文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期末模拟卷 01
参考答案
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C C A C D A D
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
❑√3 1
11．y=−2 x2 12．10% 13． / ❑√3
6 6
π
14．1− 15．①③④ 16．4+4❑√5
12
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）
【详解】解：将x=2代入x2+mx+m−7=0中，得
22+2m+m−7=0,
解得m=1．（3分）
将m=1代入 x2+mx+m−7=0中，得
x2+x−6=0，
解得 x =2，x =−3．
1 2
故m=1，方程的另一个根为 x=−3．（6分）
18．（6分）
【详解】（1）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，且∠ACB=90°，
∴∠CAE=90°,∠AED=∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACB=180°，
∴AE∥BC，
∴∠CFD=∠AED=90°，
∴∠BFD=180°−∠ CFD=90°，故答案为：90．（2分）
（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，且AB=10，
∴AD=AB=10,∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，BD2=AD2+AB2=200，
∵∠BFD=90°，DF=14，
∴在Rt△BDF中，BF=❑√BD2 −DF2=❑√200− 142=2．（6分）
19．（8分）
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
8 2
∴甲获胜的概率为 = ；（4分）
12 3
（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
4 1
∴乙获胜的概率为 = ，
12 3
1 2
∵ < ，
3 3
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．（8分）
20．（8分）
【详解】（1）解：线段EF如图所示：（4分）
（2）解：点C，过点B作⊙O的切线PB，如图所示：（8分）21．（10分）
【详解】（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵E为弦BC的中点，
∴OE⊥BC，
∵OE垂直平分BC，点P在OE的延长线上，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵CP与⊙O相切于点C，
∴CP⊥OC，
∴∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠OCB+∠PCB=∠OCP=90°，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB为⊙O的切线．（5分）
（2）解：∵E为弦BC的中点，
∴OE⊥BC于点E，
∵DH⊥AB于点H，
∴∠OEB=∠OHD=90°，
∵∠EOB=∠HOD，OB=OD，
∴△EOB≌△HOD(AAS)，
∴OE=OH，
∴OB−OH=OD−OE，
∴BH=DE，
∵∠BHF=∠DEF=90°，∠BFH=∠DFE，
∴△BFH≌△DFE(AAS)，
∴BF=DF=4，∵CF=8，
∴BC=CF+BF=8+4=12，
1
∴BE=CE= BC=6，
2
∴EF=BE−BF=6−4=2 ，
∴DE=❑√DF2 −EF2=❑√42 −22=2❑√3，
∵OE2+BE2=OB2，且OE=OD−DE=OB−2❑√3，
∴(OB−2❑√3) 2+62=OB2，解得：OB=4❑√3．
∴⊙O的半径长为4❑√3．（10分）
22．（10分）
【详解】（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.4m，
1 1
∴抛物线y=− x2+x+c和直线y=− x+n都过点 (8,3.4) ，
10 2
1 1
把 (8,3.4) 代入y=− x2+x+c得3.4=− ×82+8+c，解得c=1.8；
10 10
1 1
把 (8,3.4) 代入y=− x+n得3.4=− ×8+n，解得n=7.4；（2分）
2 2
②∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.4m>2.7m，
∴在滑行阶段飞过围栏，
1
当y=− x+7.4=2.7时，解得x=9.4，
2
∴小明最多距离围栏9.4米时，纸飞机可以顺利飞过围栏；（6分）
1
（2）解：令y=− x+n=0，解得x=2n，
2
1
∴直线y=− x+n与x轴交点为 (2n,0) ，
2
∴纸飞机落地点与起抛点的水平距离为2n，
∵纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，
∴2n≤16，解得n≤8，
1 1 1 1
当x=8时，抛物线y=− x2+x+c=− ×82+8+c=1.6+c和直线y=− x+n=− ×8+n=−4+ n，
10 10 2 2
∴1.6+c=−4+ n，整理得n=5.6+c，
∴n=5.6+c≤8，
解得c≤2.4，∴c的最大值为2.4，
故答案为：2.4．（10分）
23．（12分）
【详解】（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵CA=CB，CD=CE，
∴△ADC≌△BEC(SAS)；（2分）
（2）解：GH=GF，GH⊥GF；理由如下：
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴GH是△BDE中位线，GF是△ABD中位线，
1 1
∴GF∥AD，GF= AD，GH∥BE，GH= BE，
2 2
∴∠BFG=∠BAD，∠DGH=∠DBE，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠EBC=∠DAC，BE=AD，
∴GF=GH，∠DGH=∠DBE=∠EBC+∠DBC=∠DAC+∠DAB，
∵∠DGF=∠DBA+∠BFG，
∴∠DGF=∠DBA+∠DAB，
∴∠FGH=∠DGF+∠DGH=∠DBA+∠DAB+∠DBC+∠DAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴GH⊥GF，
∴GF=GH，GF⊥GH；（6分）
（3）解：分以下两种情况：
当A，E，D位于点C的上方，
由（1）可知∠BEC=∠ADC=135°，∠CED=45°，
∴∠AEB=90°，
由（2）可知GH为△BED的中位线，1
∴GH∥BE，GH= BE，
2
∴∠AEB=∠GHD=90°，
∵CD=❑√2，H为DE中点，
∴CH=EH=DH=1，∠CHD=90°，
∴AH=❑√AC2 −CH2=3，∠CHD+∠GHD=180°，
∴AE=4，C，H，G三点共线，
∴AD=BE=AH−DH=3−1=2 ，
1
∴GH= BE=1，
2
∴CG=CH+GH=2；
当A，E，D位点C的下方，同理可得BE=AD=4，GH=2，
∴CG=GH−CH=1．
综上所述，CG的长为2或1．（12分）
24．（12分）
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+2x−3与x轴相交于点A,B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C
，
∴令y=0，得x=−3 或1，令x=0，得y=−3 ，
∴A(−3,0 ),B(1,0),C(0,−3 )；（3分）
b
（2）解：当x=− =−1时，y=−4，即顶点D的坐标为 (− 1,)− ，4
2a
①点P在x轴上方时，过点D作DE⊥AB于点E，过点B向上作BF⊥AB交AP于点 F，
∵A(−3,0 ),B(1,0),D(− 1,)−，4∴AE=BE=2,DE=AB=2，
1
由抛物线的对称性可得，∠ADE=∠BDE= ∠ADB，
2
1
∵∠PAO= ∠ADB，
2
∴∠FAB=∠ADE，
又∠AED=∠ABF=90°，
∴∠AFB=∠DAE，
∴△AED≌△FBA，
∴AE=FB=2，
∴点F的坐标为(1,2)，
设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0)，将A、F两点坐标代入得：
{0=−3 k+b
)，
2=k+b
1
{k= )
2
解得： ，
3
b=
2
1 3
∴直线l :y= x+ ，
PA 2 2
1 3
{y= x+ )
联立： 2 2 ，
y=x2+2x−3
3
解得：x =−3, x = ，
1 2 2
3 1 3 3 9
当x= 时，y= × + = ，
2 2 2 2 43 9
∴点P的坐标为 ( , ) ；
2 4
②点P在x轴下方时，
1 3
同理可求得l :y=− x− ，
PA 2 2
1 3
{y=− x+ )
联立： 2 2 ，
y=x2+2x−3
1
解得：x =−3, x = ，
1 2 2
1 1 1 3 7
当x= 时，y=− × − =− ，
2 2 2 2 4
1 7
∴点P的坐标为 ( ,− ) ，
2 4
3 9 1 7
综上所述，点P的坐标为 ( , ) 或 ( ,− ) ；（7分）
2 4 2 4
（3）解：设M(m,m2+2m−3),N(n,n2+2n−3),Q(q,q2+2q−3)，
设直线QN的解析式为y=k′x+b′(k′≠0)，
{y=k′x+b′
)
联立： ，
y=x2+2x−3
得x2+(2− k′)x− 3−b′=0，由根与系数关系可知，q+n=k′ −2,qn=− 3−b′，
∴直线l :y=(q+n+2)x−qn−3，
QN
同理可得，直线l :y=(m+n+2)x−mn−3，直线l :y=(m+q+2)x−mq−3，
MN MQ
∴m+q+2=−2 ，
即m+q=−4 ，
∵直线MN经过定点H(− 2,)−，1
∴− (1m=−+2n+2)−mn−3，
整理得mn=−2 m−2n−6，
将m=− q−4代入mn=−2 m−2 n−6 中，得(−q−4)n=−2 (−q−4)−2n−6，
整理得nq=−2 n−2 q−2 ，
−nq+2
直线QN解析式y=(q+n+2)x−qn−3为y= x−qn−3，
2
∴当x=−2时，y=−5 ，
∴直线NQ必过定点(− 2,)−．5（12分）
