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2022-2023 学年九年级数学上学期期中模拟预测卷 03
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1．本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答
题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2+ ＝3 D．x2﹣2xy＝0
【分析】由一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程属于分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元
二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
2．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【分析】直接根据二次函数的解析式即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）．故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质2，熟记二次函数的顶点式是解答此题的关键．
3．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+5，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称
轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣ 时，y＝ ；
当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图
象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣ 时，y＝ ；确定一个二次函数的最值，首先看自
变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，
要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
4．“打开电视机看电视节目，出现的第一个频道是重庆都市频道”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“打开电视机看电视节目，出现的第一个频道是重庆都市频道”，是随机事件，属于不确
定事件．故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生
的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，
可能发生也可能不发生的事件．
5．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式
法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x ＝2，x ＝5，
1 2
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求
出三角形的三边长．
7．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块
面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．10m B．9m C．8m D．7m
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面
积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
解得：x ＝7，x ＝﹣2（不合题意，舍去）
1 2
即：原正方形的边长7m．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和
宽是解决本题的关键．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣
4ac＞0，其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有
两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，故②正确；
∵0＜﹣ ＜1，
∴b＞0，故①错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故③正确；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故④正确
正确的有3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开
口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在
y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线
与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
9．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．内交 D．相切或相交
【分析】由一条直线与圆有公共点，可得公共点可能是1个或2个，继而求得答案．
【解答】解：∵一条直线与圆有公共点，
∴公共点可能是1个或2个，
∴这条直线与圆的位置关系是：相切或相交．
故选：D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系．注意相切 直线和圆有1个公共点，相交 一条直线和圆有
2个公共点． ⇔ ⇔
10．已知：如图，点A、B、C在 O上，∠ABC＝50°，则∠AOC等于（ ）
⊙
A．25° B．50° C．75° D．100°
【分析】根据圆周角定理得出∠ABC＝ AOC，再求出答案即可．
【解答】解：∵ 对的圆心角是∠AOC，对的圆周角是∠ABC，
∴∠ABC＝ AOC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标
为 （ 2 ， 3 ） ．
【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P的对称图形P′，可得所求
点的坐标．
【解答】解：如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关
键．
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝k+m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不
等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ﹣ 3 ＜ x ＜ 0 ．【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想．
13．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排 15场比赛，应邀请
6 支球队参加比赛．
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球
队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列
出方程求解．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，
即 ＝15，
∴x2﹣x﹣30＝0，
∴x＝6或x＝﹣5（不合题意，舍去）．
即应邀请6个球队参加比赛．
故答案为：6．
【点评】考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据
等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
14．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y＝﹣
，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 1 6 m．【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答．
【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣ x2，
得x＝±8，
∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），
∴AB＝16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为：16．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
15．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数
恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为 cm．
【分析】根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：作OE垂直AB于E，交 O于D，
⊙
设OB＝r，根据垂径定理，BE＝ AB＝ ×6＝3cm，
根据题意列方程得：（r﹣2）2+9＝r2，解得r＝ ，
∴该圆的半径为 cm．
【点评】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC＝3是解答此题的关键．
16．已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上有三点（﹣3，y ），B（ ，y ），C（2，y ），则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
的大小关系是 y ＜ y ＜ y （用“＜”连接）．
2 1 3
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
【解答】解：∵y＝a（x+1）2+k（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴是：直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点（﹣3，y ）故对称轴的对称点为（1，y ），而﹣1＜ ＜1＜2，
1 1
∴y ＜y ＜y ，
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
17．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA，PB于点C、D，
若△PCD的周⊙长为24， O的半径是5，则⊙点P到圆心O的距⊙离 1 3 ．
⊙【分析】根据切线长定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵PA、PB切 O于A、B，
⊙
∴PA＝PB；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∵△PCD的周长为24，
∴PA+PB＝24，
∴PA＝PB＝12，
连接OA，OP，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝ ＝ ＝13，
故答案为：13．
【点评】此题主要考查的是切线长定理的应用．能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此
题的关键．
18．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度增加 （ 2 ﹣ 4 ） 米（结果保留根号）．
【分析】设该抛物线为顶点在原点，其解析式为：y＝ax2，用待定系数法求出a的值，再令y＝﹣3，求
得相应的x值，从而可得此时水面的宽，再减去4米即可．
【解答】解：设该抛物线为顶点在原点，其解析式为：y＝ax2
由题意得：点（2，﹣2）和点（﹣2，﹣2）在抛物线上
将（2，﹣2）代入y＝ax2得：﹣2＝4a
∴a＝﹣
∴y＝﹣ x2
当y＝﹣3时，﹣3＝﹣ x2
解得x＝±
∴此时水面的宽度为： ﹣（﹣ ）＝2 （米）
水面的宽度增加（2 ﹣4）（米）
故答案为：（2 ﹣4）（米）
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确求出抛物线的解析式，是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）19．用指定的方法解下列方程：
（1）（2x+1）2＝9；（直接开平方法）
（2）3x2﹣5x﹣2＝0；（配方法）
（3）2x2﹣4x﹣5＝0；（公式法）
（4）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0．（因式分解法）
【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；
（2）利用配方法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用因式分解法解出方程．
【解答】解：（1）（2x+1）2＝9，
开方得，2x+1＝±3，
解得，x ＝1，x ＝﹣2；
1 2
（2）3x2﹣5x﹣2＝0，
移项得，3x2﹣5x＝2，
整理得，x2﹣ x＝ ，
配方得，x2﹣ x+ ＝ + ，即（x﹣ ）2＝ ，
开方得，x﹣ ＝± ，
解得，x ＝2，x ＝﹣ ．
1 2（3）2x2﹣4x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x ＝1+ ，x ＝1﹣ ；
1 2
（4）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0，
因式分解得，（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
∴x﹣3＝0或5x﹣3＝0，
∴x ＝3，x ＝ ．
1 2
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元
二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为
A（﹣2，4），B（﹣3，2）．
（1）画出坐标轴，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后△A'B'C'；
（2）求四边形ACA'B'的面积．
【分析】（1）根据点A，B的坐标建立坐标轴即可，根据旋转的性质作图可得△A'B'C'．（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，坐标轴和△A'B'C'即为所求．
（2）四边形ACA'B'的面积为S△B'AC +S△A'B'C ＝ +（3×3﹣ ﹣ ﹣ ）
＝8．
∴四边形ACA'B'的面积为8．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、四边形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E为BC上一点，以CE为直径作 O恰好经过A、C两
点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F． ⊙
（1）求证：AB是 O的切线．
⊙
（2）如果CF＝2，CP＝3，求 O的直径EC．
⊙
【分析】（1）若要证明AB是 O的切线，则可连接AO，再证明AO⊥AB即可．
⊙
（2）连接OP，设OG为x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出CG的长，即可表示出半径OC和OP的长，在直角三角形CGP中利用勾
股定理表示出PG的长，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即
可得到x的值，然后求出直径即可．
【解答】（1）证明：连接AO，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵AO＝CO，
∴∠0AC＝∠OCA＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴AB是 O的切线；
⊙
（2）解：连接OP，
∵PF⊥BC，
∴∠FGC＝∠EGP＝90°，
∵CF＝2，∠FCG＝30°，
∴FG＝1，
∴在Rt△FGC中 CG＝ ＝ ＝ ．
∵CP＝3．
∴Rt△GPC中，PG＝ ＝ ＝ ．
设OG＝x，则OP＝OC＝x+ ，
在直角△OPG中，根据勾股定理得：OP2＝OG2+PG2，即 ＝x2+
解得x＝ ．
∴ O的直径EC＝EG+CG＝2x+ + ＝3 ．
⊙
【点评】本题考查了圆的切线的判定和相似三角形的判定既性质，常用的切线的判定方法是连接圆心和
某一点再证垂直；常用的相似判三角形的判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的相似性质：
对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．
22．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x ，x ．得出其判别式Δ
1 2
＞0，可解得k的取值范围；
（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．
【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
可得k﹣1≠0，
∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，
可解得k＜ 且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x ，x ，
1 2
∵x +x ＝0，
1 2
∴﹣ ＝0，
∴k＝ ，
又∵k＜ 且k≠1
∴k不存在．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程
有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系．
23．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超
过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨
1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝
260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80
＜x＜140，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，
（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．
【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则 ，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式
w＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）
w＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），
（3）当50≤x≤80时，w＝﹣x2+300x﹣10400，
当x＝80有最大值，最大值为7200，
当80＜x＜140时，w＝﹣3x2+540x﹣16800，
当x＝90时，有最大值，最大值为7500，
故售价定为90元．利润最大为7500元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．
24．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于
点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求
出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式
为y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时
△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，
t2﹣ t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函
数最大值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a＝ ，
∴y＝ （x﹣1）（x﹣5）＝ x2﹣ x+4＝ （x﹣3）2﹣ ，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；
（2）存在，P点坐标为（3， ）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得 ，
解得 ，
∴y＝ x﹣ ，
∵点P的横坐标为3，
∴y＝ ×3﹣ ＝ ，
∴P（3， ）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y＝﹣ x+4，
把x＝t代入得：y＝﹣ t+4，则G（t，﹣ t+4），
此时：NG＝﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）＝﹣ t2+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN ＝S△ANG +S△CGN ＝ AD×NG+ NG×CF＝ NG•OC＝ ×（﹣ t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2（t﹣
）2+ ，
∴当t＝ 时，△CAN面积的最大值为 ，
由t＝ ，得：y＝ t2﹣ t+4＝﹣3，
∴N（ ，﹣3）．
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思
想的灵活应用．
25．已知△ABC内接于 O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是 O上一点．
⊙ ⊙
（Ⅰ）如图①，若BD为 O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
⊙（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作 O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
⊙
【分析】（Ⅰ）如图①，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝69°，再根据圆周角定
理得到∠BCD＝90°，∠D＝42°，利用互余计算出∠DBC的度数，利用圆周角定理计算∠ABD的度数，
从而得到∠ACD的度数；
（Ⅱ）如图②，连接OD，利用平行线的性质得到∠ACD＝∠BAC＝42°，利用圆内接四边形的性质计
算出∠ADC＝111°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝27°，接着利用圆周角定理得到∠COD＝54°，
然后根据切线的性质得到∠ODE＝90°，最后利用互余计算出∠E的度数．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝ ×（180°﹣42°）＝69°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；
（Ⅱ）如图②，连接OD，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°，∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
⊙
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，
∴∠COD＝2∠CAD＝54°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
26．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在抛物线上，且S△AOM ＝2S△BOC ，求点M的坐标；
（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．【分析】（1）把A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式求解即可；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0）．然后依据S△AOM ＝2S△BOC 列
方程求解即可；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），C（0，2）代入可求得直线AC的解析式，设N
点坐标为（x，x+2），（﹣2≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣x+2），然后列出ND与x的函数关系
式，最后再利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+mx+n，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据
S△AOM ＝2S△BOC 列方程可得：
•AO×|n|＝2× ×OB×OC，
∴ ×2×|﹣m2﹣m+2|＝2，
∴m2+m＝0或m2+m﹣4＝0，
解得x＝0或﹣1或 ，∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（ ，﹣2）或（ ，﹣2）．
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入
得到 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），
ND＝（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴x＝﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应了待定系数法求一次函数、二次函数
的解析式，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
