文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期末模拟卷
全解全析
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册+下册。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重
合．根据中心对称图形的概念逐一判断求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角
B．抛掷一次硬币正面朝上
C．随便翻开一本书，页码是偶数
D．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖【答案】A
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会
发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角，是必然事件，故该选项符合题意；
B. 抛掷一次硬币正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
C. 随便翻开一本书，页码是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票不一定中奖，故该选项不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了概率的意义，三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握以上概念是解题的关键．
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
x+1
A．2x-3=x B．2x+3 y=5 C．2x-x2=1 D． =7
x
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．利用一元二次方
程的定义判断即可．
【详解】A、方程2x-3=x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3 y=5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x-x2=1是一元二次方程，符合题意；
x+1
D、方程 =7是分式方程，不符合题意，
x
故选：C．
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACB=30°，则∠AOB的度数为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．30°
【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理即可直接得出答案．
⏜ ⏜
【详解】解：∵∠ACB=30°， AB=AB ，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
故选：A．
5．下列关于抛物线y=-(x-5) 2+2说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线x=-5
C．顶点坐标为(5,2) D．当x=5时，函数有最小值2
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的应用－销售问题，y=a(x-h) 2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的
形状和开口方向，其顶点是(h,k)，对称轴是x=h．
【详解】解：∵y=-(x-5) 2+2，
∴抛物线开口向下，称轴为直线x=5，顶点坐标为(5,2)，当x=5时，函数有最大值2．
故选C．
6．如图，将△OAB绕着点O顺时针旋转60°后得到△OA'B'，若OB=4，则B ´ B'的长度为（ ）
4π 2π
A．2π B． C．π D．
3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，弧长计算，根据弧长计算公式进行计算即可，熟练掌握弧长公
nπr
式l= ，是解题的关键．
180
【详解】解：根据旋转可知：∠BOB'=60°，
60π×4 4
∴l = = π．
B´B' 180 3故选：B．
7．已知m为一元二次方程x2+5x-1024=0的根，那么-2m2-10m的值为（ ）
A．-2048 B．-1024 C．0 D．2048
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．根据一元二次方程解的定义得
m2+5m=1024，把代数式变形后整体代入求值即可．
【详解】解：m为一元二次方程x2+5x-1024=0的根，
∴m2+5m-1024=0，
则m2+5m=1024，
∴-2m2-10m=-2(m2+5m)=-2×1024=-2048，
故选：A．
8．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也
可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到
EF的距离BD为10m，若∠ABD=α，则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是（ ）
10 10
A．10tanα+2 B． +2 C． +2 D．10sinα+2
tanα cosα
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．
根据∠ABD的正切可得AD=BD⋅tanα=10tanα，而DE=BC=2，进而即可求解．
AD
【详解】解：在直角三角形ABD中，tanα= ，
BD
∴AD=BD⋅tanα=10tanα，
根据题意可得：DE=BC=2，
∴AE=AD+DE=10⋅tanα+2，
故选：A．9．从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为
h=30t-5t2，其中0≤t≤6．有下列结论：①当t=2时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为
40m时，运动时间为2s或4s；③小球从抛出到落地需要6s．其中，正确的结论个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质．根据二次
函数的图像和性质解答即可．
【详解】解：∵ h=30t-5t2=-5(t-3) 2+45，
∴当t=3时，小球运动到最大高度，最大高度为45m，故①错误；
当小球的运动高度为40m时，有30t-5t2=40，
解得：t=2或t=4，故②正确；
当h=0时，0=30t-5t2，
解得：t=0或t=6，
∴小球从抛出到落地需要6s，故③正确．
故选：C．
10．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点A，B，C，D分别
是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2-2x-3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”
被y轴截得CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．3+❑√3 D．2❑√3
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的性质，圆的半径相等的性质，勾股定理，连接CM，根据抛物线解析
式求出OD=3，AO=1，BO=3，AB=4，M(1,0)，利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接CM，由抛物线解析式y=x2-2x-3得，
当x=0时，y=-3，
∴点D的坐标为(0,-3)，
∴OD=3，
令y=0，则x2-2x-3=0，解得：x =-1，x =3，
1 2
∴A(-1,0)，B(3,0)，
∴AO=1，BO=3，AB=4，M(1,0)，
∴OM=1，MC=MA=MB=2，
∴OC=❑√MC2-OM2=❑√22-12=❑√3，
∴CD=OC+OD=3+❑√3，
即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为3+❑√3，
故选：C．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
11．在一个不透明袋子中，装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则
摸到红球的概率为 ．
3
【答案】 /0.6
5
【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②
符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
3 3
【详解】解：摸到红球的概率为 = ，
3+2 5
3
故答案为： ．
512．在平面直角坐标系中，点(-1,4)关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】(1,-4)
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P(x,y)关于原点对称点是P'(-x,- y)，进而得出答案．
【详解】解：点(-1,4)关于原点对称的点的坐标是(1,-4)，
故答案为：(1,-4)．
13．将抛物线y=(x-2) 2+1向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为 ．
【答案】y=(x-2) 2-1
【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“上加
下减”的规律即可求得．
【详解】将抛物线y=(x-2) 2+1向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为：y=(x-2) 2+1-2
即y=(x-2) 2-1
故答案为：y=(x-2) 2-1
14．张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2100元，4月份盈利达到3260元，设张
师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．
【答案】2100(1+x) 2=3260
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
利用4月份盈利金额=2月份盈利金额×(1+每月盈利的平均增长率) 2，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：根据题意，得2100(1+x) 2=3260．
故答案为：2100(1+x) 2=3260．
15．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长
为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2（结果用含π的式子表示）．【答案】60π
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形
的面积公式计算即可．
【详解】解：∵底面半径为5cm，
∴圆锥底面圆的周长为2π×5=10π(cm)，
即扇形纸片的弧长为10πcm，
∵母线长为12cm，
1
∴圆锥的侧面积
×12×10π=60π(cm2)．
2
故答案为：60π
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，点O为AB边上一点且OB=8，点D为BC边上
的动点，过点D作⊙O的两条切线，切点分别为E,F，若⊙O的半径为2，则四边形DEOF面积的最
小值是 ．
【答案】4❑√3
1
【分析】根据切线的性质可得△ODE≌△ODF(SAS)，S =S = DF·OF，则有
△ODE △ODF 2
S =2S =2DF，当DF的值最小时，四边形DEOF面积有最小值，由勾股定理可得
四边形DEOF △ODF
DF2=OD2-OF2=OD2-4，则有OD最小时，DF的值最小，根据OD⊥BC时，OD的值最小，
由含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OD，∵DE,DF是⊙O的切线，
∴∠OED=∠OFD=90°，DE=DF,OE=OF，
∴△ODE≌△ODF(SAS)，
1
∴S =S = DF·OF，
△ODE △ODF 2
∵⊙O的半径为2，
1
∴S = ×2×DF=DF，
△ODF 2
∵S =S +S ，
四边形DEOF △ODE △ODF
∴S =2S =2DF，
四边形DEOF △ODF
∴当DF的值最小时，四边形DEOF面积有最小值，
在Rt△ODF中，OD2=OF2+DF2，
∴DF2=OD2-OF2=OD2-4，
∴OD最小时，DF的值最小，
∴当OD⊥BC时，OD的值最小，
∵OB=8,∠B=30°,OD⊥BC，
1
∴OD= OB=4，
2
∴DF2=42-4=12，
∴DF=2❑√3（负值舍去），
∴S =2DF=2×2❑√3=4❑√3，
四边形DEOF
故答案为：4❑√3 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段
最短等知识的综合，掌握切线的性质得到△ODE≌△ODF(SAS)，当DF的值最小时，四边形
DEOF面积有最小值，OD最小时，DF的值最小是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解下列方程：(1)x2+x-12=0；
(2)3x(x-1)=2x-2．
【答案】(1)x =3，x =-4；
1 2
2
(2)x = ，x =1．
1 3 2
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．
（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2+x-12=0，
∵a=1，b=1，c=-12，
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-12)=49>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
-1±❑√49
∴x= ，
2
∴x =3，x =-4．
1 2
（2）3x(x-1)=2x-2
整理得：3x(x-1)-2(x-1)=0
(3x-2)(x-1)=0
2
∴x = ，x =1．
1 3 2
18．（8分）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国
际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满
期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃
舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等
四张卡片作为邮票的图案部分．
卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随
机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率．
1
【答案】
6
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．要求学生掌握通过这两种方法列举出所有可能的结
果，并从中找出目标事件的结果，进而计算概率．
【详解】解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果：
解法一：
第二次
A B C D
第一次
（A， （A，C） （A，D）
A
B）
B （B，A） （B，C） （B，D）
（C，A） （C， （C，D）
C
B）
（D，A） （D， （D，C）
D
B）
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种，
2 1
所以，所求的概率为 即 ．
12 6
解法二：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种，
2 1
所以，所求的概率为 即 ．
12 6
19．（8分）如下图，AB=25，BC=40，AC=20，AE=12，AD=15，DE=24．(1)判断△ABC与△ADE是否相似，并说明理由．
(2)若∠BAC=125°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数．
【答案】(1)相似．理由见解析
(2)55°
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
（1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得△ABC∽△ADE；
（2）由相似三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，即可得出答案．
【详解】（1）解：相似．理由如下：
AB 25 5 BC 40 5 AC 20 5
∵ = = ， = = ， = = ，
AD 15 3 DE 24 3 AE 12 3
AB BC AC
∴ = = ，
AD DE AE
∴△ABC∽△ADE．
（2）解：由（1），得△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=125°，
∴∠DAE=125°，
又∵∠EAC=70°，
∴∠CAD=∠DAE-∠EAC=55°．
20．（8分）如图，A，B两地的直线距离为7km，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．
线路1：从A-C-B；线路2：从A-D-B．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且
在B的北偏西63°的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西37°方向．（参考数据：
❑√2≈1.4，❑√5≈2.24，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75．）(1)求AD的长度；（保留1位小数）
(2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短．
【答案】(1)5.7km
(2)线路2比线路1短，见解析
【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E．解直角三角形即可．
（2）解直角三角形后比较大小解答即可．
本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∴∠AED=90°．
∵∠EAD=45°，∠EDB=37°，
∴AE=DE，BE=DE·tan37°=0.75AE．
∵AB=AE+BE=7km，
∴AE+0.75AE=7．
∴AE=4．
∴AE=DE=4km，BE=3km．
∴AD=❑√2AE=4❑√2≈5.7km．
故AD的长为5.7km．
（2）解：由（1）可得，在Rt△BDE中，
BE
sin37°= ，
BDBE 3
即BD= ≈ =5km．
sin37° 0.60
AB
在Rt△ACB中，tan∠C=tan63°= ，
AC
AB 7
即AC= ≈ =3.5km．
tan63° 2
AB
sin63°= ，
BC
AB 7
即BC= ≈ ≈7.865km．
sin63° 0.89
线路1：AC+CB=3.5+7.865≈11.4km；
线路2：AD+BD=5.656+5≈10.7km．
∵11.4>10.7，
∴线路2更短．
故线路2比线路1短．
21．（10分）某商品现在的售价为每件60元，每个星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨
价1元，每个星期要少卖出10件：每降价1元，每个星期可多卖出20件．已知商品进价为每件40元，
设每件商品的售价为x元（且x为正整数），每个星期的销售量为y件．
(1)求y与x的函数关系；
(2)设每星期的销售利润为W，请写出W与x的关系式；
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=¿
(2)W =¿
(3)65，6250
【分析】本题主要考查了一次函数的应用（其他问题），二次函数的应用（销售问题），读懂题意，
根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键．
（1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出y与x的
函数关系式即可；
（2）设每星期所获利润为W，根据“每星期利润=每件利润×每星期的销售量”即可得出W与x的关
系式；
（3）把（2）中的解析式配成二次函数的顶点式，利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
涨价时，y=300-10(x-60)=-10x+900，由y≥0得-10x+900≥0，
解得：x≤90，
x-60≥0，
解得：x≥60，
即：60≤x≤90，
降价时，y=300+20(60-x)=-20x+1500，
由售价不小于进价40且小于60可得：40≤x<60，
整理，得：y=¿；
（2）解：当涨价时，W =(x-40)(-10x+900)(60≤x≤90)，
当降价时，W =(x-40)(-20x+1500)(40≤x<60)，
综上所述：W =¿，
整理，得：W =¿；
（3）解：当涨价时，W =(x-40)(-10x+900)=-10(x-65) 2+6250(60≤x≤90)，
∴当x=65时，W的最大值是6250元；
当降价时，W =(x-40)(-20x+1500)=-20(x-57.5) 2+6125(40≤x<60)，
∴定价为：x=57或58（元）时利润最大，最大值为6120元；
∵6250>6120，
综合所述，定价为65元时可获得最大利润为6250元，
答：每件商品的售价定为65元时，每个星期可获得最大利润，最大利润是6250元．
22．（10分）如图1， 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， 经过A，C两点的⊙O交AB于点D，
连接CO并延长线交AB于点 F， 作DE∥CF交BC于点E．
(1)求证： DE为⊙O的切线；
(2)若BC=4，AF=❑√2，求CF的长；
(3)如图2， 将CF绕点C逆时针旋转90°到CG，点F和点G对应， 连接GB，求∠ABG的大小．【答案】(1)见解析
(2)CF=❑√10
(3)∠ABG=90°
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）连接OD，先得出△ACB为等腰直角三角形，求出∠CAB=45°，进而得出
∠COD=2∠CAB=90°，根据平行线的性质得出∠COD+∠EDO=180°，进而可得出
∠EDO=90°，即可得出结论；
（2）作CM⊥AD，垂足为 M，由（1）可知△AMC为等腰直角三角形，先求出AM=CM=2❑√2，
FM=AM-AF=❑√2，进而根据勾股定理得出结论；
（3）连接FG，由题意可知：AC=BC，CF=CG，先证明∠ACF=∠BCG，再证明
△ACF≌△BCG，得出∠GBF=∠CBG+∠CBA=90°，得出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠COD=2∠CAB=90°，
∵DE∥CF，
∴∠COD+∠EDO=180°，
∴∠EDO=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图 2，作CM⊥AD，垂足为 M，
由（1）可知△AMC为等腰直角三角形，
∵ BC=4，BC=AC，AF=❑√2，∠CAM=45°，
∴AM=CM=2❑√2，FM=AM-AF=❑√2，
∵在Rt△CFM中，CM=2❑√2，FM=❑√2，∴CF=❑√FM2+CM2=❑√22+82=❑√10；
（3）如图 3，连接FG，由题意可知：AC=BC，CF=CG，
∵∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-∠BCF，
∠BCG=∠FCG-∠BCF=90°-∠BCF，
∴∠ACF=∠BCG，
∵在△ACF与△BCG中，
AC=BC，∠ACF=∠BCG，CF=CG，
∴△ACF≌△BCG，
∵∠CBG=∠CAF=45°，
∴∠GBF=∠CBG+∠CBA=90°，
即∠ABG=90°．
23．（10分）在矩形ABCD中，点E，F 分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠．
(1)若点A的对应点P 落在边CD上，点B 的对应点为点G，PG交BC于点H．
①如图1，当P 为CD的中点，且AB=2，AD=3时，则GH的长为_________；
AB
②如图2，连接BG，当P，H 分别为CD，BC的中点时，求 的值．
BG
(2)若点A的对应点P 落在边BC上，如图3，点B 的对应点为点G．当AB=2，AD=3时，则AE的
最小值为 ，BF的 最 大 值 为_________．
3
【答案】(1)① ；②❑√6
4
5
(2)2；
6
5
【分析】（1）①设AE=PE=x，则DE=3-x，根据勾股定理得出(3-x) 2+12=x2，求出x= ，证
3
DE EP 5
明△DEP∽△CPH，得出 = ，求出PH= ，再求出答案即可；
CP PH 4②延长AB，PG交于一点M，连接AP，设DP=CP=a，得出AB=CD=2a，证明
1 3
△MBH≌△PCH(ASA)，得出BM=CP=a，HM=HP，求出HP= PM= a，根据勾股定理
2 2
❑√5
求出CH=❑√PH2-PC2= a，AP=❑√AD2+PD2=❑√6a，证明△BMG∽△AMP，得出
2
BG BM 1 ❑√6
= = ，求出BG= a，求出结果即可；
AP AM 3 3
（2）根据折叠可知：AE=EP，根据点P在BC上，点E在AD上，得出当EP⊥BC时，EP最小，
求出最小值即可；连接AF，根据点A的对应点P 落在边BC上，得出0≤BP≤3，根据折叠得出
AF=PF，设BF=x，则AF=PF=BP-x，根据勾股定理得出AB2+BF2=AF2，求出
BP 2 BP 2
x= - ，根据当0≤BP≤3时， 随BP增大而增大， 随BP增大而减小，得出当0≤BP≤3
2 BP 2 BP
时，x随BP的增大而增大，说明当BP=3时，BP最大，求出最大值即可．
【详解】（1）解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3，AB=CD=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵点P为CD的中点，
1
∴DP=CP= CD=1，
2
根据折叠可知：AE=PE，∠EPG=90°，GP=AB=2，
设AE=PE=x，则DE=3-x，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DE2+DP2=EP2，
∴(3-x) 2+12=x2，
5
解得：x= ，
3
5 4 5
∴DE=3- = ，EP= ，
3 3 3
∵∠EPD+∠CPH=∠CPH+∠CHP=90°，
∴∠EPD=∠CHP，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DEP∽△CPH，
DE EP
∴ = ，
CP PH4 5
即3 3 ，
=
1 PH
5
解得：PH= ，
4
5 3
∴GH=1- = ；
4 4
②延长AB，PG交于一点M，连接AP，如图所示：
根据折叠可知：AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE=EP，
∴∠EAP=∠EPA，
∴90°-∠EAP=90°-∠EPA，
即∠BAP=∠GPA，
∴MP=MA，
∵P为CD的中点，
∴设DP=CP=a，
∴AB=CD=2a，
∵点H为BC的中点，
∴BH=CH，
∵∠BHM=∠CHP，∠MBH=∠C=90°，
∴△MBH≌△PCH(ASA)，
∴BM=CP=a，HM=HP，
∴MP=MA=MB+AB=3a，
1 3
∴HP= PM= a，
2 2❑√5
在Rt△PCH中，根据勾股定理得：CH=❑√PH2-PC2= a，
2
∴BC=2CH=❑√5a，
∴AD=BC=❑√5a，
在Rt△APD中，AP=❑√AD2+PD2=❑√6a，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
BG BM 1
∴ = = ，
AP AM 3
❑√6
∴BG= a，
3
AB 2a
= =❑√6
∴BG ❑√6 ．
a
3
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3，AB=CD=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD∥BC，
根据折叠可知：AE=EP，
∵点P在BC上，点E在AD上，
∴当EP⊥BC时，EP最小，
∵此时∠EPB=∠A=∠B=90°，
∴此时四边形ABPE为矩形，
∴EP=AB=2，
∴EP最小值为2，即AE的最小值为2；
连接AF，如图所示：
∵点A的对应点P 落在边BC上，
∴0≤BP≤3，
根据折叠可知：AF=PF，设BF=x，则AF=PF=BP-x，
根据勾股定理可得：AB2+BF2=AF2，
∴22+x2=(BP-x) 2，
BP 2
整理得：x= - ，
2 BP
BP 2
∵当0≤BP≤3时， 随BP增大而增大， 随BP增大而减小，
2 BP
∴当0≤BP≤3时，x随BP的增大而增大，
3 2 5
∴当BP=3时，BP最大，且最大值为 - = ．
2 3 6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三
角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a、b为常数，a>0）与x轴交于点A、B
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若A(-2,0)，B(4,0)．
①求该抛物线的解析式；
②设D为线段BC上的点，且满足BD=3DC，求点D的坐标．
(2)若b=-4a，P是直线x=3与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段OB上的两个动
点，且MN=1，当CM+MN+PN的最小值为5❑√5+1，求a的值．
1
【答案】(1)①y= x2-x-4；②(1,-3)
2
(2)1
【分析】（1）①将点A(-2,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx-4，利用待定系数法求解即可；
②先求出C(0,-4)，从而得到∠OBC=∠OCB=45°，BC=4❑√2，再结合已知条件，得到
BD=3❑√2，过点D作DE⊥x轴，求出BE=DE=3，OE=1，即可得到点D的坐标．
（2）由题意可得对称轴为直线x=2，P(3,-3a-4)，作点C关于x轴的对称点C'(0,4)，过点P作
PF⊥y轴于点F，在PF上取点Q，使得PQ=MN=1，连接C'Q，则Q(2,-3a-4)，证明四边形
MNPQ是平行四边形，得到MQ=PN，即当点M在C'Q上时，CM+MN+PN有最小值为C'Q+1，
再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，
∴¿，解得：¿，1
∴该抛物线的解析式为y= x2-x-4；
2
②∵抛物线与y轴交于点C，
令x=0，则y=-4，
∴C(0,-4)，
∴OB=OC=4，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=❑√OB2+OC2=4❑√2，
∵BD=3DC，
∴DC=❑√2，BD=3❑√2，
如图，过点D作DE⊥x轴，则BE=DE，
∴BD=❑√BE2+DE2=❑√2BE=❑√2DE=3❑√2，
∴BE=DE=3，
∴OE=1，
∴点D的坐标为(1,-3)．
（2）解：∵b=-4a，
∴抛物线y=ax2-4ax-4，对称轴为直线x=2，
令x=3，则y=9a-12a-4=-3a-4，
∴P(3,-3a-4)，
如图，作点C关于x轴的对称点C'(0,4)，过点P作PF⊥y轴于点F，在PF上取点Q，使得
PQ=MN=1，连接C'Q，则Q(2,-3a-4)，
∵MN∥PQ，MN=PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MQ=PN，∵CM=C'M
∴CM+MN+PN=C'M+MN+MQ=C'Q+MN=C'Q+1，
即当点M在C'Q上时，CM+MN+PN有最小值为C'Q+1，
∵CM+MN+PN的最小值为5❑√5+1，
∴C'Q=5❑√5，
在Rt△C'FQ中，C'F=4-(-3a-4)=3a+8，FQ=2，
∴C'Q=❑√(3a+8) 2+22=5❑√5，
整理得：3a2+16a-19=0，
19
解得：a=1或a=- （舍），
3
即a的值为1．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的
判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，
利用数形结合的思想解决问题是关键．
