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清单 05 概率初步（9 个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中
考热点聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事
件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
1．（2022秋•耿马县期末）下列成语中，表示不可能事件的是（ ）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水滴石穿
【分析】直接利用不可能事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不合题意；
C、水涨船高，是必然事件，不合题意；D、水滴石穿，是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2022秋•开州区期末）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．经过交通信号灯的路口，遇到红灯
B．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后国徽面朝上
C．太阳从东方升起，西方落下
D．任意一个五边形的外角和等于540°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、经过交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；
B、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后国徽面朝上是随机事件，不符合题意；
C、太阳从东方升起，西方落下是必然事件，符合题意；
D、∵任意多边形外角和等于360°，
∴任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也
可能不发生的事件．解题的关键是熟练掌握各类事件的概念．
3．（2022秋•三台县期末）下列事件：①．在足球比赛中，中国男足战胜德国男足；②．有交通信号灯的
路口遇到红灯；③．连续两次抛掷一枚普通的正方体骰子得到的点数之和为 13；④．任取一数为x，使
它满足x3＝x2．其中随机事件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：①、在足球比赛中，中国男足战胜德国男足，是随机事件；
②、有交通信号灯的路口遇到红灯，是随机事件；
③、连续两次抛掷一枚普通的正方体骰子得到的点数之和为13，是不可能事件；
④、任取一数为x，使它满足x3＝x2，是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件．
考点二．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行
的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：
配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估
计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．4．（2022秋•阜宁县期末）一个可以自由转动的转盘如图所示，小明已经任意转动这个转盘两次，每次转
盘停止转动后指针都落在“蓝色”区域内．那么，从概率的角度分析，小明第三次转动这个转盘，转盘
停止时（ ）
A．转出的结果一定是“蓝色”
B．转出的结果为“蓝色”的可能性大于“红色”
C．转出的结果为“红色”的可能性大于“蓝色”
D．转出的结果为“蓝色”和“红色”的可能性一样大
【分析】根据阴影部分面积与转盘总面积之比就是转出的结果为“蓝色”的概率，空白部分面积与转盘
总面积之比就是转出的结果为“红色”的概率，进行比较即可．
【解答】解：∵转盘停止转动后指针都落在“红色”区域内的概率是 ＝ ，
转盘停止转动后指针都落在“蓝色”区域内的概率是 ＝ ，
∴小明第三次转动这个转盘，转盘停止时转出的结果为“蓝色”的可能性大于“红色”；
故选：B．
【点评】此考查了可能性大小，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的
可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝ ．
5．（2022秋•临海市期末）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经
过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大（ ）
A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定
【分析】根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案．
【解答】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，
所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，
遇到黄灯的可能性最小．
故选：A．
【点评】此题考查了可能性的大小，解决这类题目要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性
等于所求情况数与总情况数之比．
考点三．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就
叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解
什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
6．（2022秋•新乡期末）下列说法正确的是（ ）
A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B．某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C．“明天我市会下雨”是随机事件
D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
【分析】根据概率的定义进行判断．
【解答】解：A、若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B、某篮球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，但不能断定他罚球命中的概率一定为 50%，
故本选项错误；
C、明天我市会下雨是随机事件，故本选项正确；
D、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故该选项错误；
故选：C．
【点评】考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．
7．（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【分析】根据概率的意义，结合具体的问题情境综合进行判断即可．
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝
上的频率越稳定在 左右，因此，
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 ，这种说法是正确的，因此选项B不符合题
意；
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查频率与概率，理解概率的意义，掌握频率与概率的关系是正确判断的前提．
考点四．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝ ．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
8．（2022秋•巧家县期末）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多
市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖从A入口进E出口的概率是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图，即可得到答案．
【解答】解：该展览馆有A、B两个入口，C、D、E三个出口，且从每个入口进入和没个出口出去的可能
性是一样的，列树状图如下：
小颖从A入口进E出口的概率是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了用树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．
9．（2022秋•海淀区校级期末）假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，
且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经过调查，发现 A，B，C，D，E，F的接触情况如图所示．若
两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知A是确诊感染者，则从其余五人中随机抽
取一名，是次密切接触者的概率为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：由题意可知B，D，F为密切接触者，C、E为次密切接触者，
∴从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为 ．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，正确理解题意和利用概率公式是关键．
考点五．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域
g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）
成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随
机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度
量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
10．（2022秋•潼南区期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块
方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所
求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
11．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，点A、B分别是正方形地板砖两邻边的中点，一只蚂蚁在上面爬行，
蚂蚁停留在阴影部分的概率为 ．
【分析】直接利用已知表示出阴影部分面积，进而得出蚂蚁停留在阴影部分的概率．
【解答】解：如图所示，设正方形的边长为2x，
由题意可得，阴影部分的面积为：
正方形面积﹣S△BEF ﹣S△ABC ﹣S△ADE
＝＝ ，
故蚂蚁停留在阴影部分的概率为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是几何概率，解题关键是理解阴影部分在整体中的比例就是所求事件的概率．
考点六．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，
再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，
求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三
个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝
丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
12．（2022秋•高青县期末）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的
树状图，已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取
出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用题中的树状图找出一个红球和一个白球的结果数即可．
【解答】解：树状图为：
共有6种等可能的结果，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有2种．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
13．（2022秋•玉林期末）在一个不透明的袋子中有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外的形状、大小、
质地完全相同，现随机摸出1个球记下颜色，然后放回摇匀，又随机摸出1个球记下颜色，有下列说法：
①第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球；②第一次摸出黑球的概率是 ；③两次都摸到
黑球的概率是 ．则以上说法正确的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由题意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，可判断①的正误；第一次摸出
黑球的概率是 ，可判断②的正误；列举法求两次都摸到黑球的概率，可判断③的正确．
【解答】解：由题意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，正确，故①符合要求；
第一次摸出黑球的概率是 ，正确，故②符合要求；
列表如下：
黑 白 白
黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
白 （白，黑） （白，白） （白，白）
∴两次摸球共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球共有1种结果，
∴两次都摸到黑球的概率为 ，③错误，故③不符合要求；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，简单的概率求解，列举法求概率等知识．解题的关键在于对知识的熟练
掌握．
14．（2022秋•荥阳市校级期末）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，
A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，
如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同
时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种
情况，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点七．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝ ．
15．（2022秋•古冶区期末）艺术节上，甲、乙两名同学计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游
戏的方式在《月夜》与《云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数
字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出 1个小球，小球上的数字记
为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口
袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏
《月夜》，否则演奏《云之南》．
（1）用列表法或画树状图的方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
【分析】（1）利用列表法解答即可；
（2）利用计算概率的方法解答即可．
【解答】解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下：
1 2 3 4
1 1+1＝2 1+2＝3 1+3＝4 1+4＝5
2 2+1＝3 2+2＝4 2+3＝5 2+4＝6
从表中可以看出共有8种等可能；
（2）我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有8种等可能，其中和为奇数与和为偶数的等可能性各有4种，
所以P（和为奇数） ＝P（和为偶数） ，
∴这个游戏公平．
【点评】本题主要考查了列表法或树状图法，游戏的公平性，事件的概率，利用游戏规则正确列出表格
是解题的关键．
16．（2022秋•城关区校级期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每
一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜；若x，y满足xy＜6，则小
红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由概率公式即可求得小明获胜与小红获胜的概率，继而求得他们两人谁获胜的概率大．
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3 42 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
（2）不公平，理由如下：
从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，
其中满足xy＞6的结果有6个，满足xy＜6的结果有4个，
所以，P（小明胜）＝ ，P（小红胜）＝ ．
所以，此游戏小明获胜的概率更大，故不公平．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；
注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点八．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通
过统计频率来估计概率．
17．（2022秋•蒙自市期末）昆明是我国有名的花城，它四季如春，比较适合各种花卉的生长条件，成了养
殖花卉的名城，某林业部门为了考察某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，
得到如下的一组统计数据：
实验种子 100 500 1000 1500 2000 3000 4000
数量
（颗）
发芽种子 65 346 697 1051 1396 2101 2808
数量
（颗）
种子发芽 0.65 0.692 0.697 0.701 0.698 0.700 0.702
的频率
估计该种子在此条件下发芽的概率是（ ）（结果精确到0.1）
A．0.6 B．0.7 C．0.69 D．0.70
【分析】在大量重复试验下，利用频率估计概率即可解答．
【解答】解：∵随着种子数量的增多，其发芽的频率逐渐稳定在0.7左右，
∴估计该种子在此条件下发芽的概率是0.7，
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复试验下频率与概率的关系是解题关键．
18．（2022秋•南明区期末）圆周率 是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出 的小数部分超过
31.4万亿位．有学者发现，随着 小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
π π
从 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（ ）
π
π
A． B． C． D．【分析】从 的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，
利用概率公式求解即可．
π
【解答】解：∵随着 小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
∴从 的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，
π
π
∴P（数字是9）＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固
定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
考点九．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、
省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》
要求，只要设计出一个模拟试验即可．
19．（2022秋•江阳区期末）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面
朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估
计值．
【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．
故选：D．
【点评】考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟
试验的方法．
20．（2022秋•三河市校级期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 4个，
某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过
程，下表是试验进行中的统计数据．
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.01），该袋子中的黑球有 个；
（2）该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的
颜色不同的概率．
摸球的次数n 10 100 200 500 1000
摸到黑球的次 3 26 51 126 251
数m
摸到黑球的频 0.3 0.26 0.255 0.252 0.251
率
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，再利用频率求数量；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
该袋子中的黑球有4×0.25＝1，故答案为：0.25；1；
（2）解：树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是关
键．
【核心素养提升】
1.数学建模-抽象概率模型，解决实际问题
21．（2022秋•延边州期末）一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫，由于包装工人的疏
忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每一包中混入的M号衬衫数见下表：
M号衬衫数 0 1 4 5 7 9 10 11
包数 7 3 10 15 5 4 3 3
一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率：
（1）包中没有混入的M号衬衫；
（2）包中混入的M号衬衫数不超过7；
（3）包中混入的M号衬衫数超过10．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：（1）没有混入的M号衬衫的包数是7包，所以P（没有混入的M号衬衫）＝ ；
（2）混入的M号衬衫数不超过7的包数是40包，所以P（混入的M号衬衫数不超过7）＝ ；
（3）混入的M号衬衫数超过10的包数是3包，所以P（混入的M号衬衫数超过10）＝ ．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件
A的概率P（A）＝ ．根据概率公式分别计算即可．
22．（2022秋•丰南区校级期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字
1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张．计算
小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜．
（1）请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏对双方是否公平？请说明理由．
【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来即可；
（2）计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平．【解答】解：（1）列表如下：
小明 1 2 3
小亮
1 2+1＝3 3+1＝4
2 1+2＝3 3+2＝5
3 1+3＝4 2+3＝5
由上表可知，所有等可能的结果共有6种．
（2）∵共有6种等可能的情况数，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有2种，
P（和为奇数）＝ ＝ ，P（和为偶数）＝ ＝ ，
∵ ＞ ，
∴这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．
2.建立方程模型、求解概率问题
23．（2022秋•沈河区期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入 3
个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过
大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设红球的个数为x个，根据题意得：
∴ ＝0.15，
解得：x＝17，
经检验x＝17是原方程的解，
则红球的个数为17个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相
等是解决问题的关键．
24．（2022秋•邯郸期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 4个，某学习
小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下
表是试验进行中的统计数据．
摸球的次数n 10 100 200 500 1000
摸到黑球的次 3 26 51 126 251
数m
摸到黑球的频 0.3 0.26 0.255 0.252 0.251
率
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.01），该袋子中的黑球有 个；（2）该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的
颜色不同的概率．
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，根据概率公式可求得黑球的个数；
（2）根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
估计摸到黑球的概率为0.25，设黑球有a个，则 ，
解得：a＝1，
故答案为：0.25，1；
（2）树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为 ．
【点评】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．
【中考热点聚焦】
1.用列举法计算概率
1．（2023•常德）我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于 2023年6月4日回到地球家园，“神十
六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实
验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均
等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列出树状图，运用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：∴一共有6种等可能的情况，其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为 ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是
不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2023•河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第 41批向全国中小学生推荐优秀影
片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，
则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，再由概率公
式求解即可．
【解答】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2023•齐齐哈尔）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有 6种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是 ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步
以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
4．（2023•淄博）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养
老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好到一处的结果数，然后根据概率公式
求解．
【解答】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好到一处的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好到一处的概率＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
5．（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，
是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机
抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．【分析】画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有 2种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（2023•黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出
两个小球，恰好是一红一白的概率是 ．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，再由概率公式求解即
可．
【解答】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，
∴恰好是一红一白的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2023•甘孜州）一天晚上，小张帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小张只好把
杯盖和茶杯随机搭配在一起．则颜色搭配正确的概率是 ．
【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而
求出各自的概率即可．
【解答】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
所以颜色搭配正确的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝ ，掌握概率公式是解题的关键．
8．（2023•扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从 A、
B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择A景点的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
【分析】（1）由概率公式直接可得答案；
（2）先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
【解答】解：（1）甲选择A景点的概率为 ，
故答案为： ；
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是 ．
【点评】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于
所求情况数与总情况数之比．
9．（2023•陕西）从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗
匀．
（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随
机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数
字大的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，找出小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数
字大的情况数，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有四张扑克牌，分别是2，5，6，8，其中偶数有3张，
∴从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ．
故答案为： ；
（2）列表如下：
一共有16种等可能的情况，其中小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的有6种，
则小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所
求情况数与总情况数之比．
10．（2023•淮安）小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：
三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．
（1）小华选择C项目的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小华、小玲选择不同游玩项目的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【解答】解：（1）小华选择C项目的概率是 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，
∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题
的关键．
11．（2023•江西）为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要
求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【分析】（1）根据题意可知：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
∴甲、丁同学都被选为宣传员的概率为： ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求
出相应的概率．
12．（2023•青岛）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次
用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机
抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的
概率．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根
据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．13．（2023•湘潭）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个
社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任
意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用
列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【分析】（1）列举出所有的可能结果即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3种，再由概率公式求
解即可．
【解答】解：（1）所有的可能结果共有6种，分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2023•鞍山）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第
五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常
感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏
至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述
所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的
方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
15．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥
匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁
的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有 2种，再由概率
公式求解即可．
【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙，
∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb，
∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率＝所求情况数
与总情况数之比．
16．（2023•连云港）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”
的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为 ；
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
2. 概率与其他知识的综合应用
17．（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结
果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0＜x≤20 20
20＜x≤40 a
40＜x≤60 25
60＜x≤80 15
x＞80 10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中a＝ ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本
书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列
表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．【分析】（1）将40＜x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以20＜x≤40
组的百分比即可求出a的值；
（2）将60＜x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长
为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数；
（3）将x＞80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人
数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
