文档内容
2022-2023 学年九年级数学上学期期中模拟预测卷 01
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1．本试卷28道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答
题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称
轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．一元二次方程3x2+5x﹣2＝0的二次项的系数为3，则一次项的系数和常数项分别为（ ）
A．5，﹣2 B．5，2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣2
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程3x2+5x﹣2＝0的二次项的系数为3，
∴一次项的系数和常数项分别为5和﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式
的项或项的系数时，带着前面的符号．
3．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝ B．2（x﹣2）2＝ C．（x﹣1）2＝ D．（2x﹣1）2＝1
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后把方程两边加上1即可．
【解答】解：∵2x2﹣4x+1＝0，
∴2x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣2x＝﹣ ，
x2﹣2x+1＝1﹣ ，
∴（x﹣1）2＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两
边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
5．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律
求函数解析式．
6．如图，点E是正方形ABCD中CD上的一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边
形AECF的面积为16，DE＝1，则EF的长是（ ）A．4 B．5 C．2 D．
【分析】设正方形的边长为a，利用旋转的性质得到△ABF≌△ADE，BF＝DE＝1，AF＝AE，∠EAF＝
90°，则S正方形ABCD ＝S四边形AFCE ，利用正方形的面积公式计算出a＝4，然后利用勾股定理计算出AE，
从而得到EF的长．
【解答】解：设正方形的边长为a，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ABF≌△ADE，BF＝DE＝1，AF＝AE，∠EAF＝90°，∠ABF＝∠ADE＝90°，
∴S正方形ABCD ＝S四边形AFCE ，
即a2＝16，解得a＝4或a＝﹣4（舍去），
在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ，
∴EF＝ AE＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等
于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线
x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac
＜0，其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线的对称性可确定 A点坐标为（﹣3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义
和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝
2a＞0，则可对③进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝
b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0
时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数
为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝80°，∠B＝∠ADE，由外角的性质可得解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴∠BAD＝80°，∠B＝∠ADE，
∵∠ADP＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠PDE，
∴∠PDE＝∠BAD＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0时，设x2﹣2x＝y，则原方程可转化为y2﹣2y﹣3＝0，解得y
1
＝﹣1，y ＝3，所以x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，可得x ＝x ＝1，x ＝3，x ＝﹣1．我们把这种解方程的
2 1 2 3 4
方法叫做换元法．对于方程：x2+ ﹣3x﹣ ＝12，我们也可以类似用换元法设x+ ＝y，将原方程转
化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ）
A．y2﹣3y﹣12＝0 B．y2+y﹣8＝0 C．y2﹣3y﹣14＝0 D．y2﹣3y﹣10＝0【分析】设x+ ＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0．
【解答】解：x2+ ﹣3x﹣ ＝12
x2+2+ ﹣2﹣3x﹣ ＝12，
（x+ ）2﹣2﹣3（x+ ）＝12，
设x+ ＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0，
故选：C．
【点评】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换
是解题的关键．
10．如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小
道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列
出方程即可．
【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，
∴可列方程为（32﹣2x）（20﹣x）＝600，故选：C．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题
的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．
二．填空题（共10小题，每题3分，满分30分）
11．写出一个以0和2为根的一元二次方程： x 2 ﹣ 2 x ＝ 0 ．
【分析】此题为一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个即可．
【解答】解：∵0+2＝2，0×2＝0，
所以以0和2为根的一元二次方程为x2﹣2x＝0，
故答案为：x2﹣2x＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
12．某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到
288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为 x，则可列方程为
450 （ 1 ﹣ x ） 2 ＝ 288 ．
【分析】利用经过两期治理后废气的排放量＝治理前废气的排放量×（1﹣每期减少的百分率）2，即可
得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：450（1﹣x）2＝288．
故答案为：450（1﹣x）2＝288．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
13．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于 12 5 度．【分析】由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．
【解答】解：
∵旋转角为80°，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝45°+80°＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是
关于x的二次函数，抛物线y 经过点A，B，C，抛物线y 经过点B，C，D，抛物线y 经过点A，B，
1 2 3
D，抛物线y 经过点A，C，D，则下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，四条抛
4
物线表达式中的y均随x的增大而增大；③抛物线y 的顶点在抛物线y 顶点的上方；④抛物线y 与y
1 2 4
轴交点在点B的上方．其中正确的是 ①②④ ．（填写正确的序号）
【分析】用待定系数法确定四条抛物线的表达式，用函数图象的性质即可求解．
【解答】解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线y 的表达式为：y ＝﹣ x2+ x+3，顶点（ ， ）；
1 1
同理可得：y ＝﹣ x2+ x+3，顶点坐标为：（ ， ）；
2
y ＝﹣ x2+ x+3，顶点坐标为（1， ）；
3
y ＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；
4
①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；
②当x＜0时，y 随x的增大而增大，故正确，符合题意；
3
③由顶点坐标知，抛物线y 的顶点在抛物线y 顶点的下方，错误，不符合题意；
1 2
④抛物线y 与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．
4
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非
常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（﹣1，0），（3，0）两点，请写
出一个使 y＞0的x的整数值 2 （答案不唯一） ．
【分析】根据函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（﹣1，0），
（3，0）两点，
则当y＞0的x的取值范围是：﹣1＜x＜3，
∴x的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定
的读图能力．
16．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y＝ax2的
图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ≤ a ≤ 3 ．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故答案为 ≤a≤3．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x﹣2＝0的一个根为1，则m的值为 ﹣ 1 ．
【分析】把x＝1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值．
【解答】解：把x＝1代入x2+（m+2）x﹣2＝0，得
12+（m+2）﹣2＝0，即m+2﹣1＝0，
解得m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称
为一元二次方程的根．
18．若二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是 m ＜ 1 ．
【分析】根据Δ＞0 抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
⇔
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴4﹣4m＞0，
∴m＜1．
故答案为m＜1
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住Δ＝0 抛物线与x轴只有一个交点，Δ＞
0 抛物线与x轴有两个交点，Δ＜0 抛物线与x轴没有交点，属于⇔中考常考题型．
⇔ ⇔
19．已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线
系”．如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝ ．
【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y
的关系式．
【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），
设x＝2a①，y＝a﹣1②，
①﹣②×2，消去a得，x﹣2y＝2，
即y＝ x﹣1．
【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．
20．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2000a3+4000a2的值为 200 0 ．
【分析】由已知可得a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1．观察代数式2000a3+4000a2可变形为2000a（a2+a+a），
把a2+a＝1代入达到降次的目的，直至求出代数式的值．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴a2+a＝1，
∴2000a3+4000a2
＝2000a（a2+a+a）
＝2000a•（1+a）＝2000（a2+a）
＝2000．
故答案为：2000．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，首先应从已知中获取代数式的值，然后利用“整体代入
法”达到降次的目的，从而求出代数式的值．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数
根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x ＝2、x ＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于
1 2
k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x ＝2，x ＝k+1．
1 2
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：
（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
22．解方程：x2﹣4x﹣2＝0．
【分析】根据公式法，可得方程的解．
【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
x＝ ＝ ，
x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，要用根的判别式判断根的情况．
23．已知二次函数y＝x2+bx+3的图象经过顶点B（﹣1，2）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在坐标系中画出该函数的图象．
【分析】（1）根据二次函数y＝ax2﹣4x+3的图象经过点B（﹣1，2），从而可以得到a的值，然后即
可写出该函数的解析式；
（2）列表，描点、连线画出（1）中求得的函数图象即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过顶点B（﹣1，2），
∴1﹣b+3＝2，解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x+3；
（2）列表：
x ..． ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ..．
y ..． 6 3 2 3 6 ..．描点、连线画出函数y＝x2+2x+3图形如图：
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的图象，正确画图是
解题的关键．
24．某公司销售一种商品，成本每件 30元，经市场调查发现，该商品的销售量 y（件）与销售单价x
（元）满足一次函数关系：y＝﹣x+120．
（1）当销售单价为多少元时，公司销售该商品单日获得最大利润？最大利润是多少？
（2）若公司销售该商品单日获得2000元的利润，销售单价应定为多少？
【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．
（2）令（1）中所求解析等于2000，求出x即可．
【解答】解：（1）设公司销售该商品获得的日利润为W元，
则W＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵﹣1＜0，
∴当x＝75时，W有最大值为2025，
即销售单价为75元时，最大日利润为2025元．（2）依题意得：（x﹣30）（﹣x+120）＝2000，整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x ＝80，x ＝70，
1 2
∴销售单价应定为70元或80元．
【点评】本题考查二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础
题目．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点P（m，n）关于直线l的对称点为M，将抛物线沿
y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形
OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），从而求得OA＝PN＝4，OA∥PN，
即可证得四边形OAPN是平行四边形，根据四边形OAPN的面积为20，从而求出其m，n的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3），
∴ ，
解得：a＝﹣1，b＝﹣4，c＝0，故此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）如图所示：
由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），
∴PN∥OA，PN＝|m﹣（m+4）|＝4，
∵OA＝4，
∴PN＝OA，
∴四边形OAPN是平行四边形，
∵四边形OAPN的面积＝（OA+NP）÷2×|n|＝20，
即4|n|＝20，
∴|n|＝5．
∴n＝±5，
所以﹣m2﹣4m＝±5，
当﹣m2﹣4m＝5，即m2+4m+5＝0时，
∵△＝16﹣20＜0，不存在，
当﹣m2﹣4m＝﹣5时，
解得m＝﹣5或m＝1．
∴P（﹣5，﹣5）或（1，﹣5）．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，
二次函数图象上点的坐标特征，表示出M、N的坐标是解题的关键．
26．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A B C ；
2 2 2
（3）若△A B C 绕点M旋转可以得到△A B C ，请直接写出点M的坐标；
1 1 1 2 2 2
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
1 1 1
（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A ，B ，C 即可．
2 2 2
（3）连接A A ，B B 交于点M，点M即为所求．
1 2 1 2（4）连接BA 交x轴于点P，点P即为所求．
2
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
（3）如图，点M即为所求，点M的坐标（﹣1，0）．
（4）如图，点P即为所求，点P的坐标（2，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
27．某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根
据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设
销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）由销售单价为x元得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式；
（2）直接用销售单价乘以销售量等于14000，列方程求得销售单价；
（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣40）（﹣4x+480），然后利用配方法求最
值．【解答】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少 ×20，
故销售量为y＝240﹣ ×20＝﹣4x+480（x≥60）；
（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）＝14000，
解得x ＝70，x ＝50（不合题意舍去），
1 2
故当销售价为70元时，月销售额为14000元；
（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：
w＝（x﹣40）（﹣4x+480）
＝﹣4x2+640x﹣19200
＝﹣4（x﹣80）2+6400．
当x＝80时，w的最大值为6400．
故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意的理解，是中档
题．
28．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；（2）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点 在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，求点P的坐标．
【分析】（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；
（2）①设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣
t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝ （t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②分两种情况讨论：当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，则P（2，0）；
当 PE 不平行 y 轴时，过 B 点作 BG⊥PB 交 PE 于点 G，过 G 点作 FG⊥y 轴，交于点 F，可证明
△BPO≌△GBF（AAS），则E点与G点重合，求得P（﹣ ，0）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象经过B（0，﹣2），
∴﹣12a＝﹣2，
解得 ，
∴y＝a（x+3）（x﹣4）＝ ，
∴ ；
（2）①设P（t，0），
如图，过点D作x轴垂线交于点N，∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣ （t+2+3）（t+2﹣4）＝﹣t，
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②如图，
∵PE平分∠BPD，∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝45°，
当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，
∴P（2，0）；
如图，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，
∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45°，
∴BP＝BG，
∴△BPO≌△GBF（AAS），
∴BF＝OP，FG＝OB，
∵OB＝2，∴FG＝2，
∵ ，
∴E点与G点重合，
∴OP＝BF＝OB﹣OF＝2﹣ ＝ ，
∴P ；
综上所述：P点的坐标为（2，0）或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的图象及性质，待定系数法，全等三角形的判定
与性质，解题的关键是分类讨论，数形结合．
