文档内容
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
学习目标：1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的
面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数
相关知识的综合运用能力. (重点、难点)
自主学习
一、知识链接
1.反比例函数的图象是什么？
2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
合作探究
一、要点探究
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？【针对训练】已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x ，y ) 和点B (x ，y ). 如果x ＞x ，那么 y 和
1 1 2 2 1 2 1
y 有怎样的大小关系？
2
【针对训练】如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 （ ）
A．－1 B．3 C．1 D．0
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义操作 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面
积分别为S ，S 的矩形，
1 2
填写下列表格：
S 的值 S 的值 S 与S 的关系 猜想 S，S 与 k的关系
1 2 1 2 1 2
P (2，2) ，Q (4，1)
2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
S 的值 S 的值 S 与S 的关系 猜想 S，S 与 k的关
1 2 1 2 1 2
系
P (－1，4)，Q (－2，2)
猜想 由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是反比例函数 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，
矩形 AOBP 的面积与k的关系是S =|k|.
矩形 AOBP
证明 我们就 k < 0 的情况给出证明：【要点归纳】对于反比例函数 ，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，
作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S = |k|.
矩形AOBQ
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S =S = .
△QAO △QBO
【针对训练】如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、
y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为 S ，S ，
A B
S ，则（ ）
C
A. S >S >S B. S 0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设
△POA 的面积为 S ，则(1) S = ；(2）梯形CEAD 的面积为 S ，则 S 与 S 的大
1 1 2 1 2
小关系是 S S ；（3）△POE 的面积 S 和 S 的大小关系是 S S . （填
1 2 3 2 2 3
“＞”，“＜”或者“＝”）【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积
S 、△ BOD 的面积 S 、 △ POE 的面积 S 的大小关系为 .
1 2 3
例5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函
数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴
上，则 S =___.
ABCD
【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转
化为较容易求面积的图形.
【针对训练】如图，函数 y＝－x与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分
别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8探究点4：反比例函数与一次函数的综合
思考 在同一坐标系中，函数 和 y= k x+b 的图象大致如下，则 k 、k 、b各应
2 1 2
满足什么条件？
例6 函数 y=kx－k 与 （k≠0）的图象大致是（ ）【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出
符合题意的答案.
【针对训练】在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（
）
例7 如图是一次函数 y =kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y ﹥y 时，x
1 1 2
的取值范围为 .【针对训练】如图，一次函数 y = k x + b (k ≠0) 的图象与反比例函数 的图象交
1 1 1
于 A，B 两点，观察图象，当y ＞y 时，x 的取值范围是 ．
1 2
例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解
析式，并画出图象.
想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
【针对训练】反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为
．
二、课堂小结当堂检测
1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接O P
，
且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定
2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比
例函数的解析式是____ ___．
3. 如图，直线 y=k x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1
1
和5，则不等式k x +b ＞ 的解集是__________．
1
4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
（1）求 k 的值；
（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化?
（3）画出该函数的图象；（4）点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于A(1，2)，B(m，－4)两点，
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）求不等式 ax + b＞ 的解集.
6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求△AOB的面积.
参考答案自主学习
一、知识链接
1.解：反比例函数的图象是双曲线
2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而
减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
合作探究
一、要点探究
探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式
例1 解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，
解得 k =12.
所以反比例函数的解析式为 .
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的
图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
【针对训练】解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，解得 k = 6.∴ 这个函数的表达式为 .
（2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析
式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．
（3）∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
探究点2：反比例函数图象和性质的综合
例2 解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三
象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.
（2）因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
因此当x ＞x 时，y ＜y .
1 2 1 2
【针对训练】B
探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义
证明 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，∴ ，
即 ab=k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S =PB·PA=－a·b=－ab=－k；
矩形 AOBP
同理，∴ S =PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.综上，S =|k|.
矩形 AOBP 矩形 AOBP
【针对训练】C
【典例精析】
例3 解：设点 A 的坐标为(x ，y )，∵点 A 在反比例函数 的图象上，∴ x ·y ＝k.
A A A A
又∵ S ＝ x ·y = ·k＝2，∴ k＝4.∴反比例函数的表达式为 .
△AOC A A
【针对训练】1.-12 2.
例4 (1) 2 (2） > （3）=
【针对训练】S = S < S 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S = S . PE 与双曲线
1 2 3 1 2
的一支交于点 F，连接 OF，易知，S = S = S ，而 S ＞S ，所以 S ，S ，S 的大小
△OFE 1 2 3 △OFE 1 2 3
关系为S = S < S
1 2 3
例5 5
【针对训练】D
探究点4：反比例函数与一次函数的综合例6 D
【针对训练】B
例7 －2< x <0 或 x >3
解析： ﹥ 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或
y1 y2
x >3.
【针对训练】 -1< x <0 或 x >2
例8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k x 和 .
1
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点，
即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.所以4=-3k ， .解得 ，k =-12
1 2
则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示.
【针对训练】（2,6）或（-2,-6）
当堂检测
1. A 2. 3. 1＜x＜5
4. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2，－4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，解得k = －8.
（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.（3）如图所示：
（4）该反比例函数的解析式为 .
因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.
5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为 .
当y =－4时，m= ,∴ B（ ，－4）.将A(1，2)，B（ ，－4）代入 y=ax + b ，
得，a=4,b=-2;
∴直线的解析式为y=4x-2.
（2）根据图象可知，若 ax + b＞ ，则 x＞1或 ＜x＜0.
6. 解:（1）联立两个解析式，解得 或 所以A(－2，4)，B(4，－2).
（2）一次函数与x轴的交点为M (2，0)，∴OM=2.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.
∴S =OM·BD÷2=2×2÷2=2，
△OMB
∴S =OM·AC÷2=2×4÷2=4，
△OMA
∴S =S +S =2+4=6.
△AOB △OMB △OMA
