文档文本内容
专题 21.1 二次根式（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
题型归纳
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:21)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 =| |(cid:21)...............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 ( 2) = ( 0)(cid:21)..................................................................................................................................9
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:41)(cid:42)(cid:43)2 (cid:44)(cid:21)..............................................................................................................................................12
𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:21)..............................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:21)..............................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:27)(cid:21)..............................................................................................................................................18
举一反三
知识点1 二次根式的概念
1.(cid:53)(cid:33)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:63) (cid:64)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)“ ”(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:9)(cid:57)a(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)
𝑎 𝒂≥𝟎
2.(cid:73)(cid:74)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:63)1(cid:64)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:9)“ ”(cid:83)(cid:63)2(cid:64)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:71)(cid:85)(cid:86)(cid:84)(cid:71)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:86)(cid:84)(cid:50)(cid:31)(cid:87)(cid:89)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:64)(cid:72)
知识点2 二次根式有无意义的条件
当 0时，二次根式 有意义；
当 <0(cid:78)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 无意义．
𝑎≥ 𝑎
(cid:90)(cid:62)𝑎(cid:10)(cid:91)(cid:92) + +1=𝑎( +1) 0(cid:57)(cid:93)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) + +1(cid:94)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:72)
2 2 2
知识点3 二 𝑥 次根 2𝑥 式的性质 𝑥 ≥ 𝑥 2𝑥
被开方数 0(cid:57)
1.(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:95)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:10)
二次根式 0．
𝑎≥
𝑎
2.( ) = （ 0）(cid:57)(cid:96)(cid:54)(cid:82)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:97)(cid:98) 𝑎 (cid:99) ≥ (cid:70)(cid:26)(cid:28)(cid:99)(cid:70)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:57)(cid:62)( 5) =5(cid:72)
2
2
𝑎 𝑎 𝑎≥ 0)(cid:57)
3. =| |= <0)(cid:57) (cid:96)(cid:54)(cid:82)(cid:105)(cid:32)(cid:106)(cid:71)(cid:28)(cid:99)(cid:70)(cid:28)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:70)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:28)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:72)
2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 −𝑎(𝑎(cid:62) (±11) =|±11|=11(cid:72)
2
(cid:73)(cid:74)(cid:10)( ) ( 0)(cid:109) (cid:28)(cid:110)(cid:111)
2 2
𝑎 𝑎≥ 𝑎
0)
运算结果 ( ) = =
<0)
2 2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 𝑎
−𝑎(𝑎
a的取值 0 任意实数
𝑎≥ (cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:26)(cid:9)(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
用来去根号，化简二次根式；
(cid:115)(cid:26)(cid:9)(cid:116)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:91)(cid:27)(cid:99)(cid:70)(cid:117)(cid:118)(cid:119)
作用 可用 =( ) 将任意一个非负实数 ①
① (cid:26)(cid:9)(cid:120). (cid:90)(cid:62)(cid:10)(cid:121) 0,(cid:122) 2 =
写成一个数的平方2 的形式 ②
② 𝑎 𝑎
2𝑎≥ 𝑎
2
【题型1 二次根式的概念】 𝑎
(cid:15)(cid:90)1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:131)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:135)(cid:27)(cid:54)(cid:53)(cid:136)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
A(cid:72) B(cid:72) C(cid:72) | |+1 D(cid:72)
2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)−C4 𝑥 𝑥 𝑥 −1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:143)(cid:111)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
(cid:26)(cid:149)(cid:61)(cid:62) ( 0)(cid:57)(cid:150)(cid:151)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)𝑎(cid:10)𝑎A≥(cid:159)(cid:91)(cid:92) <0(cid:57)(cid:122) (cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
B(cid:159)(cid:166) <0(cid:78)(cid:57)(cid:122) (cid:160)−(cid:32)4(cid:33)(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)−(cid:25)4 (cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
𝑥 𝑥
C(cid:159)(cid:91)(cid:92)| |+1 1>0(cid:57)(cid:162) | |+1(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
D(cid:159)(cid:166) 𝑥 < < ≥ 1(cid:78)(cid:57)(cid:122) 𝑥 <0(cid:57) (cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
2 2
(cid:162)(cid:164)(cid:10)−C1(cid:72) 𝑥 𝑥 −1 𝑥 −1
(cid:15)(cid:167)(cid:27)1-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:168)(cid:17)(cid:169)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:135)(cid:27)(cid:54)(cid:53)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
A(cid:72)3 5 B(cid:72) C(cid:72) 6 D(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)C −3 𝑎
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:57)(cid:166) 0(cid:78)(cid:57) (cid:176)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:147)(cid:177)(cid:103)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:72) 𝑎≥ 𝑎
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)A(cid:164)(cid:153)(cid:10)3 5(cid:84)(cid:178)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)A(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
B(cid:164)(cid:153)(cid:10) (cid:172)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71) <0(cid:57)(cid:93)(cid:86) (cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:162)B(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
C(cid:164)(cid:153)(cid:10) −6(cid:165)3(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)−(cid:28)3(cid:53)(cid:33)(cid:57)(cid:162)C(cid:164)−(cid:153)3 (cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)D(cid:164)(cid:153)(cid:10) (cid:172)(cid:166) <0(cid:78)(cid:57) (cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)D(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:72)
(cid:162)(cid:164)(cid:10)C(cid:72)𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:167)(cid:27)1-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:54)(cid:53)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
A(cid:72) +1 B(cid:72) C(cid:72) 3 D(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)𝑥C 3−π −1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:84)(cid:147)(cid:137)(cid:103)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:152)(cid:153)(cid:156)(cid:157)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)A(cid:159)(cid:161)(cid:182)(cid:183)(cid:53) +1(cid:28)(cid:184)(cid:39)(cid:57)(cid:162)A(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
B(cid:159) <0(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:185)(cid:31)𝑥(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:162)B(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
C(cid:159)3−3(cid:84)π (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:162)C(cid:164)(cid:153)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
D(cid:159) <0(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:185)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:162)D(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
(cid:162)(cid:164)−(cid:10)1C(cid:72)
(cid:15)(cid:167)(cid:27)1-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:168)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:131)(cid:22)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:126)(cid:134)(cid:135)(cid:27)(cid:172)(cid:57)(cid:189)(cid:190)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:191)(cid:189)(cid:190)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:191)(cid:192)
(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:72)
(cid:63)1(cid:64) 8 (cid:83)(cid:63)2(cid:64) (cid:83)(cid:63)3(cid:64) +1 (cid:83)(cid:63)4(cid:64)3 (cid:83)(cid:63)5(cid:64) + +4 (cid:83)
2 2
−15 𝑎 1 −8 𝑥 4𝑥
(cid:63)6(cid:64) 3 | | (cid:83)(cid:63)7(cid:64) 1+ < (cid:72)
4
𝑚 4𝑥 𝑥 −
1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 8(cid:57) +1(cid:57) + +4(cid:57)3 (cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83) (cid:57)(cid:64)3 (cid:57) 1+ < (cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
4
2 2
(cid:27)(cid:72) 𝑎 𝑥 4𝑥 |𝑚| −15 −8 4𝑥 𝑥 −
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:152)(cid:54)(cid:197)(cid:198)(cid:96)(cid:85)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:184)(cid:183)(cid:195)(cid:147)(cid:79)(cid:80)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:178)(cid:82)(cid:10) (cid:50)(cid:31)(cid:26)(cid:9)(cid:83) (cid:26)(cid:199)(cid:71)(cid:84)2(cid:83) (cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:57)(cid:178)(cid:82)(cid:34)(cid:35)(cid:200)(cid:54)(cid:161)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:63)1(cid:64) 8(cid:84)①(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83) ② ③
(cid:63)2(cid:64) (cid:172) <0(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
(cid:63)3(cid:64) −1+5 1(cid:172)−15 +1>0(cid:57)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
2 2
(cid:63)4(cid:64)3 𝑎 (cid:201)(cid:70)(cid:26)𝑎(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
(cid:63)5(cid:64) −8+ +4(cid:172) + +4=( +2) 0(cid:57)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
2 2 2
𝑥 4𝑥 𝑥 4𝑥 𝑥 ≥
(cid:63)6(cid:64)3 | |(cid:172)| | 0(cid:57)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
𝑚 𝑚 ≥
1
(cid:63)7(cid:64) 1+ < (cid:172)1+ <0(cid:57)(cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
4
4𝑥 𝑥 − 4𝑥1
8(cid:57) a +1(cid:57) x +4x+4(cid:57)3 |m|(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83) (cid:57)3 (cid:57) 1+4x x< (cid:161)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
4
2 2
∴ −15 −8 −
【题型2 二次根式有意义的条件】
(cid:15)(cid:90)2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:202)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:204)(cid:205)(cid:180)(cid:206)(cid:207)(cid:180)·(cid:69)(cid:11)(cid:141)(cid:208)(cid:64)(cid:121)(cid:27)(cid:65) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:122)(cid:106)(cid:71)(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84) (cid:72)
| |
𝑥−1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 1(cid:212) 2 𝑥−2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)𝑥(cid:103)≥(cid:22)(cid:141)(cid:142)𝑥(cid:175)≠(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:86)(cid:213)(cid:139)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:145)(cid:146)(cid:214)(cid:3)(cid:215)(cid:143)(cid:216)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:3)(cid:148)(cid:72)(cid:26)(cid:149)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:19)(cid:101)(cid:100)(cid:101)0(cid:57)(cid:217)(cid:119) 0(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:139)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:89)(cid:161)(cid:92)0(cid:57)(cid:217)(cid:119)| | 0(cid:57)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
𝑥−1≥ 𝑥 −2≠
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) (cid:27)(cid:65) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)
| |
𝑥−1
0(cid:57)| ∵ | 𝑥 0 −(cid:57)2
∴𝑥−11≥(cid:57)(cid:212) 𝑥 −22(cid:57)≠
(cid:162)∴(cid:137)𝑥≥(cid:138)(cid:92)(cid:10) 𝑥≠1(cid:212) 2
(cid:15)(cid:167)(cid:27)2-1(cid:21)𝑥(cid:63)≥24-25𝑥(cid:123)≠(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:218)(cid:17)(cid:219)(cid:220)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 2025+ (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:122)(cid:106)(cid:71)x(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84) (cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 𝑥
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)𝑥(cid:103)≥(cid:22)−(cid:141)2(cid:142)02(cid:175)5(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:61)(cid:62) ( 0)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:172)(cid:28)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:75)
(cid:76)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:57)(cid:221)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:72)(cid:26)(cid:149)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:84)𝑎(cid:38)𝑎(cid:39)≥(cid:71)(cid:134)(cid:27)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 2025+ (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)
2025+ 0∵(cid:57) 𝑥
∴ 𝑥≥(cid:72)
(cid:162)∴𝑥(cid:137)≥(cid:138)−(cid:92)20(cid:10)25 (cid:72)
𝑥≥−2025
(cid:15)(cid:167)(cid:27)2-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:168)(cid:17)(cid:180)(cid:222)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:172)(cid:87)(cid:89)x(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84) (cid:72)
𝑥−1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 1 𝑥
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)𝑥≥(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:139)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)(cid:26)
(cid:149)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:57)(cid:139)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:225)(cid:97)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)
𝑥−1
0(cid:212) ∵ 0(cid:57) 𝑥
∴(cid:147)𝑥(cid:217)−1≥ 1(cid:72)𝑥≠
(cid:162)(cid:137)𝑥(cid:138)≥(cid:92)(cid:10) 1(cid:72)
𝑥≥ 2
(cid:15)(cid:167)(cid:27)2-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:203)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:166) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:57) (cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84) (cid:72)
3
𝑥− 𝑥(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 0(cid:212) 3
𝑥≥ 𝑥≠ 2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:139)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:26)(cid:149) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:57)(cid:85)(cid:217) 3 0(cid:57)(cid:212)
3
0(cid:57)(cid:149)(cid:163)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:72) 𝑥− 𝑥− ≠
𝑥≥ 2
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:57)
3
3 0(cid:57) ∵ (cid:212)𝑥− 0(cid:57)
∴ 𝑥−3(cid:57)(cid:212)≠ 0(cid:57)𝑥≥
∴(cid:162)𝑥(cid:137)≠(cid:138)(cid:92) 𝑥≥0(cid:212) 3(cid:72)
【题型3 𝑥 二 ≥ 次根 𝑥 式 ≠ 的双重非负性】
(cid:15)(cid:90)3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:179)(cid:180)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215)(cid:108)(cid:93)(cid:31)(cid:106)(cid:71) (cid:57)(cid:79)(cid:80) | +1|+ 3 = | | (cid:57)(cid:122)
2
(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:48)(cid:92) (cid:72) 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑚− 𝑥−2 𝑚
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)3
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)
3
(cid:233)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:85)(cid:217) (cid:57)(cid:234)(cid:139)(cid:81)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:96)(cid:85)(cid:217)(cid:240)(cid:137)(cid:138)(cid:72)
2
𝑥≥
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:26)(cid:149)(cid:22)(cid:32)(cid:57)(cid:217) 3 0(cid:57)
2
𝑥− ≥
3
(cid:147)(cid:217) (cid:72)
2
𝑥≥
(cid:166) 3 <2(cid:78)(cid:57) = +1+ 3 + = 3 +3(cid:57)
2 2 2
≤𝑥 𝑚 𝑥 𝑥− 2−𝑥 𝑥−
3 0(cid:57)
2
∵ 𝑥− ≥
3(cid:83)
∴ (cid:166) 𝑚≥ 2(cid:78)(cid:57) = +1+ 3 + = 3 + (cid:57)
2 2
𝑥≥ 𝑚 𝑥 𝑥− 𝑥−2 𝑥− 2𝑥−1
3 + =3+ 2 (cid:72)
2 2
∴(cid:241)𝑚(cid:203)≥(cid:93)(cid:242) 2 (cid:57) − m(cid:28)4−(cid:230)1(cid:231)(cid:48)(cid:92)3(cid:72)
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10)3(cid:72)
(cid:15)(cid:167)(cid:27)3-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215)(cid:106)(cid:71)x(cid:57)y(cid:79)(cid:80) = + +2 (cid:57)(cid:122)( )
2025
(cid:28)(cid:48)(cid:92) (cid:72) 𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑦−𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)
−1(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:159)(cid:147)(cid:54)(cid:247)(cid:54)(cid:25)(cid:161)(cid:100)(cid:27)(cid:248)(cid:159)(cid:249)(cid:71)(cid:27)(cid:28)(cid:47)(cid:48)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
0
(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:217)(cid:119) (cid:57)(cid:147)(cid:240) (cid:28)(cid:48)(cid:57)(cid:154)(cid:250)(cid:47)(cid:240) (cid:28)(cid:48)(cid:57)(cid:234)(cid:249)(cid:251)(cid:249)
0
𝑥−3≥
(cid:71)(cid:27)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:72) 3−𝑥≥ 𝑥 𝑦
0
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:217)(cid:57) (cid:57)
0
𝑥−3≥
(cid:147)(cid:217)(cid:10) =3(cid:57) 3−𝑥≥
= 𝑥 + +2=2(cid:57)
∴𝑦( )𝑥−3 =(3−𝑥) =( ) = (cid:72)
2025 2025 2025
(cid:162)∴(cid:137)𝑦−(cid:138)𝑥(cid:92)(cid:10) (cid:72)2−3 −1 −1
−1
(cid:15)(cid:167)(cid:27)3-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:171)(cid:256)(cid:64)(cid:121)a(cid:57)b(cid:92)(cid:106)(cid:71)(cid:57)(cid:212)(cid:79)(cid:80) + +3) =0(cid:57)(cid:122) (cid:99)
2
(cid:70)(cid:26)(cid:84) (cid:72) |𝑎−5| (𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)± 8
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:134)(cid:240)(cid:70)(cid:257)(cid:47)(cid:240)a(cid:159)b(cid:28)(cid:48)(cid:57)(cid:249)(cid:251)(cid:93)(cid:47)(cid:249)(cid:71)(cid:27)(cid:225)(cid:97)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) + +3) =0(cid:57)
2
=0(cid:57) ∵ + |𝑎 3 − = 5| 0(cid:57) (𝑏
∴𝑎−=55(cid:57) =𝑏 (cid:57)
∴(cid:122)𝑎 =𝑏 (−3)=8(cid:57)
𝑎−(cid:99)𝑏(cid:70)(cid:26)5−(cid:92)−±3 8(cid:72)
𝑎(cid:162)−(cid:137)𝑏(cid:138)(cid:92)(cid:10)± 8(cid:72)
(cid:15)(cid:167)(cid:27)3-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:259)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215)(cid:106)(cid:71)x(cid:79)(cid:80) 2012 + + = (cid:57)
2 2
(cid:122) 2012 = (cid:72) −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥
2
(cid:15)𝑥(cid:137)−(cid:138)(cid:21)2013
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:135)(cid:215)(cid:143)(cid:216)(cid:84)(cid:147)(cid:137)(cid:103)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)(cid:233)
(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:240)x(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:57)(cid:234)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:45)(cid:46)(cid:217) =2012(cid:57)(cid:260)(cid:117)(cid:81)(cid:261)
(cid:99)(cid:70)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:72) 𝑥−2013
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) 0(cid:57)
2013(cid:57) ∵𝑥−2013≥
∴𝑥≥>2012(cid:72)
∴𝑥2012 + + = (cid:57)
2 2
∵ −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥( ) + = (cid:57)
2
∴ 2012−𝑥 𝑥−2013 𝑥
| |+ = (cid:57)
∴ 2012−𝑥+ 𝑥−2013= (cid:57)𝑥
∴𝑥−2012 =𝑥2−01220(cid:57)13 𝑥
∴(cid:96)𝑥−2013=2012 (cid:57)
2
(cid:162)𝑥−22001132 =2013(cid:72)
2
(cid:162)(cid:137)𝑥−(cid:138)(cid:92)(cid:10)2013(cid:72)
【题型4 =| |】
𝟐
𝒂 𝒂
(cid:15)(cid:90)4(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:253)(cid:262)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:121)(cid:45)(cid:46)| | + +16(cid:28)(cid:263)(cid:264)(cid:92) (cid:57)(cid:122) (cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)
2
(cid:84)(cid:63)(cid:265)(cid:265)(cid:64) 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3 𝑥
A(cid:72) =0 B(cid:72) 1 C(cid:72) 1 D(cid:72) 4
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)𝑥 A 𝑥≤ 𝑥≥ 𝑥≤
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:159)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:100)(cid:215)(cid:143)(cid:216)(cid:57)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:86)(cid:213)(cid:139)(cid:266)(cid:238)(cid:239)(cid:267)(cid:268)(cid:129)(cid:92)
(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
(cid:233)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:85)(cid:217)| | | +4|= (cid:57)(cid:260)(cid:117)(cid:139)(cid:127)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:139)(cid:111)(cid:114)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) | | +1−𝑥+−16𝑥= (cid:57)−3
2
∵ 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3
| | ( +4) = (cid:57)(cid:96)| | | +4|= (cid:57)
2
∴(cid:166)1−𝑥 − 0(cid:57) 𝑥 +4 0 −(cid:57)3(cid:96) 4 1−𝑥 − 𝑥 1(cid:78)(cid:57)(cid:122) −3 = (cid:57)(cid:147)(cid:217)(cid:10) =0(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
(cid:166)1−𝑥≥0(cid:57)𝑥+4≥0(cid:57)(cid:96)− ≤𝑥(cid:78)≤(cid:57)(cid:122) 1−𝑥(−𝑥+−44) =−3 (cid:57)(cid:70)(cid:257)(cid:160)𝑥 (cid:147)(cid:57)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
(cid:166)1−𝑥≥0(cid:57)𝑥+4≤0(cid:57)(cid:96)𝑥≤−1(cid:78)4(cid:57)(cid:122) 1−𝑥− −=𝑥 (cid:57)(cid:70)(cid:257)−3(cid:160)(cid:147)(cid:57)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
(cid:166)1−𝑥≤0(cid:57)𝑥+4≥0(cid:57)(cid:96)𝑥≥ 𝑥(cid:57)−1(cid:122)−𝑥−4+ −+34= (cid:57)(cid:147)(cid:217)(cid:10) = (cid:57)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:72)
(cid:241)1(cid:203)−(cid:57)𝑥≤=0(cid:72)𝑥 ≤ 𝑥≥1,𝑥≤−4 𝑥−1 𝑥 −3 𝑥 −3
(cid:162)(cid:164)A(cid:72)𝑥
(cid:15)(cid:167)(cid:27)4-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:252)(cid:269)(cid:270)(cid:271)·(cid:171)(cid:256)(cid:64)(cid:229)(cid:215)1< <2(cid:57)(cid:45)(cid:46) +1+ +4 = (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)1 𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥 −4𝑥
( 0)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:145)(cid:146) = ( >0) (cid:129)(cid:92)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
2 −𝑎 𝑎≤
(cid:233)(cid:272)(cid:112)(cid:273)(cid:274)(cid:99)(cid:70)(cid:7)(cid:27)(cid:108)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:91)(cid:27)(cid:139)(cid:147)(cid:57)(cid:260)(cid:117)(cid:234)𝑎(cid:26)(cid:149)(cid:24)𝑎(cid:25)𝑎(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:45)(cid:46)(cid:96)(cid:85)(cid:147)(cid:137)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) 1< <2(cid:57)
∵ 𝑥> <0(cid:57)
∴𝑥−1 0,𝑥−2
+1+ +4= ( ) + ( ) = + =1(cid:72)
2 2 2 2
∴(cid:162)(cid:137)𝑥(cid:138)−(cid:92)2𝑥(cid:10)1(cid:72) 𝑥 −4𝑥 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−1 2−𝑥
(cid:15)(cid:167)(cid:27)4-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:180)(cid:186)(cid:275)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:272)(cid:112)(cid:139)(cid:266)(cid:238)(cid:239)(cid:28)(cid:70)(cid:276)(cid:57)(cid:192)(cid:277)(cid:147)(cid:137)(cid:126)(cid:134)(cid:278)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:166)3 7(cid:78)(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:10) ( ) + ( ) =______(cid:83)
2 2
≤𝑎≤ 𝑎−3 7−𝑎
(2)(cid:121)(cid:100)(cid:27) ( ) ( +9) =14(cid:129)(cid:201)(cid:57)(cid:122)a(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84)______(cid:83)
2 2
𝑎−5 − 𝑎
(3)(cid:121) ( +1) + ( ) =8(cid:57)(cid:47)a(cid:28)(cid:48)(cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 𝑎 (1)4 𝑎−5
(2)
(3)𝑎≤=−9(cid:279) =6
(cid:15)(cid:139)𝑎(cid:140)(cid:21)−2(cid:103)(cid:22)𝑎(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:86)(cid:213)(cid:139)(cid:266)(cid:238)(cid:239)(cid:28)(cid:267)(cid:268)(cid:57)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:10)
(cid:63)1(cid:64)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:263)(cid:52) (cid:28)(cid:210)(cid:211)(cid:57)(cid:154)(cid:155)(cid:45)(cid:46)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)2(cid:64)(cid:139) (cid:57) < <5(cid:109) 𝑎 5(cid:178)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:154)(cid:155)(cid:238)(cid:239)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)3(cid:64)(cid:139)𝑎≤<−9(cid:57)−9 𝑎 5(cid:109)𝑎≥>5(cid:178)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:154)(cid:155)(cid:238)(cid:239)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)𝑎(cid:63)1−(cid:64)1(cid:147)(cid:10)−13≤𝑎≤ 7(cid:57)𝑎
∵ ≤𝑎≤
( ) + ( ) =| |+| |
2 2
∴ 𝑎−3 7−𝑎 𝑎−3 7−𝑎
= +
=𝑎4−(cid:83)3 7−𝑎
(cid:63)2(cid:64) ( ) ( +9) =| | | +9|(cid:57)
2 2
(cid:166) 𝑎 (cid:78) −5 (cid:57)(cid:203)−(cid:27)𝑎 = + 𝑎 + − 9 5 = − 1 𝑎 4(cid:83)
(cid:166)𝑎≤<−9<5(cid:78)(cid:57)(cid:203)(cid:27)5−=𝑎 𝑎 = (cid:57)
−9< 𝑎<5(cid:57) 5−𝑎−𝑎−9 −2𝑎−4
∵−9 <𝑎 <14(cid:57)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
(cid:166)∴−14 5(cid:78)−(cid:57)2𝑎(cid:203)−4(cid:27)= = (cid:57)(cid:161)(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:83)
a𝑎(cid:28)≥(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84) 𝑎−5(cid:83)−𝑎−9 −14
∴ 𝑎≤−9
(cid:63)3(cid:64) ( +1) + ( ) =| +1|+| |
2 2
(cid:166) < 𝑎 (cid:78)(cid:57)| +1| 𝑎 + − | 5 |= 𝑎 𝑎 + −5 5=8(cid:57)(cid:147)(cid:217)(cid:10) = (cid:83)
𝑎 −1 𝑎 𝑎−5 −𝑎−1−𝑎 𝑎 −2(cid:166) 5(cid:78)(cid:57)| +1|+| |= + +5=6 8(cid:57)
(cid:166)−1>≤5(cid:78)𝑎(cid:57)≤| +1|𝑎+| |=𝑎−5+1+𝑎 1−=𝑎 8(cid:57)(cid:147)(cid:217)≠(cid:10) =6(cid:83)
(cid:241)𝑎(cid:203)(cid:10) = 𝑎(cid:279) =6(cid:72)𝑎−5 𝑎 𝑎−5 𝑎
(cid:15)(cid:167)(cid:27)𝑎4-3(cid:21)−(cid:63)2 24𝑎-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:259)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:280) = 2021 ×2022(cid:57) =
2
2021 ×2022+2022 (cid:57)(cid:122) (cid:281) (cid:28)(cid:3)(cid:282)(cid:92)(cid:63) 𝑀 (cid:64) −2020 𝑁
2 2
A(cid:72)−4>042 B(cid:72) < 𝑀 𝑁 C(cid:72) = D(cid:72) =±
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)𝑀C 𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:115)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:283)(cid:112)(cid:99)(cid:70)(cid:284)(cid:7)(cid:27)(cid:109)(cid:273)(cid:274)(cid:99)(cid:70)(cid:7)(cid:27)(cid:225)(cid:97)(cid:159)(cid:45)(cid:46)(cid:85)(cid:217)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) = 2021 ×2022(cid:57)
2
∵𝑀 −2020
= 2021 ( )(2021+1)(cid:57)
2
− 2021−1
= 2021 2021 +1(cid:57)
2 2
−
=1(cid:57)
= 2021 ×2022+2022 (cid:57)
2 2
𝑁= 2021 −×42004221×2022+2022 (cid:57)
2 2
−2
= ( ) (cid:57)
2
2021−2022
=1(cid:57)
M=N(cid:57)
(cid:162)∴ (cid:164)C(cid:72)
(cid:15)(cid:216)(cid:285)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:281)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:99)(cid:70)(cid:284)(cid:7)(cid:27)(cid:109)(cid:273)(cid:274)(cid:99)(cid:70)(cid:7)(cid:27)(cid:213)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:72)
【题型5 ( ) = ( )】
𝟐
𝐚 𝒂 𝒂≥𝟎
(cid:15)(cid:90)5(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:179)(cid:180)(cid:286)(cid:16)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215) (cid:28)(cid:178)(cid:261)(cid:287) (cid:159) (cid:159) (cid:79)(cid:80) + =3
+3 1 (cid:57)(cid:47) (cid:28)(cid:288)(cid:287)(cid:72) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2
2
𝑐 − 𝑐−8 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)14
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:289)(cid:290)(cid:22)(cid:291)(cid:6)(cid:292)(cid:57)(cid:195)(cid:147)“(cid:273)(cid:293)(cid:71)”(cid:28)(cid:53)(cid:33)(cid:294)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:273)(cid:274)
(cid:99)(cid:70)(cid:7)(cid:27)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
(cid:283)(cid:112)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:72)(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) + =3 +3 1 (cid:57)
2
∵𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2 𝑐 − 𝑐−8
( +( + 1 ( +3 =0(cid:57)
2
2 2 2
∴ 𝑎−1−1) 𝑏−2−2) 𝑐 −3)
=0(cid:57) =0(cid:57) +3 =0(cid:57)
∴ 𝑎=−21(cid:57)−1 =6(cid:57) 𝑏=−62(cid:57)−2 𝑐 −3
∴𝑎+ +𝑏=14(cid:72)𝑐
∴𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:167)(cid:27)5-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:295)(cid:296)(cid:109)(cid:99)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:121)1(cid:57) (cid:57)3(cid:84)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:28)(cid:178)(cid:261)(cid:287)(cid:57)(cid:45)(cid:46)( ) +16
2
2
= (cid:72) 𝑎 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)2(cid:103)𝑎(cid:22)−6(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:282)(cid:47)(cid:240) (cid:28)(cid:210)(cid:211)(cid:57)(cid:234)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:109)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:28)
(cid:40)(cid:232)(cid:154)(cid:155)(cid:45)(cid:46)(cid:96)(cid:85)(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:282)(cid:183)(cid:53)(cid:240) (cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)𝑎(cid:3)(cid:148)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) 1(cid:57) (cid:57)3(cid:84)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:28)(cid:178)(cid:261)(cid:287)(cid:57) 𝑎
< <1∵+3(cid:57)𝑎
(cid:96)∴23−<1 <𝑎4(cid:57)
𝑎
( ) +16=
2
2 2 2
∴ 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎 (𝑎−2) − (𝑎−4)
=| | | |
= 𝑎−2 −( 𝑎−4)
=𝑎−2− 4+−𝑎
=𝑎−2−(cid:57)4 𝑎
(cid:162)(cid:137)2(cid:138)𝑎−(cid:92)6(cid:10) (cid:72)
(cid:15)(cid:167)(cid:27)5-2(cid:21)
2𝑎
（
−6
24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:301)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:302)(cid:303)(cid:278)(cid:22)(cid:172)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:147)(cid:137)(cid:126)(cid:134)(cid:278)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:229)(cid:215) ( ) = (cid:57)(cid:47) (cid:28)(cid:48)(cid:83)
2
2
(2)(cid:229)(cid:215)a(cid:57) (𝑥− b 3 (cid:84) ) (cid:106)−(cid:71)(cid:57)2−(cid:212)𝑥 > 2𝑥 𝑥 +1(cid:57)(cid:45)(cid:46) + (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)(1) = 1 𝑏 𝑎−2−2 2−𝑎 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎
2
𝑥
(2)
(cid:15)(cid:139)𝑏−(cid:140)3(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:213)(cid:283)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:302)(cid:303)(cid:240)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:72)
(cid:63)1(cid:64)(cid:196)(cid:26)(cid:9)(cid:120)(cid:28)(cid:71)(cid:149)(cid:19)(cid:101)(cid:100)(cid:101)0(cid:57)(cid:217) 0(cid:57)(cid:57)(cid:147)(cid:217) 2(cid:57)(cid:234)(cid:26)(cid:149) ( ) = (cid:57)(cid:114)(cid:26)(cid:9)(cid:57)
2
2
2−𝑥≥ 𝑥≤ (𝑥−3) − 2−𝑥 2𝑥(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)2(cid:64)(cid:196)(cid:26)(cid:9)(cid:120)(cid:28)(cid:71)(cid:149)(cid:19)(cid:101)(cid:100)(cid:101)0(cid:57)(cid:217) 0(cid:57)(cid:212) 0(cid:57)(cid:147)(cid:217) =2(cid:57)(cid:115) (cid:28)(cid:48)(cid:249)(cid:251)(cid:27)(cid:65)
+1(cid:57)(cid:217) (cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:57)(cid:234)(cid:108) +𝑎−2≥ (cid:154)(cid:155)(cid:114)2−(cid:26)𝑎(cid:9)≥(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:96)𝑎(cid:85)(cid:72) 𝑎 𝑎−2−2 2−𝑎
2 2
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)𝑏(cid:63)1(cid:64)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:57)(cid:217)1−2𝑏 𝑏0(cid:57)− 𝑎
2(cid:57) 2−𝑥≥
∴𝑥≤ <0(cid:57)
∴𝑥−3
( ) =| | = + =
2
2
∴ 1 ( = 𝑥−3(cid:57)) − 2−𝑥 𝑥−3 −(2−𝑥) 3−𝑥−2 𝑥 2𝑥
∴ 21𝑥
(cid:147)(cid:217) = (cid:72)
2
(cid:63)2(cid:64)𝑥(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:57)(cid:217) 0(cid:57)(cid:212) 0(cid:57)
2(cid:212) 2(cid:57) 𝑎−2≥ 2−𝑎≥
∴ 𝑎=≥2(cid:57) 𝑎≤
∴𝑎 > +1(cid:57) +1= +1=1(cid:57)
∵ 𝑏>1(cid:57)𝑎−2−2>20−(cid:57)𝑎 𝑎−2−2 2−𝑎 2−2−2 2−2
∴ 𝑏 𝑏−1
+ = =| | = = (cid:72)
2 2 2 2
∴ 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎 (1−𝑏) − 𝑎 1−𝑏 −2 𝑏−1−2 𝑏−3
(cid:15)(cid:167)(cid:27)5-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:127)(cid:128)(cid:304)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:229)(cid:215) + + =2 +4 +6 +3 (cid:57)(cid:47)a(cid:159)b(cid:159)c
(cid:28)(cid:48)(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2 𝑏−1 𝑐 −14
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) = = =6
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)𝑎 (cid:22)3(cid:173),𝑏(cid:174)(cid:141)5(cid:142),𝑐 (cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:232)(cid:72)
(cid:26)(cid:149) + + =2 +4 +6 +3 (cid:57)(cid:217)(cid:240)( ) + +( +3 ) =0(cid:57)(cid:96)(cid:85)
2 2 2
(cid:217)(cid:240)𝑎 𝑏=1𝑐(cid:57) 𝑎=−24(cid:57) +𝑏−31=9(cid:57)(cid:47)𝑐 (cid:240)(cid:263)−1(cid:264)4(cid:96)(cid:85)(cid:72) 𝑎−2−1 𝑏−1−2 𝑐 −3
(cid:15)(cid:158)𝑎(cid:147)−(cid:21)2(cid:147)(cid:10) 𝑏−+1 + =𝑐2 +4 +6 +3 (cid:57)
+ + ∵𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2+3+𝑏1−41=0(cid:57)𝑐 −14
∴𝑎 𝑏 𝑐−2 𝑎+−12+−4 𝑏−1−6 𝑐+4+ + +3+9=0(cid:57)
∴𝑎−2−2 𝑎−2 𝑏−1−4 𝑏−1 𝑐 3−6 𝑐
( ) + +( +3 ) =0(cid:57)
2 2 2
∴ 𝑎−2−1 =0(cid:57) 𝑏−1−2 =0(cid:57) 𝑐 +3 −3 =0(cid:57)
∴ 𝑎−2=−11(cid:57) =𝑏−4(cid:57)1−2+3=9(cid:57)𝑐 −3
∴𝑎−2 𝑏−1 𝑐(cid:147)(cid:217)(cid:10) =3(cid:57) =5(cid:57) =6(cid:72)
【题型
𝑎6
规律
𝑏
探究】
𝑐
(cid:15)(cid:90)6(cid:21)(cid:63)24-25(cid:305)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:306)(cid:253)(cid:307)(cid:308)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:62)(cid:309)(cid:84)(cid:54)(cid:82)(cid:310)(cid:311)(cid:235)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:134)(cid:28)(cid:71)(cid:312)(cid:10)(cid:26)(cid:149)(cid:71)(cid:312)(cid:197)(cid:134)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:57)
(cid:313) (cid:63) (cid:84)(cid:314)(cid:71)(cid:57)(cid:212) 4(cid:64)(cid:155)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:71)(cid:313)( )(cid:82)(cid:71)(cid:84)(cid:63)(cid:112)(cid:50) (cid:28)(cid:249)(cid:71)(cid:27)(cid:319)(cid:320)(cid:64)(cid:63) (cid:64)
𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛−4 𝑛
A(cid:72) B(cid:72) C(cid:72) D(cid:72)
2 2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)𝑛A−4 𝑛 −2 𝑛 −3 𝑛−4
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:213)(cid:71)(cid:87)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:213)(cid:71)(cid:87)(cid:41)(cid:42)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:83)
(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:321)(cid:217)(cid:322)(cid:54)(cid:155)(cid:28)(cid:230)(cid:117)(cid:54)(cid:82)(cid:71)(cid:87)(cid:84) ( +1)(cid:57)(cid:212)(cid:322)(cid:54)(cid:155)(cid:31) (cid:82)(cid:71)(cid:87)(cid:57)(cid:196)(cid:163)(cid:278)(cid:22)(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:72)
𝑛 𝑛 2𝑛
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:71)(cid:312)(cid:85)(cid:215)(cid:10)(cid:322)(cid:54)(cid:155)(cid:28)(cid:230)(cid:117)(cid:54)(cid:82)(cid:71)(cid:87)(cid:84) ( +1)(cid:57)(cid:212)(cid:322)(cid:54)(cid:155)(cid:31) (cid:82)(cid:71)(cid:87)(cid:57)
𝑛 𝑛 2𝑛
(cid:313) (cid:63) (cid:84)(cid:314)(cid:71)(cid:57)(cid:212) 4(cid:64)(cid:155)(cid:230)(cid:117)(cid:54)(cid:82)(cid:71)(cid:84) ( +1)(cid:57)(cid:313)(cid:54)(cid:82)(cid:71)(cid:87)(cid:84) ( +1) +1= +1(cid:57)
2
∴(cid:315)(cid:316)𝑛 (cid:317)𝑛(cid:318)(cid:71)(cid:313)( 𝑛 )(cid:82)≥(cid:71)(cid:84) +1+ 𝑛 = 𝑛 (cid:83) 𝑛 𝑛 −2𝑛 𝑛 −𝑛
2 2
∴(cid:162)(cid:164)A(cid:72) 𝑛−4 𝑛 −𝑛 𝑛−5 𝑛 −4
(cid:15)(cid:167)(cid:27)6-1(cid:21)(cid:63)2025·(cid:306)(cid:253)(cid:323)(cid:324)·(cid:24)(cid:325)(cid:64)(cid:326)(cid:54)(cid:25)(cid:327)(cid:328)(cid:74)(cid:329)(cid:330)(cid:203)(cid:57)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:283)(cid:112)(cid:334)(cid:257)(cid:74)(cid:320)(cid:175)(cid:54)(cid:248)(cid:310)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:134)(cid:28)(cid:335)(cid:153)
(cid:27)(cid:61)(cid:27)(cid:6)(cid:9)(cid:249)(cid:336)(cid:57)(cid:337)(cid:335)(cid:153) (cid:27)(cid:338)(cid:25)(cid:92)(cid:10) (cid:57)4 2 (cid:57)6 3 (cid:57)8 4 (cid:57)10 5 ……(cid:57)(cid:122)(cid:313)n (cid:82)(cid:335)(cid:153)(cid:27)(cid:84)(cid:63) (cid:64)
2 3 4 5
A(cid:72) 2𝑎 B𝑎(cid:72) 𝑎+1 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
C(cid:72)22(𝑛 +𝑛𝑎1) D(cid:72)22𝑛( 𝑛 ) 𝑎
𝑛 𝑛−1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)A𝑛 𝑛𝑎 𝑛−1 𝑛𝑎
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:335)(cid:153)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:339)(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:22)(cid:340)(cid:93)(cid:341)(cid:335)(cid:153)(cid:27)(cid:217)(cid:240)(cid:41)(cid:42)(cid:96)(cid:85)(cid:57)(cid:184)(cid:183)(cid:217)(cid:240)(cid:41)(cid:42)(cid:84)(cid:147)(cid:163)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:85)(cid:217)(cid:10) =(2×1)× 1× (cid:57)4 2 =(2×2)× 2× (cid:57)6 3 =(2×3)× 3×
1 2 2 3
(cid:57)8 4 =(2×4)× 42×𝑎 (cid:57)10 5 =(2×𝑎5)× 5𝑎× (cid:57)…(cid:57) 𝑎 𝑎
3 4 4 5 5
𝑎(cid:313)n (cid:82)(cid:335)𝑎 (cid:153)(cid:27)(cid:84) (cid:57) 𝑎 𝑎 𝑎
𝑛
(cid:162)∴ (cid:164)(cid:10)A(cid:72) 2𝑛 𝑛𝑎
1 1 2 2 3
(cid:15)(cid:167)(cid:27)6-2(cid:21)(cid:63)2025·(cid:342)(cid:269)(cid:343)(cid:53)·(cid:54)(cid:325)(cid:64)(cid:231)(cid:194)(cid:67)(cid:71)(cid:11)(cid:22)(cid:78)(cid:57)(cid:344)(cid:345)(cid:41)(cid:42)(cid:10) = (cid:83) =2 (cid:83) =3
2 2 5 5 10
1− 2− 3−3 4 4
(cid:83) =4 (cid:83)…
10 17 17
4−
(cid:63)1(cid:64)(cid:313)5(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:92) (cid:83)
8 8
(cid:63)2(cid:64)(cid:121) = (cid:63)a(cid:57)b(cid:92)(cid:184)(cid:314)(cid:71)(cid:64)(cid:57)(cid:122) = (cid:72)
𝑎−𝑏 𝑎 𝑏 𝑎⋅𝑏
5 5
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) =5 520
26 26
5−
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:163)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:71)(cid:87)(cid:266)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:346)(cid:240)(cid:54)(cid:282)(cid:134)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:92) = 1(cid:28)(cid:184)(cid:314)(cid:71)(cid:64)(cid:57)(cid:347) =8
1 1
𝑛 𝑛
2 2
(cid:47)(cid:240) (cid:281) (cid:28)(cid:48)(cid:57)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:217) (cid:28)(cid:48)(cid:72) 𝑛−𝑛 + 𝑛 𝑛 + (𝑛≥ 𝑛
𝑎 𝑏 1 1𝑎⋅𝑏
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) = (cid:83)
2 2
1−
2 =2 2 (cid:83)
5 5
2−
3 =3 3 (cid:83)
10 10
3−
4 =4 4 (cid:83)
17 17
4−
(cid:313)5(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:92) 5 =5 5
26 26
5−
(cid:26)(cid:149)(cid:22)(cid:172)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:217)(cid:10) = 1(cid:28)(cid:184)(cid:314)(cid:71)(cid:64)(cid:57)
1 1
𝑛 𝑛
2 2
𝑛−𝑛 + 𝑛 𝑛 + (𝑛≥
8 8
= (cid:57)
∵ = 𝑎− 8(cid:57)𝑏 =𝑎8⋅ 𝑏 +1=65(cid:57)
2
(cid:122)∴𝑎 =8𝑏×65=520(cid:72)
𝑎⋅𝑏 5 5
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10) =5 (cid:57)520(cid:72)
26 26
(cid:15)(cid:167)(cid:27)6-3(cid:21)(cid:63)5− 24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:348)(cid:349)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:350)(cid:351)(cid:126)(cid:134)(cid:100)(cid:27)(cid:57)(cid:294)(cid:352)(cid:137)(cid:278)(cid:22)(cid:10)
3 = 1 = 1 (cid:83) 5 = 4 = 2 (cid:83) 7 = 9 = 3 (cid:83)…
4 4 2 9 9 3 16 16 4
① (1)(cid:26)1(cid:149)−(cid:203)(cid:242)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:353)②(cid:240)(cid:313)1
5
−(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:10)_____ ③ ___(cid:72)1−
(2)(cid:192)(cid:353)(cid:240)(cid:313) (cid:82)(cid:63) (cid:92)(cid:184)(cid:314)(cid:71)(cid:64)(cid:100)(cid:27)(cid:10)________(cid:57)(cid:294)(cid:354)(cid:194)(cid:277)(cid:28)(cid:263)(cid:239)(cid:72)
𝑛 𝑛 3 5 7 89
(3)(cid:272)(cid:112)(cid:203)(cid:242)(cid:263)(cid:239)(cid:57)(cid:225)(cid:97)(cid:10) … (cid:72)
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)(1) 11 = 25 = 5
36 36 6
1−
1
(2) = =
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+1
(3)
45
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:71)(cid:87)(cid:28)(cid:167)(cid:45)(cid:41)(cid:42)(cid:159)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:232)(cid:109)(cid:272)(cid:97)(cid:276)(cid:122)(cid:57)(cid:147)(cid:137)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:196)(cid:93)(cid:341)(cid:28)(cid:100)(cid:27)(cid:355)(cid:263)(cid:240)(cid:356)
(cid:326)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:72)
(cid:63)1(cid:64)(cid:26)(cid:149)(cid:93)(cid:341)(cid:28)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:27)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)2(cid:64)(cid:139)(cid:140)(cid:93)(cid:341)(cid:28)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:61)(cid:27)(cid:57)(cid:355)(cid:263)(cid:240)(cid:41)(cid:42)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)3(cid:64)(cid:283)(cid:112)(cid:63)2(cid:64)(cid:172)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:154)(cid:155)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:63)1(cid:64)(cid:147)(cid:10)(cid:26)(cid:149)(cid:22)(cid:32)(cid:217)(cid:313)5(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:92)(cid:10)
11 = 25 = 5 (cid:83)
36 36 6
1−
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10) 11 = 25 = 5 (cid:83)
36 36 6
1−
(cid:63)2(cid:64)(cid:147)(cid:10)(cid:313)1(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:10) 3 = 2×1 1 (cid:83) 3 = 1 = 1 (cid:57)
4 (1 1) 4 4 2
+
2
1− 1− + 1−
(cid:313)2(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:10) 5 = 2×2 1 (cid:83) 5 = 4 = 2 (cid:57)
9 (2 1) 9 9 3
+
2
1− 1− + 1−
(cid:313)3(cid:82)(cid:100)(cid:27)(cid:10) 7 = 2×3 1 (cid:83) 7 = 9 = 3 (cid:57)
16 (3 1) 16 16 4
+
2
(cid:196)(cid:86)(cid:203)(cid:100)(cid:27)(cid:85)(cid:86) 1 (cid:357) − (cid:268)(cid:313)n(cid:82) 1− (cid:100)(cid:27)+(cid:84)(cid:10) 1−
1 = = (cid:83)
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
(cid:354)(cid:194)(cid:10) 1 = 1 1 = = (cid:83)
1) 2 1) 1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 +2𝑛+ 2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2 2 2
1−(𝑛+ 1 (𝑛+ −(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10) = = (cid:83)
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
3 5 7 89
(cid:63)3(cid:64)(cid:147)(cid:10) …
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
(cid:358)= 3 × 5 × 7 ×……× 2×44 1
4 9 16 (44 1)
+
2
(cid:358) 1 × 2 1 × − 3 ……× 1 4 − 4 1− 1− +
2 3 4 45
1
(cid:358) (cid:72)
45
【题型7 化简求值】
(cid:15)(cid:90)7(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215)(cid:106)(cid:71)a(cid:79)(cid:80)6< <20(cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:10) ( ) + ( ) (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)7 2𝑎−2 𝑎−4 𝑎−11
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:359)(cid:233)(cid:147)(cid:161)(cid:100)(cid:27)(cid:57)(cid:260)(cid:117)(cid:26)(cid:149)(cid:7)(cid:27) = (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:96)(cid:85)(cid:72)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:159)(cid:161)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)
2
𝑎 |𝑎|(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:28)(cid:46)(cid:100)(cid:215)(cid:143)(cid:57)(cid:360)(cid:361) = (cid:57)(cid:136)(cid:101)(cid:362)(cid:363)(cid:22)(cid:57)(cid:172)(cid:141)(cid:254)(cid:141)(cid:22)(cid:23)(cid:72)
2
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) 6< <𝑎 20(cid:57)|𝑎|
8< <22∵ 2𝑎−2
∴ 4<2𝑎<11(cid:57)
∴(cid:364)(cid:27)𝑎= +
=∴ + |𝑎−4| |𝑎−11|
=𝑎7−(cid:72)4 11−𝑎
(cid:15)(cid:167)(cid:27)7-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:180)(cid:258)(cid:258)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:229)(cid:215) =3 ( )+2 ( )+2(cid:57)(cid:47) ( )+ (cid:28)(cid:48)(cid:72)
2
𝑦 2𝑥−1 1−2𝑥 𝑥𝑦 𝑥
5
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)
4
0
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:47)(cid:48)(cid:57)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:217) (cid:57)(cid:96)
0
2𝑥−1≥
1 1−2𝑥≥
(cid:217) = (cid:57)(cid:154)(cid:250)(cid:217)(cid:119) =2(cid:57)(cid:234)(cid:249)(cid:251)(cid:249)(cid:71)(cid:27)(cid:225)(cid:97)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:57)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
2
𝑥 𝑦 0
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:217) (cid:57)
0
2𝑥−1≥
1 1−2𝑥≥
= (cid:57)
2
∴𝑥 y=2(cid:57)
∴ (xy)+x = 1 ×2+ 1 =1+ 1 = 5 (cid:72)
2 2 2 4 4
2
∴(cid:15)(cid:167)(cid:27)7-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:253)(cid:262)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:28)(cid:81)(cid:261)(cid:287)(cid:139)(cid:111)(cid:92)3(cid:109)5(cid:57)(cid:313)(cid:178)(cid:261)(cid:287)(cid:92)c(cid:57)(cid:45)
1
(cid:46) + +16(cid:72)
4
2 2
𝑐 43−4𝑐− 𝑐 −4𝑐
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)
2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:163)𝑐−(cid:22)6(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:28)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:282)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:359)(cid:233)(cid:283)(cid:112)(cid:178)(cid:297)(cid:61)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:282)(cid:217)
(cid:240)c(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:210)(cid:211)(cid:57)(cid:154)(cid:250)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:240)(cid:137)(cid:138)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:282)(cid:53)(cid:195)(cid:57)(cid:217)3+5> (cid:57) < (cid:57)(cid:96)2< <8(cid:57)
(cid:364)(cid:27)= ( ) 1 ( ) =| | 1 | 𝑐 5 | − = 3 𝑐 1 ( ) 𝑐 = 3 (cid:72)
4 2 2 2
2 2
∴ 𝑐−2 − 𝑐−8 𝑐−2 − 𝑐−8 𝑐−2− 8−𝑐 𝑐−6
(cid:15)(cid:167)(cid:27)7-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:202)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:253)(cid:262)·(cid:365)(cid:173)(cid:366)(cid:367)(cid:64)(cid:229)(cid:215) = =3(cid:57) = = 3(cid:57) = (cid:57) =
2 22 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏
2 𝑀 𝑁 𝑎𝑏 𝑃 𝑄
(cid:72)(cid:47)P(cid:159)Q(cid:28)(cid:48)(cid:72)
1 1
𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) = 15(cid:57) =1
𝑃 𝑄(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:163)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:159)(cid:139)(cid:27)(cid:28)(cid:47)(cid:48)(cid:100)(cid:215)(cid:143)(cid:57)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:85)(cid:217) + =6(cid:57) =3(cid:57)(cid:26)(cid:149)(cid:273)(cid:274)(cid:99)(cid:70)
2 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
(cid:7)(cid:27)(cid:167)(cid:61)(cid:117)(cid:249)(cid:251) = (cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:240)P(cid:28)(cid:48)(cid:57)(cid:60) = (cid:45)(cid:46)(cid:117)(cid:57)(cid:234)(cid:154)(cid:155)(cid:314)(cid:368)(cid:249)(cid:251)(cid:96)(cid:85)(cid:47)(cid:240)Q(cid:28)(cid:48)(cid:72)
22 2 1 1
𝑎 +𝑏
𝑃 𝑄 𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) = =3(cid:57) = = 3(cid:57)
2
𝑎+𝑏
∵𝑀 𝑁 𝑎𝑏
+ =6(cid:57) =3(cid:57)
∴𝑎 𝑏 𝑎𝑏
+ ( + ) 6 ×3
= = = = 15
2 2 2 22 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −2𝑎𝑏 −2
𝑃
2 2×3
= = = =1
1 1 + 6
+
2𝑎𝑏
𝑄
𝑎 𝑏
【题型 𝑎 8 𝑏 隐含条件】
(cid:15)(cid:90)8(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:203)·(cid:180)(cid:258)(cid:369)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:121) (cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:282)(cid:27) + + + =
𝑚 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚 1−𝑥−𝑦⋅
+ (cid:57)(cid:122) = (cid:72)
(cid:15) 𝑥 (cid:137) − (cid:138) 1 (cid:21) 𝑦 3 𝑚
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:147)(cid:24)(cid:247)(cid:54)(cid:25)(cid:70)(cid:257)(cid:248)(cid:57)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:217) = + =0(cid:57)(cid:96)(cid:217) + =1(cid:57) + + + =0(cid:57)(cid:234)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
1−𝑥−𝑦 𝑥−1 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−+𝑚 =1
(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:217) + =0(cid:57) + =0(cid:57)(cid:96)(cid:217) + =2(cid:57)(cid:234)(cid:147)(cid:70)(cid:257)(cid:248) + =2 (cid:47)(cid:240) (cid:159)(cid:28)(cid:48)(cid:96)
𝑥 𝑦
(cid:85)(cid:47)(cid:147)(cid:57)3(cid:145)𝑥(cid:146)(cid:24)5𝑦(cid:25)−(cid:26)2−(cid:27)𝑚(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:28)2𝑥(cid:34)(cid:35)3𝑦(cid:213)−(cid:40)𝑚(cid:232)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)𝑥(cid:3)(cid:148)2(cid:72)𝑦 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:196)(cid:22)(cid:32)(cid:217)(cid:57) 0(cid:57) + 0(cid:57)
= + =0(cid:57)1−𝑥−𝑦≥ 𝑥−1 𝑦≥
∴1−𝑥−𝑦 𝑥−1 𝑦
+ =1(cid:57) + + + =0(cid:57)
∴𝑥 + 𝑦 3𝑥 =0(cid:57) 5𝑦−2 + −𝑚 2 = 𝑥 0(cid:57)3𝑦−𝑚
∴3𝑥+ 5𝑦=−22−(cid:57)𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚
∴𝑥 2+𝑦 =1 =0
(cid:196) (cid:57)(cid:147)(cid:217) (cid:57)
+ =2 =1
𝑥 𝑦 𝑥
0+𝑥 3×2𝑦 =0(cid:57) 𝑦
∴ =3(cid:57)1−𝑚
(cid:162)∴𝑚(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10)3(cid:72)
(cid:15)(cid:167)(cid:27)8-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:305)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:252)(cid:269)(cid:300)(cid:370)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:229)(cid:215) (cid:84)(cid:81)(cid:81)(cid:161)(cid:214)(cid:100)(cid:28)(cid:106)(cid:71)(cid:57)(cid:212)(cid:79)(cid:80) ( )+ ( )
𝑚,𝑥,𝑦 𝑚 𝑥−𝑚 𝑚 𝑦−𝑚3
= (cid:57)(cid:122) (cid:28)(cid:48)(cid:92) (cid:72)
2 5 2
𝑥 +𝑥𝑦−𝑦
2 2
𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦 𝑥 −𝑥𝑦+ 𝑦
1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)
7
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:26)(cid:149)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:57)(cid:183)(cid:53)(cid:240) =0(cid:57) = (cid:57)(cid:249)(cid:251)(cid:364)(cid:27)(cid:96)(cid:85)(cid:147)(cid:177)(cid:278)(cid:22)(cid:72)
𝑚 𝑥 −𝑦
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) (cid:57) (cid:57) (cid:84)(cid:81)(cid:81)(cid:161)(cid:214)(cid:100)(cid:28)(cid:106)(cid:71)(cid:212)(cid:79)(cid:80) + = (cid:57)
∵𝑚0 𝑥 𝑦 𝑚(𝑥−𝑚) 𝑚(𝑦−𝑚) 𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦
0
(cid:371)
𝑚−𝑦≥ 0
(cid:57)
𝑥−𝑚≥ 0
∵ 𝑚(𝑦−𝑚)≥
=0(cid:57) = (cid:57) 0(cid:57) 0(cid:57)
𝑚(𝑥−𝑚)≥
∴𝑚 (cid:364)(cid:27)=3𝑥 −𝑦
=
𝑥1≠
(cid:72)
𝑦≠
2 25 2 7
𝑦 −𝑦 −𝑦
2 2 2
∴ 𝑦 +𝑦 + 𝑦
1
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10)
7
(cid:15)(cid:216)(cid:285)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:159)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:26)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:183)(cid:53)(cid:240) =0(cid:57) = (cid:57)(cid:360)(cid:361)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:71)(cid:84)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:150)(cid:82)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:136)(cid:101)(cid:172)(cid:141)(cid:254)(cid:141)(cid:22)(cid:23)(cid:72) 𝑚 𝑥 −𝑦
(cid:15)(cid:167)(cid:27)8-2(cid:21)(cid:121) (cid:159) (cid:159) (cid:92)(cid:106)(cid:71)(cid:57)(cid:212)(cid:79)(cid:80) + + =2 +1+4 +1+6 (cid:57)(cid:47) + + +3
(cid:28)(cid:48)(cid:92) (cid:72)𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐−2−14 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)6
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:26)(cid:149)(cid:372)(cid:70)(cid:276)(cid:28)(cid:195)(cid:239)(cid:338)(cid:149)(cid:57)(cid:96)(cid:7)(cid:27) ± + = ± (cid:57)(cid:115)(cid:364)(cid:70)(cid:257)(cid:373)(cid:45)(cid:92) + +1
2 2 2
+1+ + +1+4+ +𝑎9=02(cid:96)𝑎𝑏(cid:85)(cid:147)𝑏(cid:137)(cid:72)(𝑎 𝑏) 𝑎 1−2 𝑎
(cid:15)(cid:158)(cid:147)𝑏(cid:21)(cid:147)1−(cid:10)4 𝑏+ + =2𝑐−2−+61+𝑐−42 +1+6 (cid:57)
+ +∵1𝑎+1𝑏+ 𝑐+ 𝑎 +1+4𝑏+ 𝑐−2−1+49=0(cid:57)
∴𝑎 1−2 𝑎 𝑏 1−4 𝑏 𝑐−2−6 𝑐−2
( +1 +( +1 +( =0(cid:57)
2 2 2
∴ 𝑎 +1 −1 = ) 0(cid:57) 𝑏 +1 −2) =0(cid:57) 𝑐−2−3) =0(cid:57)
∴ 𝑎=0(cid:57)−1=3(cid:57) =𝑏11(cid:57)−2 𝑐−2−3
∴𝑎 + 𝑏+ +𝑐3
∴= 𝑎0𝑏+3𝑏3𝑐+𝑐0𝑎+3
=6(cid:57)
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:10)6(cid:72)
(cid:15)(cid:216)(cid:285)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:28)(cid:84)(cid:372)(cid:70)(cid:276)(cid:28)(cid:374)(cid:112)(cid:159)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:109)(cid:106)(cid:71)(cid:28)(cid:225)(cid:97)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:372)(cid:70)(cid:276)(cid:28)(cid:195)(cid:239)
(cid:338)(cid:149)(cid:72)(cid:15)(cid:167)(cid:27)8-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:305)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:295)(cid:296)(cid:109)(cid:99)·(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:121)(cid:106)(cid:71)a(cid:57)b(cid:57)c(cid:79)(cid:80)(cid:3)(cid:282)(cid:27) + = +
+ (cid:57)(cid:122)c(cid:358) (cid:72) 𝑎−199 199−𝑎 2𝑎 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:137)𝑏(cid:138)−(cid:21)6 404
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:217)a(cid:358)199(cid:57)(cid:260)(cid:117)(cid:196)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:47)(cid:217)b(cid:159)c(cid:28)(cid:48)(cid:72)
=0
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10)(cid:26)(cid:149)(cid:22)(cid:32)(cid:57)(cid:217) (cid:57)
=0
𝑎−199
(cid:147)(cid:217)a(cid:358)199(cid:57) 199−𝑎
(cid:122) + + =0(cid:57)
2𝑎2×𝑏1−9𝑐9+ 𝑏−6=0
(cid:93)(cid:86) (cid:57)
=0
𝑏−𝑐
=𝑏6−6
(cid:147)(cid:217) (cid:57)
=404
𝑏
(cid:162)(cid:137)(cid:138)𝑐(cid:92)(cid:10)404(cid:72)
(cid:15)(cid:216)(cid:285)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:109)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:144)(cid:215)(cid:214)(cid:3)(cid:215)(cid:143)(cid:216)(cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)
【题型9 复合根式】
(cid:15)(cid:90)9(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:180)(cid:258)(cid:259)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:229)(cid:215)(cid:184)(cid:314)(cid:71) (cid:159) (cid:159)(cid:79)(cid:80) 5= (cid:72)(cid:122)(cid:150)(cid:151)(cid:28)
2
(cid:159) (cid:159)(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:63) (cid:64)(cid:72) 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 −4 𝑚− 𝑛
𝑎 A𝑚(cid:72)(cid:31)𝑛(cid:54)(cid:248) B(cid:72)(cid:31)(cid:24)(cid:248) C(cid:72)(cid:375)(cid:101)(cid:24)(cid:248) D(cid:72)(cid:161)(cid:356)(cid:326)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)A
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:84)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:376)(cid:52)(cid:272)(cid:97)(cid:276)(cid:122)(cid:154)(cid:155)(cid:225)(cid:97)(cid:72)(cid:26)(cid:149)
5= (cid:57)(cid:217)(cid:240) 5= + (cid:57)(cid:96)(cid:85)(cid:217)(cid:240) = + (cid:57) =20(cid:57) > (cid:57)(cid:26)(cid:149)
2 2 2
20𝑎=−240×1=𝑚10−×𝑛2=5×𝑎4(cid:57)−4(cid:139)(cid:178)(cid:235)(cid:236)𝑚(cid:237)(cid:47)𝑛−(cid:240)2 𝑚(cid:28)𝑛(cid:48)(cid:154)(cid:155)(cid:377)(cid:354)𝑎(cid:96)(cid:85)(cid:72)𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚 𝑛
2
𝑎
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) 5= (cid:57)
2
5= ∵+𝑎 −4 (cid:57) 𝑚− 𝑛
2
∴𝑎 −=4 + 𝑚(cid:57) 𝑛−=220𝑚(cid:57)𝑛 > (cid:57)
2
∴(cid:371)𝑎 20𝑚=20𝑛×1𝑚=𝑛10×2=𝑚5×𝑛4(cid:57)
(cid:166)∵ = =1(cid:78)(cid:57) =21(cid:161)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:57)
2
(cid:166)𝑚=20,𝑛=2(cid:78)(cid:57)𝑎 =12(cid:161)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:57)
2
(cid:166)𝑚=10,𝑛=4(cid:78)(cid:57) 𝑎=9(cid:165)(cid:52)(cid:22)(cid:32)(cid:57)
2
𝑚(cid:79)(cid:80)(cid:34)5,𝑛(cid:35)(cid:28)(cid:209)(cid:48)(cid:378)𝑎(cid:31)1(cid:248)(cid:72)
∴(cid:162)(cid:164)(cid:10)A(cid:72)
(cid:15)(cid:167)(cid:27)9-1(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:252)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:225)(cid:97) 2025 2024(cid:28)(cid:263)(cid:264)(cid:84) (cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21) 23 22 −
−
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:21)(cid:4)(cid:32)(cid:119) 2025=45(cid:57)(cid:162)(cid:85)(cid:115)(cid:364)(cid:27)(cid:45)(cid:92) 506(cid:57)(cid:260)(cid:117)(cid:43)(cid:382) 506=( 23 22) (cid:57)(cid:154)(cid:250)(cid:217)
2
(cid:147)(cid:72) 45−2 45−2 −
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:147)(cid:10) 2025 2024
−
= 506
45−2
= ( 23 22)
2
= 23 −22(cid:83)
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:92)−(cid:10) 23 22(cid:72)
−
(cid:15)(cid:216)(cid:285)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:71)(cid:87)(cid:383)(cid:384)(cid:19)(cid:57)(cid:184)(cid:183)(cid:346)(cid:119) 506=( 23 22) (cid:84)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148).
2
(cid:15)(cid:167)(cid:27)9-2(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:342)(cid:253)(cid:385)(cid:386)·(cid:171)(cid:256)(cid:64)(cid:233)(cid:387)(cid:289)(cid:234)(cid:47)(cid:48)(cid:72)45−2 −
(cid:326)(cid:225)(cid:97) 10(cid:28)(cid:388)(cid:257)(cid:172)(cid:57)(cid:231)(cid:194)(cid:109)(cid:231)(cid:389)(cid:28)(cid:225)(cid:97)(cid:263)(cid:264)(cid:161)(cid:54)(cid:151)(cid:72)
7−2
(cid:231)(cid:194)(cid:28)(cid:225)(cid:97)(cid:388)(cid:257)(cid:62)(cid:126)(cid:10) (cid:231)(cid:389)(cid:28)(cid:225)(cid:97)(cid:388)(cid:257)(cid:62)(cid:126)(cid:10)
10 10
7−2 7−2
(cid:358) 2×5+5 (cid:358) 2×5+5
(cid:358) 2−2 (cid:358) 2−2
( 2) 2× 5+ 5 ( 2) 2× 5+ 5
2 2 2 2
−2 −2
(cid:358) 2 5 (cid:358) 2 5
2 2
(cid:358) 2 −5 (cid:358) 5 −2
− −
(1)(cid:192)(cid:156)(cid:157)(cid:231)(cid:194)(cid:281)(cid:231)(cid:389)(cid:390)(cid:28)(cid:225)(cid:97)(cid:263)(cid:264)(cid:184)(cid:183)(cid:57)(cid:294)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:83)
(2)(cid:225)(cid:97)(cid:10) 5(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)(1)6(cid:231)−(cid:389)2 (cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:263)(cid:264)(cid:184)(cid:183)(cid:57)(cid:391)(cid:147)(cid:140)
(2) 5
(cid:15)(cid:139)(cid:140)−(cid:21)1 (cid:103)(cid:22)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:51)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:84)(cid:147)(cid:137)(cid:103)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:72)(cid:63)1(cid:64)(cid:26)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:263)(cid:52)(cid:231)(cid:194)(cid:281)(cid:231)(cid:389)(cid:390)(cid:28)(cid:225)(cid:97)(cid:388)(cid:257)(cid:139)(cid:140)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)2(cid:64)(cid:392)(cid:393)(cid:231)(cid:389)(cid:28)(cid:147)(cid:137)(cid:388)(cid:257)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:63)1(cid:64)(cid:231)(cid:389)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:263)(cid:264)(cid:184)(cid:183)(cid:57)(cid:195)(cid:196)(cid:62)(cid:126)(cid:10)
2 5 = | 2 5| = 5 2
2
− − −
(cid:63)2(cid:64)(cid:364)(cid:27)= × 1×5+5
1−2
= 1 × 1×5+ 5
2
2
−2
= 5
2
= | 1−5|
= 15−
(cid:15)(cid:167)(cid:27)−19-3(cid:21)(cid:63)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)·(cid:218)(cid:17)(cid:259)(cid:379)·(cid:223)(cid:224)(cid:132)(cid:133)(cid:64)(cid:15)(cid:387)(cid:289)(cid:394)(cid:395)(cid:21)(cid:231)(cid:194)(cid:326)(cid:11)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:57)(cid:344)(cid:345)(cid:54)(cid:190)(cid:50)(cid:26)(cid:9)
(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:85)(cid:86)(cid:45)(cid:129)(cid:396)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:65)(cid:28)(cid:99)(cid:70)(cid:57)(cid:62)(cid:10)5+2 6=(2+3)+2 2×3=( 2) +( 3) +2 2× 3=
2 2
( 2+ 3) (cid:83)
2
8+2 7=(1+7)+2 1×7=1 +( 7) +2×1× 7=(1+ 7) (cid:72)
2 2
2
(cid:15)(cid:266)(cid:383)(cid:397)(cid:398)(cid:21)
(1)(cid:231)(cid:16)(cid:392)(cid:393)(cid:231)(cid:194)(cid:28)(cid:70)(cid:276)(cid:115)4+2 3(cid:45)(cid:129)(cid:175)(1+ ) (cid:57)(cid:122) =__________(cid:57) 4+2 3=__________(cid:72)
2
𝑥 𝑥
(2)(cid:192)(cid:272)(cid:112)(cid:231)(cid:194)(cid:28)(cid:70)(cid:276)(cid:45)(cid:46) 3(cid:72)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:21)(1)3(cid:83) 3+1 7−4
(2) 3
(cid:15)(cid:139)2−(cid:140)(cid:21)(cid:103)(cid:22)(cid:173)(cid:174)(cid:141)(cid:142)(cid:175)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:40)(cid:232)(cid:109)(cid:273)(cid:274)(cid:99)(cid:70)(cid:7)(cid:27)(cid:28)(cid:399)(cid:112)(cid:57)(cid:147)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:148)(cid:326)(cid:101)(cid:182)(cid:400)(cid:401)(cid:183)(cid:289)(cid:290)(cid:22)(cid:32)(cid:72)
(cid:63)1(cid:64)(cid:115)4(cid:402)(cid:129)(cid:84)1+3(cid:57)(cid:122)2 3=2×1× 3(cid:57)(cid:196)(cid:163)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:83)
(cid:63)2(cid:64)(cid:115)7(cid:402)(cid:129)(cid:84)4+3(cid:57)(cid:122)4 3=2×2× 3(cid:57)(cid:196)(cid:163)(cid:47)(cid:147)(cid:96)(cid:85)(cid:72)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:21)(cid:63)1(cid:64)(cid:147)(cid:10)4+2 3=(3+1)+2 1×3
=( 3) +1 +2×1× 3
2
2
=( 3+1) (cid:57)
2
=3(cid:83)
∴𝑥4+2 3= ( 3+1) = 3+1(cid:83)
2
∴
(cid:63)2(cid:64)(cid:147)(cid:10) 3
7−4
= 4+ 3
3−4
= 2 +( 3) ×2× 3
2
2
−2
= ( 3)
2
= 2−3(cid:72)
2−
