文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期期末模拟卷 02
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．测试范围：人教版九年级上册+九年级下册。
4．难度系数：0.52。
第Ⅰ卷
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解： ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选： ．
2． 的值为A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得 的值．
【解答】解： ，
故选： ．
3．抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【分析】依据题意，由抛物线为 ，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意， 抛物线为 ，
顶点为 ．
故选： ．
4．反比例函数 的图象位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解： 反比例函数 中， ， ，
函数图象位于第一象限．
故选： ．
5．用配方法解一元二次方程 配方后得到的方程是
A． B． C． D．
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解： ，
移项得： ，配方得： ，
整理得： ，
故选： ．
6．如图，△ 与△ 、位似，位似中心为点 ， ，△ 的周长为18，则△
周长为
A．54 B．24 C．32 D．
【分析】先求出 ，再根据△ 与△ 位似得到 △ ，由相似三角形的性质即
可得到答案．
【解答】解： ，
，
△ 与△ 位似，
△ △ ，
△ 的周长：△ 的周长 ，
△ 的面积为18，
△ 的周长 ，
故选： ．
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷此骰子，朝上面的点数为奇数的概
率是
A． B． C． D．
【分析】骰子共有六个面，每个面朝上的机会是相等的，而奇数有1，3，5；根据概率公式即可计算．【解答】解： 骰子六个面中奇数为1，3，5，
（向上一面为奇数） ，
故选： ．
8．如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在
边上， 、 交于点 ．若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质可知， ， ， ， ，因为 ，所
以 ， ，由三角形内角和可得， ．所以 ．再由三
角形内角和定理可知， ．
【解答】解：由旋转的性质可知， ， ， ， ，
，
， ，
，
．
．
．
故选： ．9．如图， 是△ 的内切圆，与 ， ， 分别相切于点 ， ， ．若 的半径为 ，
， ， ，则△ 的面积为
A． B． C． D．
【分析】连接 、 、 、 、 、 ，由切线的性质得 ， ， ，而
， ， ， ，即可由 求得 ，于
是得到问题的答案．
【解答】解：连接 、 、 、 、 、 ，
是△ 的内切圆，与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
，
故选： ．
10．抛物线 ， ， 是常数， 经过 ， ， 三点，且 ．在下列四个
结论中：① ；② ；③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ，其正确结论的序号是
A．②③④ B．①④ C．②③ D．③④
【分析】①根据图象经过 ，得出 ，故可判断①；由 ，且抛物线与 轴的一个交点一定
在 或 的右侧，判断出抛物线的开口向下，即 ，再把 代入 得 ，
得出 ，再得出抛物线的对称轴在直线 的右侧，得出抛物线的顶点在点 或右侧，得出
，根据 ，利用不等式的性质即可得出 ，即可判断②正确；③先得出抛物线对
称轴在直线 的右侧，得出 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，根据 ，抛物线开口
向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出
△ ，把 代入 得 ，即 ，求出 ，根据根与系
数的关系得出 ，即 ，根据 ，得出 ，求出 的取值范围，即可判断④正确．
【解答】解：① 图象经过 ，
，
故①正确；
② ，
抛物线与 轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与 轴的交点 都在 的左侧，
中 ，
抛物线与 轴的一个交点一定在 或 的右侧，
抛物线的开口一定向下，即 ，把 代入 得： ，
即 ，
， ，
，
，
方程 的两个根的积大于0，
即 ，
，
，
，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
抛物线的顶点在点 的上方或者右上方，
，
，
，
故②错误；
③ ，
当 时， ，
抛物线对称轴在直线 的右侧，
到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
，抛物线开口向下，
距离抛物线越近的函数值越大，
，
故③错误；④方程 可变为 ，
方程有两个相等的实数解，
△ ．
把 代入 得 ，即 ，
，
即 ，
，
，
即 ，
， 在抛物线上，
， 为方程 的两个根，
，
，
，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论有：①④．
故选： ．
第Ⅱ卷
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．若用半径为 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．【分析】根据圆的周长公式计算即可．
【解答】解：由题意可知：圆锥的底面周长为 ，
则圆锥底面圆的半径为 ，
故答案为：5．
12．如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，则
．
【分析】先根据直角三角形的性质求出 的长，再由旋转的性质得出 ， ，根据勾股
定理即可得出结论．
【解答】解： 在 中， ， ， ，
，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到△ ，
， ，
．
故答案为： ．
13．如图，数学兴趣小组下午测得一根长为 的竹竿影长是 ，同一时刻测量树高时发现树的影子有
一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为 ，地面上的影长为 ，请你帮算一下，树
高是
．【分析】首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和
树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【解答】解：如图，设 是 在地面的影子，树高为 ，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 ，而 ，
，
树在地面的实际影子长是 ，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 ，
，
树高是 ．
故答案为：4.45．
14．在 中， ， ，以 为边作一个等边 ，则 的最大值是 ．
【分析】如图，在直线 的上方作等边三角形 ，连接 ．只要证明 ，推出
，推出点 的运动轨迹是以 为圆心 长为半径的圆，推出当 、 、 共线时， 的
值最大；从而求解．
【解答】解：如图，在直线 的上方作等边三角形 ，连接 ．
， 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，，
，
，
点 的运动轨迹是以 为圆心 长为半径的圆，
当 、 、 共线时， 的值最大，最大值为 ．
故答案为：5．
15．如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿 方向以每秒
的速度向终点 运动；同时，动点 从点 出发沿 方向以每秒 的速度向终点 运动．设点
运动的时间为 秒，当 是直角三角形时， 的值为 ．
【分析】先由勾股定理算出 的值，再分别用含 的式子表示出 、 、 及 ，然后分两种情况
判定△ 及△ ，之后利用相似三角形的性质列比例式计算：①当 时，
如图1；②当 时，如图2．【解答】解：在 中， ， ， ，
．
由题意可知点 运动时间 秒时， ， ，
， ，
当 是直角三角形时，有两种情况：
①当 时，如图
， ，
，
又 ，
△ ，
，
，
解得： ；
②当 时，如图， ，
，
又 ，
△ ，
，
，
解得： ．
故答案为： 或 ．
16．如图，抛物线 的开口向上，经过点 和 且与 轴交于负半轴．则下列结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的
序号）【分析】利用 时， 可对①进行判断；由抛物线开口方向得到 ，由抛物线的对称轴在 轴的
右侧得到 ，由抛物线与 轴相交于负半轴得到 ，则可对②进行判断；利用对称轴方程
得到 ，则可对③进行判断；利用二次函数经过点 和 得到 ，
，两式相加消去 可对④进行判断．
【解答】解： 抛物线经过点 ，即 时， ，
，所以①正确；
抛物线开口向上
，
抛物线的对称轴在 轴的右侧，
、 异号，即 ，
抛物线与 轴相交于负半轴，
，
，所以②错误；
，
而 ，
，
即 ，所以③错误；
二次函数经过点 和 ，， ，
，即 ，所以④正确；
故答案为：①④．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题8分，第20、21题每小题6分，第22、23
题每小题8分，，第24、25题每小题10分）
17．计算： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简的计算方法，分别进行计算，
然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】原式
．
18．已知：如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于点 ，过点 作 ，交
于点 ．
求证：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ， ，根据“两角对应相等的两个三角
形相似”即可得解；
（2）根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出 ，结合（1）根据相似三角形的对应边成
比例即可得解．
【解答】证明：（1） ， ，
， ，
；（2） ， ，
，
，
由（1）知， ，
，
．
19．为提高学生的法律意识，某中学开展了一系列的法律进校园活动，组织九年级全体学生进行了《法律
知识知多少》知识竞答，学校随机抽取 名学生的竞答成绩，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，
成绩划分为 ， ， ， ，四个等级，并制作出不完整的
统计图，如图所示．
已知： 等级数据（单位：分） 、80、81、82、85、86、86、87、88、89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）抽取的 名学生中，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中， 等级扇形圆心角的度数是 ；
（4）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次竞答，请你估计成绩能达到 等级及以上的学生人数．
【分析】（1）用 组的人数和所占的百分比求出 ，用 组的人数除以 求出 ；
（2）用总人数减去 、 、 组的人数求出 组的人数，补全统计图即可；
（3）根据 的值和各组的人数求出中位数，用 乘以 等级所占的百分比即可；
（4）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）学校随机抽取的学生数 ，，
．
故答案为：50，20；
（2） 组的人数： （人 ，
补全条形统计图如图：
（3）样本容量为50，第25和26个数据为85和86，
抽取的50名学生的成绩的中位数是 ，
，
即在扇形统计图中， 等级扇形圆心角的度数是 ．
故答案为：85.5， ；
（3） （人 ，
答：成绩能达到 等级及以上的学生人数约为1260名．
20．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥
龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个 125元，此
时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每
天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为 ，再由题意列出关于 的一元二次方程，解之取其正
值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个售价为 元，根据总利润 单件利润 销售数量，即可列出关于 的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为 ，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为 ．
（2）由题意，设每个售价为 元，
每天的利润
．
当 时，每天的最大利润为6125．
每个应降价 元，即每个应降价20元．
答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元．
21．如图，点 为正方形 边上的一点， 平分正方形的外角 ，将线段 绕点 顺时针旋
转，点 的对应点为点 ．
（1）当点 落在边 上且 时，求 的度数；
（2）当点 落在射线 上时，求证： ；
（3）在（2）的条件下，连接 并与 交于点 ，连接 ，探究 ， 与 之间的数量关系，
并说明理由．
【分析】（1）证明△ △ ，由全等三角形的性质得出 ，证出△ 为等
边三角形，由等边三角形的性质可得出答案；（2）在 上取点 ，使 ，作 垂直 于点 ，由勾股定理得出 ，
证出 ，证明△ △ ，由全等三角形的性质可得出 ，则可得出结论；
（3）过点 作 于点 ， 于点 ，证明△ 和△ 为等腰直角三角形，得出
， ，由勾股定理可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，连接 ，
线段 绕点 顺时针旋，当点 落在边 上，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
故△ 为等边三角形，
；
（2）证明：如图，在 上取点 ，使 ，作 垂直 于点 ，线段 绕点 顺时针旋，当点 落在边 上，
，
， ，
，
平分 ，
，
设 ， ， ，
在 △ 和 △ 中， ， ，
，
即 ，
整理得： ，
，
，
解得 ，
，
平分 ， ，
，
，
， ，
，在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
，
，
故 ．
（3）解： ．
理由如下：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
由（2）可知， ，
，
△ 和△ 为等腰直角三角形，
即 ， ，
， ，
，
四边形 为矩形，
，
在 △ 中， ．，
故 ．
22．如图1，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ．
（1）求反比例函数表达式．
（2）将线段 向右平移 个单位长度 ，得到对应线段 ，连接 ， ．
①如图2，当点 恰好落在反比例函数图象上时，过点 作 轴于点 ，交反比例函数图象于点 ，
求 的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 坐标代入直线解析式可求 的值，即可求解；
（2）①由平移的性质可得 ， ，可求点 坐标，点 坐标可求 ， 的长，即可求
解；
②分三种情况讨论，由平行四边形的性质可得等式，即可求解．
【解答】解：（1） 点 在直线 上，
，
，
，
；（2）①由（1）知， ，
当 时， ，
，
，
，
当 时， ，
， ，
，
；
②设点 ，
若 为对角线， 四边形 是平行四边形， ， ， ，
， ，
， ，
点 ；
若 为对角线， 四边形 是平行四边形， ， ， ，
， ，
， ，
点 ；
若 为对角线， 四边形 是平行四边形， ， ， ，
， ，， ，
点 ；
综上所述：点 的坐标为 或 或 ．
23．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度 ，
遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点 距离地面高度 ，遮阳棚与墙面的
夹角 ．如图3所示，靠墙放置一张圆桌，高度 ，直径 ，当太阳光线与
地面的夹角 时，请问桌子是否被晒到？（参考数据： ， ，
，
【分析】把所给的所有线段都整理到直角三角形或矩形中．在直角三角形 中，利用 的三角函数值
得到 、 的长，进而求得 的长，再根据 的三角函数值求得 的长，然后求得 的长，和桌
子的半径 比较后可得阳光能否照到桌子上．
【解答】解：作 于 ， 于 ，延长 交 于 ，则 ，
四边形 ，四边形 是矩形．．
在 中， ，
， ．
．
．
延长 交 于 ，交 于 ，可得矩形 和矩形 ．
， ．
．
在 中，由题意得： ，
．
．
，
桌子不会被晒到．
24． 是 上的一条不经过圆心的弦， ，在劣弧 和优弧 上分别有点 ， （不与 ，
重合），且 ，连接 ， ．
（1）如图1， 是直径， 交 于点 ， ，求 的度数；
（2）如图2，连接 ， ，过点 作 交 于点 ，求证： ；
（3）如图3，连接 ， ，试猜想 的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，
请说明理由．【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到： ；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性
质推知 ， ，易得 的度数；
（2）如图2，连接 ， ， ．利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知： ；根
据 等 腰 的 性 质 知 ； 结 合 的 内 角 和 定 理 得 到 ：
，即 ；
（3）设 ， ．
如图3，延长 至点 ，使 ，连接 ，作 于点 ．构造全等三角形：
△ ，则该全等三角形的对应边相等 ， ．由勾股定理知，
，代入化简即可得到该结论．
【解答】解：（1）如图1，
是 的直径，
．
，
．
，
，
；
（2）如图2，连接 ， ， ．，
．
又 ，
．
，
．
，
．
，
；
（3）如图3，延长 至点 ，使 ，连接 ，作 于点 ．
设 ， ．
四边形 是圆内接四边形，
．
，
．
，，
△ ，
， ．
于点 ．
．
，
．
化简得 ，
．
25．如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，点 的坐标是 ，
点 的坐标是 ， 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 为线段 上的一个动点，过点 作 轴于点 ， 点坐标为 ．
①在 上是否存在点 ，使 为直角三角形？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明
理由；
②连接 ，若 ，求 的值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①由于 ，不可能为直角，故分两种情况：当 时，当 时，分别求出点 的坐标即可；
②连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴
于 点 ， 交 于 点 ， 首 先 推 导 出 ， 利 用 推 导 出
，设 ， ，
从而得出 ，进一步求得 ，通过证明
，得到 ，代入得 ，解得 ．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，代入得：
，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）①在 上存在点 ，使 为直角三角形，理由如下：
，
，不可能为直角；
当 时，则 ，
轴，
，
解得： ，
， ；当 时，过点 作 轴于 ，如图1，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
解得： ， ，
，，
，
， ；
综上所述，当 为直角三角形时，点 的坐标为 ， 或 ， ；
②如图2，连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，交 于点 ．
在 中， ， ，
，
，
，
由（2）知 ，
，
由题意得 ， ，
，
由题意知，四边形 、四边形 都是矩形，，
， ，
，
，
，
，
，
．
