专题01反比例函数中k的几何意义(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(湘教)

专题 01 反比例函数中 k 的几何意义（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)..........................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:19)......................................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:19)..........................................................................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:41)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:22)k(cid:19)...................................................................................................................................27
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:3)(cid:43)(cid:22)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................................................32
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..................................................................................................................................................36
知识点 比例系数k的几何意义
1. 过y= k (k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|.
x
2. 连接y= k (k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角
x
三角形的面积都等于
|k|.
2
若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的
值，进而确定函数表达式.
【题型1 求三角形面积】
4
(cid:15)(cid:47)1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59) ABC(cid:60)(cid:61)(cid:62)A(cid:63)B(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)O
x
△
(cid:74)(cid:75)(cid:59)(cid:62)C(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59)AD x(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:62)C(cid:65)(cid:62)D(cid:77)(cid:78)(cid:59)(cid:79)OD=2CD(cid:59)(cid:80) BOC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81) (cid:82)
⊥ △(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)3
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:90)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:90)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)
(cid:22)(cid:98)ODAD=4(cid:59)(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:93)(cid:22)(cid:98) ACD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:98) AOC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:74)(cid:75)(cid:103)(cid:98) BOC(cid:104) AOC(cid:60)(cid:26)(cid:27)
(cid:105)(cid:106)(cid:59)(cid:101)⋅(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:82) △ △ △ △
1
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:102)(cid:103)(cid:10) AOD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81) ×4=2(cid:59)
2
△
1
(cid:101) ×ODAD=2(cid:59)
2
⋅
(cid:111)ODAD=4(cid:59)
OD=⋅2CD(cid:59)
∵ ACD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81) 1 ×CDAD= 1 × 1 ×ODAD=1(cid:59)
2 2 2
∴△ ⋅ ⋅
AOC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)2+1=3(cid:59)
∴△ 4
A(cid:63)B(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)O(cid:74)(cid:75)(cid:59)
x
∵ BOC(cid:104) AOC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:59)
∴(cid:101)△ BOC(cid:60)△(cid:26)(cid:27)(cid:81)3(cid:82)
(cid:111)△(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)3(cid:82)
6
(cid:15)(cid:112)(cid:113)1-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)·(cid:23)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:120)3
x
(cid:39)6(cid:59)(cid:121)(cid:122)OA(cid:59)OB(cid:59)AB(cid:59)(cid:80) AOB(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:48) (cid:57)
△
7 9
A(cid:82) B(cid:82)4 C(cid:82) D(cid:82)5
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)C(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:123)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:3)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:126)y= k (k≠0)(cid:34)(cid:69)(cid:90)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:62)(cid:59)(cid:130)(cid:131)(cid:129)(cid:132)(cid:62)(cid:133)x(cid:76)
x
(cid:39)y(cid:76)(cid:33)(cid:119)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:104)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:137)(cid:138)(cid:60)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:140)(cid:44)|k|(cid:82)
(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:142)(cid:22)(cid:103)A(cid:63)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:143)(cid:23)(cid:24)(cid:25) AOB(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:144)(cid:145)(cid:81)(cid:146)(cid:25)ABED(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:45)(cid:46)(cid:102)(cid:22)
(cid:98)(cid:146)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:59) △
6
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) (cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:120)3(cid:39)6(cid:59) A(3,2)(cid:59)B(6,1)(cid:59)
x
∵ ∴
(cid:134)AD x(cid:76)(cid:72)D(cid:59)BE x(cid:76)(cid:72)E(cid:59)
⊥ ⊥
S =S = 1 ×6=3(cid:59)
ΔAOD ΔBOE 2
∴
S =S +S −S =S (cid:59)
ΔOAB ΔAOD 梯形ABED ΔBOE 梯形ABED
∵ S = 1 (AD+BE)×(6−3)= 1 (2+1)×(6−3)= 9 (cid:59)
ΔAOB 2 2 2
∴
(cid:111)(cid:147)C(cid:82)
k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)1-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:28)(cid:148)(cid:149)(cid:150)·(cid:90)(cid:87)(cid:151)(cid:20)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:90)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:104)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)y=
x
k x+b(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:105)(cid:155)(cid:72)A(a,6)(cid:63)B(−6,1)(cid:156)(cid:62)(cid:82)
2
(1)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:159)
(2)(cid:160)x<0(cid:161)(cid:59)(cid:162)(cid:96)(cid:97)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:59)(cid:153)(cid:122)(cid:163)(cid:98)(cid:3)(cid:72)x(cid:60)(cid:164)(cid:106)(cid:113)k x+b− k 1≥0(cid:60)(cid:107)(cid:165)(cid:159)
2 x
(3)(cid:130)(cid:153)(cid:136)AB(cid:70)(cid:60)(cid:62)C(cid:134)CD x(cid:76)(cid:59)(cid:155)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)(cid:62)D(cid:82)(cid:79)(cid:62)C(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)−4(cid:59)(cid:22) BOD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)
6 ∥ △
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(1)y=− (cid:159)y=x+7
x
(2)−6≤x≤−1(3)8
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:140)(cid:43)(cid:68)(cid:169)(cid:22)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:63)(cid:67)(cid:68)(cid:34)
(cid:69)(cid:60)(cid:141)(cid:62)(cid:59)(cid:125)(cid:126)(cid:170)(cid:107)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:60)(cid:141)(cid:62)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:82)
(cid:48)1(cid:57)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:62)B(−6,1)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:140)(cid:43)(cid:68)(cid:169)(cid:102)(cid:22)(cid:98)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:159)(cid:171)(cid:172)(cid:130)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:22)(cid:98)(cid:62)A
(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:173)(cid:174)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:140)(cid:43)(cid:68)(cid:169)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:159)
(cid:48)2(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:164)(cid:106)(cid:113)(cid:60)(cid:107)(cid:165)(cid:101)(cid:81)(cid:22)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:176)(cid:72)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:60)(cid:70)(cid:177)(cid:161)(cid:59)x(cid:60)(cid:128)(cid:44)(cid:178)(cid:137)(cid:159)
(cid:48)3(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:20)(cid:93)(cid:103)(cid:98)B(−6,1)(cid:59)D(−2,3)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:103)(cid:98)S
BFO
=S
DEO
=3(cid:59)(cid:80)S
BOD
=S
梯形BFED
=8(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:82) △ △ △
k
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:107)(cid:10) (cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:130)(cid:62)B(−6,1)
x
k =−6×1=−6(cid:59) ∵
1
(cid:111)∴ (cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:81)y=− 6
x
6 6
(cid:179)(cid:62)A(a,6)(cid:180)(cid:181)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:103)(cid:59)6=− (cid:59)(cid:107)(cid:103)a=−1
x a
(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(−1,6)
∴(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:182)(cid:130)A (−1,6)(cid:63)B(−6,1)(cid:156)(cid:62)
∵ −k+b=6 k=1
(cid:59)(cid:107)(cid:103)
−6k+b=1 b=7
∴(cid:111)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:81)y=x+7(cid:159)
(cid:48)2(cid:57) k x+b− k 1≥0
2 x
∵
k
k x+b≥ 1(cid:59)(cid:101)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:60)(cid:70)(cid:177)
2 x
∴ −6≤x≤−1(cid:159)
∴(cid:48)3(cid:57) (cid:62)C(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)−4(cid:59)(cid:180)(cid:181)y=x+7
(cid:107)(cid:103)(cid:10)∵y=−4+7=3
C(−4,3)
∴ (cid:160)y=3(cid:161)(cid:59)(cid:180)(cid:181)y=− 6 (cid:59)(cid:103)3=− 6
x x
(cid:107)(cid:103)(cid:10)x=−2
D(−2,3)
∴(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:130)(cid:62)B,D(cid:33)(cid:119)(cid:134)x(cid:76)(cid:60)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:135)(cid:183)(cid:33)(cid:119)(cid:81)F,E(cid:59)B(−6,1)(cid:59)D(−2,3)
∵DE=3,BF=1(cid:59)EF=−2−(−6)=4
∴S +S =S +S (cid:59)S =S =3
BOD BFO 梯形BFED DEO BFO DEO
∵ S △ =S △ = 1 (DE+BF △ )EF= 1 ×( △ 3+1)×4 △ =8(cid:82)
BOD 梯形BFED 2 2
∴ △
(cid:15)(cid:112)(cid:113)1-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:184)(cid:150)(cid:185)(cid:186)·(cid:187)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:139)(cid:25)ABOC(cid:90)(cid:59)O(cid:81)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)B(cid:65)x(cid:76)(cid:188)(cid:189)(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C
(cid:65)y(cid:76)(cid:190)(cid:189)(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:191)(cid:192)(cid:136)y=−6 (cid:33)(cid:119)(cid:155)AC(cid:59)AB(cid:72)(cid:62)D(cid:59)E(cid:59)AD=3CD(cid:59)(cid:193)ED(cid:81)(cid:29)(cid:133)(cid:194)(cid:177)(cid:134) DEFG(cid:59) (cid:195) DEFG
x
▱ ▱
AE
(cid:104)(cid:139)(cid:25)ABOC(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:59)(cid:121)(cid:99)OF(cid:59)OG(cid:59)(cid:80) = (cid:59) OFG(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120) (cid:82)
BE
△
3
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19) 3 /0.75
4
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:104)(cid:91)(cid:92)(cid:60)(cid:198)(cid:100)(cid:63)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:104)(cid:199)(cid:140)(cid:200)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)
(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:104)(cid:91)(cid:92)(cid:60)(cid:198)(cid:100)(cid:63)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:104)(cid:199)(cid:140)(cid:200)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:159)(cid:130)(cid:62)D(cid:134)DH OB(cid:72)(cid:62)H(cid:59)(cid:41)
⊥ 6
(cid:20)(cid:93)(cid:204)(cid:103)(cid:28)(cid:29)(cid:25)ABHD,DHOC(cid:205)(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)(cid:41)AD=3CD(cid:102)(cid:206)CD=a(cid:59)(cid:80)(cid:207)AD=3a,AC=BO=4a(cid:59)(cid:80)(cid:207)D a,− (cid:59)E
a
4a,− 3 (cid:59)(cid:208)(cid:174)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:159)(cid:121)(cid:122)OD,OE(cid:59)(cid:130)(cid:62)O(cid:134)OP DE(cid:59)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:59)(cid:155)FG(cid:72)(cid:62)Q(cid:59)(cid:80)(cid:207)S +S = 1 S
2a DEO OGF 2 DEFG
⊥ △ △ ▱
=12(cid:59)(cid:213)(cid:214)(cid:209)(cid:20)(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:130)(cid:62)D(cid:134)DH OB(cid:72)(cid:62)H(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
⊥(cid:28)(cid:29)(cid:25)ABOC(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∵ A= ABO= ACO= COB=90°(cid:59)AC=BO,AB=CO(cid:59)
∴D∠H ∠OB(cid:59) ∠ ∠
∵(cid:28)(cid:29)⊥(cid:25)ABHD,DHOC(cid:205)(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∴AB=DH=OC(cid:59)
∴(cid:41)AD=3CD(cid:102)(cid:206)CD=a(cid:59)(cid:80)(cid:207)AD=3a,AC=BO=4a(cid:59)
6
D a,− (cid:59)
a
∴
3
E 4a,− (cid:59)
2a
∴ 6 3
AB=CO= (cid:59)BE= (cid:59)
a 2a
∴
9
AE=AB−BE= (cid:59)
2a
∴ 9
AE=2a=3(cid:59)
BE 3
2a
∴
S =ACOC=4a 6 =24=S (cid:59)
矩形ABOC a DEFG
∴ ⋅ ⋅ ▱
(cid:121)(cid:122)OD,OE(cid:59)(cid:130)(cid:62)O(cid:134)OP DE(cid:59)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:59)(cid:155)FG(cid:72)(cid:62)Q(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
⊥
(cid:41)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:102)(cid:216)(cid:10)S =S = 1 |k|=3,S = 1 ADAE= 27 (cid:59)
DCO BEO 2 ADE 2 4
△ △ △ ⋅45
S =S −S −S −S = (cid:59)
DEO 矩形ABOC DCO BEO ADE 4
∴(cid:28) △ (cid:29)(cid:25)DEFG(cid:120)(cid:152)(cid:201) △ (cid:28)(cid:29)(cid:25) △ (cid:59) △
∵DE FG,DE=FG(cid:59)
∴OQ∥ FG(cid:59)
∴ S ⊥ = 1 DEOP,S = 1 FGOQ(cid:59)
DEO 2 OGF 2
∴ △ ⋅ △ ⋅
S +S = 1 DE(OP+OQ)= 1 DEPQ= 1 S =12(cid:59)
DEO OGF 2 2 2 DEFG
∴ △ △ ⋅ ⋅ ▱
3
S =12−S = (cid:159)
OFG DEO 4
∴ △ △
3
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)3(cid:59) (cid:82)
4
【题型2 求四边形面积】
(cid:15)(cid:47)2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:150)(cid:217)(cid:218)(cid:150)·(cid:187)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)xOy(cid:90)(cid:59)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:61)(cid:62)B(cid:65)y(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:61)(cid:62)
6 10
A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:61)(cid:62)C(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:80)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:48) (cid:57)
x x
39
A(cid:82)32 B(cid:82)16 C(cid:82)8 D(cid:82)
4
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:127)(cid:93)
1
(cid:129)(cid:62)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:131)(cid:129)(cid:62)(cid:39)(cid:135)(cid:183)(cid:193)(cid:200)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:175)(cid:219)(cid:138)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120) |k|(cid:59)(cid:71)(cid:220)(cid:221)(cid:164)(cid:112)(cid:82)
2
(cid:130)(cid:62)A(cid:134)AE y(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:130)(cid:62)C(cid:134)CD y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:22)(cid:103) ABE(cid:60)(cid:26)
(cid:27)= COD(cid:60)⊥(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)=5(cid:59) AOE(cid:60)(cid:26)(cid:27)⊥= CBD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)=3(cid:59)(cid:173)(cid:174)(cid:222)(cid:223)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)△(cid:82)
(cid:15)(cid:108)△(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:130)(cid:62)A(cid:134)AE△y(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:130)△(cid:62)C(cid:134)CD y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:80) AEB= CDO=90°(cid:59)
⊥ ⊥ ∠ ∠(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)ABCO(cid:59)
∵AB=CO,AB CO
∴ ABE= CO∥D(cid:59)
∴∠ABE ∠ COD(AAS)(cid:59)
∴△ABE≌(cid:104)△COD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)(cid:59)
∴△ △ 10
(cid:224) (cid:61)(cid:62)C(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:70)(cid:59)
x
∵
ABE(cid:60)(cid:26)(cid:27)= COD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)= 1 ×10=5(cid:59)
2
∴△ △
(cid:225)(cid:170)(cid:102)(cid:103)(cid:10) AOE(cid:60)(cid:26)(cid:27)= CBD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:106)= 1 ×6=3(cid:59)
2
△ △
(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)2×(3+5)=16(cid:59)
∴(cid:111)(cid:147)(cid:10)B(cid:82)
4
(cid:15)(cid:112)(cid:113)2-1(cid:19)(cid:48)2023·(cid:150)(cid:217)(cid:121)(cid:226)(cid:227)·(cid:23)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:90)(cid:59)(cid:62)B(a,b)(cid:120)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:65)(cid:228)(cid:23)(cid:69)(cid:229)
x
(cid:34)(cid:230)(cid:70)(cid:60)(cid:129)(cid:132)(cid:231)(cid:62)(cid:59)(cid:193)B(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:90)(cid:232)(cid:134)(cid:139)(cid:25)ABCD(cid:59)AB x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:130)(cid:62)O(cid:60)(cid:153)(cid:136)MQ(cid:33)(cid:119)(cid:155)AD(cid:63)BC
(cid:29)(cid:72)(cid:62)M(cid:63)Q(cid:59)(cid:193)MQ(cid:81)(cid:129)(cid:29)(cid:134)(cid:139)(cid:25)MNPQ(cid:59)(cid:71)(cid:153)(cid:136)PN(cid:233)(cid:234)(cid:182)(cid:130)(cid:62)⊥E(cid:59)(cid:58)(cid:235)(cid:62)B(cid:65)(cid:236)(cid:231)(cid:90)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:237)(cid:238)(cid:112)(cid:38)(cid:59)(cid:239)
(cid:240)(cid:139)(cid:25)MNPQ(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:37)(cid:38)(cid:112)(cid:145)(cid:241)(cid:242)(cid:120)(cid:48) (cid:57)
A(cid:82)(cid:95)(cid:243)(cid:38)(cid:174)(cid:244)(cid:37) B(cid:82)(cid:95)(cid:244)(cid:37)(cid:174)(cid:243)(cid:38) C(cid:82)(cid:129)(cid:153)(cid:164)(cid:112) D(cid:82)(cid:129)(cid:153)(cid:243)(cid:38)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:121)(cid:122)EM(cid:63)EH(cid:82)(cid:95)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:25)AEOG(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)(cid:171)(cid:166)(cid:167)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:103)S =4(cid:59)(cid:213)(cid:214)(cid:103)S =
矩形BHOE OQE
△1 S =2(cid:59)(cid:139)(cid:25)MNPQ(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)2S =8(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:246)(cid:98)(cid:139)(cid:25)MNPQ(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:140)(cid:44)(cid:82)
2 矩形BHOE EHM
△
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:121)(cid:122)EM(cid:63)EH(cid:82)
(cid:28)(cid:29)(cid:25)ABCD(cid:120)(cid:193)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:90)(cid:232)(cid:134)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∵OM=OQ(cid:59)AB CD(cid:59)AD BC (cid:59) A= ABC= C=90°(cid:59)OG=OH(cid:59)OF=OE
∴AB x(cid:76)(cid:59)x(cid:76)∥y(cid:76)(cid:59) ∥ ∠ ∠ ∠
∵ O⊥EA= OEB=⟂ GOE=90°(cid:59)
∴∠OEA+∠A=180∠°(cid:59) AEO+ GOE=180°(cid:59)
∴A∠B y(cid:76)(cid:59)∠ AD x(cid:76)(cid:59)∠ ∠
∴(cid:28)(cid:29)∥ (cid:25)AEOG∥(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
(cid:225)∴ (cid:170)(cid:102)(cid:245)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:25)BHOE(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:25)HCFO(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:25)FDGO(cid:205)(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
4
(cid:62)B(a,b)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:70)(cid:59)
x
∵ S =4(cid:59)
矩形BHOE
∴ S = 1 S =2(cid:59)
OQE 2 矩形BHOE
∴ △
OM=OQ(cid:59)
∵S =2S =4(cid:59)
EHM OQE
∴(cid:28)△(cid:29)(cid:25)MN△PQ(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∵(cid:139)(cid:25)MNPQ(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)2S =2×4=8(cid:59)
EHM
∴(cid:139)(cid:25)MNPQ(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:37)(cid:38)△ (cid:164)(cid:112)(cid:59)
∴(cid:111)(cid:147)C(cid:82)
(cid:15)(cid:62)(cid:247)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:199)(cid:140)(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:63)(cid:90)(cid:232)(cid:74)(cid:75)(cid:34)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:63)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)
(cid:109)(cid:110)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:59)(cid:248)(cid:72)(cid:90)(cid:87)(cid:147)(cid:249)(cid:20)(cid:90)(cid:60)(cid:250)(cid:76)(cid:20)(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)2-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:251)(cid:50)(cid:252)(cid:52)·(cid:129)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 1(x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:104)(cid:190)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=k x(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:155)(cid:72)(cid:62)A
x 2k
(2,2)(cid:59)(cid:143)(cid:190)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=k x(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:133)(cid:70)(cid:152)(cid:253)n(cid:132)(cid:254)(cid:176)(cid:212)(cid:255)(cid:174)(cid:59)(cid:103)(cid:256)(cid:60)(cid:153)(cid:136)(cid:104)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:155)(cid:72)(cid:62)C
2 x
(1,m)(cid:59)(cid:104)y(cid:76)(cid:155)(cid:72)(cid:62)B(0,n)(cid:59)(cid:121)(cid:122)AC(cid:59)(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OACB(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:48) (cid:57)
9 7
A(cid:82)5 B(cid:82) C(cid:82) D(cid:82)3
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:60)(cid:120)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:152)(cid:253)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:159)
4
(cid:95)(cid:22)(cid:107)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:81)(cid:10)y= (cid:59)(cid:190)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:81)y=x(cid:59)(cid:153)(cid:136)BC(cid:81)y=x+3(cid:59)B(0,3)(cid:59)(cid:171)(cid:213)(cid:129)(cid:257)(cid:22)(cid:107)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
x
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) (cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 1(x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:104)(cid:190)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=k x(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:155)(cid:72)(cid:62)A(2,2)(cid:59)
x 2
∵
k =2×2=4(cid:59)2k =2(cid:59)
1 2
∴(cid:107)(cid:103)(cid:10)k =1(cid:59)
2
4
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:81)(cid:10)y= (cid:59)(cid:190)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:81)y=x(cid:59)
x
∴
4
(cid:143)(cid:190)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=x(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:133)(cid:70)(cid:152)(cid:253)n(cid:132)(cid:254)(cid:176)(cid:212)(cid:255)(cid:174)(cid:59)(cid:103)(cid:256)(cid:60)(cid:153)(cid:136)(cid:104)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:155)(cid:72)(cid:62)C(1,m)(cid:59)
x
∵
m= 4 =4(cid:59)(cid:101)C(1,4)(cid:59)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:81)y=x+n(cid:59)
1
∴
1+n=4(cid:59)
∴(cid:107)(cid:103)(cid:10)n=3(cid:59)
(cid:153)(cid:136)BC(cid:81)y=x+3(cid:59)
(cid:160)∴ x=0(cid:161)(cid:59)y=3(cid:59)
B(0,3)(cid:59)
∴(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:130)C(cid:134)CH y(cid:76)(cid:72)H(cid:59)(cid:134)CQ x(cid:76)(cid:72)Q(cid:59)(cid:130)A(cid:134)AT x(cid:76)(cid:72)T(cid:59)
⊥ ⊥ ⊥(cid:258)(cid:29)(cid:25)HOTAC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)4+ 1 ×(2+4)×1=4+3=7(cid:59)
2
∴
(cid:28)(cid:29)(cid:25)OACB(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)7− 1 ×4− 1 ×1×(4−3)=7−2− 1 = 9 (cid:159)
2 2 2 2
∴(cid:111)(cid:147)(cid:10)B(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)2-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)B(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 6 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:130)(cid:62)B(m,n)(cid:33)(cid:119)(cid:134)x(cid:76)(cid:39)y
x
(cid:76)(cid:60)(cid:152)(cid:201)(cid:136)(cid:155)(cid:67)(cid:68)y= 3 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)(cid:62)A(cid:59)C(cid:82)
x
(1)(cid:79)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,3)(cid:59)(cid:22)(cid:62)A(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:153)(cid:136)OC(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:159)
(2)(cid:160)(cid:62)B(cid:81)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:231)(cid:62)(cid:59)(cid:209)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:263)(cid:112)(cid:145)(cid:59)(cid:79)(cid:164)(cid:112)(cid:59)(cid:162)(cid:264)(cid:265)(cid:73)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:112)(cid:145)(cid:59)(cid:162)(cid:167)m
(cid:60)(cid:180)(cid:68)(cid:113)(cid:157)(cid:215)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:159)
(3)(cid:160)OC(cid:152)(cid:33)OA(cid:104)x(cid:76)(cid:190)(cid:189)(cid:76)(cid:60)(cid:267)(cid:24)(cid:59)(cid:22)(cid:245)(cid:123)(cid:161)AC(cid:120) OAB(cid:60)(cid:24)(cid:152)(cid:33)(cid:136)(cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(1)A(1,3)(cid:159)y= 3 x ∠
4
(2)(cid:164)(cid:112)(cid:159)(cid:170)(cid:41)(cid:268)(cid:107)(cid:85)
(3)(cid:268)(cid:107)(cid:85)
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,3)(cid:59)AB x(cid:76)(cid:59)(cid:103)(cid:98)(cid:62)A(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:81)3(cid:59)(cid:180)(cid:181)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:59)(cid:22)(cid:98)(cid:62)
A(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:101)(cid:103)(cid:98)(cid:83)(cid:84)(cid:159)(cid:95)(cid:22)(cid:98)(cid:62)C(cid:60)(cid:45)(cid:46)∥(cid:59)(cid:208)(cid:174)(cid:167)(cid:168)(cid:140)(cid:43)(cid:68)(cid:169)(cid:22)(cid:98)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:101)(cid:102)(cid:159)
(cid:48)2(cid:57)(cid:211)(cid:212)BA(cid:155)y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:211)(cid:212)BC(cid:155)x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:245)(cid:265)(cid:28)(cid:29)(cid:25)ODBE(cid:81)(cid:139)(cid:25)(cid:59)(cid:103)(cid:98)S =6(cid:59)S =S
矩形ODBE AOD COE
△ △= 3 (cid:59)(cid:96)(cid:97)S =S −S −S =6− 3 − 3 =3(cid:22)(cid:98)(cid:99)(cid:235)(cid:101)(cid:102)(cid:159)
2 四边形OABC 矩形ODBE AOD COE 2 2
△ △
(cid:48)3(cid:57)(cid:130)(cid:62)C(cid:134)CH OA(cid:72)(cid:62)H(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:152)(cid:33)(cid:136)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:39)(cid:199)(cid:140)(cid:213)(cid:201)(cid:245)(cid:265)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:107)(cid:10)⊥ (cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,3)(cid:59)AB x(cid:76)(cid:59)
(cid:62)A(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:81)3(cid:59)∵ ∥
∴ 3
(cid:179)y=3(cid:180)(cid:181)y= (cid:103)(cid:10)x=1(cid:59)
x
A(1,3)(cid:59)
∴BC y(cid:76)(cid:59)
∵(cid:62)C∥ (cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)2(cid:59)
∴ 3 3
(cid:179)x=2(cid:180)(cid:181)y= (cid:103)(cid:10)y= (cid:59)
x 2
3
C 2, (cid:59)
2
∴
3 3
(cid:206)(cid:153)(cid:136)OC(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:81)y=kx(cid:59)(cid:179)C 2, (cid:180)(cid:181)(cid:103)(cid:10) =2k(cid:59)
2 2
3
(cid:107)(cid:103)(cid:10)k= (cid:59)
4
(cid:153)(cid:136)OC(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:81)y= 3 x(cid:82)
4
∴
(cid:48)2(cid:57)(cid:107)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:164)(cid:112)(cid:59)(cid:170)(cid:41)(cid:58)(cid:194)(cid:10)
(cid:211)(cid:212)BA(cid:155)y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:211)(cid:212)BC(cid:155)x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
BD x(cid:76)(cid:59)BE y(cid:76)(cid:59)
∵(cid:28)(cid:29)∥(cid:25)ODBE∥(cid:81)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:59)
∴ DOE=90°(cid:59)
∵(cid:28)∠ (cid:29)(cid:25)ODBE(cid:81)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∴ 6
(cid:62)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
∵S =6(cid:59)
矩形ODBE
∴ 3
(cid:62)A(cid:63)C(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
∵
3
S =S = (cid:59)
AOD COE 2
∴ △ △
S =S −S −S =6− 3 − 3 =3(cid:82)
四边形OABC 矩形ODBE AOD COE 2 2
∴ △ △
(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:164)(cid:112)(cid:159)
∴(cid:48)3(cid:57)(cid:245)(cid:265)(cid:10)(cid:130)(cid:62)C(cid:134)CH OA(cid:72)(cid:62)H(cid:59)
⊥
(cid:62)B(m,n)(cid:59)
∵ 6
mn=6(cid:59)(cid:101)n= (cid:59)
m
∴
3 6
(cid:62)C(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81) m, (cid:59)(cid:80)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81) m, (cid:59)
m m
(cid:80) ∴ BE= 6(cid:59)CE= 3 (cid:59)
m m
BC=BE−CE= 6 − 3 = 3 (cid:59)
m m m
∴
OC(cid:152)(cid:33)OA(cid:104)x(cid:76)(cid:190)(cid:189)(cid:76)(cid:60)(cid:267)(cid:24)(cid:59)CE x(cid:76)(cid:59)
∵ 3 ⊥
CE=CH= (cid:59)
m
∴ CB=CH(cid:59)
∴CB BA(cid:59)CH OA
∵AC⊥(cid:120) OAB(cid:60)⊥(cid:152)(cid:33)(cid:136)(cid:82)
∴ 【题型 ∠ 3 求阴影部分图形面积】
8 2
(cid:15)(cid:47)3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:114)(cid:115)(cid:270)(cid:271)(cid:259)·(cid:23)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:149)(cid:62)A(cid:59)B(cid:33)(cid:119)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:39)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:33)(cid:119)(cid:130)
x xA(cid:59)B(cid:156)(cid:62)(cid:133)x(cid:76)(cid:59)y(cid:76)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:137)(cid:138)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:48) (cid:57)
A(cid:82)4 B(cid:82)6 C(cid:82)8 D(cid:82)10
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)B
8 2
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:159)(cid:62)A(cid:63)B(cid:33)(cid:119)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:39)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:166)(cid:167)(cid:66)
x x
(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:157)(cid:215)(cid:98)S =8(cid:59)S =2(cid:59)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)=S −S (cid:59)
矩形ACOD 矩形BEOF 矩形ACOD 矩形BEOF
(cid:41)(cid:123)(cid:107)(cid:98)k(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
8 2
(cid:62)A(cid:63)B(cid:33)(cid:119)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:39)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)AD x(cid:76)(cid:59)AC y(cid:76)(cid:59)
x x
∵ ⊥ ⊥
(cid:28)(cid:29)(cid:25)ACOD(cid:39)BEOF(cid:81)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∴(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:103)(cid:10)
S =8(cid:59)S =2(cid:59)
矩形ACOD 矩形BEOF
(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)S −S =6(cid:59)
矩形ACOD 矩形BEOF
(cid:111)(cid:147)(cid:10)B(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)3-1(cid:19)(cid:48)2024·(cid:114)(cid:115)(cid:272)(cid:114)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:90)(cid:59)(cid:139)(cid:25)OCPD(cid:60)(cid:29)OC,OD(cid:33)(cid:119)(cid:65)x(cid:76)(cid:63)y
(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)P(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(3,4)(cid:59)(cid:191)(cid:192)(cid:136)y= 5 (x>0)(cid:33)(cid:119)(cid:104)(cid:29)PC,PD(cid:155)(cid:72)(cid:62)A,B(cid:59)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120) (cid:82)
x(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)7
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:120)(cid:190)(cid:273)(cid:170)(cid:107)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:86)(cid:20)(cid:248)(cid:72)(cid:90)(cid:106)(cid:20)(cid:21)(cid:82)(cid:95)
(cid:98)A 3, 5 ,B 5 ,4 (cid:59)(cid:171)(cid:22)(cid:98)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)
3 4
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) (cid:139)(cid:25)OCPD(cid:90)(cid:59)DP OC,PC OD,P(3,4)(cid:59)
(cid:62)A(cid:104)(cid:62)P(cid:60)∵(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:105)(cid:225)(cid:59)(cid:62)B∥(cid:104)(cid:62)P∥(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:105)(cid:225)(cid:59)
∴ 5 5 5 5
(cid:143)x=3(cid:180)(cid:181)y= (cid:103)(cid:10)y= (cid:59)(cid:143)y=4(cid:180)(cid:181)y= (cid:103)(cid:10)x= (cid:59)
x 3 x 4
A 3, 5 ,B 5 ,4 (cid:59)
3 4
∴
AC= 5 ,BD= 5 (cid:59)
3 4
∴
S =3×4− 1 ×3× 5 −− 1 ×4× 5 =7(cid:82)
阴
2 3 2 4
∴
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)7(cid:82)
4
(cid:15)(cid:112)(cid:113)3-2(cid:19)(cid:48)2024(cid:274)(cid:275)(cid:276)·(cid:277)(cid:278)·(cid:279)(cid:280)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:59)(cid:71)(cid:81)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:156)(cid:62)(cid:59)(cid:62)
x
A(cid:63)B(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:60)(cid:74)(cid:281)(cid:62)(cid:33)(cid:119)(cid:81)(cid:62)C(cid:63)D(cid:59)(cid:79)(cid:62)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:120)(cid:62)A(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:60)4(cid:282)(cid:59)(cid:80)(cid:34)(cid:90)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)
(cid:81) (cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)15
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:123)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:39)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:82)(cid:130)
(cid:62)A(cid:134)AE x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:130)(cid:62)B(cid:134)BF x(cid:76)(cid:72)(cid:62)F(cid:59)(cid:206)(cid:62)A(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)a(cid:59)(cid:80)(cid:62)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)4a(cid:59)(cid:96)(cid:97)S =S
AOB AOE
△ △
⊥ 15 ⊥ 15
+S四边形AEFB−S
OBF
(cid:22)(cid:98)S
AOB
= (cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)(cid:62)A(cid:63)B(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:60)(cid:74)(cid:281)(cid:62)(cid:33)(cid:119)(cid:81)(cid:62)C(cid:63)D(cid:59)(cid:103)(cid:256)S
COD
=S
AOB
= (cid:59)
2 2
△ △ △ △(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:256)(cid:34)(cid:90)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:130)(cid:62)A(cid:134)AE x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:130)(cid:62)B(cid:134)BF x(cid:76)(cid:72)(cid:62)F(cid:59)
⊥ ⊥
(cid:206)(cid:62)A(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)a(cid:59)(cid:80)(cid:62)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:81)4a(cid:59)
4
(cid:62)A(cid:63)B(cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:59)(cid:71)(cid:81)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:156)(cid:62)(cid:59)
x
∵
4 1
(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81) a, (cid:59)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81) 4a, (cid:59)
a a
∴ AE= 4 ,BF= 1 (cid:59)
a a
∴
S
AOB
=S
AOE
+S四边形AEFB−S
OBF
△ △ △
∴1 1 4 1 1
= ×4+ + ×(4a−a)− ×4
2 2 a a 2
15
=
2
(cid:62)A(cid:63)B(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:60)(cid:74)(cid:281)(cid:62)(cid:33)(cid:119)(cid:81)(cid:62)C(cid:63)D(cid:59)
∵ 15
S =S = (cid:59)
COD AOB
2
△ △
∴
(cid:34)(cid:90)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)S +S = 15 + 15 =15(cid:59)
COD AOB
2 2
△ △
∴
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)15(cid:82)
8
(cid:15)(cid:112)(cid:113)3-3(cid:19)(cid:48)2023·(cid:117)(cid:283)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)xOy(cid:90)(cid:59)(cid:284)(cid:216)(cid:62)A(cid:63)B(cid:63)C(cid:65)(cid:191)(cid:192)(cid:136)y= (cid:70)(cid:59)
x
BD x(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)CE y(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:62)F(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:71)AO=AF(cid:59)(cid:80)(cid:34)(cid:90)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:39)(cid:81) (cid:82)
⊥ ⊥(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)16
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:130)A(cid:134)AG(cid:135)(cid:153)(cid:72)x(cid:76)(cid:59)(cid:155)x(cid:76)(cid:72)(cid:62)G(cid:59)(cid:41)AO=AF(cid:59)(cid:166)(cid:167)(cid:23)(cid:136)(cid:100)(cid:129)(cid:103)(cid:256)G(cid:81)OF(cid:60)(cid:90)(cid:62)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:106)(cid:286)
(cid:225)(cid:287)(cid:103)(cid:256)(cid:23)(cid:24)(cid:25)AOG(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:106)(cid:72)(cid:23)(cid:24)(cid:25)AFG(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:171)(cid:41)A(cid:59)B(cid:200)C(cid:23)(cid:62)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)
|k|
(cid:47)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:103)(cid:256) BOD(cid:59) COE(cid:200) AOG(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:205)(cid:105)(cid:106)(cid:59)(cid:205)(cid:81) (cid:59)(cid:41)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:90)(cid:60)k(cid:44)(cid:180)(cid:181)(cid:59)(cid:22)(cid:98)(cid:23)(cid:132)(cid:23)
2
△ △ △
(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:209)(cid:20)(cid:288)(cid:285)(cid:103)(cid:107)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:130)A(cid:134)AG x(cid:76)(cid:59)(cid:155)x(cid:76)(cid:72)(cid:62)G(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
⊥
AO=AF(cid:59)AG OF(cid:59)
∵G(cid:81)OF(cid:60)(cid:90)(cid:62)⊥(cid:59)(cid:101)OG=FG(cid:59)
∴S =S (cid:59)
OAG FAG
∴ △ △ 8
(cid:224) A(cid:59)B(cid:200)C(cid:62)(cid:205)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:70)(cid:59)BD x(cid:76)(cid:59)CE y(cid:76)(cid:59)
x
∵ ⊥ ⊥
S =S =S = |k| =4(cid:59)
OAG BOD COE 2
∴ △ △ △
S =S =S =S =4(cid:59)
OAG BOD COE FAG
∴(cid:80)S △ =S △ +S △ +S △ +S =16(cid:59)
阴影 OAG BOD COE FAG
△ △ △ △(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)16(cid:82)
(cid:15)(cid:62)(cid:247)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:59)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:236)(cid:167)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:289)(cid:107)(cid:83)(cid:86)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:82)
【题型4 比较面积大小】
(cid:15)(cid:47)4(cid:19)(cid:48)24-25(cid:290)(cid:275)(cid:276)(cid:194)·(cid:277)(cid:278)·(cid:254)(cid:291)(cid:56)(cid:292)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:63)C(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:230)(cid:70)(cid:59)(cid:130)(cid:131)(cid:23)(cid:62)
x
(cid:33)(cid:119)(cid:133)x(cid:76)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:135)(cid:183)(cid:33)(cid:119)(cid:81)A (cid:63)B (cid:63)C (cid:59)(cid:80) AOA (cid:63) BOB (cid:63) COC (cid:60)(cid:26)(cid:27)S (cid:63)S (cid:63)S (cid:285)(cid:42)(cid:60)(cid:3)(cid:43)(cid:81)
1 1 1 1 1 1 1 2 3
(cid:48) (cid:57) △ △ △
A(cid:82)S =S =S B(cid:82)S <S <S C(cid:82)S <S <S D(cid:82)S >S >S
1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)A
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:293)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x≠0)(cid:90)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:41)(cid:72)A(cid:63)B(cid:63)C(cid:120)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)
x x
(cid:23)(cid:62)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:102)(cid:216)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:62)(cid:104)(cid:73)(cid:62)(cid:175)(cid:121)(cid:60)(cid:136)(cid:294)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:59)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:134)
(cid:135)(cid:136)(cid:175)(cid:137)(cid:138)(cid:60)(cid:153)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)S(cid:60)(cid:3)(cid:43)(cid:101)S= 1 |k|(cid:59)(cid:120)(cid:132)(cid:295)(cid:106)(cid:44)(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:98)(cid:99)(cid:235)(cid:82)
2
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:266)(cid:81)(cid:130)(cid:191)(cid:192)(cid:136)(cid:70)(cid:127)(cid:93)(cid:129)(cid:62)(cid:104)(cid:73)(cid:62)(cid:175)(cid:121)(cid:60)(cid:136)(cid:294)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:59)(cid:133)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:175)(cid:137)(cid:138)(cid:60)(cid:153)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)S(cid:120)(cid:132)(cid:140)(cid:44)(cid:59)(cid:101)S= 1 |k|(cid:59)(cid:175)(cid:193)S =S =S (cid:82)
2 3 2 1
(cid:111)(cid:147)(cid:10)A(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)4-1(cid:19)(cid:194)(cid:296)(cid:34)(cid:25)(cid:90)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:173)(cid:37)(cid:60)(cid:120)( )
A(cid:82) B(cid:82)C(cid:82) D(cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:33)(cid:119)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:193)(cid:200)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:22)(cid:169)(cid:193)(cid:200)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:22)(cid:169)(cid:103)(cid:98)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)A(cid:63)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:81)(cid:10)xy=3(cid:82)
B(cid:63)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:81)(cid:10)|xy|=3(cid:82)
C(cid:63)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:130)(cid:62)M(cid:134)MA x(cid:76)(cid:72)(cid:62)A(cid:59)(cid:130)(cid:62)N(cid:134)NB x(cid:76)(cid:72)(cid:62)B(cid:59)
(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60) ⊥ (cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)S =S = 1 |x ⊥ y|= 3 (cid:59)(cid:297)(cid:214)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:81)(cid:146)(cid:25)MABN(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:10) 1 (1+3)
OAM OBN 2 2 2
△ △
×2=4(cid:82)
1
D(cid:63)(cid:96)(cid:97)M(cid:59)N(cid:62)(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:193)(cid:200)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:22)(cid:169)(cid:103)(cid:98)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:10) ×1×6=3(cid:82)
2
(cid:198)(cid:70)(cid:175)(cid:298)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:173)(cid:37)(cid:60)(cid:120)C(cid:82)
(cid:111)(cid:147)(cid:10)C(cid:82)
k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)4-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:184)(cid:150)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)(cid:299)(cid:68)k>0(cid:57)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:134)AC x(cid:76)(cid:72)(cid:62)
x
⊥
C(cid:59)AD y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:130)B(cid:134)BE AC(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:121)(cid:122)OA(cid:59)OE(cid:59)BC(cid:82)(cid:80)(cid:194)(cid:296)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:90)(cid:59)(cid:104) OAE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:129)(cid:140)(cid:105)(cid:106)
(cid:60)(cid:120)(cid:48)⊥ (cid:57) ⊥ △A(cid:82) OAD B(cid:82) OCE C(cid:82) ABE D(cid:82) BCE
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)△D △ △ △
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:109)(cid:110)(cid:39)(cid:106)(cid:26)(cid:27)(cid:180)(cid:300)(cid:59)(cid:121)(cid:122)OB(cid:59)(cid:211)(cid:212)BE(cid:155)y(cid:76)(cid:72)(cid:62)F(cid:59)(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OFEC
(cid:81)(cid:139)(cid:25)(cid:59)(cid:207)S = 1 OC·AC− 1 OC·CE(cid:39)S =S +S −S (cid:59)(cid:99)(cid:100)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:109)(cid:110)(cid:145)(cid:301)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
OAE 2 2 BCE BOF BCO OFEC
△ △ △ △
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:121)(cid:122)OB(cid:59)(cid:211)(cid:212)BE(cid:155)y(cid:76)(cid:72)(cid:62)F(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:59)
(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OFEC(cid:81)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
(cid:239)(cid:240)(cid:59)S = 1 OC·AC− 1 OC·CE= 1 k− 1 OC·CE(cid:59)
OAE 2 2 2 2
△
1 1
S =S +S −S = OF·BF+ OC·CE
BCE BOF BCO OFEC 2 2
△ △ △
= 1 k+ 1 OC·CE−OC·CE= 1 k− 1 OC·CE(cid:59)
2 2 2 2
(cid:111)(cid:147) D(cid:82)
(cid:15)(cid:112)∶(cid:113)4-3(cid:19)(cid:48)24-25(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:70)·(cid:302)(cid:117)(cid:303)(cid:259)·(cid:304)(cid:305)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:306)(cid:81)2cm(cid:60)(cid:307)(cid:255)(cid:308)(cid:60)(cid:129)(cid:29)AB(cid:104)y(cid:76)(cid:309)(cid:100)(cid:59)(cid:310)(cid:129)(cid:29)(cid:182)(cid:130)
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:129)(cid:62)C(cid:59)(cid:104)x(cid:76)(cid:155)(cid:72)(cid:62)D,C(cid:59)D(cid:156)(cid:62)(cid:33)(cid:119)(cid:74)(cid:281)(cid:307)(cid:255)(cid:308)(cid:70)(cid:60)(cid:311)(cid:68)(cid:81)4cm(cid:39)
x
1cm(cid:82)(cid:48)(cid:312)(cid:90)(cid:307)(cid:255)(cid:308)(cid:70)(cid:60)1cm(cid:74)(cid:281)(cid:68)(cid:76)(cid:70)(cid:60)1(cid:132)(cid:254)(cid:176)(cid:212)(cid:255)(cid:57)(1)(cid:22)(cid:293)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:82)
(2)E(cid:81)(cid:293)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:313)(cid:72)(cid:62)C(cid:60)(cid:129)(cid:62)(cid:82)
(cid:79)(cid:62)E(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(4,m)(cid:59)(cid:22)m(cid:60)(cid:44)(cid:82)
①(cid:121)(cid:122)OE(cid:59)(cid:130)(cid:62)E(cid:134)EF x(cid:76)(cid:72)(cid:62)F(cid:59)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)S (cid:59)S (cid:60)(cid:37)(cid:38)(cid:3)(cid:43)(cid:81)S ______S (cid:82)(cid:48)(cid:314)“<”“=”(cid:315)“>”(cid:57)
1 2 1 2
② (cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(1)y= 6 ⊥
x
(2) m=
3
=
2
① ②
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:193)(cid:200)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:193)(cid:70)(cid:216)(cid:316)(cid:62)(cid:120)(cid:107)(cid:83)(cid:86)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:82)
(cid:48)1(cid:57)(cid:41)(cid:20)(cid:93)(cid:216)(cid:10)C(2,3)(cid:59)(cid:143)(cid:62)C(cid:45)(cid:46)(cid:180)(cid:181)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:22)(cid:98)k(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:107)(cid:83)(cid:159)
(cid:48)2(cid:57) (cid:143)(cid:62)E(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:180)(cid:181)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)m(cid:60)(cid:44)(cid:159)
(cid:96)(cid:97) ① (cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:103)S = 1 ×6=3(cid:59)S = 1 ×6=3(cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:25)(cid:103) S =2(cid:59)S =2(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:82)
COD 2 EOF 2 1 2
② △ △ ∴
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:107)(cid:10)(cid:41)(cid:20)(cid:93)(cid:216)(cid:10)C(2,3)(cid:59)
k k
(cid:143)(cid:62)C(2,3)(cid:180)(cid:181)y= (cid:59)(cid:103)(cid:10)3= (cid:59)
x 2
(cid:107)(cid:103)(cid:10)k=6(cid:59)
6
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:81)y= (cid:159)
x
∴
(cid:48)2(cid:57)(cid:107)(cid:10) (cid:143)(4,m)(cid:180)(cid:181)y= 6 (cid:59)(cid:103)(cid:10)m= 6 = 3 (cid:159)
x 4 2
①
6
(cid:62)C(cid:63)E(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:70)(cid:59)
x
② ∵
(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:103)(cid:10)S = 1 ×6=3(cid:59)S = 1 ×6=3(cid:59)(cid:101)S =S (cid:59)
COD 2 EOF 2 COD EOF
∴ △ △ △ △
(cid:206)CD(cid:104)OE(cid:155)(cid:62)(cid:81)G(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
S =S −S (cid:59)S =S −S (cid:59)
1 COD ODG 2 EOF ODG
∴S =S △(cid:59) △ △ △
1 2
∴(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)=(cid:82)【题型5 求面积和差】
(cid:15)(cid:47)5(cid:19)(cid:48)23-24(cid:290)(cid:275)(cid:276)(cid:194)·(cid:184)(cid:150)(cid:185)(cid:186)·(cid:304)(cid:305)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59) OAC (cid:39) BAD (cid:205)(cid:120)(cid:106)(cid:317)(cid:153)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:59) ACO= ADB
4 △ △ ∠ ∠
=90 (cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68) y= (cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:182)(cid:130)(cid:62) B (cid:59)(cid:80) OAC (cid:104) BAD (cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:40)(cid:81) (cid:82)
x
∘
△ △
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)2
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:106)(cid:317)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:59)(cid:152)(cid:177)(cid:40)(cid:7)(cid:113)(cid:59)(cid:96)(cid:97) OAC
(cid:39) BAD(cid:205)(cid:120)(cid:106)(cid:317)(cid:153)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:102)(cid:103)(cid:98)OC=AC(cid:63)AD=BD(cid:59)(cid:206)OC=a(cid:59)BD=b(cid:59)(cid:80)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(a+b,a−b)(cid:59)(cid:96)△(cid:97)(cid:66)
(cid:35)△(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:142)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)a2−b2=4(cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:98) OAC(cid:104) BAD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:40)(cid:59)
(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:216)(cid:316)(cid:62)(cid:60)(cid:281)(cid:167)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:82) △ △
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19) OAC(cid:39) BAD(cid:205)(cid:120)(cid:106)(cid:317)(cid:153)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:59)
OC=AC(cid:59)∵△AD=BD(cid:59)△
(cid:206)∴ OC=a(cid:59)BD=b(cid:59)
(cid:80)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(a+b,a−b)(cid:59)
4
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:182)(cid:130)(cid:62)B(cid:59)
x
∵ (a+b)(a−b)=a2−b2=4(cid:59)
∴ S −S = 1 a2− 1 b2= 1 ×4=2(cid:59)
OAC BAD 2 2 2
∴ △ △
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)2(cid:82)
k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)5-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:259)(cid:260)(cid:318)(cid:319)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:207)P (cid:59)P (cid:59)P (cid:59)…(cid:59)P (cid:106)(cid:62)(cid:59)
x 1 2 3 2020
(cid:320)(cid:321)(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:322)(cid:154)(cid:81)1(cid:59)2(cid:59)3(cid:59)…(cid:59)2026(cid:82)(cid:33)(cid:119)(cid:130)(cid:131)(cid:323)(cid:62)(cid:134)x(cid:76)(cid:104)y(cid:76)(cid:60)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:34)(cid:90)(cid:175)(cid:219)(cid:138)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)
(cid:297)(cid:324)(cid:256)(cid:77)(cid:322)(cid:154)(cid:81)S (cid:59)S (cid:59)S (cid:59)…(cid:59)S (cid:59)S (cid:82)
1 2 3 2024 2025(1)(cid:160)k=1(cid:161)(cid:59)S +S +S + +S +S =______(cid:159)
1 2 3 2024 2025
(2)(cid:160)k=2(cid:161)(cid:59)S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =______(cid:159)
1 2 3 2024 2025
(3)(cid:160)k=3(cid:161)(cid:59)S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =______(cid:159)
1 2 3 2024 2025
(4)(cid:160)k=n(cid:161)(cid:59)S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =______(cid:82)
1 2 3 2024 2025
2025 ⋅⋅⋅
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(1)
2026
2025
(2)
1013
6075
(3)
2026
2025n
(4)
2026
⋅
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:109)(cid:110)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:82)(cid:143)(cid:26)
(cid:27)(cid:81)S 2 (cid:59)S 3 (cid:59)…(cid:59)S 2025 (cid:60)(cid:139)(cid:25)(cid:133)(cid:324)(cid:152)(cid:253)(cid:256)(cid:26)(cid:27)(cid:81)S 1 (cid:60)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:194)(cid:177)(cid:59)(cid:208)(cid:174)(cid:171)(cid:166)(cid:167)S 矩形ABP 1 D =S 矩形OCP 1 D −S 矩形OABC
(cid:22)(cid:107)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:107)(cid:10) P (cid:59)P (cid:59)P (cid:59)…(cid:59)P (cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:322)(cid:154)(cid:81)1(cid:59)2(cid:59)3(cid:59)…(cid:59)2026(cid:59)
1 2 3 2026
(cid:30)(cid:31)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:129)(cid:29)(cid:212)∵(cid:205)(cid:81)1(cid:59)
∴(cid:325)P D y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)P C x(cid:76)(cid:72)(cid:62)C(cid:59)P A y(cid:76)(cid:72)(cid:62)A(cid:59)(cid:71)(cid:155)P C(cid:72)(cid:62)B(cid:59)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
1 1 2026 1
⊥ ⊥ ⊥
(cid:143)(cid:26)(cid:27)(cid:81)S 2 (cid:59)S 3 (cid:59)…(cid:59)S 2025 (cid:60)(cid:139)(cid:25)(cid:133)(cid:324)(cid:152)(cid:253)(cid:256)(cid:26)(cid:27)(cid:81)S 1 (cid:60)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:194)(cid:177)(cid:59)(cid:80)S 1 +S 2 +S 3 + +S 2025 =S 矩形ABP 1 D (cid:59)
⋅⋅⋅1 1 1 1
(cid:160)k=1(cid:161)(cid:59)(cid:179)x=2026(cid:180)(cid:181)y= (cid:59)(cid:103)y= (cid:59)(cid:101)OA= (cid:59) S =OAOC= (cid:59)
x 2026 2026 矩形OABC 2026
∴ ⋅
(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:90)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:102)(cid:216)S 矩形OCP D =1(cid:59)
1
S +S +S + +S +S =1− 1 = 2025 (cid:59)
1 2 3 2024 2025 2026 2026
∴ ⋅⋅⋅
2025
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10) (cid:159)
2026
2 2 2 2
(cid:48)2(cid:57)(cid:107)(cid:10)(cid:225)(cid:170)(cid:160)k=2(cid:161)(cid:59)(cid:179)x=2026(cid:180)(cid:181)y= (cid:59)(cid:103)y= (cid:59)(cid:101)OA= (cid:59) S =OAOC= (cid:59)
x 2026 2026 矩形OABC 2026
∴ ⋅
(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:90)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:102)(cid:216)S 矩形OCP D =2(cid:59)
1
S +S +S + +S +S =2− 2 = 2025×2 = 4050 = 2025 (cid:59)
1 2 3 2024 2025 2026 2026 2026 1013
∴ ⋅⋅⋅
2025
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10) (cid:159)
1013
3 3 3
(cid:48)3(cid:57)(cid:107)(cid:10)(cid:160)k=3(cid:161)(cid:59)(cid:179)x=2026(cid:180)(cid:181)y= (cid:59)(cid:103)y= (cid:59)(cid:101)OA= (cid:59)
x 2026 2026
3
S 矩形OABC =OAOC= 2026 (cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:90)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:102)(cid:216)S 矩形OCP 1 D =3(cid:59)
∴ ⋅
S +S +S + +S +S =3− 3 = 2025×3 = 6075 (cid:59)
1 2 3 2024 2025 2026 2026 2026
∴ ⋅⋅⋅
6075
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10) (cid:159)
2026
n n n n
(cid:48)4(cid:57)(cid:107)(cid:10)(cid:160)k=n(cid:161)(cid:59)(cid:179)x=2026(cid:180)(cid:181)y= (cid:59)(cid:103)y= (cid:59)(cid:101)OA= (cid:59) S =OAOC= (cid:59)
x 2026 2026 矩形OABC 2026
∴ ⋅
(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:90)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:102)(cid:216)S 矩形OCP D =n(cid:59)
1
S +S +S + +S +S =n− n = 2025n (cid:59)
1 2 3 2024 2025 2026 2026
⋅
∴ ⋅⋅⋅
2025n
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10) (cid:82)
2026
⋅
(cid:15)(cid:112)(cid:113)5-2(cid:19)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:25)AOBC(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:25)CDEF(cid:205)(cid:120)(cid:190)(cid:177)(cid:25)(cid:59)(cid:29)OA(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:29)OB(cid:65)y(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)D
8
(cid:65)(cid:29)CB(cid:70)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= − (cid:65)(cid:228)(cid:187)(cid:69)(cid:229)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:182)(cid:130)(cid:62)E(cid:59)(cid:80)(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC(cid:39)(cid:190)(cid:177)(cid:25)CDEF(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:40)
x
(cid:81)(cid:48) (cid:57)
A(cid:82)12 B(cid:82)10C(cid:82)8 D(cid:82)6
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:206)(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC(cid:60)(cid:29)(cid:212)(cid:81)a(cid:59)(cid:190)(cid:177)(cid:25)CDEF(cid:60)(cid:29)(cid:212)(cid:81)b(cid:59)(cid:80)E(cid:48)b-a(cid:59)a+b(cid:57)(cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)
(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:142)(cid:103)(cid:48)a+b(cid:57)•(cid:48)b-a(cid:57)=8(cid:59)(cid:266)(cid:81)S =a2(cid:59)S =b2(cid:59)(cid:297)(cid:214)(cid:22)(cid:103)(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC(cid:39)(cid:190)
(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC (cid:190)(cid:177)(cid:25)CDEF
(cid:177)(cid:25)CDEF(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:40)(cid:81)8(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:206)(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC(cid:60)(cid:29)(cid:212)(cid:81)a(cid:59)(cid:190)(cid:177)(cid:25)CDEF(cid:60)(cid:29)(cid:212)(cid:81)b(cid:59)(cid:80)E(cid:48)a﹣b(cid:59)a+b(cid:57)(cid:59)
(cid:48)a+b(cid:57)•(cid:48)a﹣b(cid:57)=8(cid:59)
∴(cid:326)(cid:170)(cid:81)a2﹣b2=8(cid:59)
S =a2(cid:59) S =b2(cid:59)
(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC (cid:190)(cid:177)(cid:25)CDEF
∵S ﹣S =8(cid:59)
(cid:190)(cid:177)(cid:25)AOBC (cid:190)(cid:177)(cid:25)CDEF
(cid:111)∴ (cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)C(cid:82)
k
(cid:15)(cid:62)(cid:247)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:142)(cid:10)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)k(cid:81)(cid:299)(cid:68)(cid:59)k≠0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:120)(cid:191)(cid:192)(cid:136)(cid:59)
x
(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:62)(cid:48)x(cid:59)y(cid:57)(cid:60)(cid:118)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:60)(cid:27)(cid:120)(cid:140)(cid:44)k(cid:59)(cid:101)xy=|k|(cid:159)(cid:327)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:190)(cid:177)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)5-3(cid:19)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:328)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:129)(cid:29)OA(cid:65)x(cid:76)(cid:188)(cid:189)(cid:76)(cid:70)(cid:82)O(cid:120)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)A(﹣13(cid:59)0)(cid:59)(cid:74)(cid:24)(cid:136)AC
k
(cid:104)OB(cid:105)(cid:155)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:71)AC•OB(cid:329)130(cid:59)(cid:79)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:329) (cid:48)x(cid:330)0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:182)(cid:130)(cid:62)D(cid:59)(cid:210)(cid:104)BC(cid:60)(cid:211)(cid:212)(cid:136)(cid:155)(cid:72)
x
(cid:62)E(cid:82)
k
(cid:48)1(cid:57)(cid:22)(cid:191)(cid:192)(cid:136)y(cid:329) (cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:159)
x
(cid:48)2(cid:57)(cid:22)S (cid:10)S (cid:285)(cid:44)(cid:82)
AOB OCE
△ △
125
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)y(cid:329) (cid:159)(cid:48)2(cid:57)52(cid:10)23
4x
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:48)1(cid:57) OAB(cid:104) OCE(cid:106)(cid:287)(cid:59)(cid:79)(cid:197)(cid:22)(cid:156)(cid:331)(cid:42)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:332)(cid:333)(cid:22)(cid:98)(cid:286)(cid:29)(cid:60)(cid:35)(cid:59)(cid:41)AO(cid:329)10(cid:216)(cid:333)(cid:22)CE(cid:60)
(cid:212)(cid:59)(cid:101)(cid:22)(cid:62)E(cid:60)△(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:333)△(cid:95)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:59)(cid:214)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:102)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:328)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:22)(cid:103)(cid:62)D(cid:60)(cid:45)
(cid:46)(cid:59)(cid:97)(cid:123)(cid:22)(cid:107)(cid:102)(cid:103)(cid:159)(cid:48)2(cid:57)(cid:22)(cid:103)E(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:208)(cid:174)(cid:96)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:22)(cid:103) AOB(cid:39) OCE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:103)S (cid:10)S (cid:285)(cid:44)(cid:82)
AOB OCE
△ △
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:48)1(cid:57)(cid:134)CG AO(cid:72)(cid:62)G(cid:59)(cid:134)BH x(cid:76)△(cid:72)(cid:62)H(cid:59)△
⊥ ⊥
AC•OB(cid:329)130(cid:59)
∵ 1
S (cid:329) •AC•OB(cid:329)65(cid:59)
(cid:328)(cid:25)OABC 2
∴
1 65 1 65
S (cid:329) S (cid:329) (cid:59)(cid:101) AO•CG(cid:329) (cid:59)
OAC 2 (cid:328)(cid:25)OABC 2 2 2
△
∴ A(cid:48)﹣13(cid:59)0(cid:57)(cid:59)(cid:101)OA(cid:329)13(cid:59)
(cid:96)∵ (cid:97)(cid:334)(cid:335)(cid:140)(cid:170)(cid:103)CG(cid:329)5(cid:59)
(cid:65)Rt OGC(cid:90)(cid:59) OC(cid:329)OA(cid:329)13(cid:59)
OG(cid:329)△12(cid:59) ∵
∴(cid:80)C(cid:48)﹣12(cid:59)﹣5(cid:57)(cid:59)
(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:120)(cid:328)(cid:25)(cid:59)
∵AB OC(cid:59)AB(cid:329)OC(cid:59)
∴ BA∥H(cid:329) COG(cid:59)
(cid:65)∴∠ BAH(cid:39)∠ COG(cid:90)
△BAH= CO△G
AHB= OGC
∠ AB=∠OC
∠ ∠
BAH COG(cid:48)AAS(cid:57)(cid:59)
∴B△H(cid:329)C≌G△(cid:329)5(cid:63)AH(cid:329)OG(cid:329)12(cid:59)
∴B(cid:48)﹣25(cid:59)5(cid:57)(cid:59)
∴D(cid:81)BO(cid:60)(cid:90)(cid:62)(cid:59)
∵ 25 5
D(cid:48)﹣ (cid:59)﹣ (cid:57)(cid:59)
2 2
∴ D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
∵25 5 125 125
k(cid:329)﹣ ×(cid:48)﹣ (cid:57)(cid:329) (cid:59)(cid:101)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:81)y(cid:329) (cid:159)
2 2 4 4x
∴
25
(cid:48)2(cid:57)(cid:160)y(cid:329)﹣5(cid:161)(cid:59)x(cid:329)﹣ (cid:59)
4
25
(cid:80)(cid:62)E(cid:48)﹣ (cid:59)﹣5(cid:57)(cid:59)
4
23
CE(cid:329) (cid:59)
4
∴
1 1 23 115 1 1 65
S (cid:329) •CE•CG(cid:329) × ×5(cid:329) (cid:59)S (cid:329) •AO•BH(cid:329) ×13×5(cid:329) (cid:59)
OCE 2 2 4 8 AOB 2 2 2
△ △
∵
S (cid:10)S (cid:329)65 115 =52(cid:10)23(cid:82)
AOB OCE 2 8
△ △
∴ ∶
(cid:15)(cid:62)(cid:247)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:120)(cid:96)(cid:97)(cid:328)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:22)(cid:103)(cid:312)(cid:74)(cid:24)(cid:136)(cid:155)(cid:62)D
(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:200)(cid:168)(cid:140)(cid:43)(cid:68)(cid:169)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:82)
【题型6 由图形面积求k】
(cid:15)(cid:47)6(cid:19)(cid:48)2025·(cid:302)(cid:336)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:130)(cid:62)A(cid:33)(cid:119)(cid:134)x(cid:76)(cid:63)y(cid:76)(cid:60)
x
1
(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:155)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)B(cid:59)C(cid:156)(cid:62)(cid:59)(cid:193)AB,AC(cid:81)(cid:29)(cid:60)(cid:139)(cid:25)ABDC(cid:337)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:33)(cid:338)(cid:138)(cid:28)(cid:132)(cid:38)(cid:139)(cid:25)(cid:59)(cid:139)
x
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:119)(cid:325)(cid:81)S ,S ,S ,S (cid:59)(cid:284)(cid:216)S =3(cid:82)
1 2 3 4 1
(1)(cid:153)(cid:122)(cid:163)(cid:98)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:159)
x
(2)(cid:22)(cid:139)(cid:25)ABDC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(1)y= 3 (x>0)
x
16
(2)
3
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:96)(cid:97)S =3(cid:59)(cid:103)(cid:98)|k|=3(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:59)(cid:103)(cid:98)
1 x
k=3(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:98)(cid:83)(cid:84)(cid:159)1
(cid:48)2(cid:57)(cid:62)B(cid:59)C(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:103)(cid:98)S =S =1(cid:82)(cid:206)AB,CD(cid:33)(cid:119)(cid:155)x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E,F,AC,BD(cid:33)(cid:119)(cid:155)y
x 2 4
1
(cid:76)(cid:72)(cid:62)G(cid:59)H(cid:82)(cid:103)(cid:98)S =OGOE=3,S =OFOG=1,S =OFOH(cid:59)S =OHOE=1(cid:59)(cid:96)(cid:97)S =1(cid:59)(cid:22)(cid:98)S = (cid:59)(cid:173)(cid:174)(cid:22)(cid:98)
1 2 3 4 4 3 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(cid:99)(cid:235)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:107)(cid:10) S =3(cid:59)
1
|k|=3(cid:59) ∵
∴ (cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:59)
x
∵
k=3(cid:59)
∴(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:81)y= 3 (x>0)(cid:159)
x
∴
1
(cid:48)2(cid:57)(cid:107)(cid:10) (cid:62)B(cid:59)C(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
S =S
=1(cid:82)∵
2 4
∴(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:206)AB,CD(cid:33)(cid:119)(cid:155)x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E,F,AC,BD(cid:33)(cid:119)(cid:155)y(cid:76)(cid:72)(cid:62)G(cid:59)H(cid:82)
S =OGOE=3,S =OFOG=1,S =OFOH(cid:59)S =OHOE=1(cid:59)
1 2 3 4
∴OF:OE⋅=1:3(cid:59) ⋅ ⋅ ⋅
∴S :S =1:3(cid:82)
3 4
∴S =1(cid:59)
4
∵ 1
S = (cid:59)
3 3
∴
S =S +S +S +S
矩形ABDC 1 2 3 4
∴ 1
=3+1+ +1
3
16
= (cid:82)
3
(cid:15)(cid:62)(cid:247)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:198)(cid:100)(cid:281)(cid:167)(cid:59)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:59)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:120)(cid:68)(cid:25)(cid:99)(cid:100)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:93)(cid:94)(cid:82)
k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)6-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:339)(cid:185)(cid:340)(cid:341)·(cid:187)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:120)(cid:228)(cid:129)(cid:69)(cid:229)(cid:149)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:129)(cid:62)(cid:59)AB y(cid:76)(cid:59)(cid:135)(cid:183)
x
⊥
(cid:81)(cid:62)B(cid:59)(cid:62)C(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59) ABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:120)1(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
△
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)2
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:82)(cid:121)
1
(cid:122)OA(cid:59)(cid:166)(cid:167)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:103)S =S (cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:103) |k|=1(cid:59)(cid:65)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:69)(cid:175)(cid:65)(cid:69)(cid:229)(cid:59)
OAB ABC 2
△ △
(cid:145)(cid:301)(cid:342)(cid:74)(cid:44)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:121)(cid:122)OA(cid:59)(cid:58)(cid:34)
AB y(cid:76)(cid:59)
∵OC⊥AB(cid:59)
∴ S ∥ =S (cid:59)
OAB ABC
∴ A△BC(cid:60)(cid:26)△(cid:27)(cid:120)1(cid:59)
∵△ S = 1 |k|=1(cid:59)
OAB 2
∴ △
(cid:107)(cid:103)(cid:10)k=±2(cid:59)
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:65)(cid:129)(cid:63)(cid:23)(cid:69)(cid:229)(cid:59)
∵k=2(cid:59)
∴(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)2(cid:82)
k k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)6-2(cid:19)(cid:48)23-24(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:70)·(cid:150)(cid:50)(cid:343)(cid:344)·(cid:304)(cid:305)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:33)(cid:119)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:39)y= 2(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:33)(cid:119)(cid:130)
x x
A(cid:59)B(cid:156)(cid:62)(cid:133)x(cid:76)(cid:63)y(cid:76)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:59)(cid:25)(cid:138)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)12(cid:59)(cid:80)k −k = (cid:82)
1 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)12
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:284)(cid:216)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)(cid:22)(cid:141)(cid:345)(cid:34)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:202)(cid:325)(cid:105)(cid:3)(cid:99)(cid:346)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:58)(cid:34)(cid:175)(cid:215)(cid:10)
(cid:41)(cid:20)(cid:93)(cid:103)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:25)AFOE,BCOD(cid:64)(cid:81)(cid:139)(cid:25)(cid:59)
(cid:71)S =AF×AE=k ,S =BC×BF=k
矩形AFOE 1 矩形BCOD 2
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)=S −S =k −k (cid:59)
矩形AFOE 矩形BCOD 1 2
∵k −k =12
1 2
∴(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)12
k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)6-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:347)(cid:348)(cid:150)(cid:349)(cid:145)·(cid:90)(cid:87)(cid:151)(cid:20)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:182)(cid:130)A(cid:63)C(cid:156)(cid:62)(cid:59)(cid:130)(cid:62)A(cid:134)AB y(cid:76)(cid:72)(cid:62)B(cid:59)
x
⊥
(cid:130)(cid:62)C(cid:134)CD x(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:121)(cid:122)OA(cid:63)OC(cid:63)AC(cid:82)(cid:79)S =4(cid:59)CD:OB=1:3(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:120)(cid:48) (cid:57)
ACO
⊥ △A(cid:82)−12 B(cid:82)−9 C(cid:82)−6 D(cid:82)−3
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)D
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:139)(cid:25)(cid:60)(cid:199)(cid:140)(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)k(cid:44)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:120)(cid:3)(cid:124)(cid:82)(cid:211)(cid:212)DC,BA
k k k
(cid:155)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:206)CD=a(a>0)(cid:59)(cid:80)OB=3a(cid:59)(cid:22)(cid:98)OD=− (cid:59)AB=− (cid:59)(cid:213)(cid:214)(cid:103)(cid:256)S =S =− (cid:59)(cid:245)(cid:265)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OBED
a 3a DOC AOB 2
△ △
(cid:120)(cid:139)(cid:25)(cid:59)(cid:171)(cid:22)(cid:98)AE=− 2k ,CE=2a(cid:59)(cid:103)(cid:256)S =− 2k (cid:59)(cid:96)(cid:97)S −S −S −S =S (cid:59)(cid:350)(cid:351)(cid:177)(cid:352)(cid:22)
3a AEC 3 矩形OBED DOC AOB AEC ACO
△ △ △ △ △
(cid:107)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:211)(cid:212)DC,BA(cid:155)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)
(cid:206)CD=a(a>0)(cid:59)
CD:OB=1:3(cid:59)
∵OB=3a(cid:59)
∴AB y(cid:76)(cid:59)CD x(cid:76)(cid:59)
∵(cid:62)A⊥(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:81)⊥3a(cid:59)(cid:62)C(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:81)a(cid:59)
∴a= k ,3a= k (cid:59)
x C x A
∴
x = k ,x = k (cid:59)
C a A 3a
∴
k k
OD=− (cid:59)AB=− (cid:59)
a 3a
∴
k
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:182)(cid:130)A(cid:63)C(cid:156)(cid:62)(cid:59)
x
∵k
S =S =− (cid:59)
DOC AOB 2
∴ △ EDO= △ DOB= EBO=90°(cid:59)
∵(cid:28)∠ (cid:29)(cid:25)O∠BED(cid:120)∠(cid:139)(cid:25)(cid:59)
∴ BE=OD=− k ,DE=OB=3a(cid:59)
a
∴
AE=BE−AB=− 2k ,CE=DE−CD=2a(cid:59)
3a
∴
S = 1 AE·CE=− 2k (cid:59)
AEC 2 3
∴ △
S =OD·OB=− k ×3a=−3k(cid:59)
矩形OBED
a
∴
S =4(cid:59)
ACO
∵ S △ −S −S −S =S (cid:59)(cid:101)−3k− − k − − k − − 2k =4(cid:59)
矩形OBED DOC AOB AEC ACO 2 2 3
∴ k=−3(cid:59) △ △ △ △
∴(cid:111)(cid:147)(cid:10)D(cid:82)
【题型7 由面积间关系求值】
(cid:15)(cid:47)7(cid:19)(cid:48)24-25(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:70)·(cid:114)(cid:115)(cid:100)(cid:353)·(cid:354)(cid:294)(cid:203)(cid:355)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (k>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:104)(cid:139)(cid:25)OABC(cid:65)(cid:228)(cid:129)(cid:356)(cid:229)
x
(cid:105)(cid:155)(cid:72)D,E(cid:20)(cid:34)(cid:62)(cid:59)OA=2(cid:59)OC=4(cid:59)(cid:121)(cid:122)OD,OE,DE(cid:82)(cid:325) OAD(cid:63) OCE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:119)(cid:81)S (cid:63)S (cid:82)
1 2
△ △
(cid:48)1(cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:10)S S (cid:48)(cid:314)“>”(cid:63)“<”(cid:63)“=”(cid:57)(cid:159)
1 2
(cid:48)2(cid:57)(cid:79)S +S =2(cid:59)(cid:80) ODE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81) (cid:82)
1 2
△15
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19) =
4
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:123)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:39)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:82)
(cid:48)1(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:216) OAD(cid:63) OCE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:119)(cid:81)(cid:213)(cid:201)(cid:107)(cid:83)(cid:101)(cid:102)(cid:159)
(cid:48)2(cid:57)(cid:96)(cid:97) ODE(cid:60)(cid:26)(cid:27)=(cid:139)(cid:25)OABC(cid:60)△(cid:26)(cid:27)− △AOD(cid:60)(cid:26)(cid:27)− COE(cid:60)(cid:26)(cid:27)− BDE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:213)(cid:201)(cid:107)(cid:83)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48) △ 1(cid:57)(cid:96)(cid:97)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:216) △ OAD(cid:63) OC △ E(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:119)(cid:81) △ S = 1 ×ADAO= k (cid:59)S = 1 ×COEC= k ,
1 2 2 2 2 2
△ △ ⋅ ⋅S =S
1 2
∴(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)=
(cid:48)2(cid:57) S =S ,S +S =2,
1 2 1 2
∵ k
S =S =1= ,
1 2 2
∴
k=2,
∴ 1 1
S = ×ADAO= ×AD×2=1
1 2 2
∵ ⋅
AD=1,
∴ 1 1
S = ×COEC= ×4×EC=1,
2 2 2
∵ 1 ⋅
EC= ,
2
∴
OA=2,OC=4,
∵BD=4−1=3(cid:59)
∴ 1 3
BE=2− = ,
2 2
ODE(cid:60)(cid:26)(cid:27)=(cid:139)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)− AOD(cid:60)(cid:26)(cid:27)− COE(cid:60)(cid:26)(cid:27)− BDE(cid:60)(cid:26)(cid:27)=2×4−1−1− 1 ×3× 3 = 15 (cid:82)
2 2 4
∴△ △ △ △
15
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)
4
(cid:15)(cid:112)(cid:113)7-1(cid:19)(cid:48)23-24(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:70)·(cid:49)(cid:50)(cid:50)(cid:114)·(cid:354)(cid:294)(cid:203)(cid:355)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C(cid:59)
x
D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (k>0,x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)AC BD y(cid:76)(cid:59)(cid:284)(cid:216)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:81)2(cid:59)4(cid:59) OAC(cid:104) ABD
x
∥ ∥ △ △
(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:40)(cid:81)1(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)5
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)
(cid:123)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:126)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:207)(cid:3)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:20)(cid:93)(cid:190)(cid:273)(cid:296)(cid:98)(cid:177)(cid:352)(cid:82)(cid:96)(cid:97)
(cid:20)(cid:93)(cid:22)(cid:103)A(cid:63)B(cid:63)C(cid:63)D(cid:28)(cid:29)(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97) OAC(cid:104) ABD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:40)(cid:81)1(cid:59)(cid:296)(cid:177)(cid:352)(cid:22)(cid:107)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
△ △(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) AC BD y(cid:76)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:81)2(cid:59)4(cid:59)
(cid:62)C(cid:59)D(cid:60)(cid:118)(cid:45)∵ (cid:46)∥(cid:33)(cid:119)∥(cid:81)2(cid:59)4
∴ (cid:224) (cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C(cid:59)D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (k>0,x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)
x x
∵
A(2, 1 )(cid:59)B(4, 1 )(cid:59)C(2, k )(cid:59)D(4, k )
2 4 2 4
∴
AC= k−1 (cid:59)BD= k−1
2 4
∴
(cid:41)(cid:34)(cid:25)(cid:102)(cid:103)(cid:59)S = 1 AC×2=AC= k−1 (cid:59)S = 1 BD×2=BD= k−1
OAC 2 2 ABD 2 4
△ △
(cid:41)(cid:20)(cid:93)(cid:102)(cid:103)(cid:10)S −S =1(cid:59)(cid:101) k−1 − k−1=1
OAC ABD 2 4
△ △
(cid:107)(cid:103)k=5
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)5(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)7-2(cid:19)(cid:48)23-24(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:70)·(cid:184)(cid:150)(cid:185)(cid:186)·(cid:354)(cid:294)(cid:203)(cid:355)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 2 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:130)(cid:62)A(cid:59)B
x
k
(cid:134)x(cid:76)(cid:60)(cid:135)(cid:136)(cid:33)(cid:119)(cid:155)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)x>0(cid:59)k>2(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)(cid:62)C(cid:59)D(cid:59)(cid:121)(cid:99)OB(cid:59)OD(cid:59)AD(cid:59)CD(cid:82)(cid:79)AC=3BD(cid:59)(cid:71) ACD
x
△
(cid:104) OBD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:39)(cid:81)4(cid:59)(cid:80)k= (cid:82)
△
14
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:193)(cid:200)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:222)(cid:223)(cid:59)(cid:33)(cid:119)(cid:206)(cid:98)(cid:62)A(cid:39)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:157)
(cid:158)(cid:98)(cid:62)C(cid:39)(cid:62)D(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:41)AC=3BD(cid:59)(cid:102)(cid:22)(cid:98)n(cid:39)m(cid:285)(cid:42)(cid:60)(cid:3)(cid:43)(cid:159)(cid:171)(cid:99)(cid:100)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:33)(cid:119)(cid:157)(cid:158) ACD
(cid:104) OBD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:156)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:39)(cid:81)4(cid:59)(cid:350)(cid:351)(cid:106)(cid:113)(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:107)(cid:82) △
(cid:15)△(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10)(cid:206)(cid:62)A(cid:39)(cid:62)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:81)m(cid:39)n(cid:59)
(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 2 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
∵
A m, 2 (cid:59)B n, 2 (cid:59)
m n
∴k
AC x(cid:76)(cid:59)BD x(cid:76)(cid:59)(cid:71)(cid:62)C(cid:59)D(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
∵ ⊥ ⊥
C m, k (cid:59)D n, k (cid:59)(cid:59)
m n
∴ AC= k−2(cid:59)BD= k−2 (cid:59)
m n
∴
AC=3BD(cid:59)
∵k−2=3× k−2
(cid:59)
m n
∴
n=3m.
∴ S = 1 AC 1 (x −x )= 1 × k−2×(cid:48)n−m(cid:57)=k−2(cid:59)
ACD 2 2 D A 2 m
∵ △ ⋅
S = 1 BD(cid:48)x −x (cid:57)= 1 × k−2×(cid:48)n−0(cid:57)= k−2 (cid:59)
OBD 2 D O 2 n 2
△ ⋅ ⋅
k−2+
k−2=4(cid:59)
2
∴
14
(cid:107)(cid:103)k= (cid:82)
3
14
(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10) (cid:82)
3
1 k
(cid:15)(cid:112)(cid:113)7-3(cid:19)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:329) (cid:48)x(cid:357)0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C(cid:59)D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:329) (cid:48)k(cid:357)0(cid:57)(cid:60)
x x
(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)AC BD y(cid:76)(cid:82)(cid:284)(cid:216)(cid:62)A(cid:63)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:81)1(cid:63)2(cid:59) OAC(cid:104) ABD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:27)(cid:81)2(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:81)
(cid:48)(cid:358)(cid:358)(cid:57) ∥ ∥ △ △
A(cid:82)2 B(cid:82)3 C(cid:82)4 D(cid:82)5
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)D
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:95)(cid:22)(cid:98)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:171)(cid:96)(cid:97)AC BD y(cid:76)(cid:59)(cid:273)(cid:140)(cid:62)C(cid:59)(cid:62)D(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:22)(cid:98)AC(cid:59)BD(cid:59)(cid:173)(cid:174)(cid:96)(cid:97)(cid:59)
OAC(cid:104) ABD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:27)(cid:81)2(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:107)(cid:83)(cid:82)∥ ∥
△ △ 1
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) (cid:62)A(cid:63)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:329) (cid:48)x(cid:357)0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:118)(cid:45)∵(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:81)1(cid:59)2(cid:59)1
(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(cid:48)1(cid:59)1(cid:57)(cid:59)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(cid:48)2(cid:59) (cid:57)(cid:59)
2
∴ AC BD y(cid:76)(cid:59)
∵(cid:62)C∥(cid:59)D∥ (cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:119)(cid:81)1(cid:59)2(cid:59)
∴ k
(cid:62)C(cid:59)D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:329) (cid:48)k(cid:357)0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
∵
k
(cid:62)C(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(cid:48)1(cid:59)k(cid:57)(cid:59)(cid:62)D(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(cid:48)2(cid:59) (cid:57)(cid:59)
2
∴
k−1
AC(cid:329)k﹣1(cid:59)BD(cid:329) (cid:59)
2
∴
S OAC(cid:329)
1
(cid:48)k﹣1(cid:57)×1(cid:329)
k−1
(cid:59)S ABD(cid:329)
1
•
k−1
×(cid:48)2﹣1(cid:57)(cid:329)
k−1
(cid:59)
2 2 2 2 4
△ △
∴ OAC(cid:104) ABD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:285)(cid:27)(cid:81)2(cid:59)
∵△k−1
•
k−1
(cid:329)2
△
(cid:59)
2 4
(cid:107)∴ (cid:103)(cid:10)k(cid:329)5(cid:315)﹣3(cid:59)
k(cid:357)0(cid:59)
∵k(cid:329)5(cid:82)
∴(cid:111)(cid:147)(cid:10)D(cid:82)
(cid:15)(cid:62)(cid:247)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:107)(cid:359)(cid:86)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:120)(cid:22)(cid:98)AC(cid:59)BD(cid:60)(cid:212)(cid:82)
【题型8 求坐标】
(cid:15)(cid:47)8(cid:19)(cid:48)2025·(cid:360)(cid:336)(cid:361)(cid:145)·(cid:187)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:120)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:59)O(cid:81)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)C(cid:65)y(cid:60)(cid:190)(cid:189)(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)
A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= m (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)D(cid:120)(cid:136)(cid:294)BC(cid:104)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:60)(cid:155)(cid:62)(cid:59)(cid:79)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,4)(cid:59)(cid:152)(cid:201)(cid:28)
x
(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)6(cid:59)(cid:80)(cid:362)(cid:68)m(cid:60)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)2
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:59)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,4)(cid:59)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC
(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)6(cid:59)(cid:103)OC×2=6(cid:59)(cid:80)OC=3(cid:59)(cid:80)AB=3(cid:59)(cid:111)(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,1)(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)(cid:362)(cid:68)m(cid:60)(cid:44)(cid:82)(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) (cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:120)(cid:152)(cid:201)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:59)
OC AB,OC=A∵B(cid:59)
∴(cid:152)(cid:201)∥(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)6(cid:59)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,4)(cid:59)
∵OC×x =6(cid:59)
B
∴(cid:80)OC×2=6(cid:59)
OC=3(cid:59)
∴(cid:80)AB=3(cid:59)
(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,4)(cid:59)
∵(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,1)(cid:59)
∴(cid:179)(2,1)(cid:180)(cid:181)y= m (x>0)(cid:59)
x
m=1×2=2(cid:59)
(cid:111)∴ (cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)2(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)8-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:360)(cid:336)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 1(k >0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 2(cid:60)
x 1 x
k
(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)k (cid:63)k (cid:363)(cid:81)(cid:105)(cid:66)(cid:68)(cid:59)AB y(cid:76)(cid:59)(cid:79)(cid:193)AB(cid:81)(cid:29)(cid:134)(cid:26)(cid:27)(cid:81)24(cid:60)(cid:139)(cid:25)ABCD(cid:59)(cid:62)D(cid:364)(cid:234)(cid:365)(cid:65)y= 2(cid:60)(cid:67)(cid:68)(cid:34)
1 2 x
∥
(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:80)(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(cid:48) (cid:57)
A(cid:82)(3,−2) B(cid:82)(−3,2) C(cid:82)(−2,3) D(cid:82)(2,3)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)D
k 2k
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:20)(cid:93)(cid:102)(cid:216)k
1
=−k
2
(cid:59)(cid:206)A x
1
,
x
1 (cid:59)(cid:80)AB=
x
1(cid:59)AD=2x
1
(cid:59)(cid:41)
1 1
(cid:139)(cid:25)ABCD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:102)(cid:216)ABAD=24(cid:59)(cid:22)(cid:98)k =6(cid:59)(cid:213)(cid:214)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)(cid:83)(cid:84)(cid:82)
1
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) k (cid:63)k (cid:363)(cid:81)⋅ (cid:105)(cid:66)(cid:68)(cid:59)
1 2
k =−k (cid:59) ∵
1 2
∴k k k
(cid:206)A x , 1 (cid:59)(cid:80)B x ,− 1 (cid:59)D −x , 1 (cid:59)
1 x 1 x 1 x
1 1 1
2k
AB= 1(cid:59)AD=2x (cid:59)
x 1
1
∴
(cid:139)(cid:25)ABCD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)24(cid:59)
∵ ABAD= 2k 1 2x =4k =24(cid:59)
x 1 1
1
∴ ⋅ ⋅
k =6(cid:59)
1
∴ (cid:62)A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 1(k >0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x 1
∵
(cid:62)A(cid:60)(cid:118)(cid:45)(cid:46)(cid:366)(cid:193)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:106)(cid:72)6(cid:59)
(cid:111)∴ (cid:147)(cid:10)D(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)8-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:251)(cid:260)·(cid:129)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:90)(cid:59)(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(−6, 4)(cid:59)AB x(cid:76)(cid:72)(cid:62)B(cid:59)(cid:284)(cid:216)(cid:191)
(cid:192)(cid:136)y= k (k<0, x<0)(cid:104)AB, OA(cid:33)(cid:119)(cid:155)(cid:72)C, D(cid:156)(cid:62)(cid:59)(cid:121)(cid:122)OC(cid:82)(cid:79)S =9(cid:59)(cid:80)(cid:62)D(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81) ⊥ (cid:82)
x OAC
△
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(−3, 2)
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:104)(cid:129)(cid:154)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:155)(cid:62)(cid:209)(cid:20)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:22)(cid:98)
S =12(cid:59)(cid:99)(cid:100)S =9(cid:59)(cid:103)(cid:256)S =3(cid:59)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)k=−6(cid:59)(cid:171)(cid:22)(cid:98)(cid:153)(cid:136)OA(cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:81)y=− 2 x(cid:59)(cid:206)D m,− 2 m (cid:59)
AOB OAC OBC 3 3
△ △ △
6
(cid:180)(cid:181)y=− (cid:59)(cid:22)(cid:98)m(cid:60)(cid:44)(cid:101)(cid:102)(cid:82)
x
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:107)(cid:10) (cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(−6, 4)(cid:59)
OB=6·AB=4(cid:59)∵
∴ S = 1 OB·AB=12(cid:59)
AOB 2
∴ △
S =9(cid:59)
OAC
∵S △ =S −S =3(cid:59)
OBC AOB OAC
∴|k △ |=3(cid:59) △ △
2
∴
|k|=6(cid:59)
∴k<0(cid:59)
∵k=−6(cid:59)
∴(cid:206)(cid:153)(cid:136)OA(cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:81)y=k'x(cid:59)(cid:80)4=−6k'(cid:59)
2
k'=− (cid:59)
3
∴
(cid:153)(cid:136)OA(cid:60)(cid:107)(cid:85)(cid:113)(cid:81)y=− 2 x(cid:59)
3
∴
2
(cid:206)D m,− m (cid:59)
3
(cid:180)(cid:181)y=− 6 (cid:59)(cid:103)(cid:10)− 2 m=− 6 (cid:59)(cid:101)m2=9(cid:59)
x 3 m
(cid:107)(cid:103)m=−3(cid:315)m=3(cid:48)(cid:367)(cid:368)(cid:57)(cid:59)
D(−3,2)(cid:59)
∴(cid:111)(cid:83)(cid:84)(cid:81)(cid:10)(−3,2)(cid:82)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)8-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:347)(cid:348)(cid:150)(cid:37)(cid:369)·(cid:129)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:152)(cid:26)(cid:153)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:90)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:33)(cid:119)(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 8 (cid:48)x>0(cid:57)(cid:63)y= k
x x
(cid:48)x>0(cid:59)k(cid:81)(cid:299)(cid:68)(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)AB x(cid:76)(cid:59)(cid:135)(cid:183)(cid:81)C(cid:59)OC=4(cid:59)AB=7(cid:82)
⊥
(1)(cid:22)k(cid:60)(cid:44)(cid:159)
k
(2)(cid:160)(cid:62)P(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)x>0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)S =8(cid:59)(cid:22)(cid:62)P(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:159)
x POC
△
(3)(cid:65)(cid:48)2(cid:57)(cid:60)(cid:370)(cid:371)(cid:194)(cid:59)(cid:58)(cid:235)x(cid:76)(cid:70)(cid:207)(cid:129)(cid:62)Q(cid:59)(cid:195)(cid:103) POQ(cid:120)(cid:106)(cid:317)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:59)(cid:162)(cid:153)(cid:122)(cid:163)(cid:98)(cid:175)(cid:207)(cid:372)(cid:183)(cid:370)(cid:371)(cid:60)(cid:62)Q(cid:60)(cid:45)
(cid:46)(cid:82) △
(cid:15)(cid:83)(cid:84)(cid:19)(1)k=−20
(2)P(5,−4)
(3)Q(− 41,0)(cid:315)Q( 41,0)(cid:315)Q(10,0)(cid:315)Q(4.1,0)
(cid:15)(cid:33)(cid:85)(cid:19)(cid:86)(cid:20)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:43)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:63)(cid:106)(cid:317)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:63)(cid:334)(cid:335)(cid:140)(cid:170)(cid:193)(cid:200)(cid:156)(cid:62)(cid:42)(cid:60)(cid:373)(cid:374)(cid:106)(cid:216)
(cid:316)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:125)(cid:126)(cid:105)(cid:3)(cid:216)(cid:316)(cid:120)(cid:107)(cid:20)(cid:60)(cid:3)(cid:124)(cid:82)
1
(cid:48)1(cid:57)(cid:41) S =S +S =14(cid:99)(cid:100)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)k(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:102)(cid:103) |k|+4=14(cid:59)(cid:213)(cid:129)(cid:257)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:98)(cid:99)(cid:235)(cid:159)
AOB AOC BOC 2
△ △ △(cid:48)2(cid:57)(cid:41)(cid:20)(cid:93)(cid:102)(cid:103)P(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:81)−4(cid:59)(cid:171)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:140)(cid:43)(cid:68)(cid:169)(cid:107)(cid:83)(cid:101)(cid:102)(cid:159)
(cid:48)3(cid:57)(cid:95)(cid:22)(cid:98)OP(cid:60)(cid:212)(cid:59)(cid:208)(cid:174)(cid:33)(cid:23)(cid:375)(cid:241)(cid:242)(cid:10) (cid:79)OP=OQ(cid:59)(cid:102)(cid:153)(cid:122)(cid:163)(cid:98)(cid:62)N(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:159) (cid:79)PO=PQ(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:106)(cid:317)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:109)(cid:110)(cid:107)(cid:83)(cid:159) (cid:79)PQ=OQ(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:156)①(cid:62)(cid:42)(cid:60)(cid:373)(cid:374)(cid:107)(cid:83)(cid:82) ②
(cid:15)(cid:108)(cid:107)(cid:19)(cid:48)1(cid:57)(cid:107)(cid:10) ③OC=4(cid:59)AB=7(cid:82)
S =S +S ∵ =14(cid:59)
AOB AOC BOC
∴ S △ = 1 ×8 △ =4(cid:59) S △ = 1 |k|(cid:59)
AOC 2 OBC 2
△ △
1|k|+4=14(cid:59)(cid:107)(cid:103)|k|=20(cid:59)
2
∴
k<0(cid:59)
∵k=−20(cid:159)
∴(cid:48)2(cid:57) OC=4(cid:59)S =8= 1 OC×(−y )(cid:59)
POC 2 P
∵ △
P(cid:60)(cid:269)(cid:45)(cid:46)(cid:81)−4
∴ 20
P(cid:65)y=− (cid:48)x>0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)
x
∵
20
−4=− (cid:59)(cid:107)(cid:103)(cid:10)x=5
x
∴
P(5,−4)
∴(cid:48)3(cid:57) P(5,−4)(cid:59)
OP=∵52+42= 41
∴POQ(cid:120)(cid:106)(cid:317)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:59)
△ (cid:160)OP=OQ(cid:161)(cid:59)Q(− 41,0)(cid:315)Q( 41,0)
①(cid:160)PO=PQ(cid:161)(cid:59)(cid:80)x=5(cid:81)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:80)Q(10,0)(cid:59)
②(cid:160)PQ=OQ(cid:161)(cid:59)(cid:206)Q(t,0)(cid:59)
③t2=(5−t)2+42
∴(cid:107)(cid:103)(cid:10)t=4.1
Q(4.1,0)
∴(cid:198)(cid:70)(cid:175)(cid:298)(cid:59)Q(− 41,0)(cid:315)Q( 41,0)(cid:315)Q(10,0)(cid:315)Q(4.1,0)(cid:82)