专题08与绝对值有关的十大题型(专项训练)(原卷版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》7上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》7上(华东师大)

专题 08 与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:35)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:21)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:42)——(cid:25)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:21)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:42)——(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:21)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:41)(cid:42)——(cid:51)(cid:52)(cid:47)(cid:53)(cid:21)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:21)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:54)(cid:58)(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:21)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:55)(cid:58)(cid:32)(cid:56)(cid:31)(cid:21)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:56)(cid:31)(cid:62)(cid:56)(cid:31)(cid:21)................................................................................................................................6
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 代数视角看绝对值的意义 公 众
注
关
，
源
资
教 辅 >0)， | | (cid:69)(cid:70)(cid:45)(cid:50)(cid:10)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:10)| |= =0)， 非负 =本身(cid:68)
𝑎(𝑎 <0)． (cid:71)(cid:72)| |= (cid:73)(cid:66) 0)(cid:68)
𝑎 0(𝑎 | |
非正 =相反数．
(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:66)(cid:67) −𝑎(𝑎 (cid:74)(cid:72)|𝑎|=－𝑎 (cid:73)((cid:66)𝑎≥ 0)(cid:68)
(cid:75)| |𝑎 . 𝑎 (𝑎≤
𝑎 ≥𝑎
知识点2 几何视角看绝对值的意义
(cid:29)(cid:30)(cid:31) (cid:76)(cid:77)(cid:73)(cid:25) (cid:44)
⇔ ⇔
| |(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)a(cid:32)(cid:52)(cid:82)(cid:83)(cid:52)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:84) | |
－ (cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81) (cid:32)(cid:52)(cid:85)(cid:80)(cid:81) (cid:32)(cid:52)(cid:54)
𝑎
(cid:86)𝑥(cid:32)𝑎(cid:76)(cid:77)(cid:84) 𝑥 𝑎
知识点3 绝对值的非负性
1. | | 0(cid:73)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:87)(cid:38)(cid:25) 2. (cid:72)| |+| |=0(cid:73)(cid:66) =0(cid:88) =0 3. (cid:72)| |+ =0(cid:73)(cid:66) =0(cid:88) =0
2
𝑎 ≥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏知识点4 多绝对值处理——数形结合
=| |(cid:73)| |(cid:80)(cid:81)P(cid:73)A(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:68)
𝑃𝐴 =|𝑥−𝑎|(cid:73)|𝑥−𝑎|(cid:80)(cid:81)P(cid:73)B(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:68)
𝑃𝐵+ 𝑥−=𝑏 | 𝑥−|𝑏+| |(cid:73)
𝑃| 𝐴 |𝑃+𝐵| 𝑥|−(cid:80)𝑎(cid:81)P𝑥(cid:82)−𝑏A(cid:73)B(cid:89)(cid:52)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:54)(cid:55)(cid:84)
𝑥−𝑎 𝑥−𝑏
知识点5 多绝对值处理——分类讨论
| | + | | = ±2或0(cid:84)
𝑎 𝑏
| |
(cid:90) (cid:71)𝑎 a(cid:73)𝑏 b(cid:93)(cid:94)(cid:73)(cid:31)(cid:91)1+1=2(cid:68)
| |
𝑎 𝑎
>0𝑎 值 𝑎(cid:91)1(cid:68) (cid:74)a(cid:73)b(cid:93)(cid:38)(cid:73)(cid:31)(cid:91) = (cid:68)
𝑎<0 ⇒值(cid:91)(cid:92)1(cid:84) (cid:75)a(cid:73)b(cid:95)(cid:9)(cid:73)(cid:31)(cid:91)−1−1=0(cid:84)−2
𝑎 ⇒ (cid:4)(cid:10)(cid:87)(cid:96)(cid:49)(cid:50)(cid:97)(cid:98)(cid:25)1−(cid:32)1(cid:99)(cid:9)(cid:84)
+
知识点6 多绝对值处理——零点分段 科 A A
全
★
号
众
(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:100)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:91)0(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:32)(cid:31)(cid:103)(cid:91)(cid:51)(cid:52)(cid:84)注 公(cid:127)(cid:128)(cid:10)| |+| | < (cid:84)
关
，
源
资
(cid:104)(cid:65)(cid:10) 辅 (cid:129) =𝑥−0𝑎(cid:73) 𝑥−=𝑏0((cid:73)𝑎 (cid:130)(cid:131)𝑏) = (cid:73) = (cid:73)
教
(cid:71)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:51)(cid:52)(cid:73)(cid:109)(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:68) (cid:132)𝑥(cid:51)−(cid:52)𝑎(cid:91)a(cid:73)𝑥b−(cid:73)𝑏(cid:47)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:49)𝑥 (cid:50)𝑎(cid:10) 𝑥 𝑏
(cid:74)(cid:111)(cid:112)(cid:51)(cid:52)(cid:113)(cid:25)(cid:78)(cid:114)(cid:115)(cid:47)(cid:53)(cid:68) (cid:71) < (cid:68)
(cid:75)(cid:47)(cid:116)(cid:117)(cid:112)(cid:118)(cid:53)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:32)(cid:119)(cid:120)(cid:64)(cid:29)(cid:30)(cid:84) (cid:74)𝑥 𝑎 (cid:68)
(cid:121)(cid:122)(cid:52)(cid:10)(cid:47)(cid:48)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:73)(cid:123)(cid:126)(cid:64)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:73) (cid:75)𝑎>≤𝑥(cid:84)≤𝑏
𝑥 𝑏
知识点7 多绝对值型最值
1. (cid:72) < (cid:73)(cid:66)(cid:137) (cid:138)(cid:73)| |+| |(cid:108)(cid:56)(cid:57)(cid:31) (cid:84)
2. (cid:72)𝑎 <𝑏 < (cid:73)(cid:66)𝑎(cid:137)≤𝑥=≤𝑏(cid:138)(cid:73)|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|+| |(cid:108)𝑏(cid:56)−𝑎(cid:57)(cid:31) (cid:84)
3. n(cid:139)𝑎(cid:29)(cid:30)𝑏(cid:31)(cid:54)𝑐 (cid:55)(cid:62)(cid:56)𝑥(cid:57)(cid:31)𝑏 𝑥−𝑎 𝑥−𝑏 𝑥−𝑐 𝑐−𝑎
(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:73)(cid:143) < < < (cid:73) =| |+| |+| |+ +| |(cid:84)
(cid:71)(cid:72)n(cid:91)(cid:144) 𝑎 (cid:25) 1 (cid:73)(cid:66)𝑎2 (cid:137) 𝑎= 3 ⋯(cid:138)𝑎𝑛 (cid:73)P𝑃(cid:108)(cid:56)𝑥(cid:57)−(cid:31)𝑎 1 (cid:68)(cid:74)𝑥(cid:72)−n𝑎2 (cid:91)(cid:145)(cid:25)𝑥−(cid:73)𝑎3 (cid:66)(cid:137)⋯ 𝑥−𝑎𝑛 (cid:138)(cid:73)P(cid:108)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:84)
𝑛+1 𝑛 𝑛
𝑥 𝑎 2 𝑎2 ≤𝑥≤𝑎2+1
(cid:146)(cid:147)(cid:10)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:73)(cid:144)(cid:152)(cid:153)(cid:31)(cid:73)(cid:145)(cid:152)(cid:153)(cid:53)(cid:84)
4. (cid:154)(cid:25)(cid:123)(cid:91)1(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:62)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:73)(cid:155)(cid:127)(cid:91)(cid:154)(cid:25)(cid:91)1(cid:23)(cid:156)(cid:22)(cid:130)(cid:157)(cid:84)5. (cid:72) < (cid:73)(cid:66)(cid:137) (cid:138)(cid:73)| | | |(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
6. (cid:29)𝑎(cid:30)(cid:31)𝑏(cid:55)(cid:58)(cid:158)(cid:159)𝑥(cid:62)≥(cid:56)𝑏(cid:19)(cid:31)(cid:10)𝑥−(cid:25)𝑎(cid:44)−(cid:45)𝑥−(cid:46)𝑏(cid:73)(cid:47)(cid:160)(cid:80)(cid:81)(cid:25)𝑏−x𝑎(cid:32)(cid:52)(cid:32)(cid:161)(cid:162)(cid:84)
7. (cid:4)(cid:33)(cid:163)(cid:164)(cid:35)(cid:139)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:108)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:73)(cid:165)(cid:152)(cid:131)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:138)(cid:166)(cid:167)(cid:32)(cid:119)(cid:120)(cid:168)(cid:139)(cid:61)(cid:169)(cid:32)(cid:170)(cid:171)(cid:84)
【题型1 代数视角看绝对值的意义】
(cid:15)(cid:172)1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)·(cid:181)(cid:11)(cid:182)(cid:183)(cid:67)(cid:184)(cid:102)(cid:108)(cid:42)(cid:25) (cid:73) (cid:73) (cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:32)(cid:161)(cid:162)(cid:185)(cid:186)(cid:107)(cid:81)(cid:73)(cid:127)(cid:128)(cid:70)(cid:187)
| | | |+| |(cid:32)(cid:31)(cid:91) (cid:84) 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎−𝑏 − 𝑐−𝑎 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:69)(cid:70)1-1(cid:21)(cid:63)2025(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:22)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:184)(cid:102)1< <2(cid:73)(cid:66)| |+| |(cid:32)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)1-2(cid:21)(cid:63)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:193)(cid:194)(cid:19)(cid:195)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:72) 𝑥 = 𝑥(cid:73)−3(cid:66) (cid:32)𝑥(cid:152)−2(cid:31)(cid:119)(cid:120)(cid:197) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)1-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:202)(cid:153)(cid:67)(cid:72) =|𝑎9−(cid:73)1|||=17−(cid:73)𝑎(cid:88)| 𝑎 |= (cid:73)(cid:66) (cid:32)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
2
【题型2 几何视角看绝对值的意义】 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎 2𝑎−𝑏
+
A
A
科
(cid:15)(cid:172)2(cid:21)(cid:184)(cid:102)| +12|=3| |(cid:73)(cid:62) (cid:32)(cid:31)(cid:84) ★ 全
号
众
公
(cid:15)(cid:69)(cid:70)2-1(cid:21)(cid:25)𝑚(cid:78)(cid:79)(cid:52)A(cid:80)𝑚(cid:81)−(cid:32)8(cid:25)(cid:91) 𝑚(cid:73)(cid:52)关B(cid:80) 注 (cid:81)(cid:32)(cid:25)(cid:91)x(cid:73)(cid:72)A(cid:73)B(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:91)11(cid:73)(cid:62)x(cid:32)(cid:31)(cid:84)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:69)(cid:70)2-2(cid:21)(cid:184)(cid:102)| 教|=10(cid:73)(cid:62)| −+41|(cid:32)(cid:31)(cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)2-3(cid:21)(cid:72)| +𝑚4−|2+| |+| 𝑚|=12(cid:73)(cid:203)(cid:45)(cid:46)(cid:25)(cid:78)(cid:125)(cid:204)t(cid:32)(cid:152)(cid:31)(cid:84)
【题型3 绝对值 𝑡 的非负性 𝑡− 】 1 𝑡−8
(cid:15)(cid:172)3(cid:21)(cid:184)(cid:102)| |+| + |+| |= (cid:73)(cid:62)y(cid:32)(cid:31)(cid:84)
𝑥−2 𝑥 𝑦−5 𝑦−1 𝑦−1
(cid:15)(cid:69)(cid:70)3-1(cid:21)(cid:63)2025(cid:205)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:178)(cid:169)·(cid:190)(cid:22)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:72)( +1) +| |=0(cid:73)(cid:66) (cid:32)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
2 𝑏
(cid:15)(cid:69)(cid:70)3-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)·(cid:202)(cid:153) 𝑎 (cid:67)(cid:72)| 𝑏|− (cid:85) 2|02+46|(cid:213)(cid:91)(cid:214)(cid:215) 𝑎 (cid:25)(cid:73)(cid:66) (cid:32)(cid:31)(cid:91)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)3-3(cid:21)(cid:184)(cid:102)| |+| |+| |= (cid:73)(cid:62) + (cid:32)𝑥−(cid:31)2(cid:84) 𝑦 2𝑥−𝑦
【题型4 多绝对值 𝑎− 处 2 理— 𝑏 — −5 数形结 𝑐− 合 4 】 𝑐−4 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:172)4(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)·(cid:202)(cid:153)(cid:67)(cid:220)(cid:221)(cid:176)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:10)
(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:52)A(cid:225)B(cid:47)(cid:116)(cid:80)(cid:81)(cid:25)a(cid:73)b(cid:73)(cid:66)A(cid:225)B(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77) =| |(cid:73)(cid:172)(cid:185)(cid:73)(cid:137) = = (cid:73) =| ( )|=7(cid:84)
𝐴𝐵 𝑎−𝑏 𝑎 5,𝑏 −2 𝐴𝐵 5− −2
(cid:226)(cid:227)(cid:176)(cid:151)(cid:156)(cid:22)(cid:10)(1)①(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81) (cid:85) (cid:89)(cid:52)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:197) (cid:73)
②(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)x(cid:85)−24(cid:89)−(cid:52)6(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:197) (cid:68)
③(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)x(cid:85)________(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:91)| +2|(cid:84)
(2)(cid:176)(cid:222)(cid:30)(cid:70)(cid:187)| +2|+| |(cid:114)(cid:115)(cid:228)(cid:229)(cid:10) 𝑥
①(cid:137)(cid:80)(cid:81)(cid:25)x(cid:32)𝑥 (cid:52)(cid:110) 𝑥(cid:85)−44(cid:54)(cid:86)(cid:230)(cid:231)(cid:138)(cid:73)| +2|+| |(cid:32)(cid:31)(cid:232)(cid:197)(cid:140)(cid:139)(cid:233)(cid:204)(cid:32)(cid:31)(cid:91)(cid:10)___________(cid:84)
②(cid:234)(cid:100)| +2|+| −|2=8(cid:73)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:32)(cid:25)𝑥 =___𝑥_−__4_____________(cid:84)
(3)(cid:62)| +𝑥2|+| +𝑥1−|4+| |+| |(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)𝑥(cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)𝑥 4-1(cid:21)(cid:185)𝑥(cid:186)(cid:73)(cid:25)(cid:78)(cid:79)𝑥−42(cid:139)(cid:52)𝑥(cid:80)−4(cid:81)(cid:32)(cid:25)(cid:47)(cid:116)(cid:91)a(cid:225)b(cid:225)c(cid:225)d(cid:84)(cid:72)|a﹣d|(cid:235)10(cid:73)|a﹣b|(cid:235)6(cid:73)|b﹣d|(cid:235)
2|b﹣c|(cid:73)(cid:66)|c﹣d|(cid:235)(cid:63)(cid:236)(cid:236)(cid:67)
A(cid:84)1 B(cid:84)1.5 C(cid:84)2.5 D(cid:84)2
(cid:15)(cid:69)(cid:70)4-2(cid:21)(cid:185)(cid:186)A(cid:73)B(cid:73)C(cid:73)D(cid:73)E(cid:47)(cid:116)(cid:197)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:237)(cid:139)(cid:195)(cid:238)(cid:239)(cid:25)(cid:107)(cid:30)(cid:240)(cid:32)(cid:52)(cid:73)(cid:241)(cid:153)(cid:108)(cid:140)(cid:52)(cid:197)(cid:83)(cid:52)(cid:73)(cid:25)a(cid:30)(cid:240)
(cid:32)(cid:52)(cid:110)B(cid:85)C(cid:54)(cid:86)(cid:73)(cid:25)b(cid:30)(cid:240)(cid:32)(cid:52)(cid:110)D(cid:85)E(cid:54)(cid:86)(cid:73)(cid:72) + =3(cid:66)(cid:83)(cid:52)(cid:155)(cid:242)(cid:197) (cid:84)
+
A
A
科
|𝑎| |𝑏| ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:69)(cid:70)4-3(cid:21)(cid:52) (cid:225) (cid:110)教(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:47)(cid:116)(cid:80)(cid:81)(cid:108)(cid:42)(cid:25) (cid:225) (cid:73) (cid:225) (cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:80)(cid:81)(cid:91) (cid:73)(cid:66)(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79) (cid:225) (cid:89)(cid:52)
(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77) =𝐴 | 𝐵 |(cid:84) 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝐵
(cid:107)(cid:243)(cid:70)(cid:187)| 𝐴𝐵|(cid:32)(cid:35)𝑎(cid:36)−𝑏(cid:33)(cid:34)(cid:197)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81) (cid:32)(cid:52)(cid:85)(cid:80)(cid:81)2(cid:32)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:84)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:25)(cid:78)(cid:226)(cid:227)(cid:176)(cid:151)(cid:156)(cid:22)(cid:10)
①(cid:25)(cid:78)(cid:79)𝑥(cid:80)−(cid:81)2 2(cid:55)5(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:197) 𝑥 (cid:73)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)1(cid:55) (cid:32)(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:197) (cid:84)
②(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81) (cid:55) (cid:32)(cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:80)(cid:81)(cid:91) (cid:84) −3
③(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)𝑥(cid:32)(cid:52)−2(cid:82)(cid:80)(cid:81)1(cid:32)(cid:52)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:247)(cid:82)(cid:80)(cid:81) (cid:32)(cid:52)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:54)(cid:55)(cid:155)(cid:80)(cid:81)(cid:91)(cid:10)| |+| +3|(cid:84)(cid:66)
| |+| +3|𝑥(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:197) (cid:84) −3 𝑥−1 𝑥
④𝑥−(cid:72)1| 𝑥|+| +1|=8(cid:73)(cid:66) =
𝑥−3 𝑥 𝑥
【题型5 多绝对值处理——分类讨论】
(cid:15)(cid:172)5(cid:21)(cid:184)(cid:102) (cid:91)(cid:108)(cid:42)(cid:25)(cid:84)
(cid:63)1(cid:67)(cid:72) 0𝑎(cid:73),𝑏(cid:66),𝑐 =__________(cid:68)(cid:72) >0(cid:73)(cid:66) =________(cid:84)
𝑎≤ |𝑎| 𝑏 |𝑏|(cid:63)2(cid:67)(cid:184)(cid:102) 0(cid:73) <0(cid:73) >0(cid:73)(cid:62) + + + (cid:32)(cid:31)(cid:84)
𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐≠ 𝑎 𝑏𝑐 |𝑎| |𝑎𝑏| |𝑎𝑐| |𝑏𝑐|
(cid:63)3(cid:67)(cid:184)(cid:102) 0(cid:73)(cid:88) + + =0(cid:73)(cid:62) + + + + + + (cid:32)(cid:31)(cid:84)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:69)(cid:70)5-1𝑎(cid:21)𝑏(cid:184)𝑐≠(cid:102)x(cid:73)y 𝑎(cid:248)(cid:91)𝑏(cid:239)(cid:25)𝑐(cid:73)(cid:88)|x﹣ | y 𝑎 | | +|x |𝑏﹣| 3| |𝑐(cid:235)| 1(cid:73)|𝑎𝑏(cid:66)| x+ |𝑏 y 𝑐|(cid:32)(cid:31)|𝑎𝑐(cid:91)| |𝑎 𝑏𝑐 (cid:84) |
(cid:15)(cid:69)(cid:70)5-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:185)(cid:253) (cid:73) (cid:73) (cid:91)(cid:37)(cid:51)(cid:108)(cid:42)(cid:25)(cid:88) + + =0(cid:73)(cid:254)(cid:255) +
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
+ + (cid:32)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
| | | |
𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:69) 𝑐 (cid:70)5 𝑎 - 𝑏 3 𝑐 (cid:21)(cid:63)23-24(cid:256)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:257)(cid:198)(cid:194)(cid:258)·(cid:202)(cid:259)(cid:67)(cid:72)(cid:3)(cid:246)x(cid:32)(cid:104)(cid:260)|| | |= (cid:108)(cid:133)(cid:139)(cid:239)(cid:25)(cid:130)(cid:73)(cid:66) (cid:32)(cid:31)(cid:197)
( ) 𝑥−2 −1 𝑎 𝑎
A(cid:84)0 B(cid:84)1 C(cid:84)2 D(cid:84)3
【题型6 多绝对值处理——零点分段】
(cid:15)(cid:172)6(cid:21)(cid:87)(cid:50) (cid:152)(cid:36)(cid:31)(cid:73)| |+| | (cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:73)(cid:66) (cid:32)(cid:152)(cid:31)(cid:119)(cid:120)(cid:197) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)6-1(cid:21)(cid:184)𝑥 (cid:102)| +4|𝑥+−|2 |𝑥=−150(cid:73)≥(cid:62)𝑎 x(cid:32)(cid:31)(cid:84) 𝑎
(cid:15)(cid:69)(cid:70)6-2(cid:21)(cid:184)(cid:102) 𝑥 2(cid:73)(cid:62)|𝑥−2 | | +2|(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:84) A +
A
科
全
★
(cid:15)(cid:69)(cid:70)6-3(cid:21)(cid:72)| 𝑥≤|=2| 𝑥+−13|−+4𝑥(cid:73)(cid:62)x(cid:32)(cid:31)(cid:84) 众 号
公
注
关
，
【题型7 多绝对 𝑥− 值 12 之和的最 𝑥 小资值 源 】
辅
教
(cid:15)(cid:172)7(cid:21)(cid:63)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:249)(cid:250)(cid:262)(cid:261)·(cid:202)(cid:153)(cid:67)(cid:143) =| |(cid:73) =| |(cid:73) =| +12|(cid:73)(cid:66) + + (cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)
(cid:197) (cid:84) 𝑎 𝑥−3 𝑏 𝑥−1 𝑐 𝑥 3𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:69)(cid:70)7-1(cid:21)(cid:63)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:257)(cid:198)(cid:264)(cid:265)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:70)(cid:187) +100|+ + (cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:197) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)7-2(cid:21)(cid:203)(cid:130)(cid:227)(cid:176)(cid:151)(cid:156)(cid:22)(cid:10) |𝑥 |𝑥−2| |𝑥−5|
①(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:70)| +1|+| |(cid:152)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:138)(cid:73) (cid:32)(cid:152)(cid:31)(cid:119)(cid:120)(cid:197) (cid:73)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
②(cid:62)| |+𝑥| |+|𝑥−1|+ +| |𝑥(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)𝑥−7-13(cid:21)(cid:63)𝑥2−42-25(cid:173)𝑥(cid:174)−(cid:175)3 (cid:79)⋯·(cid:266)(cid:267)(cid:268)𝑥−(cid:269)24·(cid:202)(cid:153)(cid:67)(cid:143)(cid:108)(cid:42)(cid:25)a(cid:73)b(cid:73)c(cid:73)(cid:270)(cid:271) <0(cid:73) >0(cid:73)(cid:88)| |<| |<| |(cid:73)
2 2 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:66) | + |+ | |+| + |(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
3 3
𝑥 𝑎 𝑥−𝑏 𝑥 𝑐
【题型8 多绝对值之差的最大值】
(cid:15)(cid:172)8(cid:21)(cid:63)22-23(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:249)(cid:250)(cid:262)(cid:261)·(cid:202)(cid:153)(cid:67)(cid:72)| +1|+| |(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:272)(cid:91) (cid:73)| | | |(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:272)(cid:91)
(cid:73)(cid:66) = (cid:84) 𝑥 𝑥−1 𝑛 −𝑥−1 − 𝑥−1
𝑚
𝑚(cid:15)(cid:69)(cid:70)−8𝑛-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:273)·(cid:202)(cid:153)(cid:67)(cid:72)(cid:52) (cid:225) (cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:47)(cid:116)(cid:80)(cid:81)(cid:108)(cid:42)(cid:25) (cid:225)(cid:73)(cid:66) (cid:225) (cid:89)(cid:52)(cid:54)(cid:86)
𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:80)(cid:81)(cid:91) =
(cid:63)1(cid:67)(cid:72) 𝐴=𝐵2(cid:73)|(cid:168)𝑎−(cid:276)𝑏|(cid:32)(cid:25)x(cid:91) (cid:68)
(cid:63)2(cid:67)(cid:45)|(cid:46)𝑥−(cid:25)3(cid:78)| (cid:228)(cid:229)(cid:10)(cid:277)(cid:110)x(cid:32)(cid:31)(cid:73)(cid:100)(cid:70)(cid:187) + (cid:108)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:73)(cid:168)(cid:139)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:197) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)8-2(cid:21)(cid:63)22-23(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:257)(cid:198)(cid:194)(cid:258)·(cid:202)|(cid:153)𝑥 (cid:67)1||−|𝑥|−5|| |(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
(cid:15)(cid:69)(cid:70)8-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:198)(cid:199)(cid:87)(cid:278)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)𝑥−(cid:67)2(cid:137)−(cid:70)𝑥(cid:187)−5| | | +5|(cid:152)(cid:131)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:138)(cid:73)x(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:239)(cid:25)(cid:31)
(cid:197) (cid:84) 𝑥−3 − 𝑥
【题型9 绝对值和差的最值】
(cid:15)(cid:172)9(cid:21)(cid:63)22-23(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:257)(cid:198)(cid:279)(cid:219)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:70)(cid:187)| |+2| |+3| |+2| |+| |(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)
(cid:197) (cid:84) 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5
(cid:15)(cid:69)(cid:70)9-1(cid:21)(cid:62)| 1| | 2|+| | | |(cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31),(cid:109)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:138) (cid:32)(cid:152)(cid:31)(cid:119)(cid:120)
𝑥− − 𝑥− 𝑥−3 − 𝑥−4 1 𝑥3
(cid:15)(cid:69)(cid:70)9-2(cid:21)(cid:63)22-23(cid:205)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:216)(cid:217)(cid:283)(cid:284)·(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:67)(cid:184)(cid:102) (cid:68)(cid:73)(cid:66)| +1| | |+3| | | |(cid:32)
2 2
(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:91) (cid:84) − ≤𝑥≤ 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2
(cid:15)(cid:69)(cid:70)9-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:267)(cid:289)·(cid:202)(cid:153)(cid:67)1(cid:84)(cid:184)(cid:102)(cid:73)(cid:108)(cid:42)(cid:25) (cid:225)(cid:225)(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:32)
A
(cid:161)+(cid:162)(cid:185)(cid:186)(cid:107)(cid:81)(cid:73)
A
科
全
★
众 号𝑎 𝑏 𝑐
公
注
关
，
源
(cid:63)1(cid:67)(cid:127)(cid:128)(cid:10)| + | | 辅|资 +| + |= (cid:68)
教
(cid:63)2(cid:67)(cid:72) (cid:89)(cid:25)3𝑎(cid:32)(cid:290)𝑏(cid:25)−(cid:197)𝑐−(cid:291)2(cid:292)𝑎 (cid:285)(cid:293)𝑐(cid:73)(cid:137)2𝑏 (cid:32)(cid:119)(cid:120)(cid:197) (cid:138)(cid:73)| |+| |(cid:108)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:73)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:91) (cid:84)
𝑎,𝑐 𝑥 𝑥−𝑎 𝑥−𝑐
(cid:63)3(cid:67)(cid:110)(cid:63)2(cid:67)(cid:32)(cid:170)(cid:171)(cid:176)(cid:73)(cid:72)(cid:101)(cid:102)(cid:25) (cid:225)(cid:270)(cid:271) | |+| | | |+| | =6(cid:73)(cid:66) + (cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:197) (cid:84)
𝑥 𝑦 𝑥−𝑎 𝑥−3 𝑦−2 𝑦−𝑐 𝑥 2𝑦
【题型10 利用隐最值求最值】
(cid:15)(cid:172)10(cid:21)(cid:63)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:177)(cid:178)(cid:178)(cid:273)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:72)(cid:10) + +3|+ + +2|=8(cid:73)(cid:66) + (cid:32)(cid:56)(cid:57)
(cid:31)(cid:197) |𝑎−2| |𝑎 |𝑏−1| |𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:69)(cid:70)10-1(cid:21)(cid:63)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:79)·(cid:257)(cid:198)(cid:294)(cid:265)·(cid:196)(cid:53)(cid:191)(cid:192)(cid:67)(cid:184)(cid:102)a(cid:225)b(cid:91)(cid:239)(cid:25)(cid:73)| +2023| | |=0(cid:73)(cid:88) < (cid:73)
(cid:66)a(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:91) (cid:84) 𝑎 − 𝑏−2 𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:69)(cid:70)10-2(cid:21)(cid:295)(cid:292)(cid:102)(cid:296)(cid:73)|x|(cid:80)(cid:81)x(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:30)(cid:240)(cid:32)(cid:52)(cid:82)(cid:83)(cid:52)(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:73)(cid:295)(cid:292)(cid:155)(cid:243)(cid:297)(cid:28)(cid:298)|x-0|(cid:73)(cid:107)(cid:243)(cid:73)|x- 3|(cid:299)
(cid:80)(cid:81)x(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:30)(cid:240)(cid:32)(cid:52)(cid:82)3(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:73)|x1||x-(cid:63)-1(cid:67)|(cid:299)(cid:80)(cid:81)x(cid:110)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:30)(cid:240)(cid:32)(cid:52)(cid:82)-1(cid:32)(cid:76)(cid:77)(cid:73)(cid:300)(cid:79)(cid:222)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:130)(cid:227)(cid:176)(cid:151)(cid:156)(cid:22)(cid:10)
(1) (cid:137)|x-4||x2|(cid:108)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:138)(cid:73)x(cid:32)(cid:152)(cid:31)(cid:135)(cid:136)(cid:197) (cid:68)(2) |x-3||x2 ||x6|(cid:32)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:197) (cid:68)
(3) (cid:184)(cid:102)| x -1||x2 ||y-3||y4|10 (cid:62)2xy (cid:32)(cid:56)(cid:19)(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:31).
(cid:15)(cid:69)(cid:70)10-3(cid:21)(cid:63)23-24(cid:205)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:257)(cid:198)(cid:279)(cid:219)·(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:67)(cid:184)(cid:102) +2|+ = +1|(cid:73)(cid:66) (cid:32)
(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:91) (cid:84) |𝑥 |𝑥−1| 8−|𝑦−4|−|𝑦 2𝑥−3𝑦
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教