清单06反比例函数（6大考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_期末专项复习-U276_2024版

清单 06 反比例函数（6 大考点梳理+题型解读+核 心素养提升+中考聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 知识点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即 ， 或表示为 ，其中 是不等于零的常数. 一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取 值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无交点. （2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解决有关自变量指数问 题时应特别注意系数 这一条件. （3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到 反比例函数的解析式. 【例1】下列选项中的函数， 关于 成反比例函数的是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【分析】据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 （k≠0），即可判定函数的类型是否符合题意． 【解析】由反比例函数的一般式是 （k≠0），可知 是反比例函数，则A、C、D中都不是反比 例函数，故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式 （k≠0）是解决此类问题的 关键． 【变式】已知函数 是反比例函数，则 的值为__________． 【答案】1 【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可． 【解析】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0， 整理得，n2＝1且n+1≠0，解得n＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式 （k≠0），也可转化为y＝kx﹣ 1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此 只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ( )； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数 的值； （4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中. 【例2】已知y=y+y，y 与x+1成正比例，y 与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1） 1 2 1 2 求y与x的函数关系式；（2）当x=5时，求y的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）设y=a（x+1）（a≠0），y= （b≠0），得到y=a（x+1）+ ，把（0，-5）， 1 2 （2，-7）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（2）把x=5代入解析式求出即可． 【解析】（1）∵y 与x+1成正比例，y 与x+1成反比例，设y=a(x+1)(a≠0)，y= (b≠0)． 1 2 1 2∵y=y+y，∴y=a(x+1)+ ，把(0，﹣5)，(2，﹣7)代入得： ， 1 2 解得： ，∴y=﹣2(x+1)﹣ ，答：y与x的函数关系式是y=﹣2(x+1)﹣ ． （2）当x=5时，y=﹣2(x+1)﹣ =﹣2×(5+1)﹣ =﹣12 ，答：当x=5时，y的值是﹣12 ． 【点睛】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等知识点的理解 和掌握，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． k 【变式】已知：反比例函数y  的图象过点A（-3，-2）； x （1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值． 6 【答案】（1）y  ；（2） x m6 【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）反点B（1，m）代入已求得的反比例函数的解析式中，即可求得m的值． k 6 k 【解析】（1） 把A（-3，-2）代入y  得，2 ，解得k =6，∴反比例函数的表达式为y  ； x 3 x 6 6 6 （2）由（1）知，反比例函数的表达式为y  ，把B（1，m）代入y  得m ∴ ． x x 1 m6 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确的理解题意是解题的关键． 知识点三、反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比 例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比例函 数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以两个分支都无限接近但永远不 能达到 轴和 轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序 连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐 标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增 大而减小； （2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增大 而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数 的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出 的符号. 【例3】关于反比例函数y＝﹣ ，下列说法不正确的是（ ） A．函数图象分别位于第二、四象限 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象经过点（﹣6，﹣2） D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断． 【解析】解：反比例函数y＝﹣ ，k＝12＜0， A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确； B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确； C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确； D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两 支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第 四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【变式1】在双曲线 的任一分支上， 都随 的增大而增大，则下列说法错误的是（ ） A． 的值有可能为 B．图象位于第二、四象限 C．若图象过点 ，也必过点 D．图象与 轴只有一个交点 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．【解析】∵在双曲线 的任一分支上， 随 的增大而增大， ∴1-k＜0，解得：k＞1，∴ 的值有可能为 ，∴A不符合题意， ∵在双曲线 的任一分支上， 都随 的增大而增大，∴图象位于第二、四象限，∴B不符合题意， ∵双曲线关于原点对称，∴若图象过点 ，也必过点 ，∴C不符合题意， ∵双曲线与 轴没有交点，∴D符合题意．故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 【变式2】若点 是反比例函数 图象上一点，则下列说法正确的是（ ） A．图象位于二、四象限 B．当 时， 随 的增大而减小 C．点 在函数图象上 D．当 时， 【答案】B 【分析】先根据点A（3、4）是反比例函数y= 图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的 特点对四个选项进行逐一分析． 【解析】∵点A（3，4）是反比例函数y= 图象上一点， ∴k=xy=3×4=12，∴此反比例函数的解析式为y= ， A、因为k=12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误； B、因为k=12＞0，所以在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确； C、因为2×（-6）=-12≠12，所以点（2、-6）不在此函数的图象上，故本选项错误； D、当y≤4时，即y= ≤4，解得x＜0或x≥3，故本选项错误．故选：B． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键． 【变式3】已知 与y=x-3相交于点 ，则 的值为__________． 【答案】-3 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出 ， ，进 而可得出 ， ，再将其代入 中即可求出结论． 【解析】∵ 与 相交于点 ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ．故答案为：-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及分式的 加减法，利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，找出 ， 是解题的关键． 【变式4】一次函数y=ax+b与反比例函数 ，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图 象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置． 【解析】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0， ∴a−b>0，∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，所以此选项不正确； B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0， ∴反比例函数y= 的图象过二、四象限，所以此选项不正确； C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0， ∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，所以此选项正确； D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0， 满足ab>0，与已知相矛盾 所以此选项不正确；故选C. 【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小 知识点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|； △ABC △ACO2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于 A、B 两点，且一次函数与 x 轴交于点 C，则 S =S +S = + = ； △AOB △AOC △BOC 3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长 线与x轴的交点，则S =S –S = – = ． △AOB △AOC △BOC 【例4】如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边AB交x轴于点C， 交反比例函数图像于点P，且点P是AC 的中点，已知图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式 是（ ） 2 2 4 4 2 8 A．y  B．y  C．y  D．y  x x x x 【答案】B 【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形OCAD的面积是8，设 ，则 ，根据 ，可得 ，再根据反比例函数系数 的几何意义即可求出该反比例函数的表 达式． 【解析】∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中 阴影部分的面积为8，∴矩形 的面积是8，设 ，则 ， ∵点P是AC的中点，∴ ，设反比例函数的解析式为 ， ∵反比例函数图象于点P，∴ ，∴反比例函数的解析式为 ．故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数 的几何意义，得出矩形 的面积是8是解题的关键． 【变式1】如图，点 P 是反比例函数 y =6/x的图象上的任意一点，过点 P分别作两坐标轴的垂线，与坐标 轴构成矩形 OAPB，点 D 是矩形OAPB 内任意一点，连接 DA、DB、DP、DO，则图中阴影 部分的面积 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 6 【解析】P是反比例函数 的图象的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，∴与坐标轴构成矩形OAPB的 x 1 面积=6．∴阴影部分的面积= ×矩形OAPB的面积=3． 2 考点：反比例函数系数k的几何意义 2 6 【变式2】如图，点 在双曲线y  上，点 在双曲线y  上，点 、 在 轴上，若四边形 A x B x C D x ABCD 是矩形，则它的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S=|k|进行计 算． 【解析】如图所示：延长BA交 y 轴于E，则BE⊥y轴， 2 点 在双曲线y  上， 四边形 的面积为2，  A x  AEOD 6 点 在双曲线线y  上，且AB//x轴， 四边形 的面积为6，  B x  BEOC矩形ABCD的面积为6-2=4．故选：C． 【点睛】考查了反比例函数中k的几何意义和数形结合的思想，解题关键是理解k的几何意义：过双曲线上 任意一点引x轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y 2x8上，且点P的横坐标是 2，过点 分别向 轴、 轴作垂线，交反比例函数 的图象于点 、点 ，则四边形 的面积是 （ ） A．4 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据反比例函数“k”的几何意义得到 和 的面积，根据一次函数解析式求出P点坐 标得到矩形OCPD的面积，再用割补法求出四边形OAPB的面积． 【解析】解：如图，PA x轴于点C，PD y轴于点D， 当 时， ，即点 ， ， 点 、点 在反比例函数 的图象上， ， ．故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数“k”的几何意义，解题的关键是利用反比例函数的性质求出三角形的面积再 利用割补法求四边形面积． 【变式4】如图，直线 交双曲线 于 、 ，交 轴于点 为线段 的中点，过点 作 轴于 ，连结 .若 ，则 的值为__________．【答案】 【分析】过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，得到BM是△AHC的中位线，进而得到AH=2BM，再由 △AOH面积等于△OBM面积得到OH=HM=MC，进而得到△OAC的面积为 ，由此即可求解． 【解析】解：过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，如下图所示， 由B是线段AC的中点知，BM是△AHC的中位线，∴MH=MC，AH=2BM， 又S = ×OM×BM= k，S = ×OH×AH= k，由AH=2BM得到OH= OM， OBM OAH △ △ 由此H、M将线段OC平分成三份，∴ ， 解得：k=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图像及性质，反比例函数中k的几何意义等，熟练掌握反比例函数的图形性质 是解决本题的关键． 【变式5】如图，在反比例函数的图象 （x＞0）上，有点P，P，P，P，…，点P 横坐标为2，且 1 2 3 4 1 后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P，P，P，P，…分别作x轴，y轴的垂线， 1 2 3 4 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S，S，S，…则S+S+S+…+S＝_____． 1 2 3 1 2 3 n 【答案】4﹣ 【解析】【分析】易求得P 的坐标得到矩形PEOB的面积；而把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和 1 1 就等于矩形PACB的面积，即可得到答案． 1 【分析】解：如图，过点P、点P 作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P 作x轴的垂线段，垂足 1 n 1 是点E，PE交CP 于点A， 1 n 则点A的纵坐标等于点P 的纵坐标等于 ，AC＝2，AE＝ ， n 故S+S+S+…+S＝S ﹣S ＝2× ﹣2× ＝4﹣ ．故答案为4﹣ ． 1 2 3 n 矩形P1EOB 矩形AEOC 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上任何一点到坐标轴的垂线段及坐标轴所组成的矩形面积相等的知 识；通过分析图像得出：把所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形PACB的面积， 1 是解题的关键所在． 知识点五、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问 题. 2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表 示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【例5】小芳从家骑自行车去学校，所需时间 y (min)与骑车速度x(m/min)之间的反比例函数关系如图． (1)小芳家与学校之间的距离是多少？(2)写出 y 与x的函数表达式；(3)若小芳7点20分从家出发，预计到 校时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？ 1400 【答案】(1)1400 ；(2)y  ；(3)小芳的骑车速度至少为 ． m x 175m/min 【分析】（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标得出小芳家与学校之间的距离； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式；（3）利用y=8进而得出骑车的速度．【解析】 (1)小芳家与学校之间的距离是：101401400(m)； k (2)设y  ，当 时， ，解得： ， x x140 y 10 k 1400 1400 故 与 的函数表达式为：y  ； y x x (3)当 y 8 时，x175， k 0，在第一象限内 y 随x的增大而减小， 小芳的骑车速度至少为175m/min． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【变式】学校的学生专用智能饮水机里水的温度 y （℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的 温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降， 当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列 问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段 y 与x之间的函数表达式； （2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分 钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少 位同学可以盛到最佳温度的水？ 80 900 【答案】（1）y  x20（0≤x≤9）；y  （9≤x≤45）；（2）可盛到最佳温度水的同学有120 9 x 人． 【分析】（1）设线段AB的函数表达式为：ykxb（0≤x≤9）将A(0,20)，B(9,100)代入解析式中即 a 可求出结论，然后设双曲线 的函数表达式为：y  ，将 代入即可求出结论； BC x B(9,100) 900 （2）如图，依题意得： ， ， 在y  上，代入求出m和n的值即可求出结论． (t,20) (m,30) (n,45) x 【解析】解：（1）设线段AB的函数表达式为：ykxb（0≤x≤9）  80 k  ∵ ， 在 上∴b20 ，解得： 9  A(0,20) B(9,100) ykxb 9kb100  b20 80 ∴线段 的函数表达式为：y  x20（0≤x≤9） AB 9 a 设双曲线 的函数表达式为：y  ，将 代入，得∴ BC x B(9,100) a 900900 ∴双曲线 的函数表达式为y  BC x 900 当y=20时，解得x=45∴双曲线 的函数表达式为y  （9≤x≤45） BC x 900 （2）如图，依题意得： ， ， 在y  上 (t,20) (m,30) (n,45) x ∴t 45，m3045，n2045 ∴可以盛到最佳温度水的同学有：12(3020)120人． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的应用，掌握实际意义、利用待定系数法求一次函数解析式和 反比例函数解析式是解决此题的关键． 知识点六、反比例函数在其他学科中的应用 1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【例6】．（2023•小店区校级模拟）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的 两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即 F ×L ＝F ×L ．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都 1 1 2 2 不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【分析】根据F ×L ＝F ×L 以及铁架台左侧钩码的个数与位置都不变即可得到结论． 1 1 2 2 【解答】解：∵保证杠杆水平平衡的条件， ∴F ×L ＝F ×L ， 1 1 2 2 ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变， ∴F ×L 为常数， 1 1 ∴右侧力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数关系， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 【变式1】．（2023•桥西区二模）厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，其图象经过A（4，30），B（2，b）两点（如图），则下列说法错误的是 （ ） A．y与S之间满足的函数关系式为 B．点B的坐标为（2，60） C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2 D．若面条的横截面面积不超过0.8mm2，则面条的总长度不超过150m 【分析】确定反比例函数的解析式后分别确定各个选项的正误即可． 【解答】解：设y与x之间的函数表达式为：y＝ （S＞0）， 将（4，30）代入可得：k＝120， ∴y与S之间的函数表达式为：y＝ （S＞0），故A选项正确，不符合题意； 将S＝2代入y＝ 可得y＝60， 所以点B的坐标为（2，60）， 故B选项正确，不符合题意； 当y＝100时， ＝100， 解得：S＝1.2， ∴若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2，故C选项正确，不符合题意； 实际意义：当面条的横截面积为1.6mm2时，面条长度为80m； ∵厨师做出的面条横截面面积不超过0.8mm2， ∴y≥ ＝150， 故面条的总长度至少为150m，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解y与x代表的意义是解题关键． 【变式2】．（2023•恩施市模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且 过点（1.6，60）故P•V＝96；故当P≤144，可判断V≥ ． 【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝ ， ∵图象过点（1.6，60） ∴k＝96， 即P＝ 在第一象限内，P随V的增大而减小， ∴当P≤120时，V≥ ＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求 出函数解析式． 【变式3】．（2023•新华区校级模拟）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一 个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（ ） A．不小于 h B．不大于 h C．不小于 h D．不大于 h 【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可． 【解答】解：设函数解析式为T＝ ， ∵经过点（1，3）， ∴k＝1×3＝3， ∴函数解析式为T＝ ，当T≤2℃时，t≥ h， 故选：C． 【点评】考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象确定反比例函数的解析式，难度不大． 【变式4】．（2023•东海县一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制 电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流 I（A）与电阻R（ ）的关系图象，该图象经过点 P （880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） Ω A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是 C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25 【分析】设I与R的函数关系式是 ，利用待定系数法求出 ，然后求出当R ＝1000时， ，再由220＞0，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可． 【解答】解：设I与R的函数关系式是 ， ∵该图象经过点P（880，0.25）， ∴ ， ∴U＝220， ∴I与R的函数关系式是 ，故B不符合题意； 当R＝1000时， ， ∵220＞0， ∴I随R增大而减小， ∴当I＜0.25时，R＞880，当R＞1000时，I＜0.22，当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 【变式5】．（2023•大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x （m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5．下列说法中，错误的是（ ） A．y与x的函数关系式为y＝ （x＞0） B．y随x的增大而减小C．当远视眼镜的镜片焦距是0.2时，该镜片是500度 D．若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于0.25m 【分析】根据题意求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征 分别判断即可． 【解答】解：∵镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200 时，x＝0.5， ∴k＝0.5×200＝100， ∴y与x的函数关系式为y＝ （x＞0）， 故A不符合题意； ∵k＝100＞0，x＞0， ∴y随着x增大而减小， 故B不符合题意； 当x＝0.2时，y＝ ＝500， 故C不符合题意； ∵一副远视眼镜的度数不大于400度，y随着x增大而减小， ∴焦距不小于0.25m， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是 解题的关键． 【变式6】．（2023秋•庐阳区校级期中）某蓄电池的电压为 48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与 电阻R（单位： ）的函数表达式为 ．当R＝6 时，I的值为 A． Ω Ω 【分析】直接将R＝6代入I＝ 中可得I的值． 【解答】解：当R＝6 时，I＝ ＝ ＝8（A）， Ω 故答案为：8． 【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键． 【变式7】．（2023秋•新城区校级期中）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字 的速度x（字/分）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：40，小明每分钟至少应录入多少个字？【分析】（1）利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）先求出录入时间不超过20分钟，再代入函数解析式即可求出每分钟至少应录入多少个字． 【解答】解：（1）设y＝ ， ∵图象过点（150，10）， ∴10＝ ， 解得k＝1500， ∴y与x之间的函数关系式为y＝ ； （2）在19：20开始录入，录入到19：40，共20分钟， 当y＝20时，20＝ ， 解得x＝75， 答：小明每分钟至少应录入75个字． 【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，理解题意，掌握待定系数法是 解题的关键． 【核心素养提升】 1. 数学建模-构建反比例函数模型解决实际问题 1．水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 售价 (元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120 销售量 (千克) 30 40 48 50 60 80 96 100 观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量 (千克)与销售价格 (元/千克)之间的 关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量 (千克)与销售价格 (元/千克)之间都满足这一关系． （1）写出这个反比例函数的解析式；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千 克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？ （3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时 需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才 能完成销售任务？ 【答案】（1） ；（2）20；（3）新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 【分析】（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=30和x=400代入求出相对应的x和y； （2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y， 即为所需要的天数；（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数 中即可求出x． 【解析】（1）设 ，∵当x=400时y=30，∴k=400×30=12000，∴函数解析式为 ． （2）2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600．即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克． 当 =150时， =80．1600÷80=20(天)． 答：余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出． （3）1600-80×15=400(千克)，设新确定的价格为每千克x元． ，解得：x≤60，答：新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 【点睛】考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是 确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 2. 数学建模-构建方程（组）模型求函数图象交点坐标 k 2．如图，点 在双曲线y (x0)上．（1）求双曲线的解析式；（2）若矩形 的 P( 51, 51) x ABCD k 顶点 C,D 在双曲线y x (x0)上，顶点 A,B 分别在 x 轴，y轴的正半轴上，且 AB2BC ，求点 C 的坐 标． 4 2 3 【答案】（1）y  ；（2）C( ,2 3) x 3 【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作 1 1 CF⊥OB于点F，易证得 CFB∽△BOA，得到C（ b， a+b），解得a的值，即可求出点C的坐标． 2 2 △ k    【解析】解：（1）∵点 在双曲线y (x0)上，∴k= 51 51 =4； P( 51, 51) x （2）过点D作DE  x轴于点E，过点C作CF  y轴于点F ，如图， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD,AD  BC,CBABAD 90，∴FBCOBA90， ∵CFB BOA90，∴FCBFBC 90，∴FCB OBA，∴CFB∽BOA， CF BF BC 1 1 1 又∵ ，∴    ，∴CF  OB,BF  OA， AB2BC OB OA AB 2 2 21 1 同理AE  OB,DE  OA，设A(a,0),B(0,b)， 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴ ，∴CF  AE  b,BF  DE  a，则D(a b, a),C( b, ab)， OAa,OB b 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 k ∵点 在双曲线y (x0)上，∴(a b)( a)( b)( ab)4， C,D x 2 2 2 2 4 3 2 3 ∵点 在 轴、 轴正半轴上，∴ab ，∴C( ,2 3)． A、B x y 3 3 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定 理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 3. 数形结合思想 3.如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于A（2，1），B（-1， ）两点．求反比例函数 和一次函数的解析式； 【答案】y= ，y=x-1； 【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B（-1，n） 代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． 【解析】解：（1）∵反比例函数y= 的图象过点A（2，1），∴m=2×1=2，∴反比例函数为y= ， ∵B（-1，n）在反比例函数y= 图象上，∴n= ，∴B（-1，-2）， 把A、B代入y=kx+b得 ，解得： ，∴一次函数的解析式为y=x-1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图 象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． 4. 分类讨论思想 4.如图，函数 的图象过点 和 两点 （1）求 和 的值；（2）将直线 沿 轴向左移动得直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，交 于点 ，若 ，求直线 的解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）n=4，k=8；（2） ；（3）存在点 ， 点的坐标为 或 或 ． 【分析】（1）把 、 点坐标代入反比例函数解析式列出 、 的方程组便可求得 、 的值； （2）由 点坐标求得直线 的解析式，设 ，过 作 轴与 交于点 ，根据 ， 列出 的方程求得 点坐标，由平移性质设直线 的解析式，再代入 点坐标便可求得结果； （3）先求出 、 的坐标，再分三种情况：①当 ， 时，②当 ， 时，③当 ， 时，分别构造全等三角形求得 点坐标便可． 【解析】解：（1） 函数 的图象过点 和 ， 两点． ，解得， ； （2）由（1）知， ， 设直线 的解析式为 ，则 ， ， 直线 的解析式为： ， 由（1）知反比例函数的解析式为： ， 设 ，过 作 轴与 交于点 ，如图1， 则 ， ， ， ， 解得， （舍 ，或 ， ，将直线 沿 轴向左移动得直线 ， 设直线 的解析式为： ， 把 代入 中，得 ，解得， ， 直线 的解析式为： ； （3）令 ，得 ，令 ，得 ，解得 ， ， ， ①当 ， 时，如图2，过 作 轴于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当 ， 时，如图3，过 作 轴于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③当 ， 时，如图4，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 为正方形， ，即 ， ， ， ； 综上，第二象限内存在点 ，使得 为等腰直角三角形，其 点的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积， 平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和 分情况讨论． 5.如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴y轴上，顶点B在第一象限，AB=6，点E，F分别在AB和 射线OB上运动（E，F不与正方形的顶点重合）， ，设BE=t。（1）当 时，则 AE=____________；BF=________________；（2）当点F在线段OB上运动时，若 的面积为 ，求t 的值（3）在整个运动的过程中①平面上是否存在点P，使得以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②若函数 （ ，a为常数）的图像同时经过E，F，直 接写出a的值． 【答案】（1）AB=4，BF= ；（2） ；见解析；（3）① 或4或 ；见解析； ②-4． 【分析】（1）由题意可直接得出答案；（2）由题意易得 EB=t，BF= ，进而得到 ， 然后求解即可；（3）①根据题意易得OF、EF、EO的长，要使以P，O，E，F为顶点的四边形是菱形，故而 有三种情况：一是OF= EF，二是EF = OE，三是OF= OE，然后分别求解即可； ②根据题意易得E、F点的坐标，然后代入解析式求解即可． 【解析】（1）AB=4，BF= ． （2）由题意，得 EB=t，BF= 由面积得 解得 （3）① 由已知得： (Ⅰ)OF= EF 则有 解得 (Ⅱ) EF = OE 则有 解得t=4， (Ⅲ) OF= OE 则有 解得② 由题意及图像可得： ，设BE=t，四边形OABC是正方形，AB=6， ，AE=6-t， 同时经过点E、F， ，解得 ．故答案为-4． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的性质及函数，关键是能灵活利用数形结合思想及分类讨论思想 进行分析问题，所以这题难度还是较大的． 【中考聚焦】 热点1.反比例函数的解析式、图象和性质 1．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1）， ∴直线经过点（1，0），A、C不合题意； B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾， 不合题意； D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，一致， 符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点 是注意系数k的取值．2．（2023•武汉）关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1 【分析】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案． 【解答】解：反比例函数 ，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误； 反比例函数 ，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确； 反比例函数 图象经过点（a，a+2）， ∴a（a+2）＝3， 解得a＝1或a＝﹣3， 故D选项错误， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2023•甘孜州）若反比例函数 的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【分析】根据反比例函数的图形与比例系数k的关系即可解决问题． 【解答】解：因为当k＞0时，反比例函数 位于第一、三象限， 当k＜0时，反比例函数 位于第二、四象限， 所以k的取值范围是：k＞0． 故答案为：k＞0． 【点评】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数图象所位于的象限与k的关系是解题的关键． 4．（2023•青岛）反比例函数 y＝ 的图象经过点 A（m， ），则反比例函数的表达式为 ． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可． 【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ）， ∴ ＝m． ∴m＝8， ∴反比例函数解析式为：y＝ ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数m是解题的关键． 5．（2023•陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数 的表达式是 ． 【分析】根据矩形的性质得到 OC＝AB＝3，根据正方形的性质得到CD＝CF＝EF，设CD＝m，BC＝ 2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y＝ ，列方程即可得到结论． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC＝AB＝3， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CD＝CF＝EF， ∵BC＝2CD， ∴设CD＝m，BC＝2m， ∴B（3，2m），E（3+m，m）， 设反比例函数的表达式为y＝ ， ∴3×2m＝（3+m）•m， 解得m＝3或m＝0（不合题意舍去）， ∴B（3，6）， ∴k＝3×6＝18， ∴这个反比例函数的表达式是y＝ ， 故答案为：y＝ ． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y ＝ （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 6．（2023•绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y ＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）． 2 （1）求反比例函数的解析式；当y ＞y 时，根据图象直接写出x的取值范围； 1 2 （2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范 围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将A点坐标代入反比例函数解析式得， k＝1×2＝2， 所以反比例函数的解析式为 ． 由函数图象可知， 在直线x＝0和x＝1之间的部分及直线x＝2右侧的部分， 反比例函数y 的图象在一次函数y 的图象的上方， 1 2 即y ＞y ． 1 2 所以x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2． （2）将x＝2代入反比例函数解析式得， y＝1， 所以点C的坐标为（2，1）． 则OC＝ ． 当OC＝OM时， OM＝ ，