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专题 06 反比例函数（10 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围
是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去
判断，其形式为y＝ （k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
二．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两
边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的
图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
三．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；
②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
五．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是
定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |
k|，且保持不变．
六．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
七．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝ （k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
八．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者
有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
1
①当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有2个交点；
1 2 1
②当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有0个交点．
1 2 1
九．根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实
际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到
反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成
的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
十．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【专题过关】
一．反比例函数的定义（共3小题）
1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B．2x+y＝4 C．y＝x2+3 D．
2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2） 是反比例函数，则m＝ ．
3．（2022•西宁一模）函数 的自变量x的取值范围是 ．
二．反比例函数的图象（共4小题）
4．（2021秋•大城县期末）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．3
5．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数 与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数 的图象是双曲线，那么函数
（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数 的图象有怎
样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……
探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数 的图象．
（1）画出函数 图象．
①列表：
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …
②描点并连线．
（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：① ，② ；（3）理解运用：函数 的图象是由函数 的图象向 平移 个单位，其对称中心
的坐标为 ．
（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数 的图象大致位置，并根据图象指出，
当x满足 时，y≥3．
7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝ ，点A的坐标
为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（ ）
A．如图①，四边形ABCO是矩形
B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 的图象大致如图②所示
C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝ 的图象大致如图③所示
D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝ 在的图象大致如图④所示
三．反比例函数图象的对称性（共3小题）
8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝ 图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则
另一个交点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝ 的一个交点坐标为（3，4），则它们的
另一个交点坐标是 ．
10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆 O 和 O 均与x轴相切于点O，反比例函数 （k＞
1 2
0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则⊙图中阴⊙影部分的面积是 ．（结果保留 ）
π四．反比例函数的性质（共6小题）
11．（2021秋•政和县期末）反比例函数 中，反比例常数k的值为 ．
12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函
数y＝ 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一、第三象限
B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双
曲线L ：y＝﹣ （x＜0）和双曲线L ：y＝ （x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均
1 2
为整数的点称为“优点”]
（1）若k＝﹣12，则L 和L 之间（不含边界）有 个“优点”；
2 1
（2）如果L 和L 之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为 ．
2 1
15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数
为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 y＝ 的图象与性
质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 2 1 0 1 n …
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相
应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点 ，在函数图象上，则y y ，x
1 2 1
x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
2
②当函数值时y＝1，求自变量x的值．
16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝ 的图象与性质．
列表：
x … ﹣1 0 1 2 …
﹣
y … 2 1 0 1 2 1 …
描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：
（1）点A（3，y ），B（5，y ），C（x ， ），D（x ，6）在函数图象上，则y y ，x
1 2 1 2 1 2 1
x ；（填“＞”、“＝”或“＜”）
2
（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为 ；
（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝ 有三个不同的解时，则b的取值范围为 ．
五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）
17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是l 和l ，设点
1 2
P在l 上，PC⊥x轴于点C，交l 于点A，PD⊥y轴于点D，交l 于点B，则四边形PAOB的面积为（
1 2 2
）
A．k +k B．k ﹣k C．k k D．k ﹣k
1 2 1 2 1 2 2 1
18．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝ 的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP ＝2，则该反比例函数的解析式为 ．
19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影面积为2的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022•靖江市二模）反比例函数 ， （n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重
合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y 、y 交于A、B两点．
1 2
（1）当n＝﹣10时，求S△OAB ；
（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．
（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴
于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1
（1）若k＝2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；
（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）
22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（
）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C． D．（﹣2，1）
23．（2021秋•碧江区 期末）如图，△OAB、△BA 1 B 1 、△B 1 A 2 B 2 、…、△B n﹣1 A n B n 都是等边三角形，顶点
A、A 、A 、…、A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，则B 的坐标是 ．
1 2 n 2020
24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的
两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是 （填序号）；
① ；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与 （m为常数，m＞0）相交于
A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，A在B的左边，x ﹣x ＝5，则m＝ ．
A A B B B A
25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：
若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数
x，y，z构成“和谐三数组”．
（1）若A（m，y ），B（m+1，y ），C（m+3，y ）三点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵
1 2 3
坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；
（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点 与原点O的距离OP的
取值范围．
26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C
的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．
（1）反比例函数y ＝ 在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；
1
（2）点E是否在函数y ＝ 的图象上？说明理由；
1（3）一次函数y ＝k +b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k x+b＜ 的解集．
2 2 2
27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，
B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝ （x＞0）于C，D两点．
（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；
（2）当k＝1时：
①若AC＝BD，求a与b的数量关系；
②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．
28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝ （其中a≠0，a为常数）经过点A（x ，y ），B（x ，y ），C
1 1 2 2
（x ，y ），且x ＜0＜x ＜x ，则把y 、y 、y 按从小到大排列为 ．
3 3 3 1 2 1 2 329．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的
图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求△OAC的周长．
30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在
y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝
10．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直
接写出这个最小值．
七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）
31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数 的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．
（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．
32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正
半轴上，反比例函数 的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出
点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数 的图象经过点
B，D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．
34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）y与x的函数解析式为 ；
（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是 ．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝ 交
于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB ：S△ODE ＝1：2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）直接写出关于x不等式： ＞kx﹣3的解为 ．
36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m为常数且
1 2
m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞ ﹣b的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线 y＝ x﹣4分别与 x轴，y轴交于点 A，B，与反比例函数 y＝
的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的
值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三
角形AOB，双曲线y ＝ 在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y ＝k x+b，回答下列
1 2 2
问题：
（1）求双曲线y ＝ 和直线AB的y ＝k x+b表达式；
1 2 2
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围；
1 2
（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝ 与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，
BC∥x轴，则△ABC的面积等于（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）
40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款 3000元，
后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式
是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t
小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气
体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确
到0.01m3）
一十．反比例函数的应用（共4小题）
43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻
控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（ ）成反比例函数的图象，该图象经
过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）ΩA．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是I＝ （R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
44．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）
成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向
上移动的距离是（ ）
A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m
45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x+ +1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图
象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下
x … 1 2 3 4 …
y … m 3 n …
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝ ，y有最小值为 ；
（3）学以致用
某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3
千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x+ +3．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为 千元；
②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ ．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与
每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完
成此项任务？
（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少
还需调配几台挖掘机？
