐴𝐸𝑃=𝐷 = = (cid:75)
(cid:60)𝐴Rt𝐷 𝑃𝐸(cid:64)(cid:75)𝑥,𝐴𝐸 =𝐷𝑃 +𝑦 (cid:75)
2 2 2
(cid:60)Rt△𝐴𝐸𝑃(cid:64)(cid:75)𝐴𝑃 =(𝑥 𝑦) + (cid:75)
2 2 2
(cid:60)Rt△𝐶𝐷𝑃(cid:64)(cid:75)𝐶𝑃 = 4−+𝑥( 𝑦) (cid:75)
2 2 2
△𝐵𝐸𝑃 𝐵𝑃 𝑥 3−𝑦 4
+ + = + +( ) + + +( ) =3 +3 +25=3 +3
3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝑃 𝐶𝑃50 𝐵𝑃 𝑥 𝑦 4−𝑥 𝑦 𝑥 3−𝑦 𝑥 −8𝑥 𝑦 −6𝑦 𝑥−
( ) + (cid:75)
3
2
𝑦−14 50
= (cid:75) =1(cid:144)(cid:75) + + (cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:39)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147) (cid:81)
3 3
2 2 2
∴(cid:15)𝑥(cid:86)(cid:37)6-𝑦1(cid:19)(cid:30)24-2𝐴5𝑃(cid:223)(cid:123)𝐶(cid:124)𝑃(cid:185)·(cid:170)𝐵𝑃(cid:171)(cid:332)(cid:333)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:188)(cid:189)(cid:73)(cid:297)(cid:11)(cid:286)(cid:110)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:173)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)(cid:75)(cid:163)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:270)
(cid:194)(cid:163)(cid:334)(cid:266)(cid:107)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:72)(cid:193)(cid:10)(cid:196)(cid:27)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:149)(cid:37) + +5(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
(cid:56)(cid:10) + +5= + +4+1=( +𝑥2) +4𝑥1(cid:75)
2 2 2
( 𝑥+2)4𝑥 0,( +𝑥2) 4+𝑥1 1(cid:75) 𝑥
2 2
∵ 𝑥 + +≥5 𝑥1(cid:75)(cid:98) + ≥+5(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:80)1(cid:81)
2 2
(cid:196)∴(cid:22)𝑥 (cid:23)“4(cid:24)𝑥 (cid:25)(cid:26)≥”(cid:56)(cid:57)(cid:185)𝑥(cid:195)(cid:49)4(cid:20)𝑥(cid:10)
(1)(cid:73)(cid:74)(cid:36)(cid:29)(cid:37) + (cid:75)(cid:27)(cid:287)(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:81)
2
(2)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:29)(cid:37)−22𝑥+ 4𝑥−(cid:197)53 +1(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:75)(cid:168)(cid:198)(cid:41)(cid:167)(cid:85)(cid:81)
2 2
𝑥 3𝑥−5 𝑥 −𝑥(3)(cid:74)(cid:120)(cid:128)(cid:335)(cid:10)
(cid:193)(cid:330)(cid:75)(cid:60)Rt (cid:64)(cid:75) = =8cm =6cm(cid:75)(cid:103)P(cid:60) (cid:307)(cid:118)(cid:138)2cm/s(cid:42)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:103)A(cid:339)C(cid:335)(cid:340)(cid:75)
(cid:103)Q(cid:60) (cid:307)△(cid:118)𝐴(cid:138)𝐵1𝐶cm/s∠(cid:42)𝐶(cid:336)(cid:337)9(cid:338)0°,(cid:103)𝐴𝐶C(cid:339)(cid:103)B,𝐵(cid:335)𝐶 (cid:340)(cid:81)(cid:235)(cid:103) (cid:341)(cid:144)𝐴(cid:139)𝐶 (cid:342)(cid:75)(cid:175)(cid:143)(cid:173)(cid:103)(cid:335)(cid:340)(cid:89)(cid:343)(cid:103)(cid:144)(cid:75)(cid:344)(cid:173)(cid:103)(cid:345)
(cid:346)(cid:176)(cid:347)(cid:348)𝐶𝐵(cid:75)(cid:211)(cid:319)(cid:307)(cid:54) (cid:42)(cid:327)(cid:349)(cid:147) cm (cid:75)(cid:117)(cid:340)(cid:144)(cid:177)(cid:147)t𝑃(cid:350),𝑄(cid:75)(cid:27)S(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
2
𝐴𝑃𝑄𝐵 𝑆
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)
(2)3 +−13>2 + (cid:75)(cid:167)(cid:85)(cid:221)(cid:56)(cid:84)
2 2
(3)20𝑥 −𝑥 𝑥 3𝑥−5
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:327)(cid:349)(cid:75)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:80)(cid:140)(cid:141)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
(cid:30)1(cid:33)(cid:22)(cid:23)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)”(cid:251)(cid:232)(cid:98)(cid:99)(cid:182)
(cid:30)2(cid:33)(cid:351)(cid:37)(cid:142)(cid:263)(cid:75)(cid:207)(cid:134)0(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:50)(cid:51)(cid:38)(cid:39)(cid:182)
(cid:30)3(cid:33) =(cid:38)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:327)(cid:349)(cid:263)(cid:264)(cid:39)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:327)(cid:349)(cid:75)(cid:90)(cid:227)(cid:352)(cid:194)t(cid:42)(cid:37)(cid:135)(cid:24)(cid:25)(cid:75)(cid:27)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)𝑆(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10) + = ( + ) = ( ) (cid:75)
2 2 2
0(cid:75)−2𝑥 4𝑥−5 −2 𝑥 −2𝑥 1−1 −5 −2 𝑥−1 −3
2
∵−2((𝑥−1)) ≤ (cid:75)
2
∴−2 𝑥−+1 −3(cid:42)≤(cid:48)−(cid:38)3 (cid:43)(cid:147) (cid:182)
2
(cid:30)∴2−(cid:33)2𝑥(3 4𝑥−+51) (2 +−3 )= +6=( ) +2 0
2 2 2 2
( )𝑥 −𝑥0(cid:75) − 𝑥 3𝑥−5 𝑥 −4𝑥 𝑥−2 ≥
2
∵(𝑥−2) +≥2 2(cid:75)
2
∴(𝑥−2) +2>≥0
2
∴ 𝑥3−2 +1>2 + (cid:182)
2 2
(cid:30)∴3(cid:33)𝑥 − 𝑥 =8cm𝑥 3=𝑥−6c5m(cid:75)(cid:103)P(cid:60) (cid:307)(cid:118)(cid:138)2cm/s(cid:42)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:103)A(cid:339)C(cid:335)(cid:340)(cid:75)(cid:103)Q(cid:60) (cid:307)(cid:118)(cid:138)1cm/s(cid:42)
(cid:336)(cid:337)(cid:338)∵(cid:103)𝐴C𝐶(cid:339)(cid:103)B(cid:335),𝐵𝐶(cid:340) 𝐴𝐶 𝐶𝐵
(cid:103) (cid:338) (cid:103)(cid:117)(cid:340)(cid:89) (cid:103)(cid:273)(cid:353)(cid:144)(cid:177)(cid:147)8÷2=4s(cid:75)(cid:103) (cid:338) (cid:103)(cid:117)(cid:340)(cid:89) (cid:103)(cid:273)(cid:353)(cid:144)(cid:177)(cid:147)6÷1=6s(cid:75)
∴0 𝑃 𝐴 4(cid:75) 𝐶 𝑄 𝐶 𝐵
∴ ≤𝑡≤ 1 1
= = × × × × (cid:75)
2 2
𝑆 𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝑄 𝐴𝐶 𝐵𝐶− 𝑃𝐶 𝑄𝐶1 1
= ×8× ( ) (cid:75)
2 2
𝑆 = + 6 2 − 4= 8− ( 2𝑡 𝑡) +20 20(cid:75)
2 2
𝑆 S(cid:42)𝑡 −(cid:48)4(cid:39)𝑡 (cid:43)(cid:147)20(cid:81)𝑡−2 ≥
(cid:15)∴(cid:86)(cid:37)6-2(cid:19)(cid:30)2023·(cid:125)(cid:126)(cid:145)(cid:354)·(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:193)(cid:330)(cid:75)(cid:240)(cid:25)(cid:54) (cid:42)(cid:307)(cid:308)(cid:147)2(cid:75)(cid:103) (cid:80)(cid:307) (cid:118)(cid:42)(cid:340)(cid:103)(cid:75)(cid:355)(cid:356) (cid:113) (cid:75)
(cid:131) (cid:357)(cid:103) (cid:358)(cid:144)(cid:359)(cid:360)(cid:281)90°(cid:87)(cid:89) (cid:75)(cid:131) (cid:357)(cid:103) (cid:316)(cid:144)𝐴(cid:359)𝐵𝐶(cid:360)𝐷(cid:281)90°(cid:87)(cid:89) (cid:75)𝐸(cid:355)(cid:356) 𝐴𝐵(cid:75)(cid:78)(cid:361)(cid:285) (cid:42)(cid:79)𝐸(cid:43)𝐷(cid:31)𝐸(cid:32)𝐶(cid:147)
𝐸 𝐷(cid:81) 𝐸 𝐸𝑁 𝐸𝐶 𝐸 𝐸𝑀 𝑀𝑁 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)4 2 5/2 5 4
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)≤(cid:20)𝑀(cid:80)𝑁(cid:240)≤(cid:25)(cid:54)(cid:362)(cid:222)(cid:20)≥(cid:75)𝑀(cid:108)𝑁(cid:109)≥(cid:110)(cid:240)(cid:25)(cid:54)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:360)(cid:281)(cid:86)(cid:363)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:331)(cid:54)(cid:42)(cid:156)(cid:51)(cid:134)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:180)(cid:165)(cid:52)(cid:53)(cid:54)
(cid:42)(cid:156)(cid:51)(cid:134)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:314)(cid:315)(cid:51)(cid:167)(cid:75)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:165)(cid:75)(cid:258)(cid:259)(cid:364)(cid:301)(cid:361)(cid:365)(cid:366)(cid:180)(cid:165)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:3)(cid:121)(cid:81)(cid:190)(cid:103) (cid:206) (cid:75)
(cid:329) (cid:42)(cid:328)(cid:308)(cid:361)(cid:45)(cid:103) (cid:75)(cid:190)(cid:103) (cid:206) (cid:75)(cid:329) (cid:42)(cid:328)(cid:308)(cid:361)(cid:45)(cid:103) (cid:75)(cid:206) (cid:45)(cid:103) (cid:75)(cid:99)(cid:40)(cid:87)𝑀 𝑀𝐹⊥𝐴𝐵
𝐵𝐴 A𝐹AS)(cid:75)(cid:87)(cid:139)𝑁 𝑁𝐺=⊥𝐴𝐵= 𝐴𝐵(cid:75) = =2𝐺(cid:75)(cid:341)(cid:167)𝑁(cid:10)𝐻⊥𝐹=𝑀 =𝐻 (cid:75) = =2(cid:75)(cid:87)(cid:139)
△𝑀=𝐸𝐹≌+△𝐸𝐶=𝐵(2+2=4(cid:75)(cid:90)𝑀𝐹(cid:40)(cid:87)𝐵(cid:319)𝐸(cid:307)(cid:54)2−𝑥 𝐸(cid:80)𝐹(cid:331)(cid:54)𝐵𝐶(cid:75)(cid:87)(cid:139) = 𝑁𝐺=4(cid:75)𝐴𝐸 =𝑥 𝐸𝐺= 𝐴(cid:75)𝐷
𝐹𝐺 =𝐸𝐹 𝐸𝐺 = = (cid:75)(cid:90)(cid:117)(cid:23)(cid:314)𝐹𝐺(cid:315)𝑁(cid:51)𝐻(cid:167)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:87)(cid:82)𝐻(cid:83)𝑁(cid:81) 𝐹𝐺 𝐹𝐻 𝑁𝐺 𝑥
𝑀(cid:15)𝐻(cid:100)(cid:56)𝑀(cid:19)𝐹(cid:56)−(cid:10)𝐹𝐻(cid:193)(cid:330)2(cid:75)−(cid:190)𝑥−(cid:103)𝑥 (cid:206)2−2𝑥 (cid:75)(cid:329) (cid:42)(cid:328)(cid:308)(cid:361)(cid:45)(cid:103) (cid:75)(cid:190)(cid:103) (cid:206) (cid:75)(cid:329) (cid:42)(cid:328)(cid:308)(cid:361)(cid:45)(cid:103) (cid:75)
(cid:206) (cid:45)(cid:103) (cid:75) 𝑀 𝑀𝐹⊥𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐹 𝑁 𝑁𝐺⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐺
(cid:78)𝑁𝐻⊥𝐹=𝑀 𝐻= = =90°(cid:75)
∠𝐸𝐹𝑀 ∠𝐸𝐺𝑁 ∠𝐹𝐻𝑁 ∠𝑁𝐻𝑀(cid:85)(cid:360)(cid:281)(cid:87)(cid:10) = (cid:75) = (cid:75) = =90°(cid:75)
+𝐸𝑀 =𝐸𝐶90°𝐸(cid:75)𝑁 𝐸𝐷+∠𝐶𝐸𝑀=9∠0𝐷°𝐸(cid:75)𝑁
∴∠𝑀𝐸𝐹+∠𝐶𝐸𝐵 =90°(cid:75)∠𝐷𝐸𝐴 +∠𝑁𝐸𝐺 =90°(cid:75)
∵∠𝑀𝐸𝐹= ∠𝐸𝑀𝐹(cid:75) ∠=𝐷𝐸𝐴 (cid:75)∠𝐸𝐷𝐴
∴∠(cid:240)𝐶(cid:25)𝐸𝐵(cid:54) ∠𝐸𝑀(cid:42)𝐹(cid:307)(cid:308)∠𝑁(cid:147)𝐸𝐺2(cid:75)(cid:103)∠𝐸𝐷(cid:80)𝐴(cid:307) (cid:118)(cid:42)(cid:340)(cid:103)(cid:75)
(cid:211)∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷 2)(cid:75)(cid:78) =𝐸 (cid:75)𝐴𝐵
𝐴𝐸 =𝑥(0=≤𝑥≤=2(cid:75) 𝐵𝐸 =2−𝑥 =90°(cid:75)
(cid:60)∴𝐴𝐵 𝐴𝐷(cid:134) 𝐵𝐶 (cid:64)(cid:75)∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐶𝐵𝐸
△𝑀𝐸=𝐹 △𝐸=𝐶9𝐵0°
= (cid:75)
∠𝐸𝐹𝑀 𝐶=𝐵𝐸
∠𝐸𝑀𝐹 ∠𝐶𝐸𝐵
𝐸𝑀 𝐸𝐶 AAS)(cid:75)
∴△𝑀𝐸=𝐹≌△=𝐸𝐶𝐵((cid:75) = =2(cid:75)
(cid:341)∴(cid:167)𝑀𝐹(cid:10) 𝐵𝐸= 2−=𝑥 (cid:75)𝐸𝐹 =𝐵𝐶 =2(cid:75)
=𝑁𝐺 +𝐴𝐸 =𝑥2+𝐸2𝐺=4𝐴(cid:75)𝐷
∴𝐹𝐺 𝐸=𝐹 𝐸𝐺 = =90°(cid:75)
∵∠(cid:319)𝑀(cid:307)𝐹(cid:54)𝐸 ∠𝑁𝐺(cid:80)𝐸(cid:331)(cid:54)∠𝐹(cid:75)𝐻𝑁
∴ = 𝐹𝐺𝑁=𝐻4(cid:75) = = (cid:75)
∴𝐻𝑁 =𝐹𝐺 =𝐹𝐻 𝑁𝐺= 𝑥 (cid:75)
(cid:60)∴R𝑀t𝐻 𝑀𝐹−(cid:64)𝐹(cid:75)𝐻 2−=𝑥−𝑥 2+−2𝑥 = +4 =4 +16(cid:75)
2 2 2 2 2 2
0 △𝑀𝑁2𝐻(cid:75) 𝑀𝑁 𝑀𝐻 𝐻𝑁 (2−2𝑥) (𝑥−1)
∵0≤𝑥≤ 1(cid:75)
2
∴ ≤(𝑥−1) ≤16 4 +16 20(cid:75)
2
(cid:98)∴16 ≤ (𝑥−1)20(cid:75) ≤
2
≤>𝑀0𝑁(cid:75) ≤
∵𝑀(cid:361)𝑁(cid:285) (cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:147)4 2 5(cid:81)
(cid:101)∴(cid:82)(cid:83)(cid:147)𝑀𝑁(cid:10)4 2 5≤(cid:81)𝑀𝑁≤
(cid:15)(cid:86)(cid:37)6-3(cid:19)(cid:30)≤2𝑀4-𝑁25≤(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:185)·(cid:125)(cid:126)(cid:243)(cid:367)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:193)(cid:330)(cid:75)(cid:73)(cid:74) =10(cid:75) (cid:147)(cid:361)(cid:285) (cid:118)(cid:42)(cid:173)(cid:257)(cid:340)(cid:103)(cid:75)(cid:66)(cid:306)(cid:138)
(cid:147)(cid:307)(cid:60) (cid:42)(cid:341)(cid:295)(cid:206)(cid:368)(cid:54) (cid:134)(cid:368)(cid:54) (cid:75)(cid:103) (cid:60)(cid:173)(cid:324)𝐴(cid:310)𝐵(cid:361)(cid:118)(cid:75) 𝑃 =6𝐴0𝐵°(cid:75) (cid:66)(cid:306)(cid:80)(cid:231)(cid:53)(cid:361) 𝐴𝑃,𝑃𝐵
(cid:42)(cid:64)(cid:103)𝐴(cid:81)𝐵(cid:143)(cid:103) (cid:60)(cid:361)(cid:285) 𝐴(cid:118)𝑃𝐶(cid:335)𝐷(cid:340)(cid:144)(cid:75)𝑃(cid:103)𝐵𝐹𝐸(cid:176)(cid:177)𝑃(cid:42),𝐶(cid:369),𝐸(cid:370)(cid:48)(cid:371)(cid:147) (cid:81)∠𝐷𝐴𝑃 𝑀,𝑁 𝐴𝐶,𝐵𝐸
𝑃 𝐴𝐵 𝑀𝑁
5 3
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:355)(cid:356) (cid:113) (cid:81)(cid:154)(cid:155)(cid:40)(cid:41) =90°(cid:75)(cid:211) = (cid:75)(cid:78) = (cid:75) = (cid:75) = 3 (cid:75)
(cid:365)(cid:225)(cid:61)(cid:62)(cid:372)(cid:29)𝑃(cid:75)𝑀(cid:22)(cid:23)𝑃(cid:61)𝑁(cid:62)(cid:372)(cid:29)(cid:42)(cid:96)∠(cid:97)𝑀(cid:98)𝑃𝑁(cid:99)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:20)(cid:81)𝑃(cid:105)𝐴(cid:20)(cid:108)2𝑎(cid:109)(cid:368)(cid:54)𝑃𝐵(cid:42)(cid:96)1(cid:97)0−(cid:113)2(cid:314)𝑎 (cid:315)𝑃(cid:51)𝑀(cid:167)(cid:113)𝑎(cid:24)(cid:25)𝑃𝑁(cid:26)(cid:42)(cid:65)((cid:23)5−(cid:165)𝑎(cid:74))
(cid:120)(cid:75)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:80)(cid:11)(cid:373)(cid:258)(cid:259)(cid:151)(cid:23)(cid:364)(cid:301)(cid:361)(cid:75)(cid:247)(cid:248)(cid:117)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:48)(cid:43)(cid:49)(cid:20)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10)(cid:355)(cid:356) (cid:113) (cid:81)
𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:319)(cid:307)(cid:54) (cid:75)(cid:319)(cid:307)(cid:54) (cid:80)(cid:368)(cid:54)(cid:75) =60°(cid:75)
∵ =𝐴𝑃1𝐶2𝐷0°(cid:75) 𝑃=𝐵6𝐹0𝐸°(cid:75) ∠𝐷𝐴𝑃
∴∠𝐴(cid:75)𝑃𝐶(cid:66)(cid:306)(cid:80)(cid:231)(cid:53)∠𝐸(cid:361)𝑃𝐵 (cid:75) (cid:42)(cid:64)(cid:103)(cid:75)
∵𝑀 𝑁 1 𝐴𝐶 𝐵𝐸 1
= =60°(cid:75) = =30°(cid:75)
2 2
∴∠𝐶𝑃𝑀 =6∠0𝐴°𝑃+𝐶30°=90°∠(cid:75)𝐸𝑃𝑁 ∠𝐸𝑃𝐵
(cid:211)∴∠𝑀𝑃=𝑁 (cid:75)
𝑃𝐴 2𝑎1
(cid:78) = (cid:75) = (cid:75) = =
2
𝑃𝐵 10−2𝑎 𝑃𝑀 𝑎 𝐵𝑁 𝐵𝑃 5−𝑎
= = 3 (cid:75)
2 2
𝑃𝑁 𝐵𝑃 −𝐵𝑁 (5−𝑎)
15 75
= +[ 3 = 4 +75= 4 ) + (cid:75)
2 4
2 2
2 2
∴𝑀𝑁15 𝑎 (51−5𝑎)] 75 7𝑎5 −30𝑎 (𝑎−
(cid:143) = (cid:144)(cid:75)(cid:78)4 ) + = (cid:75)(cid:160)(cid:144)(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)
2 2 4 4
2
𝑎 (𝑎−
15 75 75 5 3
(cid:98) =3(cid:144)(cid:75) = 4 ) + = = (cid:75)
2 4 4 2
2
𝑎 𝑀𝑁 (𝑎−5 3
(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147) (cid:75)
2
∴𝑀𝑁 5 3
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10) (cid:81)
2
【题型7 配方法在二次根式中的应用】
(cid:15)(cid:72)7(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:170)(cid:171)(cid:374)(cid:375)·(cid:284)(cid:285)(cid:116)(cid:286)(cid:33)(cid:145)(cid:146) (cid:79)(cid:203)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37) +3(cid:150)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:75)(cid:78) (cid:42)(cid:48)
2
(cid:38)(cid:43)(cid:147) (cid:81) 𝑥 𝑥 −𝑘𝑥 𝑘
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)2 3
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:61)(cid:62)(cid:372)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:37)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:42)(cid:324)(cid:376)(cid:75)(cid:63)(cid:42)(cid:156)(cid:306)(cid:37)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:324)(cid:376)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:377) = +3(cid:75)(cid:63)(cid:93)(cid:20)(cid:204)(cid:75)(cid:87) =( ) ×1×3 0(cid:75)(cid:56)(cid:82)(cid:98)(cid:99)(cid:81)
2 2
(cid:15)𝑦(cid:100)(cid:56)𝑥(cid:19)−(cid:56)𝑘(cid:10)𝑥(cid:377) = +3(cid:75)Δ −𝑘 −4 ≤
2
𝑦 𝑥 −𝑘𝑥
(cid:145)(cid:146) (cid:79)(cid:203)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:36)(cid:29)(cid:37) +3(cid:150)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:75)
2
∵ 0𝑥(cid:75) 𝑥 −𝑘𝑥
∴𝑦≥ +3=0(cid:42)(cid:156)(cid:306)(cid:37) =( ) ×1×3 0
2 2
∴(cid:56)𝑥(cid:87)−𝑘𝑥 3 2 3(cid:75) Δ −𝑘 −4 ≤
(cid:42)−(cid:48)2(cid:38)(cid:43)≤(cid:147)𝑘2≤3(cid:81)
(cid:101)∴𝑘(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)2 3(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)7-1(cid:19)(cid:30)2022·(cid:378)(cid:379)(cid:243)(cid:380)·(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:188)(cid:199)(cid:243)(cid:381)(cid:144)(cid:129)(cid:29)(cid:11)(cid:382)(cid:383)(cid:122)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:139)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:52)(cid:307)(cid:27)(cid:327)(cid:349)(cid:42)(cid:7)(cid:37)(cid:75)(cid:160)(cid:7)(cid:37)(cid:197)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:58)(cid:59)(cid:11)(cid:382)(cid:390)(cid:391)(cid:386)(cid:139)(cid:42)(cid:7)(cid:37)(cid:193)(cid:139)(cid:173)(cid:392)(cid:75)(cid:98)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:52)(cid:307)(cid:308)(cid:66)(cid:306)(cid:147) (cid:75) (cid:75) (cid:75)(cid:393) = (cid:75)(cid:78)(cid:163)
2
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑝
(cid:327)(cid:349) = ( )( )( )(cid:81)(cid:228)(cid:257)(cid:7)(cid:37)(cid:345)(cid:290)(cid:394)(cid:147)(cid:390)(cid:391)—(cid:383)(cid:122)(cid:384)(cid:7)(cid:37)(cid:81)(cid:235) =3(cid:75) =2(cid:75)(cid:78)(cid:160)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:327)(cid:349)(cid:42)
(cid:48)(cid:38)𝑆(cid:43)(cid:80) 𝑝 𝑝 −𝑎(cid:81)𝑝−𝑏 𝑝−𝑐 𝑝 𝑐
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19) 3
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:63)(cid:93)(cid:7)(cid:37)(cid:232)(cid:139)a+b(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:36)(cid:88)(cid:7)(cid:37)(cid:75)(cid:63)(cid:93)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:42)(cid:86)(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:139)(cid:56)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) = (cid:75)p=3(cid:75)c=2(cid:75)
2
𝑎+𝑏+𝑐
∵𝑝
2
3= (cid:75)
2
𝑎+𝑏+
∴
a+b=4(cid:75)
∴
a b(cid:75)
=4−
∴
=
∴𝑆 𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
= ( )
3(3−𝑎)(3−𝑏) 3−2
=
3(3−𝑎)(3−𝑏)
= 3[ + +9]
𝑎𝑏−3(𝑎 𝑏)
=
3(𝑎𝑏−3)
= 3[ ( ) ]
𝑏 4−𝑏 −3
= 3[ ( ) +1]
2
− 𝑏−2
(cid:143)b=2(cid:144)(cid:75)S(cid:194)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147) 3(cid:81)
∴
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:37)(cid:197)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:56)(cid:82)(cid:105)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:80)(cid:41)(cid:50)(cid:20)(cid:204)(cid:75)(cid:292)(cid:293)(cid:139)(cid:142)(cid:65)(cid:42)(cid:52)(cid:53)(cid:54)
(cid:42)(cid:327)(cid:349)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)7-2(cid:19)(cid:235)(cid:372)(cid:29) = + (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147)M(cid:75)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)m(cid:75)(cid:78) =(cid:42)(cid:147) (cid:81)
𝑚
𝑦 2023−𝑥 𝑥−2021 𝑀
2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:145)(cid:167)(cid:372)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:43)(cid:75)(cid:155)(cid:27) (cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:75)(cid:27) =2+2 +1(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:134)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)
2 2
(cid:338)(cid:169)(cid:27)(cid:139) (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:134)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:98)(cid:99)(cid:81) 𝑥 𝑦 −(𝑥−2022)
𝑦(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19) = + (cid:64)(cid:75)
𝑦 0(cid:75)2023−𝑥 𝑥0−(cid:75)2021
∴22002213−𝑥≥ 20𝑥2−3(cid:75)2021≥
∴ ≤𝑥≤
=2+2 =2+2 +1(cid:75)
2 2
(cid:143)∵𝑦=2022(cid:144)(cid:75)(202(cid:194)3−(cid:48)𝑥(cid:38))((cid:43)𝑥−42(cid:75)021) −(𝑥−2022)
2
(cid:143)𝑥=2021(cid:144)(cid:75)𝑦 (cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)2(cid:75)
2
𝑥 =2(cid:75) = 𝑦2(cid:75)
∴𝑀 2 𝑚
= (cid:75)
2
𝑚
∴ 𝑀
2
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10) (cid:81)
2
(cid:15)(cid:86)(cid:37)7-3(cid:19)(cid:30)22-23(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:185)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:162)·(cid:129)(cid:130)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:103) ( )(cid:75)(cid:175)(cid:67)(cid:29) (cid:76)(cid:77) +8=0(cid:75)(cid:78)(cid:103)
2 2
(cid:89)(cid:234)(cid:103)(cid:42)(cid:48)(cid:371)(cid:369)(cid:370)(cid:147) (cid:81) 𝑃 𝑎,3𝑏 −3 𝑎,𝑏 𝑎−4𝑏 𝑃
12
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)
5
3 3 25
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:85)(cid:73)(cid:74)(cid:87)(cid:89)(cid:103)P(cid:42)(cid:395)(cid:396)(cid:147) +3 (cid:75)(cid:27)(cid:87) = + +3 = + +9(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
4 2 4 2 16 2 9 2 𝑎
(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:81) 𝑃 𝑎, 𝑎 𝑃𝑂 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) +8=0(cid:75)
2
∵𝑎−4𝑏 3
= +2(cid:75)(cid:78)3 = +3(cid:75)
4 4
2 𝑎 2
∴𝑏 𝑏 −3 𝑎
3
+3 (cid:75)
4
∴𝑃 𝑎, 𝑎
3 25
= + +3 = + +9
4 2 16 2
2 2 9𝑎
∴𝑃𝑂 𝑎 𝑎 𝑎
5 72 144
= + +
4 25 25
2
𝑎 𝑎
5 36 2304
= + + (cid:75)
4 25 2 625
𝑎 36
(cid:143) = (cid:144)(cid:75)(cid:194)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)
25
∴ 𝑎 −5 48 12
(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147) × = (cid:75)
4 25 5
144 12
(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147) = (cid:81)
25 5
∴𝑃𝑂12
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10) (cid:81)
5
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:103)(cid:42)(cid:395)(cid:396)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:27)(cid:56)(cid:42)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:56)(cid:57)(cid:105)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
【题型8 配方法在分式中的应用】
6 10
(cid:15)(cid:72)8(cid:19)(cid:30)2023·(cid:208)(cid:125)(cid:380)(cid:397)·(cid:174)(cid:398)(cid:399)(cid:202)(cid:33)(cid:66)(cid:37) (cid:99)(cid:79)(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)(cid:30)(cid:152)(cid:152)(cid:33)
2 2
𝑥 +12𝑥+
2
A(cid:81)4 B(cid:81)5 𝑥 +C2(cid:81)𝑥+6 D(cid:81)(cid:164)(cid:400)(cid:60)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)A
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:182)
6 10 2
(cid:85)(cid:20)(cid:204)(cid:99)(cid:86)(cid:54)(cid:147) = (cid:75)(cid:132)(cid:133)(cid:63)(cid:93)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:99)(cid:91)(cid:92)(cid:27)(cid:56)(cid:81)
2 2 ( 1) 1
𝑥 +12𝑥+
2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10)(cid:85)(cid:20)𝑥(cid:204)+2(cid:87)𝑥+(cid:10) 6− 𝑥+ +
6 10 6( 2) 2 2
= = = (cid:75)
2 2 2 2 2 ( 1) 1
𝑥 +12𝑥+ 𝑥 +2𝑥+ −2
2 2 2 2
𝑥 +2𝑥+ 6 𝑥 +102𝑥+ 6−𝑥 +2𝑥+ 6− 𝑥+ +
(cid:235)(cid:107)(cid:27)(cid:87) (cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:75)(cid:78)(cid:353)(cid:87)(cid:139) + +2(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:98)(cid:99)(cid:75)
2 2
𝑥 +12𝑥+ 2
2
+ +𝑥2+=2𝑥(+ +1) +1 1(cid:75) 𝑥 2𝑥
2 2
∵𝑥 +2𝑥+2(cid:42)(cid:48)𝑥(cid:39)(cid:43)(cid:147)1(cid:75)≥
2
∴𝑥6x2 122x𝑥10
(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(cid:147)4(cid:182)
x2 2x 2
+ +
∴(cid:101)(cid:102)+
A
+
10105
(cid:15)(cid:86)(cid:37)8-1(cid:19)(cid:36)(cid:29)(cid:37) (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:80) (cid:81)
4 10 14
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)2021 𝑥 −12𝑥𝑦+ 𝑦 +6𝑦+
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:131)(cid:66)(cid:401)(cid:321)(cid:280)2(cid:257)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:37)(cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:134)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:87)(cid:48)(cid:38)(cid:43)
10105 10105 10105
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) = =2021
4 10 14 ( ) ( 3) 5 5
2 2 2 2
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)202 𝑥 1 −12𝑥𝑦+ 𝑦 +6𝑦+ 2𝑥−3𝑦 + 𝑦+ + ≤
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:140)(cid:141)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:25)(cid:7)(cid:37)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
1
(cid:15)(cid:86)(cid:37)8-2(cid:19)(cid:235)(cid:66)(cid:37) (cid:164)(cid:146)x(cid:79)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:205)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:81)(cid:27)m(cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:81)
2
𝑥 −2𝑥+𝑚
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)m(cid:402)1
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:155)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:66)(cid:401)(cid:44)(cid:38)(cid:45)0(cid:78)(cid:66)(cid:37)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:228)(cid:173)(cid:324)(cid:376)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:56).
(cid:56)(cid:10) x2(cid:311)2x(cid:312)m(cid:158)x2(cid:311)2x(cid:312)1(cid:311)1(cid:312)m(cid:158)(x(cid:311)1)2(cid:312)m(cid:311)1(cid:75)
∵(x(cid:311)1)2≥0.
∵ 1
(cid:143)m(cid:311)1(cid:402)0(cid:144)(cid:75)(cid:98)m(cid:402)1(cid:144)(cid:75)(cid:164)(cid:146)x(cid:79)(cid:59)(cid:67)(cid:29)(cid:75)(cid:66)(cid:37) (cid:150)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:81)
2
∴(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:37)(cid:194)(cid:204)(cid:71)(cid:42)(cid:324)(cid:376).(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:231)𝑥 (cid:66)−2(cid:401)𝑥+𝑚(cid:91)(cid:92)(cid:44)(cid:165)(cid:86)(cid:54)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121).
(cid:15)(cid:86)(cid:37)8-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:266)(cid:403)(cid:404)(cid:375)·(cid:129)(cid:130)(cid:33)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:195)(cid:186)(cid:187)(cid:10)
8 6 2 2
(cid:244)(cid:190)(cid:39)(cid:11)(cid:42)(cid:11)(cid:286)(cid:188)(cid:189)(cid:74)(cid:279)(cid:75)(cid:66)(cid:29)(cid:99)(cid:66)(cid:147)“(cid:405)(cid:66)(cid:29)”(cid:134)“(cid:406)(cid:66)(cid:29)”(cid:75)(cid:169)(cid:406)(cid:66)(cid:29)(cid:150)(cid:99)(cid:282)(cid:147)(cid:407)(cid:66)(cid:29)(cid:75)(cid:193)(cid:10) = =2+
3 3 3
+
2
=2 (cid:81)
3
(cid:188)(cid:189)(cid:51)(cid:71)(cid:10)(cid:60)(cid:66)(cid:37)(cid:64)(cid:75)(cid:231)(cid:45)(cid:408)(cid:352)(cid:194)(cid:173)(cid:257)(cid:409)(cid:401)(cid:42)(cid:66)(cid:37)(cid:75)(cid:143)(cid:66)(cid:135)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:38)(cid:45)(cid:46)(cid:165)(cid:45)(cid:66)(cid:401)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:144)(cid:75)(cid:188)(cid:189)(cid:394)(cid:176)(cid:147)“(cid:406)
(cid:66)(cid:37)”(cid:182)(cid:143)(cid:66)(cid:135)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:39)(cid:45)(cid:66)(cid:401)(cid:42)(cid:62)(cid:29)(cid:144)(cid:75)(cid:188)(cid:189)(cid:394)(cid:176)(cid:147)“(cid:405)(cid:66)(cid:37)”(cid:81)
1
(cid:193)(cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:228)(cid:219)(cid:42)(cid:66)(cid:37)(cid:303)(cid:80)(cid:406)(cid:66)(cid:37)(cid:182)
1 22 2
𝑥−1 𝑥+ 𝑥 𝑥
𝑥+ 3 𝑥−21 𝑥+ 𝑥−1
(cid:90)(cid:193)(cid:10) (cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:228)(cid:219)(cid:42)(cid:66)(cid:37)(cid:303)(cid:80)(cid:405)(cid:66)(cid:37)(cid:81)
1 1
𝑥 2𝑥
2 2
(cid:410)(cid:269)(cid:42) 𝑥 (cid:75) + (cid:406)(cid:66)𝑥−(cid:37)2(cid:345)𝑥(cid:99)−(cid:138)1 (cid:282)𝑥(cid:147)+(cid:407)(cid:66)(cid:37)(cid:30)(cid:98)(cid:10)(cid:166)(cid:37)(cid:197)(cid:405)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:134)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:33)(cid:81)
( 1) 2 1 ( ) 3 3
(cid:193)(cid:10) = = (cid:182) = =1+ (cid:75)
1 1 1
𝑥−1 𝑥+ −2 𝑥+ 𝑥−2 +
(cid:56)(cid:82)(cid:185) 𝑥+ (cid:195)(cid:49)(cid:20)𝑥+(cid:10) 1−𝑥+ 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
2
(1)(cid:66)(cid:37) (cid:80) (cid:66)(cid:37)(cid:30)(cid:411)“(cid:405)”(cid:46)“(cid:406)”(cid:33)(cid:182)
𝑥
(2)(cid:131)(cid:406)(cid:66)(cid:37) (cid:278)(cid:280)(cid:405)(cid:66)(cid:37)(cid:407)(cid:134)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:182)
2
2𝑥−6
𝑥+
9 2
(3)(cid:235)(cid:66)(cid:37) (cid:42)(cid:43)(cid:147)(cid:240)(cid:29)(cid:75)(cid:27) (cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:81)
2
𝑥 −5𝑥+
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)3(cid:405)𝑥−2 𝑥
10
(2)
2
2−𝑥+
2
(3) >
3
(cid:15)(cid:66)𝑥 (cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:51)(cid:71)(cid:112)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:167)(cid:56)(cid:20)(cid:204)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:30)1(cid:33)(cid:63)(cid:93)“(cid:405)(cid:66)(cid:37)”(cid:42)(cid:51)(cid:71)(cid:98)(cid:99)(cid:156)(cid:157)(cid:182)
(cid:30)2(cid:33)(cid:63)(cid:93)(cid:293)(cid:72)(cid:56)(cid:82)(cid:98)(cid:99)(cid:182)
(cid:30)3(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:99)(cid:87)(cid:66)(cid:135)(cid:80)(cid:240)(cid:29)(cid:75)(cid:91)(cid:169)(cid:87)(cid:89)(cid:66)(cid:401)(cid:147)(cid:240)(cid:29)(cid:75)(cid:93)(cid:160)(cid:56)(cid:82)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:56)(cid:182)
2
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10)(cid:66)(cid:37) (cid:80)(cid:405)(cid:66)(cid:37)(cid:75)
𝑥
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)(cid:405)(cid:182)2( 2) 10
(cid:30)2(cid:33)(cid:56)(cid:10) = = (cid:182)
2 2 2
2𝑥−6 𝑥+ −10
𝑥+ 𝑥+ 5 24−7 𝑥+
9 2 9
(cid:30)3(cid:33)(cid:56)(cid:10) = 18 2 36(cid:75)
2
𝑥 −5𝑥+ 𝑥− +
5 3𝑥4−72 3𝑥−2
9 + >0(cid:75)(cid:175)(cid:66)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:147)(cid:240)(cid:29)(cid:75)
18 2 36
∵ 𝑥− >0(cid:75)
∴3𝑥−22
> (cid:75)
3
∴𝑥 x(cid:42)(cid:79)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:147)x>2
(cid:81)
3
∴
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:72)9(cid:19)(cid:30)23-24(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:118)(cid:390)(cid:412)(cid:413)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10)2 +1= (cid:81)
2
7 3 7 𝑥 −6𝑥
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)2
2 2
3− +
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:63)(cid:93)𝑥−(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:282)𝑥−(cid:147)(cid:181)(cid:25)(cid:207)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:75)(cid:91)(cid:169)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:75)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:56)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10)2 +1
2
=2( )+1𝑥 −6𝑥
2
𝑥 −3𝑥 9 7
=2 +
4 4
2
𝑥 −3𝑥 −
3 7
=2 2
2 2 2
𝑥− −
7 3 7
=2 (cid:75)
2 2
3− +
𝑥− 𝑥−
7 3 7
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)2 (cid:81)
2 2
3− +
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)𝑥−(cid:109)(cid:110)(cid:67)(cid:29)𝑥−(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:75)(cid:115)(cid:116)(cid:140)(cid:141)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)9-1(cid:19)(cid:30)23-24(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:118)(cid:390)(cid:414)(cid:415)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:10) + = (cid:81)
2
𝑥 6𝑥−5
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)( +3+ 14)( + 14)
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:155) 𝑥 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:91)𝑥(cid:92)(cid:166)3−(cid:167)(cid:75)(cid:90)(cid:63)(cid:93)(cid:181)(cid:25)(cid:207)(cid:7)(cid:37)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:416)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) + = + + =( +3) (cid:75)
2 2 2
𝑥 6𝑥−5 𝑥 6𝑥 9−9−5 𝑥 −14
(cid:63)(cid:93)(cid:181)(cid:25)(cid:207)(cid:7)(cid:37)(cid:99)(cid:87)( +3) =( +3+ 14)( + 14)(cid:75)
2
𝑥 −14 𝑥 𝑥 3−
(cid:101) + =( +3+ 14)( + 14)(cid:75)
2
𝑥 6𝑥−5 𝑥 𝑥 3−(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)( +3+ 14)( + 14)(cid:81)
𝑥 𝑥 3−
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:42)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:75)(cid:4)(cid:204)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:42)(cid:37)(cid:135)(cid:42)(cid:136)(cid:137)(cid:173)(cid:417)(cid:107)(cid:66)(cid:89)(cid:139)(cid:262)
(cid:145)(cid:167)(cid:29)(cid:147)(cid:348)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)9-2(cid:19)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)2 +5 (cid:165)(cid:45)(cid:30)(cid:33)
2 2
4 6 6 𝑥 −8𝑥𝑦 𝑦
A(cid:81)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑥−
4 6 6
B(cid:81)
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
4 6 6
C(cid:81)2
2 2
+ 4−
𝑥− 𝑦 𝑥− 𝑦
D(cid:81) 6 + 6
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19) 2 C 𝑥−4𝑦− 𝑦 2𝑥−4𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:98)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:66)(cid:56)(cid:69)(cid:37)(cid:80)(cid:288)(cid:99)(cid:138)(cid:227)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:89)(cid:67)(cid:29)(cid:42)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:99)(cid:23)(cid:145)
5
(cid:167)(cid:29)(cid:42)(cid:54)(cid:37)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:33)(cid:75)(cid:4)(cid:204)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:155)(cid:386)(cid:7)(cid:69)(cid:37)(cid:87)2 + (cid:75)(cid:90)(cid:117)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:54)(cid:87)2
2
2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦
3
( ) (cid:75)(cid:48)(cid:133)(cid:117)(cid:23)(cid:181)(cid:25)(cid:207)(cid:7)(cid:37)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:81)
2
2 2
(cid:15)𝑥(cid:100)−(cid:56)2𝑦(cid:19)(cid:56)−(cid:10)𝑦
2 +5
2 2
𝑥5 −8𝑥𝑦 𝑦
=2 +
2
2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 𝑦 3
=2 +4
2
2 2 2
𝑥 −4𝑥𝑦 3𝑦 − 𝑦
=2 ( )
2
2 2
𝑥−2𝑦 − 𝑦
6
=2 ( ) 2
2
2
𝑥−2𝑦 − 𝑦
4+ 6 6
=2
2 2
4−
(cid:101)(cid:102)(cid:10)𝑥−C 𝑦 𝑥− 𝑦
(cid:15)(cid:86)(cid:37)9-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:118)(cid:390)·(cid:284)(cid:285)(cid:116)(cid:286)(cid:33)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:10)2 = (cid:81)
2 2
41 41 3 𝑥 −3𝑥𝑦−4𝑦
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)2 +
4 4
−3 +
𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
3 41
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:60)(cid:67)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:131)(cid:234)(cid:37)(cid:86)(cid:54)(cid:147)2 (cid:75)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:181)(cid:25)(cid:207)(cid:7)
4 2 16
2
(cid:37)(cid:91)(cid:92)(cid:69)(cid:37)(cid:66)(cid:56)(cid:98)(cid:99)(cid:81) 𝑥− 𝑦 − 𝑦
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10)2
2 2
𝑥 −3𝑥𝑦−4𝑦3
=2
2
2 2
𝑥 −3𝑥𝑦−2𝑦9 9
=2 +
2 16 16
2 2 2 2
𝑥 −3 𝑥𝑦 41𝑦 − 𝑦 −2𝑦
=2
4 2 16
2
𝑥−3 𝑦 −41 𝑦 3 41
=2 +
4 4 4 4
𝑥− 𝑦 𝑦 𝑥− 𝑦− 𝑦
41 41 3
=2 + (cid:81)
4 4
−3 +
𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
41 41 3
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)2 + (cid:81)
4 4
−3 +
𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
【题型10 利用配方法解决新定义问题】
(cid:15)(cid:72)10(cid:19)(cid:30)2025·(cid:170)(cid:171)(cid:414)(cid:418)·(cid:174)(cid:398)(cid:399)(cid:202)(cid:33)(cid:3)(cid:45) (cid:42)(cid:173)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)(cid:42)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:10)(cid:235)(cid:3)(cid:45) (cid:42)(cid:173)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)(cid:10)
2
+ =0(cid:197) + =0(cid:75)(cid:394)(cid:147)“(cid:341)(cid:419)(cid:61)(cid:62)𝑥(cid:25)(cid:304)”(cid:81)(cid:193)2 +4=0(cid:197)3 𝑥
+4=0(cid:303)(cid:80)“(cid:341)(cid:419)𝑎1
(cid:61)(𝑥(cid:62)−𝑚(cid:25))
2 2 2
(cid:304)𝑛”(cid:81)(cid:262)(cid:194)𝑎(cid:3) 2 (cid:45)(𝑥−(cid:42)𝑚(cid:173)) (cid:201)𝑛(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)(cid:10)2 +1=0(cid:197)( +(𝑥2−)3) +( ) +(8𝑥−=30)(cid:80)“(cid:341)(cid:419)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)”(cid:81)(cid:420)(cid:421)
2 2
(cid:36)(cid:29)(cid:37) + 𝑥+2031(cid:191)(cid:79)(cid:42)(cid:48)(cid:39)(cid:43)(𝑥(cid:80)−(cid:30)1) (cid:33) 𝑎 𝑥 𝑏−4 𝑥
2
A(cid:81)𝑎2𝑥026 𝑏𝑥 B(cid:81)2023 C(cid:81)2028 D(cid:81)2025
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)A
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:138)(cid:112)(cid:173)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)(cid:42)(cid:51)(cid:71)(cid:75)(cid:22)(cid:23)“(cid:341)(cid:419)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)”(cid:51)(cid:71)(cid:195)(cid:139)(cid:3)(cid:178)(cid:37)(cid:75)(cid:90)(cid:22)(cid:23)
(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:142)(cid:165)(cid:42)(cid:324)(cid:376)(cid:195)(cid:139)(cid:3)(cid:45)a(cid:197)b(cid:42)(cid:25)(cid:304)(cid:422)(cid:75)(cid:27)(cid:139)(cid:25)(cid:304)(cid:422)(cid:42)(cid:56)(cid:87)(cid:89)a(cid:197)b(cid:42)(cid:43)(cid:75)(cid:91)(cid:169)(cid:22)(cid:23)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:50)
(cid:51)(cid:139)(cid:36)(cid:29)(cid:37)(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:98)(cid:99)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) 2( ) +1=0(cid:197)( +2) +( ) +8=0(cid:80)“(cid:341)(cid:419)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)”(cid:75)
2 2
( +2) +∵( 𝑥−)1+8=( +2)𝑎( )𝑥 +1=𝑏−(4+𝑥2) ( +2) + +3(cid:75)
2 2 2
∴ 𝑎 =𝑥 ( 𝑏+−24)𝑥 𝑎 =5𝑥−1 𝑎 𝑥 −2 𝑎 𝑥 𝑎
+3=8 (cid:75)(cid:56)(cid:87)(cid:10) = (cid:75)
𝑏−4 −2 𝑎 𝑎
∴ +𝑎 +2031=5 +𝑏 20−3110=5( ) +2026(cid:75)
2 2 2
∴𝑎(cid:36)𝑥(cid:29)(cid:37)𝑏𝑥 + +20𝑥31−(cid:79)1(cid:42)0𝑥(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:80)2026𝑥(cid:75)−1
2
(cid:101)∴(cid:102)(cid:10)A(cid:81)𝑎𝑥 𝑏𝑥
(cid:15)(cid:86)(cid:37)10-1(cid:19)(cid:30)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:118)·(cid:319)(cid:320)(cid:68)(cid:125)·(cid:284)(cid:285)(cid:116)(cid:286)(cid:33)(cid:231)(cid:45)(cid:194)(cid:167)(cid:29)a(cid:75)b(cid:75)(cid:51)(cid:71) (cid:42)(cid:352)(cid:71)(cid:147)(cid:10)(cid:143) (cid:144)(cid:75)
= (cid:182)(cid:143) (cid:144)(cid:75) = (cid:81)(cid:235)min{40, }=4𝑚0(cid:75)𝑖𝑛(cid:78){𝑎,𝑏}(cid:42)(cid:43)(cid:165)(cid:45) 𝑎 ≥(cid:81)𝑏
2 2 𝑛
𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} 1 𝑏 𝑎≤𝑏 𝑚𝑖𝑛{𝑎,𝑏} 𝑎 12𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛 𝑚
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)
36
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:65)(cid:23)(cid:134)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:81)(cid:63)(cid:93)(cid:20)(cid:204)(cid:167)(cid:56)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:42)(cid:251)(cid:232)(cid:7)(cid:37)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)(cid:63)(cid:93)min{40, }=40(cid:75)(cid:87)(cid:139) (cid:197)40(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:178)(cid:75)(cid:338)(cid:169)(cid:50)(cid:51)m(cid:75)n(cid:42)(cid:43)(cid:98)(cid:99)(cid:87)
2 2 2 2
(cid:139) (cid:42)(cid:43)(cid:81)12𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛 12𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛
𝑛
(cid:15)𝑚(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10) min{40, }=40(cid:75)
2 2
40 ∵ 12(cid:182)𝑚−4𝑛−𝑚 −𝑛
2 2
∴ ≤+12𝑚+−4𝑛−𝑚 −+𝑛40 0
2 2
∴𝑚( 𝑛) +4(𝑛−+122)𝑚 0(cid:75)≤
2 2
∴(𝑚−6) +(𝑛+2) ≤0(cid:75)
2 2
∵ 𝑚−6= +𝑛 2=0(cid:75)≥
∴𝑚−=6 0=,𝑛 (cid:75)
∴𝑚 6,𝑛 −21
=6 =
36
𝑛 −2
∴𝑚
1
(cid:101)(cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10) (cid:81)
36
(cid:15)(cid:86)(cid:37)10-2(cid:19)(cid:30)23-24(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:185)·(cid:170)(cid:171)(cid:332)(cid:333)·(cid:423)(cid:106)(cid:424)(cid:425)(cid:33)(cid:51)(cid:71)(cid:10)(cid:231)(cid:45)(cid:372)(cid:29) =lg ( >0)(cid:75) (cid:346) (cid:42)(cid:426)(cid:38)(cid:169)(cid:426)(cid:38)(cid:75)
1 5 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
(cid:175)lg10=1(cid:75)lg =lg lg (cid:75)lg =lg +lg (cid:81)(cid:235) + =5(cid:75)(cid:78)lg +lg (cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147) (cid:81)
2 4
𝑥
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)1 𝑦 𝑥− 𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:75)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:43)(cid:42)(cid:251)(cid:232)(cid:75)(cid:167)(cid:56)(cid:70)(cid:51)(cid:71)(cid:117)(cid:232)(cid:75)(cid:140)(cid:141)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:75)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:43)(cid:42)(cid:251)(cid:232)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
5 5 5
(cid:63)(cid:93)(cid:20)(cid:204)(cid:87)(cid:89) = = (cid:75)lg +lg =lg (cid:75) > >0(cid:75)(cid:78)0< <4(cid:75) = =
2 2 2 2
20−5𝑏 2
5 𝑎 510− 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 0,𝑏 𝑏 𝑎𝑏 10− 𝑏 𝑏 − 𝑏
+ = ( )= ( ) +10(cid:75)(cid:85)(cid:160)(cid:87)(cid:89)(cid:143) =2(cid:144)(cid:75) (cid:194)(cid:48)(cid:38)(cid:43)10(cid:75)(cid:36)(cid:88)(cid:251)(cid:232)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:56)(cid:81)
2 2
2 2
10𝑏 − 𝑏 −4𝑏1 −
5
𝑏−2 𝑏 𝑎𝑏
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:56)(cid:10)(cid:73)(cid:74) + =5(cid:75)
2 4
+ =20(cid:75) 𝑎 𝑏
∴2𝑎 5𝑏 5
= = (cid:75)
2 2
20−5𝑏
∴𝑎lg =lg +1lg0−(cid:75)𝑏
∵lg𝑥𝑦+lg 𝑥=lg 𝑦(cid:75) > >0(cid:75)
∴ 𝑎 5 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 0,𝑏
>0(cid:75)
2
∴(cid:56)1(cid:87)0−(cid:75)𝑏 <4(cid:75)
0< 𝑏<4(cid:75)
∴ 𝑏5 5 5 5
= = + = ( )= ( ) +10(cid:75)
2 2 2 2
2 2 2
∴𝑎𝑏5 10− 𝑏 𝑏 − 𝑏 10𝑏 − 𝑏 −4𝑏 − 𝑏−2
<0(cid:75)
2
∵(cid:143)− =2(cid:144)(cid:75) (cid:194)(cid:48)(cid:38)(cid:43)10(cid:75)
∴lga𝑏b=lg10=𝑎𝑏1(cid:75)
(cid:101)∴ (cid:82)(cid:83)(cid:147)(cid:10)1 (cid:81)
(cid:15)(cid:86)(cid:37)10-3(cid:19)(cid:30)24-25(cid:223)(cid:123)(cid:124)(cid:185)·(cid:208)(cid:125)(cid:427)(cid:162)·(cid:129)(cid:64)(cid:33)(cid:193)(cid:137)(cid:3)(cid:45)x(cid:42)(cid:173)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304) + + =0(cid:30) 0(cid:33)(cid:194)(cid:351)
2
(cid:257)(cid:67)(cid:29)(cid:63)(cid:75)(cid:175)(cid:163)(cid:64)(cid:173)(cid:257)(cid:63)(cid:34)(cid:344)(cid:173)(cid:257)(cid:63)(cid:38) 1(cid:75)(cid:420)(cid:421)(cid:394)(cid:228)(cid:219)(cid:42)(cid:25)(cid:304)(cid:147)“(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)”(cid:81)𝑎𝑥(cid:72)(cid:193)𝑏(cid:75)𝑥(cid:173)(cid:201)𝑐 (cid:61)(cid:62)(cid:25)𝑎(cid:304)≠ + =0
2
(cid:42)(cid:351)(cid:257)(cid:63)(cid:80) =0(cid:75) = (cid:75)(cid:78)(cid:25)(cid:304) + =0 (cid:80)“(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)”(cid:81) 𝑥 𝑥
2
(1)(cid:244)(cid:190)(cid:251)(cid:232)(cid:75)𝑥1(cid:156)(cid:157)(cid:25)(cid:304)𝑥2 −1 =0(cid:80)(cid:429)𝑥(cid:80)“𝑥(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)”(cid:182)
2
(2)(cid:73)(cid:74)(cid:3)(cid:45) x (cid:42)(cid:25)(cid:304) 𝑥 (−𝑥−6) =0(cid:30)m (cid:80)(cid:151)(cid:29)(cid:33)(cid:80)“(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)”(cid:75)(cid:27) m (cid:42)(cid:43)(cid:182)
2
(3)(cid:235)(cid:3)(cid:45) x (cid:42)(cid:25)(cid:304) 𝑥 +− 𝑚+−11=𝑥−0𝑚(cid:30)a(cid:113)b (cid:80)(cid:151)(cid:29)(cid:75) >0(cid:33)(cid:80)“(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)”(cid:75)(cid:377) = (cid:75)(cid:196)(cid:27)t(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:19)(1)(cid:63)(cid:147)2(cid:75)𝑎𝑥 (cid:75)𝑏(cid:164)𝑥(cid:80)(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304) 𝑎 𝑡 8𝑎−𝑏
(2)m=0(cid:46)m=−2 −3
(3)t =4
最大值
(cid:15)(cid:66)(cid:84)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:66)(cid:306)(cid:56)(cid:139)(cid:25)(cid:304)(cid:42)(cid:63)(cid:75)(cid:63)(cid:93)(cid:351)(cid:63)(cid:207)(cid:43)(cid:80)(cid:429)(cid:147)1(cid:91)(cid:92)(cid:156)(cid:157)(cid:182)
(cid:30)2(cid:33)(cid:56)(cid:139)(cid:25)(cid:304)(cid:42)(cid:63)(cid:75)(cid:377)(cid:351)(cid:63)(cid:207)(cid:42)(cid:430)(cid:231)(cid:43)(cid:147)1(cid:75)(cid:338)(cid:169)(cid:87)(cid:89)(cid:3)(cid:45)m(cid:42)(cid:25)(cid:304)(cid:182)
(cid:30)3(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:63)(cid:197)(cid:178)(cid:29)(cid:42)(cid:3)(cid:178)(cid:292)(cid:293)(cid:139)|x −x |=
b2−4a
=1(cid:75)(cid:91)(cid:173)(cid:317)(cid:282)(cid:431)(cid:87)b2 =a2+4a(cid:75)(cid:166)(cid:253)(cid:36)(cid:88)t=8a−b2(cid:75)(cid:244)
1 2 a2
(cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:99)(cid:27)(cid:139)t(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:182)
(cid:105)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:173)(cid:201)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:304)(cid:113)(cid:63)(cid:197)(cid:178)(cid:29)(cid:42)(cid:3)(cid:178)(cid:113)(cid:56)(cid:352)(cid:430)(cid:231)(cid:43)(cid:25)(cid:304)(cid:113)(cid:166)(cid:253)(cid:36)(cid:88)(cid:26)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:51)(cid:48)(cid:43)(cid:165)(cid:74)(cid:120)(cid:103)(cid:75)(cid:115)(cid:116)
(cid:140)(cid:141)(cid:305)(cid:265)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:56)(cid:20)(cid:42)(cid:3)(cid:121)(cid:81)
(cid:15)(cid:100)(cid:56)(cid:19)(cid:30)1(cid:33)(cid:56)(cid:10)x2−x−6=0(cid:75)
(x−3)(x+2)=0(cid:75)
x =3,x =−2(cid:75)
1 2
x −x =5 1(cid:75)
1 2
∵(cid:164)(cid:432)(cid:222)(cid:428)(cid:63)(cid:25)≠(cid:304)(cid:42)(cid:51)(cid:71)(cid:75)
x2−x−6=0(cid:164)(cid:80)(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)(cid:182)
∴(cid:30)2(cid:33)(cid:56)(cid:10) x2−(m−1)x−m=0(cid:75)
(x−m)(x+∵1)=0(cid:75)
∴x =m,x =−1(cid:75)
1 2
∴(cid:3)(cid:45)x(cid:42)(cid:25)(cid:304)x2−(m−1)x−m=0(cid:80)(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)(cid:75)
∵|x −x |=|m−(−1)|=|m+1|=1(cid:75)
1 2
∴m =0,m =−2(cid:75)
1 2
∴(cid:101)m=0(cid:46)m=−2(cid:182)
(cid:30)3(cid:33)(cid:56)(cid:10) (cid:3)(cid:45) x (cid:42)(cid:25)(cid:304)ax2+bx+1=0(cid:30)a(cid:113)b (cid:80)(cid:151)(cid:29)(cid:75)a>0(cid:33)(cid:80)“(cid:428)(cid:63)(cid:25)(cid:304)”(cid:75)(cid:211)(cid:351)(cid:257)(cid:63)(cid:66)(cid:306)(cid:147)x (cid:113)x (cid:75)
1 2
|x −x |=∵1(cid:75)
1 2
∴ (cid:85)(cid:63)(cid:197)(cid:178)(cid:29)(cid:42)(cid:3)(cid:178)(cid:10)x +x =− b ,x x = 1 (cid:75)
1 2 a 1 2 a
⋅
|x −x |= (x +x )2−4x x = b2−4a =1(cid:75)
1 2 1 2 1 2 a2
∴ b2 =a2+4a(cid:75)
∴t=8a−b2 =8a−(a2+4a)=−a2+4a=−(a−2)2+4(cid:75)
∴(cid:143)a=2(cid:144)(cid:75)t =4(cid:182)
最大值
∴(cid:82)(cid:10)t(cid:42)(cid:48)(cid:38)(cid:43)(cid:147)4(cid:81)