文档文本内容
专题 03 二次根式的化简求值（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:22)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:25)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:22)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:41)(cid:7)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:22)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 (cid:25)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:35)(cid:36)(cid:22)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 (cid:25)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:22)....................................................................................................................9
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:22)..........................................................................................................12
【题型1 运用二次根式的非负性求值】
(cid:15)(cid:57)1(cid:22)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:37)a(cid:75)(cid:76)|2025−a|+ a−2026=a(cid:77)(cid:78)(cid:79)a−20252(cid:31)(cid:36)(cid:80)
(cid:58) (cid:71)
A(cid:81)2023 B(cid:81)2024 C(cid:81)2025 D(cid:81)2026
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)D
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:31)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:25)(cid:96)(cid:92)(cid:97)(cid:26)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:100)(cid:54)(cid:101)(cid:102)(cid:73)(cid:103)(cid:77)(cid:104)(cid:105)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:31)(cid:90)(cid:91)(cid:31)(cid:106)(cid:107)a≥2026(cid:77)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:43)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:77)(cid:106)(cid:107) a−2026=2025(cid:77)(cid:97)(cid:26)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:100)(cid:54)(cid:101)(cid:110)(cid:111)(cid:106)(cid:107)(cid:82)(cid:83)(cid:77)
(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:31)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:25)(cid:96)(cid:102)(cid:73)(cid:103)(cid:80)(cid:100)(cid:115)(cid:116)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) a−2026(cid:119)a−2026≥0(cid:77)
a≥2026(cid:77)(cid:120)2∵025−a<0(cid:77)
∴|2025−a|+ a−2026=a(cid:77)
∵a−2025+ a−2026=a(cid:77)(cid:110) a−2026=2025(cid:77)
∴a−2026=20252(cid:77)(cid:120)a−20252=2026(cid:77)
教(cid:121)∴ (cid:122)(cid:10)D(cid:81)
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:123)(cid:30)1-1(cid:22)(cid:58)24-25 关 (cid:124)(cid:60)注(cid:61)(cid:62)公·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:42)(cid:43)(cid:10) (x+5)2 −( x+2) 2 = (cid:81)
众
号
★
全
科
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)3 A
A
+(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:130)(cid:131)(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:31)(cid:90)(cid:91)(cid:132)(cid:104)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:88)(cid:89)(cid:31)(cid:90)(cid:91)(cid:106)(cid:107)x+2≥0(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:106)(cid:107)x
+5>0(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:130)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:40)(cid:136)(cid:100)(cid:23)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10)(cid:105)(cid:23)(cid:111)(cid:106)x+2≥0(cid:77)
x+5>0(cid:77)
∴ (x+5)2−( x+2) 2 =x+5−(x+2)=3(cid:77)
∴
(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:137)(cid:10)3(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)1-2(cid:22)(cid:58)24-25(cid:138)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:125)(cid:126)(cid:139)(cid:140)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:141)a(cid:77)b(cid:137)(cid:74)(cid:37)(cid:77)(cid:142)(cid:75)(cid:76)|a−4|+ −b2=0(cid:77)(cid:120) 4a−b(cid:31)(cid:36)(cid:137) (cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)4
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:131)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:144)(cid:145)(cid:37)(cid:31)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:77)(cid:113)(cid:114)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:131)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:31)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
a−4=0
(cid:29)(cid:133)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:131)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:106)(cid:107)
−b2=0
(cid:77)(cid:35)(cid:146)a,b(cid:77)(cid:147)(cid:51)(cid:52)(cid:108)(cid:148)(cid:35)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) |a−4|+ −b2=0(cid:77)|a−4|≥0(cid:77) −b2≥0(cid:77)
a−4=0 ∵
(cid:77)
−b2=0
∴a=4,b=0(cid:77)
∴ 4a−b= 4×4−0=4(cid:77)
∴(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:137)(cid:10)4(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)1-3(cid:22)(cid:72)(cid:73) ABC(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:151)a(cid:92)b(cid:92)c(cid:75)(cid:76)a+b−2 a−1−4 b−2=3 c+3− 1 c−8(cid:77)(cid:35) ABC(cid:31)(cid:152)(cid:151)(cid:81)
2
△ △
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)14
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) a+b−2 a−1−4 b−2=3 c+3− 1 c−8(cid:77)
2
∵
( a−1−1) 2 +( b−2−2) 2 + 1 ( c+3−3) 2 =0(cid:77)
2
∴
a−1−1=0(cid:77) b−2−2=0(cid:77) c+3−3=0(cid:77)
∴a=2(cid:77)b=6(cid:77)c=6(cid:77)
∴a+b+c=14(cid:81)
∴ 【题型2 运用数形结合法化简】
教
辅
资
(cid:15)(cid:57)2(cid:22)(cid:58)2源4-25， (cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:56)(cid:153)(cid:59)(cid:154)(cid:155)·(cid:129)(cid:156)(cid:71)(cid:74)(cid:37)a(cid:77)b(cid:157)(cid:158)(cid:31)(cid:37)(cid:159)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:158)(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:10)
关
注
公
a2−2ab+b2+ 9a2−6a+1− b2+|a+ 众 b|(cid:77)号(cid:165)(cid:119)a=1− 5(cid:77)b= 5−2
★
全
科
A
A
+(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)1−5a−b(cid:77)4 5−2
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:74)(cid:37)(cid:166)(cid:37)(cid:160)(cid:77)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:29)(cid:133)(cid:167)(cid:159)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:31)(cid:168)(cid:169)(cid:77)(cid:170)(cid:171)(cid:30)(cid:172)(cid:31)(cid:173)(cid:9)(cid:77)(cid:29)(cid:133)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:130)(cid:131)(cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:31)(cid:88)(cid:89)(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:135)(cid:77)(cid:147)(cid:51)(cid:36)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10)(cid:105)(cid:37)(cid:160)(cid:111)(cid:73)(cid:10)a<0<b(cid:77)|a|>b(cid:77)
a−b<0,a+b<0(cid:77)
∴a=1− 5(cid:77)b= 5−2(cid:77)
∵3a−1=3−3 5−1=2−3 5<0(cid:77)
∴ a2−2ab+b2+ 9a2−6a+1− b2+|a+b|
∴ = (a−b)2+ (3a−1)2− b2+|a+b|
=b−a+1−3a−b−a−b
=1−5a−b(cid:132)
a=1− 5(cid:77)b= 5−2(cid:175)(cid:77)(cid:176)(cid:30)=1−5(1− 5)−( 5−2)=1−5+5 5− 5+2=4 5−2(cid:81)
(cid:15)∴ (cid:123)(cid:30)2-1(cid:22)(cid:58)23-24(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:161)·(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)·(cid:129)(cid:156)(cid:71)(cid:162)(cid:163)(cid:77)(cid:159)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:167)O(cid:92)B(cid:92)C(cid:164)(cid:157)(cid:158)(cid:31)(cid:74)(cid:37)(cid:45)(cid:181)(cid:137)0(cid:92)1(cid:92) 3(cid:77)
(cid:141)(cid:167)B(cid:107)(cid:167)C(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:166)(cid:167)O(cid:107)(cid:167)A(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:102)(cid:77)(cid:185)(cid:167)A(cid:157)(cid:158)(cid:31)(cid:74)(cid:37)(cid:137)x(cid:81)
(1)(cid:186)(cid:146)(cid:74)(cid:37)x(cid:31)(cid:36)(cid:132)
2024
(2)(cid:35)(x− 3) (cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1) 3−1
(2)1
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:187)(cid:188)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:189)(cid:40)(cid:25)(cid:96)(cid:92)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:190)(cid:167)(cid:191)(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:92)(cid:144)(cid:192)(cid:144)(cid:28)(cid:54)(cid:101)(cid:31)(cid:193)(cid:26)(cid:102)(cid:73)(cid:103)(cid:167)(cid:77)(cid:194)
(cid:195)(cid:157)(cid:158)(cid:146)(cid:196)(cid:68)(cid:151)(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:58)1(cid:71)(cid:97)(cid:26)(cid:167)B(cid:107)(cid:167)C(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:166)(cid:167)O(cid:107)(cid:167)A(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:102)(cid:77)(cid:136)(cid:39)(cid:40)A(cid:77)B(cid:77)C(cid:31)(cid:168)(cid:169)(cid:197)(cid:3)(cid:198)x(cid:31)(cid:144)(cid:192)(cid:144)(cid:28)(cid:54)(cid:101)(cid:35)
(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
教(cid:58)2(cid:71)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:58)1(cid:71)(cid:164)(cid:106)x(cid:31)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:108)(cid:148)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10) 关(cid:167)O(cid:77)B(cid:77)C(cid:164)(cid:157)(cid:158)(cid:31)(cid:37)(cid:45)(cid:181)(cid:137)0(cid:77)1(cid:77) 3(cid:77)
注
公
众
号
BC= 3−1(cid:77) ∵ ★ 全
科
A
A
+
∴(cid:167)B(cid:107)(cid:167)C(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:166)(cid:167)O(cid:107)(cid:167)A(cid:31)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:102)(cid:77)
∵OA= 3−1(cid:77)(cid:110)x−0= 3−1(cid:77)
∴x= 3−1(cid:81)
2024 2024
(cid:58)∴ 2(cid:71)(cid:100)(cid:10)(x− 3) =( 3−1− 3) =(−1)2024=1(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)2-2(cid:22)(cid:58)23-24(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:161)·(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:204)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:58)1(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:37)a(cid:77)b(cid:77)c(cid:159)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:31)(cid:168)(cid:169)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:158)(cid:10)
(cid:42)(cid:43)(cid:10) b2−|a−b|+ (c−a)2−|c|
(cid:58)2(cid:71)(cid:72)(cid:73)x= 5−2(cid:77)(cid:35)(9+4 5)x2−( 5+2)x+4(cid:31)(cid:36)(cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)0
(cid:58)2(cid:71)4
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:74)(cid:37)(cid:166)(cid:37)(cid:160)(cid:77)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:130)(cid:92)(cid:42)(cid:43)(cid:166)(cid:189)(cid:40)(cid:25)(cid:96)(cid:77)(cid:205)(cid:195)(cid:42)(cid:43)(cid:206)(cid:30)(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:58)1(cid:71)(cid:104)(cid:42)(cid:43)(cid:206)(cid:30)(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:147)(cid:108)(cid:148)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:104)(cid:174)(cid:96)(cid:146)x2(cid:31)(cid:36)(cid:77)(cid:147)(cid:51)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10)(cid:58)1(cid:71)(cid:105)(cid:37)(cid:160)(cid:73)(cid:10)c<b<0<a(cid:77)
a−b>0(cid:77)c−a<0
∴
b2−|a−b|+ (c−a)2−|c|
∴
=−b−(a−b)−(c−a)−(−c)
=−b−a+b+a−c+c
=0(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:105)x= 5−2(cid:77)
2
x2=( 5−2) =5−4 5+4=9−4 5(cid:77)
∴(9+4 5)x2−( 5+2)x+4
∴=(9+4 5)(9−4 5)−( 5+2)( 5−2)+4
=81−80−(5−4)+4
=4(cid:81)
教
(cid:15)(cid:123)辅(cid:30)2资-3(cid:22)(cid:58)24-25(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:161)·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:162)(cid:163)(cid:77)(cid:144)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:167)A(cid:215)(cid:37)(cid:160)(cid:216)(cid:217)(cid:218)2(cid:145)(cid:219)(cid:168)(cid:151)(cid:220)(cid:107)(cid:221)(cid:167)
源
，
关
注
B(cid:77)(cid:167)C(cid:166)(cid:167)B(cid:3)(cid:198)(cid:176)(cid:167)(cid:95)(cid:222)公(cid:77)(cid:141)A(cid:92)B(cid:92)C(cid:149)(cid:167)(cid:157)(cid:158)(cid:31)(cid:37)(cid:45)(cid:181)(cid:137)a(cid:92)b(cid:92)c(cid:77)(cid:142)a=− 2(cid:81)
众
号
★
全
科
A
A
+(1)(cid:120)b=_____(cid:77)c= _____(cid:77)bc+6=_____(cid:132)
(2)(cid:42)(cid:43)(cid:10) a2+ b2+ c2(cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1)− 2+2(cid:132) 2−2(cid:132)4 2
(2)4− 2
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:187)(cid:188)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:74)(cid:37)(cid:166)(cid:37)(cid:160)(cid:77)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:189)(cid:40)(cid:174)(cid:96)(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:10)
(cid:58)1(cid:71)(cid:29)(cid:133)(cid:37)(cid:160)(cid:161)(cid:190)(cid:167)(cid:182)(cid:183)(cid:174)(cid:96)(cid:7)(cid:30)(cid:111)(cid:106)b=a+2=− 2+2(cid:77)(cid:147)(cid:105)(cid:167)C(cid:166)(cid:167)B(cid:3)(cid:198)(cid:176)(cid:167)(cid:95)(cid:222)(cid:77)(cid:111)(cid:106)c=−b= 2−2(cid:77)
(cid:133)(cid:223)(cid:174)(cid:96)bc+6(cid:31)(cid:39)(cid:224)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:29)(cid:133)(cid:58)1(cid:71)(cid:164)(cid:35)(cid:77)(cid:104)(cid:42)(cid:43)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:77)(cid:147)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:225)(cid:226)(cid:174)(cid:96)(cid:41)(cid:120)(cid:35)(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:132) (cid:144)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:167)A(cid:215)(cid:37)(cid:160)(cid:216)(cid:217)(cid:218)2(cid:145)(cid:219)(cid:168)(cid:151)(cid:220)(cid:107)(cid:221)(cid:167)B(cid:77)a=− 2(cid:77)
b=a+2=− 2+2(cid:132) ∵
∴(cid:167)C(cid:166)(cid:167)B(cid:3)(cid:198)(cid:176)(cid:167)(cid:95)(cid:222)(cid:77)
∵c=−b= 2−2(cid:77)
∴bc+6
∴=( 2−2)(− 2+2)+6
=−(2−4 2+4)+6
=−6+4 2+6
=4 2(cid:77)
(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:137)(cid:10)− 2+2(cid:132) 2−2(cid:132)4 2(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:100)(cid:10) a2+ b2+ c2
2 2 2
= (− 2) + (− 2+2) + ( 2−2)
= 2+2− 2+2− 2
=4− 2(cid:81)
【题型3 运用乘法公式求值】
教(cid:15)(cid:57)3(cid:22)(cid:58)2024(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:227)(cid:207)·(cid:228)(cid:23)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)a= 5+2(cid:77)b= 5−2(cid:77)(cid:35)(cid:62)(cid:197)(cid:30)(cid:172)(cid:31)(cid:36)(cid:10)
辅
资
源
，
(1)a2b+ab2(cid:132) 关
注
公
众
号
(2)a2−3ab+b2(cid:132) ★ 全
科
A
A
+(3)(a−2)(b−2)(cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1)2 5
(2)78−30 5
(3)5−4 5
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:223)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:229)(cid:30)(cid:45)(cid:100)(cid:131)(cid:49)(cid:30)(cid:44)(cid:41)(cid:25)(cid:96)(cid:77)(cid:113)(cid:114)(cid:97)(cid:26)(cid:230)(cid:7)(cid:229)(cid:30)(cid:41)(cid:229)(cid:30)(cid:45)(cid:100)(cid:131)(cid:231)(cid:232)
(cid:30)(cid:44)(cid:231)(cid:232)(cid:30)(cid:41)(cid:120)(cid:80)(cid:100)(cid:115)(cid:223)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:58)1(cid:71)(cid:104)(cid:35)(cid:146)ab(cid:131)a+b(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:233)(cid:176)(cid:30)(cid:229)(cid:30)(cid:45)(cid:100)(cid:51)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:97)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:123)(cid:38)(cid:106)(cid:146)(cid:82)(cid:83)(cid:132)
(cid:58)3(cid:71)(cid:97)(cid:26)(cid:231)(cid:232)(cid:30)(cid:44)(cid:231)(cid:232)(cid:30)(cid:41)(cid:120)(cid:233)(cid:176)(cid:30)(cid:236)(cid:237)(cid:77)(cid:51)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10) a= 5+2,b= 5−2(cid:77)
ab=( 5+2)( 5−2)=∵1(cid:77)a+b=( 5+2)+( 5−2)=2 5(cid:77)
∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×2 5=2 5(cid:132)
∴(cid:58)2(cid:71)(cid:100)(cid:10)a2−30b+b2
=(a+b)2−2ab−30b
2
=(2 5) −2×1−30×( 5−2)
=20−2−30 5+60
=78−30 5(cid:132)
(cid:58)3(cid:71)(cid:100)(cid:10)(a−2)(b−2)
=ab−2(a+b)+4
=1−2×2 5+4
=5−4 5(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)3-1(cid:22)(cid:58)24-25(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:63)(cid:180)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)a= 11+4(cid:77)b= 11−4(cid:77)(cid:35)a2+b2+ab(cid:31)(cid:36)(cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)49
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:187)(cid:188)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:189)(cid:40)(cid:25)(cid:96)(cid:77)(cid:104)(cid:35)(cid:146)a+b(cid:77)ab(cid:31)(cid:36)(cid:77)(cid:147)(cid:29)(cid:133)a2+b2+ab=(a+b)2−ab(cid:51)(cid:36)(cid:174)(cid:96)
(cid:110)(cid:111)(cid:106)(cid:107)(cid:82)(cid:83)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) a= 11+4(cid:77)b= 11−4(cid:77)
教
a+辅b= 资11+4+∵11−4=2 11(cid:77)ab=( 11+4)×( 11−4)=11−16=−5(cid:77)
源
，
关
∴a2+b2+ab 注 公
众
号
★
全
=∴(a2+b2+2ab)−ab 科
A
A
+=(a+b)2−ab
2
=(2 11) −(−5)
=44+5
=49(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)3-2(cid:22)(cid:58)23-24(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:238)(cid:239)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)x= 5−2(cid:77)y= 5+2(cid:81)
(1)(cid:35)x2+2xy+y2(cid:31)(cid:36)(cid:81)
y x
(2)(cid:35) − (cid:31)(cid:36)(cid:81)
x y
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1)20
(2)8 5
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据二次根式的减法法则求出x−y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据分式的减法法则把原式变形，
代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)解： x= 5−2，y= 5+2，
x+y=( 5−2)+( 5+2)=∵2 5，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(2 5)2=20；
(cid:58)∴ 2(cid:71)(cid:100)(cid:10) x= 5−2，y= 5+2，
x−y=( 5−∵2)−( 5+2)=−4，
∴xy=( 5−2)( 5+2)=5−4=1，
∴ y − x = y2−x2 = (y x)(y−x)2 5×4=8 5．
x y xy xy 1
+
∴
2
(cid:15)(cid:123)(cid:30)3-3(cid:22)(cid:58)22-23(cid:138)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:240)(cid:154)(cid:207)(cid:241)(cid:153)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)x = (cid:77) x = 5+ 3(cid:77)(cid:35)x 2+x 2(cid:31)(cid:36)
1 2 1 2
5 3
+
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)16
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:97)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22) x = 2 = 5− 3(cid:77)x = 5+ 3(cid:77)
1 2
5 3
∵ +
x +x =2 5(cid:77)x x =2
1 2 1 2
教
辅
资 2
∴x
1
2+x
2
2=(x
1
源+x
2
)， 2−2x
关1
x
2
=(2 5) −2×2=16(cid:81)
注
公
(cid:15)∴ (cid:167)(cid:242)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:189)(cid:40)众(cid:25)(cid:96)号(cid:77)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:123)(cid:38)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:80)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:189)(cid:40)
★
全
科
A
(cid:25)(cid:96)(cid:41)(cid:120)(cid:81) A +【题型4 运用分母有理化求值】
(cid:15)(cid:57)4(cid:22)(cid:58)24-25(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:20)(cid:202)(cid:221)(cid:180)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:141)x2−x−2=0(cid:77)(cid:120) x2−x 2 3 (cid:31)(cid:36)(cid:137)(cid:58) (cid:71)
(x2−x)2−1 3
+
+
1 2 3 3
A(cid:81)1 B(cid:81) C(cid:81) D(cid:81) 3(cid:243)
3 3 3
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)C
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:187)(cid:188)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:45)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:77)(cid:29)(cid:133)(cid:23)(cid:88)(cid:106)(cid:107)x2−x=2(cid:77)(cid:147)(cid:201)x2−x=2(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:164)(cid:35)(cid:30)
(cid:172)(cid:119)(cid:174)(cid:96)(cid:35)(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) x2−x−2=0(cid:77)
x2−x=2(cid:77) ∵
∴ x2−x 2 3
(x2−x)2−1 3
+
∴ 2+2 3+
=
22 −1+ 3
2+2 3
=
3+ 3
(2+2 3)(3− 3)
=
(3+ 3)(3− 3)
6+6 3−2 3−6
=
9−3
2 3
= (cid:77)
3
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:81)
x 1
(cid:15)(cid:123)(cid:30)4-1(cid:22)(cid:58)23-24(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:161)·(cid:244)(cid:64)(cid:245)(cid:246)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)x= 2+1(cid:77)(cid:120)(cid:51)(cid:37)(cid:30) (cid:31)(cid:36)(cid:137)(cid:58) (cid:71)
x−1
+
A(cid:81) 2+1 B(cid:81) 2+2 C(cid:81)3 D(cid:81) 2−1
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)A
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:233)x(cid:31)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:51)(cid:37)(cid:30)(cid:119)(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:147)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10)(cid:176)(cid:30)= 2 2=1+ 2(cid:132)
2
+
(cid:121)(cid:122)(cid:10)A(cid:81)
(cid:15)(cid:167)(cid:242)(cid:22)(cid:223)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:31)(cid:80)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:81)
教
(cid:15)(cid:123)辅(cid:30)4-2(cid:22)(cid:58)22-23(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:161)·(cid:161)(cid:239)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:247)(cid:248)a b=
a−b
(cid:77)(cid:120) 5 2(cid:31)(cid:36)(cid:80)(cid:58) (cid:71)
资 a b
源
，
关
注 ⊗ + ⊗
A(cid:81)5+4 5 B(cid:81)5−公4 5 C(cid:81)9−4 5 D(cid:81)9+4 5
众
号
★
全
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)C 科
A
A
+a−b
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:29)(cid:133)(cid:249)(cid:248)(cid:89)a b= (cid:77)(cid:199)(cid:200)(cid:233)a= 5,b=2(cid:51)(cid:52)(cid:135)(cid:77)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:106)(cid:107)(cid:82)(cid:83)(cid:81)
a b
⊗ +
a−b
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) a b= (cid:77)
a b
∵ ⊗ +
5 2= 5−2
5 2
∴ ( 5 ⊗ −2)( 5+−2)
=
( 5−2)( 5+2)
5−4 5+4
=
5−4
=9−4 5(cid:77)
(cid:121)(cid:122)(cid:10)C(cid:81)
(cid:15)(cid:167)(cid:242)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:249)(cid:248)(cid:89)(cid:25)(cid:96)(cid:77)(cid:250)(cid:251)(cid:51)(cid:37)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:77)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:25)(cid:96)(cid:41)(cid:120)(cid:80)(cid:100)(cid:115)(cid:116)(cid:23)(cid:31)
(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)4-3(cid:22)(cid:141)x=
5 1
(cid:77)(cid:120)
x2−x 1 2 3
(cid:31)(cid:36)(cid:102)(cid:198)(cid:58)(cid:252)(cid:252)(cid:71)
2 (x2−x)2 2 3
+ + +
+ +
A(cid:81)
2 3
B(cid:81)
3
C(cid:81) 3 D(cid:81)
3
(cid:243) 3
3 3 3
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)A
5 1
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:253)(cid:23)(cid:100)(cid:84)(cid:10) x(cid:254) (cid:77)
2
+
x2-x ∵
∴=x(cid:58)x-1(cid:71)(cid:77)
=
5 1
×
5−1(cid:77)
2 2
+
=1(cid:77)
x2−x 1 2 3
(cid:77)
(x2−x)2 2 3
+ +
∴ + +
1 1 2 3
= (cid:77)
1 2 3
+ +
+ +
2 3
= (cid:77)
3
(cid:121)(cid:122)A(cid:81)
【题型5 运用整体代入法化简求值】
教
辅
资
(cid:15)(cid:57)5(cid:22)(cid:72)(cid:73) 源 a+b，=−8关(cid:77)ab=12(cid:81)(cid:35) b + a (cid:31)(cid:36)
注 a b
公
众
号
★
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22) 4 3 全 科
3 A A
+(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:96)(cid:98)(cid:99)(cid:54)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:77)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:255)(cid:256)(cid:37)(cid:11)(cid:257)(cid:258)(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)(cid:29)
(cid:133)(cid:35)(cid:51)(cid:37)(cid:30)(cid:36)(cid:119)(cid:31)(cid:49)(cid:50)(cid:259)(cid:260)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:100)(cid:82)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) b + a = b + a +2= b2+a2+2ab = (a+b)2 = 64 (cid:132)
a b a b ab ab 12
∵
(cid:176)(cid:30)= 64 = 4 3(cid:81)
12 3
∴
(cid:15)(cid:123)(cid:30)5-1(cid:22)(cid:58)24-25(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:261)(cid:262)(cid:154)(cid:263)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)a+b= 3+ 2(cid:77)ab= 6(cid:77)(cid:45)(cid:181)(cid:35)(cid:62)(cid:197)(cid:51)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:10)
1
(1)
a b
+
(2)a2+b2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1) 3− 2
(2)5
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:189)(cid:40)(cid:25)(cid:96)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:77)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:184)(cid:3)(cid:25)(cid:96)(cid:41)(cid:120)(cid:136)(cid:194)(cid:195)(cid:35)(cid:100)(cid:80)(cid:100)(cid:82)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:58)1(cid:71)(cid:97)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:31)(cid:35)(cid:100)(cid:54)(cid:41)(cid:35)(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:97)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:131)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:96)(cid:41)(cid:120)(cid:35)(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10) a+b= 3+ 2(cid:77)
1 = 1 (cid:132) ∵
a b 3 2
∴ + +3− 2
=
( 3+ 2)( 3− 2)
= 3− 2(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:100)(cid:10) a+b= 3+ 2(cid:77)ab= 6(cid:77)
a2+b2=(a+∵b)2−2ab
2
=∴( 3+ 2) −2 6
=3+2 6+2−2 6
=5(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)5-2(cid:22)(cid:58)23-24(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)x−y=−2 3(cid:77)xy=1(cid:77)(cid:35)(cid:62)(cid:197)(cid:51)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:10)
(1)x2−xy+y2(cid:132)
y x
(2) + (cid:81)
x y
教
(cid:15)(cid:82)辅(cid:83)(cid:22)资(1)13
源
，
关
注
(2)14 公
众
号
★
全
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:233)(cid:176)(cid:30)(cid:49)(cid:48)(cid:137)(x−y)2+xy(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:51)(cid:52)科(cid:35)(cid:36)
A
(cid:110)(cid:111)(cid:132)
A
+(x−y)2 2xy
(cid:58)2(cid:71)(cid:233)(cid:176)(cid:30)(cid:49)(cid:48)(cid:137) (cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
xy
+
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10)x2−xy+y2
2
= x−y +xy
2
=(−2 3) +1
=12+1
=13(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:100)(cid:10) y + x
x y
x2+y2
=
xy
2
x−y +2xy
=
xy
2
(−2 3) +2
=
1
=12+2
=14(cid:81)
(cid:15)(cid:167)(cid:242)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:187)(cid:188)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:189)(cid:40)(cid:25)(cid:96)(cid:92)(cid:25)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:108)(cid:148)(cid:25)(cid:96)(cid:102)(cid:73)(cid:103)(cid:77)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:184)(cid:3)(cid:25)(cid:96)(cid:41)(cid:120)
(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)5-3(cid:22)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:62)(cid:197)(cid:271)(cid:272)(cid:10)
(cid:116)(cid:23)(cid:10)(cid:72)(cid:73)x= 5+2(cid:77)(cid:35)(cid:51)(cid:37)(cid:30)x2−4x−7(cid:31)(cid:36)(cid:81)(cid:273)(cid:274)(cid:31)(cid:275)(cid:41)(cid:80)(cid:10)(cid:29)(cid:133)x= 5+2(cid:106)(x−2)2(cid:254)5(cid:77) x2−4x+4=5(cid:77)(cid:106)x2−4
x=1(cid:81)(cid:201)x2−4x(cid:128)(cid:137)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:106)x2−4x−7=1−7=−6(cid:81)(cid:110)(cid:10)(cid:201)(cid:72)(cid:73)(cid:90)(cid:91)(cid:276)(cid:277)(cid:123)(cid:38)(cid:77)(cid:147)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)∴(cid:100)(cid:115)(cid:116)(cid:23)(cid:81)(cid:268)(cid:278)(cid:26)
(cid:161)(cid:279)(cid:54)(cid:41)(cid:100)(cid:115)(cid:62)(cid:280)(cid:116)(cid:23)(cid:10)
(1)(cid:72)(cid:73)x= 5−2(cid:77)(cid:35)(cid:51)(cid:37)(cid:30)x2+4x−10(cid:31)(cid:36)(cid:132)
(2)(cid:72)(cid:73) x=
5−1(cid:77)(cid:35)(cid:51)(cid:37)(cid:30)x3+x2+1(cid:31)(cid:36)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1)−9
5 1
(2)
2
+
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:85)(cid:23)(cid:187)(cid:188)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:193)(cid:26)(cid:92)(cid:49)(cid:50)(cid:259)(cid:260)(cid:102)(cid:73)(cid:103)(cid:167)(cid:77)(cid:29)(cid:133)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:35)(cid:146)x2+4x=1(cid:77)
(cid:134)(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:132)(cid:113)(cid:114)(cid:49)(cid:50)(cid:259)(cid:260)(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:132)
教
辅
资
(cid:58)2(cid:71)(cid:85)(cid:23)(cid:187)源(cid:188)(cid:86)
，
(cid:87)(cid:143)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:41)(cid:92)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:102)(cid:73)(cid:103)(cid:167)(cid:29)(cid:133)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:41)(cid:41)(cid:120)(cid:92)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:174)
关
注
公
众
(cid:96)(cid:111)(cid:106)x2=3− 5 (cid:77)x3= 5−2(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:49)(cid:50)(cid:51) 号 (cid:52)(cid:174)★(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:132)(cid:281)(cid:282)(cid:25)(cid:26)(cid:184)(cid:3)(cid:25)(cid:96)(cid:41)(cid:120)(cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
2 全 科
A
A
+(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10) x= 5−2(cid:77)
(x+2)2=5(cid:77) ∵
∴x2+4x+4=5(cid:77)
∴x2+4x=1(cid:77)
∴x2+4x−10=1−10=−9(cid:81)
∴
(cid:58)2(cid:71)(cid:100)(cid:10) x=
5−1(cid:77)
2
∵2
x2= 5−1 =3− 5 (cid:77)
2 2
∴
x3=x·x2= 5−1×3− 5= 5−2(cid:77)
2 2
∴
x3+x2+1= 5−2+3− 5= 5 1 (cid:81)
2 2
+
∴
【题型6 运用配方法化简双重二次根式】
(cid:15)(cid:57)6(cid:22)(cid:58)24-25(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:244)(cid:208)(cid:283)(cid:284)·(cid:129)(cid:119)(cid:71)(cid:269)(cid:270)(cid:166)(cid:259)(cid:86)
2
(cid:38)(cid:162) m±2 n(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:211)(cid:188)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:107)(cid:190)(cid:145)(cid:37)a(cid:77)b(cid:288)a+b=m(cid:77)ab=n(cid:77)(cid:255)(cid:289)( a)2+( b) =m(cid:77) a b= n(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:290)
⋅
2
(cid:47) m±2 n= ( a± b) = a± b(cid:58)a>b(cid:71)(cid:81)
(cid:57)(cid:162)(cid:10)(cid:42)(cid:43) 7+4 3(cid:81)
(cid:100)(cid:10)(cid:291)(cid:104)(cid:201) 7+4 3(cid:42)(cid:137) 7+2 12(cid:77)(cid:255)(cid:292)m=7(cid:77)n=12(cid:81)
2 2
(cid:105)(cid:198)4+3=7(cid:77)4×3=12(cid:77)( 4) +( 3) =7(cid:77) 4 3= 12(cid:77)
2 ⋅
7+4 3= 7+2 12= ( 4+ 3) =2+ 3(cid:81)
∴
(cid:293)(cid:294)(cid:161)(cid:280)(cid:57)(cid:23)(cid:77)(cid:100)(cid:115)(cid:62)(cid:197)(cid:116)(cid:23)(cid:81)
(1) 8+2 15(cid:81)
(2) 11−2 30(cid:81)
(3) 7+ 40(cid:81)
教(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1) 5+ 3
辅
资
源
，
(2) 6− 5 关 注
公
众
号
★
(3) 5+ 2 全
科
A
A
+(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:295)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:295)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:54)(cid:41)(cid:80)(cid:100)(cid:82)(cid:85)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:81)
(cid:58)1(cid:71)(cid:293)(cid:294)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:119)(cid:31)(cid:54)(cid:41)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:293)(cid:294)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:119)(cid:31)(cid:54)(cid:41)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)3(cid:71)(cid:293)(cid:294)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:119)(cid:31)(cid:54)(cid:41)(cid:174)(cid:96)(cid:110)(cid:111)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10) 8+2 15= ( 5+ 3) = 5+ 3(cid:132)
2
(cid:58)2(cid:71)(cid:100)(cid:10) 11−2 30= ( 6− 5) = 6− 5(cid:132)
2
(cid:58)3(cid:71)(cid:100)(cid:10) 7+ 40= 7+2 10= ( 5+ 2) = 5+ 2(cid:81)
(cid:15)(cid:123)(cid:30)6-1(cid:22)(cid:58)22-23(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:210)(cid:296)(cid:297)(cid:264)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:174)(cid:96) 2025− 2024(cid:31)(cid:39)(cid:224)(cid:80) (cid:81)
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22) 23− 22
2
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:4)(cid:88)(cid:107) 2025=45(cid:77)(cid:121)(cid:111)(cid:233)(cid:176)(cid:30)(cid:42)(cid:137) 45−2 506(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:298)(cid:299)45−2 506=( 23− 22) (cid:77)(cid:108)(cid:109)(cid:106)(cid:100)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:10) 2025− 2024
= 45−2 506
2
= ( 23− 22)
= 23− 22(cid:132)
(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:137)(cid:10) 23− 22(cid:81)
2
(cid:15)(cid:167)(cid:242)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:37)(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:241)(cid:77)(cid:194)(cid:195)(cid:287)(cid:107)45−2 506=( 23− 22) (cid:80)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117).
(cid:15)(cid:123)(cid:30)6-2(cid:22)(cid:58)23-24(cid:124)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:303)(cid:304)(cid:241)(cid:305)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:306)(cid:307)(cid:92)(cid:259)(cid:86)(cid:92)(cid:100)(cid:82)(cid:10)
2 2
( 2−1) =( 2) −2×1× 2+12=2−2 2+1=3−2 2
2
(cid:308)(cid:309)3−2 2=2−2 2+1=( 2−1)
2
3−2 2=( 2−1)
∴
3−2 2= 2−1
∴
(1)(cid:293)(cid:161)(cid:57)(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:10) 6−2 5=______(cid:77) 7− 48=______(cid:81)
(2)(cid:141) a+2 b= m+ n(cid:77)(cid:120)m(cid:92)n(cid:166)a(cid:92)b(cid:31)(cid:3)(cid:310)(cid:80)(cid:311)(cid:79)(cid:312)(cid:136)(cid:313)(cid:314)(cid:48)(cid:105)(cid:132)
教
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22)(1) 5−1(cid:77)2关− 3
注
公
众
号
(2)m+n=a(cid:77)mn=b(cid:132)(cid:48)(cid:105)(cid:315)(cid:100)(cid:84) ★ 全
科
A
A
+(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:295)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:193)(cid:26)(cid:132)
(cid:58)1(cid:71)(cid:293)(cid:294)(cid:57)(cid:172)(cid:77)(cid:29)(cid:133)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:316)(cid:167)(cid:42)(cid:43)(cid:110)(cid:111)(cid:132)
(cid:58)2(cid:71)(cid:105)(cid:23)(cid:88)(cid:73)(cid:77)a+2 b=( m+ n)2(cid:77)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:77)(cid:147)(cid:108)(cid:148)(cid:301)(cid:302)(cid:110)(cid:111)(cid:195)(cid:248)m(cid:92)n(cid:166)a(cid:92)b(cid:31)(cid:3)(cid:310)(cid:81)
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22)(cid:58)1(cid:71)(cid:100)(cid:10) 6−2 5= ( 5)2−2× 5×1+12= ( 5−1)2= 5−1(cid:132)
2 2
7− 48= 22−2×2× 3+( 3) = (2− 3) =2− 3(cid:132)
(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:137)(cid:10) 5−1(cid:77)2− 3(cid:132)
(cid:58)2(cid:71) a+2 b= m+ n(cid:77)
a+2 ∵ b=( m+ n)2
(cid:110)∴ a+2 b=m+n+2 mn(cid:77)
m+n=a(cid:77)mn=b
∴ 1 1
(cid:15)(cid:123)(cid:30)6-3(cid:22)(cid:141)a(cid:137) 6−2 5(cid:31)(cid:273)(cid:37)(cid:317)(cid:45)(cid:77)b(cid:137) 7−4 3(cid:31)(cid:273)(cid:37)(cid:317)(cid:45)(cid:77)(cid:120) − (cid:31)(cid:36)(cid:137) (cid:81)
a b
(cid:15)(cid:82)(cid:83)(cid:22) 5− 3/− 3+ 5
1 1
(cid:15)(cid:45)(cid:84)(cid:22)(cid:233)(cid:190)(cid:145)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:181)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:108)(cid:148)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:147)(cid:51)(cid:52) − (cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:35)(cid:100)(cid:77)(cid:85)(cid:23)(cid:86)(cid:87)(cid:143)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:54)(cid:7)(cid:30)(cid:77)(cid:29)
a b
(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:77)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:318)(cid:100)(cid:23)(cid:31)(cid:3)(cid:117)(cid:80)(cid:10)(cid:112)(cid:69)(cid:113)(cid:114)(cid:53)(cid:54)(cid:41)(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:29)(cid:30)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:118)(cid:100)(cid:22) 6−2 5= ( 5) −2 5+12= ( 5−1) = 5−1(cid:77)
2< 5<3(cid:77)
∵1< 5−1<2(cid:77)(cid:49)(cid:37)(cid:317)(cid:45)(cid:137)1(cid:77)
∴a= 5−1−1= 5−2(cid:77)
∴ 2 2
7−4 3= 22−4 3+( 3) = (2− 3) =2− 3(cid:77)
1< 3<2(cid:77)
∵0<2− 3<1(cid:77)(cid:49)(cid:37)(cid:317)(cid:45)(cid:137)0(cid:77)
∴b=2− 3−0=2− 3(cid:77)
∴1 − 1 = 1 − 1 = 5 2 − 2 3 = 5− 3(cid:77)
a b 5−2 2− 3 ( 5−2)( 5 2) (2− 3)(2 3)
+ +
∴ + +
教(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:137)(cid:10) 5− 3(cid:81)
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
