专题 05 二次函数与角度（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:29)(cid:19)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:31)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:19)....................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:38)(cid:19)..................................................................................................................10
知识点1 特殊角与等角
(cid:39)(cid:21)(cid:40) (cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:44) =45°
(cid:48)(cid:30)(cid:49)Rt (cid:50)(cid:51) ∠Q𝑃𝐴(cid:52)𝐵(cid:53)(cid:54) (cid:55)(cid:56)PA(cid:45)(cid:57)(cid:58) P(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:56)
(cid:45)(cid:20)(cid:46)(cid:47)
PA(cid:26)(cid:62)(cid:63)△(cid:56)𝐴(cid:45)𝐵(cid:57)𝑄(cid:58)(cid:64)△𝐴𝐵𝑂≌ △𝐵𝑄𝐻⇒ ⇒ ⇒
(cid:39)(cid:21)(cid:22) (cid:30)(cid:29) (cid:65)(cid:66)
⟶
(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:44) =
= PB(cid:67)AC (cid:55)(cid:56)AC(cid:33)(cid:55)∠𝑃(cid:56)𝐵𝐴PB(cid:68)∠𝐶(cid:69)𝐴(cid:70)𝐵(cid:30) (cid:55)(cid:56)PB(cid:45)(cid:57)(cid:58) P(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:60)(cid:61)
(cid:45)(cid:20)(cid:46)(cid:47)
(cid:55)∠𝑃(cid:56)𝐵𝐴PB(cid:26)∠𝐶(cid:62)𝐴(cid:63)𝐵⇒(cid:56)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:64)⇒ ⇒ ⇒
(cid:39)(cid:21)(cid:71) (cid:30)(cid:29) (cid:72)(cid:30)
⟶(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:44) = (cid:50)CD(cid:67)x(cid:73)(cid:50) =
= = =∠4𝑃5𝐵°𝐴 ∠𝐷𝐵𝐶 E(cid:52)(cid:53)𝑂𝐶(cid:54) 𝑂(cid:55)𝐵(cid:56)PB(cid:45)(cid:57)(cid:58) P(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:60)
(cid:45)(cid:20)(cid:46)(cid:47)
(cid:61)∠𝐶(cid:55)𝐵𝑂(cid:56)PB∠𝐷(cid:26)𝐶(cid:62)𝐵(cid:63)(cid:56)∠𝐵(cid:45)𝐶𝑂(cid:57)(cid:58)(cid:64) ⇒△𝐵𝐶𝐸≌ △𝐵𝐶𝐷⇒ ⇒ ⇒
知识点2 二倍角（一题多法）
(cid:39)(cid:21)(cid:40) (cid:22)(cid:31)(cid:29) (cid:74)(cid:31)
⟶
(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:44) =2
(cid:45)(cid:20)(cid:46)(cid:47) (cid:75)(cid:76) (cid:51) ∠𝑃𝐵𝐴 ∠𝑂𝐴=𝐵 PB(cid:67)AD
△𝐵𝐴𝑂 △𝐷𝐴𝑂⇒∠𝑃𝐵𝐴 ∠𝐵𝐴𝐷⇒
(cid:39)(cid:21)(cid:22) (cid:22)(cid:31)(cid:29) (cid:77)(cid:78)
⟶
(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:44) =2
(cid:45)(cid:20)(cid:46)(cid:47) (cid:79)(cid:80)PB(cid:81)x(cid:73)(cid:82)∠(cid:52)𝑃𝐵D𝐴 ∠𝑂𝐴=𝐵 =
⇒∠𝐵𝐷𝐴 ∠𝐵𝐴𝐷⇒𝑂𝐴 𝑂𝐷
(cid:39)(cid:21)(cid:71) (cid:22)(cid:31)(cid:29) (cid:77)(cid:78)
⟶
(cid:41)(cid:42)
(cid:43)(cid:44) =2
(cid:45)(cid:20)(cid:46)(cid:47) (cid:83) (cid:83)(cid:73)(cid:50)(cid:81)BP(cid:84)(cid:79)(cid:80)(cid:56)(cid:82)(cid:52)∠𝑃D𝐵(cid:50)𝐴 ∠𝑂𝐴(cid:82)𝐵(cid:52)H = =
𝐴𝐷⊥𝑥 𝐵𝐻⊥𝐴𝐷 ⇒∠𝐷𝐵𝐻 ∠𝐴𝐵𝐻⇒𝐴𝐷 2𝑂𝐵【题型1 二次函数与特殊角】
(cid:15)(cid:85)1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)·(cid:90)(cid:91)(cid:80)(cid:92)·(cid:93)(cid:94)(cid:64)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = (cid:97)
2
𝑦 𝑥 −2𝑡𝑥−𝑡−3
(1)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:84)(cid:101)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:102)(cid:103)t(cid:84)(cid:58)(cid:104)(cid:105)(cid:42)(cid:64)(cid:106)
(2)(cid:107)0 3(cid:108)(cid:50)y(cid:84)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112) (cid:50)(cid:98)(cid:99)t(cid:84)(cid:111)(cid:106)
(3)(cid:113)(cid:41)≤(cid:50)𝑥(cid:114)≤(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:116)−(cid:52)5 (5,0)(cid:50)(cid:117)(cid:26)x(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:118)(cid:40)(cid:52)A(cid:50)(cid:26)y(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52)C(cid:50)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)
(cid:52)P(cid:50)(cid:126)(cid:51) =45°(cid:50)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)𝐵(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:52)P(cid:53)(cid:54)(cid:50)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97)
∠𝐴𝑃𝐶 5 7 2
(cid:15)(cid:133)(cid:58)1-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:134)(cid:87)(cid:88)(cid:122)·(cid:135)(cid:136)·(cid:93)(cid:94)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)(cid:116)(cid:52) , (cid:84)(cid:62)(cid:63)(cid:56) =
2 6 3
2
+ +2(cid:97)(cid:35)(cid:139)(cid:81) (cid:73)(cid:82) (cid:50) (cid:140)(cid:52)(cid:59)(cid:52) (cid:119)(cid:52) (cid:84)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:50)(cid:81) (cid:73)(cid:82)(cid:52) (cid:97) 𝑃 − 𝑦 − 𝑥
𝑏𝑥 𝑥 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶
(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:97)
(2)(cid:114)(cid:52) (cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:122)(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:107) (cid:84)(cid:144)(cid:80)(cid:145)(cid:51)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:108)(cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:146) (cid:84)(cid:144)(cid:80)(cid:97)
𝑄 5 △𝐵𝐶𝑄 𝑄 △𝐵𝐶𝑄
(3)(cid:107) ( )(cid:50) ( )(cid:140)(cid:52)(cid:147)(cid:148)(cid:10) < <0(cid:50) >0(cid:50)(cid:117) =90°(cid:108)(cid:50)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:43)(cid:44)(cid:84) (cid:52)(cid:84)(cid:151)(cid:25)(cid:152)2(cid:151)(cid:50)
2
(cid:127)(cid:55)(cid:153)𝑀(cid:154) 𝑚 (cid:99) ,0 (cid:84)𝑁(cid:145) 0 (cid:111) ,𝑛 (cid:155)(cid:156)(cid:97) − 𝑚 𝑛 ∠𝑃𝑀𝑁 𝑀
(cid:15)(cid:133)(cid:58)1-2(cid:19)𝑛(cid:59)2024·(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)·(cid:40)(cid:161)(cid:64)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + +2(cid:26)x(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:140)
2
1 7 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥
(cid:52) ,0 (cid:50)B(cid:59)(cid:52)A(cid:119)B(cid:141)(cid:162)(cid:64)(cid:50)(cid:81)y(cid:73)(cid:82)C(cid:50)(cid:52) 3, (cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:52)(cid:97)
2 2
𝐴 − 𝑃(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:3)(cid:38)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:122)(cid:163)(cid:40)(cid:52)M(cid:50)(cid:126) + (cid:84)(cid:111)(cid:109)(cid:110)(cid:50)(cid:98)(cid:52)M(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)𝑀(cid:52)𝐴 Q(cid:50)𝑀(cid:126)𝐶 =45°(cid:164)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:52)Q(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97)
∠𝑄𝐶𝑃 1
(cid:15)(cid:133)(cid:58)1-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:134)(cid:87)(cid:88)(cid:89)·(cid:165)(cid:166)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + + (cid:26)x(cid:73)
2
2
(cid:81)(cid:82)A(cid:50)B(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:26)y(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52)C(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:50)(cid:117) ( )(cid:50) =6(cid:97) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
𝐴𝐶,𝐵𝐶 𝐵 −2,0 𝐴𝐵
(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:52)P(cid:112)(cid:55)(cid:56) (cid:89)(cid:172)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:173)(cid:52)(cid:50)(cid:116)P(cid:83) (cid:81)AC(cid:82)(cid:52)D(cid:50)(cid:116)P(cid:83) (cid:73)(cid:81)x(cid:73)(cid:82)(cid:52)
𝐴𝐶 𝑃𝐷⊥𝐴𝐶 2 𝑃𝐺⊥𝑥
G(cid:174)(cid:81) (cid:82)(cid:52)E(cid:50)(cid:52)M(cid:112)(cid:55)(cid:56) (cid:122)(cid:40)(cid:173)(cid:52)(cid:50)(cid:107) (cid:144)(cid:80)(cid:109)(cid:175)(cid:108)(cid:50)(cid:98) + (cid:84)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:146)(cid:176)(cid:108)(cid:52)M(cid:84)
2
(cid:53)(cid:54)(cid:106)𝐴𝐶 𝑃𝐺 △𝐷𝐸𝑃 𝑂𝑀 𝑃𝑀
1
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)(cid:177)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + + (cid:178)(cid:179)(cid:56) (cid:172)(cid:180)(cid:65)(cid:181)2 5(cid:151)(cid:182)(cid:183)(cid:50)(cid:51)(cid:184)(cid:185)(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:50)(cid:52)F(cid:123)(cid:185)(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:122)
2
2 ′ ′
(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:52)Q(cid:112)(cid:52)B(cid:3)𝑦(cid:82)y 𝑥(cid:73)(cid:84)𝑏(cid:120)𝑥(cid:121)(cid:52)𝑐 (cid:50)(cid:107) 𝐵𝐶 =45°(cid:108)(cid:50)(cid:127)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:186)(cid:152)(cid:149)(cid:150)(cid:43)(cid:44) 𝑦 (cid:84)F(cid:52)(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:97) 𝑦
【题型2 二次函数与等角】 ∠𝐹𝑄𝐶
(cid:15)(cid:85)2(cid:19)(cid:59)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:187)(cid:188)·(cid:22)(cid:161)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:95)(cid:96)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + +5(cid:189)(cid:116) ( )(cid:50) ( )(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:26)x(cid:73)
2
(cid:84)(cid:118)(cid:40)(cid:151)(cid:81)(cid:52)(cid:112)C(cid:50)(cid:101)(cid:52)(cid:112)D(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:97) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝐴 −5,0 𝐵 −4,−3
𝐶𝐷(1)(cid:98)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:52)P(cid:112)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:173)(cid:52)(cid:59)(cid:26)(cid:52)B(cid:50)C(cid:128)(cid:165)(cid:150)(cid:64)(cid:50)(cid:190)(cid:52)P(cid:84)(cid:191)(cid:53)(cid:54)(cid:112)m(cid:97)
①(cid:107)(cid:52)P(cid:119)(cid:55)(cid:56) (cid:84)(cid:89)(cid:172)(cid:192)(cid:173)(cid:108)(cid:50)(cid:98) (cid:84)(cid:137)(cid:193)(cid:84)(cid:109)(cid:175)(cid:111)(cid:106)
②(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:125)(cid:119)𝐵𝐶(cid:52)P(cid:50)(cid:126)(cid:51) =△𝑃𝐵𝐶(cid:50)(cid:127)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:186)(cid:152)(cid:52)P(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:97)
(cid:15)(cid:133)(cid:58)2-1(cid:19)(cid:59)2025·(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)·(cid:71)∠𝑃(cid:161)𝐵(cid:64)𝐶 (cid:95)∠(cid:96)𝐵(cid:62)𝐶𝐷(cid:63)(cid:56) = + + (cid:189)(cid:116) ( )(cid:50) ( )(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:26)x(cid:73)(cid:84)(cid:118)
2
(cid:40)(cid:151)(cid:81)(cid:52)(cid:112)C(cid:50)(cid:101)(cid:52)(cid:112)D(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:97) 𝑦 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝐴 −5,0 𝐵 −4,−3
𝐶𝐷
(1)(cid:98)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:52)M(cid:198)(cid:52)C(cid:99)(cid:199)(cid:50)(cid:119)(cid:56)(cid:168) (cid:122)(cid:200)(cid:201)(cid:202)2(cid:151)(cid:182)(cid:183)(cid:80)(cid:32)(cid:84)(cid:203)(cid:32)(cid:180)(cid:52)B(cid:192)(cid:173)(cid:50)(cid:204)(cid:108)(cid:52)N(cid:198)(cid:52)A(cid:99)(cid:199)(cid:50)
(cid:200)(cid:201)(cid:202)1(cid:151)(cid:182)(cid:183)(cid:80)(cid:32)(cid:84)(cid:203)(cid:32)(cid:180)(cid:52)C(cid:192)(cid:173)𝐶𝐵(cid:50)(cid:107)(cid:205)(cid:138)(cid:40)(cid:151)(cid:52)(cid:184)(cid:143)(cid:206)(cid:52)(cid:108)(cid:50)(cid:118)(cid:207)(cid:40)(cid:151)(cid:52)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:192)(cid:173)(cid:50)(cid:190)(cid:192)(cid:173)(cid:108)(cid:37)
(cid:112)t(cid:202)(cid:50)(cid:98)t(cid:112)(cid:211)(cid:212)(cid:108)(cid:50) (cid:84)(cid:137)(cid:193)(cid:109)(cid:175)(cid:50)(cid:213)(cid:98)(cid:99)(cid:109)(cid:175)(cid:137)(cid:193)(cid:106)
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)P(cid:112)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)△(cid:40)𝑀𝑁(cid:173)𝐶(cid:52)(cid:59)(cid:26)(cid:52)B(cid:50)C(cid:128)(cid:165)(cid:150)(cid:64)(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:97)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:52)P(cid:50)(cid:126)(cid:51)
= (cid:164)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:98)(cid:99)(cid:186)(cid:152)(cid:52)P(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)𝐵(cid:129)𝑃(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97)(cid:59)(cid:214)(cid:42)(cid:10)(cid:107)(cid:55)(cid:56) = + (cid:26)
(cid:55)∠𝑃(cid:56)𝐵𝐶 =∠𝐵𝐶+𝐷 (cid:215)(cid:55)(cid:108)(cid:50) = (cid:64) 𝑦 𝑘1𝑥 𝑏1
(cid:15)(cid:133)𝑦(cid:58)2-𝑘22(cid:19)𝑥(cid:59)2𝑏0 2 25·(cid:90)(cid:195)·(cid:40)𝑘(cid:161) 1 ⋅(cid:64)𝑘2(cid:113)(cid:41)−(cid:50)1(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)O(cid:112)(cid:53)(cid:54)(cid:216)(cid:52)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = (cid:26)x
2
(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52)A(cid:174)B(cid:140)(cid:52)(cid:59)(cid:52)A(cid:119)(cid:52)B(cid:84)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:50)(cid:26)y(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52)C(cid:50)(cid:117) = (cid:97) 𝑦 𝑎𝑥 −2𝑎𝑥−3𝑎
𝑂𝐶 𝑂𝐵(1)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)a(cid:84)(cid:111)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:52)P(cid:112)(cid:217)(cid:40)(cid:115)(cid:218)(cid:84)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:117)(cid:147)(cid:148) = (cid:50)(cid:98)(cid:52)P(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)(cid:52)Q(cid:112)(cid:217)(cid:219)(cid:115)(cid:218)(cid:84)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:55)(cid:56) ∠(cid:81)𝐵𝐶y𝑃(cid:73)(cid:82)∠(cid:52)𝐴𝐶M𝑂(cid:50)(cid:116)(cid:52)B(cid:83)(cid:55)(cid:56) (cid:50)(cid:81)y(cid:73)(cid:82)(cid:52)
N(cid:50)(cid:107)Q(cid:52)(cid:192)(cid:173)(cid:108)(cid:50)(cid:56)(cid:168) (cid:84)(cid:80)(cid:32)(cid:128)(cid:220)(cid:133)(cid:221)(cid:97)(cid:222)(cid:98)𝐵(cid:205)𝑄(cid:111)(cid:97) 𝑁𝐵∥𝐴𝑄
𝑀𝑁 3
(cid:15)(cid:133)(cid:58)2-3(cid:19)(cid:59)2025·(cid:219)(cid:223)(cid:91)(cid:224)·(cid:40)(cid:161)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:101)(cid:52)(cid:112) (cid:84)(cid:225)(cid:63)(cid:56)(cid:189)(cid:116) 0, (cid:97)Rt (cid:84)(cid:101)(cid:52)
2
(cid:119) (cid:73)(cid:226)(cid:78)(cid:73)(cid:122)(cid:97) 𝐴 𝐵(5,4),𝐶(7,−2),𝐷 △𝐴𝐵𝐸
𝐸 𝑥
(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:97)
(2)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:97)
(3)(cid:119)(cid:225)(cid:63)𝐸 (cid:56)(cid:122)(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:50)(cid:126) = (cid:97)
【题型3 二次函数与 𝑃 二倍 ∠ 角 𝑃 】 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐸𝐵
(cid:15)(cid:85)3(cid:19)(cid:59)2025·(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:161)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:64)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138) (cid:138)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + (cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:26) (cid:73)(cid:81)
2
(cid:82)(cid:52) (cid:174) (cid:59) (cid:119) (cid:84)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) ( )(cid:50)(cid:205)(cid:101)(cid:52)𝑥(cid:84)𝑂𝑦(cid:191)(cid:53)(cid:54)(cid:123) (cid:97)𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶 0,−3 −1(1) = ________(cid:50) = ________(cid:106)
(2)(cid:95)𝑏 (cid:96)(cid:40)(cid:23)(cid:24)(cid:25) =𝑐 (cid:59)k(cid:112)(cid:234)(cid:25)(cid:64)(cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:112)(cid:55)(cid:56) (cid:50)(cid:55)(cid:56) (cid:26)x(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:97)
①(cid:171)(cid:153) (cid:50)(cid:114) 𝑦 𝑘<𝑥−63(cid:50)(cid:98) (cid:84)(cid:145)(cid:111)(cid:155)(cid:156)(cid:106) 𝑙 𝑙 𝐷
②(cid:107)(cid:55)(cid:56)𝐵𝐶(cid:26)(cid:100)𝑆(cid:62)△(cid:63)𝐵𝐶𝐷(cid:56)(cid:152)(cid:117)(cid:235)(cid:152)𝑘(cid:40)(cid:151)(cid:7)(cid:236)(cid:52)(cid:108)(cid:50)(cid:119)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:52) (cid:50)(cid:126)(cid:51)(cid:55)(cid:56) (cid:26) (cid:186)(cid:237)(cid:84)(cid:238)(cid:29)(cid:123)
(cid:84)2𝑙(cid:31)(cid:164)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:50)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97)𝑃 𝑃𝐶 𝐶𝐷
∠(cid:15)𝐷(cid:133)𝐶𝑂(cid:58)3-1(cid:19)(cid:59)2025·(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243)·(cid:71)(cid:161)𝑃(cid:64)(cid:95)(cid:96)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + (cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:33)(cid:52) (cid:59) (cid:119) (cid:84)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:50)
2
(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:117) = (cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:101)(cid:52)(cid:112) (cid:97)𝑦 𝑥 −4𝑥 𝑐 𝑥 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
𝑦 𝐶 𝑂𝐶 3𝑂𝐴 𝑃
(1)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:244)(cid:43)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:45)(cid:57)(cid:58)_____(cid:33)(cid:101)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)_____(cid:106)
(2)(cid:114)(cid:52) (cid:119)(cid:176)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:50) (cid:73)(cid:82)(cid:52) (cid:50) 𝑃(cid:26)(cid:55)(cid:56) (cid:70)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:190)(cid:52) (cid:84)(cid:191)(cid:53)(cid:54)(cid:112) ( >3)(cid:50)(cid:117)
𝑀=2:1(cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)𝑀(cid:54)𝐹(cid:106)⊥𝑥 𝐹 𝑀𝐹 𝑃𝑄 𝐸 𝑀 𝑡 𝑡
(𝑀3)𝐸(cid:119):𝐸(cid:59)𝐹2(cid:64)(cid:84)(cid:245)(cid:246)(cid:122)(cid:50)𝑀(cid:119)(cid:55)(cid:56) (cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:40)(cid:52) (cid:50)(cid:126)(cid:55)(cid:56) (cid:26)(cid:55)(cid:56) (cid:84)(cid:237)(cid:29)(cid:30)(cid:82) (cid:84)2(cid:31)(cid:97)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)
(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)𝐴(cid:127)𝑀(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97) 𝑁 𝑃𝑁 𝐴𝑀 ∠𝐴𝑀𝑃
(cid:15)(cid:133)(cid:58)𝑁3-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:134)(cid:87)(cid:88)(cid:122)·(cid:219)(cid:223)(cid:91)(cid:224)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + + ( 0)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82) (cid:174) (cid:140)
2
(cid:52)(cid:50)(cid:26)y(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) ( )(cid:50)(cid:117)(cid:116)(cid:52)( )(cid:97) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥 𝐴 𝐵
𝐶 0,−3 −2,5(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:119)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:52)P(cid:126) + (cid:109)(cid:110)(cid:50)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:52)P(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)
(cid:132)(cid:97) 𝑃𝐴 𝑃𝐶
(3)(cid:52) (cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:84)(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:174) (cid:50)(cid:107) = (cid:108)(cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:97)
(cid:15)(cid:133)(cid:58)𝑀 3-3(cid:19)(cid:59)2025·(cid:219)(cid:223)(cid:247)(cid:248)·(cid:71)𝐵(cid:161)𝐶(cid:64) 𝐶(cid:113)𝑀(cid:41)(cid:50)(cid:62)∠𝐴(cid:63)𝐵(cid:56)𝐶 =2∠𝐵𝐶𝑀+ + ( 𝑀<0)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:33)(cid:52) ((cid:52) (cid:119)(cid:216)(cid:52)
2
(cid:84)(cid:141)(cid:142)(cid:50)(cid:52) (cid:119)(cid:216)(cid:52)(cid:84)(cid:249)(cid:142))(cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50) =𝑦 =𝑎𝑥3(cid:97)2𝑥 𝑐 𝑎 𝑥 𝐴 𝐵 𝐴
𝐵 𝑦 𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:98)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:97)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:50)(cid:52) (cid:123)(cid:55)(cid:56) (cid:122)(cid:172)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:84)(cid:52)(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:50) (cid:97) (cid:81) (cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:107) : =3:2
(cid:108)(cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)𝐵𝐶(cid:97) 𝐷 𝐵𝐶 𝑂𝐷 𝐶𝐷 𝑂𝐷 𝐵𝐶 𝐹 𝑆△𝐶𝑂𝐹 𝑆△𝐶𝐷𝐹
𝐷 3
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:112) (cid:50)(cid:52) (cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:84)(cid:52)(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:50) (cid:50) (cid:50)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:52) (cid:50)(cid:126) (cid:250)
2
(cid:30)(cid:82) (cid:164)𝐸(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)0(cid:55),−(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:149)𝑃(cid:150)(cid:43)(cid:44)(cid:84)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)𝐸(cid:128)𝐵(cid:125)𝑃(cid:119)𝐵(cid:50)𝑃(cid:127)𝐸(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97) 𝑃 ∠𝑃𝐵𝐸 ∠𝑃𝐸𝐵
【题
2
型
∠𝑂4 𝐵 𝐸
二次函数与角度和差倍分】
𝑃
(cid:15)(cid:85)4(cid:19)(cid:59)2025·(cid:251)(cid:252)(cid:80)(cid:253)·(cid:138)(cid:254)(cid:255)(cid:20)(cid:64)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)(cid:52) (cid:112)(cid:53)(cid:54)(cid:216)(cid:52)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + (cid:189)(cid:116)(cid:52)
2
(3,3)(cid:97)(cid:52) (cid:174) (cid:123)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:84)(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:191)(cid:53)(cid:54)(cid:35)(cid:139)(cid:112) (cid:174) +1(cid:50)𝑂(cid:95)(cid:96)(cid:52) (1,1)(cid:50)(cid:83)(cid:52)𝑦(cid:3)(cid:82)𝑥(cid:52) 𝑏(cid:84)𝑥 (cid:120)(cid:121)(cid:52) (cid:50)
(cid:83)(cid:52) (cid:3)(cid:82)𝐴(cid:52)𝐵(cid:84)(cid:120)(cid:121)(cid:52) (cid:50)(cid:48)(cid:256)(cid:219)(cid:162)(cid:257) (cid:97) 𝑚 𝑚 𝑀 𝐴 𝑀 𝐶
𝐵 𝑀 𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷(1)(cid:98)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:186)(cid:120)(cid:258)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:107) (cid:140)(cid:52)(cid:3)(cid:82)(cid:100)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:120)(cid:121)(cid:108)(cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)
(3)(cid:190)(cid:62)𝐴,𝐵(cid:63)(cid:56)(cid:119) (cid:174) (cid:140)(cid:52)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:259)(cid:35)(cid:59)(cid:103) (cid:174) (cid:140)(cid:52)𝐶(cid:64)(cid:112)(cid:41)(cid:115) (cid:97)(cid:107)0< <1(cid:108)(cid:50)(cid:114)(cid:41)(cid:115) (cid:84)(cid:109)(cid:260)(cid:52)(cid:26)(cid:109)(cid:261)(cid:52)
𝐴1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐺 𝑚 𝐺
(cid:84)(cid:262)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:34)(cid:112) (cid:97)(cid:98) (cid:84)(cid:111)(cid:106)
2
(4)(cid:171)(cid:263) (cid:174) (cid:50)(cid:107) 𝑚 = + (cid:108)(cid:50)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99) (cid:84)(cid:145)(cid:111)(cid:155)(cid:156)(cid:59)(cid:244)(cid:264) (cid:174) (cid:174) (cid:265)(cid:123)(cid:175)
(cid:82)0°(cid:117)(cid:110)𝑂𝐴(cid:82)1𝑂8𝐵0°(cid:84)(cid:29)∠(cid:64)𝐴𝑂(cid:97)𝐵 ∠𝑂𝐴𝐷 ∠𝑂𝐵𝐶 𝑚 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝑂𝐴𝐷 ∠𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:133)(cid:58)4-1(cid:19)(cid:59)2025·(cid:266)(cid:158)(cid:267)(cid:248)·(cid:40)(cid:161)(cid:64)(cid:15)(cid:268)(cid:20)(cid:269)(cid:270)(cid:19)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + + +1(cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)
2
(cid:50) (cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:97)(cid:117)(cid:119)(cid:271)(cid:25)(cid:155)(cid:156)(cid:239) (cid:26) (cid:272)(cid:152)(cid:273)(cid:274)𝑦(cid:97) −𝑥 4𝑏𝑥 4𝑏 𝑥
𝐴 𝐵 𝑦 𝐶 𝑏−1 1−𝑏
(1)(cid:15)(cid:96)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:19)(cid:127)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:10) (cid:84)(cid:111)(cid:123)___________(cid:50) (cid:52)(cid:53)(cid:54)___________(cid:50) (cid:52)(cid:53)(cid:54)___________
(2)(cid:15)(cid:48)(cid:278)(cid:60)(cid:38)(cid:19) (cid:123)(cid:55)(cid:56) (cid:122)𝑏(cid:172)(cid:84)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:116)𝐵(cid:52) (cid:83) (cid:73)(cid:84)(cid:215)(cid:56)(cid:81)(cid:55)(cid:56)𝐶 (cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:98)(cid:56)(cid:168) (cid:84)(cid:109)(cid:175)
(cid:111)(cid:10) 𝑀 𝐵𝐶 𝑀 𝑦 𝐵𝐶 𝑁 𝑀𝑁
(3)(cid:15)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:19)(cid:119)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:52) (cid:50)(cid:126) = (cid:50)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:114)(cid:128)(cid:125)
(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97) 𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵−2∠𝐴𝐶𝑂 𝐸
(cid:15)(cid:133)(cid:58)4-2(cid:19)(cid:59)2025·(cid:90)(cid:195)(cid:283)(cid:284)·(cid:161)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:64)(cid:95)(cid:96)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = >0)(cid:81) (cid:73)(cid:82) (cid:140)(cid:52)(cid:50)
2 2
(cid:81) (cid:73)(cid:82)C(cid:97) 𝐶1 :𝑦 𝑥 −2𝑚𝑥−3𝑚 (𝑚 𝑥 𝐴(−1,0),𝐵
𝑦(1)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:52)B(cid:50)C(cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:190)(cid:52) (cid:119) (cid:73)(cid:122)(cid:50)(cid:147)(cid:148) + = (cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)(cid:177)(cid:62)(cid:63)𝑁(cid:56)𝑦 (cid:65)(cid:181)(cid:51)(cid:184)(cid:62)∠𝑂(cid:63)𝐶(cid:56)𝐴 ∠(cid:50)𝐴(cid:62)𝑁(cid:63)𝑂 (cid:56)∠𝐴(cid:84)𝐵𝐶(cid:101)(cid:52)(cid:112)(cid:53)𝑁(cid:54)(cid:216)(cid:52)(cid:50)(cid:55)(cid:56) = (cid:26)(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:81)(cid:82)O(cid:50)
M(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:116)OM(cid:84)(cid:138)𝐶(cid:52) 1 (cid:83)(cid:55)(cid:56)RQ(cid:59)(cid:285)𝐶(cid:82) 2 (cid:55)(cid:56)OM𝐶(cid:64) 2 (cid:81)(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:82)R(cid:50)Q(cid:140)(cid:52)𝑦(cid:50)(cid:55)(cid:56)−2Q𝑥O(cid:26)(cid:55)(cid:56)𝐶M 2 R(cid:81)(cid:82)
(cid:52) (cid:97)(cid:281)(cid:282)(cid:10)(cid:52) (cid:123)(cid:124)(cid:40)𝐾(cid:286)(cid:119)(cid:287)(cid:43)(cid:288)(cid:286)(cid:55)(cid:56)(cid:122)(cid:164)(cid:114)(cid:123)(cid:50)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:55)𝐶(cid:56)2(cid:84)(cid:45)(cid:57)(cid:58)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:123)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97)
𝐻 𝐻 1
(cid:15)(cid:133)(cid:58)4-3(cid:19)(cid:59)2025·(cid:165)(cid:166)(cid:289)(cid:230)·(cid:161)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:64)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + + ( 0)(cid:81) (cid:73)(cid:82)
8
2
( )(cid:50) (8,0)(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:81) (cid:73)(cid:82) (cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:50) (cid:97) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥 𝐴
−4,0 𝐵 𝑦 𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:52) (cid:123)(cid:56)(cid:168) (cid:89)(cid:172)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:40)(cid:173)(cid:52)(cid:50)(cid:116)(cid:52) (cid:83) (cid:73)(cid:81)(cid:55)(cid:56) (cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:52) (cid:33)(cid:52) (cid:123)(cid:55)(cid:56) (cid:122)(cid:84)
(cid:140)(cid:151)(cid:173)(cid:52)(cid:59)(cid:52)𝑃(cid:119)(cid:52) (cid:84)𝐵𝐶(cid:89)(cid:172)(cid:64)(cid:50)(cid:117) = 5(cid:50)(cid:171)(cid:153) 𝑃(cid:50)𝑃𝐻(cid:50)∥(cid:107)𝑦 (cid:152)(cid:109)(cid:175)𝐵(cid:111)𝐶 (cid:108)(cid:50)𝐻(cid:98) 𝐸+ +𝐹 (cid:84)(cid:109)𝐵(cid:110)𝐶(cid:111)(cid:106)
(3)(cid:177)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:178)𝐹(cid:179)(cid:56) 𝐸(cid:172)(cid:180)(cid:65)(cid:181)2 5(cid:151)𝐸𝐹(cid:182)(cid:183)(cid:51)(cid:185)(cid:62)(cid:63)𝐴(cid:56)𝐹 (cid:50)𝐸𝑃(cid:52) (cid:123)𝑃(cid:185)𝐻(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:122)(cid:84)(cid:40)(cid:52)𝐴𝐹(cid:50)(cid:171)𝐸(cid:153)𝐹 𝐸(cid:50)𝑃(cid:107)
′ ′
= + 𝐶𝐵 (cid:108)(cid:50)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:186)(cid:152)(cid:149)(cid:150)(cid:43)(cid:44)(cid:84)𝑦(cid:52) (cid:84)(cid:191)𝑄(cid:53)(cid:54)(cid:97) 𝑦 𝑄𝐵
∠ 【 𝑄 题 𝐵𝐶 型5 ∠ 𝐴 二 𝐵 次 𝐶 函 ∠ 数 𝐴 与 𝐶𝑂 角度之间关系】 𝑄
(cid:15)(cid:85)5(cid:19)(cid:59)2025·(cid:266)(cid:158)(cid:158)(cid:290)·(cid:22)(cid:161)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:119)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38)(cid:138)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + + ( 0)(cid:26)x(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52)
2
𝑦 𝑎𝑥 4𝑥 𝑐 𝑎≠( )(cid:33)(cid:52) (cid:50)(cid:117)(cid:52) (cid:119)(cid:52) (cid:84)(cid:141)(cid:142)(cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (0,5)(cid:97)
𝐴 −1,0 𝐵 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶
(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:24)(cid:25)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:55)(cid:56) = +2(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:173)(cid:52) (cid:112)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:217)(cid:40)(cid:115)(cid:218)(cid:122)(cid:84)(cid:40)(cid:52)(cid:50) (cid:82)
(cid:52) (cid:50) (cid:73)𝑦(cid:81) −𝑥(cid:82)(cid:52) (cid:50)𝑥(cid:98) 𝐷(cid:84)(cid:144)(cid:80)𝑦(cid:84)(cid:109)(cid:175)(cid:111)(cid:50)𝐸 (cid:146)(cid:176)(cid:108)𝑃(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106) 𝑃𝐺⊥𝐸𝐷
(3)𝐺(cid:113)(cid:41)𝑃2𝐻(cid:50)∥(cid:171)𝑦(cid:153) (cid:50)𝐸𝐷(cid:177)(cid:216)(cid:62)𝐻(cid:63)(cid:56)(cid:178)△(cid:179)𝑃(cid:56)𝐺𝐻 (cid:172)(cid:180)(cid:65)(cid:181)(cid:51)(cid:184)(cid:185)(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:50)𝑃(cid:126)(cid:65)(cid:181)(cid:291)(cid:84)(cid:185)(cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:189)(cid:116)(cid:52) (cid:50)(cid:185)(cid:62)
′ ′
(cid:63)(cid:56) (cid:26)x(cid:73)(cid:84)𝐴(cid:118)𝐸(cid:40)(cid:81)(cid:52)(cid:112)(cid:52) (cid:50)(cid:127)(cid:268)(cid:119)𝐸(cid:185)𝐷 (cid:62)(cid:63)(cid:56) (cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:40)𝑦(cid:52) (cid:50)(cid:126)(cid:51) + 𝑦=90°(cid:164)𝐵(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)
′ ′
(cid:292)(cid:55)𝑦(cid:153)(cid:154)(cid:99)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)𝑀(cid:119)(cid:50)(cid:292)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:97)𝑦 𝑇 ∠𝑇𝑀𝐵 ∠𝐴𝐸𝑂
(cid:15)(cid:133)(cid:58)5-1(cid:19)(cid:59)𝑇2025·(cid:157)(cid:158)(cid:187)(cid:188)·(cid:22)(cid:161)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:65)(cid:137)(cid:55)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:38) (cid:138)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + +3(cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:26) (cid:73)
2
(cid:70)(cid:81)(cid:82)(cid:52) ( )(cid:174)(cid:52) (3,0)(cid:50)(cid:26) (cid:73)(cid:70)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:174) 𝑥𝑂(cid:97)𝑦 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑥
𝐴 −1,0 𝐵 𝑦 𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:98)(cid:10) (cid:50) (cid:84)(cid:111)(cid:106)
(2)(cid:107) 𝑎 𝑏 1(cid:108)(cid:50)(cid:24)(cid:25) = + +3(cid:84)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:123)2(cid:50)(cid:98)(cid:99) (cid:84)(cid:111)(cid:106)
2
(3)(cid:119)(cid:62)𝑡≤(cid:63)𝑥(cid:56)≤(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:52)𝑦 (cid:50)𝑎𝑥(cid:126)(cid:51)𝑏𝑥 + =45 (cid:164)(cid:114)(cid:125)𝑡(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)
∘
(cid:132)(cid:97) 𝑃 ∠𝐶𝐵𝑃 ∠𝐴𝐶𝑂 𝑃
(cid:15)(cid:133)(cid:58)5-2(cid:19)(cid:59)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:293)(cid:294)·(cid:161)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:64)(cid:113)(cid:41)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56) = + +4( <0)(cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:33)(cid:52) (cid:50)
2
(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:116)(cid:52) (cid:83) (cid:73)(cid:50)(cid:81)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:117)𝑦 𝑎=𝑥 𝑏=𝑥 𝑎(cid:97) 𝑥 𝐴 𝐵
𝑦 𝐶 𝐶 𝐶𝐷⊥𝑦 𝐷 𝑂𝐶 𝑂𝐵 2𝑂𝐴(1)(cid:98)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)①(cid:119)(cid:41)1(cid:138)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:40)(cid:52) (cid:50)(cid:126) (cid:112)(cid:30)(cid:49)(cid:71)(cid:29)(cid:257)(cid:50)(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:98)(cid:52) (cid:84)(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)
(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:106) 𝐸 △𝐵𝐷𝐸 𝐸
②(cid:119)(cid:41)2(cid:138)(cid:50)(cid:52) (cid:112)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:217)(cid:219)(cid:115)(cid:218)(cid:122)(cid:40)(cid:52)(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:81) (cid:73)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:107) =90 (cid:108)(cid:50)(cid:98)(cid:52) (cid:84)
∘
(cid:53)(cid:54)(cid:97) 𝑃 𝐷𝑃 𝑦 𝐸 2∠𝐵𝐷𝑃−∠𝐷𝐸𝐶 𝑃
(cid:15)(cid:133)(cid:58)5-3(cid:19)(cid:59)2025·(cid:157)(cid:158)(cid:295)(cid:296)·(cid:22)(cid:161)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) = + (cid:84)(cid:41)(cid:115)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82) ( )(cid:50) (1,0)(cid:140)(cid:52)(cid:50)(cid:26)
2
(cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:97) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥−3 𝑥 𝐴 −3,0 𝐵 𝑦
𝐶
(1)(cid:98)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:84)(cid:105)(cid:143)(cid:58)(cid:106)
(2)(cid:113)(cid:41)1(cid:50)(cid:52) (cid:123)(cid:217)(cid:71)(cid:115)(cid:218)(cid:239)(cid:84)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:122)(cid:84)(cid:173)(cid:52)(cid:50)(cid:116) (cid:83) (cid:73)(cid:50)(cid:81) (cid:73)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:219)(cid:162)(cid:257) (cid:84)(cid:137)(cid:193)(cid:123)(cid:124)(cid:125)
(cid:119)(cid:109)(cid:175)(cid:111)(cid:164)(cid:114)𝐸(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:98)(cid:99)(cid:109)(cid:175)(cid:111)(cid:106)(cid:114)(cid:128)(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:129)(cid:130)(cid:131)𝐸(cid:132)(cid:106)𝐸𝐷∥𝑦 𝑥 𝐷 𝐶𝐷𝐴𝐸
(3)(cid:113)(cid:41)2(cid:50)(cid:52) (cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:101)(cid:52)(cid:50)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:120)(cid:121)(cid:73)(cid:26) (cid:73)(cid:81)(cid:82)(cid:52) (cid:50)(cid:95)(cid:96)(cid:52) ( )(cid:50)(cid:171)(cid:153) (cid:50)(cid:119)(cid:62)(cid:63)(cid:56)(cid:84)(cid:120)
(cid:121)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)𝑃(cid:119)(cid:40)(cid:52) (cid:50)(cid:126)(cid:51) + =45°(cid:50)𝑥(cid:114)(cid:125)(cid:119)(cid:50)𝑄(cid:127)(cid:55)(cid:153)(cid:154)(cid:99)𝑁(cid:52)−5(cid:84),0(cid:53)(cid:54)(cid:106)(cid:114)𝑁(cid:128)𝑃(cid:125)(cid:119)(cid:50)(cid:127)(cid:129)(cid:130)(cid:131)
(cid:132)(cid:97) 𝐻 ∠𝐻𝑁𝑃 ∠𝐵𝐶𝑂 𝐻
