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九年级上学期期末【压轴 100 题考点专练】
一、单选题
1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，
点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东济南·九年级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为
△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东临沂·九年级期末）如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆
时针旋转 后得到△ ．若反比例函数 的图象恰好经过 的中点D，则点B的坐标是（ ）A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）
4．（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt OAB的直角顶点A在x轴上，
△
∠B＝30°，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象经过OB边上的点C和AB的中点D，连接AC．已
知S OAC＝4 ，则实数k的值为（ ）
△
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以
2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），
△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）A． B． C． D．
6．（2022·四川乐山·九年级期末）如图，正方形 中，E为 的中点， 于G， 延长交
于点F， 延长交 于点H，交 于N．下列结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中正确结论的个数有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．（2021·全国·九年级期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速
度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另
一个点也停止运动． 经过_________秒P、Q两点之间的距离是5cm．8．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知关于 的方程 有两个实根，并且这两个实
数根的平方和比两个根的积大21，则 ________．
9．（2020·浙江·九年级期末）如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：
如何将一张平行四边形纸片 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ．图中 ，
， ， 表示折痕，折后 的对应点分别是 ．若 ， ， ，则纸
片折叠时 的长应取________．
10．（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，已知抛物线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
点P为线段OA上一点，点Q为OB延长线上一点，PQ的中点M恰好落在线段AB上，点G为该抛物线第
二象限部分上一点，连接GQ，GM，将GM绕点M旋转 后得到MH，连接AH，已知 轴，
，则GQ的值为____．11．（2022·山东滨州·九年级期末）如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段
以点 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论：① 可以由 绕点 逆时针旋转60°
得到；②点 与 距离为4；③ ；④ ；⑤ ．其中
正确的结论是________．
12．（2022·河北·平山县教育局教研室九年级期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上
（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合），第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，
当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，
记为点H．依次操作下去．若第二次操作后，点H和点E重合，则BE的长为_____；若经过三次操作，得
到四边形EFGH，且AE＝1，则四边形EFGH的面积为_____．13．（2022·浙江·义乌市稠州中学九年级期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，往往不能沿直线行
走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，
对两点A（x，y）和B（x，y），定义两点间距离：d（A，B）＝|x﹣x|+|y﹣y|．如A（﹣2，1），B
1 1 2 2 1 2 1 2
（﹣1，﹣2），则d（A，B）＝|﹣2﹣（﹣1）|+|1﹣（﹣2）|＝4．
（1）函数y＝﹣2x+4的图像如图（1）所示，C是图像上一点，d（O，C）＝5，则点C的坐标是_____．
（2）某市要修建一条通往景观湖的道路（既不能破坏景观湖，也不在景观湖底钻隧道），如图（2），道
路以M为起点，先沿水平MN方向到某处．再在该处拐一次直角可沿直线到湖边某点P处，如图建立平面
直角坐标系xOy，圆心O（7，3），半径为 ，则修建道路距离d（M，P）的取值范围 _____．
14．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，在边长为 的正六边形 中，连接 ， ，其中点
， 分别为 和 上的动点，若以 ， ， 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该
等边三角形的边长为______．15．（2022·安徽·九年级期末）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分
别与坐标轴平行．反比例函数y＝ （k≠0）的图象，与大正方形的一边交于点A（ ，4），且经过小正
方形的顶点B．求图中阴影部分的面积为 _____．
16．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（AE<EC），连接DE
并延长交AB于点F，过点E作EG⊥DE交BC于点G，连接DG，FG，DG交AC于H，现有以下结论：
①DE＝EG；② ；③ 为定值；④ ；⑤ ．以上结论正确
的有______（填入正确的序号即可）．17．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝4 ，点D是AC边
的中点，点E是BC边上一点，连接DE，AE．将△AED沿着DE翻折得到△GED，连接CG，若∠DGE＝
45°，则点G到边BC的距离为 __．
18．（2022·福建泉州·九年级期末）如图，y＝ （x＞0）的图象经过A（2，6）、B两点，且tan∠AOB＝
，则点B的坐标是 _____．
三、解答题
19．（2021·福建·厦门双十中学思明分校九年级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四
边形”，回答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD＝ ，∠BCD＝∠DBC，判断四边形ABCD是不
是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，现将Rt ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移
得到 ，连结 ， ，若平移后的四边形 是“等邻△边四边形”，求 的长．
20．（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中九年级期末）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝
4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，
如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时， PAQ为等腰三角形？
△
（2）当t为何值时， APD的面积为6cm2？
△
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为 cm？
21．（2018·云南临沧·九年级期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于
点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
22．（2022·河南周口·九年级期末）因式定理：对于多项式 ，若 ，则 是 的一个因式，
并且可以通过添减单项式从 中分离出来．已知 ．
(1)填空：当 时， ，所以 是 的一个因式．于是
．则 ________________；
(2)已知关于x的方程 的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
23．（2022·山西晋中·九年级期末）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），
已知矩形纸片宽 ．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片 折叠，点 落在 边上的点 处，折痕为 ，连接 ，然
后将纸片展平，得到四边形 ．试判断四边形 的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片 的边 上取一点 ，连接 ，使 ，将 沿线
段 折叠，使点 正好落在 边上的点 处．连接 ， ，将纸片展平，①求 的面积；
②连接 ，线段 与线段 交于点 ，则 ______．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形 剪下，在边 上取一点 ，使 ，将
沿线段 折叠得到 ，连接 ，探究并直接写出 的长度．
24．（2022·江苏·九年级期末）阅读材料：各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它
转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，
所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把
未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解
把它转化为 ，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程 的解是： =0， =______， =_______；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，
求AP的长．
25．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）如图，抛物线 交x轴于A(-2，0)、B(3，
0)两点，与y轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点
P，交BC于点Q．（备用公式：点 与点 的距离为 ）
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求
出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，
请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2021·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校九年级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣
2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P为线段AB上一动点（不与点B重合），连接PC、AC、BC，
将△BPC沿直线BC翻折得到．△BP'C，P'C交拋物线的另一点为Q，连接QB．(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形QCOB面积的最大值；
(3)当CQ：QP'＝1：2时，点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M，
①若△NQP'的面积为△MQC面积的8倍，求出点N的坐标；
②在①的条件下，点D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当△ADE∽△ABC时，求点E的横坐标（直接
写出答案）．
27．（2022·湖北随州·九年级期末）如图，抛物线y= - x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点 E．
(1)求点A，B，D的坐标；
(2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点G
作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．设点G的运动时间为 ts．①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；
②连接BM，在点C运动的过程中，是否存在点M，使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点 M的坐标；若
不存在，请说明理由；
(3)点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作菱形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t
的值．
28．（2022·河北保定·九年级期末）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．
某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况
如图所示，当 时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为 ；当
时，累计人数保持不变．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排
队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？
(3)在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
29．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，已知点M（﹣2，0），a＜0，n为正整数．抛物线C ：y＝a（x
1 1
﹣1）2＋k 交x轴于点M与点A（b，0），C ：y＝a（x﹣ b）2＋k 交x轴于点M与点A（b，0），
1 1 1 2 2 1 2 2 2
C ：y＝a（x﹣ b）2＋k 交x轴于点M与点A（b，0），…按此规律，Cn：yn＝a（x﹣ bn ）2＋kn．
3 3 2 3 3 3 ﹣1交x轴于点M与点An（bn，0）．
(1)填空：b＝ ，b＝ ，b＝ ，An An＝ ；
1 2 3 ﹣1
(2)用含a的代数式表示：抛物线y 的顶点坐标为 ；抛物线yn的顶点坐标为 ；
3
(3)设抛物线Cn的顶点为Pn．
①若△MP A 为等腰直角三角形，求a的值；
10 10
②直接写出当a与n满足什么数量关系时，△MPnAn是等腰直角三角形．
30．（2022·河南周口·九年级期末）抛物线 对称轴为直线 ，与x轴交于A(－3，0)，B
两点，与y轴交于点C(0，3)，设抛物线的顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接AC、CD、DA，试判断 ACD的形状，并说明理由；
(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2022·福建南平·九年级期末）已知抛物线 的顶点为P，与y轴交于点A，与直线 交
于点B．
(1)若点P的横坐标为1，点B的坐标为 ．
①求抛物线的解析式；
②若当 时， 的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
(2)若点P在第一象限，且 ，过点P作 轴于D，将抛物线 平移，平移后的抛物
线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形 的形状，并说明理由．
32．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x
轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且OA=OC=3OB．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第三象限抛物线上的点，设点P的横坐标为t，△PAC面积S，求S与t的函数解析式
（直接写出自变量t的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，Q为CA延长线上的一点，若P到x轴的距离为d，△PQB的面积为2d，且
∠PAQ=∠AQB，求点P的坐标．33．（2022·浙江台州·九年级期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测
采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半
排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：
时间x（分） 0 15 30 45 75 90 95 100 110
人数y（个） 60 115 160 195 235 240 180 120 0
小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：
(1)求曲线ABC部分的函数解析式；
(2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？
(3)如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那
么至少需新增多少个采样窗口？
(4)疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，
如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60），则开设的采样窗口数量n（个）的
范围是 ．
34．（2021·山东烟台·九年级期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（ 2,0），B两点，与y轴交
于点C，矩形OCDE的顶点D，E分别在抛物线及x轴上.若OE=OA，点P为y−轴上一动点，连接BP，
DP，DE与BP交于点F.(1)求抛物线的表达式；
(2)当 BDP为直角三角形时，求点P的坐标；
△
(3)如图2，抛物线的对称轴分别与DP，BP交于点M，N. 点P在线段OC上运动，当OP为何值时，
PMN为等腰三角形？
△
35．（2022·福建宁德·九年级期末）已知抛物线G：y＝﹣x2+2mx+m和G：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于
1 2
点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G 交于另一点B，与抛物线G 交于另一点C，抛物线G 的顶点
1 2 1
为点M，抛物线G 的顶点为点N．
2
(1)直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）
(2)当m＝﹣3，n＝2，且直线l x轴时，求证：MB＝NA；
(3)当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）
36．（2022·河南开封·九年级期末）如图，抛物线 的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交
于C点，且OC＝AB．(1)求抛物线的解析式．
(2)点D（1，3）在抛物线上，若点P是直线AD上的一个动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，且以
PQ为斜边作等腰直角△PQE．
①当点P与点D重合时，求点E到y轴的距离．
②若点E落在抛物线上，请直接写出E点的坐标．
37．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线G：y＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y＝mx+3﹣
1 2
2m，其中m≠0．
(1)当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
(2)求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
(3)在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线 ，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线
与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G
的对称轴的取值范围．
38．（2021·浙江台州·九年级期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量 y（万斤）、市场供应量 y（万
1 2
斤）与市场价格 x（元/斤）分别满足下列关系： y 0.2x 2.8 ， y 0.4x 0.8．当 y y 时的
1 2 1 2
市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)求平衡价格和平衡需求量．(2)若该蜜桔的市场销售量 y（万件）是市场需求量 y 和市场供应量 y 两者中的较小者，该蜜桔的市场
1 2
销售额 P（万元）等于市场销售量 y 与市场价格 x 的乘积．当市场价格 x 取何值时，市场销售额 P 取
得最大值？
(3)蜜桔的每斤进价为 m 元，若当 3≤x≤10 时，随着 x 的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后
增大再减小的变化，请直接写出 m 的取值范围．
39．（2022·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知 ，当 时， 的取值范围是 ，求 ， 的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数 ，当 时， 的取值范围是 ，若存在，直
接写出 的值；若不存在，请说明理由．
40．（2022·广东广州·九年级期末）已知抛物线y x2+mx+m 与x轴交于点A，B（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C（0， ），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y x2+mx+m 在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，
得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横
坐标n的取值范围．
41．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级期末）“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建
设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点 称为
“三高四新”点，经过 的函数，称为“三高四新”函数．（1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；
① ② ③ ④
（2）若关于x的一次函数 是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值
范围；
（3）关于x的二次函数 的图象顶点为A，点 和点 是该二次函数图象上的点
且使得 ，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由．
42．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交
于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E为线段BD上的一个动点，作EF⊥x轴于点F，连接OE，当△OEF面积最大时．求点E的坐标；
（3）G是第四象限内抛物线上一点，过点G作GH⊥x轴于点H，交直线BD于点K、且 ，作
直线AG．
①点G的坐标是 ；
②P为直线AG上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥AG于点Q，取点 ，点N为平面内一点，若四
边形MPNQ是菱形，请直接写出菱形的边长．43．（2022·天津和平·九年级期末）已知抛物线 （ 为常数），点A（-1，-1），B
（3，7）．
（1）当抛物线 经过点A时，求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）抛物线的顶点随着 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，
①求抛物线的解析式；
②在直线AB下方的抛物线上有一点E，过点E作EF⊥ 轴，交直线AB于点F，求线段EF取最大值时的
点E的坐标；
（3）若抛物线与线段AB只有一个交点，求 的取值范围．
44．（2021·辽宁沈阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点
A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是
平行四边形．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是 ，则S▱OBCD＝ ；
（3）若点C在抛物线上，且 ▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．45．（2021·山东济南·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物
线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．
1 2
（1）请写出抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y＝﹣（x﹣1）2+2
1 2
的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作
x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点 、
，连接BC、 、 、 ．
①当四边形 为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的
点时，直接写出a的取值范围．46．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，抛物线C ：y＝ax2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(5，0)，C(0， )三
1
点，直线DF为该抛物线的对称轴，连接线段AC，∠CAB的平分线AE交抛物线C 于点E．
1
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点 ，将原抛物线沿对称轴向下平移经过点C′得到抛物线C ，在射
2
线AE上取点Q，连接CQ，将射线QC绕点Q逆时针旋转120°交抛物线C 于点P，当 CAQ为等腰三角形
2
时，求点P的横坐标；
（3）如图2，将抛物线C 沿一定方向平移，使顶点 落在射线AE上，平移后的抛物线C 与线段CB相交
1 3
于点M、N，线段CB与DF相交于点Q，当点Q恰好为线段MN的中点时，求抛物线C 的顶点坐标．
3
47．（2022·河南·驻马店市第二初级中学九年级期末）已知抛物线
（1）当 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点 、 ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范
围．48．（2021·广东·海珠外国语实验中学九年级期末）已知函数 ，记该函数图像为
G．
（1）当 时，
①已知 在该函数图像上，求n的值；
②当 时，求函数G的最大值；
（2）当 时，作直线 与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若 时，求m的值；
（3）当 时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B做 交直线 与点C，设点A
的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若 ，求m的值．
49．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象
经过点 ，点 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当 时，求二次函数 的最大值和最小值；（3）点 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 ，过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知
点 与点 不重合，且线段 的长度随 的增大而减小．
①求 的取值范围；
②当 时，直接写出线段 与二次函数 的图象交点个数及对应的 的取值
范围．
50．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于
点 ，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
（3）过点Q作 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的面积分别为
， ，设 ，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
51．（2021·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系中抛物线 经过点 ，顶点为点E．过点E作x轴的垂线 ，垂足为H．
（1）求抛物线 对应的函数表达式；
（2）如图1，将抛物线 向下平移得到抛物线 ，抛物线 与x轴交于C，D两点，其顶点F恰为 的
中点，求 的长．
（3）如图2，将（2）中的抛物线 沿x轴正方向平移，当点C与点B重合时，将这两条抛物线在x轴以
上（包括x轴上）部分的图象记为L．若点 在图象L上，且 ，求a的取值范围．
52．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少
存在不同的两点关于 轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于 轴对称的不同两点叫做一
对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点 与点 是关于 的“T函数” 的图象上的一对“T点”，
则 ______， ______， ______（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于 的函数 （ ， 是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果
不是，请说明理由；（3）若关于 的“T函数” （ ，且 ， ， 是常数）经过坐标原点 ，且与直线
（ ， ，且 ， 是常数）交于 ， 两点，当 ， 满足
时，直线 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
53．（2021·浙江·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，有一条线段 ，若抛物线
的顶点是A，经过点B，抛物线 的顶点是B，经过点A，称这两条抛物线是关于线段
的一对“有礼抛物线”，如图所示．
（1）若抛物线 与 是一对“有礼抛物线”，求a的值．
（2）若线段 两端点坐标是 ，关于线段 的一对有礼抛物线是 和
，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若抛物线 的顶点为A，它与y轴交于点E，点B在抛物线上，关于线段 的另一条“有
礼抛物线” 与y轴交点记为点F，若 ，求 的函数关系式．54．（2022·山东济南·九年级期末）二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴
交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接 、 ，交于点Q，过点P作 轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接 ，当 时，求直线 的表达式；
（3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
55．（2022·江西·上犹县教学研究室九年级期末）如图，已知抛物线 经过点 ．
（1）求 的值；
（2）连结 ，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移 个单位得到抛物线 ．过点M作 轴，交抛物线 于点N．P是抛物线 上一点，横坐标为 ，过点P作 轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若
，求m的值．
56．（2022·江西南昌·九年级期末）已知抛物线y：y＝a （x﹣h）2+k 与x轴交于点O（0，0），A（2，
1 1 1 1 1
0），且抛物线y 的顶点M 在直线y＝﹣x上．
1 1
（1）直接写出抛物线y 的表达式y＝ ，顶点M 的坐标为 ；
1 1 1
（2）如图1，将抛物线y 沿直线y＝﹣x向右下方平移，与x轴交于点A，A．得到抛物线y：y＝a（x﹣
1 1 2 2 2
h）2+k，顶点为M；将抛物线y 沿直线y＝﹣x向右下方平移，与x轴交于点A，A，得到抛物线y：y3
2 2 2 2 2 3 3
＝a （x﹣h）2+k，顶点为M；依此类推…
3 3 3
①求A 和M 的坐标，并直接写出A 和M 的坐标；
2 2 3 3
②求MnMn 的长．
﹣1
（3）如图2，若Q是抛物线y 上的一个动点，过点P（﹣2，0）引射线PQ，在射线上取点N，使QN＝
1
QP．
①当点Q与M 重合时，则对应的点N坐标为 ；
1
②请在图中描出随着点Q运动中对应的点N，再用平滑的曲线连接起来，猜想曲线是什么函数的图象，并
求点N所在曲线的函数的解析式．57．（2021·浙江·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象经过
两点．
（1）求b，c的值．
（2）连结 ， ，若P是第一象限内抛物线上一点，直线 把 的面积分成相等的两部分．
①求直线 的解析式．
②将该抛物线沿着射线 的方向平移m个单位，使其顶点落在 的内部（不包括边界），求m的取
值范围．58．（2021·浙江·九年级期末）已知二次函数 ．
（1）写出该函数图象顶点的坐标及其所在直线的函数表达式．
（2）若该函数图象的顶点在第一象限，试判断该函数图象与 轴的交点个数并说明理由．
（3）若在 范围内，若图象上的点到 轴的距离最小值为2，求 的值．
59．（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）已知，抛物线 与 轴交于点 ，
两点（ ）．
（1）已知 ，求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）设点 为抛物线上一点，若 ，且 的纵坐标 满足 ，求代数式 的值；
（3）已知，点 ， 为平面直角坐标系内两点，连接 ，若抛物线与线段 只有一个公共
点，结合图象，直接写出 的取值范围．
60．（2022·湖南·邵阳市第十六中学九年级期末）如图1，已知抛物线 的顶点坐标为（－1，
）与y轴交于A（0，3），交直线 ：x＝－2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，E为直线 上位于点B下方一动点，连接DE、BD、AD，若 ，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，若△APQ为直角三角形，
请求出P点的坐标；
61．（2021·浙江·九年级期末）如图，在直角坐标系中，抛物线 交 轴的正半轴于点
（点 在点 的右侧），交 轴于点 为抛物线的顶点．（1）若 ，求点 的坐标．
（2）若直线 与直线 平行，求直线 的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，把点 向下平移 个单位得到点 ．若点 向右平移 个单位，将与该抛物线上
的点 重合；若点 向右平移 个单位，将与该抛物线上的点 重合．已知 ，求 的值．
62．（2022·辽宁大连·九年级期末）阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，∠ADC＝120°，连接BD．用等
式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
小明经过思考，发现解决问题的方法：如图2，延长CD至E，使ED＝AD，连接AE．证△ADE是等边三
角形，△ACE≌△ABD，问题得到解决．
(1)填空：线段AD，BD，CD之间的数量关系为 ；
(2)用学过的知识或参考小明的方法解决下面的问题：
①如图3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，∠ADC＝135°，连接BD．用等式表
示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
②如图4，△ABC是等边三角形，点D在△ABC内，∠DAB＝∠DBA＝15°，将线段BD绕着点D顺时针旋
转30°，得到线段B'D，连接B'D．直接写出 的值．63．（2022·重庆沙坪坝·九年级期末）在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连接DB ．
(1)如图1，若∠ABD ＝15°，BD＝2，求线段AD的长度；
(2)如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转
90°得到线段DF，连接BF，线段CE、BF交于点G，连接AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证明
你的结论；
(3)如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，直接写出 的最小值．
64．（2021·辽宁鞍山·九年级期末）如图，抛物线y＝ x2+bx+c经过点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2），与
x轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；（2）点P（0，n）是y轴上的一个动点，将线段OB绕点P顺时针旋转90°，得到线段O'B'；
①若线段O'B'与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围；
②直线PB'交抛物线于M、N两点，若点B'是线段MN的中点，求n的值．
65．（2021·浙江·九年级期末）如图，如果一个矩形 绕点 逆时针方向旋转 得到矩形
， 为对角线 中点，若边 与边 恰好交于点 ，我们称这样的旋转为有效旋转．此时边
与边 交于点 ．
（1）如图1，如果矩形 经过有效旋转后，点 与 恰好重合，求 的值．
（2）如图2，如果矩形 经过有效旋转后，点 与 不重合．
①判断 是否为定值，并说明理由；
②若 ， ，求 的长．
66．（2022·河南濮阳·九年级期末）已知 和 都是等腰直角三角形， ．(1)如图1，连接AM，BN，求证： ；
(2)将 绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证： ；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若 ， ，请直接写出线段AM的长．
67．（2022·天津河东·九年级期末）将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与
点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．
(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．
①求证：BE平分∠AEC．
②取BC的中点P，连接PH，求证：PH CG．
③若BC＝2AB＝2，求BG的长．
(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．
68．（2022·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．
(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、
BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
69．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，抛物线y＝－ ＋ x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于
点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，
E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．70．（2022·贵州黔西·九年级期末）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B
（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的
坐标．
71．（2022·山东德州·九年级期末）(1)问题发现
如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是
直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF；
(3)联想拓展
如图3,在 ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量
关系，并△写出推理过程．72．（2022·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期末）有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有
“一组邻边相等且对角互补”，我们称之为“等对补四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，则四边形
ABCD的面积等于 ．
(2)等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2，
四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ABC．
(3)现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部
门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地势原
因，要求3≤AD≤6，求该区域四边形ABCD面积的最大值．
73．（2022·广东广州·九年级期末）如图，已知在 中， 是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使
正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使 正方形ACFG分居在AC两侧，
BG与CE交于点M，连接AM．
(1)求证 ；
(2)求： 的度数
(3)若 ， ， ，求： （结果可用含有a，b，c的式子表示）．
74．（2022·辽宁营口·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x经过点A（3，4）．(1)求a的值；
(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点
C；
①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．
75．（2022·湖北武汉·九年级期末）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C
（0，3），点D（m，3）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．
76．（2022·广东广州·九年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点
E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．
(1)求证：∠BAD＝∠DBC；
(2)证明：点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上；
(3)若AB＝5，BC＝8，求△ABC内心与外心之间的距离．
77．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角 与 有公共顶点 ， ，
， ．现将 绕点 旋转．
(1)如图①，当点 ， ， 在同一直线上时，点 为 的中点，求 的长；
(2)如图②，连接 ， ．点 为 的中点，连接 交 于点 ，求证： ；(3)如图③，点 为 的中点，以 为直角边构造等腰 ，连接 ，在 绕点 旋转过程中，
当 最小时，直接写出 的面积．
78．（2022·北京东城·九年级期末）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给
出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则
称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段 是⊙O的关于直线l对称的
“关联线段”．（1）如图2， 的横、纵坐标都是整数．
①在线段 中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______；
②若线段 中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ；
（2）已知直线 交x轴于点C，在 ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线
△
对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
79．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象经过点 ，过点A作 轴，做直线AC平行x轴，点D是二次
函数 的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）．(1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示）
(2)求 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．
(3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，做点C关于PM的对称
点N，①连接AN，求AN的最小值．
②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式．
80．（2022·北京门头沟·九年级期末）如图，在平面直角坐标系 中， ， 的半径为1．如果将
线段 绕原点 逆时针旋转 后的对应线段 所在的直线与 相切，且切点在线段
上，那么线段 就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小 就是线段 与 的“关联角”．(1)如图1，如果 线段 是 的“关联线段”，那么它的“关联角”为______ ．
(2)如图2，如果 、 、 、 、 、 ．那么 的“关联线段”
有______（填序号，可多选）．
①线段 ；②线段 ；③线段
(3)如图3，如果 、 ，线段 是 的“关联线段”，那么 的取值范围是______．
(4)如图4，如果点 的横坐标为 ，且存在以 为端点，长度为 的线段是 的“关联线段”，那么
的取值范围是______．
81．（2022·北京·人大附中九年级期末）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共
点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．
（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝ ，是⊙O的关联图形的是 （请直接写出正确的序
号）．
（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关
联直线，求点N的横坐标的取值范围．
（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点
B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．
82．（2022·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将
这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有
最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点 （0，2） ， （3，3）， （ ，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（ ，1），若点E（ ，3） 是正方形
ABCD的“倍点”，求 的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写
出满足条件的点T所构成的图形的面积．
83．（2022·福建福州·九年级期末）如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，
过点 作 于点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．
84．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期末）在平面直角坐标系中，若直线
与函数G的图像有且只有一个交点P．则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，
点P称为“联络点”．
(1)直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
(2)已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
(3)若关于x的函数 图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，
分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN．若直线 恰好经过M、
N两点，请用含a的式子表示线段PC的长．
85．（2022·江西赣州·九年级期末）（1）探究新知：如图1，已知 与 的面积相等，试判断AB
与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数 的图象上，过点M作 轴，过点N 作
轴，垂足分别为E，F．试证明： ．
（3）拓展延伸：若（2）中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 图象上的位置，如
图3所示，MN与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 ，请求AN的长．
86．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，抛物线L: （常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P，且OA·MP=12.
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x ，且满足4≤x ≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取
0 0
值范围.
87．（2022·福建泉州·九年级期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的
切线交AC于点E，AB＝AC．
(1)求证:DE⊥AC；
(2)延长CA交⊙O于点F，点G在 上， ．
①连接BG，求证:AF＝BG；
②经过BG的中点M和点D的直线交CF于点N，连接DF交AB于点H，若AH:BH＝3:8，AN＝7，试求出DE的长．
88．（2022·吉林长春·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点
D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，
速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求线段CD的长；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．
89．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c
与x轴交于点A、C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线y＝x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写自变量t的取
值范围）；
(3)在（2）的条件下，当t＝﹣ 时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接
PQ、DH交于点G，求G点坐标．
90．（2022·河南·商水县希望初级中学九年级期末）如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与
DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF
或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为 ．
(1)问题发现：当 时，如图2，可得∠H＝45°－∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有
______及______；
(2)类比探究：当 时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由；
(3)问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长．
91．（2022·四川成都·九年级期末）如图，点A是反比例函数 图象上的点，AB平行于y轴，且
交x轴于点 ，点C的坐标为 ，AC交y轴于点D，连接BD， ．(1)求反比例函数的表达式；
(2)设点P是反比例函数 图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，D，Q为顶点的四
边形是平行四边形，求点Q的坐标；
(3)若点 是该反比例函数 图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC，请直接写a的取值范围．
92．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，G是DC上的点，连接BG，点F是BG上
的点，在BC上取点H，使 ，连接HF，CF，AF．
(1)①如图1，点F为正方形ABCD中对角线AC上一点，求证： ；
②如图2，在正方形ABCD中，若 于F，求证： ．
(2)如图3，若四边形ABCD为菱形，
①直接写出 与 之间的数量关系；
②若 ， ． ， ，求AH的长；93．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图1，抛物线 交 轴于 、 两点（ 左
右），交 轴于 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m， PCD的面积为
S，求S与m的函数关系式； △
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作 // ，交BC于点F，若PE＝PF，求
点P的坐标．
94．（2022·安徽·六安市轻工中学九年级期末）如图， 中， ， ， 于
E，点F是 上一点，连接 并延长交 于点D， 于点G，连接 ．
(1)求证：
(2)如图1，若 ，求证：点D是 中点；
(3)如图2，若 ，求 ．
95．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校九年级期末）如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆
时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G．
(1)连接DF，求证：△BDF是等边三角形；
(2)求证：D、F、E三点共线；
(3)当BG＝2EG时，求 的值．
96．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，在直角坐标系中有 ，O为坐标原点， ，
，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到 ，二次函数 的图象刚好
经过A，B，C三点．
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标：
(2)过定点 的直线 与二次函数的图象相交于M，N两点．①若 ，求k的值；
②证明：无论k为何值， 恒为直角三角形；
97．（2022·福建泉州·九年级期末）如图， 中， ， ，点 为 上一点（点 与点
不重合），点 为 上一点，且 ．
(1)如图1，当 ， 时， __________；
(2)如图2，当 时，猜想线段 和 的数量关系，并加以证明；
(3)若 ，点 是 的三等分点， ，求 的长度．
98．（2022·广东深圳·九年级期末）【探究发现】
(1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于
BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完
整．
证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝ °．
【类比迁移】
(2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延
长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；
【拓展应用】
(3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝ ，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按
顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出
此时OF的长．
99．（2022·广东佛山·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B
两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．
(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．
①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接 ，若 ，求
点P的坐标．
②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若 ，则w有最大值还是最小值？
w的最值是多少？
(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点 作 轴，垂足为I，交
圆N于点M，点 在运动过程中，线段 是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设 AOQ外接圆圆心为H，当 的值最大时，
请直接写出点H的坐标．
100．（2022·吉林市第五中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC＝8，动点P从
点A出发沿线段AB以每秒3个单位长度的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q．设点P
的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)线段AQ的长为 ，线段PQ的长为 ．（用含t的代数式表示）；
(2)当△APQ与△ABC的周长比为1：4时，求t的值；
(3)设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．
