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2022-2023 学年九年级数学上学期期中模拟预测卷 02
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1．本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答
题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．一元二次方程3x2+5x﹣2＝0的二次项的系数为3，则一次项的系数和常数项分别为（ ）
A．5，﹣2 B．5，2 C．﹣5，2 D．﹣5，﹣2
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程3x2+5x﹣2＝0的二次项的系数为3，
∴一次项的系数和常数项分别为5和﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式
的项或项的系数时，带着前面的符号．
2．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝ B．2（x﹣2）2＝ C．（x﹣1）2＝ D．（2x﹣1）2＝1
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，然后把方程两边加上1即可．
【解答】解：∵2x2﹣4x+1＝0，
∴2x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣2x＝﹣ ，x2﹣2x+1＝1﹣ ，
∴（x﹣1）2＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两
边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
4．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律
求函数解析式．
5．如图，点E是正方形ABCD中CD上的一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边
形AECF的面积为16，DE＝1，则EF的长是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．
【分析】设正方形的边长为a，利用旋转的性质得到△ABF≌△ADE，BF＝DE＝1，AF＝AE，∠EAF＝
90°，则S正方形ABCD ＝S四边形AFCE ，利用正方形的面积公式计算出a＝4，然后利用勾股定理计算出AE，
从而得到EF的长．
【解答】解：设正方形的边长为a，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ABF≌△ADE，BF＝DE＝1，AF＝AE，∠EAF＝90°，∠ABF＝∠ADE＝90°，
∴S正方形ABCD ＝S四边形AFCE ，
即a2＝16，解得a＝4或a＝﹣4（舍去），
在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ，
∴EF＝ AE＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
6．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列
结论：①AD⊙⊥BD；②CB平分∠⊙ABD；③∠AOC＝∠AEC；④AF＝DF；⑤BD＝2OF．其中正确的
结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①由直径所对圆周角是直角，
②由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC＝∠DBC，
③由于∠AOC是 O的圆心角，∠AEC是 O的圆内部的角；
⊙ ⊙
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论．
【解答】解：①∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
故①正确；
②∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
故②正确；
③∵∠AOC是 O的圆心角，∠AEC是 O的圆内部的角，
⊙ ⊙
∴∠AOC≠∠AEC，
故③不正确；
④∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝90°，
∵点O为圆心，
∴AF＝DF，
故④正确；
⑤由④有，AF＝DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF，
故⑤正确；
综上可知：其中一定成立的有①②④⑤，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线
x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac
＜0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线的对称性可确定 A点坐标为（﹣3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义
和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b＝
2a＞0，则可对③进行判断；利用x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝
b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0
时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
8．抛物线y＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1，
∴其顶点坐标为（1，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
9．如图，学校种植园是长32米，宽20米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，
使种植面积为600平方米．若设小道的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝600 B．（32﹣x）（20﹣2x）＝600
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝600
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（32﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，
∴可列方程为（32﹣2x）（20﹣x）＝600，
故选：C．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题
的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．
10．如图所示，在半径为10cm的 O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
⊙
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
【解答】解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝ AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝ ＝ ＝6（cm），
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共8小题，每题2分，满分16分）
11．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为
．
【分析】直接利用概率公式求解可得．
【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选
中只有1种结果，
∴甲被选到的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结
果数÷所有可能出现的结果数．
12．如图，在 O中， ＝ ＝ ，连接AC，CD，则AC ＜ 2CD（填“＞”，“＜”或“＝”）．
⊙
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝BC＝CD，根据三角形三边关系得到AC＜AB+BC，即可
得到AB＜2CD．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，
∴AB＝BC＝CD，
∵AC＜AB+BC，∴AC＜2CD，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．
13．某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额
平均每月的增长率为x，则可列方程为 20 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 32 0 ．
【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为 x，根据该商店今年8月份及10月份的销售额，即可得出
关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝320，
故答案为：200（1+x）2＝320．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于 12 5 度．
【分析】由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．
【解答】解：
∵旋转角为80°，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝45°+80°＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．15．某同学掷铅球，铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝﹣x2+3x+18，则该同学的
成绩是 6 m．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：由题意知，当y＝0时，﹣x2+3x+18＝0，
整理得：x2﹣3x﹣18＝0，
解得x ＝﹣3（舍去），x ＝6，
1 2
故此运动员的成绩是6m，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数
或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
16．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为 140 ° ．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠BOC＝80°，
∴∠A＝ BOC＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x﹣2＝0的一个根为1，则m的值为 ﹣ 1 ．【分析】把x＝1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值．
【解答】解：把x＝1代入x2+（m+2）x﹣2＝0，得
12+（m+2）﹣2＝0，即m+2﹣1＝0，
解得m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称
为一元二次方程的根．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是
关于x的二次函数，抛物线y 经过点A，B，C，抛物线y 经过点B，C，D，抛物线y 经过点A，B，
1 2 3
D，抛物线y 经过点A，C，D，则下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，四条抛
4
物线表达式中的y均随x的增大而增大；③抛物线y 的顶点在抛物线y 顶点的上方；④抛物线y 与y
1 2 4
轴交点在点B的上方．其中正确的是 ①②④ ．（填写正确的序号）
【分析】用待定系数法确定四条抛物线的表达式，用函数图象的性质即可求解．
【解答】解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线y 的表达式为：y ＝﹣ x2+ x+3，顶点（ ， ）；
1 1
同理可得：y ＝﹣ x2+ x+3，顶点坐标为：（ ， ）；
2
y ＝﹣ x2+ x+3，顶点坐标为（1， ）；
3
y ＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；
4
①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；
②当x＜0时，y 随x的增大而增大，故正确，符合题意；
3
③由顶点坐标知，抛物线y 的顶点在抛物线y 顶点的下方，错误，不符合题意；
1 2
④抛物线y 与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．
4
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非
常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三．解答题（共8小题，满分54分）
19．解方程：x2﹣6x＝7．
【分析】移项后，再将左边因式分解得出（x﹣7）（x+1）＝0，继而得x﹣7＝0或x+1＝0，再进一步求
解即可．
【解答】解：∵x2﹣6x＝7，
∴x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，
解得x ＝7，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当方法是解题关键．
20．如图，A，B是 O上的两点，C是 的中点．求证：∠A＝∠B．
⊙
【分析】连接OC．证明△AOC≌△BOC（SAS），可得结论．
【解答】证明：连接OC．
∵C是 的中点，
∴ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质
解决问题，属于中考常考题型．
21．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×1+3
＝5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方
程，从而求得代数式的解．
22．小娜根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|的图象进行了探究．
下面是小娜的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 m n 1 3 …
直接写出m和n的值：m＝ 1 ，n＝ 0 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象：
（3）结合函数图象，解决问题：若方程x|x﹣2|＝a有三个不同的实数根，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）把x＝1和x＝2代入y＝x|x﹣2|，即可求出m、n的值；
（2）画出该函数的图象即可；
（3）根据画出函数y＝x|x﹣2|的图象，即可写出a的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝1分别代入y＝x|x﹣2|，
把x＝2代入y＝x|x﹣2|，得n＝2×0＝0．
故答案为1，0；
（2）如图：（3）由图形可知，方程x|x﹣2|＝a有三个不同的实数根，a的取值范围是0＜a＜1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正
确画出函数的图象是解题的关键．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
【分析】（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2．
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣m+2）＝0，
解得x ＝2，x ＝m﹣2，
1 2
若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，
故m＜2，
∴正整数m＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0 方程有两个
不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．⇔
⇔ ⇔
24．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为直线x＝2，且经过点A（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；
（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 3 个单位时，所得到的新的函数
图象与x轴的两个交点之间的距离为4．
【分析】（1）利用对称轴公式和点A（0，3）得到关于m、n的二元一次方程组，然后求得m与n的值，
从而得到二次函数的解析式，最后再画出函数图象；
（2）将函数利用交点之间的距离为4得到平移后图象与x轴的交点坐标，然后求得平移后的函数解析
式，最后得到平移的距离．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴﹣ ＝2，
∴m＝﹣4，
将点A（0，3）代入函数解析式，得n＝3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3，
作出函数图象如下，
．
（2）∵平移后函数图象的对称轴为直线x＝2，与x轴的交点间的距离为4，
∴平移后函数图象与x轴的交点为（4，0），（0，0），
∴平移后函数的解析式为y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
∵平移前的函数解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴函数图象向下平移了3个单位，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的平移变换，解题的关键是通过函数的对称轴和平移
后与x轴的交点间的距离为4得到与x轴的两个交点．
25．已知AB是 O的直径，C为 O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交 于点E，连接
⊙ ⊙
AE，交BC于F．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（ 2 ） 如 图 2 ， 连 接 OF ， 若 OF⊥ AB ， DF ＝ 1 ， 求 AE 的 长 ．
【分析】（1）证明OE∥AC，推出∠CAF＝∠AEO，由OA＝OE，推出∠OAE＝∠E，可得结论；
（2）证明∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，求出EF，AF，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会性质特殊三角形解决问题，属
于中考常考题型．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和图形W，如果对于给定的角 （0＜ ≤90°），存在线段AB
上一点C，使得将线段AB绕点C顺时针旋转 角之后，所得到的线段与α图形Wα有公共点，则称图形W
是线段AB的 ﹣联络图形． α
α
例如，如图中的正方形即为线段AB的90°﹣联络图形．
已知点A（1，0），
（1）若点B的坐标为（3，0），直线y＝﹣1是线段AB的 ﹣联络图形，则 可能是下列选项中的
②③ （填序号）： α α
①15°
②30°
③54°
（2）若点B的坐标为（t，0），直线y＝ x+ 是线段AB的60°﹣联络图形，求t的取值范围；
（3）若第一象限内的点B满足AB＝2，点P（m，0），Q（m﹣1， ），若存在某个点B，以及某个
，使得线段PQ是线段AB的 ﹣联络图形，直接写出m的取值范围．
α α【分析】（1）当绕A点旋转时 有最小值，求出此时 ＝30°，当绕AB中点旋转时， 有最大值为
90°，根据 的取值判断即可； α α α
α
（2）求出直线y＝ x+ 与x轴和y轴的交点C和D，连接AC，由勾股定理得出 AC⊥CD，且
∠CAD＝60°，要使直线y＝ x+ 是线段AB的60°﹣联络图形，则AB≥AC，即可求出t的取值范围；
（3）当B点在x轴和y轴上时分别求出m的临界值，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）如下图，将线段AB绕A点逆时针旋转，使点B落到直线y＝﹣1上的B'点，过B'点
作B'D⊥AB于D，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB'＝AB＝3﹣1＝2，B'D＝1，
∴B'D＝ AB'，
在Rt△AB'D中，∠B'AD＝30°，
即若直线y＝﹣1是线段AB的 ﹣联络图形， 最小取值为30°，
α α
如下图，将线段AB绕AB中点逆时针旋转90°，
此时点B刚好落到直线y＝﹣1上的B'点，即若直线y＝﹣1是线段AB的 ﹣联络图形， 最大取值为90°，
α α
∴30°≤ ≤90°，
α
故答案为：②③；
（2）设直线y＝ x+ 与x轴和y轴的交点分别为C点和D点，
在直线y＝ x+ 中，当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（0， ），D（﹣3，0），
∴OC＝ ，OD＝3，
在Rt△OCD中，tan∠OCD＝ ＝ ，
∴∠OCD＝60°，
①若B点在A点左侧，连接AC，如下图，∵A（1，0），
∴OA＝1，
在Rt△OCA中，tan∠OCA＝ ＝ ，
∴∠OCA＝30°，AC＝2OA＝2，
∵∠ACD＝∠OCD+∠OCA＝60°+30°＝90°，
故AC⊥CD，
∵直线y＝ x+ 是线段AB的60°﹣联络图形，
∴AB≥AC，
即AB≥2，
∴t≤﹣1；
②若B点在A点右侧，在CD上取一点E，使∠EAB＝60°，如下图，由①知∠CDA＝30°，
∴∠CEA＝∠EAB﹣∠CDA＝30°，
∴AE＝AD＝4，
∵直线y＝ x+ 是线段AB的60°﹣联络图形，
∴AB≥AE，
即AB≥4，
∴t≥5，
综上，t的取值范围为t≤﹣1或t≥5；
（3）由题知，B点在以A为圆心半径为2的圆上，且在第一象限，
当B点在x轴上时，绕B点旋转AB顺时针旋转90°得到A'B，交PQ于Q点，∵P（m，0），Q（m﹣1， ），
∴BP＝1，
∴OP＝OA+AB+AP＝1+2+1＝4；
当点B在y轴上时，如下图，
绕B点旋转AB顺时针旋转90°得到A'B，交PQ于A'点，延长BA'交x轴于T，
在Rt△AOB中，cos∠OAB＝ ＝ ，
∴∠OAB＝60°，
∴∠ATB＝30°，∴AT＝4，BT＝2 ，
∴A'T＝BT﹣BA'＝2 ﹣2，
∴TP＝A'T÷cos30°＝4﹣ ，
∴OP＝AT﹣OA﹣TP＝4﹣1﹣（4﹣ ）＝ ﹣1，
即此时m＝1﹣ ，
∵B点在第一象限，
∴m的取值范围为1﹣ ＜m＜4．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，特殊角三角函数等知识，熟练掌握一次函数的性质，特殊角三
角函数及正确理解线段AB的 ﹣联络图形这一新定义是解题的关键．
α
