文档文本内容
专题 20.1 二次根式（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:22)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:22)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 =| |(cid:22)...............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 ( 2) = ( 0)(cid:22)..................................................................................................................................9
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)2 (cid:45)(cid:22)..............................................................................................................................................11
𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:22)..............................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:23)(cid:24)8 (cid:50)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:22)..............................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:23)(cid:24)9 (cid:52)(cid:53)(cid:27)(cid:28)(cid:22)..............................................................................................................................................18
知识点1 二次根式的概念
1.(cid:54)(cid:34)(cid:10)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:64) (cid:65)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)“ ”(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:9)(cid:58)a(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)
𝑎 𝒂≥𝟎
2.(cid:74)(cid:75)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:64)1(cid:65)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:9)“ ”(cid:84)(cid:64)2(cid:65)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:64)(cid:69)(cid:70)(cid:71)
(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:72)(cid:88)(cid:89)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:51)(cid:32)(cid:88)(cid:90)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:73)
知识点2 二次根式有无意义的条件
当 0时，二次根式 有意义；
当 <0(cid:79)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 无意义．
𝑎≥ 𝑎
(cid:91)(cid:63)𝑎(cid:10)(cid:92)(cid:93) + +1=𝑎( +1) 0(cid:58)(cid:94)(cid:87)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) + +1(cid:95)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)
2 2 2
知识点3 二 𝑥 次根 2𝑥 式的性质 𝑥 ≥ 𝑥 2𝑥
被开方数 0(cid:58)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:96)(cid:32)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:10)
二次根式 0．
𝑎≥
𝑎
2.( ) = （ 0）(cid:58)(cid:97)(cid:55)(cid:83)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:98)(cid:99) 𝑎 (cid:100) ≥ (cid:71)(cid:27)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:58)(cid:63)( 5) =5(cid:73)
2
2
教𝑎 𝑎 𝑎≥ 0)(cid:58)
3. 辅 =资| |
源
= <0)(cid:58) (cid:97)(cid:55)(cid:83)(cid:106)(cid:33)(cid:107)(cid:72)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:29)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:71)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:29)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:73)
，
2 𝑎(𝑎关≥
注
(cid:63) 𝑎 (±11 𝑎 ) =| − ± 𝑎( 1 𝑎 1|=11(cid:73) 公 众 号
★
全
2 科
A
A
(cid:74)(cid:75)(cid:10)( ) ( 0)(cid:110) (cid:29)(cid:111)(cid:112) +
2 2
𝑎 𝑎≥ 𝑎0)
运算结果 ( ) = =
<0)
2 2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 𝑎
−𝑎(𝑎
a的取值 0 任意实数
𝑎≥ (cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:9)(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
用来去根号，化简二次根式；
(cid:116)(cid:27)(cid:9)(cid:117)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:92)(cid:28)(cid:100)(cid:71)(cid:118)(cid:119)(cid:120)
作用 可用 =( ) 将任意一个非负实数 ①
① (cid:27)(cid:9)(cid:121). (cid:91)(cid:63)(cid:10)(cid:122) 0,(cid:123) 2 =
写成一个数的平方2 的形式 ②
② 𝑎 𝑎
2𝑎≥ 𝑎
2
【题型1 二次根式的概念】 𝑎
(cid:15)(cid:91)1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:131)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:135)(cid:28)(cid:55)(cid:54)(cid:136)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:64) (cid:65)
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) | |+1 D(cid:73)
2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)−C4 𝑥 𝑥 𝑥 −1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:143)(cid:112)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
(cid:27)(cid:149)(cid:62)(cid:63) ( 0)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)𝑎(cid:10)𝑎A≥(cid:159)(cid:92)(cid:93) <0(cid:58)(cid:123) (cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
B(cid:159)(cid:166) <0(cid:79)(cid:58)(cid:123) (cid:160)−(cid:33)4(cid:34)(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)−(cid:26)4 (cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
𝑥 𝑥
C(cid:159)(cid:92)(cid:93)| |+1 1>0(cid:58)(cid:162) | |+1(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
D(cid:159)(cid:166) 𝑥 < < ≥ 1(cid:79)(cid:58)(cid:123) 𝑥 <0(cid:58) (cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
2 2
(cid:162)(cid:164)(cid:10)−C1(cid:73) 𝑥 𝑥 −1 𝑥 −1
(cid:15)(cid:167)(cid:28)1-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:135)(cid:28)(cid:55)(cid:54)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:64) (cid:65)
A(cid:73)3 5 B(cid:73) C(cid:73) 6 D(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)C −3 𝑎
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:58)(cid:166) 0(cid:79)(cid:58) (cid:177)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:147)(cid:178)(cid:104)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:73) 𝑎≥ 𝑎
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)A(cid:164)(cid:153)(cid:10)3 5(cid:85)(cid:179)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)A(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
B(cid:164)(cid:153)(cid:10) (cid:173)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72) <0(cid:58)(cid:94)(cid:87) (cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:162)B(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
C(cid:164)(cid:153)(cid:10) −6(cid:165)3(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)−(cid:29)3(cid:54)(cid:34)(cid:58)(cid:162)C(cid:164)−(cid:153)3 (cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
教
辅
资
D(cid:164)(cid:153)(cid:10) 源(cid:173)(cid:166)，<0(cid:79)(cid:58) (cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)D(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:73)
关
注
公
众
(cid:162)(cid:164)(cid:10)C(cid:73)𝑎 𝑎 𝑎 号
★
全
科
A
(cid:15)(cid:167)(cid:28)1-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:29)(cid:28)A(cid:66)(cid:55)+(cid:54)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:64) (cid:65)A(cid:73) +1 B(cid:73) C(cid:73) 3 D(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)𝑥C 3−π −1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:85)(cid:147)(cid:137)(cid:104)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:152)(cid:153)(cid:156)(cid:157)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)A(cid:159)(cid:161)(cid:183)(cid:184)(cid:54) +1(cid:29)(cid:185)(cid:40)(cid:58)(cid:162)A(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
B(cid:159) <0(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:186)(cid:32)𝑥(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:162)B(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
C(cid:159)3−3(cid:85)π (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:162)C(cid:164)(cid:153)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
D(cid:159) <0(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:186)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:162)D(cid:164)(cid:153)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
(cid:162)(cid:164)−(cid:10)1C(cid:73)
(cid:15)(cid:167)(cid:28)1-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:168)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:131)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:135)(cid:28)(cid:173)(cid:58)(cid:190)(cid:191)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:192)(cid:190)(cid:191)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:192)(cid:193)
(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:73)
(cid:64)1(cid:65) 8 (cid:84)(cid:64)2(cid:65) (cid:84)(cid:64)3(cid:65) +1 (cid:84)(cid:64)4(cid:65)3 (cid:84)(cid:64)5(cid:65) + +4 (cid:84)
2 2
−15 𝑎 1 −8 𝑥 4𝑥
(cid:64)6(cid:65) 3 | | (cid:84)(cid:64)7(cid:65) 1+ < (cid:73)
4
𝑚 4𝑥 𝑥 −
1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 8(cid:58) +1(cid:58) + +4(cid:58)3 (cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84) (cid:58)(cid:65)3 (cid:58) 1+ < (cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
4
2 2
(cid:28)(cid:73) 𝑎 𝑥 4𝑥 |𝑚| −15 −8 4𝑥 𝑥 −
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:152)(cid:55)(cid:198)(cid:199)(cid:97)(cid:86)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:185)(cid:184)(cid:196)(cid:147)(cid:80)(cid:81)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:179)(cid:83)(cid:10) (cid:51)(cid:32)(cid:27)(cid:9)(cid:84) (cid:27)(cid:200)(cid:72)(cid:85)2(cid:84) (cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:58)(cid:179)(cid:83)(cid:35)(cid:36)(cid:201)(cid:55)(cid:161)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:64)1(cid:65) 8(cid:85)①(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84) ② ③
(cid:64)2(cid:65) (cid:173) <0(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
(cid:64)3(cid:65) −1+5 1(cid:173)−15 +1>0(cid:58)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
2 2
(cid:64)4(cid:65)3 𝑎 (cid:202)(cid:71)(cid:27)𝑎(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
(cid:64)5(cid:65) −8+ +4(cid:173) + +4=( +2) 0(cid:58)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
2 2 2
𝑥 4𝑥 𝑥 4𝑥 𝑥 ≥
(cid:64)6(cid:65)3 | |(cid:173)| | 0(cid:58)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
𝑚 𝑚 ≥
1
(cid:64)7(cid:65) 1+ < (cid:173)1+ <0(cid:58)(cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
4
4𝑥 𝑥 − 4𝑥
1
教8(cid:58) a +1(cid:58) x +4x+4(cid:58)3 |m|(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84) (cid:58)3 (cid:58) 1+4x x< (cid:161)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
辅 4
资
2 源 2
∴ ， 关 −15 −8 −
【题型2 二次根式有意注义的条件】
公
众
号
★
全
科
(cid:15)(cid:91)2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:205)(cid:206)(cid:181)(cid:207)(cid:208)(cid:181)·(cid:70)(cid:11)(cid:141)(cid:209)(cid:65)(cid:122)A(cid:28)A(cid:66) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:123)(cid:107)(cid:72)(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85) (cid:73)
|+|
𝑥−1
𝑥−2(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 1(cid:213) 2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)𝑥(cid:104)≥(cid:23)(cid:141)(cid:142)𝑥(cid:176)≠(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:87)(cid:214)(cid:139)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:145)(cid:146)(cid:215)(cid:3)(cid:216)(cid:143)(cid:217)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:3)(cid:148)(cid:73)(cid:27)(cid:149)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:218)(cid:102)(cid:101)(cid:102)0(cid:58)(cid:219)(cid:120) 0(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:139)(cid:28)(cid:29)(cid:139)(cid:90)(cid:161)(cid:93)0(cid:58)(cid:219)(cid:120)| | 0(cid:58)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
𝑥−1≥ 𝑥 −2≠
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) (cid:28)(cid:66) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)
| |
𝑥−1
0(cid:58)| ∵ | 𝑥 0 −(cid:58)2
∴𝑥−11≥(cid:58)(cid:213) 𝑥 −22(cid:58)≠
(cid:162)∴(cid:137)𝑥≥(cid:138)(cid:93)(cid:10) 𝑥≠1(cid:213) 2
(cid:15)(cid:167)(cid:28)2-1(cid:22)𝑥(cid:64)≥24-25𝑥(cid:124)≠(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:220)(cid:169)(cid:221)(cid:222)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:122)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 2025+ (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:123)(cid:107)(cid:72)x(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85) (cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 𝑥
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)𝑥(cid:104)≥(cid:23)−(cid:141)2(cid:142)02(cid:176)5(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:62)(cid:63) ( 0)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:173)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:76)
(cid:77)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:58)(cid:223)(cid:123)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:160)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:27)(cid:149)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)𝑎(cid:39)𝑎(cid:40)≥(cid:72)(cid:134)(cid:28)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 2025+ (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)
2025+ 0∵(cid:58) 𝑥
∴ 𝑥≥(cid:73)
(cid:162)∴𝑥(cid:137)≥(cid:138)−(cid:93)20(cid:10)25 (cid:73)
𝑥≥−2025
(cid:15)(cid:167)(cid:28)2-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:168)(cid:169)(cid:181)(cid:224)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:173)(cid:88)(cid:90)x(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85) (cid:73)
𝑥−1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 1 𝑥
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)𝑥≥(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:139)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)(cid:27)
(cid:149)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:58)(cid:139)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:227)(cid:98)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)
𝑥−1
0(cid:213) ∵ 0(cid:58) 𝑥
∴(cid:147)𝑥(cid:219)−1≥ 1(cid:73)𝑥≠
(cid:162)(cid:137)𝑥(cid:138)≥(cid:93)(cid:10) 1(cid:73)
𝑥≥ 2
(cid:15)(cid:167)(cid:28)2-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:204)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:166) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:79)(cid:58) (cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85) (cid:73)
3
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 0(cid:213) 3 𝑥− 𝑥
教
辅
资
𝑥≥源𝑥≠ 2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)，(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:139)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:27)(cid:149) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:79)(cid:58)(cid:86)(cid:219) 3 0(cid:58)(cid:213)
关
注 3
公
众
0(cid:58)(cid:149)(cid:163)(cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:73) 号 ★ 全 𝑥− 𝑥− ≠
科
A
A
+
𝑥≥2
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:79)(cid:58)
3
3 0(cid:58) ∵ (cid:213)𝑥− 0(cid:58)
∴ 𝑥−3(cid:58)(cid:213)≠ 0(cid:58)𝑥≥
(cid:162)∴𝑥(cid:137)≠(cid:138)(cid:93) 𝑥≥0(cid:213) 3(cid:73)
【题型3 𝑥 二 ≥ 次根 𝑥 式 ≠ 的双重非负性】
(cid:15)(cid:91)3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:180)(cid:181)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216)(cid:109)(cid:94)(cid:32)(cid:107)(cid:72) (cid:58)(cid:80)(cid:81) | +1|+ 3 = | | (cid:58)(cid:123)
2
(cid:29)(cid:232)(cid:233)(cid:49)(cid:93) (cid:73) 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑚− 𝑥−2 𝑚
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)3
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:110)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)
3
(cid:235)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:86)(cid:219) (cid:58)(cid:236)(cid:139)(cid:82)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:97)(cid:86)(cid:219)(cid:242)(cid:137)(cid:138)(cid:73)
2
𝑥≥
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:27)(cid:149)(cid:23)(cid:33)(cid:58)(cid:219) 3 0(cid:58)
2
𝑥− ≥
3
(cid:147)(cid:219) (cid:73)
2
𝑥≥
(cid:166) 3 <2(cid:79)(cid:58) = +1+ 3 + = 3 +3(cid:58)
2 2 2
≤𝑥 𝑚 𝑥 𝑥− 2−𝑥 𝑥−
3 0(cid:58)
2
∵ 𝑥− ≥
3(cid:84)
(cid:166) ∴𝑚≥ 2(cid:79)(cid:58) = +1+ 3 + = 3 + (cid:58)
2 2
𝑥≥ 𝑚 𝑥 𝑥− 𝑥−2 𝑥− 2𝑥−1
3 + =3+ 2 (cid:73)
2 2
∴(cid:243)𝑚(cid:204)≥(cid:94)(cid:244) 2 (cid:58) − m(cid:29)4−(cid:232)1(cid:233)(cid:49)(cid:93)3(cid:73)
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10)3(cid:73)
(cid:15)(cid:167)(cid:28)3-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216)(cid:107)(cid:72)x(cid:58)y(cid:80)(cid:81) = + +2 (cid:58)(cid:123)( )
2025
(cid:29)(cid:49)(cid:93) (cid:73) 𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑦−𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)−(cid:104)1(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:159)(cid:147)(cid:55)(cid:249)(cid:55)(cid:26)(cid:161)(cid:101)(cid:28)(cid:250)(cid:159)(cid:251)(cid:72)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:49)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
教
辅
资
源 0
(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)，(cid:3)(cid:148)关(cid:73)(cid:27)
注
(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:219)(cid:120)
0
(cid:58)(cid:147)(cid:242) (cid:29)(cid:49)(cid:58)(cid:154)(cid:252)(cid:48)(cid:242) (cid:29)(cid:49)(cid:58)(cid:236)(cid:251)(cid:253)(cid:251)
公
众 𝑥−3≥
号
(cid:72)(cid:28)(cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:73) ★ 全 3−𝑥≥ 𝑥 𝑦
科
A
A
+0
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:219)(cid:58) (cid:58)
0
𝑥−3≥
(cid:147)(cid:219)(cid:10) =3(cid:58) 3−𝑥≥
= 𝑥 + +2=2(cid:58)
∴𝑦( )𝑥−3 =(3−𝑥) =( ) = (cid:73)
2025 2025 2025
(cid:162)∴(cid:137)𝑦−(cid:138)𝑥(cid:93)(cid:10) (cid:73)2−3 −1 −1
−1
(cid:15)(cid:167)(cid:28)3-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)·(cid:172)(cid:258)(cid:65)(cid:122)a(cid:58)b(cid:93)(cid:107)(cid:72)(cid:58)(cid:213)(cid:80)(cid:81) + +3) =0(cid:58)(cid:123) (cid:100)
2
(cid:71)(cid:27)(cid:85) (cid:73) |𝑎−5| (𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)± 8
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:134)(cid:242)(cid:71)(cid:259)(cid:48)(cid:242)a(cid:159)b(cid:29)(cid:49)(cid:58)(cid:251)(cid:253)(cid:94)(cid:48)(cid:251)(cid:72)(cid:28)(cid:227)(cid:98)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) + +3) =0(cid:58)
2
=0(cid:58) ∵ + |𝑎 3 − = 5| 0(cid:58) (𝑏
∴𝑎−=55(cid:58) =𝑏 (cid:58)
∴(cid:123)𝑎 =𝑏 (−3)=8(cid:58)
𝑎−(cid:100)𝑏(cid:71)(cid:27)5−(cid:93)−±3 8(cid:73)
𝑎(cid:162)−(cid:137)𝑏(cid:138)(cid:93)(cid:10)± 8(cid:73)
(cid:15)(cid:167)(cid:28)3-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:261)(cid:171)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216)(cid:107)(cid:72)x(cid:80)(cid:81) 2012 + + = (cid:58)
2 2
(cid:123) 2012 = (cid:73) −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥
2
(cid:15)𝑥(cid:137)−(cid:138)(cid:22)2013
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:135)(cid:216)(cid:143)(cid:217)(cid:85)(cid:147)(cid:137)(cid:104)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)(cid:235)
(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:242)x(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:58)(cid:236)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:46)(cid:47)(cid:219) =2012(cid:58)(cid:262)(cid:118)(cid:82)(cid:263)
(cid:100)(cid:71)(cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:73) 𝑥−2013
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) 0(cid:58)
2013(cid:58) ∵𝑥−2013≥
∴𝑥≥>2012(cid:73)
∴𝑥2012 + + = (cid:58)
教 2 2
∵
(
辅 资−4
源)
02
+
4𝑥 𝑥 𝑥
=
−2
(cid:58)
013 𝑥
，
关
2 注
公
∴ | 2012− | 𝑥 + 𝑥−20 = 13 (cid:58) 𝑥 众 号
★
全
科
A
∴ 2012−𝑥+ 𝑥−2013= (cid:58)𝑥 A +
∴𝑥−2012 𝑥−2013 𝑥=2012(cid:58)
(cid:97)∴ 𝑥−2013=2012 (cid:58)
2
(cid:162)𝑥−22001132 =2013(cid:73)
2
(cid:162)𝑥(cid:137)−(cid:138)(cid:93)(cid:10)2013(cid:73)
【题型4 =| |】
𝟐
𝒂 𝒂
(cid:15)(cid:91)4(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:255)(cid:264)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:122)(cid:46)(cid:47)| | + +16(cid:29)(cid:265)(cid:266)(cid:93) (cid:58)(cid:123) (cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)
2
(cid:85)(cid:64)(cid:267)(cid:267)(cid:65) 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3 𝑥
A(cid:73) =0 B(cid:73) 1 C(cid:73) 1 D(cid:73) 4
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)𝑥 A 𝑥≤ 𝑥≥ 𝑥≤
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:159)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:101)(cid:216)(cid:143)(cid:217)(cid:58)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:87)(cid:214)(cid:139)(cid:268)(cid:240)(cid:241)(cid:269)(cid:270)(cid:129)(cid:93)
(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
(cid:235)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:86)(cid:219)| | | +4|= (cid:58)(cid:262)(cid:118)(cid:139)(cid:20)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:139)(cid:112)(cid:115)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) | | +1−𝑥+−16𝑥= (cid:58)−3
2
∵ 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3
| | ( +4) = (cid:58)(cid:97)| | | +4|= (cid:58)
2
∴(cid:166)1−𝑥 − 0(cid:58) 𝑥 +4 0 −(cid:58)3(cid:97) 4 1−𝑥 − 𝑥 1(cid:79)(cid:58)(cid:123) −3 = (cid:58)(cid:147)(cid:219)(cid:10) =0(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
(cid:166)1−𝑥≥0(cid:58)𝑥+4≥0(cid:58)(cid:97)− ≤𝑥(cid:79)≤(cid:58)(cid:123) 1−𝑥(−𝑥+−44) =−3 (cid:58)(cid:71)(cid:259)(cid:160)𝑥 (cid:147)(cid:58)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
(cid:166)1−𝑥≥0(cid:58)𝑥+4≤0(cid:58)(cid:97)𝑥≤−1(cid:79)4(cid:58)(cid:123) 1−𝑥− −=𝑥 (cid:58)(cid:71)(cid:259)−3(cid:160)(cid:147)(cid:58)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
(cid:166)1−𝑥≤0(cid:58)𝑥+4≥0(cid:58)(cid:97)𝑥≥ 𝑥(cid:58)−1(cid:123)−𝑥−4+ −+34= (cid:58)(cid:147)(cid:219)(cid:10) = (cid:58)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:73)
(cid:243)(cid:204)1−(cid:58)𝑥≤=0(cid:73)𝑥 ≤ 𝑥≥1,𝑥≤−4 𝑥−1 𝑥 −3 𝑥 −3
(cid:162)(cid:164)A(cid:73)𝑥
(cid:15)(cid:167)(cid:28)4-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:254)(cid:271)(cid:272)(cid:273)·(cid:172)(cid:258)(cid:65)(cid:231)(cid:216)1< <2(cid:58)(cid:46)(cid:47) +1+ +4 = (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)1 𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥 −4𝑥
( 0)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:145)(cid:146) = ( >0) (cid:129)(cid:93)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
2 −𝑎 𝑎≤
(cid:235)(cid:274)(cid:113)(cid:275)(cid:276)(cid:100)(cid:71)(cid:7)(cid:28)(cid:109)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:92)(cid:28)(cid:139)(cid:147)(cid:58)(cid:262)(cid:118)(cid:236)𝑎(cid:27)(cid:149)(cid:25)𝑎(cid:26)𝑎(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:46)(cid:47)(cid:97)(cid:86)(cid:147)(cid:137)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) 1< <2(cid:58)
教
辅>资 ∵<0(cid:58)𝑥
源
，
关
注
∴𝑥−1 0,𝑥−2 公
+1+ +4= 众( ) + ( ) = + =1(cid:73)
号
★
2 2 2 全 科2
(cid:162)∴ (cid:137)𝑥(cid:138)−(cid:93)2𝑥(cid:10)1(cid:73) 𝑥 −4𝑥 𝑥−1 𝑥−2 A𝑥−A1
+
2−𝑥(cid:15)(cid:167)(cid:28)4-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:181)(cid:187)(cid:277)(cid:171)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:274)(cid:113)(cid:139)(cid:268)(cid:240)(cid:241)(cid:29)(cid:71)(cid:278)(cid:58)(cid:193)(cid:279)(cid:147)(cid:137)(cid:127)(cid:134)(cid:280)(cid:23)(cid:10)
(1)(cid:166)3 7(cid:79)(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:10) ( ) + ( ) =______(cid:84)
2 2
≤𝑎≤ 𝑎−3 7−𝑎
(2)(cid:122)(cid:101)(cid:28) ( ) ( +9) =14(cid:129)(cid:202)(cid:58)(cid:123)a(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85)______(cid:84)
2 2
𝑎−5 − 𝑎
(3)(cid:122) ( +1) + ( ) =8(cid:58)(cid:48)a(cid:29)(cid:49)(cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 𝑎 (1)4 𝑎−5
(2)
(3)𝑎≤=−9(cid:281) =6
(cid:15)(cid:139)𝑎(cid:140)(cid:22)−2(cid:104)(cid:23)𝑎(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:87)(cid:214)(cid:139)(cid:268)(cid:240)(cid:241)(cid:29)(cid:269)(cid:270)(cid:58)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:10)
(cid:64)1(cid:65)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:265)(cid:53) (cid:29)(cid:211)(cid:212)(cid:58)(cid:154)(cid:155)(cid:46)(cid:47)(cid:97)(cid:86)(cid:84)
(cid:64)2(cid:65)(cid:139) (cid:58) < <5(cid:110) 𝑎 5(cid:179)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:154)(cid:155)(cid:240)(cid:241)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:84)
(cid:64)3(cid:65)(cid:139)𝑎≤<−9(cid:58)−9 𝑎 5(cid:110)𝑎≥>5(cid:179)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:154)(cid:155)(cid:240)(cid:241)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)𝑎(cid:64)1−(cid:65)1(cid:147)(cid:10)−13≤𝑎≤ 7(cid:58)𝑎
∵ ≤𝑎≤
( ) + ( ) =| |+| |
2 2
∴ 𝑎−3 7−𝑎 𝑎−3 7−𝑎
= +
=𝑎4−(cid:84)3 7−𝑎
(cid:64)2(cid:65) ( ) ( +9) =| | | +9|(cid:58)
2 2
(cid:166) 𝑎 (cid:79) −5 (cid:58)(cid:204)−(cid:28)𝑎 = + 𝑎 + − 9 5 = − 1 𝑎 4(cid:84)
(cid:166)𝑎≤<−9<5(cid:79)(cid:58)(cid:204)(cid:28)5−=𝑎 𝑎 = (cid:58)
−9< 𝑎<5(cid:58) 5−𝑎−𝑎−9 −2𝑎−4
∵−9 <𝑎 <14(cid:58)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
(cid:166)∴−14 5(cid:79)−(cid:58)2𝑎(cid:204)−4(cid:28)= = (cid:58)(cid:161)(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:84)
a𝑎(cid:29)≥(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85) 𝑎−5(cid:84)−𝑎−9 −14
∴ 𝑎≤−9
(cid:64)3(cid:65) ( +1) + ( ) =| +1|+| |
2 2
(cid:166) < 𝑎 (cid:79)(cid:58)| +1| 𝑎 + − | 5 |= 𝑎 𝑎 + −5 5=8(cid:58)(cid:147)(cid:219)(cid:10) = (cid:84)
教
(cid:166)𝑎辅−资1 5(cid:79)𝑎(cid:58)| +1𝑎|−+5| −|𝑎=−1−+𝑎 +5=6 8(cid:58)𝑎 −2
源
，
关
注
(cid:166)−1>≤5(cid:79)𝑎(cid:58)≤| +1|𝑎+| |=𝑎公−5+1+𝑎 1−=𝑎 8(cid:58)(cid:147)(cid:219)≠(cid:10) =6(cid:84)
众
号
★
全
(cid:243)𝑎(cid:204)(cid:10) = 𝑎(cid:281) =6(cid:73)𝑎−5 𝑎 𝑎−5 科 A𝑎
A
+
𝑎 −2 𝑎(cid:15)(cid:167)(cid:28)4-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:261)(cid:171)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:282) = 2021 ×2022(cid:58) =
2
2021 ×2022+2022 (cid:58)(cid:123) (cid:283) (cid:29)(cid:3)(cid:284)(cid:93)(cid:64) 𝑀 (cid:65) −2020 𝑁
2 2
A(cid:73)−4>042 B(cid:73) < 𝑀 𝑁 C(cid:73) = D(cid:73) =±
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)𝑀C 𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:116)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:285)(cid:113)(cid:100)(cid:71)(cid:286)(cid:7)(cid:28)(cid:110)(cid:275)(cid:276)(cid:100)(cid:71)(cid:7)(cid:28)(cid:227)(cid:98)(cid:159)(cid:46)(cid:47)(cid:86)(cid:219)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) = 2021 ×2022(cid:58)
2
∵𝑀 −2020
= 2021 ( )(2021+1)(cid:58)
2
− 2021−1
= 2021 2021 +1(cid:58)
2 2
−
=1(cid:58)
= 2021 ×2022+2022 (cid:58)
2 2
𝑁= 2021 −×42004221×2022+2022 (cid:58)
2 2
−2
= ( ) (cid:58)
2
2021−2022
=1(cid:58)
M=N(cid:58)
∴(cid:162)(cid:164)C(cid:73)
(cid:15)(cid:217)(cid:287)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:283)(cid:46)(cid:47)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:100)(cid:71)(cid:286)(cid:7)(cid:28)(cid:110)(cid:275)(cid:276)(cid:100)(cid:71)(cid:7)(cid:28)(cid:214)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:73)
【题型5 ( ) = ( )】
𝟐
𝐚 𝒂 𝒂≥𝟎
(cid:15)(cid:91)5(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:180)(cid:181)(cid:288)(cid:289)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216) (cid:29)(cid:179)(cid:263)(cid:290) (cid:159) (cid:159) (cid:80)(cid:81) + =3
+3 1 (cid:58)(cid:48) (cid:29)(cid:291)(cid:290)(cid:73) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2
2
𝑐 − 𝑐−8 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)14
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:292)(cid:293)(cid:23)(cid:294)(cid:6)(cid:295)(cid:58)(cid:196)(cid:147)“(cid:275)(cid:296)(cid:72)”(cid:29)(cid:54)(cid:34)(cid:297)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:275)(cid:276)
(cid:100)(cid:71)(cid:7)(cid:28)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
(cid:285)(cid:113)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:73)
教(cid:15)(cid:158)辅(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) + =3 +3 1 (cid:58)
资 2
源
，
关
∵𝑎 𝑏−2注𝑎−1−4 𝑏−2 𝑐 − 𝑐−8
( +( +
公1
(众+3 =0(cid:58)
2 2 2 号 ★2 全
科
∴ 𝑎−1−1) =0(cid:58) 𝑏−2−2) =0(cid:58) 𝑐 +3 −3) =0(cid:58) A A +
∴ 𝑎−1−1 𝑏−2−2 𝑐 −3=2(cid:58) =6(cid:58) =6(cid:58)
∴𝑎+ +𝑏=14(cid:73)𝑐
∴𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:167)(cid:28)5-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:298)(cid:299)(cid:110)(cid:100)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:122)1(cid:58) (cid:58)3(cid:85)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:29)(cid:179)(cid:263)(cid:290)(cid:58)(cid:46)(cid:47)( ) +16
2
2
= (cid:73) 𝑎 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)2(cid:104)𝑎(cid:23)−6(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:179)(cid:263)(cid:3)(cid:284)(cid:48)(cid:242) (cid:29)(cid:211)(cid:212)(cid:58)(cid:236)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:29)
(cid:41)(cid:234)(cid:154)(cid:155)(cid:46)(cid:47)(cid:97)(cid:86)(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:179)(cid:263)(cid:3)(cid:284)(cid:184)(cid:54)(cid:242) (cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)𝑎(cid:3)(cid:148)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) 1(cid:58) (cid:58)3(cid:85)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:29)(cid:179)(cid:263)(cid:290)(cid:58) 𝑎
< <1∵+3(cid:58)𝑎
(cid:97)∴23−<1 <𝑎4(cid:58)
𝑎
( ) +16=
2
2 2 2
∴ 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎 (𝑎−2) − (𝑎−4)
=| | | |
= 𝑎−2 −( 𝑎−4)
=𝑎−2− 4+−𝑎
=𝑎−2−(cid:58)4 𝑎
(cid:162)(cid:137)2(cid:138)𝑎−(cid:93)6(cid:10) (cid:73)
(cid:15)(cid:167)(cid:28)5-2(cid:22)
2𝑎
（
−6
24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:305)(cid:306)(cid:280)(cid:23)(cid:173)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:147)(cid:137)(cid:127)(cid:134)(cid:280)(cid:23)(cid:10)
(1)(cid:231)(cid:216) ( ) = (cid:58)(cid:48) (cid:29)(cid:49)(cid:84)
2
2
(2)(cid:231)(cid:216)a(cid:58) (𝑥− b 3 (cid:85) ) (cid:107)−(cid:72)(cid:58)2−(cid:213)𝑥 > 2𝑥 𝑥 +1(cid:58)(cid:46)(cid:47) + (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(1) = 1 𝑏 𝑎−2−2 2−𝑎 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎
2
𝑥
(2)
(cid:15)(cid:139)𝑏−(cid:140)3(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:214)(cid:285)(cid:113)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:46)(cid:47)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:305)(cid:306)(cid:242)(cid:50)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:73)
(cid:64)1(cid:65)(cid:197)(cid:27)(cid:9)(cid:121)(cid:29)(cid:72)(cid:149)(cid:218)(cid:102)(cid:101)(cid:102)0(cid:58)(cid:219) 0(cid:58)(cid:58)(cid:147)(cid:219) 2(cid:58)(cid:236)(cid:27)(cid:149) ( ) = (cid:58)(cid:115)(cid:27)(cid:9)(cid:58)
2
2
教 (cid:46)(cid:47)辅(cid:48)(cid:147)资(cid:97)(cid:86)(cid:84) 2−𝑥≥ 𝑥≤ (𝑥−3) − 2−𝑥 2𝑥
源
，
关
注
(cid:64)2(cid:65)(cid:197)(cid:27)(cid:9)(cid:121)(cid:29)(cid:72)(cid:149)(cid:218)(cid:102)(cid:101)(cid:102)公0(cid:58)(cid:219) 0(cid:58)(cid:213) 0(cid:58)(cid:147)(cid:219) =2(cid:58)(cid:116) (cid:29)(cid:49)(cid:251)(cid:253)(cid:28)(cid:66)
众
号
★
全
+1(cid:58)(cid:219) (cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:58)(cid:236)(cid:109) +𝑎−2≥ (cid:154)(cid:155)科(cid:115)2−(cid:27)A𝑎(cid:9)≥(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:97)𝑎(cid:86)(cid:73) 𝑎 𝑎−2−2 2−𝑎
A
+
2 2
𝑏 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:64)1(cid:65)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:58)(cid:219) 0(cid:58)
2(cid:58) 2−𝑥≥
∴𝑥≤ <0(cid:58)
∴𝑥−3
( ) =| | = + =
2
2
∴ 1 ( = 𝑥−3(cid:58)) − 2−𝑥 𝑥−3 −(2−𝑥) 3−𝑥−2 𝑥 2𝑥
∴ 21𝑥
(cid:147)(cid:219) = (cid:73)
2
(cid:64)2(cid:65)𝑥(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:58)(cid:219) 0(cid:58)(cid:213) 0(cid:58)
2(cid:213) 2(cid:58) 𝑎−2≥ 2−𝑎≥
∴ 𝑎=≥2(cid:58) 𝑎≤
∴𝑎 > +1(cid:58) +1= +1=1(cid:58)
∵ 𝑏>1(cid:58)𝑎−2−2>20−(cid:58)𝑎 𝑎−2−2 2−𝑎 2−2−2 2−2
∴ 𝑏 𝑏−1
+ = =| | = = (cid:73)
2 2 2 2
∴ 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎 (1−𝑏) − 𝑎 1−𝑏 −2 𝑏−1−2 𝑏−3
(cid:15)(cid:167)(cid:28)5-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:20)(cid:128)(cid:307)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:231)(cid:216) + + =2 +4 +6 +3 (cid:58)(cid:48)a(cid:159)b(cid:159)c
(cid:29)(cid:49)(cid:73) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2 𝑏−1 𝑐 −14
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) = = =6
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)𝑎 (cid:23)3(cid:174),𝑏(cid:175)(cid:141)5(cid:142),𝑐 (cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:234)(cid:73)
(cid:27)(cid:149) + + =2 +4 +6 +3 (cid:58)(cid:219)(cid:242)( ) + +( +3 ) =0(cid:58)(cid:97)(cid:86)
2 2 2
(cid:219)(cid:242)𝑎 𝑏=1𝑐(cid:58) 𝑎=−24(cid:58) +𝑏−31=9(cid:58)(cid:48)𝑐 (cid:242)(cid:265)−1(cid:266)4(cid:97)(cid:86)(cid:73) 𝑎−2−1 𝑏−1−2 𝑐 −3
(cid:15)(cid:158)𝑎(cid:147)−(cid:22)2(cid:147)(cid:10) 𝑏−+1 + =𝑐2 +4 +6 +3 (cid:58)
+ + ∵𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2+3+𝑏1−41=0(cid:58)𝑐 −14
∴𝑎 𝑏 𝑐−2 𝑎+−12+−4 𝑏−1−6 𝑐+4+ + +3+9=0(cid:58)
∴𝑎−2−2 𝑎−2 𝑏−1−4 𝑏−1 𝑐 3−6 𝑐
( ) + +( +3 ) =0(cid:58)
2 2 2
∴ 𝑎−2−1 =0(cid:58) 𝑏−1−2 =0(cid:58) 𝑐 +3 −3 =0(cid:58)
∴ 𝑎−2=−11(cid:58) =𝑏−4(cid:58)1−2+3=9(cid:58)𝑐 −3
教∴(cid:147)𝑎(cid:219)−2(cid:10) =3𝑏(cid:58)−1=5(cid:58)𝑐=6(cid:73)
辅
资
源
，
【题型
𝑎6
规律
𝑏
探究】
关𝑐
注
公
众
号
★
全
(cid:15)(cid:91)6(cid:22)(cid:64)24-25(cid:308)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:309)(cid:255)(cid:310)(cid:311)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:63)科(cid:312)(cid:85)
A
(cid:55)(cid:83)(cid:313)(cid:314)(cid:237)(cid:42)(cid:43)(cid:198)(cid:134)(cid:29)(cid:72)(cid:315)(cid:10)(cid:27)(cid:149)(cid:72)(cid:315)(cid:198)(cid:134)(cid:29)(cid:42)(cid:43)(cid:58)
A
+(cid:316) (cid:64) (cid:85)(cid:317)(cid:72)(cid:58)(cid:213) 4(cid:65)(cid:155)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:72)(cid:316)( )(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:64)(cid:113)(cid:51) (cid:29)(cid:251)(cid:72)(cid:28)(cid:322)(cid:323)(cid:65)(cid:64) (cid:65)
𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛−4 𝑛
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
2 2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)𝑛A−4 𝑛 −2 𝑛 −3 𝑛−4
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:214)(cid:72)(cid:88)(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:214)(cid:72)(cid:88)(cid:42)(cid:43)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:84)
(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:324)(cid:219)(cid:325)(cid:55)(cid:155)(cid:29)(cid:232)(cid:118)(cid:55)(cid:83)(cid:72)(cid:88)(cid:85) ( +1)(cid:58)(cid:213)(cid:325)(cid:55)(cid:155)(cid:32) (cid:83)(cid:72)(cid:88)(cid:58)(cid:197)(cid:163)(cid:280)(cid:23)(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:73)
𝑛 𝑛 2𝑛
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:72)(cid:315)(cid:86)(cid:216)(cid:10)(cid:325)(cid:55)(cid:155)(cid:29)(cid:232)(cid:118)(cid:55)(cid:83)(cid:72)(cid:88)(cid:85) ( +1)(cid:58)(cid:213)(cid:325)(cid:55)(cid:155)(cid:32) (cid:83)(cid:72)(cid:88)(cid:58)
𝑛 𝑛 2𝑛
(cid:316) (cid:64) (cid:85)(cid:317)(cid:72)(cid:58)(cid:213) 4(cid:65)(cid:155)(cid:232)(cid:118)(cid:55)(cid:83)(cid:72)(cid:85) ( +1)(cid:58)(cid:316)(cid:55)(cid:83)(cid:72)(cid:88)(cid:85) ( +1) +1= +1(cid:58)
2
∴(cid:318)(cid:319)𝑛 (cid:320)𝑛(cid:321)(cid:72)(cid:316)( 𝑛 )(cid:83)≥(cid:72)(cid:85) +1+ 𝑛 = 𝑛 (cid:84) 𝑛 𝑛 −2𝑛 𝑛 −𝑛
2 2
(cid:162)∴ (cid:164)A(cid:73) 𝑛−4 𝑛 −𝑛 𝑛−5 𝑛 −4
(cid:15)(cid:167)(cid:28)6-1(cid:22)(cid:64)2025·(cid:309)(cid:255)(cid:326)(cid:327)·(cid:25)(cid:328)(cid:65)(cid:329)(cid:55)(cid:26)(cid:330)(cid:331)(cid:75)(cid:332)(cid:333)(cid:204)(cid:58)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:285)(cid:113)(cid:337)(cid:259)(cid:75)(cid:323)(cid:176)(cid:55)(cid:250)(cid:313)(cid:42)(cid:43)(cid:198)(cid:134)(cid:29)(cid:338)(cid:153)
(cid:28)(cid:62)(cid:28)(cid:6)(cid:9)(cid:251)(cid:339)(cid:58)(cid:340)(cid:338)(cid:153) (cid:28)(cid:341)(cid:26)(cid:93)(cid:10) (cid:58)4 2 (cid:58)6 3 (cid:58)8 4 (cid:58)10 5 ……(cid:58)(cid:123)(cid:316)n (cid:83)(cid:338)(cid:153)(cid:28)(cid:85)(cid:64) (cid:65)
2 3 4 5
A(cid:73) 2𝑎 B𝑎(cid:73) 𝑎+1 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
C(cid:73)22(𝑛 +𝑛𝑎1) D(cid:73)22𝑛( 𝑛 ) 𝑎
𝑛 𝑛−1
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)A𝑛 𝑛𝑎 𝑛−1 𝑛𝑎
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:338)(cid:153)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:342)(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:23)(cid:343)(cid:94)(cid:344)(cid:338)(cid:153)(cid:28)(cid:219)(cid:242)(cid:42)(cid:43)(cid:97)(cid:86)(cid:58)(cid:185)(cid:184)(cid:219)(cid:242)(cid:42)(cid:43)(cid:85)(cid:147)(cid:163)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:86)(cid:219)(cid:10) =(2×1)× 1× (cid:58)4 2 =(2×2)× 2× (cid:58)6 3 =(2×3)× 3×
1 2 2 3
(cid:58)8 4 =(2×4)× 42×𝑎 (cid:58)10 5 =(2×𝑎5)× 5𝑎× (cid:58)…(cid:58) 𝑎 𝑎
3 4 4 5 5
𝑎(cid:316)n (cid:83)(cid:338)𝑎 (cid:153)(cid:28)(cid:85) (cid:58) 𝑎 𝑎 𝑎
𝑛
(cid:162)∴ (cid:164)(cid:10)A(cid:73) 2𝑛 𝑛𝑎
1 1 2 2 3
(cid:15)(cid:167)(cid:28)6-2(cid:22)(cid:64)2025·(cid:345)(cid:271)(cid:346)(cid:54)·(cid:55)(cid:328)(cid:65)(cid:233)(cid:195)(cid:68)(cid:72)(cid:11)(cid:23)(cid:79)(cid:58)(cid:347)(cid:348)(cid:42)(cid:43)(cid:10) = (cid:84) =2 (cid:84) =3
2 2 5 5 10
1− 2− 3−
3 4 4
(cid:84) =4 (cid:84)…
教
10辅 17 17
资
源
4− ，
(cid:64)1(cid:65)(cid:316)5(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:93) 关 (cid:84)
注
公
众
号
8 8 ★ 全
(cid:64)2(cid:65)(cid:122) = (cid:64)a(cid:58)b(cid:93)(cid:185)(cid:317)(cid:72)(cid:65)(cid:58)(cid:123) 科= (cid:73)
A
A
+
𝑎−𝑏 𝑎 𝑏 𝑎⋅𝑏5 5
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) =5 520
26 26
5−
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:163)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:72)(cid:88)(cid:268)(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:349)(cid:242)(cid:55)(cid:284)(cid:134)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:43)(cid:93) = 1(cid:29)(cid:185)(cid:317)(cid:72)(cid:65)(cid:58)(cid:350) =8
1 1
𝑛 𝑛
2 2
(cid:48)(cid:242) (cid:283) (cid:29)(cid:49)(cid:58)(cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:219) (cid:29)(cid:49)(cid:73) 𝑛−𝑛 + 𝑛 𝑛 + (𝑛≥ 𝑛
𝑎 𝑏 1 1𝑎⋅𝑏
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) = (cid:84)
2 2
1−
2 =2 2 (cid:84)
5 5
2−
3 =3 3 (cid:84)
10 10
3−
4 =4 4 (cid:84)
17 17
4−
(cid:316)5(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:93) 5 =5 5
26 26
5−
(cid:27)(cid:149)(cid:23)(cid:173)(cid:29)(cid:42)(cid:43)(cid:219)(cid:10) = 1(cid:29)(cid:185)(cid:317)(cid:72)(cid:65)(cid:58)
1 1
𝑛 𝑛
2 2
𝑛−𝑛 + 𝑛 𝑛 + (𝑛≥
8 8
= (cid:58)
∵ = 𝑎− 8(cid:58)𝑏 =𝑎8⋅ 𝑏 +1=65(cid:58)
2
(cid:123)∴𝑎 =8𝑏×65=520(cid:73)
𝑎⋅𝑏 5 5
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10) =5 (cid:58)520(cid:73)
26 26
(cid:15)(cid:167)(cid:28)6-3(cid:22)(cid:64)5− 24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:351)(cid:352)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:353)(cid:354)(cid:127)(cid:134)(cid:101)(cid:28)(cid:58)(cid:297)(cid:355)(cid:137)(cid:280)(cid:23)(cid:10)
3 = 1 = 1 (cid:84) 5 = 4 = 2 (cid:84) 7 = 9 = 3 (cid:84)…
4 4 2 9 9 3 16 16 4
(
① 1)(cid:27)1(cid:149)−(cid:204)(cid:244)(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:356)②(cid:242)(cid:316)1
5
−(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:10)_____ ③ ___(cid:73)1−
(2)(cid:193)(cid:356)(cid:242)(cid:316) (cid:83)(cid:64) (cid:93)(cid:185)(cid:317)(cid:72)(cid:65)(cid:101)(cid:28)(cid:10)________(cid:58)(cid:297)(cid:357)(cid:195)(cid:279)(cid:29)(cid:265)(cid:241)(cid:73)
𝑛 𝑛 3 5 7 89
(3)(cid:274)(cid:113)(cid:204)(cid:244)(cid:265)(cid:241)(cid:58)(cid:227)(cid:98)(cid:10) … (cid:73)
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(1) 11 = 25 = 5
36 36 6
1−
1
(2) = =
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
1
(3)
45
教
(cid:15)(cid:139)辅(cid:140)(cid:22)资(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:72)(cid:88)(cid:29)(cid:167)(cid:46)(cid:42)(cid:43)(cid:159)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:234)(cid:110)(cid:274)(cid:98)(cid:278)(cid:123)(cid:58)(cid:147)(cid:137)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:197)(cid:94)(cid:344)(cid:29)(cid:101)(cid:28)(cid:358)(cid:265)(cid:242)(cid:359)
源
，
关
注
(cid:329)(cid:29)(cid:42)(cid:43)(cid:73) 公
众
号
★
全
(cid:64)1(cid:65)(cid:27)(cid:149)(cid:94)(cid:344)(cid:29)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:28)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:84) 科
A
A
+(cid:64)2(cid:65)(cid:139)(cid:140)(cid:94)(cid:344)(cid:29)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:28)(cid:58)(cid:358)(cid:265)(cid:242)(cid:42)(cid:43)(cid:97)(cid:86)(cid:84)
(cid:64)3(cid:65)(cid:285)(cid:113)(cid:64)2(cid:65)(cid:173)(cid:29)(cid:42)(cid:43)(cid:154)(cid:155)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:64)1(cid:65)(cid:147)(cid:10)(cid:27)(cid:149)(cid:23)(cid:33)(cid:219)(cid:316)5(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:93)(cid:10)
11 = 25 = 5 (cid:84)
36 36 6
1−
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10) 11 = 25 = 5 (cid:84)
36 36 6
1−
(cid:64)2(cid:65)(cid:147)(cid:10)(cid:316)1(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:10) 3 = 2×1 1 (cid:84) 3 = 1 = 1 (cid:58)
4 (1 1) 4 4 2
+
2
1− 1− + 1−
(cid:316)2(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:10) 5 = 2×2 1 (cid:84) 5 = 4 = 2 (cid:58)
9 (2 1) 9 9 3
+
2
1− 1− + 1−
(cid:316)3(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:10) 7 = 2×3 1 (cid:84) 7 = 9 = 3 (cid:58)
16 (3 1) 16 16 4
+
2
(cid:197)(cid:87)(cid:204)(cid:101)(cid:28)(cid:86)(cid:87) 1 (cid:360) − (cid:270)(cid:316)n(cid:83) 1− (cid:101)(cid:28)+(cid:85)(cid:10) 1−
1 = = (cid:84)
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
(cid:357)(cid:195)(cid:10) 1 = 1 1 = = (cid:84)
1) 2 1) 1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 +2𝑛+ 2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2 2 2
1−(𝑛+ 1 (𝑛+ −(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10) = = (cid:84)
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
3 5 7 89
(cid:64)3(cid:65)(cid:147)(cid:10) …
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
(cid:361)= 3 × 5 × 7 ×……× 2×44 1
4 9 16 (44 1)
+
2
(cid:361) 1 × 2 1 × − 3 ……× 1 4 − 4 1− 1− +
2 3 4 45
1
(cid:361) (cid:73)
45
【题型7 化简求值】
(cid:15)(cid:91)7(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216)(cid:107)(cid:72)a(cid:80)(cid:81)6< <20(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:10) ( ) + ( ) (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)7 2𝑎−2 𝑎−4 𝑎−11
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:362)(cid:235)(cid:147)(cid:161)(cid:101)(cid:28)(cid:58)(cid:262)(cid:118)(cid:27)(cid:149)(cid:7)(cid:28) = (cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:97)(cid:86)(cid:73)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:159)(cid:161)(cid:101)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)
2
(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:29)(cid:47)(cid:101)(cid:216)(cid:143)(cid:58)(cid:363)(cid:364) = (cid:58)(cid:136)(cid:102)𝑎(cid:365)(cid:366)|(cid:23)𝑎|(cid:58)(cid:173)(cid:141)(cid:256)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:73)
2
教(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) 6< <𝑎 20(cid:58)|𝑎|
辅
资
源
，
8< <22∵ 关2𝑎−2
注
公
众
号
∴ 4<2𝑎<11(cid:58) ★ 全
科
A
A
+
∴ 𝑎(cid:367)(cid:28)= +
=∴ + |𝑎−4| |𝑎−11|
=𝑎7−(cid:73)4 11−𝑎
(cid:15)(cid:167)(cid:28)7-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:181)(cid:260)(cid:260)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:231)(cid:216) =3 ( )+2 ( )+2(cid:58)(cid:48) ( )+ (cid:29)(cid:49)(cid:73)
2
𝑦 2𝑥−1 1−2𝑥 𝑥𝑦 𝑥
5
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)
4
0
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:49)(cid:58)(cid:197)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:219) (cid:58)(cid:97)
0
2𝑥−1≥
1 1−2𝑥≥
(cid:219) = (cid:58)(cid:154)(cid:252)(cid:219)(cid:120) =2(cid:58)(cid:236)(cid:251)(cid:253)(cid:251)(cid:72)(cid:28)(cid:227)(cid:98)(cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:58)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
2
𝑥 𝑦 0
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:219) (cid:58)
0
2𝑥−1≥
1 1−2𝑥≥
= (cid:58)
2
∴𝑥 y=2(cid:58)
∴ (xy)+x = 1 ×2+ 1 =1+ 1 = 5 (cid:73)
2 2 2 4 4
2
(cid:15)∴ (cid:167)(cid:28)7-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:255)(cid:264)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:29)(cid:82)(cid:263)(cid:290)(cid:139)(cid:112)(cid:93)3(cid:110)5(cid:58)(cid:316)(cid:179)(cid:263)(cid:290)(cid:93)c(cid:58)(cid:46)
1
(cid:47) + +16(cid:73)
4
2 2
𝑐 43−4𝑐− 𝑐 −4𝑐
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)
2
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:163)𝑐−(cid:23)6(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:58)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:29)(cid:179)(cid:263)(cid:3)(cid:284)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:362)(cid:235)(cid:285)(cid:113)(cid:179)(cid:300)(cid:62)(cid:179)(cid:263)(cid:3)(cid:284)(cid:219)
(cid:242)c(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:211)(cid:212)(cid:58)(cid:154)(cid:252)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:242)(cid:137)(cid:138)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:179)(cid:263)(cid:3)(cid:284)(cid:54)(cid:196)(cid:58)(cid:219)3+5> (cid:58) < (cid:58)(cid:97)2< <8(cid:58)
(cid:367)(cid:28)= ( ) 1 ( ) =| | 1 | 𝑐 5 | − = 3 𝑐 1 ( ) 𝑐 = 3 (cid:73)
4 2 2 2
2 2
∴ 𝑐−2 − 𝑐−8 𝑐−2 − 𝑐−8 𝑐−2− 8−𝑐 𝑐−6
(cid:15)(cid:167)(cid:28)7-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:255)(cid:264)·(cid:368)(cid:174)(cid:369)(cid:370)(cid:65)(cid:231)(cid:216) = =3(cid:58) = = 3(cid:58) = (cid:58) =
2 22 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏
2 𝑀 𝑁 𝑎𝑏 𝑃 𝑄
(cid:73)(cid:48)P(cid:159)Q(cid:29)(cid:49)(cid:73)
1 1
𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) = 15(cid:58) =1
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)𝑃(cid:163)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)𝑄(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:159)(cid:139)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:49)(cid:101)(cid:216)(cid:143)(cid:58)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:86)(cid:219) + =6(cid:58) =3(cid:58)(cid:27)(cid:149)(cid:275)(cid:276)(cid:100)(cid:71)
教
(cid:7)(cid:28) 辅 (cid:167)(cid:62)资(cid:118)(cid:251)源(cid:253) = (cid:97)(cid:86)(cid:48)(cid:242)P(cid:29)(cid:49)(cid:58)(cid:61) = 2 (cid:46)(cid:47)(cid:118)(cid:58)(cid:236)(cid:154)(cid:155) 𝑎 (cid:317)(cid:371) 𝑏 (cid:251)(cid:253)(cid:97) 𝑎 (cid:86) 𝑏 (cid:48)(cid:242)Q(cid:29)(cid:49)(cid:73)
， 关𝑎 2 + 2 注𝑏 2 1 1
公
𝑃 众 𝑄 𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) = =3(cid:58) = 号=★3(cid:58)
2 全 科
𝑎+𝑏 A
A
∵𝑀 𝑁 𝑎𝑏 ++ =6(cid:58) =3(cid:58)
∴𝑎 𝑏 𝑎𝑏
+ ( + ) 6 ×3
= = = = 15
2 2 2 22 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −2𝑎𝑏 −2
𝑃
2 2×3
= = = =1
1 1 + 6
+
2𝑎𝑏
𝑄
𝑎 𝑏
【题型 𝑎 8 𝑏 隐含条件】
(cid:15)(cid:91)8(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:204)·(cid:181)(cid:260)(cid:372)(cid:171)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:122) (cid:80)(cid:81)(cid:3)(cid:284)(cid:28) + + + =
𝑚 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚 1−𝑥−𝑦⋅
+ (cid:58)(cid:123) = (cid:73)
(cid:15) 𝑥 (cid:137) − (cid:138) 1 (cid:22) 𝑦 3 𝑚
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:58)(cid:147)(cid:25)(cid:249)(cid:55)(cid:26)(cid:71)(cid:259)(cid:250)(cid:58)(cid:197)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:219) = + =0(cid:58)(cid:97)(cid:219) + =1(cid:58) + + + =0(cid:58)(cid:236)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
1−𝑥−𝑦 𝑥−1 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−+𝑚 =1
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:219) + =0(cid:58) + =0(cid:58)(cid:97)(cid:219) + =2(cid:58)(cid:236)(cid:147)(cid:71)(cid:259)(cid:250) + =2 (cid:48)(cid:242) (cid:159)(cid:29)(cid:49)(cid:97)
𝑥 𝑦
(cid:86)(cid:48)(cid:147)(cid:58)3(cid:145)𝑥(cid:146)(cid:25)5𝑦(cid:26)−(cid:27)2−(cid:28)𝑚(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)2𝑥(cid:35)(cid:36)3𝑦(cid:214)−(cid:41)𝑚(cid:234)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)𝑥(cid:3)(cid:148)2(cid:73)𝑦 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:197)(cid:23)(cid:33)(cid:219)(cid:58) 0(cid:58) + 0(cid:58)
= + =0(cid:58)1−𝑥−𝑦≥ 𝑥−1 𝑦≥
∴1−𝑥−𝑦 𝑥−1 𝑦
+ =1(cid:58) + + + =0(cid:58)
∴𝑥 + 𝑦 3𝑥 =0(cid:58) 5𝑦−2 + −𝑚 2 = 𝑥 0(cid:58)3𝑦−𝑚
∴3𝑥+ 5𝑦=−22−(cid:58)𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚
∴𝑥 2+𝑦 =1 =0
(cid:197) (cid:58)(cid:147)(cid:219) (cid:58)
+ =2 =1
𝑥 𝑦 𝑥
0+𝑥 3×2𝑦 =0(cid:58) 𝑦
∴ =3(cid:58)1−𝑚
∴(cid:162)𝑚(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10)3(cid:73)
(cid:15)(cid:167)(cid:28)8-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:308)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:254)(cid:271)(cid:303)(cid:373)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:231)(cid:216) (cid:85)(cid:82)(cid:82)(cid:161)(cid:215)(cid:101)(cid:29)(cid:107)(cid:72)(cid:58)(cid:213)(cid:80)(cid:81) ( )+ ( )
𝑚,𝑥,𝑦 𝑚 𝑥−𝑚 𝑚 𝑦−𝑚
教 = 辅 (cid:58)(cid:123) 3 (cid:29)(cid:49)(cid:93) (cid:73)
资 源 ， 𝑥 2 +𝑥𝑦− 5 𝑦 2
关2 2
𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦 𝑥 −注𝑥𝑦+ 𝑦
1 公
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 众
7 号 ★
全
科
A
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:27)(cid:149)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:58)(cid:184)(cid:54)(cid:242) =0(cid:58) = A(cid:58)(cid:251)+(cid:253)(cid:367)(cid:28)(cid:97)(cid:86)(cid:147)(cid:178)(cid:280)(cid:23)(cid:73)
𝑚 𝑥 −𝑦(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) (cid:58) (cid:58) (cid:85)(cid:82)(cid:82)(cid:161)(cid:215)(cid:101)(cid:29)(cid:107)(cid:72)(cid:213)(cid:80)(cid:81) + = (cid:58)
∵𝑚0 𝑥 𝑦 𝑚(𝑥−𝑚) 𝑚(𝑦−𝑚) 𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦
0
(cid:374)
𝑚−𝑦≥ 0
(cid:58)
𝑥−𝑚≥ 0
∵ 𝑚(𝑦−𝑚)≥
=0(cid:58) = (cid:58) 0(cid:58) 0(cid:58)
𝑚(𝑥−𝑚)≥
∴𝑚 (cid:367)(cid:28)=3𝑥 −𝑦
=
𝑥1≠
(cid:73)
𝑦≠
2 25 2 7
𝑦 −𝑦 −𝑦
2 2 2
∴ 𝑦 +𝑦 + 𝑦
1
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10)
7
(cid:15)(cid:217)(cid:287)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:159)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:27)(cid:149)(cid:35)(cid:36)(cid:184)(cid:54)(cid:242) =0(cid:58) = (cid:58)(cid:363)(cid:364)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:71)
(cid:72)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:150)(cid:83)(cid:50)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:136)(cid:102)(cid:173)(cid:141)(cid:256)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:73) 𝑚 𝑥 −𝑦
(cid:15)(cid:167)(cid:28)8-2(cid:22)(cid:122) (cid:159) (cid:159) (cid:93)(cid:107)(cid:72)(cid:58)(cid:213)(cid:80)(cid:81) + + =2 +1+4 +1+6 (cid:58)(cid:48) + + +3
(cid:29)(cid:49)(cid:93) (cid:73)𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐−2−14 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)6
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:27)(cid:149)(cid:375)(cid:71)(cid:278)(cid:29)(cid:196)(cid:241)(cid:341)(cid:149)(cid:58)(cid:97)(cid:7)(cid:28) ± + = ± (cid:58)(cid:116)(cid:367)(cid:71)(cid:259)(cid:376)(cid:46)(cid:93) + +1
2 2 2
+1+ + +1+4+ +𝑎9=02(cid:97)𝑎𝑏(cid:86)(cid:147)𝑏(cid:137)(cid:73)(𝑎 𝑏) 𝑎 1−2 𝑎
(cid:15)(cid:158)(cid:147)𝑏(cid:22)(cid:147)1−(cid:10)4 𝑏+ + =2𝑐−2−+61+𝑐−42 +1+6 (cid:58)
+ +∵1𝑎+1𝑏+ 𝑐+ 𝑎 +1+4𝑏+ 𝑐−2−1+49=0(cid:58)
∴𝑎 1−2 𝑎 𝑏 1−4 𝑏 𝑐−2−6 𝑐−2
( +1 +( +1 +( =0(cid:58)
2 2 2
∴ 𝑎 +1 −1 = ) 0(cid:58) 𝑏 +1 −2) =0(cid:58) 𝑐−2−3) =0(cid:58)
∴ 𝑎=0(cid:58)−1=3(cid:58) =𝑏11(cid:58)−2 𝑐−2−3
∴𝑎 + 𝑏+ +𝑐3
∴= 𝑎0𝑏+3𝑏3𝑐+𝑐0𝑎+3
=6(cid:58)
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)(cid:10)6(cid:73)
(cid:15)(cid:217)(cid:287)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:29)(cid:85)(cid:375)(cid:71)(cid:278)(cid:29)(cid:377)(cid:113)(cid:159)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:110)(cid:107)(cid:72)(cid:29)(cid:227)(cid:98)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:375)(cid:71)(cid:278)(cid:29)(cid:196)(cid:241)
(cid:341)(cid:149)(cid:73)
(cid:15)(cid:167)(cid:28)8-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:308)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:298)(cid:299)(cid:110)(cid:100)·(cid:172)(cid:173)(cid:65)(cid:122)(cid:107)(cid:72)a(cid:58)b(cid:58)c(cid:80)(cid:81)(cid:3)(cid:284)(cid:28) + = +
教
辅
资
+ (cid:58)(cid:123)源c(cid:361) ， (cid:73) 𝑎−199 199−𝑎 2𝑎 𝑏−𝑐
关
注
公
(cid:15)(cid:137)𝑏(cid:138)−(cid:22)6 404 众 号
★
全
科
A
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:27)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:219)a(cid:361)199(cid:58)(cid:262)(cid:118)(cid:197)(cid:39)A(cid:40)+(cid:72)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:48)(cid:219)b(cid:159)c(cid:29)(cid:49)(cid:73)=0
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10)(cid:27)(cid:149)(cid:23)(cid:33)(cid:58)(cid:219) (cid:58)
=0
𝑎−199
(cid:147)(cid:219)a(cid:361)199(cid:58) 199−𝑎
(cid:123) + + =0(cid:58)
2𝑎2×𝑏1−9𝑐9+ 𝑏−6=0
(cid:94)(cid:87) (cid:58)
=0
𝑏−𝑐
=𝑏6−6
(cid:147)(cid:219) (cid:58)
=404
𝑏
(cid:162)(cid:137)(cid:138)𝑐(cid:93)(cid:10)404(cid:73)
(cid:15)(cid:217)(cid:287)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:110)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:144)(cid:216)(cid:215)(cid:3)(cid:216)(cid:143)(cid:217)(cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
【题型9 复合根式】
(cid:15)(cid:91)9(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:181)(cid:260)(cid:261)(cid:171)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:231)(cid:216)(cid:185)(cid:317)(cid:72) (cid:159) (cid:159)(cid:80)(cid:81) 5= (cid:73)(cid:123)(cid:150)(cid:151)(cid:29)
2
(cid:159) (cid:159)(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:64) (cid:65)(cid:73) 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 −4 𝑚− 𝑛
𝑎 A𝑚(cid:73)(cid:32)𝑛(cid:55)(cid:250) B(cid:73)(cid:32)(cid:25)(cid:250) C(cid:73)(cid:378)(cid:102)(cid:25)(cid:250) D(cid:73)(cid:161)(cid:359)(cid:329)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)A
(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:85)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:379)(cid:53)(cid:274)(cid:98)(cid:278)(cid:123)(cid:154)(cid:155)(cid:227)(cid:98)(cid:73)(cid:27)(cid:149)
5= (cid:58)(cid:219)(cid:242) 5= + (cid:58)(cid:97)(cid:86)(cid:219)(cid:242) = + (cid:58) =20(cid:58) > (cid:58)(cid:27)(cid:149)
2 2 2
20𝑎=−240×1=𝑚10−×𝑛2=5×𝑎4(cid:58)−4(cid:139)(cid:179)(cid:237)(cid:238)𝑚(cid:239)(cid:48)𝑛−(cid:242)2 𝑚(cid:29)𝑛(cid:49)(cid:154)(cid:155)(cid:380)(cid:357)𝑎(cid:97)(cid:86)(cid:73)𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚 𝑛
2
𝑎
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) 5= (cid:58)
2
5= ∵+𝑎 −4 (cid:58) 𝑚− 𝑛
2
∴𝑎 −=4 + 𝑚(cid:58) 𝑛−=220𝑚(cid:58)𝑛 > (cid:58)
2
(cid:374)∴𝑎 20𝑚=20𝑛×1𝑚=𝑛10×2=𝑚5×𝑛4(cid:58)
(cid:166)∵ = =1(cid:79)(cid:58) =21(cid:161)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:58)
2
(cid:166)𝑚=20,𝑛=2(cid:79)(cid:58)𝑎 =12(cid:161)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:58)
2
(cid:166)𝑚=10,𝑛=4(cid:79)(cid:58) 𝑎=9(cid:165)(cid:53)(cid:23)(cid:33)(cid:58)
2
𝑚(cid:80)(cid:81)(cid:35)5,𝑛(cid:36)(cid:29)(cid:210)(cid:49)(cid:381)𝑎(cid:32)1(cid:250)(cid:73)
(cid:162)∴(cid:164)(cid:10)A(cid:73)
教
辅
资
源
(cid:15)(cid:167)(cid:28)9-1(cid:22)(cid:64)2，4-25关(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:254)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:227)(cid:98) 2025 2024(cid:29)(cid:265)(cid:266)(cid:85) (cid:73)
注
公
众
号
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22) 23 22 ★ 全 −
科
A
A
+
−(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:4)(cid:33)(cid:120) 2025=45(cid:58)(cid:162)(cid:86)(cid:116)(cid:367)(cid:28)(cid:46)(cid:93) 506(cid:58)(cid:262)(cid:118)(cid:44)(cid:385) 506=( 23 22) (cid:58)(cid:154)(cid:252)(cid:219)
2
(cid:147)(cid:73) 45−2 45−2 −
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:147)(cid:10) 2025 2024
−
= 506
45−2
= ( 23 22)
2
= 23 −22(cid:84)
(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:93)−(cid:10) 23 22(cid:73)
−
(cid:15)(cid:217)(cid:287)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:58)(cid:72)(cid:88)(cid:386)(cid:387)(cid:218)(cid:58)(cid:185)(cid:184)(cid:349)(cid:120) 506=( 23 22) (cid:85)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148).
2
(cid:15)(cid:167)(cid:28)9-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:345)(cid:255)(cid:388)(cid:389)·(cid:172)(cid:258)(cid:65)(cid:235)(cid:390)(cid:292)(cid:236)(cid:48)(cid:49)(cid:73)45−2 −
(cid:329)(cid:227)(cid:98) 10(cid:29)(cid:391)(cid:259)(cid:173)(cid:58)(cid:233)(cid:195)(cid:110)(cid:233)(cid:392)(cid:29)(cid:227)(cid:98)(cid:265)(cid:266)(cid:161)(cid:55)(cid:151)(cid:73)
7−2
(cid:233)(cid:195)(cid:29)(cid:227)(cid:98)(cid:391)(cid:259)(cid:63)(cid:127)(cid:10) (cid:233)(cid:392)(cid:29)(cid:227)(cid:98)(cid:391)(cid:259)(cid:63)(cid:127)(cid:10)
10 10
7−2 7−2
(cid:361) 2×5+5 (cid:361) 2×5+5
(cid:361) 2−2 (cid:361) 2−2
( 2) 2× 5+ 5 ( 2) 2× 5+ 5
2 2 2 2
−2 −2
(cid:361) 2 5 (cid:361) 2 5
2 2
(cid:361) 2 −5 (cid:361) 5 −2
− −
(1)(cid:193)(cid:156)(cid:157)(cid:233)(cid:195)(cid:283)(cid:233)(cid:392)(cid:393)(cid:29)(cid:227)(cid:98)(cid:265)(cid:266)(cid:185)(cid:184)(cid:58)(cid:297)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:84)
(2)(cid:227)(cid:98)(cid:10) 5(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(1)6(cid:233)−(cid:392)2 (cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:265)(cid:266)(cid:185)(cid:184)(cid:58)(cid:394)(cid:147)(cid:140)
(2) 5
(cid:15)(cid:139)(cid:140)−(cid:22)1 (cid:104)(cid:23)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:52)(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:58)(cid:144)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:85)(cid:147)(cid:137)(cid:104)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:73)
教
(cid:64)1 辅(cid:65)(cid:27)资(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:265)(cid:53)(cid:233)(cid:195)(cid:283)(cid:233)(cid:392)(cid:393)(cid:29)(cid:227)(cid:98)(cid:391)(cid:259)(cid:139)(cid:140)(cid:97)(cid:86)(cid:84)
源
，
关
注
(cid:64)2(cid:65)(cid:395)(cid:396)(cid:233)(cid:392)(cid:29)(cid:147)(cid:137)(cid:391)(cid:259)(cid:48)(cid:147)公(cid:97)(cid:86)(cid:73)
众
号
★
全
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:64)1(cid:65)(cid:233)(cid:392)(cid:29)(cid:46)(cid:47)(cid:265)(cid:266)(cid:185)(cid:184)(cid:58)(cid:196)(cid:197)(cid:63)(cid:127)(cid:10)科
A
A
+2 5 = | 2 5| = 5 2
2
− − −
(cid:64)2(cid:65)(cid:367)(cid:28)= × 1×5+5
1−2
= 1 × 1×5+ 5
2
2
−2
= 5
2
= | 1−5|
= 15−
(cid:15)(cid:167)(cid:28)−19-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:220)(cid:169)(cid:261)(cid:382)·(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:15)(cid:390)(cid:292)(cid:397)(cid:398)(cid:22)(cid:233)(cid:195)(cid:329)(cid:11)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:79)(cid:58)(cid:347)(cid:348)(cid:55)(cid:191)(cid:51)(cid:27)(cid:9)
(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:86)(cid:87)(cid:46)(cid:129)(cid:399)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:66)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:58)(cid:63)(cid:10)5+2 6=(2+3)+2 2×3=( 2) +( 3) +2 2× 3=
2 2
( 2+ 3) (cid:84)
2
8+2 7=(1+7)+2 1×7=1 +( 7) +2×1× 7=(1+ 7) (cid:73)
2 2
2
(cid:15)(cid:268)(cid:386)(cid:400)(cid:401)(cid:22)
(1)(cid:233)(cid:289)(cid:395)(cid:396)(cid:233)(cid:195)(cid:29)(cid:71)(cid:278)(cid:116)4+2 3(cid:46)(cid:129)(cid:176)(1+ ) (cid:58)(cid:123) =__________(cid:58) 4+2 3=__________(cid:73)
2
𝑥 𝑥
(2)(cid:193)(cid:274)(cid:113)(cid:233)(cid:195)(cid:29)(cid:71)(cid:278)(cid:46)(cid:47) 3(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(1)3(cid:84) 3+1 7−4
(2) 3
(cid:15)(cid:139)2−(cid:140)(cid:22)(cid:104)(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:141)(cid:142)(cid:176)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:234)(cid:110)(cid:275)(cid:276)(cid:100)(cid:71)(cid:7)(cid:28)(cid:29)(cid:402)(cid:113)(cid:58)(cid:147)(cid:23)(cid:29)(cid:3)(cid:148)(cid:329)(cid:102)(cid:183)(cid:403)(cid:404)(cid:184)(cid:292)(cid:293)(cid:23)(cid:33)(cid:73)
(cid:64)1(cid:65)(cid:116)4(cid:405)(cid:129)(cid:85)1+3(cid:58)(cid:123)2 3=2×1× 3(cid:58)(cid:197)(cid:163)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:84)
(cid:64)2(cid:65)(cid:116)7(cid:405)(cid:129)(cid:85)4+3(cid:58)(cid:123)4 3=2×2× 3(cid:58)(cid:197)(cid:163)(cid:48)(cid:147)(cid:97)(cid:86)(cid:73)
(cid:15)(cid:158)(cid:147)(cid:22)(cid:64)1(cid:65)(cid:147)(cid:10)4+2 3=(3+1)+2 1×3
=( 3) +1 +2×1× 3
2
2
=( 3+1) (cid:58)
2
=3(cid:84)
教∴𝑥
4辅+2 3= ( 3+1) = 3+1(cid:84)
资
源
， 2
关
∴ 注 公
(cid:64)2(cid:65)(cid:147)(cid:10) 3 众
号
★
全
科
7−4 A A
+= 4+ 3
3−4
= 2 +( 3) ×2× 3
2
2
−2
= ( 3)
2
= 2−3(cid:73)
2−
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
