文档内容
清单 08 锐角三角函数（8 个考点梳理+题型解读
+核心素养提升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线
来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其
大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在 中， ，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ， ， 的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半，即 ，可得 ，则 ，即可判断B
选项，根据A选项可得 ，即 ，即可判断C，根据 ，可得
, ，即可判断D选项．
【详解】解： ， ，
故A选项正确，不符合题意；
CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
，
故B选项不正确，符合题意；
，即 ，
故C选项正确，不符合题意；
，即 ,
又
故D选项正确，不符合题意．
故选B．【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图
中相等的角是解题的关键．
【变式1】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，CD是Rt ABC斜边AB上的高，∠ACB
＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将求sinB的值转化为求sin∠ACD的值，然后根据角的正弦值与三角形边的关系，求角的正弦值．
【详解】解：∵CD是Rt ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°
∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°
△
∴∠B＝∠ACD．
∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．
故选：A．
【点睛】本题利用了锐角三角函数的概念和在直角三角形中，同角的余角相等而求解．
【变式2】．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C
都在格点上，以 为直径的圆经过点C，D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知， ，然后在 中，根据锐角三角函数的定义
求出 的正弦值．
【详解】解：如图，连接 、 ．
和 所对的弧长都是 ，
根据圆周角定理的推论知， ．在 中，根据锐角三角函数的定义知，
，
， ，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键
是利用圆周角定理的推论把求 的正弦值转化成求 的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
考点二、特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【例2】（2022·广西·平果市教研室九年级期末）计算： ．
【答案】
【分析】分别计算负指数幂、三角函数值、根式化简、去绝对值，然后计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=
【点睛】本题考查了与负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式化简、绝对值化简相关的实数混合运算，熟
练掌握相关知识并正确运算是解题关键．
【变式1】（2022·四川乐山·九年级期末）在 中，若 ， ， 都是锐
角，则 是______三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断 的形状．【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴ 是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角
函数值．
【变式2】（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）计算：
【答案】-3
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负指数幂运算法则进行计算，再合并即可．
【详解】解：原式=
=
=
=-3
【点睛】本题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负指数幂，解决本题的关键
是熟练掌握相关实数运算的法则．
考点三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知
元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，延长等腰 斜边 到 ，使 ，连接 ，
则 的值为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得 ，由等腰直角三
角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得 ，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，
BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得 ．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴ ，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°， ，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE= ，BE= ，
∴CE=BC+BE=3a，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关
键．
【变式】（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，把一个量角器与一块30°（ ）角的三角板拼在
一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有点P恰好是量角器的半圆弧中点，连结CP．
若BC＝4，则CP的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，记CP与AB的交点为H，过H作 于I，作 于J， 在量角器所在的半圆Q
上，而P为 的中点，可得 设 则 求解
可得CH，同理可得PH，从而可得答案．
【详解】解：如图，记CP与AB的交点为H，过H作 于I，作 于J，
∵ 为半圆的直径，
∴ 在量角器所在的半圆Q上，而P为 的中点，
∴
∵
∴
设 则
∴
解得：
∴
同理可得：
∴
同理可得：
而
∴
∴故答案为： C
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，圆周角定理的应用，解直角三角形，理解题意，证明 在量角
器所在的半圆Q上是解本题的关键．
考点四、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【例4】（2022·江苏淮安·九年级期末）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC
与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得
路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．
【答案】灯杆AB的长度为2.8米．
【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x知EF
＝AF＝x、DF＝ ＝ ，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF−GF＝1.4，再求得∠ABG＝
∠ABC−∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．
【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．
由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．
设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝ ，
∴DF＝ ＝ ＝ ，
∵DE＝13.3，
∴x+ ＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三
角函数的定义及其应用能力．
【变式1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，小明同学在民族广场 处放风筝，风筝位于 处，风筝线
长为100m，从 处看风筝的仰角为30°，小明的父母从 处看风筝的仰角为50°．求 、 相距多少米？
（参考数据： ， ， ， ，结果精确到0.1m）
【答案】
【分析】如图，过 作 于 ， ，在 中， ，求
出 的值，在 中， ，求出 的值，然后根据 计算
求解即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．即A、C相距约 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据三角函数值求 的值．
【变式2】（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图：
聪聪的做法：
第一步：他在地面上B点处测得大树顶端的仰角为35°，
第二步：他继续向大树方向走8m到达D点时，又测得遮挡物E点的仰角为60°，（已知A、E、M三点共线，
聪聪的眼睛距地面的高度保持不变且为1.6m，遮挡物EF与大树MN的距离FN=6m，EF⊥BN，MN⊥BN，
（B，D，F，N在同一水平线上）．
第三步：计算出大树的高MN．
请你根据聪聪做法，计算出大树大概有多高？（结果精确到1m）．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】15m
【分析】延长AC交EF于P，交MN于Q，则QN=AB=1.6m，PQ=FN=6m，由锐角三角函数的定义求得
，设CP=xm，则 ，再由锐角三角函数得到 ，解得x=5.6，求得AQ，然后由
锐角三角函数定义求出 的长即可求解．
【详解】解：延长AC交EF于P，交MN于Q，如图所示：
则QN=AB=1.6m，PQ=FN=6m，
在Rt ECP中，∠ECP=60°， ，
△
∴ ，
设CP=xm，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得：x=5.6，
∴AQ=19.6m，
∵ ，∴ ，
∴ ，
答：大树的高MN约为15m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题及锐角三角函数定义，正确地作出辅助线构造直角
三角形求解是解题的关键．
考点五、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【例5】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是 ，前进20
米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是 ，继续沿着坡比为 的斜坡BC上升到C处，
此时又测得旗杆顶端N点的仰角是 ，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM//AD，
求旗杆MN的高度．
【答案】MN 米
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，先证CN＝CB，令CM＝x米，则CN＝CB＝2x米，MN 米，再由
锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，
∵CM∥AD，∠D＝90°，
∴∠CMN＝∠D＝90°，
∵∠NCM＝60°，
∴∠CNM＝90°﹣∠NCM＝30°，
∴CN＝2CM，
又∵∠NBD＝45°，∠D＝90°，
∴∠BND＝90°﹣∠NBD＝45°，∴∠BNC＝15°，
∵BC的坡比为 CE：BE，
∴tan∠CBE ，
∴∠CBE＝30°，
∴∠CBN＝15°＝∠BNC，
∴CN＝CB，
令CM＝x米，则CN＝CB＝2x米，MN 米，
又∵ ，
∴CE CB＝x（米），BE （米），
∴ND＝MN+MD＝MN+CE＝（ 1）x（米），
∵AB＝20米，
∴AD＝AB+BE+ED＝AB+BE+CM＝[20+（1 ）x]（米），
又∵∠A＝30°，
∴ ，
即 ，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴MN 米，
答：旗杆MN的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和坡度
坡角的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式1】（2022·安徽·蚌埠市新城区实验学校九年级期末）如图，旗杆 竖立在斜坡 的顶端，斜坡
长为65米，坡度为 ．小明从与点 相距115米的点 处向上爬12米到达建筑物 的顶端点 ．在
此测得旗杆顶端点 的仰角为39°，求旗杆的高度 ．（参考数据： ， ，
）【答案】24.9
【分析】过点B作CD的垂线，设垂足为F，再过点E作EG⊥BF，垂足为G，依题意分别求出线段BF、
CF、DF、AG的长度，即可求得旗杆的高度AB．
【详解】解：过点B作CD的垂线，设垂足为F，再过点E作EG⊥BF，垂足为G，如图，
∵斜坡CB长为65米，坡度为i＝ ，
设BF=12x，则CF=5x，
∴ ，
解得x=5，
∴BF=60，CF=25，
∵DC=115，
∴EG=DF=115-25=90，
在 中， ，
∴AG= ，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9，
答：旗杆的高度AB为24.9米．
【点睛】本题考查了坡度的定义，锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是准确作出辅助线，
构造直角三角形．
【变式2】（2022·山东威海·九年级期末）某风景管理区，为提高旅游安全性，决定将到达景点步行台阶的
倾角由45°改为30°，已知原台阶坡面AB长为5m（BC所在地面为水平面），调整后的台阶坡面为AD．求：
(1)调整后的台阶坡面会加长多少？
(2)调整后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据： ， ）
【答案】(1)2.1m(2)2.6m
【分析】（1）先解直角 ABC求出AC的长，再解直角△ADC求出AD的长即可得到答案；
（2）分别解直角三角形求出CD，BC的长即可得到答案．
△
（1）解：由题意得，∠ABC=45°，∠ACB=90°，∠ADC=30°，∴在Rt△ABC中，
．∴在Rt△ADC中， ．∴ ，答：
调整后的台阶坡面会加长2.1m；
（2）解：在Rt△ADC中， ，在Rt△ABC中，
∴ ．答：调整后的台阶多占水平地面2.6m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
考点六、方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【例6】（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图， 是湿地公园里的一条环形跑道，
B在A的正南方．一天，李老师从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以每
分钟80米的速度，沿AB方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东
75°方向．（A，B，C在同一平面内，参考数据： ， ）
(1)求BC的长；（结果保留整数）
(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB段继续向正南方向延伸至D处，
再将DC连接起来组成新的环形跑道．若在D处测得C在D的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每
米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．
【答案】(1)跑道BC的长为1697米
(2)此次改建费用足够，理由见解析
【分析】（1）作 构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．
（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即
可．【详解】（1）由题意得： ， ， 米
过点B作 于点 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （米）
答：跑道BC的长为1697米．
（2）如图，过点B作 于点G，
∴ ，
∵ ，
∴
∴在 中， ，
∴
∴ ， ．
在 中， ，
∴ ， ，
∴总道路长为 ．
∴总共花费： ．
答：此次改建费用足够．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．
【变式】（2022·安徽合肥·九年级期末）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古
树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知
D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50 米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：
≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)
【答案】62.9米
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形
即可得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE=CF，CE=BF，
∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF= AC=50，
∵∠CBF=63.5°，
∴ （米），
∵CD∥AB，
∴∠D=53°，
∵∠BED=90°，
∴ （米），∴CD=CE+DE=62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
考点七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，
或通过公共边相等，列方程求解.
【例7】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在 处测得点 在北偏东 方向上，在 处测得点
在北偏东 方向上，若 米，则点 到直线 距离 为（ ）．
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】设点 到直线 距离 为 米，根据正切的定义用 表示出 、 ，根据题意列出方程，解
方程即可．
【详解】解：设点 到直线 距离 为 米，
在 中， ，
在 中， ，
由题意得， ，
解得， （米 ，
故选： ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
【变式】．（2021春·浙江杭州·九年级期末）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的
测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CO为900m，且点O，A，B在
同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______．（结果保留根号）【答案】（900﹣300 ）米
【分析】根据平行线的性质可得∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°，然后根据锐角三角函数求出AO和
OB，即可求出结论．
【详解】解：由于CD∥OB，
∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°
在Rt ACO中，∠CAO＝60°
∴AO＝ ＝300 米，
在Rt OCB，∠B＝45°
∴OB＝ =900（米）．
∴AB＝OB﹣OA
＝（900﹣300 ）（米）
故答案为：（900﹣300 ）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是利用锐角
三角函数求出AO和OB．
考点八、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例8】（2021·浙江·九年级期末）定义：三角形内部有一小三角形与原三角形相似，其中小三角形的三个
顶点在原三角形的三边上（顶点可重合），则称这两个三角形是星相似三角形例如：如图1， 中，
， 和 是星相似三角形．如图2， 是 的中点，以 为直径画圆，交
， 于点 ， ， ．
（1）①若 ，求 的长．
②设 ， ，试写出 与 的函数关系式．
（2）若 ，则 与哪个三角形星相似，并证明．
（3）在（2）的条件下，求 的长．【答案】（1）① ；② ；（2）△CEG与△FEC星相似，证明见解析；（3）
．
【分析】（1）①利用勾股定理和等面积法即可求得CE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
CD，在利用勾股定理即可求得DE；
②证明△FOG∽△EDG，可得 ，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得 与 的函数关系式；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角可得∠BCE=∠CGE，从而可证明
△FEC∽△CEG，即△CEG与△FEC星相似；
（3）可利用三角形外角的性质证明∠GCE=∠GDE，从而可得EC=ED=m，从而可得 ， ，
解直角三角形即可得出 ．
【详解】解：（1）①在Rt△ABC中， ， ，
∴ ，
∵D为AB的中点，
∴ ，
∵ ，
在Rt△ABC中， ，
即 ，解得 ，
∴ ；
②连接OF，∵OF=OC，
∴∠DCB=∠OFC，
由①可得BD=CD，
∴∠DCB=∠B，
∴∠OFC=∠B，
∴△FOG∽△EDG，
∴ ，
∵CB=x，
∴ ， ，
，
，即 ，解得 ，
，
∴ ；
（2）△CEG与△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,
又∵O为CD的中点，
∴OF为△CBD的中位线，F为BC的中点，
∵∠CEB=180°-∠CEA=90°,
∴ ,
∴∠BCE=∠FEC，
∵CG=CE，
∴∠CGE=∠FEC，
∴∠BCE=∠CGE，
∵∠FEC=∠FEC，
∴△FEC∽△CEG，
∴△CEG与△FEC星相似；
（3）∵CD=BD，BF=EF，
∴∠B=∠FCD=∠DEG，
∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，
∴∠GCE=∠GDE，
∴EC=ED，设CE=m，则DE=m， ， ，
，即 ，解得 ．【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线和三角形
中位线定理等．熟练掌握相关定理，正确作出辅助线并能正确表示对应线段的长度是解题关键．
【变式】．（2022·江苏江苏·九年级期末）如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中
长为 ， 长为 ， ， ．
(1)点D到 的距离为_____ ；
(2)求点D到 的距离．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）过点D作 于F，则点D到 的距离为DF的长度，根据题意得到 ，设
，在 中， ，利用勾股定理即可求得答案；
（2）过点B作 于B，过点D作 于H，过点D作 于F，过点D作 于
G，则四边形DFBH是矩形，点D到 的距离是DG的长度，先证DF是BC的垂直平分线，又得 ，
可证四边形GHBF是正方形，即可得到 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定
理得出 ，在 中，再利用锐角三角函数得出 长度，即点D到 的距离．
（1）解：过点D作 于F 则点D到 的距离为DF的长度
设 在 中，
即点D到 的距离为6cm故答案为：6；
（2）过点B作 于B，过点D作 于H，过点D作 于F，过点D作 于G 则四边形DFBH是矩形，点D到 的距离是DG的长度由（1）得
DF是BC的垂直平分线
四边形GHBF是正方形 设 ，
则 在 中，
在 中，
所以，点D到 的距离为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、垂直平分
线的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【核心素养提升】
1.直观想象-通过画函数图象解决三角函数问题
1．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，一块含有 的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，
角的顶点A在反比例函数 的图象上，顶点B在反比例函数 的图象上，则k的值为 ．
【答案】
【分析】过 作 于点 ，过 作 于点 ，即可得证 ，再根据相似三角形的性
质得到 和利用特殊角的正切值得出 ，然后设点 的坐标为 ，继而根据反比例
函数图像上点的特征得到 ，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案．
【详解】解：过 作 于点 ，过 作 于点 ，如图：∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴设点 的坐标为 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
故答案是：
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，
能够求得 是解题的关键．
2．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中点 点 的坐标分别为 ，
，将三角形 沿着 折叠，点 落在点 处，求过点 的反比例函数表达式
．【答案】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，涉及对称变换，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，
设 交 于 ，过 作 轴于 ，求出 ， ，根据将三
角形 沿着 折叠，点 落在点 处，有 ， ，故 ，知
，而 ，可得 ，有 ，得 ，
，可求得 ， ，再用待定系数法可得答案．
【详解】解：设 交 于 ，过 作 轴于 ，如图：
， ，
， ，
， ，
将三角形 沿着 折叠，点 落在点 处，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得 ，
，
， ，
设过点 的反比例函数表达式为 ，则 ；
故答案为： ．
3．（2022上·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，把
沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．
(1)求点A、B、C、D的坐标；
(2)求 的余弦值．
【答案】(1) ； ； ； ；
(2) ．
【分析】（1）令 ，则 ，则点B的坐标为 ．令 ，则 ，则点A的坐标为 ．从而
， ，在 中，利用勾股定理得 ，由折叠可得 ，从而得
到点D的坐标为 ．根据由折叠得到 ，利用面积公式可得 ，
代入即可求出 ，所以点C的坐标为 ．
（2）在 中，利用勾股定理求得 ，从而 ，又由折叠可得 ，从而 ．
【详解】（1）当 时， ，
∴点B的坐标为 ；
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ；
∴ ，
∴在 中， ，
