专题 04 二次函数中的存在性问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:29)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:38)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:39)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:42)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................................18
【题型1 角度存在性问题】
(cid:15)(cid:43)1(cid:19)(cid:44)2025·(cid:45)(cid:46)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +2(cid:58) (cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:64) (cid:44)(cid:64) (cid:25)(cid:64)
2
3𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑥 𝐴(−1,0) 𝐵 𝐵 𝐴
(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:51)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:70)(cid:33)(cid:57) = (cid:71)
2
𝑦 𝐶 𝑥
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:64) (cid:70)(cid:33)(cid:57) (cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:79)(cid:64) (cid:80) (cid:59)(cid:62) (cid:58)(cid:64) (cid:54)(cid:81)(cid:57)(cid:82) (cid:65)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:54)(cid:25)(cid:33)(cid:57) (cid:77)(cid:87)(cid:78)
(cid:64) (cid:54)𝑃(cid:88)(cid:89) 𝐵𝐶 (cid:54)(cid:90)(cid:91)| |(cid:65)(cid:83)(cid:84)(cid:85)𝑃 (cid:71)𝑃(cid:92)𝑀(cid:72)∥𝑥(cid:93)| 𝐵𝐶 |(cid:65)𝑀(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:94)(cid:72)𝑃𝑀(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76) 𝐵𝐶
(3)𝑁(cid:97)(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝑁(cid:98)𝐴,(cid:99)𝑁𝑃(cid:57) (cid:41)(cid:100)𝑃(cid:34)𝑁−(cid:101)𝑁(cid:102)𝐴(cid:103)(cid:79)(cid:64) (cid:54)(cid:25)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝑃𝑁(cid:77)−(cid:105)𝑁𝐴(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90) 𝑁 (cid:58) (cid:107)(cid:108)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)
(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)𝐵(cid:76)𝐶 (cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)𝐶(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑄 ∠𝐵𝐴𝑄 ∠𝑂𝐶𝐴
(cid:15)(cid:116)(cid:75)1-1(cid:19)𝑄(cid:44)2025·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)1(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122) (cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +3(cid:103)(cid:79)(cid:64)
2
( )(cid:54) (3,0)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:124)(cid:64)(cid:70) (cid:71) 𝑥𝑂𝑦 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥
𝐴 −1,0 𝐵 𝑦 𝐶 𝐷(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:125)(cid:124)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(2)(cid:52)(cid:53)2(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:54) (cid:54)(cid:109)𝐷(cid:25) (cid:77)(cid:41)(cid:65)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:126)(cid:127) = (cid:54)(cid:72)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)1-2(cid:19)(cid:44)2𝐶0𝐵25·(cid:128)𝐷𝐵(cid:129)(cid:129)(cid:130)·(cid:131)𝐵𝐶(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)𝐸(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)∠𝐶(cid:55)𝐵𝐷(cid:56)(cid:57)∠𝐵=𝐷𝐸 + 𝐸+ ( 0)(cid:58)x(cid:59)(cid:62)
2
(cid:63)(cid:64) ( )(cid:132)(cid:64) (cid:54)(cid:133)(cid:64) (cid:25)(cid:64) (cid:65)(cid:134)(cid:67)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (0,5)(cid:71) 𝑦 𝑎𝑥 4𝑥 𝑐 𝑎≠
𝐴 −1,0 𝐵 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:52)(cid:53)1(cid:54)(cid:33)(cid:57) = +2(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:139)(cid:64) (cid:70)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:140)(cid:78)(cid:141)(cid:142)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:64)(cid:54) (cid:63)
(cid:64) (cid:54) (cid:59)𝑦(cid:62) −𝑥(cid:63)(cid:64) (cid:54)𝑥(cid:72) 𝐷(cid:65)(cid:143)(cid:144)𝑦(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:54)𝐸 (cid:125)(cid:145)(cid:86)𝑃(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76) 𝑃𝐺⊥𝐸𝐷
(3)𝐺(cid:52)(cid:53)𝑃2𝐻(cid:54)∥(cid:88)𝑦(cid:89) (cid:54)𝐸𝐷(cid:97)(cid:146)(cid:55)𝐻(cid:56)(cid:57)(cid:98)△(cid:99)𝑃(cid:57)𝐺𝐻 (cid:41)(cid:100)(cid:34)(cid:101)(cid:91)(cid:147)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:54)𝑃(cid:90)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:103)(cid:79)(cid:64) (cid:54)(cid:104)(cid:55)
′ ′
(cid:56)(cid:57) (cid:58)x(cid:59)(cid:65)𝐴(cid:148)𝐸(cid:78)(cid:62)(cid:64)(cid:70)(cid:64) (cid:54)(cid:92)(cid:27)(cid:25)𝐸(cid:104)𝐷 (cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)𝑦(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91) + 𝑦=90°(cid:149)𝐵(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)
′ ′
(cid:150)(cid:33)𝑦(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)𝑀(cid:25)(cid:54)(cid:150)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)𝑦 𝑇 ∠𝑇𝑀𝐵 ∠𝐴𝐸𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:75)1-3(cid:19)(cid:44)𝑇24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:45)(cid:46)·(cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:157)(cid:51)(cid:52)(cid:53)1(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122) (cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +2
2
(cid:79)(cid:64) ( ) (1,0)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:71) 𝑥𝑂𝑦 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥
𝐴 −2,0 ,𝐵 𝑦 𝐶 𝐴𝐶(1)(cid:72)(cid:158)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2) (cid:70)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:81) (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:54)(cid:25)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:160)(cid:78)(cid:139)(cid:64) (cid:54)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:160)(cid:78)(cid:139)(cid:64)
(cid:54)𝑃(cid:72) +𝐴𝐶 (cid:65)(cid:84)(cid:161)(cid:83)(cid:76) △𝐴𝐶𝑃 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝑃
𝑁(3)(cid:52)(cid:53)𝑃𝑀2(cid:54)(cid:97)𝑀(cid:146)𝑁(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:162)(cid:34)(cid:100)(cid:66)(cid:34)(cid:101)(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:163)(cid:164)(cid:103)(cid:79)(cid:64) (cid:54)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58) (cid:59)(cid:25)(cid:66)(cid:37)(cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:105)
′
(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:70) (cid:59)(cid:66)(cid:37)(cid:65)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:79)(cid:64) (cid:80)𝑦 (cid:59)(cid:63)(cid:64)𝐶 (cid:54)(cid:25) (cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)𝑥 (cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:126)(cid:127)
′
𝐺 = 𝐶𝐺,𝑅 𝑦 = (cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)𝑦(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)𝑅(cid:96)(cid:76)𝑅𝑇(cid:109)⊥(cid:111)𝑥(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)𝑇(cid:112)(cid:113)(cid:114)𝑦 (cid:115)(cid:71) 𝑄
∠ 【 𝑂 题 𝑅𝑄 型2 ∠ 𝐺 全 𝐶 等 𝑇,∠ 三 𝑅 角 𝑂𝑄 形存 ∠ 在 𝐶 性 𝐺𝑇 问题】 𝑅
(cid:15)(cid:43)2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:45)(cid:46)(cid:165)(cid:166)(cid:167)·(cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:157)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:65)
2
(cid:53)(cid:168)(cid:58)(cid:78)(cid:169)(cid:135)(cid:136) = +1(cid:65)(cid:53)(cid:168)(cid:62)(cid:63)A(cid:54)B(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:171)(cid:172) ( )(cid:71) 𝑦 𝑎𝑥 2𝑥 𝑏
𝑦 −𝑥 𝐵 6,−5
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:64)C(cid:105)(cid:33)(cid:57) (cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:64)M(cid:54)N(cid:105)y(cid:59)(cid:77)(cid:65)(cid:170)(cid:139)(cid:64)(cid:44)M(cid:25)N(cid:77)(cid:41)(cid:51)(cid:54)(cid:133)(cid:126)
(cid:127) =3(cid:54)(cid:88)𝐴𝐵(cid:89) (cid:54)(cid:81) (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:173)𝐴(cid:91)𝐶(cid:84),𝐵(cid:85)𝐶 (cid:83)(cid:86)(cid:54)(cid:72) + + (cid:65)(cid:84)(cid:161)(cid:83)(cid:76)
(3)(cid:81)𝑀(cid:44)𝑁2(cid:51)(cid:123) +𝐶𝑀,𝐵+𝑁 (cid:173)(cid:91)△(cid:84)𝐴𝐵(cid:161)𝐶(cid:83)(cid:86)(cid:54)(cid:97)(cid:64)N(cid:100)(cid:154)(cid:34)(cid:101)1(cid:174)𝐶𝑀(cid:175)(cid:176)𝑀(cid:91)𝑁(cid:147)(cid:64)𝐵𝑁P(cid:54)(cid:97)(cid:158)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:98)(cid:33)(cid:57) (cid:65)(cid:41)
(cid:100)(cid:34)(cid:101)(cid:91)(cid:147)(cid:104)𝐶(cid:55)𝑀(cid:56)(cid:57)𝑀 𝑁 (cid:54)𝐵Q𝑁(cid:70)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:124)(cid:64)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:101)(cid:79)(cid:177)(cid:123)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:178)A(cid:54)B(cid:54)Q(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:30)(cid:22)𝐴𝐵(cid:31)(cid:132)
′ ′
(cid:28)(cid:29)?(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)𝑦(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:179)(cid:160)(cid:126)𝑦(cid:127)(cid:180)(cid:181)(cid:65)(cid:64) Q (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
(cid:15)△(cid:116)𝐴𝐵(cid:75)𝑃2-1(cid:19)(cid:44)2024(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:28)(cid:182)·(cid:183)(cid:20)(cid:156)(cid:157)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58)x(cid:59)(cid:62)(cid:63) ( )(cid:54) (cid:170)(cid:64)(cid:54)
2
(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) ( )(cid:71) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 −1,0 𝐵
𝑦 𝐶 0,−3(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:171)(cid:172)(cid:64) ( )(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:54)(cid:81) <3(cid:86)(cid:54)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93) (cid:65)(cid:173)(cid:83)(cid:184)(cid:185)(cid:76)
(3)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)𝑃 (cid:68)𝑚,(cid:69)𝑛 (cid:59)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) −(cid:54)1(cid:64)≤𝑚(cid:95)(cid:96)(cid:70)(2,3)(cid:54)(cid:186)(cid:27)(cid:25)𝑛(cid:158)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90) (cid:58)
(cid:28)(cid:29)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)𝑥 (cid:179)(cid:160)(cid:126)(cid:127)𝑀(cid:180)(cid:181)(cid:65)𝐷 (cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑃 △𝐴𝐵𝑃 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:116)(cid:75)2-2(cid:19)(cid:44)2024·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)·(cid:131)(cid:47)(cid:51)(cid:171)𝑃(cid:172)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:10) = + (cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:58) (cid:3)(cid:63) (cid:59)(cid:68)
2 ′
(cid:69)(cid:71) 𝐿 𝑦 𝑥 3𝑥−4 𝑦 𝐴 𝐿 𝐿 𝑥
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
′
(2) (cid:70)(cid:95)(cid:96)(cid:146)𝐿(cid:64)(cid:54)(cid:64) (cid:105) (cid:59)(cid:40)(cid:191)(cid:59)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:54) = (cid:54)(cid:64) (cid:105) (cid:59)(cid:192)(cid:191)(cid:59)(cid:77)(cid:65)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:64) (cid:105)(cid:140)(cid:131)(cid:141)(cid:142)(cid:55)(cid:56)(cid:57)
′
(cid:77)(cid:65)𝑂(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:88)(cid:89) 𝐵 ,(cid:105)𝑦(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178)𝑂𝐵(cid:64) 𝑂𝐴(cid:70)(cid:124)𝐶(cid:64)(cid:65)𝑥(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:58) (cid:28)(cid:29)(cid:149)𝑃(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64) 𝐿(cid:65)
(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)𝑂(cid:54)𝑃(cid:92),𝐵(cid:112)𝑃(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑃 𝑂,𝑃,𝐶 △𝑂𝑃𝐵 𝑃
1
(cid:15)(cid:116)(cid:75)2-3(cid:19)(cid:44)2023·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)·(cid:30)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = +3(cid:58)x(cid:59)(cid:62)(cid:63)A(cid:54)B(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:124)(cid:64)(cid:70)
4
2
C(cid:54)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:70)(cid:33)(cid:57)l(cid:54)l(cid:62)x(cid:59)(cid:63)(cid:64)D(cid:71) 𝑦 𝑥 −2𝑥
(1)(cid:72)(cid:64)A(cid:193)B(cid:193)C(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(2)(cid:64)P(cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:79)(cid:64)P(cid:80) (cid:59)(cid:63)(cid:64)M(cid:54)(cid:64)N(cid:25)y(cid:59)(cid:77)(cid:54)(cid:133)(cid:64)N(cid:25)(cid:64)M(cid:77)(cid:41)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:194)
(cid:195)(cid:65)(cid:64)P(cid:193)N(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178)(cid:64)P(cid:193)M(cid:193)N(cid:70)(cid:124)𝑃𝑀(cid:64)⊥(cid:65)𝑦(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:58) (cid:28)(cid:29)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64)P(cid:193)N(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)
(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) △𝐵𝐶𝐷【题型3 等腰三角形存在性问题】
(cid:15)(cid:43)3(cid:19)(cid:44)2025·(cid:196)(cid:129)(cid:197)(cid:198)·(cid:123)(cid:199)(cid:200)(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +3(cid:58)x(cid:59)(cid:62)(cid:63)A(cid:54)B(cid:170)(cid:64)(cid:44)(cid:64)A(cid:25)(cid:64)B(cid:134)
2
(cid:67)(cid:51)(cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)C(cid:54) =2(cid:54) =6(cid:54)D(cid:105)(cid:33)(cid:57)𝑦 𝑎(cid:77)𝑥(cid:41)(cid:55)𝑏𝑥(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:80) (cid:62) (cid:63)(cid:64)E(cid:54)(cid:201)
(cid:127)(cid:70)(cid:64)F(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:71) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐶𝐷
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:202)(cid:64)D(cid:65)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:70) (cid:54)
①(cid:204)(cid:205)(cid:160) (cid:65)(cid:206)(cid:136)(cid:75)(cid:137)𝑡(cid:207)(cid:57)(cid:82) (cid:65)(cid:144)(cid:23)(cid:76)
②(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)𝑡 (cid:64)D(cid:54)(cid:90) (cid:105)𝐷𝐸(cid:29)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:31)?(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:179)(cid:160)(cid:126)(cid:127)(cid:180)(cid:181)(cid:65)(cid:64)D(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)
(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:76) △𝐶𝐷𝐸
(3)(cid:88)(cid:89) (cid:54)(cid:97)(cid:57)(cid:82) (cid:208)(cid:64) (cid:209)(cid:210)(cid:86)(cid:211)(cid:41)(cid:100)(cid:212)(cid:213)90°(cid:91)(cid:147)(cid:57)(cid:82) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:54)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:57)(cid:82) (cid:144)(cid:23)(cid:65)(cid:84)(cid:161)(cid:83)(cid:71)
𝑂𝐸 𝑂𝐸 𝑂 𝑂𝐺 𝐴𝐺 1 3𝐴𝐺
(cid:15)(cid:116)(cid:75)3-1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)·(cid:221)(cid:123)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:171)(cid:172)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136) = + + (cid:65)(cid:53)(cid:141)(cid:58) (cid:59)
2 2
2
(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:62)(cid:64)(cid:70) (4,0)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:70) (cid:54)(cid:79) (cid:193) (cid:65)(cid:33)(cid:57)(cid:70) = + (cid:71)
𝑦1
− 𝑥 𝑥 𝑐 𝑥
𝐴 𝑦 𝐵 𝐴 𝐵
𝑦2
𝑘𝑥 𝑏
(1)(cid:72)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136) (cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:125)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(2)(cid:115)(cid:53)(cid:141)(cid:110)(cid:93)(cid:126)𝑦1
(cid:127) < (cid:65)(cid:222)𝐵(cid:116)(cid:223) (cid:65)(cid:173)(cid:83)(cid:184)(cid:185)(cid:76)
(3)(cid:25)(cid:170)(cid:95)(cid:96)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)𝑦1(cid:24)(cid:25)𝑦2(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91)𝑥 (cid:105)(cid:178) (cid:70)(cid:224)(cid:37)(cid:65)(cid:29)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)
(cid:25)(cid:54)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑃 △𝐴𝐵𝑃 𝐴𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:116)(cid:75)3-2(cid:19)(cid:44)2025·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63) (cid:54) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)
2
(0,3)(cid:54)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:70)(cid:33)(cid:57) =1(cid:71)(cid:64) (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)𝑦(cid:54)(cid:202)−(cid:229)𝑥(cid:65)(cid:203)𝑏𝑥(cid:95)(cid:96)𝑐(cid:70)𝑥 < 𝐴<𝐵3)(cid:71)(cid:79)(cid:64) (cid:80)𝑦
𝐶 𝑥 𝑀 𝑚(0 𝑚 𝑀 𝑀𝑁⊥𝑥(cid:59)(cid:54)(cid:58) (cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:54) (cid:71)
𝐵𝐶 𝑁 𝐶𝑀 𝐵𝑀
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:72)(cid:57)(cid:82) (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:76)
(3)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)𝑀𝑁(cid:178) (cid:70)(cid:32)(cid:65)(cid:29)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:31) (cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:72)(cid:93) (cid:65)(cid:83)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
𝐶𝑁 𝐶𝑀𝑁 1𝑚
(cid:15)(cid:116)(cid:75)3-3(cid:19)(cid:44)2025·(cid:128)(cid:129)(cid:230)(cid:231)·(cid:78)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63) (cid:54) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:71)(cid:79)
2
2
(cid:64) (cid:65)(cid:33)(cid:57)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89)𝑦 (cid:54)𝑥(cid:171)(cid:172)𝑏𝑥 =𝑐 𝑥 = 𝐴 =𝐵4(cid:71) 𝑦 𝐸
𝐵 𝑦 𝐶 𝐷 𝑂𝐷 𝑂𝐸 2𝑂𝐶 2𝑂𝐴
(1)(cid:72) (cid:65)(cid:144)(cid:71)
(2)(cid:72)𝑂𝐵 (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:71)
(3)(cid:55)(cid:56)△(cid:57)𝑂𝐵(cid:68)𝐷(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:178) (cid:54) (cid:54) (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:70)(cid:29)(cid:32)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:64) (cid:65)
(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)𝑃 𝑃 𝐴 𝐸 𝑃
【题型4 直角三角形存在性问题】
1
(cid:15)(cid:43)4(cid:19)(cid:44)2025·(cid:232)(cid:233)(cid:188)(cid:234)·(cid:78)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + (cid:58)x(cid:59)(cid:62)(cid:63) (cid:193) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)C(cid:54)(cid:55)
2
2
(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:62)x(cid:59)(cid:63)(cid:64)D(cid:54)(cid:171)(cid:172) (cid:71) 𝑦 𝑥 𝑛𝑥−2 𝐴 𝐵
𝐴(−1,0)(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)P(cid:54)(cid:90) (cid:105)(cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:52)(cid:235)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:64)P(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:52)(cid:235)
(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:76) △𝑃𝐶𝐷
(3)(cid:64)M(cid:105)(cid:57)(cid:82)BC(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:79)(cid:64)M(cid:80)x(cid:59)(cid:65)(cid:201)(cid:57)(cid:54)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:236)(cid:62)(cid:63)(cid:64)N(cid:54)(cid:81)(cid:64)M(cid:101)(cid:139)(cid:147)(cid:237)(cid:238)(cid:176)(cid:239)(cid:86)(cid:54)
(cid:90) (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:84)(cid:85)(cid:149)(cid:72)(cid:93) (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:121)(cid:159)(cid:125)(cid:145)(cid:86)M(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)△(cid:75)𝐶𝐵4𝑁-1(cid:19)(cid:44)2025·(cid:225)(cid:226)(cid:240)(cid:241)△·(cid:30)𝐶(cid:47)𝐵(cid:51)𝑁(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:62) (cid:59)(cid:63) ( ) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:62) (cid:59)(cid:63)(cid:64) (0,4)(cid:71)
2
𝑦 −𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝐴 −4,0 ,𝐵 𝑦 𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)
(2)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91) (cid:105)(cid:178) (cid:70)(cid:242)(cid:37)(cid:65)(cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)
(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑀 △𝐴𝐶𝑀 𝐴𝐶 𝑀
(3)(cid:109)(cid:64) (cid:25)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:243)(cid:139)(cid:54)(cid:79)(cid:64) (cid:80) (cid:59)(cid:65)(cid:201)(cid:57)(cid:54)(cid:58) (cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:193) (cid:54)(cid:72)(cid:36)(cid:37)
(cid:31) 𝐷(cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:65)𝑂𝐴(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:54)(cid:94)(cid:110)(cid:93)𝐷(cid:145)(cid:86)𝑥(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:71)𝐴𝐶 𝑄 𝑃 𝐴𝑃 𝐶𝑃
(cid:15)𝐴(cid:116)𝑂(cid:75)𝐶𝑃4-2(cid:19)(cid:44)2025·(cid:244)(cid:188)(cid:151)(cid:244)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)𝑃(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58)(cid:33)(cid:57) = (cid:236)(cid:62)(cid:63)
2
(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)x(cid:59)(cid:65)(cid:148)(cid:78)(cid:174)(cid:62)(cid:64)(cid:105)(cid:64)C(cid:71) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑦 −𝑥−1 𝐴(−1,0),𝐵(4,𝑚)(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)
(2)(cid:64)P(cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:44)(cid:111)(cid:58) (cid:45)(cid:245)(cid:51)(cid:54)(cid:79)(cid:64)P(cid:80) (cid:59)(cid:63)(cid:64)D(cid:54)(cid:62)(cid:33)(cid:57) (cid:63)(cid:64)E(cid:54)(cid:88)(cid:89)
(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)P(cid:54)(cid:90) (cid:70)(cid:33)𝐴(cid:22),𝐵(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)𝑃𝐷(cid:33)⊥(cid:89)𝑥(cid:110)(cid:93)(cid:64)P(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)𝐴(cid:106)𝐵(cid:150)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
𝐵(cid:15)𝐶(cid:116),𝐸(cid:75)𝐶 4-3(cid:19)(cid:44)2025·(cid:246)(cid:247)(cid:244)△(cid:248)𝐵(cid:248)𝐸(cid:249)𝐶(cid:220)·(cid:78)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:62) (cid:59)(cid:63) ( )(cid:54) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:62) (cid:59)
2
(cid:63)(cid:64) (0,4)(cid:71) 𝑦 −𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝐴 −4,0 𝐵 𝑦
𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)
(2)(cid:64) (cid:25)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:243)(cid:139)(cid:54)(cid:79)(cid:64) (cid:80) (cid:59)(cid:65)(cid:201)(cid:57)(cid:54)(cid:58) (cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:193) (cid:54)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:31)
(cid:65)(cid:121)(cid:159)𝐷(cid:65)(cid:84)(cid:85)𝑂(cid:83)𝐴(cid:54)(cid:94)(cid:110)(cid:93)(cid:145)(cid:86)𝐷(cid:64)P𝑥(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:71) 𝐴𝐶 𝑄 𝑃 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐴𝑂𝐶𝑃
(3)(cid:25)(cid:44)2(cid:51)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:154)(cid:54)(cid:64)N(cid:105)x(cid:59)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:72)(cid:81)N(cid:64)(cid:95)(cid:96)(cid:70) (cid:86)(cid:54) + (cid:65)(cid:83)(cid:84)(cid:161)(cid:54)(cid:84)(cid:161)(cid:83)(cid:70) (cid:71)
(4)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178)(cid:64)A(cid:193)C(cid:193)M(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)𝑃(cid:30)𝑁(cid:22)(cid:31)𝑁(cid:105)𝐶 (cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)
(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑀(cid:71)
【 𝑀 题型5 等腰直角三角形存在性问题】
(cid:15)(cid:43)5(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:146)·(cid:221)(cid:253)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:103)(cid:79)(cid:146)(cid:64)
2
(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:40)(cid:191)(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:148)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:64) ( )(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:54)(cid:64) (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:44)𝑦(cid:111)(cid:58)𝑎(cid:64)𝑥 (cid:45)2(cid:245)𝑥(cid:51)𝑐(cid:54)(cid:254)(cid:203)(cid:95)(cid:96)
𝑂(cid:70) (cid:54)𝑥(cid:178) (cid:70)(cid:68)(cid:22)(cid:57)(cid:80)(cid:39)(cid:31)𝐴 𝐵(cid:54)−1,(cid:201)−3(cid:33)(cid:63) (cid:59)(cid:71) 𝑀 𝐵
𝑚 𝐵𝑀 𝐵𝐶𝑀𝐷 𝐵𝐶 𝑦
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:81)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:25)(cid:39)(cid:31) (cid:214)(cid:255)(cid:65)(cid:53)(cid:141)(cid:256)(cid:134)(cid:147)(cid:66)(cid:257)(cid:258)(cid:77)(cid:259)(cid:86)(cid:54)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93) (cid:65)(cid:173)(cid:83)(cid:184)(cid:185)(cid:76)
(3)(cid:81)(cid:39)(cid:31) (cid:214)(cid:255)𝐵𝐶(cid:65)𝑀(cid:53)𝐷(cid:141)(cid:44)(cid:260)(cid:261)(cid:37)(cid:262)(cid:51)(cid:65)(cid:84)(cid:263)(cid:64)(cid:65)(cid:264)(cid:95)(cid:96)(cid:58)(cid:84)(cid:265)(cid:64)𝑚(cid:65)(cid:264)(cid:95)(cid:96)(cid:266)(cid:267)(cid:70)4(cid:86)(cid:54)(cid:72) (cid:65)(cid:83)(cid:76)
(4)(cid:81)(cid:64) (cid:25)𝐵𝐶(cid:68)𝑀(cid:69)𝐷(cid:59)(cid:134)(cid:67)(cid:86)(cid:54)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90) (cid:105)(cid:178) (cid:70)(cid:242)(cid:37)(cid:65)(cid:29)𝑚(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)
𝑀 𝐸 △𝑀𝐵𝐸 𝐵𝑀(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93) (cid:65)(cid:83)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)5-1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:268)𝑚(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:16)(cid:244)(cid:234)(cid:269)·(cid:221)(cid:123)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:97)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = (cid:100)(cid:66)(cid:34)(cid:101) ( >0)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:91)(cid:147)(cid:104)(cid:55)(cid:56)
2
(cid:57)(cid:54)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:124)(cid:64)(cid:70) (cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:133) (cid:70)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:22)𝑦(cid:30)(cid:22)𝑥(cid:31)(cid:71) 𝑎 𝑎
𝐴 𝑦 𝐵 △𝐴𝑂𝐵
(1)(cid:72) (cid:65)(cid:83)(cid:76)
(2)(cid:25)(cid:104)𝑎 (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90) (cid:70)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)
(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐶
(cid:15)(cid:116)(cid:75)5-2(cid:19)(cid:44)2025·(cid:187)(cid:188)(cid:188)(cid:270)·(cid:30)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:10) = + + ( 0)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) ( )(cid:132)(cid:64) (cid:54)
2
(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (0,1)(cid:54)(cid:124)(cid:64)(cid:70) (cid:71) 𝐿 𝑦 𝑎𝑥 2𝑎𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥 𝐵 −3,0 𝐷
𝑦 𝐶 𝐴
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:132)(cid:124)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(2)(cid:97)(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝐿(cid:77)(cid:154)(cid:34)(cid:101)(cid:54)(cid:92)(cid:27)𝐴(cid:25)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91) (cid:105)(cid:178) (cid:70)(cid:32)(cid:54)(cid:64) (cid:70)(cid:33)(cid:22)(cid:124)
′
(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:22)𝐿 (cid:30)(cid:22)(cid:31)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:34)(cid:101)(cid:65)(cid:41)(cid:75)𝐿(cid:71) 𝐸 △𝐵𝐶𝐸 𝐶𝐵 𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:75)5-3(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:234)(cid:271)(cid:272)(cid:273)·(cid:221)(cid:123)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:79)(cid:64) ( )(cid:193)(cid:64) (5,0)(cid:54)(cid:62)
2
(cid:59)(cid:63)(cid:64) (cid:71) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 −1,0 𝐵 𝑦
𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(2)(cid:64) (cid:105)(cid:140)(cid:36)(cid:141)(cid:142)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:71)
①(cid:81)𝑃 (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:54)(cid:72)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:149)(cid:94)(cid:72)(cid:93) (cid:121)(cid:159)(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:76)
②(cid:79)(cid:64)△𝑃(cid:80)𝐵𝐶 (cid:59)(cid:54)(cid:62) (cid:63)(cid:64) 𝑃(cid:54)(cid:274)(cid:79)(cid:64) (cid:80) △(cid:59)𝑃𝐵(cid:54)𝐶(cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:54)(cid:27)(cid:10)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)
(cid:70)𝑃(cid:29)𝑃(cid:32)𝐸(cid:33)⊥(cid:22)𝑥 (cid:30)(cid:22)(cid:31)𝐵(cid:149)𝐶(cid:109)(cid:24)𝐸(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)𝑃(cid:64)𝑃(cid:65)𝐹(cid:95)∥𝑥(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)𝐹(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝐸(cid:71)𝐹 𝑃
【
△
题
𝑃𝐸
型
𝐹6
平行四边形存在性问题】
𝑃
1
(cid:15)(cid:43)6(cid:19)(cid:44)2025·(cid:225)(cid:226)(cid:275)(cid:190)·(cid:131)(cid:47)(cid:51)(cid:171)(cid:172)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:70)(cid:10) = + (cid:71)
2
2
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:124)(cid:64)(cid:95)(cid:96)(cid:71)
𝑊1
𝑦 − 𝑥 2𝑥
(2)(cid:97)(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝑊1
(cid:100)(cid:66)(cid:34)(cid:101)2(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:54)(cid:274)(cid:100)(cid:77)(cid:34)(cid:101)1(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:54)(cid:91)(cid:147)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:54)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)
(3)(cid:64)Q(cid:105)(cid:33)𝑊(cid:57) 1 (cid:77)(cid:41)(cid:54)(cid:133)(cid:276)(cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:53)(cid:168)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:193)𝑊2 (cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)𝑊(cid:78) 2 (cid:64)Q(cid:54)(cid:90) (cid:121)
(cid:159)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)𝑂(cid:54)𝑃 (cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:145)(cid:86)(cid:64)Q(cid:65)(cid:95)𝑊(cid:96)1(cid:54)(cid:94)(cid:72)(cid:93)(cid:254)(cid:84)(cid:85)(cid:121)(cid:159)(cid:76)(cid:109)𝑂(cid:111)𝑄(cid:24)(cid:25)𝑃𝑄(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) △𝑂𝑃𝑄
(4)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:124)(cid:64)(cid:70)P(cid:54) (cid:59)(cid:77)(cid:160)(cid:78)(cid:139)(cid:64)M(cid:54)(cid:25) (cid:193) (cid:194)(cid:170)(cid:180)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)N(cid:54)(cid:90)O(cid:44)(cid:146)
(cid:64)(cid:51)(cid:193)P(cid:193)M(cid:193)N𝑊(cid:36)2(cid:64)(cid:277)(cid:278)(cid:178) (cid:70)𝑥(cid:78)(cid:37)(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:54)(cid:109)𝑊(cid:24)1 (cid:25)𝑊(cid:54)2(cid:72)(cid:93)N(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
𝑂𝑃
(cid:15)(cid:116)(cid:75)6-1(cid:19)(cid:44)2025·(cid:250)(cid:251)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:171)(cid:172)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:79)(cid:64) (1,0)(cid:193) ( )(cid:54)(cid:64) (cid:105)(cid:33)(cid:57) =2
2
(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:71) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 𝐵 0,−3 𝐶 𝑥
(1)(cid:72)(cid:145)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:279)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:132)(cid:124)(cid:64)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(2)(cid:81)(cid:64) (cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:86)(cid:54)(cid:72)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(3)(cid:64) (cid:105)𝐶(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:65)(cid:78)𝐶(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:81) + (cid:65)(cid:83)(cid:84)(cid:161)(cid:86)(cid:54)(cid:72)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(4)(cid:109)(cid:64)𝑃 (cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:54)(cid:64) (cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)𝑃𝐴(cid:59)(cid:77)𝑃(cid:54)𝐶 (cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:178)(cid:64) (cid:193)𝑃(cid:193) (cid:193) (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)𝑀(cid:25)(cid:54)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:179)𝑁(cid:160)(cid:280)(cid:245)(cid:180)(cid:181)(cid:65)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)𝐵(cid:92)(cid:112)𝐶(cid:113)(cid:114)𝑀(cid:115)𝑁(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)6-2(cid:19)(cid:44)2025·(cid:233)(cid:226)(cid:281)(cid:33)(cid:282)(cid:283)(cid:153)(cid:175)(cid:176)·𝑀(cid:78)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63) (cid:193) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58) (cid:59)
2
(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:171)(cid:172) ( )(cid:193) (0,3)(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:71) 𝑦 𝑎𝑥 2𝑥 𝑐 𝑥 𝐴 𝐵 𝑦
𝐶 𝐴 −1,0 𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:109)(cid:64) (cid:70)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:44)(cid:111)(cid:58) (cid:193) (cid:45)(cid:245)(cid:51)(cid:54) (cid:59)(cid:54)(cid:133) (cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:62) (cid:59)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:72)(cid:36)(cid:37)
(cid:31) 𝑃(cid:65)(cid:84)(cid:85)𝐵(cid:121)𝐶(cid:159)(cid:76) 𝐵 𝐶 𝑃𝑀∥𝑦 𝑃𝑀 𝑀 𝑥 𝑁
(3)𝐴(cid:25)𝐵(cid:44)𝑀2𝐶(cid:51)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:154)(cid:54)(cid:81)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:54)(cid:64) (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:65)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)
(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178) (cid:193) (cid:193) (cid:193) (cid:70)(cid:124)𝐴(cid:64)𝐵𝑀(cid:65)𝐶(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:70)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:31)𝐷(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)
(cid:114)(cid:115)𝐸(cid:71) 𝐴 𝑃 𝐷 𝐸 𝐸
1
(cid:15)(cid:116)(cid:75)6-3(cid:19)(cid:44)2025·(cid:225)(cid:284)(cid:285)(cid:286)·(cid:30)(cid:47)(cid:51)(cid:171)(cid:172)(cid:54)(cid:52)(cid:53)1(cid:54) (cid:70)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:65)(cid:146)(cid:64)(cid:54)(cid:79)(cid:287)(cid:64) (cid:65)(cid:33)(cid:57) =
4
+1( 0)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57) =2 (cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:44)(cid:64) (cid:25)(cid:64) 𝑂 (cid:134)(cid:67)(cid:51)(cid:71) 𝐶 𝑙:𝑦 𝑘𝑥−
2
𝑘 𝑘≠ 𝐿:𝑦 𝑥 𝐴,𝐵 𝐴 𝐵
1 1
(1)(cid:109) , (cid:54)(cid:150)(cid:72)(cid:33)(cid:57) (cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
2 2
(2)(cid:109)𝐴 −= (cid:54)(cid:186)(cid:288)(cid:289)(cid:25)(cid:34)𝑙 (cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:178) (cid:54) (cid:54) (cid:54) (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:31)(cid:54)(cid:109)𝐴𝐶(cid:24)(cid:25)𝐵(cid:54)𝐶(cid:72) (cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:54)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:146)(cid:290)(cid:76) 𝐷 𝐴 𝐵 𝑂 𝐷
𝐷5
(3)(cid:52)(cid:53)2(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:79)(cid:64) (cid:80)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:291)(cid:160)(cid:292)(cid:78)(cid:7)(cid:293)(cid:64)(cid:65)(cid:33)(cid:57) (cid:54)(cid:33)(cid:57) (cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:70) (cid:54)(cid:109) = (cid:54)(cid:72) (cid:65)(cid:83)(cid:71)
4
𝐴,𝐵 𝐿 𝑚,𝑛 𝑚,𝑛 𝐸 𝐸𝐶 𝑘
【题型7 菱形存在性问题】
(cid:15)(cid:43)7(cid:19)1(cid:71)(cid:44)2025·(cid:294)(cid:228)(cid:294)(cid:190)·(cid:131)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)①(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136) = + + (cid:65)(cid:53)(cid:141)(cid:62)
2
(cid:59)(cid:63) (cid:54) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:62) (cid:59)(cid:63)(cid:64) (0,4)(cid:54)(cid:109)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:70)(4,0)(cid:54)(cid:64) (cid:105)(cid:158)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136)(cid:53)(cid:141)𝑦 (cid:77)−(cid:65)𝑥(cid:78)(cid:174)𝑏(cid:139)𝑥(cid:64)𝑐(cid:54)(cid:133)(cid:25)(cid:140)(cid:78)𝑥
(cid:141)(cid:142)𝐴(cid:71) 𝐵 𝑦 𝐶 𝐵 𝐷
(1)(cid:72)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:88)(cid:89) (cid:54)(cid:79)(cid:64) (cid:80) (cid:59)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:62)(cid:57)(cid:82) (cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:81)(cid:64) (cid:243)(cid:139)(cid:147)(cid:237)(cid:238)(cid:176)(cid:239)(cid:86)(cid:54)(cid:57)(cid:82) (cid:160)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:149)(cid:92)(cid:72)
(cid:93)(cid:64) (cid:65)𝐵(cid:95)𝐶 (cid:96)(cid:132) 𝐷(cid:65)(cid:84)𝐷𝐸(cid:85)⊥(cid:83)𝑥(cid:76) 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐷 𝐷𝐹
(3)(cid:88)𝐷(cid:89) (cid:54) 𝐷(cid:54)𝐹(cid:109) (cid:3)(cid:63) (cid:59)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:53)(cid:31)(cid:105) (cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:70)(cid:38)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)
′ ′
(cid:25)(cid:54)(cid:72)(cid:93)𝑂𝐷(cid:64) 𝐶(cid:65)𝐷(cid:95)(cid:96)(cid:54)△(cid:109)𝑂(cid:111)𝐶𝐷(cid:24)(cid:25)(cid:54)𝑦(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) △𝑂𝐶𝐷 𝐷 𝑂𝐷𝐶𝐷
(cid:15)(cid:116)(cid:75)7-1(cid:19)𝐷(cid:44)2025·(cid:214)(cid:215)(cid:216)·(cid:131)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58)x(cid:59)(cid:62)(cid:63) (4,0)
2
(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) ( )(cid:54)P(cid:105)(cid:33)(cid:57) (cid:154)(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:71) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴,𝐵
𝐶 0,−8 𝐵𝐶
(1)(cid:72)(cid:64)A(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:132)(cid:158)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:88)(cid:89) (cid:54)(cid:94)(cid:97) (cid:98)y(cid:59)(cid:295)(cid:296)(cid:54)(cid:91)(cid:147)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)P(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:70)(cid:38)(cid:31)(cid:149)(cid:109)
′ ′
(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:72)𝑃𝑂(cid:93),𝑃(cid:145)𝐶(cid:86)(cid:64)P△(cid:65)𝑃(cid:95)𝑂(cid:96)𝐶(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑃(cid:76)𝑂𝑃 𝐶 𝑃𝑂𝑃 𝐶
(3)(cid:25)(cid:64)P(cid:65)(cid:243)(cid:139)(cid:79)(cid:177)(cid:123)(cid:54)(cid:81)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:54)(cid:72)(cid:93)(cid:145)(cid:86)(cid:64)P(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:132)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:121)(cid:159)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)7-2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:45)(cid:46)𝐴(cid:297)𝐵(cid:273)𝑃𝐶·(cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:157)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + (cid:58)x(cid:59)𝐴𝐵(cid:62)𝑃(cid:63)𝐶 ( ) (4,0)
2
(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)C(cid:54)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:70)(cid:33)(cid:57)l(cid:71) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥−2 𝐴 −1,0 ,𝐵(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:64)P(cid:105)(cid:33)(cid:57) (cid:154)(cid:41)(cid:65)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:121)(cid:159)(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:125)(cid:145)(cid:86)P(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(3)(cid:64)F(cid:105)(cid:33)(cid:57)𝐵l𝐶(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:64)G(cid:105)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)𝐴𝐶(cid:178)𝑃𝐵 (cid:70)(cid:37)(cid:54)(cid:178)(cid:64)B(cid:54)C(cid:54)F(cid:54)G(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)
(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64)F(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:116)(cid:75)7-3(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:196)(cid:129)(cid:197)(cid:198)·(cid:221)(cid:253)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63) (cid:193) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:58) (cid:59)
2
(cid:62)(cid:63) (cid:64)(cid:54) =1(cid:54) = =3(cid:71) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝐴 𝐵 𝑦
𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:52)(cid:53)1(cid:54)(cid:64) (cid:70)(cid:140)(cid:78)(cid:141)(cid:142)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:193) (cid:193) (cid:54)(cid:202)(cid:64) (cid:65)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:70) (cid:54) (cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:70) (cid:54)
(cid:72) (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:76)𝐷 𝐷𝐶 𝐷𝐵 𝐵𝐶 𝐷 𝑚 △𝐵𝐶𝐷 𝑆
(3)𝑆(cid:52)(cid:53)2(cid:54)(cid:64) (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:133)(cid:176)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:134)(cid:67)(cid:54) (cid:62)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:97)(cid:57)(cid:82) (cid:208)(cid:64) (cid:212)(cid:213)90°(cid:91)(cid:147)(cid:64)
(cid:65)(cid:68)(cid:279)(cid:64) (cid:71)𝑃(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25) (cid:65)(cid:176)(cid:239)(cid:54)(cid:90)(cid:64) (cid:298)(cid:25) (cid:59)(cid:77)(cid:149)(cid:109)𝑃(cid:24)𝐵(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:126)𝑀(cid:127)(cid:180)(cid:181)(cid:65) 𝑀(cid:64)𝐵(cid:95)(cid:96)(cid:54)𝑀(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)𝐵(cid:113)
(cid:114)(cid:115)(cid:76) 𝑁 𝑃 𝑁 𝑦 𝑃
(4)(cid:109)(cid:64) (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:64) (cid:70)(cid:95)(cid:96)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178)(cid:64) (cid:193) (cid:193) (cid:193) (cid:70)(cid:124)(cid:64)
(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)𝑀(cid:105)(cid:38)(cid:31)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)𝑁(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)𝑁(cid:115)(cid:71) 𝐵 𝐶 𝑀 𝑁
【题型8 矩形存在性问题】 𝑁
(cid:15)(cid:43)8(cid:19)(cid:44)2025·(cid:225)(cid:284)(cid:299)(cid:228)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +5(cid:103)(cid:79)A(cid:193)B(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:124)(cid:64)(cid:70)M(cid:54)(cid:68)(cid:69)(cid:59)l(cid:58)
2
𝑦 𝑥 6𝑥x(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)D(cid:54)(cid:58)(cid:33)(cid:57) (cid:62)(cid:63)(cid:64)E(cid:71)
𝐴𝐶
(1)(cid:97)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:98)(cid:33)(cid:57) (cid:34)(cid:101)(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:64)A(cid:298)(cid:25)(cid:64)B(cid:300)(cid:301)(cid:70) (cid:54)(cid:145)(cid:86)(cid:64) (cid:65)(cid:68)(cid:279)(cid:64)(cid:70)C(cid:54)(cid:72)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:54)(cid:302)(cid:303)(cid:36)
′ ′ ′
(cid:37)(cid:31) (cid:65)(cid:31)(cid:304)𝐴(cid:54)𝐵(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝐴 𝐶 𝐶
′ ′
(2)(cid:202)𝐴G𝐴(cid:105)𝐶𝐶(cid:95)(cid:96)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:81)(cid:178)A(cid:193)C(cid:193)G(cid:193)M(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:86)(cid:71)(cid:72)(cid:64)G(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:71)
(3)(cid:202)G(cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:54)K(cid:105)(cid:95)(cid:96)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)G(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178)A(cid:193)C(cid:193)G(cid:193)K(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)
(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:39)(cid:31)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:72)(cid:93)(cid:64)G(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)8-1(cid:19)(cid:44)2025·(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:226)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:33)(cid:57) = +3(cid:62)(cid:95)(cid:96)(cid:59)(cid:63) (cid:193) (cid:170)
(cid:64)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +3(cid:103)(cid:79) (cid:193) (cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:133)(cid:62) (cid:59)(cid:63)(cid:148)(cid:78)(cid:64) ( )(cid:71)(cid:64) (cid:70)𝑦(cid:55)(cid:56)−𝑥(cid:57)(cid:25)(cid:140)(cid:78)(cid:141)(cid:142)(cid:214)(cid:65)𝐵(cid:78)𝐶(cid:64)(cid:54)
2
(cid:79)(cid:64) (cid:80) 𝑦 𝑎(cid:54)𝑥 𝑏(cid:62)𝑥 (cid:63)(cid:64) 𝐵(cid:54)(cid:62)𝐶 (cid:59)(cid:63)(cid:64) (cid:71)𝑥 𝐴 −1,0 𝐷
𝐷 𝐷𝑄∥𝐶𝑂 𝐷𝑄 𝐵𝐶 𝑃 𝑥 𝑄
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:202)(cid:64) (cid:65)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:70) (cid:54)(cid:25)(cid:64) (cid:65)(cid:101)(cid:139)(cid:79)(cid:177)(cid:123)(cid:54)(cid:24)(cid:25) = (cid:54)(cid:72)(cid:93) (cid:65)(cid:83)(cid:76)
(3)(cid:25)(cid:55)(cid:56)𝑃 (cid:57)(cid:77)(cid:173)(cid:64) 𝑚(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)𝐷(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:214)(cid:173)(cid:64) (cid:54)∠(cid:27)𝐷(cid:105)𝐶𝑃(cid:106)(cid:24)∠(cid:25)𝐷(cid:178)𝑃𝐶(cid:193) (cid:193)𝑚(cid:193) (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:133)(cid:178) (cid:70)(cid:37)(cid:65)(cid:39)(cid:31)(cid:149)
(cid:52)(cid:235)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64)𝐸 (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:52)(cid:235)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)𝐹(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝐶 𝐵 𝐸 𝐹 𝐶𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:75)8-2(cid:19)(cid:44)2025·(cid:244)𝐸(cid:308)(cid:309)(cid:310)·(cid:131)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:171)(cid:172)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136) = (cid:44)(cid:105)(cid:311)(cid:136)(cid:54) >0(cid:51)(cid:65)(cid:53)(cid:141)(cid:58)
2 2
(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:236)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:193) (cid:44)(cid:64) (cid:176)(cid:63)(cid:64) (cid:65)(cid:134)(cid:67)(cid:51)(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)𝑦(cid:64) (cid:54)𝑚(cid:68)𝑥(cid:69)−(cid:59)2𝑚(cid:70)𝑥(cid:33)−(cid:57)3 (cid:71)(cid:64) (cid:3)(cid:63)𝑚(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:64)(cid:70) (cid:54)(cid:88)𝑥
(cid:89) (cid:71)(cid:64) (cid:70)(cid:158)(cid:135)𝐴 (cid:136)𝐵(cid:53)(cid:141)(cid:77)𝐴(cid:78)(cid:64)(cid:54)𝐵 (cid:34)(cid:60) (cid:71)𝑦 𝐶 𝑙 𝐶 𝑙 𝐷
𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵 ∠𝐷𝐴𝐸(1)①(cid:57)(cid:82) (cid:65)(cid:144)(cid:70)_____(cid:71)
②(cid:72)(cid:64) (cid:65)𝐴(cid:95)𝐵(cid:96)(cid:76)(cid:44)①(cid:193)②(cid:123)(cid:65)(cid:312)(cid:313)(cid:291)(cid:204)(cid:205) (cid:65)(cid:206)(cid:136)(cid:75)(cid:137)(cid:207)(cid:51)
(2)(cid:202) (cid:105)𝐸(cid:158)(cid:135)(cid:136)(cid:53)(cid:141)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:64) (cid:25) (cid:77)(cid:71)(cid:288)(cid:314)𝑚(cid:10)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:71)(cid:90)(cid:91)(cid:178) (cid:193) (cid:193) (cid:193) (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:39)
(cid:31)(cid:149)(cid:52)𝑀(cid:235)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:52)𝑁(cid:235)𝑙(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑀 𝐴 𝐸 𝑀 𝑁
(cid:15)(cid:116)(cid:75)8-3(cid:19)(cid:44)2025·(cid:250)(cid:251)𝑀(cid:252)(cid:146)·(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + 0)(cid:58)x
2
(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)C(cid:54)(cid:88)(cid:89) =1(cid:54)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:70) =1(cid:54)(cid:64)D(cid:70)(cid:145)(cid:55)𝑦(cid:56)(cid:57)𝑎𝑥(cid:65)(cid:124)2(cid:64)𝑥(cid:71)𝑐(𝑎≠
𝐴,𝐵 𝐵𝐶,𝑂𝐴 𝑥
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)
(2)(cid:109)(cid:88)(cid:89) (cid:54)(cid:150) =________°
(3)(cid:64)E(cid:105)𝐶(cid:140)𝐷(cid:78)(cid:141)(cid:142)∠𝐵(cid:214)𝐶(cid:55)𝐷(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:88)(cid:89) (cid:132) (cid:54)(cid:72) (cid:121)(cid:159)(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:71)
(4)(cid:64)P(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:54)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:24)(cid:25)(cid:64)𝐵Q𝐸(cid:54)(cid:81)𝐶𝐸(cid:178)(cid:64) △𝐵𝐶𝐸(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:39)(cid:31)(cid:86)(cid:54)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:64)Q
(cid:65)(cid:203)(cid:95)(cid:96)(cid:71) 𝐵,𝐶,𝑃,𝑄
【题型9 正方形存在性问题】
4
(cid:15)(cid:43)9(cid:19)(cid:44)2025·(cid:196)(cid:129)(cid:197)(cid:198)·(cid:131)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:65)(cid:53)(cid:168)(cid:103)(cid:79)(cid:64) ( )(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64) (cid:54)
3
2
2 𝐶1 :𝑦 𝑎𝑥 𝑥 𝑐 𝐷 1,−1 𝑥 𝐴
(cid:64) (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:70) = (cid:71)
5
𝐵 𝑥 −(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:97)(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝐶1
(cid:100)(cid:66)(cid:34)(cid:101)1(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:54)(cid:274)(cid:100)(cid:77)(cid:34)(cid:101)3(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:91)(cid:147)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:54)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:54)(cid:94)(cid:302)(cid:303)(cid:64)
(cid:105)(cid:106)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝐶1
(cid:77)(cid:76)
𝐶2 𝐶2
𝐷
(3)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57) 𝐶(cid:65) 2 (cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90)| |(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)
(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:76) 𝐶2 𝑃 𝑃𝐵−𝑃𝐷 𝑃
(4)(cid:64) (cid:105)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:65)(cid:78)(cid:64)(cid:54)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:132)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:178)(cid:64) (cid:54) (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:178)
(cid:70)(cid:37)(cid:65)𝐹(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:71)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)𝐶(cid:93)2 (cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)𝐶1(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)𝐸(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)𝐵,𝐷
𝐸,𝐹 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:116)(cid:75)9-1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:128)(cid:129)(cid:128)𝐸(cid:228)·(cid:221)(cid:123)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + +4( 0)
2
(cid:58)x(cid:59)(cid:62)(cid:63)A(cid:193)C(cid:170)(cid:64)(cid:54)(cid:254)(cid:123) ( )(cid:54) (4,0)(cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:62)(cid:63)(cid:64)B(cid:71) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
𝐴 −1,0 𝐶
(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)
(2)(cid:109)(cid:64)D(cid:105)(cid:140)(cid:78)(cid:141)(cid:142)(cid:214)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:88)(cid:312) (cid:54)(cid:79)(cid:64)D(cid:80) (cid:63)(cid:64)E(cid:54)(cid:315)(cid:144) (cid:58)(cid:33)(cid:57) = (cid:62)
2 𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝑦 −2
(cid:63)(cid:64)F(cid:54)(cid:72) + 2 (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:125)(cid:145)(cid:86)(cid:64)D(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
2
(3)(cid:109)(cid:97)(cid:146)(cid:55)(cid:56)𝐷(cid:57)𝐹(cid:208)(cid:146)(cid:64)𝐷𝐸O(cid:212)(cid:213)180°(cid:91)(cid:147)(cid:104)(cid:65)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:54)P(cid:105)(cid:104)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)H(cid:105)(cid:33)(cid:57) = (cid:77)
′ ′
(cid:65)(cid:78)(cid:174)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:77)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:78)(cid:64)K𝑦(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:36)(cid:37)(cid:31) 𝑦 (cid:70)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:149)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:126)𝑦(cid:127)(cid:180)−(cid:181)2 (cid:65)
(cid:179)(cid:160)K(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:71) 𝑂𝑃𝐾𝐻
(cid:15)(cid:116)(cid:75)9-2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:36)(cid:273)(cid:226)(cid:316)·(cid:221)(cid:123)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:103)(cid:79) ( ) (4,0) ( )(cid:30)(cid:64)(cid:71)
𝐴 −1,0 ,𝐶 ,𝐷 3,−4(1)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:71)
(2)(cid:288)(cid:289)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)P(cid:54)(cid:90) =2 (cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64)P(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:186)(cid:112)(cid:113)(cid:114)
(cid:115)(cid:71) 𝑆△𝑃𝐵𝐶 𝑆△𝐷𝐵𝐶
(3)(cid:33)(cid:57) (cid:62)y(cid:59)(cid:63)(cid:64)G(cid:54)M(cid:105)(cid:57)(cid:82) (cid:77)(cid:139)(cid:64)(cid:54) (cid:59)(cid:58)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:82)(cid:62)(cid:63)(cid:64)N(cid:71) (cid:59)(cid:63)F(cid:54) (cid:59)
(cid:63)H(cid:54)(cid:81)𝐴𝐷(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:105)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:86)(cid:54)𝐺(cid:72)𝐷(cid:64)M(cid:65)(cid:95)𝑀(cid:96)𝑁∥𝑥 𝐶𝐷 𝑀𝐹⊥𝑥 𝑁𝐻⊥𝑥
(cid:15)(cid:116)(cid:75)9-3(cid:19)(cid:44)2𝑀4-𝐹25𝐻𝑁(cid:268)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:317)(cid:234)(cid:318)(cid:196)·(cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:157)(cid:51)(cid:319)(cid:320)(cid:58)(cid:288)(cid:289)
(cid:70)(cid:321)(cid:322)(cid:279)(cid:317)(cid:234)(cid:104)(cid:123)(cid:199)(cid:54)(cid:323)(cid:324)2024(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:278)(cid:329)(cid:321)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:136)(cid:11)(cid:330)(cid:331)(cid:11)(cid:157)(cid:161)(cid:332)(cid:54)(cid:333)(cid:58)(cid:334)(cid:11)(cid:335)(cid:336)(cid:128)(cid:337)(cid:54)(cid:330)(cid:331)(cid:338)(cid:339)(cid:54)
(cid:334)(cid:86)(cid:340)(cid:278)(cid:235)(cid:341)(cid:339)(cid:71)(cid:178)(cid:154)(cid:105)(cid:78)(cid:169)(cid:11)(cid:157)(cid:161)(cid:332)(cid:342)(cid:289)(cid:11)(cid:157)(cid:131)(cid:169)(cid:135)(cid:136)(cid:27)(cid:20)(cid:65)(cid:335)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:312)(cid:346)(cid:54)(cid:221)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:103)(cid:350)(cid:321)(cid:319)(cid:320)——(cid:279)
(cid:204)——(cid:288)(cid:289)(cid:65)(cid:79)(cid:177)(cid:54)(cid:154)(cid:121)(cid:92)(cid:334)(cid:11)(cid:349)(cid:351)(cid:186)(cid:73)(cid:352)(cid:78)(cid:154)(cid:348)(cid:349)(cid:65)(cid:202)(cid:239)(cid:27)(cid:20)(cid:71)
(cid:15)(cid:319)(cid:320)(cid:19)(cid:10)(cid:44)1(cid:51)(cid:348)(cid:349)(cid:68)(cid:78)(cid:180)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:35)(cid:50)(cid:223)(cid:54)(cid:50)(cid:91)(cid:81)(cid:353)(cid:124)(cid:356)(cid:162)(cid:121)6.25m(cid:86)(cid:54)(cid:162)(cid:121)(cid:357)10m(cid:54)(cid:94)(cid:358)(cid:93)(cid:321)
(cid:353)(cid:354)(cid:359)(cid:121)(cid:53)(cid:54)(cid:118)(cid:329)(cid:321)(cid:52)(cid:53)1(cid:179)(cid:207)(cid:65)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:54)(cid:360)(cid:79)(cid:361)(cid:362)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:158)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:70)________(cid:76)(cid:44)(cid:110)(cid:278)(cid:124)
(cid:64)(cid:75)(cid:51)
(cid:15)(cid:279)(cid:204)(cid:19)(cid:10)(cid:44)2(cid:51)(cid:209)(cid:363)(cid:287)(cid:54)(cid:364)(cid:360)(cid:79)(cid:353)(cid:354)(cid:86)(cid:54)(cid:124)(cid:255)(cid:58)(cid:353)(cid:354)(cid:124)(cid:255)(cid:25)(cid:365)(cid:33)(cid:41)(cid:100)(cid:77)(cid:65)(cid:263)(cid:23)(cid:267)(cid:366)(cid:367)(cid:70)0.5m(cid:71)(cid:78)(cid:368)(cid:85)(cid:369)(cid:54)
(cid:370)(cid:162)(cid:121)(cid:77)(cid:259)(cid:321)0.2m(cid:54)(cid:70)(cid:321)(cid:371)(cid:372)(cid:270)(cid:28)(cid:54)(cid:27)(cid:158)(cid:353)(cid:354)(cid:373)(cid:106)(cid:370)(cid:357)(cid:23)(cid:70)6m(cid:193)(cid:263)(cid:23)(cid:70)3.2m(cid:65)(cid:374)(cid:364)(cid:360)(cid:79)(cid:149)(cid:92)(cid:360)(cid:79)(cid:361)(cid:362)(cid:355)(cid:35)
(cid:112)(cid:113)(cid:71)(cid:44)(cid:374)(cid:364)(cid:375)(cid:80)(cid:144)(cid:41)(cid:343)(cid:51)
(cid:15)(cid:288)(cid:289)(cid:19)(cid:10)(cid:44)3(cid:51)(cid:288)(cid:289)(cid:10)(cid:158)(cid:376)(cid:20)(cid:11)(cid:157)(cid:161)(cid:332)(cid:70)(cid:355)(cid:78)(cid:377)(cid:288)(cid:314)(cid:378)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:160)(cid:3)(cid:172)(cid:379)(cid:54)(cid:348)(cid:349)(cid:380)(cid:381)(cid:77)(cid:382)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:47)(cid:21)(cid:54)(cid:94)(cid:79)(cid:146)(cid:64)(cid:80)(cid:78)(cid:180) = (cid:65)(cid:33)(cid:57) (cid:54)(cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:63)(cid:64)F(cid:54)(cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:63)(cid:64)E(cid:54)(cid:383)(cid:93)(cid:321)(cid:178)(cid:154)(cid:170)(cid:174)(cid:27)(cid:20)(cid:54)(cid:92)(cid:384)(cid:73)(cid:385)(cid:10)
①(cid:52)(cid:53)2(cid:54)𝑦B(cid:70)𝑥(cid:33)(cid:57) (cid:77)𝑂𝐹(cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:64)(cid:54)(cid:79)B(cid:80) (cid:201)(cid:33)(cid:63)x(cid:59)(cid:54)(cid:62)x(cid:59)(cid:63)A(cid:54)(cid:62)(cid:33)(cid:57) (cid:63)C(cid:54)(cid:79)(cid:64)B
(cid:80) (cid:201)(cid:33)(cid:63)(cid:33)(cid:57) (cid:54)𝑂𝐹(cid:62)(cid:33)(cid:57) (cid:63)D(cid:54)(cid:72) + (cid:65)(cid:84)𝐵(cid:85)𝐴(cid:83)(cid:71) 𝑂𝐹
②𝐵(cid:52)𝐷(cid:53)3(cid:54)G(cid:70)(cid:57)𝑂𝐹(cid:82) (cid:77)(cid:78)(cid:139)𝑂𝐹(cid:64)(cid:54)(cid:79)G(cid:64)𝐵(cid:80)𝐷 x𝐶(cid:59)𝐷(cid:65)(cid:201)(cid:57)(cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:63)(cid:64)H(cid:54)(cid:64)P(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:34)(cid:121)(cid:214)(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:105)(cid:106)(cid:24)
(cid:25)(cid:178)E(cid:193)G(cid:193)H(cid:193)P(cid:70)𝑂(cid:124)𝐹(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)G(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
【题型10 梯形存在性问题】
3 3
(cid:15)(cid:43)10(cid:19)(cid:44)22-23(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:77)·(cid:305)(cid:306)(cid:46)(cid:190)·(cid:221)(cid:123)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:171)(cid:172)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = (cid:58) (cid:59)(cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:70)(cid:64) (cid:193) ((cid:64) (cid:25)
8 4
2
(cid:64) (cid:65)(cid:66)(cid:67))(cid:54)(cid:58) (cid:59)(cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:70)(cid:64) (cid:71) 𝑦 𝑥 − 𝑥−3 𝑥 𝐴 𝐷 𝐴
𝐷 𝑦 𝐶
(1)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93) (cid:193) (cid:193) (cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(2)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)𝐴 (cid:68)𝐷(cid:69)(cid:59)𝐶(cid:77)(cid:87)(cid:78)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:91) + (cid:65)(cid:83)(cid:84)(cid:161)(cid:54)(cid:94)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(3)(cid:202)(cid:64) (cid:3)(cid:63)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:65)(cid:68)𝑀(cid:69)(cid:64)(cid:70)(cid:64)𝑀𝐷(cid:54)(cid:25)𝑀(cid:55)𝐶(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)𝑀(cid:90)(cid:91)(cid:178) (cid:193) (cid:193) (cid:193) (cid:36)(cid:64)(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)
(cid:37)(cid:31)(cid:70)(cid:42)𝐶 (cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:72)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)𝐵(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71) 𝑃 𝐴 𝐵 𝐶 𝑃
𝑃 3 3
(cid:15)(cid:116)(cid:75)10-1(cid:19)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:171)(cid:172)(cid:55)(cid:56)(cid:57)y(cid:386) x2(cid:387) x(cid:387)3(cid:58)x(cid:59)(cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:70)A(cid:193)D(A(cid:25)D(cid:65)(cid:66)(cid:67))(cid:54)(cid:58)y(cid:59)(cid:65)(cid:62)(cid:64)(cid:70)C.
8 4
(1)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)A(cid:193)D(cid:193)C(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(2)(cid:109)(cid:64)M(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:54)(cid:90)(cid:91) MAD(cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:58) CAD(cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:236)(cid:29)(cid:54)(cid:72)(cid:64)M(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(3)(cid:202)(cid:64)C(cid:3)(cid:63)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:68)(cid:69)(cid:59)(cid:65)△(cid:68)(cid:69)(cid:64)(cid:70)B(cid:54)(cid:25)△(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64)P(cid:54)(cid:90)(cid:91)(cid:178)A(cid:193)B(cid:193)C(cid:193)P(cid:36)(cid:64)(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)
(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:70)(cid:42)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:64)P(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)10-2(cid:19)(cid:171)(cid:172)(cid:54)(cid:39)(cid:31)OABC(cid:25)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:176)(cid:239)(cid:52)(cid:53)(cid:179)(cid:207)(cid:54)(cid:64)A(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:70)(4,0)(cid:54)(cid:64)C(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:70)
2
(cid:54)(cid:33)(cid:57) = (cid:58)(cid:37)BC(cid:236)(cid:62)(cid:63)(cid:64)D(cid:71)
3
(0,−2) 𝑦 − 𝑥(cid:44)1(cid:51)(cid:72)(cid:64)D(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
(cid:44)2(cid:51)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:103)(cid:79)(cid:64)A(cid:193)D(cid:193)O(cid:54)(cid:72)(cid:145)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:76)
2
(cid:44)3(cid:51)(cid:25)(cid:194)(cid:174)𝑦(cid:55)(cid:56)𝑎(cid:57)𝑥(cid:77)(cid:105)𝑏𝑥(cid:106)(cid:24)𝑐(cid:25)(cid:64)M(cid:54)(cid:90)O(cid:193)D(cid:193)A(cid:193)M(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:42)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:72)(cid:93)(cid:179)(cid:160)(cid:280)(cid:245)
(cid:180)(cid:181)(cid:65)(cid:64)M(cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:109)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:92)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
(cid:15)(cid:116)(cid:75)10-3(cid:19)(cid:52)(cid:53)(cid:179)(cid:207)(cid:54)(cid:34)(cid:121)(cid:33)(cid:22)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) = + + (cid:103)(cid:79) 、 、 (cid:71)(cid:79)(cid:64)
2
(cid:80) // (cid:59)(cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:63)(cid:64) (cid:54)(cid:79)(cid:64) (cid:80) (cid:59)(cid:54)(cid:201)(cid:127)𝑦(cid:70)(cid:64)𝑎𝑥 (cid:71)(cid:64)𝑏𝑥 (cid:105)𝑐(cid:36)(cid:37)(cid:31)𝐴(0, 4) (cid:65)𝐵(cid:68)(−(cid:22)2, (cid:57)0)(cid:65)(cid:62)𝐶((cid:64)6, (cid:54)0)(cid:64) (cid:25)
𝐴(cid:59)(cid:192)𝐴(cid:191)𝐷 (cid:59)(cid:77) 𝑥(cid:54)(cid:133) ．𝐷 𝐷 𝐷𝐸⊥𝑥 𝐸 𝑀 𝑂𝐴𝐷𝐸 𝐹 𝑦
𝐹(0, −2)
（1(cid:51)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:54)(cid:94)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:36)(cid:37)(cid:31) (cid:65)(cid:31)(cid:304)(cid:76)
𝑂𝐴𝐷𝐸
（2(cid:51)(cid:81)(cid:64) 、 (cid:256) 、 (cid:170)(cid:64)(cid:334)(cid:86)(cid:93)(cid:388)(cid:54)(cid:291)(cid:178)(cid:389)(cid:390)1(cid:174)(cid:144)(cid:23)(cid:175)(cid:176)(cid:65)(cid:391)(cid:23)(cid:98) 、 (cid:41)(cid:100)(cid:243)(cid:139)(cid:54)(cid:64) (cid:243)(cid:139)(cid:147) (cid:86) 、
𝑃 𝑄 𝐶 𝐹 𝐶𝐵 𝐹𝐴 𝑃 𝑂 𝑃
(cid:170)(cid:64)(cid:334)(cid:86)(cid:392)(cid:393)(cid:243)(cid:139)(cid:71)(cid:202)(cid:243)(cid:139)(cid:65)(cid:86)(cid:347)(cid:70) (cid:390)(cid:54)(cid:25)(cid:243)(cid:139)(cid:79)(cid:177)(cid:123)(cid:54)(cid:178) 、 、 、 (cid:36)(cid:64)(cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:65)(cid:121)(cid:159)(cid:70) (cid:54)
𝑄(cid:72)(cid:93) (cid:58) (cid:266)(cid:347)(cid:65)(cid:135)(cid:136)(cid:3)(cid:122)(cid:75)(cid:54)(cid:94)(cid:110)(cid:93)(cid:222)𝑡(cid:116)(cid:223)(cid:65)(cid:173)(cid:83)(cid:184)(cid:185)(cid:76) 𝑃 𝑄 𝑂 𝑀 𝑆
（3(cid:51) 𝑆 (cid:25) 𝑡 (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:77)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:54)(cid:90)(cid:178) 、 、 、 (cid:70)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:31)(cid:105)(cid:42)(cid:31)(cid:149)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:33)(cid:89)(cid:110)(cid:93)(cid:64) (cid:65)(cid:95)(cid:96)(cid:76)
𝑁 𝐵 𝐶 𝐹 𝑁 𝑁
(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:54)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:71)
